Структурные и конструктивные характеристики в $l_2$ и значения поперечников некоторых функциональных классов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 127-144 = Математика

УДК 517.5

Структурные и конструктивные характеристики в L2 и значения поперечников некоторых функциональных классов

Г. А. Юсупов

Аннотация. Найдены некоторые точные неравенства между наилучшими приближениями периодических дифференцируемых в смысле Вейля функций тригонометрическими многочленами и усредненными с весом модулями непрерывности произвольного дробного порядка в метрике пространства L2 и даны их приложения. Для некоторых классов функций, определяемых указанными модулями непрерывности, вычислены точные значения различных n-поперечников в L2. В частности, решена задача о минимизации константы в неравенствах типа Джексона-Стечкина по всем подпространством размерности N, то есть относительно всего множества приближающих подпространств заданной размерности N. Доказано, что указанная величина равна точному значению различных поперечников класса L^ (ß,p, h, ф), где ф — неотрицательная суммируемая весовая функция на (0, h] (0 < h ^ n/n).

Ключевые слова: минимизация точных констант, неравенства типа Джексона-Стечкина, наилучшие полиномиальные приближения, модуль непрерывности дробного порядка, производная в смысле Вей-ля, n-поперечники.

1. Введение

Приведем некоторые обозначения и определения, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Рассматриваем 2п-периодические на прямой функции / (х). Пусть X := X[0, 2п] — одно из пространств С := С[0, 2п] с нормой

У Ус = шах{ I/(х)| : 0 < х < 2п} < ж, или Ьр := Ьр[0, 2п], 1 ^ р < ж с нормой

/ 2п \ 1/Р

/ У := / ||р = I и\/ (х)\Чх\ < ж, 1 < р< ж.

Хорошо известно, что если / € С (или / € Ьр), то наиболее удобной структурной характеристики этой функции является ее модуль непрерывности. Роль этой характеристики особенно проявляется в прямых и обратных теоремах теории аппроксимации алгебраическими и тригонометрическими многочленами. В последнее время часто используются различные модификации классического модуля непрерывности т-го (т € М) порядка

шт(/;¿):=8пр{ ЦАт/1| : Щ <

т-к1 т\/(х , кщ)

где

т (

△т/(х) :^(-1)т-М к к=0 ^ /

— конечная разность т-го порядка функции / в точке х с шагом Щ.

Результаты, полученные в этой статье, связаны с понятием модуля непрерывности дробного порядка. Это понятие было введено почти одновременно в 1977 году в работах P.L.Butzer, Н.БускЬоА^, Е.СоегИсЬ, R.L.Stens [1] и К.ТаЬегеку [2]. Следуя обозначениям [1, 2], определим разность дробного порядка в (в € М+) функции /(х) в точке х (х € М) с шагом Щ (Щ € М) равенством

К/(х) = ^(-1)^в)/(х + (в - г)Н), (1)

»М в).

и=0 4 7

где

'0\ в(в - 1)... (в - V + 1)

(в)

V/ V!

для V > 1,

в\ (в\

= в для V = 1 и =1 для V = 0.

г/) \у)

Приведем следующие свойства разности (1), доказанные в [1-3]:

1) |К/(ОН Ьр ^ С(в)У/11 Ьр, где С(в) - константа, зависящая только от

в > 0, причем

С(в) = £ Кв)

к=0 4 7

£ 2^},

где {в} = Ш!{к : к > в}, к € М; 2) А^А*/) = А]+в/; 3) ||А^в/Ц^ < < 2ЩА/; 4) 11ш ||Ав/||ьр = 0.

ЦЬр> | ^ ПЬр

Модуль непрерывности произвольного порядка в € К+ функции / € Ь: 1 ^ р ^ то определим равенством [1-3]

ив(/; 1)р = 8пр{ |Д/(

^ г =

Ч ¡и

/(■ + (в — и)Щ)

\Щ\ < г

(2)

Основные свойства модуля непрерывности (2) изучены в работах [1-3]. В частности, модуль непрерывности (2) функции / € Ьр, 1 ^ р ^ то, обладает следующими свойствами:

1) й ив(/; г)Р =0;

2) ив(/; г)Р < 2{в-г}и(/; г)р, о <5 < в;

3) ив(/ + ф; г)р < ив(/; г)р + ив(ф; г)р.

