CC BY
28
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 98-116
= Математика =
УДК 517.5
Наилучшие среднеквадратические приближения на всей оси целыми функциями экспоненциального типа и значения поперечников некоторых классов функций
Г. А. Юсупов
Аннотация. Рассматривается экстремальная задача о наилучшем среднеквадратическом приближении функций, определенных на всей оси целыми функциями с интегралами, содержащими модули непрерывности т-го порядка 0.т производных функций с положительным весом. Вычислены точные значения средних ^-поперечников некоторых классов функций, удовлетворяющих условию
К
гпк/(г);т < Ф*(к),
0
где т € М, г € Z+, к € К+, 0 < д ^ 2 и 0.т(/(г); £) - обобщенный модуль гладкости т-го порядка производной / € (К), Ф(и) —
произвольная возрастающая на полупрямой функция, непрерывная в нуле и Ф(0) = 0.
Ключевые слова: наилучшее приближение, модуль непрерывности, целые функции экспоненциального типа, средние ^-поперечники.
1. Наилучшее приближение целыми функциями экспоненциального типа
Вопросы наилучшего приближения функций действительного переменного на прямой К = (-то, +то) впервые были рассмотрены в работах С.Н. Бернштейна [1, стр. 371-395 и 408-420] и С.М. Никольского [2], где в качестве аппарата приближения использовали пространства целых функций конечной степени. В дальнейшем вопросам наилучшей аппроксимации целыми функциями было посвящёно много работ, результаты которых изложены в монографиях [3-5]. В данной работе продолжим исследования
аналогичных экстремальных задач в этом направлении и обобщим некоторые результаты работ [6, 7].
Всюду далее, под Lp(R), 1 ^ p ^ ж будем понимать пространство измеримых на всей оси R = (-ж, +ж) функций f с конечной нормой
\ 1/р
Р ■= IIJIILP(R) =| I |f (x)|PdxJ < Ж 1 < Р< Ж
ess sup jIf(x)| : x € m| < ж.
Через Ьр\к) (1 ^ р ^ то; г € М) обозначим множество функций / € Ьр(Ж), у которых (г — 1)-я производная /(г-1) локально абсолютно непрерывна и /(г) € ЬР(К). Символом Ва,р (0 < а < то; 1 ^ р ^ то) обозначим сужение на К множества всех целых функций экспоненциального типа а, принадлежащих пространству ЬР(Ж). Величину
Аа(/)р :=1п^||/ — да||р : да € £ст,р}, 1 < р < то
называют наилучшим приближением функции / € ЬР(Ж) элементами множества Ва,р.
Рассматриваемые в данной работе классы функций связаны со следующей характеристикой гладкости, ранее рассмотренной в [6-9].
Пусть к = (к1,...,кт), д^./(ж) = /(ж + к) — /(х), з = 17т; дт = д!1 о Д^2 0 ... 0 Д1т >*> 0
г г г \ 1/2
М/; *) = | ... ! II дт/(■) |Ц2(к)йк1... йкг,
I 0 0
В работе [10] для множеств функций ь2г) := ь2г)[0, 2п] (^2° := Ь2[0, 2п]) с периодом 2п функций /(ж), у которых производные /(г-1) абсолютно непрерывны и /(г) € ^2 рассмотрена экстремальная характеристика вида
, М Еп— 1 (/) 2
Хт,«,г,, (^; к) = йир --------------------------17-,
/е^2г) / * \
/(г)=соп8Ч J (/(г),г) <р(г)^1
где т,п,г € М, 0 < д ^ 2, 0 < к ^ п/п, ^>(£) ^ 0 - суммируемая на отрезке [0, к] функция, и доказано, что
{Апт(^;к)} ^ хт,п,т-(^;к) ^ {п<п<(^;к)} , (1)
L
оо
оо
где
1/9
А
к,9
(* Л)=2т/2 Г9/(1 - со. , * > ,,
