ОПЕРАТОРЫ ОБОБЩЕННОГО СДВИГА В ПРОСТРАНСТВАХ $L_{p}$ НА ТОРЕ С ВЕСОМ ЯКОБИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 17-43

= Математика =

УДК 517.5

Операторы обобщенного сдвига в пространствах Lp на торе с весом Якоби и их применение

Во Тхи Кук

Аннотация. В пространстве L2,a,e (T) на торе с периодическим

весом Якоби |sin X |2“+1 |cos x |2в+1, а > в ^ —1/2, построена полная ортогональная система комплекснозначных тригонометрических полиномов, обобщающая на весовой случай систему экспонент.

В пространствах Lp,a,e (T), 1 ^ p ^ ж, построены ограниченные операторы обобщенного сдвига, определены модули непрерывности.

В пространстве L2,a,p (T) вычислены константы Джексона. При а = в > —1/2 эти результаты были получены ранее Д. В. Чертовой.

Ключевые слова: периодический вес Якоби, пространства Lp, тригонометрические полиномы, наилучшее приближение, оператор обобщенного сдвига, модуль непрерывности, неравенство Джексона.

1. Элементы гармонического анализа на торе с периодическим весом Якоби

Пусть T = (—п,п] — одномерный тор, а ^ в ^ —1/2, иа,в(х) =

= | sin | |2а+1 |cos | |2в+1 — периодический вес Якоби, dva, в (х) = иа, в (x)dx, 1 ^ ^ p ^ 2, Lp,a,e(T) — пространство 2п-периодических комплексных

измеримых по Лебегу функций f с конечной нормой

Wf lip , а ,в =( jT\f (х)Р dva,e(х)) < ж (1-1)

Пространство L2,а,в (T) — гильбертово со скалярным произведением

(f, д)ав = Jt f (x)g(x)dva в(х). (1-2)

Если тригонометрическую систему {1,cosx, sinx, ..., cosnx, sinnx,... } ортогонализовать по методу Шмидта относительно скалярного произведения (1.2), то получим полную ортогональную систему:

{1, P^'^(cosх),рП-+1 ,в+1)(cosх) sinх : n = 1, 2,... } (1.3)

(см. [1,2]). Здесь рПа’в)(г) — ортогональные многочлены Якоби на отрезке

[—1,1] с весом (1 — t)a(1 — t)e, для которых Р(а’в\1) = 1 [1,2]. Отметим, что

функции системы (1.3) являются четными и нечетными тригонометрическим полиномами.

Известно [1,2], что на (0,^)

(p(a’e)(cosао) = — 2(^+ 1) р(а_+11’в+1)(cosx)sinx (1_4)

(и*в(а) (Рпа,в)(cos x)) ^ + HnVaв(x)Р(а'в)(cosx) = 0 , (1-5)

где ¡In = n(n + а + в + 1).

Систему (1.3) запишем в следующем виде

^0(ж) = 1, ^n(x) = P(a’e)(cosx), 'фп(х') = —l=Pn(x), n = 1, 2, ... (1.6)

д/№n

Лемма 1.1. Для всех n е N, а ^ в ^ —1/2

('Pn,^n)a в = (^n,^n)a , в = -J- .

n

d

Доказательство. Согласно (1.5), (1.6)

— <p'n(x)<Pn(x)va>/3 (x)

№n

ГП 2 СП

(^и,^и)ав = 2 (x)dvae (x) = — Vn(x)ua,e (x)d^n(x) =

Jo №n Jо

2 r / / \'

------<Pn(x) [Va,/3(x)<Pn(x)) dx =

Vn Jo v '

П

= 2 Jo V2n(x)ua,e(x)dx = (^n,^n)a , в .

Лемма 1.1 доказана.

Любая функция / е (Т) может быть разложена в ряд Фурье по

системе (1.6):

ГО

/(х) = ао + ^ (акУк(х) + Ъифк(х)). (1.7)

к=1

Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам

аи = аи(/) = dk(/,<рк)а,в, Ък = Ък(/) = 4(/,фк)а,в ■

Равенство Парсеваля имеет вид

1 1 2 , а, в = d0 |а0|2 + ^ ^ак|2 + 1Ък ^ ' (1'8)

к=1

Величину наилучшего приближения функции / е Ь2,а,/3(Т) определим равенством

Еп и)

2 , а, в

Ш1П

ак, вк

и (х) - ао -^2 (ак <Рк (х) + вк Фк (х))

к=1

(1.9)

2 , а, в

По равенству Парсеваля (1.8)

ЕП (и )'2,а,в

и (ж) - ао - X] (ак Рк (ж) + Ьк фк (ж))

к=1

2 а в

£

к=п+1

(\ак|2 + \Ьк |2)

При а = в = —1/2 система (1.6) сводится к тригонометрической системе. Тригонометрическая система может быть записана в эквивалентной комплексной форме {етж}пе2. Для экспонент справедливы следующие свойства:

\етх\ < 1, еЫ0 = 1, (етж) = тетх, етх = е

При а = в > —1/2 Д.В. Чертовой в [3, 4] с помощью дифференциальноразностного оператора

ОаУ(х) = У (х) + а + 1/2 (у(х) — у(—х))

,іпх\ — ¡¡ппіпх іпх — е - іпх

tg х

была построена система обобщенных экспонент < в-

Ла)

эквивалентная

системе (1.6), и для которой выполнены свойства

еПа)(х)\ < 1, еПа)(0) = 1,

ВаеП‘)(х) = ^п и)л/ 1п1 (|п| + 2а + 1) еП‘)(х).