Ряд экстремальных задач теории приближения функции / € Ьр, 1 ^ р ^ ^ то, связанные с модулем непрерывности дробного порядка (2) решены С. Тихоновым [3].

В данной статье приводим обобщение и развитие некоторых результатов работ [4, 5] на случай модуля непрерывности произвольного порядка в > 0 для классов дифференцируемых в смысле Вейля функций в пространстве ¿2 и вычислим точные значения различных п-поперечников указанных классов принадлежащих пространству Ь2.

р

р

2. Основные результаты

Всюду далее через ¿2 := ¿2[0, 2^] обозначим пространство измеримых и суммируемых с квадратом по Лебегу 2^-периодических функций / с конечной нормой

1/2

2п

:= I/Ы = ( Ц\/(х)\

'йх

и рядом Фурье

ао 2

+ У^ (ак сов кх + Ьк вт кх).

к=1

Через (а ^ 0, = Ь2) обозначим множество функций /, у которых существует производная в смысле Вейля /(а) € ¿2 (/(0) = /). Совокупность всех тригонометрических полиномов порядка п — 1 обозначим 1ш2П-1. Если Бп-1(/(а);х) (а ^ 0) - частичная сумма порядка п — 1 ряда Фурье функции

/(а), то, как хорошо известно, наилучшее приближение функции /(а) € ¿2 тригонометрическими полиномами Тп-\ степени не выше п — 1 имеет вид

Е-/(а)) = Е /(а);1ш2п-^ = \\/(а) — Тп-г\\ : Тп-1 € ^-1} =

( \ 1/2 = \\/(а) — Бп-1 (/(а))\\ = РТ к2ар2к , (3)

\ к=п /

где рк := ак + Ьк, к ^ п. Следуя работам [4, 5], введем в рассмотрении следующую аппроксимационную характеристику

Хп,в,а,р{ф; h) = sup -TJ- , (4)

f€La f h 4 l'P

(f(a); t) ф№

где n € N, в > 0, a ^ 0, 0 < p ^ 2, ^>(t) ^ 0 - произвольная суммируемая, не эквивалентная нулю на полусегменте (0, h], h € (0, п) весовая функция,

причем в (4), ради удобства, условно полагаем

0/0 = 0.

Отметим, что величины вида (4) в разное время при различных значениях входящих в нем параметрах и конкретных весовых функциях исследовали Н.И.Черных, Л.В.Тайков, А.А.Лигун, В.А.Юдин, В.И.Иванов и О.И.Смирнов, А.Г.Бабенко, Н.Айнуллоев, В.В.Шалаев, С.Н.Васильев, С.Б.Вакарчук, М.Ш.Шабозов, М.Ш.Шабозов и Г.А.Юсупов и многие другие (см., например, [4-19] и обзор литературы, приведенный в них). Сформулируем основной результат этого пункта.

Теорема 2.1. Пусть в > 0, a ^ 0, 0 < p ^ 2, 0 < h ^ n/n, n € N, ^(t) - неотрицательная измеримая суммируемая на отрезке [0, h] функция, не эквивалентная нулю. Тогда справедливо неравенство

[Лав (<p,h)}-l < Xne,*,M h) ^ n mf A- (^h)} 1, (5)

где

I h У'"

Ак'в(Ф, h) = 2e/2 I kap (1 - cos kt)e-/2V(t)dt I , k ^ n.

Доказательство. Непосредственным вычислением легко доказать, что для произвольной функции f € L^ имеет место соотношение

Up(f(a); t) =2e sup j k2aPk (1 - cos ku)e : \u\ < ^ ^

oo

^ 2eJ2 k2aPk (1 - cos ktf . (6)

k=n

Воспользуемся далее одним вариантом неравенства Минковского, приведенным в монографии А.Рткш [20, с.109]:

2/р \ 1/2

/(ei^)i2)

. n \k=n /

p/2

1/p

lfk(t)l2 dtl >

e и i ik (t) i pdt

,k=n \n i

0 <p < 2. (7)

/

В неравенстве (7), полагая fk := fkф1/р, получаем

/(El fk (t) i 2)

n k=n

p/2

1/P /

| fk(t) |2 ] p(t)dt I ^

Ё I / l fk (t) lP <fi(t)dt |

\ 2/p\

1/2

k=n

/

0 <p < 2.