Представляет несомненный интерес получить аналог неравенства (1) для наилучшего приближения функций / € ^(К) (г = 0,1, 2,...; ь20)(К) = = Ь2(М)) целыми функциями экспоненциального типа да € В-,2, где в качестве характеристики гладкости ^т(/, ^) рассматривается обобщенный модуль гладкости т-го порядка ^2т(/, ^). С этой целью полагаем
Ха,ш,т,а Л) = йИр
2т/2 А(/)2
/ е4г)(
Л N 1/9 ’
[ ^т(/(г),^) ^(^
(2)
где т € М, г € ^+, 0 < д ^ 2, ст, к € М+ и ^(£) ^ 0 - некоторая измеримая суммируемая на отрезке [0, к] функция. Имеет место
Теорема 1.1. Пусть т € М, г € ^+, а € К+, 0 < к < п/ст, 0 <д ^ ^ 2 и ^(£) — некоторая неотрицательная измеримая суммируемая на отрезке [0, к] функция, тождественно не равная нулю. Тогда выполняются следующие неравенства:
[Вт,г,д(^; Л ст) } ^ Х*а,ш,т,д(^ Л < |^ш£^Вт)Г)9(^; Л, , (3)
где
Вт,г,900; М) = 1 -
8Ш
тд/2
1/9
0(ж)^ж , £ ^ СТ.
Доказательство. В самом деле, воспользовавшись континуальным аналогом неравенства Минковского [11, стр. 32]
( л (
9/2 1/9
|<р(*,т )|2^т
у0
(И
' /
2/9 1/2
I (У|(^,т )|9 ^т
V0 / у
Л
0
0
Л
0
Л
с учетом соотношения [6]
^(/(г);т) ^ 2т I ^ |^(/;*)|2( 1 - ^^ПТт)?
имеем
1/9
У^т(/(г),т)0(т^
9/2
\
1/9
0(т)^т
/
I I Г91^(/; *)|9 (1 - т9/2 0(т)^т
|><г 1-0
=2
т/2
|^ (/; *)|2
__2т/2
г9 / 1 -
8Ш т£ т£
т9/2
0(т)^т
2/9 \ 1/2
^ I ;
2/9 \ 1/2
1/2
^(/; *)|2{ вт ,г,9(0; Л,4)} ^
>
Ч1*1^7
/
/ /• \1/2
^ 2т/2| М Вт,г,9(0; М)| / |^(/;£)|2^
J J I
= 2т/2Аст(/)2 { М Вт,г,9(0; М)|.
Из последнего неравенства сразу получаем 2т/2 А (/)2
1/9
Л \ к<г^*<го
У вд(г),^) 0да1 0
М Вт,г,9(0; М)| , (4
Л
0
т
Л
0
и так как неравенство (4) выполняется для произвольной f Є L2r)(R), то отсюда следует требуемая оценка сверху
Xa,m,r,q(0 h) Bm,r,q(0; ^ ^ ) • (Б)
Для установления оценки снизу экстремальной характеристики (2) вводим в рассмотрение целую функцию экспоненциального типа ст + є :
. . Г2 f sin(CT + є)х sin стх 1 ,*. .
gє(x) Чп {-SH- -—}, О <є < CT(t*/n - І>,
где через t* обозначена величина аргумента х Є (О, то) функции sin х/х, при котором она достигает своего наименьшего значения. Очевидно, что t* есть наименьший из положительных корней уравнения х = tg х. Простые вычисления показывают, что 4,49 < t* < 4, 5І. Для функции gє(x) легко доказать неравенство
aUg^T) « 2m+1£(CT + є)2' (і - sin(тст(++)в^ ,
(б)
причем А2 (д£) = 2е [6]. Возведя обе части неравенства (6) в степень д/2 (0 <
< д ^ 2), умножив на неотрицательную функцию 0 и интегрируя от т = 0 до т = Л, будем иметь
Л \ 1/9
(д^.т) 0(т )<4т1 <
0
Л .. \ 1/9
< 2m/2Aa(g,)2(CT + є)' ( / {l - ^ «т)*
Последнее неравенство запишем в виде
2m/2Aa (g,)2
h
1/q
am (g(r),T) 0(т )dT
m
о
Н(^г/{i - fW
h \ -1/q
r / * \ mq/2
є^о / rq /Л sin TCT ' y/
-l/q
є^о
ct'9 / (l - sinr) 0(T)dTj = {Bm,r,q(0; h, ст) } . (7
Переходя к точной верхней грани, из неравенства (7) находим
* f I м -V. 2m/2ACT(ge)2 ^ ^ ^-1
Xa.m.r.q(0 h) ^ sUP -------------ТГ7, Н Bm,r,g(0 h, а) f
0<£^<г( -1) / h \ J
^m(g(r),T) 0(т )dT
0
(8)
Сопоставляя неравенства (5) и (8), получаем требуемое соотношение (3), чем и завершаем доказательство теоремы 1.1.