Следуя работам [3, 4], построим аналогичную систему обобщенных экспонент при а > в ^ —1/2. Рассмотрим дифференциально-разностный оператор

Ва,вУ(х) = У (х) + ( ао+„1/2 - в2+1Х2 ) (У(х) - У(-х))

2tg х

2ctg х

(1.10)

и систему функций

в^г ,в)(ж) = Рп(х) - Іфп(х), в(апв)(ж) = Рп(х) + Іфп(х), П Є ^+. (1.11)

2

Система

Ja,ß)

en

nGZ

эквивалентна (1.6) и является полной

ортогональной системой в пространстве Ь2 а в (Т). Согласно лемме 1.1

2, а, в '

= 2

а , в ^п

Уравнение (1.5) можно записать в следующем виде

(.a,ß) Ja,ß) nn

(x) +

а + 1/2 ß + 1/2

tg x

ctg Х

(x) + ßnVn(x) = 0,

(1.12)

(1.13)

22

где Цп = п(п + а + в + 1).

Согласно (1.13) для 0 < х < п

в<па,в)(Х) = Р2п + -1 (<Рп(х))

,(a,ß)

(x)

1

= 2<fn(x)[ fn(x) + —<fn(x)) = ßn

2 /а + 1/2 ß + 1/2

ßn

tg X

^n(x)

(1.14)

Так как

а + 1/2 ß + 1/2

tg X

а + 1/2 + ß + 1/2 I . 0

2 sin2 x 2 cos2 X ’

то из (1.14) и четности функции

eia,ß)(x)

,(a,ß)

(x)

для всех X (ав)(п)

en

^ max \ е{а,в) (0)

Wn(x)\ ^ 1, \Фп(х)\ ^ 1-Пользуясь (1.11), (1.13), для всех n Є N получим

= 1,

Daße(nß)(x) = Vn(x) - -7=Vn(x) - —=

уßn yßn

а + 1/2 ß + 1/2

tg X

(1.15)

^n(x) =

= p'n(x) + ^Vßn^n(x) = ^Vßnena,ß)(x)

Da,ß e-f^ix) = ^П(х) - iV^n^u(x) = -i^ne-f^ix). Таким образом, для системы (1.11), та Є Z

Daß e<a,ß)(x) = (sgn n)VN (M + а + ß + 1) e{a’ß)(x),

eiaß)(x) ^ i, ena,ß) (о) = i, ena,ß)(x) = eaß)(x).

(1.16)

Это и есть искомая полная ортогональная система обобщенных экспонент в пространстве Ь2,а,в(Т).

2

n

2

Нетрудно убедиться, что на четных функциях квадрат оператора Ва,р совпадает с оператором Якоби

в0а,вУ(х) = V (х) + ( а + У 2 - ) У (х)

tg2 ctg 2

Ряд Фурье по системе (1.11) запишется так

neZ

2

, d—n — dn-

(1.17)

Равенство Парсеваля и величина наилучшего приближения (1.9) имеют

вид

2 — 2У 1

2,a,ß — z ,

neZ

dn

(1.18)

ЕП (f )2, а ß — ШІП

Ck

f - ck ek

(a,ß)

k=—n

f - £ fkek"m(x)

k=—n

2, а , ß

2

|k|^n+1

2, а, ß 1

1/2

dk

fk

(1.19)

Если /,д є Ь2ав(Т), то из равенства Парсеваля для них вытекают обобщенные равенства Парсеваля

_ і ^ і і _______________________________________

(/’ д)а, р =2 2 ¿к/к= ¿0 ао(/) щ (д) + 2 а (/) щ (д) + ьк(/) ьк (д^ •

keZ

do

k=i

dk

Пусть

ДТ) — j f Є L,„ ,ß (T): E|fk|< .

I kez J

(1.20)

(1.21)

Согласно (1.15) А(Т) С С(Т).

Лемма 1.2. Если / е Ь1 а р (Т) , д е ^(Т)7 то (1-20) верно.

Доказательство. Справедливость первого равенства в (1.20) вытекает из неравенств

(f,g)

а, ß

Е

kez

2

dk

1, а, ß

kez

<

1,a,ß

kez

справедливости (1.20) для функций из Ь.

L

1,a,ß

и плотности Ь2 а в (Т) в ). Второе равенство доказывается аналогично. Лемма 1.2 доказана.

