Точные неравенства типа Джексона-Стечкина и поперечники функциональных классов в $l_{2}$ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 124-135

Математика :

УДК 517.5

Точные неравенства типа Джексона-Стечкина и поперечники функциональных классов в Ь2

Г. А. Юсупов

Аннотация. В работе найдены точные значения различных п-поперечников для классов дифференцируемых периодических функций в пространстве ¿2 [0, 2п], удовлетворяющих ограничению

где т Є М; г Є Z+; Н Є М+; Пт(/(г), ґ)2 — обобщённый модуль непрерывности т-го порядка производной /(г) Є Ь2[0, 2п]; Ф(и), и ^ 0

— произвольная непрерывная возрастающая функция, Ф(0) = 0.

Ключевые слова: наилучшее приближение, обобщенный модуль непрерывности, экстремальная характеристика, поперечники.

1. Необходимые понятия и обозначения

Пусть N - множество натуральных чисел; Ъ+ := N и {0}; М+ — множество положительных чисел вещественной оси. ¿2 = ¿2(0,2п] — пространство измеримых и суммируемых с квадратом по Лебегу 2п-периодических функций, у которых норма

/ 1 Г2п \ 1/2

УII := \И\\ь2[0,2п] = (^ П У0 1У (Ж)|2^^ < то-

Через Т2П-1 обозначим подпространство тригонометрических полиномов порядка 2п — 1. Известно, что для произвольной функции / £ ¿2, которая имеет формальное разложение в ряд Фурье

/(х) ~ ^ ^ (ак(/)со8 кх + Ък(/) вш кх), (1.1)

к=1

величина её наилучшего приближения элементами подпространства ?2п-1 в пространстве Ь2 равна

ВД) = ші{\\/ — Тп-і\\ : Тга-1 Є Т2п-і} =

( Ж ^ 1/2

= \\/ - .%-1(/ )11 = £ А (/ ) ■ (1-2)

I, к=п )

где Бп-1 (/) — частная сумма порядка п — 1 ряда Фурье (1.1), р\(/) = ак(/) + +Ь2к(/), ак(/),Ък(/) — к-ые косинус- и синус-коэффициенты Фурье функции /. Символом (г Є = Ь2) обозначим множество функций / Є

Є Ь2, у которых производные (г — 1)-го порядка абсолютно непрерывны, а производные г-го порядка /(г) принадлежат пространству Ь2. Модуль непрерывности т-го порядка функции / Є Ь2 обозначим через

Шт(/,і) := \\&т/ОН : Щ < і}, (1.3)

где

m /к

A’mf(z) = E(-l)m-il ')f(x + j

j=0 v j '

m-j I m 1 f (x + jh).

Напомним, что под неравенствами типа Джексона-Стечкина в рассматриваемом нормированном пространстве X понимают соотношения, в которых погрешность приближения индивидуальной функции / £ X оценивается через модуль непрерывности самой приближаемой функции или некоторой её производной

ВД)х < Хп-Г ит 7 ,г> 0,/(г) £ X. (1.4)

^ п / X

При решении задач теории аппроксимации в случае X = Ь2 вопросы вычисления точных констант

nrEn-i(f) _ f ^ г(г) f(r)

(f (r),~ ) 2

V и/ 2

Xmnr (h) = sup { --------------( n~^ Jt) : f Є L^, f(r) = const

Ш. ",r)

в неравенствах типа Джексона-Стечкина (1.4) исследовались в работах Н.И.Черных, Л.В.Тайкова, А.А.Лигуна, В.А.Юдина, В.И.Иванова, А.Г.Бабенко, С.Б.Вакарчука и многих других [1]—[13]. При этом с целью уточнении оценок сверху постоянной X рассматривались различные экстремальные характеристики. Так, например, С.Б.Вакарчук [8] с целью обобщения основных результатов Л.В.Тайкова [2], полученных для модуля непрерывности первого порядка, на произвольные модули непрерывности

m-го порядка ввел в рассмотрение экстремальную аппроксимационную характеристику

nr En-i(f)

t \ m/2 í m(f(r) ,T)2dT

: f Є L(¡], f(r) = const

и, доказал, что для любых чисел m,n £ N, r £ Z+ и 0 < t ^ n/(2n) справедливы равенства

