Неравенства типа Джексона-Стечкина и значения поперечников некоторых классов функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2012, том 55, №5________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Н.М.Мамадаёзов

НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА-СТЕЧКИНА И ЗНАЧЕНИЯ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 01.02.2012 г.)

В работе найдены некоторые точные неравенства типа Джексона-Стечкина, содержаю-щие наилучшие приближения и усреднённые значения модулей непрерывности периодических дифференцируемых функций ) в пространстве L2. Даны приложения полученных результатов в задаче вычисления точных значений различных п-поперечников классов функций, задаваемых усреднёнными модулями непрерывности г-ых производных функций.

Ключевые слова: неравенство Джексона-Стечкина - наилучшие приближения - модуль непрерывности - п-поперечники.

1. Обозначим через N - множество натуральных чисел; Ъ+ = N ^ {0} ; К+ - множество положительных чисел; •= -^2 [0? 2ж] - пространство суммируемых с квадратом по Лебегу 2ж -периодических действительных функций с конечной нормой

Г 1 2^ V72

1 2П

-\\f С x)\2 dx

ТГ J

о

Множество всех тригонометрических полиномов

а n-1 а0

тп-х (х)=-г+X (аксо55 кх+&8ш кх)

2 к=1

порядка п -1 обозначим через Тп-1. Если 8п (/? х) - частичная сумма порядка п ряда Фурье функции /(х),

ад

f Сx)-0 + ^ Сак cos kx + bk sin kx),

2 k=1

a n

S С f, x) = — + ^ Са cos kx + b sin kx),

2 k=1

Адрес для корреспонденции: Мамадаёзов Назаралибек Мирзомамадович. 736000, Республика Таджикистан, г.Хорог, ул.Ленина, 12, Хорогский государственный университет. E-mail: [email protected]

то хорошо известно свойство частичной суммы ряда Фурье функции, которое состоит в том, что наилучшее приближение f (х) в метрике пространства L2 тригонометрическими полиномами

Тп1 (х) е 72п-1 реализуется частичной суммой ряда Фурье Sn-1 (f, х), то есть

E, (f) := En (f, Т1п_]) L2 = inf J| f - ГпЧ||: T_t( х) е 72^) =

г >1/2 г ^1/2

ад I ад I

HIf-Sn-,(f)||ЧЁ(«2+»2п :=Еа2[ , (D

где, ради простоты, положено, р2 = а2 + Ъ2, к > п, а •= а(/), Ъ •= Ъ(/) - косинус и синус-коэффициенты Фурье.

Через ^)(г е Ж+; £20) = £2) обозначим множество функций /(х) е Ь2, у которых производные (г — 1) -го порядка абсолютно непрерывны, а производные г -го порядка /(г) (х) е £2 •

Модуль непрерывности произвольной 2л -периодической измеримой и суммируемой с квадратом функции /(х) е Ь2 определяем посредством равенства

о(/? г) •= Бир{Л(/? И) • И < г} = Бир{/(- + И)—/0|| :| к |< г}.

Л.В.Тайков [1] доказал, что для произвольной функции /(х) е 1}2), у которой /(г)(х) не эквивалентно константе, при условии 0 < пИ < л / 2, справедливы равенства

Е2— 1(/) _ 1 п 1

suP *--------------------= “ —--------:------"“27 • (2)

f fС r:

) г т, . 2 nt - sin nt n2r

*St j^ f С’) , t)dt

О

В данной работе решена одна экстремальная задача, содержащая наилучшее приближение и усреднённые модули непрерывности функции /(х) е Ь2, являющиеся обобщением равенства (2), а также найдены точные значения различных п -поперечников классов периодических дифференцируемых

функций, определяемых модулями непрерывности производной г -го порядка / (х) є £2 .

Теорема 1. Для любого г є Z+, п є N и И є (0,^/ п] справедливы равенства

■ир Е-(/) л = 1-----------Ц-, (3)

^ ^ тлі/і— тл г

fС ? ^con st j I 1 j ю2С f(r), u) du

o Vt 0 у

2 nh - 8іС”И) n dt

t

где S^t) = ju-1 sin udu - интегральный синус.