2 , а, ß

2

2

2. Операторы обобщенного сдвига и модули непрерывности в пространствах Lp а ß (T)

Операторы обобщенного сдвига в пространстве L2 а ß (T) определим равенствами

Ttf (x) — Y1 ek‘’ß)(x), (2.1)

kez

Ttf (x) — Е e, t є r. (2.2)

kez

Так как из (1.15) \^k(t)| ^ 1, ek*’ß\t) ^ 1, то операторы Tt, тt для всех

t являются ограниченными линейными операторами из L2 а ß (T) в L2 а ß (T)

и их нормы равны 1.

Укажем интегральные представления для операторов (2.1), (2.2). Для этого воспользуемся теоремой сложения для многочленов Якоби [5, 6]:

n к

Ptß) (cos A) = £!>,„ (n.a,ß) (sin f) k+m (cos f) ^ X

2/

k=0 m=0

хр{а+к+шв+к-ш) (cog x) j^s.n íj "+т j^cos k~m p-k+me+k-m) (cog ^ x

xpm-в- ie+k-m) (2p2 - 1) pk-mP(e-2,e-2) (cos<p), (2.3)

где a > в > -1/2,

cos A = cos x cos t + p sin x sin t cos p — 1 (1 — p2) (1 — cos x) (1 — cos t), (2.4)

C ( 2n!(k + m + a)(k — m + в) (n + a + в + 1)k (2в + 1)k-m

km(n’a’e) = (a + 1)ra (k + a) (k — m + 2в) (в + 1)k (k + a + 1)ra-k+m X

(n — m + в + 1)m ((k + a + m + 1)n-k)2 (a — e)m (2 5)

(n — k)!m!(k — m)! ’ .

. % Г (a + n) .

(a)n = —r(a)— = a (a + ... + n — 1) ’

r(x) — гамма-функция.

Из (2.3) вытекает формула умножения для многочленов Якоби [7] при a > в > —1/2

р(а'в) (cos x) р(а'в) (cos t) =

= cae f ЧП Pt’e) (cos A) (1 — p2)a-e-1 p2e+1 sin2e pdpdp, (2.6)

00

где

- _ i1 ii _ „2ї°-0-і „iitij, IП si„2,a „j„ _ У»Т(а - g)r(g + 1)

- _ I (1 - Р2Г-‘p^dpjf sin2’ фф _ - — +i) ' " ■ (27)

Рассмотрим интегралы

^1 Г п

h,m _ / Г р(а-в-1’в+к-т) (2Р2 - 1) pfc-m+1Pfc(-m" ^ 2 ) (COS ф)

JO ./О

хр(в- 2 ,в- 1) (cos ф (1 - р2)а-в-1 р2в+1 sin2e

Так как система тригонометрических полиномов I Р(в 2 2) (cos ф)

(в-1 в-1)

ортогональна на [0,п] с весом sin2e ф, р^ 2 2’ (cos ф) _ cos ф, то 1кт _

_ 0, k — m _ 1 и

Im+1,m _ / / р2Рта-в-1’в+1) (2Р2 — 1) Р2в+1 (1 — р2)“-в-1 cos2 ф sin2e ^dpd^^

OO

Система многочленов jрРІГ-в-1’в+1) (2p2 — 1)| ортогональна на [0,1] с весом р2в+1 (1 — р2)а-в-1:

^ _ ф рк(«-в-1’в+1) (2р2 — 1) р2в+3 (1 — р2)а-в-1 dp _

/О

с 1

/ р4а-в-1’в+1) (2p2 — 1) рк(«-в-1’в+1) (2p2 — 1) p2e+3 (1 — p2)a-e-1 dp

Jo

/1

р(а-в-1’в+1) (t) р(а-в-1’в+1) (t) (1 — t)a-e-1 (1 + t)e+1 dt _o,m _ k,

2«+2 J ф m W - к

поэтому Im+1m _ 0 при m > 0, а

*1 Г П

I1’0

[ Г p2e+3 (1 — p2)a-e-1 cos2 ф sin2e pdpdp _ Jo Jo

фПГ(а — в)Г(в + 1) 1

4Г(а + 2) 2(а + 1)с«’в

Итак,

1к = Г(2 (а + 1) са,в) , к = 1,т = 0, 8)

0, иначе.

Умножим обе части равенства (2.3) на р2в+2 (1 — р2)а в 1 cos ф sin2e ф и проинтегрируем по отрезку [0,^]. Пользуясь (2.8), равенством

2n (п + а + в + 1) 2^п

С10(п,а,в) = —

а+1 а+1

получим

х

sin хР-Х1в+1) (cos x) sin грПа_+1в+1) (cos t) =

= 4(а + 1)2 Сав j'1 Г p^ (cos A) рcos ф (1 — p2)a_e_1 р2в+1 sin2e ф(1рйф.

Jn JO JO

(2.9)

В формулах (2.6), (2.9) перейдем к функциями фп (x), фп (x) (1.6). Используя формулу [1,2]

(рПа'в) (cos x)) = — П(П(+ + +)1) РП_^1,в+1) (cos x) sin x, (2-10)

получим

Г-1 f п

Са„, '

OO

^n(x)^n(t) = Са,в f i фп(А)р cos ф (1 — р2)“ _в_1 р2в+1 sin2^ фйрйф.