(8

Возведя обе части неравенства (6) в степень р/2, умножая их на функцию ф, интегрируя по переменной г в пределах от г = 0 до г = Н и применяя соотношение (8), с учетом формулы (3) имеем

( н \1/р

¡иРт ( /(а); г) ф(гН ^

J 2^ fc2«pk( 1 " cos fct)'

P/2

1/p

y>(t)dt\ ^

2/p ^ 1/2

> Pk 2l3/2 ^ J (1 - cos kt)M2 p(t)dtj

( ™ 2\ 1/2 = Epi{^,h)} >En-i(Dj-ijal(*>h)>

k=n

(9)

откуда и следует оценка сверху в неравенстве (5). Оценку снизу, справедливую при всех 0 < h ^ п/n, получаем для функции fn(x) = cosnx € L^. Поскольку

En-i(fn) = 1, up(f0a); t) = 2e/2(1 - cosnt)e/2na, то, согласно определению величины (4), имеем

En-1 (f0)

Xn,P,a,P(l^; h) >

h \ 1/P i (f0a); mt)dt

h

h

(а \

nap J (1 — cos n

1/p

= { Aa ß (ф,н)}-1. (io

Требуемое двойное неравенство (5) вытекает из сопоставления оценки сверху (9) и снизу (10), чем и завершаем доказательство теоремы 2.1.

Возвращаясь снова к выражению Аk в (ф, h), введенному в формулировке теоремы 2.1, выясним, какими дифференциальными свойствами должна обладать весовая функция ф, чтобы выполнялось равенство

inf Aakв(ф,Ь) = Аа в(ф, h). (11)

Справедливо следующее утверждение

Теорема 2.2. Пусть в > 0, а ^ 0, ф(Ь) ^ 0 - заданная на отрезке [0, h] непрерывно дифференцируемая функция. Если при некоторых а € R+, 0 < < р i 2 и любых t € [0, h] выполнено дифференциальное неравенство

Ь(ф(1), ф'(t)) = (ар - 1)ф(t) - tф'(t) > 0, (12)

то при всех n € N и 0 < h < п/n справедливы равенства

/ h \ -1/р

2вnkEn_i(/) I Г/ nt)вр

sup —II/™- 1

fGr(a) I h \l/ß

JЬЬ2 f \ \0

up(f(a); t) ^(t)dtj

0

Доказательство. Так как

I (sin rf)\(t)dtj . (13)

I h Vß

Aki(ф, h) = 2ß/2 I kaß (1 — cos kt)ßß/2v(t)dt I ,

то достаточно доказать, что при сделанных предположениях относительно функции ф^) и указанных параметрах функция

h

Ф(у) = yaß j(1 — cos yt)ßß/Mt)dt (14)

0

в области Qn = {x : x ^ n} является строго возрастающей, а потому

h

min {ф(к) : k ^ n} = ф(п) = naßJ(1 — cos nt)ßß/2ф(t)dt. (15)

0

1

В самом деле, воспользовавшись легко проверяемым тождеством

d - «• У»'"2 = ГШ - cos У^р/2

и выполнив интегрирование по частям в правой части формулы (14), с учетом условия (12) получаем

h h

ф'(у) = apyap-1 J(1 - cos ytfp/2^(t)dt + yap-1 J d (1 - cos ytfp/2t^(t)dt =

n

h

= apyap-1 J(1 - cos ytfp/2^(t)dt+

n

h

+yap-1 |hp(h)(1 - cosyhfp/2 - J(1 - cosyt)ep/2d(t^(t))=

= yap-1\ (1 - cos yh)ep/2h^(h) + /(1 - cos yt)fip/2L(v(t), v'(t))dt \ ^ 0,

n

откуда и вытекают равенства (15) и (11).

