Научная статья на тему 'Точные значения средних поперечников некоторых классов функций в'

Точные значения средних поперечников некоторых классов функций в Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
88
32
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
целая функция / модуль непрерывности m-го порядка / преобразование Фурье / наилучшее приближение / средний v-поперечник / Entire function / modulus of continuity of m-order / Fourier transform / Best approximation / mean v-width

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Юсупов Г. А.

В работе найдены точные значения средних поперечников для некоторых классов целых функций, определяемых модулями непрерывности m-го порядка.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

In the article the exact values of mean v-widths for some classes functions which are given by the modulus of continuity in -order are found.

Текст научной работы на тему «Точные значения средних поперечников некоторых классов функций в»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2010, том 53, №4__________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Г.А.Юсупов

ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ СРЕДНИХ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ

ФУНКЦИЙ В £2 (—со;+оо)

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 01.03.2010 г.)

В работе найдены точные значения средних поперечников для некоторых классов целых функций, определяемых модулями непрерывности т -го порядка.

Ключевые слова: целая функция - модуль непрерывности т -го порядка - преобразование Фурье -наилучшее приближение - средний V -поперечник.

1. Для любого неотрицательного вещественного (7 через На обозначим множество всех целых функций степени не более <7. Множество всех целых функций / (г) е Нп таких, что / (л-) е Ь2 (М), М = (—оо, +°о) является линейным нормированным подпространством с нормой

-I-UU

11 /О) I2 dx

,1/2

рассматривалось Винером-Пэли [1] и обозначается через IV^ . Известно, что любая функция вида

/(г) = -^]е>(м)^, где <р(и) е Ь2 {—ст, сг), принадлежит подпространству 1¥п , причем

N¿2 (—<Т,<Т) '

Символом

Аа (/) = Аа (/> L2 W) = lnf II/ - 9 а II : 9а е Wa

обозначим наилучшее приближение функции f (х) є L2 (№) целыми функциями ga (z) є Wa Величина

Адрес для корреспонденции: Юсупов Гулзорхон Амиршоевич. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Дехоти, 1/2, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

Ю» (/> 0 = Ч,(/;= sup Д”/(*)

:I/г |</

(1)

называется интегральным модулем непрерывности т -го порядка функции / (х) е Ь2 (№), где

/=0

кЬ

f(x + lh).

Под /12’(<)(/’ е N,I,2 Ч <) = Л2( •«)) понимаем множество функций /(x)ei2(M), у которых производные (г — 1) -го порядка абсолютно непрерывны, а производные г -го порядка /<”(x)sL2(R).

Известно [2], что если F(x) преобразование Фурье функции f(x) е (М), то функция Fr(x) — (ix)' J' (x) является преобразованием Фурье функции F('r\x). Очевидно, что если

= Л,

>/2 п

то

л +СО ¥{х)=1^ а потому преобразованием Фурье функции

к=0

\к j

f(x + (m-k)h)

будет функция

к=0

ук j

i(m-k)hx

= F{x) elhx-\

(2)

Применяя равенство Парсеваля к соотношению (2), согласно определению т -го модуля непрерывности (1) и теоремы Планшереля, получаем

^(/;0 = 8ир \а™/(х)2 :\h\<t =зир А^(х)\2 :\к\<г =

- sup

\h\<t

JI F{pc) I211 -elhx l2m dx = 2m sup JI Fix) |2 (1 - cos hx)m dx.

-on _on

Нам в дальнейшем понадобится следующая вспомогательная

Лемма [3]. Пусть /(x)ei2(M) и /'(х) - ее преобразование Фурье е смысле

L2 (№), F{x) е L2 (№). Тогда функция

т

является целой функцией из класса \¥п, наименее уклоняющейся от /"(х) в смысле метрики £2(®0 • При этом

Г Л1/2

4Л/) =1|/-^(/)||

J | F(t) I2 dt

(3)

Из (3) сразу следует, что для любого /(х) є L2 (№)

ч 1/2

ч 1/2

J | Fit) I2 t2r dt

> <J

2 г

f\Fit)fdt

vrAa{f\

Таким образом, если f іх) є Л2' ( < ), всегда имеет место неравенство

AJ/)<cr-'AJf").

Теорема 1. Пусть о 0, т,п, г є N, 1/г <q <2. Тогда для О <h< л ¡а и любой функции fix) є /.'''( <.) справедливо неравенство

4(/)<

JI“T

.mq

• Л , sin—t dt h

-Mq,

,1/g

VO

(4)

Для любых фиксированных т,г ^ N м сг > 1 неравенство (4) неулучшаемо.

Доказательство. Воспользуемся следующим вариантом неравенства Минковского [4, стр.32]

dt

>

о/ \ 1/2

\2/^ '

\и\><7 \ 0

du

О < q < 2,

и с учетом определения модуля непрерывности m -го порядка получаем

п

sirAdf

Л/q

>

>2”

.q/2

\l/q

I І І F{u) |2 u2r (І - cos tu)m du

■ Л 1 sin — t dt h

>

0

(5)

Докажем, что функция

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

й

для | и |> <7 при указанных ограничениях относительно параметров q и к является монотонно возрастающей, причем

Этим неравенство (4) доказано. Неулучшаемость (4) вытекает из того, что при соответствующем выборе класса функций, как мы покажем в следующем пункте, на этом неравенстве реализуются средние V -поперечники.