OO

(2.12)

Дифференцируя (2.11) по х, получим

*1 f П

<Pn(x)<Pn(t) = Сав í Í <fin(A) (1 — p2)a в 1 p2e+1 sin2e pdpdp, (2.11)

00

Pn(t)^n(x) = Са,в [ í фи(А)В (1 — p2)a в 1 p2e+1 sin2e pdpdp, (2.13)

00

где

/ sin x cos t — p cos x sin t cos p + 1 (1 — p2) sin x(1 — cos t) , „

В = AT = --------------------------------, 21--------—--------------------, (2.14)

ж sinA v '

если sin A = 0 и В = 0, если sin A = 0.

Проверим корректность такого понимания функции B. Ее можно рассматривать для p £ [0,1], p £ (0,п). Если x и t кратны п, то левая часть в (2.13) равна нулю и функцию B для таких x и t можно считать нулем. Покажем, что для p £ [0,1], p £ (0,п) и x, t, не кратных п, sin A = 0 или cos A = ±1.

Пусть

f (p) = cos A = cos x cos t + p sin x sin t cos p — 2 (1 — p2) (1 — cos x) (1 — cos t). Тогда

f (p) = sin x sin t cos p + p (1 — cos x) (1 — cos t) ,

f (p*) = 0 для . .

sin x sin t cos p

p

(1 — cos x) (1 — cos t) ’ Рассмотрим три значения f (0), f (1), f (p*). Имеем

— 1 < f (0) = —1 + 2 cos2 x cos2 2 < 1,

— 1 ^ cos (|x| + |t|) < f (1) = cosx cos t + sinx sint cos p < cos (|x| — |t|) ^ 1,

— 1 < f (p*) = —1 + 2 cos2 X cos2 2 sin2 p < 1.

Остается заметить, что для p є [0,1]

f (0) < f (p) < f (1), f (0) ^ 0,

f (1) < f (p) < f (0), f (1) < 0,

f (p*) < f (p) < max(f (0), f (1)), f' (0) < 0, f' (1) > 0.

Таким образом, функция B (2.14) для p є [0,1], p є (0,п) и x, t, не кратных

п, конечна (непрерывна). Покажем, что на самом деле

B < 1. (2.15)

Действительно,

1- B2 =

= 1 — ^cos X cos t + p sin X sin t cos p — 2 (1 — p2) (1 — cos x) (1 — cos t)^ —

— ^sin X cos t — p cos X sin t cos p +2 (1 — p2) sin x (1 — cos t)^ =

= 1 — cos2 t — p2 sin2 t cos2 p — 2 (1 — p2)2 (1 — cos t)2 (1 — cos x) +

+ (1 — p2) (1 — cos x) (1 — cos t) cos x cos t — (1 — p2) sin2 x cos t (1 — cos t)+ +p (1 — p2) (1 — cos x) (1 — cos t) sin x sin t cos p+

+p (1 — p2) sin x cos x sin t (1 — cos t) cos p =

= sin2 t (1 — p2 cos2 p) — 2 (1 — p2)2 (1 — cos t)2 (1 — cos x) —

— (1 — p2) cos t (1 — cos x) (1 — cos t) + p (1 — p2) (1 — cos t) sin x sin t cos p ^

> (1 — p2)

sin21 — 1 (1 — p2) (1 — cos t)2 (1 — cos x) +

2

+p (1 — cos t) sin x sin t cos p — cos t (1 — cos x) (1 — cos t)] = = (1 — p2) (1 — cos t) [1 + cos x cos t —

— 2 (1 — p2) (1 — cos x) (1 — cos t) + p sin x sin t cos p

= 2 (1 — p2) (1 — cos t) [(1 + cos x) (1 + cos t) + +p2 (1 — cos x) (1 — cos t) + 2p sin x sin t cos p] .

Так как квадратный трехчлен

g (p) = p2 (1 — cos x) (1 — cos t) + 2p sin x sin t cos p + (1 + cos x) (1 + cos t) относительно p имеет глобальный минимум

sin x sin t cos p

g

= (1 + cos x) (1 + cos t) —

(1 — cos x) (1 — cos t)

sin2 x sin2 t cos2 t sin2 x sin2 t sin2 p

(1 — cos x) (1 — cos t) (1 — cos x) (1 — cos t)

то

О (1 — p2) sin2 x sin21 sin2 p

1 — B2 ^------------------- ------ ^ 0.

2 (1 — cos x)

Рассмотрим интегральный оператор

Ttf (x) = c0l 00 {f (A)(1 + в) + f (—A)(1 — B)( x

x (1 — p2)“~в~‘ p2e+1 sin23 pdpdp, (2.16)

где A (2.4), В (2.14), ca ,в (2.7), a> в > — 2.

На четных функциях

T¡f (x) = ca,в / / f (A) (1 — p2)a-13-1 p2e+1 sin2e pdpdp. (2.17)

00

Согласно (2.11)

T¡pn(x) = pn(t)pn(x), T¡1 = 1.