Тем самым, из неравенства (9) с учетом выполнения неравенства (12) и равенства (15) получаем

h \ 1/р

Pi f{a)

J up(f(а); t)<p(t)dtj >

h \ 2/p >| 1/2 Pk 2в/2 I k"P J (1 - cos ktfp/2 v(t)dt\ | ^

h \ 1/p ^ } 1/2

^ 2e/2na I j(1 - cos nt)fip/2v(t)dtj IЁ P2k I

/ h \l/p = 2ena II (sin ntyp <P(t)dt I En-1(f).

Из (16) для произвольной f Е LrJ? выполняется неравенство

(а)

выполняется неравенст h \ -1/Р

2в naEn-i(f) I Г/ nt)вр

h \Vp \J\ 2

в (f(а); t)^(t)dt) J чО /

< (/ (sin rf)\(t)dt\ . (17)

Оценку снизу величины (4), справедливую при всех 0 <Н ^ п/п, полу-

г («)

пх Е Ь2 , для которой

чаем для функции fj(x) — sin nx Е L^ ), для которой

En-i(fj) = 1, ив (f(a); t)—2е na (sin у) , 0 <nt < (18

Учитывая равенства (18) и определение величины (4), имеем:

2е naEn-i(f) 2е naEn-i(fj) suP —-—l/P ^

i/p / h \ i/P

,(a) / h \ / h

ив (f(a); t) <p(t)dtj I J ив (fa); t) <p(t)dtj

/ h \ -i/p > , h "i ;p —i/p—f/ (s-nr ^j (19)

2ena fj (sin nt) P v(t)dt

Требуемое равенство (13) получаем из сопоставления неравенств (17) и (19), чем и завершаем доказательство теоремы 2.2.

Прежде чем сформулировать остальные результаты, напомним необходимые определения и понятия. Пусть B — {g : ||g|| ^ 1} — единичный шар в L2; M — выпуклое центрально-симметричное подмножество из L2; Лп С L2 — n-мерное подпространство; Лп С L2 — подпространство коразмерности n; L : L2 ^ Ln — непрерывный линейный оператор; L^ : L2 ^ Ln — непрерывный оператор линейного проектирования. Величины

bn(M, L2) — sup {sup {e> 0 : el П Лп+i С M} : Лп+i С L2} , dn(M, L2) — inf {sup {inf {If - gil : g Е Лп} : f Е M} : Лп С L2} , dn(M, L2) — inf {sup {If || : f Е M П Лп} : Лп С L2} , Sn(M, L2) — inf {inf {sup {Hf - Lf || : f Е M} : LL2 С Лп} : Лп С L2} , Пп(М, L2) — inf finf fsup f f - L±f || : f Е M} : L^ С Лп} : Лп С L2} называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, гельфандов-ским, линейным, проекционным n-поперечниками.

Весьма важным является нахождение соответствующих подпространств, реализующих внешнюю верхнюю грань в поперечнике Бернштейна bn(-) и

внешние нижние грани во всех остальных поперечниках. Такие подпространства называются оптимальными подпространствами. Между перечисленными величинами в гильбертовом пространстве ¿2 выполняются соотношения:

Ьп(М; ¿2) < йп(М; ¿2) < йп(М; ¿2) = 5п(М; ¿2) = Пп(М; ¿2). (20)

Пусть ф(г) ^ 0 — произвольная суммируемая на [0, Н] функция. Через Шв(/(а); ф, Н)р, в > 0, а > 0, 0 < р ^ 2, 0 < Н ^ п обозначим среднее в р-ой степени значение модуля непрерывности порядка в от функции /(а) с весом

ф(г):

/ н \1/р / н \ -1/р

Шв (/(а); ф,Щ)р = (I ив (/(а); г)ф(г)м\ (I ф(г)м\ , (21)

а через ¿2** (в,р, Н, ф) обозначим множество функций / € ь2*\ для которых Шв (/(а) ; ф,Н)р ^ 1. Очевидно, что в силу свойства монотонности модуля непрерывности ив (/(а); г) для произвольной суммируемой весовой функции ф(г) ^ 0, 0 < г ^ Н из (21) вытекает неравенство