Г П 1 m/2

Xmnr (t) 1 2(nt - sin nt) J ‘

При решении некоторых задач теории аппроксимации в L2 вместо обычного модуля непрерывности m-го порядка (1.3) иногда удобнее использовать следующий обобщенный модуль непрерывности

( . } } 11/2 ftm(f,t)2 = < tm J •] (^)^2 dhi ••• dhm\ , t> 0,

0 0 ,m _ Л 1

где h = (hl,h2, ■ ■ ■, hm), Am = Ajl1 o ■ ■ ■ o Ahm (см. [7], [9] и приведенную

там

литературу)

2. Точная константа в неравенстве типа Джексона-Стечкина

В данной работе вводим в рассмотрение следующую экстремальную аппроксимационную характеристику

Xm,n,r (h) = sup <

2m/2nr En-i (f)

m/2

; f Є L2\ f(r] = const

ljnmm (f(v) 2 dT

где m,n £ N, r £ Z+ и h £ R+. Справедлива следующая Теорема 1. Пусть m,n £ N, r £ Z+ и h £ R+. Тогда

(h) = (‘ - ^ Г

(2.2)

h

где Si(t) = ----dx — интегральный синус.

J x 0

Доказательство. В самом деле, если f е L2 и

ГО

f (x) ~ ~7Г + ^ (ak cos kx + bk sin kx)

2

k=1

— ряд Фурье функции f, то непосредственным вычислением получим

^ / • 7 \ m

(fМ-т)2 = 2m¿к2грк (і - ЩТт) ■ (2-3)

U— 1 \ /

В силу неравенства Гельдера для сумм при любом т £ М, пользуясь соотношениями (1.2) и (2.3), будем иметь

ГО . 7 ГО / .7

sin кт о Л sin кт

En-l(f) - ^2 рк кт =^2 р2к\ 1

кт ' V кт

k=n k=n

sin kr\

<

кт

k=n

í со \ l-l/m í со / * 7 \ m\ 1/m

< (Epk| Eрк і - i «

. . . кт

\k=n / \k=n

j(f)^1-1/m 1 p2/m (f(r);

« (ЕП-1(/))1_1/т 5^577^пт/т (/(г);• (2.4)

Перепишем неравенство (2.4) в виде

Еі-у(/) « (ЕП-,(/))1-1/т ^ «™/т (/(г); -)2 + І: РІ ^

І=п

и интегрируя обе части последнего неравенство по т в пределах от т = 0 до т = Н, получаем

^ н

нЕП-і(/) « £РІ^ + (ЕП-і(/))1-1/тП/т/^ (/(г);т)2іт.

І=п о

Полученное неравенство поделим на Н и учитывая, что функция Бг(х)/х является невозрастающей на интервале 0 < х < о (см., например, [10]) и используя соотношения (1.2), для произвольной / є Ь(г) запишем

н

еП-1(/) < Щпт ЕП-1(/) + (ЕП-1(/))1-1/т П/т/ ат/т /(г); т)гіт•

t

Отсюда имеем

h \ т/2

E'-f Ч2(ПП-1(ПП))Г nr ( U^"' Ит)2*

En-i(f) ,{2(1 - р nlr (Ц«"" (/И;Г)2т

или, что то же

h \ "/2

' ' (2.5)

2

0

Последнее неравенство запишем в виде

2r/VEn-l(f) ^ Л Si(nh) ^-r/2 (26)

------h-------------------ТТ75 ^ I.1 - ~ПГ ) ' (2j3)

1 ‘

Л / (fм; 0 2*

и поскольку (2.6) выполняется для любого / £ ь2\ то учитывая определение величины (2.1) получим оценку сверху

(*) < (1 - \-"/^. (2.7)

Для получения оценки снизу величины (2.1) рассмотрим в ь2[, функцию f0(x) ^ cos nx, для которой

En-\(/o) - 1, «Гт (fo(r); г )2 - 2 (i - sinf) n2r/m, h

Цп"" (/0r); t ) 2 * - n-7r{ ^

Следовательно,

v (n) . 2m/2nrE"-l(fo) Л «МЛ -m/2 (2 8)

•W(Л) > 7—h ^r/2 - - ~nr) ■ (2 ■ 8>

н/«"7" (f0',; T) 2 ^

0

Сопоставляя оценку сверху (2.7) и оценку снизу (2.8), получим требуемое равенство (2.2), чем и завершаем доказательство теоремы 1.