Оператор (2.17) был построен Т. Курнвиндером [5, 6, 7]. Для него в пространстве Ьр>а>в [0,п] при p = ж справедлива оценка (см. (2.7))

II7! f lip ,а, в ^ Са ’ в jQ 0 llf UP, а в (1 — p2)“-e-1 p2e+1 sin2e pdpdp = \\f lip, а , в .

0 0 (2.18) Докажем (2.18) при p = 1. Тогда (2.18) по интерполяционной теореме Рисса -Торина [8] будет верно для всех 1 ^ p ^ ж. Для оператора (2.17) Дж. Гаспер [9,10] получил представление

ГП

Ttf (x) = f (z)K (x,t,z) dva , в (z), 0 <x,t<n,

0

nt .

(x) =

0

где ядро K (x, t, z) ^ 0, симметрично относительно всех аргументов x, t, z и

ГП 0

£ K (x,t,z) dVafi(z) = 1.

Поэтому для p = 1 и 0 < t < п имеем

Ttf II1

а,в

П

/ f (z)K (x,t,z)dva^ (z) 0

П

где

^ / (/ If К(x,t,z)dva>/3(z)^ dva,e(x) =

= j0 I/(z)| (jo K(x,t,z)dva,e(x)^ (z) = II/lliae •

При t = 0 T*/(x) = /(x) и (2.18) верно. При t = п из (2.17)

С1

Tn/(x) = Са,в / (arcos (p2 (1 - cosx) - 1)) (1 - p2)a в 1 p2f3+ldp,

J0

— = [ (1 - p2)--1 P2e+1dp = Г(а2Г ((*r+(f)+1> •

Делая замену переменной p2 (1 — cos x) — 1 = cos t , получим

rrn t, ) Са,в fП ) (- (cos x + cos T))“ в ^ ( )

T1 /(x) = / (T) -( • X • r )2a---dVa,e(t)

2 H Jn-x (sin X sin 2J

rn

= / (t) K(x,T)dva,e(t),

где для 0 < x,T < П

( Ca,0 (-(cos x+cos r))a — e — 1

K(x^) = < 2а—в(sin x sin 2 )

[ 0, x + т ^

Ядро K(x, т) ^ 0, симметрично относительно x, т и из равенства Tf 1 = 1 £ K(x, т)dvae(т) = 1, поэтому

WT1 f Wl,a,e < f0 (yf0 f (т)| K (x,r)dva,e (т)) dva,e(x) =

= jo \f (т)\ (j0 K(x,т)dvaв(x)) dva,e(т) = llf lll,ae .

Таким образом, справедлива следующая лемма.

Лемма 2.1. Оператор (2.17) при 0 ^ í ^ ^ действует из Ьрар [0,^] в Lp,a,p [0,^], 1 ^ p ^ ж, и его норма равна 1.

По-существу лемма 2.1 принадлежит Дж. Гасперу.

Так как

B(-t) =

A(-t) = arccos(cos x cos t + p sin x sin t cos (n - p) --1 (1 - p2) (1 - cos x) (1 - cos t)), sin x cos t - p cos x sin t cos(n - p) + 2 (1 - p2) (1 - cos t) sin x

sin A(-t)

0

то, делая в (2.16) замену р = р, п — р = ф, получим, что

тг/ (х) = ТЦ (х).

(2.19)

Так как

А(—х) = агссов (осе х 008 £ + р 8Ш х 8Ш £ 008 (п — р) —

—1 (1 — р2) (1 — 008 х) (1 — 008 ¿)^ ,

В(—х) = —

81п х 008 £ — р 008 х 81п £ 008(п — р) + 2 (1 — р2) 8Ш х (1 — 008 £)

81п А(—х)

то делая в (2.16) замену р = р, п — р = ф, получим, что

П/(—х) = ^ £ £ {/(А) (1 — В) + /(—А) (1 + В)} х

Са, в 2 ;0

(1 — р2^1 р2в+1 81п2в ф(1р(1ф.

X

(2.20)

Лемма 2.2. Оператор (2.16) действует из Ьрар (Т) в Ьрар (Т), 1 ^ р ^ ^ ж, и его норма равна 1.

Доказательство. Согласно (2.19) можно считать 0 ^ ^ п. Если р =

= ж, то в силу (2.15), (2.16)

Т/1

Са , в

1 гп

(1 + в ) +

2 11 ^1ы "о, а,в

т -и; -Г |и II

со, а , в

(1 — В) х

х (1 — р2)"-'’-1 р2в+1 8Ш2в рйрйр = / Во а в ■

Если р = 1, то в силу (2.15), (2.16), (2.20)

Т/ (х) | йуа,в (х)