Шв(/(а );ф,Н)р < ив(/(а);Н). Полученное неравенство указывает на то, что в задачах теории аппроксимации функций / € ¿2° ) усредненное значение модуля непрерывности (21) предпочтительнее, чем функционал Джексона-Стечкина ив(/(а); Н). Пусть

(Т (*) г Т ) ¡Е(/, ) г(а)\

Хв,*,р,н 1, ¿2,= { ив(/("); Н) : / € ¿2 / •

— наименьшая константа в неравенстве Джексона-Стечкина с модулем непрерывности ив(/(а); Н),

Х^ .Ш,) = Н)р : / € ^ . (22)

— наименьшая константа в неравенстве Джексона-Стечкина с усредненным модулем непрерывности.

Очевидно, что

Хв,а,р, (4^2,1ш,) .

Величина Хв,а,р,н (¿2*, ¿2,очень сложная, величина (22) более простая и ее удается вычислить для широкого класса функций ф, удовлетворяющих условию (12).

Следуя Н.П.Корнейчуку [21, с.385], для этого класса функций ф приведем решение задачи о минимизации величины (22) по всем подпространствам

размерности К, то есть вычислим значение инфимума величины (22) относительно всего множества приближающих подпространств 1ш, С ¿2 размерности N:

Х,,в,а,р,н,ф (¿2^2) = ^ {Хв,а,р,н,ф (Ъ*,^, : 1ш, С ¿2} =

= "Ы fk f € Г}:** ^

Положим также

En-1 ^а)(в,рЛф)) = sup {\\f - Sn-1(f )|| : f € L2a\e,p,h,V)} .

Теорема 2.3. Пусть a ^ 0, 0 <p < 2, в € R+, N € N, 0 <h < п. Тогда имеет место равенство

XN,e,a,p,h,v (l20); L2) = dN (ь2\в,р^,ф); L^j .

Доказательство. Пусть f € L^ и Wp(f(a); ф, h)p = u> 0. Тогда, положив f1(x) = u-1f (x), получим We (fa); ф, h)p = 1, то есть f1 € L^ (в,р, h, ф). Учитывая положительную однородность функционалов E(f, Im*) и We(f(a); Ф,К)Р, при фиксированном h имеем

sup WEf < sup E (f, Im*). (23)

f W (f (a); Ф,К)Р f zLia)V.PM

Переходя в неравенстве (23) к нижним граням по всем подпространствам Im* С L2 размерности N, получаем

X.N, fi, a ,p, h,Ф fL2a); L2) ^ dN (L2a)

С другой стороны, для произвольной функции f € L^ (в,р, h, ф) в силу определения класса L^ (в,р, h, ф) имеем:

E (f.Im*) < E ImN>

Шв (/(а); ф,к)г'

Последнее неравенство верно для любого подпространства 1ш, С ¿2, а потому, переходя к нижней грани по всем 1ш, С ¿2 приходим к неравенству

(¿2а); I*) . (25)

Утверждение теоремы 2.3 вытекает из сопоставлений (24) и (25).

Теорема 2.4. Пусть весовая функция ф, заданная на отрезке [0,Н], является неотрицательной и непрерывно дифференцируемой. Если при некоторых 0 ^ р ^ 2 и любых г € [0, Н] выполнено неравенство

(ар — 1)ф(г) — гф'(г) ^ 0, (26)

то при всех в € R+, п € N и 0 < h < п/п справедливы равенства

X2n,e,a,p,h,^(L<2a>; L2) = Х2и-1,в,а,р,Н,ф{^а; L2) = En-1 (l^ (в Р> hT Ф))

= А2„ (L{f>(e,p,h^); L^j = Л2П-1 (blf'ie^^^)] L^j =

í h ] 1/P í h /Зр ^ -1/P

= 2-en-a \j ф(í)díW (sin y) %(t)dt

где Лк(•) - любой из вышеперечисленных k-поперечников bk(-),dk(-),dk(■), 5k(■) и Пк(■). Все п-поперечники реализуются частичными суммами Фурье Sn-1(f; t) порядка п — 1 ряда Фурье функции f € L2a^.

