CC BY
33
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2010, том 53, №4__________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Г.А.Юсупов
ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ СРЕДНИХ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ
ФУНКЦИЙ В £2 (—со;+оо)
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 01.03.2010 г.)
В работе найдены точные значения средних поперечников для некоторых классов целых функций, определяемых модулями непрерывности т -го порядка.
Ключевые слова: целая функция - модуль непрерывности т -го порядка - преобразование Фурье -наилучшее приближение - средний V -поперечник.
1. Для любого неотрицательного вещественного (7 через На обозначим множество всех целых функций степени не более <7. Множество всех целых функций / (г) е Нп таких, что / (л-) е Ь2 (М), М = (—оо, +°о) является линейным нормированным подпространством с нормой
-I-UU
11 /О) I2 dx
,1/2
рассматривалось Винером-Пэли [1] и обозначается через IV^ . Известно, что любая функция вида
/(г) = -^]е>(м)^, где <р(и) е Ь2 {—ст, сг), принадлежит подпространству 1¥п , причем
N¿2 (—<Т,<Т) '
Символом
Аа (/) = Аа (/> L2 W) = lnf II/ - 9 а II : 9а е Wa
обозначим наилучшее приближение функции f (х) є L2 (№) целыми функциями ga (z) є Wa Величина
Адрес для корреспонденции: Юсупов Гулзорхон Амиршоевич. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Дехоти, 1/2, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
Ю» (/> 0 = Ч,(/;= sup Д”/(*)
:I/г |</
(1)
называется интегральным модулем непрерывности т -го порядка функции / (х) е Ь2 (№), где
/=0
кЬ
f(x + lh).
Под /12’(<)(/’ е N,I,2 Ч <) = Л2( •«)) понимаем множество функций /(x)ei2(M), у которых производные (г — 1) -го порядка абсолютно непрерывны, а производные г -го порядка /<”(x)sL2(R).
Известно [2], что если F(x) преобразование Фурье функции f(x) е (М), то функция Fr(x) — (ix)' J' (x) является преобразованием Фурье функции F('r\x). Очевидно, что если
= Л,
>/2 п
то
л +СО ¥{х)=1^ а потому преобразованием Фурье функции
к=0
\к j
f(x + (m-k)h)
будет функция
к=0
ук j
i(m-k)hx
= F{x) elhx-\
(2)
Применяя равенство Парсеваля к соотношению (2), согласно определению т -го модуля непрерывности (1) и теоремы Планшереля, получаем
^(/;0 = 8ир \а™/(х)2 :\h\<t =зир А^(х)\2 :\к\<г =
- sup
\h\<t
JI F{pc) I211 -elhx l2m dx = 2m sup JI Fix) |2 (1 - cos hx)m dx.
-on _on
Нам в дальнейшем понадобится следующая вспомогательная
Лемма [3]. Пусть /(x)ei2(M) и /'(х) - ее преобразование Фурье е смысле
L2 (№), F{x) е L2 (№). Тогда функция
т
является целой функцией из класса \¥п, наименее уклоняющейся от /"(х) в смысле метрики £2(®0 • При этом
Г Л1/2
4Л/) =1|/-^(/)||
J | F(t) I2 dt
(3)
Из (3) сразу следует, что для любого /(х) є L2 (№)
ч 1/2
ч 1/2
J | Fit) I2 t2r dt
> <J
2 г
f\Fit)fdt
vrAa{f\
Таким образом, если f іх) є Л2' ( < ), всегда имеет место неравенство
AJ/)<cr-'AJf").
Теорема 1. Пусть о 0, т,п, г є N, 1/г <q <2. Тогда для О <h< л ¡а и любой функции fix) є /.'''( <.) справедливо неравенство
4(/)<
JI“T
.mq
V°
• Л , sin—t dt h
-Mq,
,1/g
VO
(4)
Для любых фиксированных т,г ^ N м сг > 1 неравенство (4) неулучшаемо.
Доказательство. Воспользуемся следующим вариантом неравенства Минковского [4, стр.32]
dt
>
о/ \ 1/2
\2/^ '
\и\><7 \ 0
du
О < q < 2,
и с учетом определения модуля непрерывности m -го порядка получаем
п
sirAdf
Л/q
>
>2”
.q/2
\l/q
I І І F{u) |2 u2r (І - cos tu)m du
■ Л 1 sin — t dt h
>
0
(5)
Докажем, что функция
й
для | и |> <7 при указанных ограничениях относительно параметров q и к является монотонно возрастающей, причем
Этим неравенство (4) доказано. Неулучшаемость (4) вытекает из того, что при соответствующем выборе класса функций, как мы покажем в следующем пункте, на этом неравенстве реализуются средние V -поперечники.
Теорема 1 может быть обобщена следующим образом
Теорема 2. Пусть сг >0, т,п,г 0 < у <rq — \,\ / г < q <2. Тогда для 0 <к< л / а и любой функции /(х) е справедливо неравенство
й
(6)
В самом деле, дифференцируя функцию (р(и) и имея в виду, что
/2 7
<р (и) = щигч~х [ \-costu т'2$>т—і(ііл-игч [—(\-со$>Ш)тчП $>т—¿¿Й = • Ь • сій к
к к
л 1/2
>
4(/)< 2"<г'
А / , \ »4
І8іпт] !