’ —п

* 1 Г п

<

От {£ II' {/(А) (1 + В) + /(—А) (1 — В)} х

х (1 — р2)а в 1 р2в+1 81п2в рйрйр йиав(х) + п| 1 п

+ / {/(А) (1 — В) + /(—А)(1 + В)} х

.Jo .Jo .Jo

х (1 — р2)а в 1 р2в+1 81п2в рйрйр йиав(х)| ^

гп / /*1 гп

( {/(А)1 (1 + В) + \/(—А)| (1 — В)} х

Jo \Jo Jo

х (1 — р2)а в 1 р2в+1 81п2в рйрйр\ йиав(х) +

п

С

ГП / ҐІ ГП

+ / / / {I/Л)| (1 - Б) + |/(-Л)| (1 + Б)} X

Jo \Jo Jo

X (1 - Р2)а - в-1 р2в+1 sin2e pdpdi^j dva в (ж)} =

= Са,в / / / {|/(Л)| + I/(-Л)|} (1 - р2)а-в-1 р2в+1 sin2epdpdpdvae(ж). ooo

Согласно лемме 2.1 Са ,e J J J /Л)| (1 - р2)а-в-1 р2в+1 sin2e pdpd^dvae(ж) ^

П

W |/(ж)| dv^ в (ж), o

Са,в J ^ J J / (-A)| (1 - р2)а-в-1 р2в+1 sin2e pdpd^dva в (ж) ^

п /* 0

|/(-ж)| dva в (ж) = /' (ж)| dva в (ж),

-П

поэтому

П

І1ї1/І11, а ,в ^ / |/(ж)| dVa ,в (ж) = \/ ІІ1, а в ■

-П

Остается применить интерполяционную теорему Рисса-Торина. Лемма 2.2 доказана.

Из (2.11), (2.13) вытекает, что операторы (2.1), (2.16) на функциях рп(ж), 'фп(ж'), а, значит, и на функциях еП,в)(ж), совпадают. Учитывая их непрерывность, как операторов из L2,а,в(T), приходим к следующей лемме.

Лемма 2.3. Если а > в > - 2, то операторы (2.1), (2.16), как операторы из L2,ав(T) в L2,ав(T), совпадают.

Таким образом, оператор (2.16) является продолжением оператора (2.1) на пространства Lp,а,в (T), p = 2. Его также будем обозначать в дальнейшем

T t

Согласно (2.11) - (2.13), (1.11) еПа,в\ї)еПа’в)(ж) = <Рп(ї)<Рп(ж) - фп(і)фп(ж)-г (^п(Ґ)фп(ж) + ^п(ж)фп(Ґ)) =

= Са,в f f Рп(A) (1 - рcos р) (1 - Р2)а в 1 р2в+1 sin2e pdpdp-Jo Jo

-Са, в J J іфп(А) (л'х + A^ (1 - р2)а в 1 р2в+1 sin2e+1 pdpdp =

= if Г 0 {е(па,в)(Л) (1 - рcos Р + C) + е{п'в)(-Л) (1 - рcos р - C)} X

X (1 - р2)а-в-1 р2в+1 sin2e pdpdp, (2.21)

где

C A ^ sin(x + t) (i — Р cos р — 1 (1 — р2)) + 2 (1 — р2) (sin x + sin t)

= x + 1 = sin A ’

(2.22)

если р E [0,1], p E (0,п), x, t не кратны п и С = 0, если x,t кратны п. Рассмотрим интегральный оператор

ТУ(x) = Jo Jo {/ (A)(1 — Рcos P + C) + f (—A)(1 — РcosP — C)ix

x (1 — p2)a в 1 p2e+í sin2e pdpdp. (2.23)

Для него из (2.21)

TÍeia’e)(x) = e^XtyS^Xx). (2.24)

Так как в силу (2.15)

|1 — р cos р ± C| ^ 4,

то для / E Ь^ав (T)

llTÍ|^,a,e ^ 4 1Ц«,в .

Аналогично, делая необходимые замены переменных и рассуждая как в лемме 2.2, получим

т t

*1 рП

< 2са,в / (_/ / (А) + 1/ (Х — Р2)а в 1 Р2в+1 йІп2в Р^Р^ Х

хгі,иа,в (ж) =

= 4са,в 0 (/ / (А) + 1/ (_А)1} (1 — р2У~в~1 Р2в+1 ЯІп2в р^р^ X

х^а,в(жК 4 II/\\і,а,в ■

Применяя интерполяционную теорему Рисса — Торина, приходим к следующему утверждению.

Лемма 2.4. Оператор (2.23) действует из Ьрав (Т) в ¿р,а,в (Т), 1 ^ р ^ ^ ж, и его норма не превосходит 4.

Операторы (2.2) и (2.23) согласно (2.24) на функциях еП’в (ж) совпадают. Отсюда и из леммы 2.4 вытекает утверждение.

Лемма 2.5. Для а> в > — 1 операторы (2.2), (2.23), как операторы из ¿2,а ,в(Т) в ¿2 ,а,в(Т), совпадают.

Таким образом, операторы (2.23) является продолжением оператора (2.2) на пространства Ьр,а,в (Т), р = 2. Его также будем обозначать т*.