3. Основные теоремы

Для изложения остальных результатов напомним необходимые понятия и определения, используемые в дальнейшем.

Пусть S — {x, ||x|| ^ 1} — единичный шар в L2; M — выпуклое центрально-симметричное подмножество из L2; Лп С L2 — n-мерное подпространство; Лп С L2 — подпространство коразмерности n; L : L2 ^ Ln

— непрерывный линейный оператор, переводящий элементы пространства L2 в Ln; L^ : L2 ^ Лп — непрерывный оператор линейного проектирования пространства L2 на подпространства Лп.

Величины

bn(M, L2) — sup {sup {е > 0; eS П Лп+i С M} : Лп+i С L2} ,

dn(M, L2) — inf {sup {inf {If - gl : g e Лп} : f e M} : Лп С L2} ,

бп(Щ L2) — inf {inf {sup {|f - If | : f e M} : LL2 С Лп} : Лп С L2} ,

dn(M, L2) — inf {sup {If || : f e M П Лп} : Лп С L2} ,

Пп(М, L2) — inf {inf {sup {If - l±f | : f e M} : ^2 С Лп} : Лп С L2}

называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным, гельфандовским и проекционным n-поперечниками. Поскольку L2 является гильбертовым пространством, то между вышеперечисленными n-поперечниками выполняются соотношения [14],[15]:

bn(M, L2) < dn(M, L2) < dn(M, L2) — ¿n(M, L2) — nn(M, L2)■ (3.1)

Пусть Ф(и) — произвольная непрерывная возрастающая при и ^ 0 функция такая, что Ф(0) — 0. Через W(r,(Qm, Ф) обозначим класс функций (г,

f e L2 , которая для любых m e N, r e Z+ и h £ R+ удовлетворяет ограничению

h \ m/2

1

h І a"" (>>; r) 2 dr j « ф(л).

Также для любого m £ N, r £ Z+ и h > 0 полагаем

W(r)(Om,h) d=f jf £ 4° : h J Qmm(f(r,t)2 dt < 1 j ,

E„_i(M) =f sup{ En-f : f £ m}, M £ L2,

sin A def Г sin t ^ ^ ^ sin t* , ^ , 1

1-----— J = |l---------—, если 0 ^ t ^ t*; 1--------1—, если, t ^ t^ ,

где t* — величина аргумента функции sin t/t, при котором эта функция достигает на R+ своего наименьшего значения, то есть, t* — минимальный

положительный корень уравнения £ = tg 4, 49 < £* < 4, 51. Имеют место следующие утверждения.

Теорема 2. Пусть иН ^ Ь*. Тогда справедливы равенства

Ъи (V(г)(^т,Н); 12) = 72П-1 (г)(^т,Н); ¿2) =

К—1 (V(г)(Пт,Ь)) = и-г |2 (1 - )} т/2 , (3-2)

где 7„(-) — любой из перечисленных выше и-поперечников.

Доказательство. Из неравенство (2.5) для произвольной функции у £ V(г)(От,Н) получаем

^) < - {2 (1 - ^Г "

Из полученного неравенство и соотношения (3.1) получим оценку сверху 72„ (V(г)(От,Н)) < 72„-1 (V(г)(От,Н)) <

—т/2

± \ \

иН

К E— (w (r)(Üm,h)) К n~r{ 2^1 - 42 , (3.3)

Для получения оценки снизу выше перечисленных n-поперечников введём в рассмотрение шар

B2n+1 d= ITn е Tn+i : \\Tn\\ К n-r {2 (1 - ^ '

и покажем, что B2n+i С W(r) (Qm, h). Для произвольного тригонометрического полинома Tn е Tn+i, учитывая, что для произвольного t и любого

/sin kt\ m

натурального 1 К k К n выполняется неравенство I 1---------------— I К

kt

.sin nt\ . .

