CC BY
27
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2010, том 53, №7_________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов
ПРИБЛИЖЕНИЯ В Ь2 (Е) ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ И ЗНАЧЕНИЯ СРЕДНИХ V -ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
Институт математики АН Республики Таджикистан
В работе найдены точные значения колмогоровских, бернштейновских и линейных средних
V-поперечников для некоторых классов целых функций, определяемых модулями непрерывности т -го порядка в пространстве Ь2 (Е), Е = (-да, +да).
Ключевые слова: пространство измеримых функций Ьр (Е) - целая функция экспоненциального
типа Г - модуль непрерывности т -го порядка - преобразование Фурье - наилучшее приближение -средний V-поперечник.
1. Обозначим через Ьр (Е), 1 < р < да пространство всех измеримых на Е = (—да,+да) функций / (х) с конечной нормой
{I f (х) Ipdx
у/p
< да, 1 < p < да.
(L;)(1 <p<да), ;єZ +; L»1 = Lp(М)) - множество функций f (х) є L (М), у которых (; — 1) -я
производная f(; 1)(х) локально абсолютно непрерывна и f(;)(х) є L (М), 1 < p <да.
p
Символом Wa (0< о < да; 1 <р <да) обозначим сужение на Е множества всех целых функций экспоненциального типа о, принадлежащих пространству L (Е).
Величину
Ао (f) Р :=inf {|| f - 9о\\p : 9o^Wo, p}, 1 ^ P
назовем наилучшим приближением функции f (x) G (Е) целыми функциями ga g Wa . Модуль непрерывности m -го порядка функции f (x) G L (Е) определим равенством
®m ( f, *)p fUP ||Am-/(0||£/к} :l h N *j (0 ^
Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: shabozov@mail.ru
С т''
где а:/(х) = 2 (—1)* І I /(х + кк) - т -я разность функции / в точке х с шагом к
к =0
V к J
В данной работе мы решим одну экстремальную задачу для класса Ц (Е) и применим полученный результат для нахождения точного значения средних V-поперечников некоторых классов функций, усредненные модулями непрерывности, которые мажорируются заданной функцией.
Известно [1], что если / е Ь2ЧЕ) и ¥(х) - ее преобразование Фурье в смысле Ц (Е), то целая функция
(/; х) =
1 Г -г= Г Р (і )е1хійг у!2ж -Г
принадлежит классу ^а2 и наименее отклоняется от /(х) в смысле метрики Ц (Е). При этом
А/ =|/ - РА/)||/ (,) = | ІЕ(і)|2Л
(1)
Из (1) сразу следует, что для любого / е ЦТ)(Е) справедливо неравенство
А (Г % >ГАа(Г) 2.
В [2] доказано, что если / е Ц (Е), то имеет место равенство
с°т(/;і)г = 2т Бир (" | Р(х) |2 (1 -собкx)mdx.
|И|<і „
При решении задач теории аппроксимации в /2 (М), связанных с нахождением точных констант в неравенствах типа Джексона-Стечкина
а/ /г)2, / є /("’(К), і > 0,
удобно ввести в рассмотрение следующую экстремальную характеристику
2тг"Аа (/)2
de/
Ха,",т,а (і) = Бир
№ (/ "); х^х
\1/«'
где т, г е К, Г > 0, 1 / г < q < 2, 0 < ^ < ж / Г. Имеет место следующее утверждение
Теорема 1. Пусть Г > 0, т, г е К, 1 / г < q < 2. Тогда для любого ^ е (0, ж / г] справедливы равенства
т \у q
с '
2
Х*,г,т,9 (І) =и( 8ІП Гх| ^
(2)
т
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если число о > 0 удовлетворяет условию 0<ot < ж/2, то для произвольных m, r G N справедливы равенства
(л m/2
1 • 71 ■
ot - sin ot J
Равенства (2) при q = 2 и соотношение (3) для периодических дифференцируемых функций f G Lr}[0,2ж] ранее доказаны в работах С.Б.Вакарчука [3,4].
2. Пусть Ф(и) - произвольная непрерывная возрастающая при и > 0 функция такая, что Ф(0) = 0. Через W (Ф) = W (r, m;Ф) обозначим класс функций f (x) G lL1)(Е), которые при любых m, r g N, 1 / r < q < 2, 0 < t < ж / o, o> 1 удовлетворяют ограничению
. t V/q
J< (f;), х\ ііх <Ф(<).
V O У
Положим
/ v\m9 IV уЛ™9
I si^— I :=ji si^— I , если 0 < v <,; 1, если w >,!
A, (Wq (Ф))йm = sup {A„ (A : f є Wq (Ф)}.
Под dv(M, L2 (М)), bv(M, L2 (М)), (M, L2 (М)) понимаем соответственно колмогоров-
ский, бернштейновский и линейный средние У -поперечники выпуклого центрально-симметричного компакта M в банаховом пространстве X (см., например, [5-8]). Перечисленные средние У -поперечники связаны следующими неравенствами:
b V(M, X) < d V(M, X) < SV(M, X).