V«
. у Л' 7
виг —їш к
-Уд,
Уд
(7)
Для любых фиксированных т,г ^ N и сг > 1 неравенство (7) неулучшаемо.
Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1, поэтому мы его не приво-
дим.
2. Пусть ЯЛ - некоторое центрально-симметричное подмножество из Ь2 (№) и V > 0 является произвольным числом. Следуя работе [5], через ¿к(Ш1,£2(М)), ¿/Д9Л, Л2( г.)), ¿>'г(9Л, Л2( т:)) соответственно обозначим бернштейновский, линейный и колмогоровский средние V -поперечники. Между перечисленными экстремальными характеристиками множества М имеют место следующие неравенства:
¿дши2(М)) <^(ши2(М)) < ¿Дяи2(М)).
Пусть Ф(1), / > 0 - произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0. Для любых гєй+,/иє1, 1 / г <ц< 2,И. є (0,тг] введем следующий класс функций
И7(Ф) := Ж(г,да, д; Ф) =
\х/9
\0
< Ф(/г)
Всюду далее положим
8Іп?^:= біп?, если0<?<л’/2; 1, если ? > я/2 , А(К(ф)ксю = Щ>{4(Л: / є ^(ф)}.
Справедлива следующая общая
Теорема 3. Пусть для заданного Я є (0,1], т, г є К, 1 / г < q < 2 и для всех чисел ¡л є (0, со). И є (0, тс\ функция Ф(і) удовлетворяет условию
Л п п . стг; ■ V , г[ • ^
Ф9(—/г) БШ--- БШ — СІУ<ФЧ(И) БШ —
V оЧ 2І ц у 2 ;
тд/2
Хж
mq/2
віп—ёу. ц
(8)
Тогда для любого V > 0 имеют место следующие равенства
ят<ь\ь1т=Аят<*)\<я =
= Ттл-гу-г
1Л/' ( . ПУІ^тЧ/2
віп------
-Уд
БІП ТГУІСІІ > Ф(Л / у),
о
где - любой из средних у-поперечников: бернштейновский />,,(•), колмогоровский ¿/ (•) или линейный
где 3 - преобразование Фурье в Ь2 (К), а - характеристическая функция интервала (-УЯ, уп) будет экстремальной для среднего у-поперечника <->,,(•), а подпространство является экстремальным для среднего у -поперечника по Колмогорову ¿¡у(')-
Доказательство теоремы 3 в основном повторяет схему рассуждения аналогичной теоремы из работы [8].
Точные значения средних у -поперечников некоторых классов функций вычислены в работах Г.Г.Магарил-Ильяева [6,7], С.Б.Вакарчука [5], М.Ш.Шабозова, С.Б.Вакарчука и Р.Мамадова [8].
Возникает следующий вопрос: существует ли функция, удовлетворяющая условию (8)? На этот вопрос отвечает следующая
Теорема 4. Для того, чтобы неравенство (8) имело место с любыми заданными X е (0,1], ¡л е (0, со), т, г е К, 1 / г < р < 2, необходимо и достаточно, чтобы число а = а(Я; т, определялось по формуле
1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. - М.:Наука, 1965.
2. Попов В.Ю. - Изв. вузов. Математика. 1972, №6, с. 65-73.
3. Ибрагимов И.И., Насибов Ф.Г. - ДАН СССР, 1970, т.194, №5, с. 1013-1016.
4. Hardy G.G., Littlewood J.E. and Polya G. - Inequality. Cambridge University Press. 2nd ed. 1952, 346 p.
5. Vakarchuk S.B. - East Journal on Approximation. 2004, v.10, №1-2, pp. 27-39.
6. Магарил-Ильяев Г.Г. - Мат. сборник, 1991, т.182, с. 1635-1656.
7. Магарил-Ильяев Г.Г. - ДАН СССР, 1991, т.318, №1, с. 35-38.
8. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б., Мамадов Р. - ДАН РТ, 2009, т.52, №5.
4(^(Ф))ук) = supRrCfl: / є W( Ф)}.
При этом пара (L2(№), Amf), где A mf, определяется из условия
Поступило 01.03.2010 г.
ЛИТЕРАТУРА
Г.А.Юсупов
ИМАТИ АНИЦИ ЦУТР^ОИ МИЁНА БАЪЗЕ СИНФ^ОИ ФУНКСИЯ^О
ДАР L2(-co;+co)
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола кимати аники кутрх,ои миёна барои баъзе синфх,ои функсияхо х,исоб карда шудааст, ки ба воситаи модули бефосилагии тартиби m -ум муайян карда мешаванд.
Калима^ои калиди: функсияи бутун - модули бефосилагии тартиби m -ум - табдилдиуии Фуре -наздиккунии беутарин - v -цутри миёна.
G.A.Yusupov
EXACT VALUES OF MEAN WIDTHS OF SOME CLASSES OF FUNCTIONS IN
L2(—oo;+oo)
Tajik National University In the article the exact values of mean v -widths for some classes functions which are given by the modulus of continuity in m -order are found.
Key words: entire function - modulus of continuity of m -order - Fourier transform - best approximation -mean v-width.