Из доказанной теоремы 1.1 вытекает ряд следствий.
Следствие 1.1. Пусть выполнены все условия теоремы 1.1 и, кроме того, весовая функция 0(t) является неубывающей на отрезке [0, h]. Тогда при любом 0 < h ^ 3п/(4а) справедливы равенства
х1,ш,гл(0; h) = {Bm,r,g(0;h,a)} • (9)
Доказательство. При x ^ у, у ^ 3/(4п)
sin у ^ sin x У ^ x ’
поэтому для а ^ 0
«м sin xW ..а /1 sin У
xI1 J>уе- „
Полагая x = tT, у = ат, а = 2r/m, t ^ а, r € Z+, m € N, получим
(, \ m / • \ m
1 - ^ > а2г Л - (10)
(см. также [7]).
Возведя обе части неравенства (10) в степень q/2 (0 < q ^ 2), умножая полученное неравенство на функцию 0(т) и интегрируя по т в пределах от т = 0 до т = h, для а ^ t < то получаем
f, | ^ - srntr^/2 ^)йт^ ^ Л'» | (1 - =1' m’/2
откуда, в свою очередь, вытекает равенство
inf Bm,r,q(0; h,t) = Bm,r,q(0 h,a). (11)
Сопоставляя соотношение (11) с неравенством (3), получим требуемое равенство (9), откуда и вытекает утверждение следствия 1.1.
В равенстве
f }/ sin tT\mq/2 4 /q
Bm,r,q(0 h, t) = trqy П _ — j 0(т)dT
полагаем h = а/а (О < а < п) и 0(т) = g(aT). Имеем
/а/а \ 1/q
( \ /■ / sin tT\mq/2
Bm,r,q(g(aO;а/а, tj = trq у M---------— J g(aT)dT =
о
= ar-1/- ((af / (і _ «1 )m-/2g(T)dT^ ,
где a ^ t < то. Таким образом, из полученного равенства следует, что
inf Bm,r,q(0
где ради удобства положено
inf Bm,r,q(0; h, t) = ar 1/q inf Dm,r,q(g; а, x), a^t<<^ xnl
т?/2 4 ^
(#; а, х) = | хгя I (1 - в) #(т)^т
Следствие 1.2. Пусть т € М, г € ^+, 0 < д ^ 2 и #(т) - некоторая неотрицательная измеримая суммируемая на отрезке [0, а] функция, где 0 < а < п. Тогда справедливы неравенства
-1 2т/2 ^г-1. - ,^
f e4r)(
U , ^Г1^ 2m/2 ar-1/q Aa(/)2 ^
|Dm,r,q(g; а, і)| < sup —--3/- <
ВД(r),T/a) g(T )dT) (l2)
о
^ { inf Dm,r,q(g; а, x)|
Очевидно, что если
inf Dm,r,q(g; a, x) = Dm,r,q(g a, 1), (13)
то имеет место равенство
2m/2 ar-1/q (/)2 1
sup --------------------------------ту- = —---------------- .