Доказательство. Для получения оценки сверху воспользуемся неравенством (17) и для произвольной f € L2a^ запишем

(27)

h

En-i(f) <

2е na

ив (f(a >; tMt)dt

í (sin т) ф^^ Va

\

1/p

Отсюда, учитывая определение класса L2a^ (P,p,h^) для произвольной

f € L2a\в,р, h,ф), приходим к неравенству

/ h

1/p

E (f) < ^e(f(a };ф^)р

En-1(í) <--

ф(^(М

I (sin y) ф(t)dt

Va

Переходя к верхним граням по всем функциям f € \в,р, Н, ф) в неравен стве (28), получаем

(28)

1/р

-(ab~ , - - 1

En-1(Lf>(e,P,h^)) <

2в na

ф(t)dt

Íí nt)вр

lSin Ф(t)dt a2

1

h

откуда сразу получаем оценку сверху для проекционного п-поперечника П2п ^(в^^^); ¿2) < П2п-1 (¿2а)(в,р,Н,ф); ¿2) < Еп-1 (¿^(в,р,Н,ф))

2 у), u'¿ ¡ ^ i-v¿n-l

h 1 1/p ( h = 2"^n"a 1 J ф(Ь)(И\j (1 - cos nt)ep/2 v(t)dt

-1/p

. 0 ) \ 0

h 1 1/p Г h

-1/p

= 2-в n-a \j p(t)dt\j (sin y) \(t)dt

(29)

nt \вР "2"

00

С целью получения оценки снизу бернштейновского n-поперечника класса)

са L2 )(в,р,Ь,ф) введем в рассмотрение шар S2n+1:

1/p,

Tn е 1ш2„+1 : \\Tn\\ < 2-вn-a IJ <p(t)dt) IJ (sin nyP<p(t)dt

-1/p*

в (2n + 1)-мерном подпространстве 1ш2П+1 тригонометрических полиномов.

Покажем, что Tn е L^ (в,р, h, ф). Воспользовавшись рассуждениями работы [9], легко доказать, что для любого полинома Tn е S2n+1 П 1ш2п+1 имеет место неравенство

Up(T,na),t) < 2еna (sin ny \\Tn\\, 0 <nt < (30)

Используя определение класса L^ (в,р, h, ф) и неравенство (30), получаем

( h \ 1/p

Wp (f(а); фЛ^ =

(Tna); t) фт

ф(t)dt

<

^ 2еna

/ h \1/p ¡ ( nt \pp

vsinyJ

а потому

ф(t)dt

§2n+1 е L(2a)(p,h,m; ф).

•\\Tn\\ < 1,

/

h

h

h

h

Теперь воспользовавшись определением бернштейновского п-поперечника, запишем оценку снизу

b2n-1 (L<f\e,p,h^);; L2) > b2n (L<f>(e,p,h^);; L^ >

h Л1/р ( h \ -1/p

nt)вр

n ~ < I ф(t)dt } < I | Sin y * 0 ) U

^ b2n (S2n+1; L2) = 2-вn-a П ф(t)dtП (sin y) P ф(^. (31)

Сопоставляя оценку сверху (29) и оценку снизу (31), с учетом соотношения (20) завершаем доказательство теоремы 2.4. Из доказанной теоремы 2.4 вытекает

Следствие 2.1. Пусть

0 < £ < п; а, в € R+; 0 <h < п/п; ф*(t) = sin7(£t/h); 0 < Y < ар — 1; 0 < p < 2. Тогда имеют место равенства

(L2a ); L2) (L2a ;; L2) =

= Л2п {l2)(в,Р, h, ф*); L^ = Л2п-1 (L2a)(e,p, h, ф*); L^ =

/ h \ 1/p / h \ -1/p = 2-вn-a П sin7 htdt j U (sin ntfP sin7 htdt

где Лк(■) — любой из вышеперечисленных k-поперечников.