г

= ]и

о

2. Пусть я = {£ :||^ < 1} - единичный шар в пространстве £2; М - выпуклое центрально-

симметричное подмножество из 4; Лп ^ Х2 — п -мерное подпространство; Л ^ £2 - подпростран-

ство коразмерности п; С : L2 ^ Лп - непрерывный линейный оператор, переводящий элементы пространства L2 в Лп; С : L2 ^ Ли - непрерывный оператор линейного проектирования L2 на подпространство Л. Величины

К (M, L2) = sup jsup {s > 0; sS n Лп+1 с M): Лп+1 с L2), ап(M, L) = inf {sup{||f ||: f е M пЛп} :Лп с Ll},

<(M*, L2) =inf {suP {inf {If - HI: H е Лп): f е ^): Лп с L2 },

A (M, L2 ) = inf {inf {suP {||f - Cf || : f е M) : CL2 с Лп } : Лп с }2 } ,

Пп (M, L2) = inf {inf {sup {||f - {f I: f е):{L2 с Лп }: Лп с L2 {

называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским, линейным, проекционным п -поперечниками. Указанные п -поперечники монотонно убывают при возрастании п и между ними выполняются соотношения [2-4]:

К (M, 4) < йп (M, L) < dn (M, L2)=Ап (M, L) = Пп (M, l2).

Для множества M с L2, также полагаем

E„_,(M) =sup{E„_,(f): f е M}.

Введём обозначение

df

(1 - cos п X ={1 - cos Ш, если 0 < t <ж/ п\ 2, если t >ж/ п}.

Для r е Z+ и любого h е М+ положим

h f it Л

^Сг, h) = ff С {) є {): j I 1 j f f), ufu f

{ 0 V10 {

dt < 1}

Следующая теорема обобщает результат Л.В.Тайкова [1] на введённый класс функций

^(г, И).

Теорема 2. Пусть п є М, г є ^ и И є К+ и выполнено условие 0 < пИ < ж. Тогда справедливы равенства

бгп п(Г И)> 4 ) = Ап (п,И)> П) =

= Е” (^ Сг, h) ) = «- г <

л 1/1

n I

2 СпГ - Si^h)) ^

где 8к (•) - любой из к -поперечников Ък (•), ёк (•), ^ (')?А 0?^ (')

Следствие 1. Если выполнены условия теоремы 2, то имеют место следующие равенства: §ир{| ап (/) !•/(х) е ^(г?И)} = зир{| Ъп (/) |: У(х) е ^(г?И)} =

Г Y/2

n

2СпГ - Si^h))

Vn є N.

у

Поступило 03.02.2012 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тайков Л.В. - Матем.заметки, 1976, т.20, 3, с.433-438.

2. Вакарчук С.Б. - Матем.заметки, 2006, т.80, 1, с.11-18.

3. Шабозов - Матем.заметки, 2010, т.87, 4, с.616-623.

4. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - ДАН России, 2010, т.435, 2, с.178-181.

Н.М.Мамадаёзов

НОБАРОБАРИ^ОИ НАМУДИ ^ЕКСОН-СТЕЧКИН ВА ЦИМАТИ АНИЦИ БАЪЗЕ СИНФИ ЦУТР^О

Донишго^и давлатии Хоруг ба номи М.Назаршоев

Дар макола баъзе нобаробарихои намуди Ч,ексон-Стечкин ёфта шудаанд, ки ба воситаи наздиккунии бехтарин ва киматхои модули суфтагии функсияхои даврии дифференсиронида-шавандаи /(х) дар фазои Ь2, алокаманданд. Аз руи натичахои ба даст оварда шуда, кимати п -кутрхои гуногун барои синфи функсияхое, ки ба воситаи модули суфтагии функсияхои хосилаи тартиби г -ум дода шудаанд, хисоб карда шудаанд.

Калима^ои калиди: нобаробарии Цексон-Стечкин - наздиккунии бехтарин - модули бефосилаги -п -цутр^о.

N.M.Mam adayozov

THE JECKSON-STECHKIN TYPE OF INEQUALITY AND THE VALUES OF SOME WIDTHS FOR CLASSES OF FUNCTIONS

M.Nazarshoev Khorog State University In article were found an exact inequalities of Jackson-Stechkin type which has the best approximation and modulus of continuity of periodical differentiated function fx) in L2 space. For received results there are given an application for calculation the values of «-widths for classes of functions which given by modulus of continuity of r-th order derivatives of functions.

Key words: inequalities of Jackson-Stechkin type - the best approximation - modulus of continuity -n-widths.