feL<r)(R) / a ^ Dm,r,q(g; a,1)
ВД(г),т/а) д(т )dT
Следствие 1.3. Пусть g*(t) = trq-1 g1 (t) (0 < q ^ 2, r € N) -неотрицательная суммируемая на отрезке [0, a], 0 < a < п функция, g1(t)
- невозрастающая на [0, a] функция. Тогда имеет место (11) и справедливо равенство
2m/2 ar A(/)2 1
sup -----------------------—-----------—г = ^;------------т • (14)
fe4r)(R) /а ^ Dm,r,q(g*; a,1)
J nm(/(r), т/а) Trq-1g1(T)dT
Доказательство. Чтобы установить равенство (14), с учетом неравенств (12), достаточно доказать равенство (13). Полагаем
д*(Ь) := | д^Ь), если 0 < Ь ^ а; д1(а), если а ^ Ь < то |.
Для любых х ^ 1 имеем:
(д*; а, ж) = J ^1 - ^ЖХ“) тГ?-1 д^т)^т
0
ах \ 1/q
j (1 - ”‘q/2тry-1g*(r/x)d^ >
0
(ах , \ 1/q
j (1 - 2111)m,/ тгд-1д*(т)*j >
(“ /о \ 1/q
mq/2
J т^^^т)dH = Dm,r,q(g*; a, 1),
откуда и вытекает равенство (13), и тем самым равенство (14) доказано.
Хорошо известно [14, с.236], что если / € L(r)(R), то все промежуточные производные /(s) € L2(R) (s = 1, 2,..., r - 1), а потому было бы интересно отыскать значение величины (2), когда в этом соотношении вместо величины наилучших приближений (/)2 вводится в рассмотрение (/(r-s)) (s = = 1, 2,..., r - 1) - наилучшее приближение промежуточных производных /(r-s) элементами gCT € BCT>2 в норме пространства L2r)(R). Справедлива следующая
0
Теорема 1.2. Пусть m,r € N, 0 < q ^ 2, а € R+, 0 < h ^ 3п/(4а), 0(т)
— некоторая суммируемая на отрезке [0, h] функция, тождественно не равная нулю. Тогда имеют место равенства
2m/2 as ACT (/(r-s))2 (}(л sin ат ^mq/2 ,, /q
A 7]-----------------------------= 1J I1 - ~' "(т)йт
!?„(
0
(15)
где s = 0,1, 2,..., r. Если, в частности, m, r € N, q = 2/m, 0 < h ^ 3п/(4а), а € R+, s = 0,1, 2,..., r и 0(т) = 1, то
ВД (г);т) 0(т)^т
А2
sup
f eL<r)(
2m/2 а-т/2 (/(r-s))2 ^ 0., ^
_----------------------- = ^ - Л(^ j
^m/m(/(г);т) ^
Доказательство. Наилучшее приближение промежуточных производных посредством целых функций экспоненциального типа а представим в виде
А2(/(г-5))2 = I Ь2(г-5)|Е(/,Ь)|2^ = I (/,Ь)|2(1-5/г)Ь2(г-5)|Е(/,Ь)|2*/г^.