Утверждение следствия 2.1 ранее было доказано М.Г.Есмаганбетовым [22]. a a

Обозначим через W^^^H^ — класс функций f € L2a) таких, что для 0 < t < h, 0 < h < п/п выполняется условие

h \1/р / h \ -1/р

We(f(a);ф,К)р = I / ив(f(a);%(t)dt I I / ф(т I < u(h),

•П

в

ч0 / \0

где ш(Ь) — заданный модуль непрерывности, то есть неотрицательная неубывающая полуаддитивная на [0, Н] (0 ^ Н ^ п) функция такая, что ш(0) = 0. В принятых обозначениях справедлива следующая

Теорема 2.5. Пусть

а,в> 0, 0 <Н ^ п/п и выполнено неравенство (26). Тогда справедливы равенства

\2n-i ; ь) = Л2п ; ь) =

1/р

= Еп

п-1

)

2в па

ф(г)йг

( пг ) вр

181п ~2) ф(г) о2

и(Н),

где Хк(■) - любой из к-поперечников Бернштейна Ьк(■), Гельфанда йк(■), Колмогорова йк(■), линейного 5к(■), проекционного Пк(■). Все п-поперечники реализуются частичными суммами Фурье Бп-1(/; г) порядка п—1 ряда Фурье функции / € ¿

(*)

Доказательство. Прежде всего отметим, что теорема 2.5 связана с теоремой 2.4 и доказывается по той же схеме. В самом деле, для произвольной / € фИр из неравенства (28) получаем оценку сверху для всех п-поперечников

Х2п-1 (шр'н' И

(а) р, Н, ф в

; ¿2) < Х2п ШНфИ%; ¿2)

<

1/р

< Еп-1 Ш

п-1 «¿И^

2впа

ф(г)йг

( пг ) вр

181п ~2) ф(г) о2

и(Н), (32)

С целью получения оценки снизу по той же схеме доказательства предыдущей теоремы, легко доказать, что сфера тригонометрических полиномов

(

€ 1ш2п+1 ЦТпЦ <

2впа

\

1/р

ф(г)йг

( пг ) вр

Г1п ~2) ф(г)

о2

и(Н)

принадлежит классу Ш^фИ^, а потому с учетом определения бернштей-новского п-поперечника получаем

Ь2п-1 {шРНфЩ; Ь2) ^ Ь2п {шРа1фИ%; ¿2) ^ Ь2п(^2п+1; ¿2)

н

1

н

н

1

к

1

1/р

2в па

ф(г)йг

( пг ) вр

Г1П ф(г)

\с )

и(Н).

(33)

Утверждение теоремы 2.5 следует из сопоставлении неравенств (32) и (33) Следствие 2.2 [22]. При всех

в ^ 1, а ^ 0, 0 <Н ^ п/п, р = 2/в, ф**(г) = еов(пг/2Н) справедливы равенства

Х2п-1 Ш

1 Г2/в Н, ф» Ив; = Х2п (Ш2/в , н ф„ Ив; ¿2] =

(а)

(а)

н

в/2

= Еп-1 Щ) = ^

пг ео^ — аг 2Н

V 0

пг ) 2 пг

81п — ео^ — аг 2 ) 2Н

/

и(Н) =

2в

па

^п б1п -2 ) — 2(пН)2

пН 2 А/_

п2 — 4(пН)2

в/2

V

В частности, при пН = п,

и(Н).

Х2п-1 (Ш'

2п-1\УУ2/в,п/п,ф„ Ив; ¿2) = Х2п (Щ/вп/щф^11 в-

(а)

(а)

т

¿2

) 2в(1 )в/2 (п) -п-1У^2/вп/пф» Щ) = ^ з) "Ы^

= Е^ 1 Ш

(а)

н

1

Имеет место также следующая теорема. Теорема 2.6. Пусть

в,а> 0, 0 <р < 2, 0 <Н < п/п

и выполняется неравенство (26). Тогда справедливы равенства X2n,ß,a,p,h,^{L^a'a; L2) = X2n-1,ß,a,P,h,4>^^ L2) =

= A2n-i {w^Hfi; L2) = A2n (w!jhvH%; L2) ,

где An( ) — любой из перечисленных выше п-поперечников.