Теорема 1 может быть обобщена следующим образом

Теорема 2. Пусть сг >0, т,п,г 0 < у <rq — \,\ / г < q <2. Тогда для 0 <к< л / а и любой функции /(х) е справедливо неравенство

й

(6)

В самом деле, дифференцируя функцию (р(и) и имея в виду, что

/2 7

<р (и) = щигч~х [ \-costu т'2$>т—і(ііл-игч [—(\-со$>Ш)тчП $>т—¿¿Й = • Ь • сій к

к к

л 1/2

>

4(/)< 2"<г'

А / , \ »4

І8іпт] !

. у Л' 7

виг —їш к

-Уд,

Уд

(7)

Для любых фиксированных т,г ^ N и сг > 1 неравенство (7) неулучшаемо.

Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1, поэтому мы его не приво-

дим.

2. Пусть ЯЛ - некоторое центрально-симметричное подмножество из Ь2 (№) и V > 0 является произвольным числом. Следуя работе [5], через ¿к(Ш1,£2(М)), ¿/Д9Л, Л2( г.)), ¿>'г(9Л, Л2( т:)) соответственно обозначим бернштейновский, линейный и колмогоровский средние V -поперечники. Между перечисленными экстремальными характеристиками множества М имеют место следующие неравенства:

¿дши2(М)) <^(ши2(М)) < ¿Дяи2(М)).

Пусть Ф(1), / > 0 - произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0. Для любых гєй+,/иє1, 1 / г <ц< 2,И. є (0,тг] введем следующий класс функций

И7(Ф) := Ж(г,да, д; Ф) =

\х/9

\0

< Ф(/г)

Всюду далее положим

8Іп?^:= біп?, если0<?<л’/2; 1, если ? > я/2 , А(К(ф)ксю = Щ>{4(Л: / є ^(ф)}.

Справедлива следующая общая

Теорема 3. Пусть для заданного Я є (0,1], т, г є К, 1 / г < q < 2 и для всех чисел ¡л є (0, со). И є (0, тс\ функция Ф(і) удовлетворяет условию

Л п п . стг; ■ V , г[ • ^

Ф9(—/г) БШ--- БШ — СІУ<ФЧ(И) БШ —

V оЧ 2І ц у 2 ;

тд/2

Хж

mq/2

віп—ёу. ц

(8)

Тогда для любого V > 0 имеют место следующие равенства

ят<ь\ь1т=Аят<*)\<я =

= Ттл-гу-г

1Л/' ( . ПУІ^тЧ/2

віп------

-Уд

БІП ТГУІСІІ > Ф(Л / у),

о

где - любой из средних у-поперечников: бернштейновский />,,(•), колмогоровский ¿/ (•) или линейный

где 3 - преобразование Фурье в Ь2 (К), а - характеристическая функция интервала (-УЯ, уп) будет экстремальной для среднего у-поперечника <->,,(•), а подпространство является экстремальным для среднего у -поперечника по Колмогорову ¿¡у(')-

Доказательство теоремы 3 в основном повторяет схему рассуждения аналогичной теоремы из работы [8].

Точные значения средних у -поперечников некоторых классов функций вычислены в работах Г.Г.Магарил-Ильяева [6,7], С.Б.Вакарчука [5], М.Ш.Шабозова, С.Б.Вакарчука и Р.Мамадова [8].

Возникает следующий вопрос: существует ли функция, удовлетворяющая условию (8)? На этот вопрос отвечает следующая

Теорема 4. Для того, чтобы неравенство (8) имело место с любыми заданными X е (0,1], ¡л е (0, со), т, г е К, 1 / г < р < 2, необходимо и достаточно, чтобы число а = а(Я; т, определялось по формуле

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. - М.:Наука, 1965.

2. Попов В.Ю. - Изв. вузов. Математика. 1972, №6, с. 65-73.

3. Ибрагимов И.И., Насибов Ф.Г. - ДАН СССР, 1970, т.194, №5, с. 1013-1016.

4. Hardy G.G., Littlewood J.E. and Polya G. - Inequality. Cambridge University Press. 2nd ed. 1952, 346 p.

5. Vakarchuk S.B. - East Journal on Approximation. 2004, v.10, №1-2, pp. 27-39.

6. Магарил-Ильяев Г.Г. - Мат. сборник, 1991, т.182, с. 1635-1656.

7. Магарил-Ильяев Г.Г. - ДАН СССР, 1991, т.318, №1, с. 35-38.

8. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б., Мамадов Р. - ДАН РТ, 2009, т.52, №5.

4(^(Ф))ук) = supRrCfl: / є W( Ф)}.

При этом пара (L2(№), Amf), где A mf, определяется из условия

Поступило 01.03.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

Г.А.Юсупов

ИМАТИ АНИЦИ ЦУТР^ОИ МИЁНА БАЪЗЕ СИНФ^ОИ ФУНКСИЯ^О

ДАР L2(-co;+co)

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола кимати аники кутрх,ои миёна барои баъзе синфх,ои функсияхо х,исоб карда шудааст, ки ба воситаи модули бефосилагии тартиби m -ум муайян карда мешаванд.

Калима^ои калиди: функсияи бутун - модули бефосилагии тартиби m -ум - табдилдиуии Фуре -наздиккунии беутарин - v -цутри миёна.

G.A.Yusupov

EXACT VALUES OF MEAN WIDTHS OF SOME CLASSES OF FUNCTIONS IN

L2(—oo;+oo)

Tajik National University In the article the exact values of mean v -widths for some classes functions which are given by the modulus of continuity in m -order are found.

Key words: entire function - modulus of continuity of m -order - Fourier transform - best approximation -mean v-width.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.