|4|^<г |*|^2
Применяя к правой части полученного равенства неравенство Гельдера для интегралов, получаем
/ \ \ — 8/т/ \ 8/т
A2 (/(r-s))2 <
|F (/, t)|2t2r dt
|F(/,t)| dt
У V1*1^2 )
= (ACT(/(r))2)2(1-S/r) (A*(/)2)2s/r • (16)
Теперь заметим, что из равенства (9) вытекает неравенство
/ h / * \ mq/2 \ -1/q
A2(/)2 < (Vq/Vq | ^1 - 0(т)йт) х
0
h - , х (у вд(r), т) 0(т)йт
0
из которого при г = 0 имеем
А(/)2 < ^^у ^- ^0°^) 0(т)^г^ ^Iот(лт)0(т)й'т
Заменяя в этом неравенстве / на / (г), запишем
/ ^ / \ то/2 \ — 1/а
А(/(г))2 < ^2то/^ (1 - ^(т)^т) х
о
ь _ ,
х (У ^т(/(г\т) 0(т)й'т
(18)
о
Используя приведенные неравенства (17) и (18), из (16) для произвольной
(г 2
функции / € е2Г)(М) получим оценку сверху
2m/2 а' A,(/(r-s)).2 / f (1 - sin*! Vmq/2 0^, (19)
h \ 1/q W ^ ат
f nm(/(г);т) 0(т)йт
ч0
Для получения соответствующей оценки снизу снова вводим в рассмотрение функцию д£(Ь) € Ь2(М), использованную нами для получения аналогичной оценки при доказательстве теоремы 1.1. В самом деле, учитывая, что
\
1/2 / 2+. \ 1/2
/ №-^2(г-ч = (2/i2(r-‘)di) ^(”’
\м^2 /
A2 (g(r-s) )2 = из неравенства (6) имеем
'f \1/5 J nm(g(r);т) 0(т)*-| <
ч0
h
« 2m/V2i (а + S)'U {1 - У+У } 0(т)йт «
1/q
1/9
Откуда
2"/2 а5 А2(/(г—5))2
8иР —-----------------------------^79 ^
/ ь
^"(/(г);т) 0(т)й'т
/ €^2
1 'ч,
ч0
» 8цр 2т/2 а5 А<д(,—*)>2
0<в^£—1) / ь 49
^"(д£г);т) 0(т)й'т
0
- <аУ (/{1 -
°<£^<г( V — Ь \0
— 1/9
£—>0
ь /2 \ —1/9
1 ' (1 - ^) *М<1г] . (20)
0
Сравнивая оценку сверху (19) и оценку снизу (20), получаем требуемое равенство (15), чем и завершаем доказательство теоремы 1.2.
2. Точные значения средних V-поперечников некоторых классов функций, определенных на всей оси
Введение Г.Г. Магарил-Ильяевым [15, 16] определения средней
размерности, являющейся определенной модификацией соответствующего понятия, данного ранее В.М. Тихомировым [17], позволило определить асимптотические характеристики подпространств, подобные поперечникам, где роль размерности играет средняя размерность. В результате этого оказалось возможным сравнить аппроксимативные свойства подпространства ВСТ;Р, 1 ^ р ^ то, с аналогичными характеристиками
иных подпространств из Ер(М), 1 ^ р ^ то, той же размерности и
решать в Ер(М), 1 ^ р ^ то, экстремальные задачи теории аппроксимации вариационного содержания.
Пусть ВЕр(М) = € £р(М) : |М1ь (к) ^ 1} _ единичный шар в £р(М);
Егп(Ер(М)) является совокупностью всех линейных подпространств в Ер(М);
Етга(£р(М)) *== 13 € £гп(£р(М)) : ^гт^ ^ п|, п € ^+;
d(M,N,Lp(R)) =f supjinf(||/- p||p : ^ € N} : / € m}
— наилучшее приближение множества M С Lp(R) множеством N С Lp(R). Под Nt, T > 0 понимаем сужение множества N С Lp(R) на отрезке [-T, T], а через Line(Lp(R)) обозначим совокупность таких подпространств J € Lin(Lp(R)), для которых множество (J П BLp(R))y предкомпактно в Lp([-T, T]) при любом T > 0. Если J € Line(Lp(r)) и T, е > 0, то существуют такие n € Z+ и M € Linn(Lp([-T,T]), для которых
d(( J П BLp(R))T, M, Lp([-T, T])) < е.
Пусть
De(T, J, Lp(R)) == min(n € Z+ :
: 3M € Lin„(Lp([-T, T])), d(( J П BLp(R))T,M,Lp([-T,T])) < е}.
В [15] доказано, что данная функция не убывает по T и не возрастает по е. Величину
dim(J, Lp(R)) =f lim(lim inf(De(T, J,Lp(R))/(2T) : T ^ то} : е ^ 0},
где J € Line (Lp(R)) называют средней размерностью подпространства J в Lp(R). В работах [15, 16] доказано, что
dim(B2,p; Lp(R)) = а/п, (1 ^ p ^ то).