Список литературы

1. Best trigonometric approximation, fractional order derivatives and Lipschitz classes / P.L. Butzer, H. Dyckhoff, E. Goerlich, R.L. Stens // Can. J. Math. 1977. V.29. P.781-793.

2. Tabersky R. Differences, moduli and derivatives of fractional orders // Commentat. Math. 1976-1977. V.19. P.389-400.

3. Tikhonov S. On moduli of smoothness of fractional order // Real Analysis Exchange. 2004-2005. V.30(2). P.507-518.

4. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2^-периодических функций и точные значения их поперечников // Математические заметки. 2011. Т.90. №5. С.764-775.

5. Шабозов М.Ш., Темурбекова С.Д. Значения поперечников классов функций из L2 [0, 2^] и минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2012. Вып.3. С. 60-68.

6. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2 // Математические заметки. 1967. Т.2. №5. С.513-522.

7. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Приближение функций в среднем. Труды МИАН СССР. 1967. Т.88. С.71-74.

8. Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из L2 // Математические заметки. 1976. Т.20. №3. С.433-438.

9. Тайков Л.В. Структурные и конструктивные характеристики функций из L2 // Математические заметки. 1979. Т.25. №2. С.217-223.

10. Лигун А.А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве L2 // Математические заметки. 1978. Т.24. №6. С.785-792.

11. Юдин В.А. Диофантовы приближения в экстремальных задачах // Доклады АН СССР. 1980. т.251. №1. с.54-57.

12. Бабенко А.Г. О точной константе в неравенстве Джексона в L2 // Математические заметки. 1986. Т.39. №5. С.651-664.

13. Айнуллоев Н. Наилучшее приближение некоторых классов дифференцируемых функций в L2 // Применение функционального анализа в теории приближений. Сборник научных трудов: Калининский госуниверситет. 1986. С.3-10.

14. Шалаев В.В. О поперечниках в L2 классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков // Украинский математический журнал. 1991. Т.43. №1. С.125-129.

15. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: ТулГУ, 2010. 184 с.

16. Васильев С.Н. Точное неравенство Джексона-Стечкина в L2 с модулем непрерывности, порожденным произвольным конечноразностным оператором с постоянными коэффициентами // Доклады РАН. 2002. Т.385. №1. С.11-14.

17. Вакарчук С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов из L2 // Математические заметки. 2005. Т.78. №5. С.792-796.

18. Вакарчук С.Б. Неравенства типа Джексона и поперечники классов функций в L2 // Математические заметки. 2006. Т.80. №1. С.11-19.

19. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве L2[0,2^] // Математические заметки. 2010. Т.87. №4. С.616-623.

20. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo: Springer-Verlag, 1985. 252 p.

21. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987. 424 с.

22. Есмаганбетов М.Г. Поперечники классов из L2[0, 2^] и минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона // Математические заметки. 1999. Т.65. №6. С.816-820.

Юсупов Гулзорхон Амиршоевич (0\_7777@шаП.ш), к. ф.-м. н, доцент, кафедра математического анализа и теории функций, Таджикский национальный университет, Душанбе.

Structural and constructive characteristics in L2 and the values of the widths of certain functional classes

G. A. Yusupov

Abstract. Several exact inequalities are found between the best approximations of differentiable periodic functions in the sense of Weil trigonometric polynomials and averaged with the weight of the moduli of continuity of arbitrary fractional order in the metric of L2 and their applications are given. For some classes of functions which are defined by the specified module of continuity and the exact values of the various n-widths in L2 are calculated. Particularly, the problem of minimizing the constants in inequalities of Jackson-Stechkin on all subspace of dimension N is solved, that is, with respect to the entire set of approximating subspaces given dimension N. It is proved that this value is equal to the exact value of the different widths of the

class h, p), where p is a non-negative integrable weight function on

(0, h] (0 <h < n/n).

Keywords: minimization of exact constants, inequalities of Jackson-Stechkin type, best polynomial approximation, modulus of continuity of fractional order, derivative in the sense of Weil, n-widths.

Yusupov Gulzorkhon (G\[email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical analysis and theory of functions, Tajik National University, Dushanbe.

Поступила 28.06.2015