Отметим следующие свойства операторов Тг, т*:

если f (x) ^ 0, то Ttf (x) ^ 0; (2.25)

T°f (x)= T0f (ж) = f (x); (2.26)

T P1 = T 11 = 1; (2.27)

TVn(x) = <pn(t)tpn(x), TVn(x) = <fn(t)^n(x),

Ttela,ß)(x) = P|n|(t)ena’ß)(x), T^’^(x) = e£’ß)(t)e£’ß)(x); (2.28)

если f e LP:a,ß (T), 1 < p < то, g e Lp>>aß (T), p + P = 1, то

(Ttf,g)aß = (f,Tig)«,ß, (ttf,g)aß = (f,T-tg)e>ß; (2.29)

если f e Li,а,ß (T), то

Í Ttfdva,ß = [ fdvaßß, Í Ttfdva,ß = Í fdva,ß ; (2.30)

J T J T J T J T

если ö > 0, \t\ + ö ^ п, носитель suppf С [—5, 5], то

suppTtf С [—ö — \t\ ,ö + \t\], suppTf С [—ö — \t\ ,ö + \t\]. (2.31)

Свойства (2.25) — (2.28) вытекают из определений (2.1), (2.2), (2.16), (2.23). Свойства (2.29) для f,g e L2aß (T) вытекают из обобщенных равенств Парсеваля (1.20). Для остальных функций необходимо воспользоваться плотностью L2 ,а,ß (T) в Lp,а,ß (T), 1 ^ p < 2, и ограниченностью операторов Tt,Tt в Lp,aß (T). Свойства (2.30) вытекают из (2.27), (2.29) для g(x) = 1.

В (2.16), (2.23) у функции f участвует аргумент ±A = ± arccos (cos x cos t + p sin x sin x cos p — 2 (1 — p2) (1 — cos x) (1 — cos t)) , поэтому для (2.31) достаточно доказать, что для \x\ > ö + \t\

\ ±A\ = arccos (cos x cos t + p sin x sin x cos p —

—1 (1 — p2) (1 — cos x) (1 — cos t)^ > ö или согласно убыванию cos z на [0, п]

cos x cos t + p sin x sin x cos p — 1 (1 — p2) (1 — cos x) (1 — cos t) < cos ö. Действительно, для x,t e [—п,п]

cos x cos t + p sin x sin x cos p — 1 (1 — p2) (1 — cos x) (1 — cos t) ^

^ cos \x\ cos \t\ + sin \x\ sin\t\ = cos (\x\ — \t\) < cos ö.

Из (2.2), (2.3) вытекает, что ttf (x) = txf (t), поэтому оценка

llTtf IL,ß ^ 4 11f Wpaß

справедлива при интегрировании и по х, и по Ь. Равенство Тг/ (х) = = Тх/ (Ь) справедливо только для четных функций, тем не менее имеет место следующее утверждение.

Лемма 2.6. Для / Е Ьра^ (Т), 1 ^ р ^ ж, х Е Т

Т \Т/ (х)|" йиа,в(г)) < \\/\\Рав . (2-32)

Доказательство. Достаточно доказать (2.32) для р =1. Так как согласно (2.15), (2.16)

|т/(х)К са,в I / {\/(А)\ + \/(-А)\} I1 - Р2)а-в-1 Р2в+1 зт2вpdpdp,

Jo Jo

то как и при доказательстве леммы 2.4 получаем оценку

СП

nt

/ \Т f (x)\ dva в (t) < 2 \\f ||! , а в ■

J —П

Поэтому уточненную оценку (2.32) при p = 1 можно доказывать для f Е Е Ь2,а,в (T). Учитывая (1.20), (2.1), (2.2), (2.19), (2.29), (2.23), равенство Т = = (тt + т—t)/2, получим

/ \Ttef (x)\dva,e(t) =

J T

= sup{ JT Т*авf (x) 9 (t) dva в(t) : Ы\ж,ав ^ 1> g - четная

= sup{ JT Ti,вf (x) 9 (t) dva,в(t) : \\9\\ж,a,в ^ 1 9 - четная

= SU^L ТХвf (t) 9 (t) dVae(t) : \\9\\™,ав ^ 1 9 - четная

= SU^ L f (t) Т—в9 (t) dVa'в (t) : 19100>a , в ^ 1 9 - четная

:в 9

< llf 111, a, в Ca, в ( f (1 - P C°s p) (l- - p2)a—>3—1 р2в+1 sin2^ pdpdp

J0 J0

T-X

^ f \l ,a,в SUP

r*1 f П

\l,a,fi ' Лемма 2.6 доказана.

„ : Мю,ав < 1 9 - четна^ <

o,a,p

Рассмотрим случай а > в = — 2. Известно [1], что р>п' 1/2>(х) = = (X). Используя (1.6), (1.11), (2.10), получим

й>-1/2>(х) = 4па> (х). е<т-1/2>(х) = е2г’ (х) - (2.зз)

Операторы обобщенного сдвига при а = в > — 1 построены Д.В. Чертовой [3,4]:

%,а)/ (x) = 2 0 {/ (A) (1 + B) + / (—A) (1 — B)} sin2a pdp, (2.34)

где

Г (a + 1)

ca = ——-----(-------D , cos A = cos x cos t + sin x sin t cos p,

a vnr (a + 2)’ ^

B=

2

sin x cos t — cos x sin t cos p

sin A

если x или t не кратны п и B = 0, если x, t кратны п,

T(a,a)/ (x) = у J {/ (A)(1+ C)+ / (—A)(1 — C)} (1 — cos p)sin2“ pdp,

(2.35)

где

sin (x + t)

C ♦ л ,

sin A

если x или t не кратны п и C = 0, если x, t кратны п.