Пусть M — центрально-симметричное подмножество из Lp(R) и v > 0
— произвольное число. Тогда под средним v-поперечником по Колмогорову множества M в Lp(R) понимают величину
dv(M, Lp(R)) d=f inf(sup(inf(||/ - <£||p : у € J} : / € M} :
J € Linc(Lp(R)), dim(J, Lp(R)) ^ v}.
Подпространство, на котором достигается внешняя нижняя грань, называют экстремальным. Средним линейным v-поперечником множества M в Lp(R) называют величину
(м, Lp(R)) =f inf(sup(||/ - Л/У : / € M} : (X, Л)},
где нижняя грань берется по всем парам (X, Л) таким, что X есть нормированное пространство, непрерывно вложенное в Lp(R); M С X; Л : X —► Lp(R) является непрерывным линейным оператором, для которого ImЛ € Line(Lp(R)) и dim(1mЛ,Lp(R)) ^ v. Пару (X*,Л*), на которой достигается нижняя грань, называют экстремальной.
Величину
bv(M, Lp(R)) d=f sup(sup(p > 0 : J П p BLp(R) С M} :
J € Line(Lp(R),dim(J, Lp(R)) > v, dv(J П BLp(R), Lp(R)) = 1}
называют средним v-поперечником по Бернштейну множества M в Lp(R). Последнее условие, накладываемое на J при вычислении внешней точной верхней грани, означает, что рассматриваются только те пространства, для которых верен аналог теоремы В.М. Тихомирова о поперечнике шара [18, с. 341]. В [15, 16] доказывается, что указанному требованию удовлетворяет, например, пространство BCT>p, если а > vn.
Между перечисленными выше экстремальными характеристиками
множества M в гильбертовом пространстве L2(R) выполняются неравенства
[16] _ _
bv(M, L2(R)) < dv(M, L2(R)) < (M, L2(R)). (21)
Отметим, что точные значения и асимптотически точные значения средних поперечников для некоторых классов функций в разное время были вычислены, например, в работах Г.Г. Магарил-Ильяева [15, 16],
С.Б. Вакарчука [7, 8] и в работах [6, 9, 19, 20].
Пусть Ф(£), t ^ 0 - произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0. Для любых m € N, r € Z+, 0 < q ^ 2 и h € R+ полагаем
Wq(r)(Qm;$) = I / € L2r)(R) : hL J t ПК/(r); t)dt < Ф9 (h)
l 0
Следуя [7], полагаем
A(^(г)(Пт;Ф))ы«) = sup{A(/)2 : / € W<r)(fim;
sin x\ ( sin x sin t*
1-------:= < 1----------, если 0 < x < t*; 1-------, если x ^ t*
x * x t*
где t* определено в пункте 1. Для пары (L2r)(R), Л), где Л : L2r)(R) —> L2(R) является непрерывным линейным оператором, для которого
ImЛ Є Line(L2(R)) и dim(1mЛ, L2(R)) ^ v,
полагаем
£*(W(r)(Пт; Ф); (L2r)(R),Л)) =f sup{ У/- Л/1|2 і / Є Wq(r)(Qm; Ф)}. Имеет место следующая теорема.
Теорема 2.1. Если для всех ^ > О, О < h < п, q = 2/m, m Є N мажоранта Ф удовлетворяет условию
jun/2
Ф(^) \ > 8 і [ t Sint^ dt (22)
Ф(ЛУ^ J > п2-8^2/ V t / * ,
0
то для любого г Є V > 0 имеют место равенства
п* (<т (Пт ;Ф),І2(И)) =
= Ап (Ж^^Ф))^) = Ц^2(/гт(От;Ф);(4г)(М), Л)) = = 2-т/2(^)-г (п2/(п2 - 8))т/2 Ф (1/(2v)).
(23)
(Р — преобразование Фурье в Ь2 (М), — характеристическая функция
интервала (—^, ^)), будет экстремальной для среднего линейного поперечника ^(■), а пространство В^п>2 является экстремальным для среднего поперечника по Колмогорову ^(■).