Сформулируем основной результат работы.
Теорема 2. Пусть для заданного ц є (0,1], m,; є N, 11; < q < 2 и для всех чисел Л є (O, да), O < u < , функция Ф(u) удовлетворяет условию
\ Л, / \mq Ц, Ґ \mq
Ц I v 1 v
Фq I I f I sin _ | dv <Фq (u) f | sin — | dv. (4)
Л У „
Тогда для любого У > O справедливы равенства
^(Wq (Ф), L2(М)) = A^q (Ф))^(М) =
5G3
= 2—mn-rv-r[{[sin— j dtl Ф(цIv),
2
где ^(•) - любой из средних у -поперечников: бернштейновский ЬУ(•)> колмогоровский ^(•) или линейный (•).
Лри этом пара (£2 (М), Лга_/), где Лга/ определяется из условия
3(Лу,/,•) = ^ ОЖ/,•)
(3 - преобразование Фурье в Ь2 (М), - характеристическая функция интервала (—уж,уж)),
будет экстремальной для среднего у-поперечника (•), а подпространство является экстремальным для средних у-поперечников ЬУ(•) и (•).
Из теоремы 2 вытекает
Следствие 2. Для любых натуральных т, п, г е К, 1 / г < р < 2, ^(0,1] справедливы равенства
^ (Ф), ът=дл (Ф))^ =
—m
-r / \“ U—1(^ • J -r-a+-
= ж (ад)9и q(2sin^-l v q.
Анализируя условие (4) теоремы 2, легко выяснить значения а, при которых Ф, (и) = иа
удовлетворяет этим условиям.
Теорема 3. Для того, чтобы неравенство (4) имело место с любыми заданными Ue (0,1], m,r е N, 1/ r < p < 2, необходимо и достаточно, чтобы число а = а(и;m,q) определялось по формуле
/ \mq( Мл s \mq I-1
а = а(и;m, q) = иж(sin U^J j q sin VJ dvl . (5)
Из равенства (5) при любых 0 <U< 1, m, r e M, 1/ r < q < 2 определим границы значения числа а. Имеем:
f \mq
U"(Sin lfj _ Ж _,,-mq ( 1
— <а =-----------------------—<---------------------------= ц
цп f „\mq nI2 f 2 N mq
m + —
qj
q J f sin —J dv 2q J f — Ц— J dv
Таким образом, для значений а є 11 9,ц~™9 (m +11 q)] функция Ф„ (u) = ua удовлетворяет условию (4).
Поступило 12.05.2010 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ибрагимов И.И., Насибов Ф.Г. - ДАН СССР, 1970, т.194, 5, с. 1013-1016.
2. Попов В.Ю. - Изв. вузов СССР. Матем., 1972, 6. с. 65-73.
3. Вакарчук С.Б. - Мат. заметки, 2005, т.78, 5, с.792-796.
4. Вакарчук С.Б. - Мат. заметки, 2006, т.80, 1, с. 11-19.
5. Магарил-Ильяев Г.Г. - ДАН СССР, 1991, т.318, 1, с. 35-38.
6. Магарил-Ильяев Г.Г. - Мат. сборник, 1991, т.182, с. 1635-1656.
7. Vakarchuk S.B. - East Journal on Approx., 2004, v.10, 1-2, pp. 27-39.
8. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б., Мамадов Р. - ДАН РТ, 2009, т.52, 4, с. 247-259.
М.Ш.Шабозов
НАЗДИККУНЙ ДАР L2 (M) БА ВОСИТАИ ФУНКСИЯ^ОИ БУТУН ВА ЦИМАТИ v-ЦУТР^ОИ МИЁНА БАРОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^О
Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Дар макола кимати аники v -к,утрх,ои миёнаи колмогоровй, бернштейнй ва хаттй барои баъзе синфи функсиях,ое, ки ба воситаи модули бефосилагии тартиби m -ум дар фазои L2 (M) муайян карда мешаванд, х,исоб карда шудааст.
Калима^ои калиди: фазои функсияуои ченшаванда Lp (M) - функсияи бутуни экспоненсиалии на-
муди а - модули бефосилагии тартиби m -ум - табдилдиуии Фуре - наздиккунии беутарин -v -цутри миёна.
M.Sh.Shabozov
APPROXIMATION IN L2 (M) WITH INTEGER FUNCTIONS AND VALUE MEAN v-WIDTHS FOR SOME CLASSES FUNCTIONS
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic Tajikistan In the article the exact values of kolmogorov’s, bemshtein’s and linear’s mean v -widths for some classes functions which are given by the modulus of continuity in m -order in L2 (M) space are found.
Key words: measurable function of Lp (M) space - integer function of exponential type а - modulus of continuity of m -order - Fourier transform - best approximation - mean v -width.