К (1-----— J из равенство (2.3) получаем

(T,ír),t)2 = 2m¿k2VÍ(Tn^1 - " К

2 kt

2

k=1

К 2mn2r O1 - )m l|Tn\2. (3.4)

Теперь с учетом ограничения иН ^ Ь* для любого Ти £ В2и+1 из неравенства (3.4) получаем

н н

Ц ^(Т^ЫЬ < 2и2г/т\\Т„\\2/тЦ (1 - =

0 0

= 2n2r/m^ 1 - \\Tn\\2/m < 1-

Следовательно, шар B2n+1 С W(r)(Qm,h) и учитывая определения бернштейновского n-поперечника и соотношения (3.1) запишем

Y2n (w(r)(Qm,h); L2) > b2n (w(r)(Qm,h); >

Si(nh) )} -m/2

> b2n (B2n+1,L2) > n-r 12^1 -^^)j - (3-5)

Требуемое равенство (3.2) вытекает из неравенств (3.3) и (3.5). Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Пусть для любых t G R+ и n G N мажоранта Ф(£) удовлетворяет ограничению nh

n I' il — —) dt т \2/m> 0 v j >-

Ф(п/п) J > nh(n — Si(n)) - -

Тогда имеют место равенства

Y2n (w(r)(Qm, ф); L^ = Y2n-1 (w(r)(Om, Ф); L2) =

= En-1 (W(r)(ft,,,ф() = ^ {2 (1 — ^)}"m/2ф (n). (3-7)

где Yn( ) — любой из ранее рассмотренных n-поперечников. При этом множество мажорант, удовлетворяющих ограничению (3-6), не пусто.

Доказательство. В неравенстве (2.5) полагая h = n/n и используя определение класса W(r)(Qm, Ф) будем иметь:

/2 / nn/n \m/2

En-i(f) 2(1 — 1 — n f n2Jm(fr,t)dt <

П

/ 7г/га

1 n i

n П J

V 0

-m/2

- Ф

/

nr I V П /I \nJ

откуда в связи с соотношениями (3.1) получим

72„ (^(г)(Пт, ф); < Ъи—1 (V(г)(Пт, ф); <

« Е— (ш(г)(Пт,ф)) « ^ {2 (1 - ^)} т/2ф (и) • (3*8)

Для получения оценки снизу выше перечисленных и-поперечников введём в рассмотрение шар

Вп+1 "=' {Т„ £ Т2„+1 : \Т„\ « ± {2 (1 - ^)} т/2 ф (и ^

и докажем, что шар В2„+1 принадлежит классу V(г)(Пт, ф). Используя неравенство (2.7) и ограничение (3.6), для любого Ти £ В2„+1 запишем

нуп2тт(ТПг),ь)м<2и2г/т\\Т„\\2/ти^1 -^Пт) М= 0 0 *

пН

= 2и2г/т\\Т„\\2/тТн I (1 - & <

пН

■I(■ - =?)** ,,

^ 0 П

ф2/т / ^ < Ф2/т(Н). иН(п - Бг(п)) \и)

Следовательно, шар В2п+1 С V(г)(Пт, ф). В силу неравенство (3.1) и определению бернштейновского и-поперечника имеем

72п (V(г)(^т, ф); > Ь2п (V(г) (Пт, ф); ¿2) ^

> Ь2„ (В2п+1, Ь2> > Т {2 (1 " ИТ )}—т/2 ф ( и ) • <3Л>

Сопоставляя неравенства (3.8) и (3.9) получаем равенства (3.7). Неравенство (3.6) с показателем 1/к подробно исследовано в [10]. Из рассуждений, приведенных в [10] вытекает, что применительно к нашему случаю неравенство (3.6) выполняется для функции ф*(Ь) = Ьат/2, где

2—г(п)

а = ----- , 2,84 < а < 2,88. Теорема 3 полностью доказана.

п - Ы(п)

Следствие 1. Справедливы равенства

72п (V(г)(Пт, ф*); ¿2) = 72п—1 (V(г)(Пт, ф*); ¿2) = Е„— 1 (V(г)(Пт, ф*)) =

2 / 1 Si(n') \ 1 nmSi(n)/(n-Si(n))n—r-mSiin)/(n-Si(n))

П

В 1910 году Лебегом [16] было введено понятие модуля непрерывности и

для функций f е С, С *= С[0, 2п]. Там же для указанной характеристики гладкости были получены оценки коэффициентов Фурье. В дальнейшем вопросы вычисления точных верхних граней модулей коэффициентов Фурье на различных классах функций рассматривались многими математиками. Для выше приведённого класса функций данный вопрос представляет определённый интерес.