Доказательство. Из равенства (9) для произвольной / Є ь2г) при стЛ ^ ^ 3/(4п) вытекает неравенство
или, что то же самое,
(/)2 ^
Из неравенства (24), с учетом определения класса ^(г)(Пт; Ф), получаем
( ^ . тд/2 \ -1/?
Л,(жМ(Ога;Ф))2 < 2-т/2ст-; (Щ. I ^ 1 - ъ^уд аЛ ф(л).
тд/2
(,.т,Ф)Ь < ^1 --'
0
В последнем неравенстве, полагая стЛ = п/2, д = 2/т, т € М, будем иметь
/ п/2 \ -т/2
Л,(<(Пт; Ф))2 < 2-т/2ст-; ^
V"
2 \ т/2
8 / ( 8Ш £
.п*/ Ч1 -т^\
0
*<£)
= 2-т/2ст-м ^ ФЫ- (25)
Имея в виду, что ^гт(В^п>2; Ь2(М)) = V [15], из (25) при ст = ^п, с учетом определения класса (Пт;Ф), получаем оценку сверху среднего линейного поперечника:
^(Ж^(Пт;Ф); ^(М)) < < £*((Пт;Ф);(^2г)(М),Л)) = Л^п(Ж^(Пт;Ф)Ь2(«) =
< 2-т/2^п)-г (п2/(п2 - 8))т/2 Ф (1/(2v)). (26)
Получим оценку снизу для среднего v-поперечника по Бернштейну
класса Ж^т(От;Ф). Для этого положим ст1 *= vп(1 + е), где е > 0 произвольное число, и рассмотрим шар
,Р1 = ВСТ1)2 П р1 ВЬ2(М) = |дСТ1 € £о-ь2 : ||#о1 Ц2 ^ Р1 ^
радиуса
п
п2 — 8
(2 \ т/2 / \
Из результатов работ [15, 16] вытекает, что ^(БСТ1,2 П ВЬ2(М); £2(М)) = 1. Рассмотрим произвольный элемент $СТ1 € ВСТь2, который представим в виде
,1
д,1(х) = -у2= У егж*^(^)^^.
-,1
Используя неравенство
(• \ т/2
1 - ^П1г) ^ У2, (27)
доказанное нами в [6], покажем, что шар £о-ьР1 принадлежит классу
<(От;Ф). С этой целью обе части неравенства (27) возведем в степень
2/т, умножая на т, и проинтегрируем по т от 0 до Л, получим
н
/ тптЧіЙ?; т)*■ «
0
н
2ст2'/т1|9„1 Іі2/т/т (і - 2^) (28)
0 *
Учитывая, что дСТ1 Є £СТ1,Р1, из (28) имеем
н
/ т °т/т(ді,1);т )^т <
0
н
(і - (29)
0
Произведя замену переменной стіт = і в правой части (29), находим
н
Л2 / т °т/т(ді,1);т )йт < (30)
2 ч / ч СТ1н /
< - , П2 \ т2/т / П \ I . { _ 81П І
ф-( а/ < і - ").*■
(ст1Л)2 \ п2 - 8
0
Полагая ст1Л = ^п/2, из (30) и ограничения (22) получаем
н
2
/ т °т/т(ді,1);т )^т <
-2 мп/2
^ і|£_ ф2/^^ 1 _ ^ Л < ф2/т(Л),
п2 - 8 У V ^/*
0
г(г)
‘га;
а это означает, что £о-ьР1 С Ж2/т(^т;Ф)- Воспользовавшись определением v-поперечника по Бернштейну, запишем
ЬУ(Ж2(/т(Пт;Ф); ^(М)) ^ к(^; £2(М)) ^
0
0
(З1)
Так как левая часть неравенства (31) не зависит от е > 0, то, устремляя е к
Сопоставляя неравенства (26) и (32), с учётом соотношений (21) получаем требуемое равенство (23). Элементарное вычисление показывает,
ограничению (22) при любом ст > vп, чем и завершаем доказательство теоремы 2.1.