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для любого п £ N имеют место равенства

е т'-«т*» = 412Л - Ш)Г12ф(п^

sup{\an(f )|, |й^,(/)| : f е Ww(í!m, Ф)}

nr I V п / УпУ

Доказательство. Не умаляя общности проведём рассуждения для коэффициентов an(f). Используя ортогональность функции cos nx и частичной суммы Sn-l(f,x) разложения в ряд Фурье (1.1) функции f, запишем

2п

an(f) = ~ J [f (x) - Sn-i(f,x)]cosnxdx о

и, используя неравенство Коши-Буняковского и соотношение (3.3), получаем sup{\an(f )| : f e W(r)(Ora, Ф)} <

< sup{||f - Sn-i(f)|| : f e W(r)(Ora, Ф)} =

= En-i (W<">(fim,ф)) = ¿ {2 (l - ^)}"m/2 Ф (П) . (3-10>

Для получения оценки снизу рассмотрим функцию

fl(x) = n {2 (1 - ^)} /ф (n)cos nx

Из доказательства второй части теоремы 3 следует, что fl e ®2n+i, а потому fl e W(r>(Qm, Ф) и справедливо неравенство

sup {\an(f )\ : f e W(r)(Om, Ф) j ^ \an(fi)\ =

= ¿ {2 (l - (n) . (3-D

Из (3.10) и (3.11) следует утверждение следствия 2.

Список литературы

1. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в Ь2 // Матем. заметки. 1967. Т.2, №5. С.513-522.

2. Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из L2 // Матем. заметки. 1976. Т.20, №3. С.433-438.

3. Тайков Л.В. Структурные и конструктивные характеристики функций из L2 // Матем. заметки. 1979. Т.25, №2. С.217-223.

4. Лигун А.А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве L2 // Матем. заметки. 1978. Т.24, №6. С.785-792.

5. Шалаев В.В. О поперечниках в L2 классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков // Укр. матем. журнал. 1991. Т.43, №1. С.125-129.

6. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: ТулГУ, 1995. 192 с.

7. Вакарчук С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов из L2 // Матем. заметки. 2005.

Т.78, №5. С.792-796.

8. Вакарчук С.Б. Неравенство типа Джексона и поперечники классов функций в L2 // Матем. заметки. 2006. Т.80, №1. С.11-18.

9. Vakarchuk S.B. and Zabutna V.I. Widths of function classes from L2 and exact constants in Jackson type inequalities // East Journal on Approximations. 2008. V.14, №4. P.411-421.

10. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Точное неравенство типа Джексона-Стечкина в L2 и поперечники функциональных классов // Матем. заметки. 2009. Т.86, №3. С.328-336.

11. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве L2 [0, 2п] // Матем. заметки. 2010. Т.87, №4. С.616-623.

12. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2п-периодических функций и точные значения их поперечников // Матем. заметки. 2011. Т.90, №5. С.764-775.

13. Шабозов М.Ш, Вакарчук С.Б. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами и точных значениях поперечников функциональных классов в L2 // Analysis Mathematica. 2012. V.38, №2. P.154-165.

14. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: МГУ, 1976. 325 с.

15. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. Berlin: Springer-Verlag, Heidelberg,

New York, Tokyo, 1985. 292 p.

16. Lebesgue H. Sur la representation trigonometrique approchée des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz // Bull. S. V. F. 1910. V.38. P.184-210.

Юсупов Гулзорхон Амиршоевич ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического анализа и теории функций, Таджикский национальный университет, Душанбе.

The exact inequalities of Jackson-Stechkin’s type and widths of

functional classes in L2

G. A. Yusupov

Abstract. The exact value of diverse n-widths of differential classes periodical functions in L2[0, 2n] space, satisfying the limitation

/1 h \m/2

(h j nm/m(/ir>-tk<itj < км,

where are found m G N; r G Z+; h G R+; Qm(f (r),t)2 is a generalized of modulus of continuity of mth order of derivative f(r) G L2[0,2п]; Ф(и), u ^ 0 is an arbitrary continuous increasing function with Ф(0) = 0.

Keywords: the best approximation, generalized modulus of continuity, extremal characteristic, widths.

Yusupov Gulzorkhon ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical analysis and theory of functions, Tajik National University, Dushanbe.

Поступила 10.07.2012