1. Бернштейн С.М. Собрание сочинений. Т. 2. М.: Изд-во АН СССР, 1954.
2. Никольский С.М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных // Труды МИАН СССР. 1951. Т. 38.
3. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965. 406 с.
4. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. 624 с.
5. Ибрагимов И.И. Теория приближения целыми функциями. Баку: Элм, 1979.
6. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. О точных значениях средних v-поперечников некоторых классов целых функций // Труды ИММ УрО РАН. 2012. Т. 18. №4. С. 315-327.
7. Вакарчук С.Б., Доронин В.Г. Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов // Укр. мат. журнал. 2010. Т. 62. №8. С.1032-1043.
8. Вакарчук С.Б. О наилучшем полиномиальном приближении целых трансцендентных функций в некоторых банаховых пространствах. I // Укр. мат. журнал. 1994. Т. 47. №9. С. 1123-1133.
9. Доронин В.Г., Лигун А.А. О точных неравенствах типа Джексона для целых функций в L2 // В1сн. Дншропетр. ун-ту. Сер. матем. 2007. Т. 15. №8. С. 89-93.
10. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2п-периодических функций и точные значения их поперечников // Матем. заметки. 2011. Т. 90. №5. С. 764-775.
11. Hardy G.G., Littlewood J.E., Polya G. Inequality. 2nd ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1952. 346 p.
12. Ибрагимов И.И., Насибов Ф.Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени // ДАН СССР. 1970. Т. 194. №5. С. 1013-1016.
нулю, из (31) будем иметь.
bv(<(Qm;Ф); L2(R)) ^
(З2)
что функция Ф *(t) = tam/2, где а = 4(4 — п)/(п2 — 8), удовлетворяет
Список литературы
468 с.
13. Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Изв. вузов. Математика. 1972. №6. С. 65-73.
14. Бекенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1965.
15. Магарил-Ильяев Г.Г. Средняя размерность, поперечники и оптимальное восстановление соболевских классов функций на прямой // Матем. сб. 1991. Т. 182. №11. С. 1635-1656.
16. Магарил-Ильяев Г.Г. Средняя размерность и поперечники классов функций на прямой // ДАН СССР. 1991. Т. 318. №1. С. 35-38.
17. Тихомиров В.М. Об аппроксимативных характеристиках гладких функций // Тр. конф. по дифференц. уравнениям и вычисл. математике. Новосибирск: Наука, 1980. С. 183-188.
18. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука. 1987.
19. Шабозов М.Ш., Мамадов Р. Наилучшее приближение целыми функциями экспоненциального типа в £2 (К) // Вестник Хорогского госуниверситета. 2001. Сер. 1. №4. С. 76-81.
20. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б., Мамадов Р. О точных значениях средних п-поперечников некоторых классов функций // ДАН РТ. 2009. Т. 52. №4. С. 247-254.
Юсупов Гулзорхон Амиршоевич ([email protected]), к.ф.-м.н, доцент, кафедра математического анализа и теории функций, Таджикский национальный университет, Душанбе.
The best mean-square approximation on the real line entire functions of exponential type and the value of widths of some
classes functions
Abstract. This paper considers the optimization problem of the best mean-square approximation of functions which is defined on the whole of entire functions with integrals, modulus of continuity containing mth order derivatives of functions with positive weight. We calculate the exact values of the mean v-widths of some classes of functions satisfying the condition of
424 с.
G. A. Yusupov
h
о
where m € N, r € Z+, h € R+, 0 < q ^ 2 and Qm(/(r);t) is a generalized of
modulus of continuity of mth order of derivative / € L^M), $(u) is an arbitrary increasing function that is lim {$(u) : u ^ 0 + 0} = $(0) = 0.
Keywords: the best approximation, modulus of continuity, entire functions of exponential type, the mean of v-widths.
Yusupov Gulzorkhon ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical analysis and theory of functions, Tajik National University, Dushanbe.
Поступила 5.10.2013