На функциях е2Пa) (X)

Tt/2 Aa,a) ( x ) = p(« ,a) ( ^ ) e(« ,a) ( ^ )

, ae2n \2J ~ p2n e2n ^ 2 J

= t( {er>(a(!4))(1+b(|,|л+

+e2na) (—A ( f. |))(1 — b( 2 ))(s,n2a

t/2 (a , a) ( x ) (a , a) ( t ) (a , a) ( x

T(a,a)e2n [2) = e2n (^J e2n

=1 /' {e2r’(A (§. 2 ))(1+c (x • D)+

+e2<n,a) (—a (i > 2)) (1—c (I > 2))((1—cos p)sin2a pdp.

Используя (2.33), равенство

x t 1

cos 2A ^ 2, 2) = cos x cos t + sin x sin t cos p — ^ sin2 p (1 — cos x) (1 — cos t)

получим

Аа"2> (¡) ela'-2’to = С2 £ ya-2’ (Лі) (і + si)+

+€-n 2 (—Ai) (1 — Bi)}sin2a pdp, (2.36)

eC’~1 'Ыа-1 ’(x) = I £ {ef"11 (Ai) (1 + Ci) +

o

+е(а 2 ’ (—A1) (1 — C1^ (1 — cos p) sin2a pdp, (2.37)

где

cos Aí = cos x cos t + sin x sin t cos p — 1 sin2 p (1 — cos x) (1 — cos t), (2.38)

. x t x t

cos A = cos — cos —+ sin — sin — cos p, (2.39)

2 2 2 2

sin X cos 4 — cos X sin 4 cos p sin x+t /

Bí = --------2----2 . .2------2----- , Cí = -^-, (2.40)

sin A sin A

если x или t не кратны 2п и Bí = Cí = 0, если x, t кратны 2п.

Операторы обобщенного сдвига определим равенствами c гп

СП

Tí,-1/2f (x) = у JQ {f (A1)(1 + Б1)+ f (—A1)(1 — B1)} sin2a PdP’ (2-41)

С í‘П

Ta,-1/2f (x)=y Jo {f (A1)(1+ C1) + f (—A1)(1 — C1)} (1 — COS P)sin2a PdP,

2 70

са

(2.42)

где А1, В1, С1 определены в (2.38) — (2.40).

На четных функциях

ГП

Та,-1/2/ (ж) = Са у0 / (А1) Я™2" Р^ (2^43)

Для него -1/2ріа’-1/2) (ж) = ріа,-1/2) (і) рП ,-1/2) (ж). Покажем, что он

для 0 < ж, і < п может быть записан в виде

ГП

Та,-1/2/ (ж) = J0 / (г) К (ж,і,г) ^а-1/2,-1/2(г), (2^44)

где функция К (ж, і, г) ^ 0, симметрична относительно ж, і, г и

П

/ К (ж, і, г) (IVа-1/2,-1/2(г) = 1.

0

Пусть

/л Г ж, ж ^ 0,

(ж)+ = 0, ж < 0-

Известно, что для четных функций и 0 < x,t < п [3,4]

ГП

TU (x) = f (z) Ki (x,t,z) sin2a zdz,

0

(2.45)

где

K1 (x, t, z) =

Ca22a-1 (sin x±— sin x±— sin t±|-x sin x±p)a 2

(sin x sin t sin z)2a

если \x — t| ^ z ^ min {x + t, 2n — x — t} и K\ (x, t, z) = 0 для остальных z E E (0,п). Нетрудно убедится, что

K1 (x, t, z) =

ca22a 1 (sin x±2 z sin x+z t sin t+z2 x sin x±±z)± 2

= Ca

(sin x sin t sin z)2a (sin21 sin2 x — cos21 cos2 x — cos2 z + 2 cos t cos x cos z) ± 2

\ 2a

(sin x sin t sin z)2 (sin21 sin2 x — cos21 cos2 x — cos2 z — 2 cos t cos x cos z) ± 2

(2.46)

(sin x sin t sin z)2a

Используя (2.45), (2.46), равенство p2na)(n — x) = (x) [1], получим

Tt/2p(a’a) ( x ) = p(a’a) ( Í ) p(a’a) ( x

Ta,ap2n \2z p2n \2/ P2n ^2

= jf plaa) (z) K^ x • 2 z s‘n2“ zdz = = 2 fП/2p2aa) (z) Ki (x, 2,z) sin2“ zdz =

0

ГП

Отсюда

поэтому

Tfa _! p(n ’ 2) (x) = p(n ’ 2)(t) p(n ’ 2) (x) =

u, 2

= j0 рП’ 2 )(z) K1 ( x , 2,2 ) dva -1/2, -1/2 (z)

(x t z)

K(x,2,z) = M2,2,2),

и нужные свойства ядра K (x,t,z) в (2.44) установлены.

При t = п оператор (2.43) будет иметь вид

ГП

Тж _ i / (x) = ca / (arcos (— cos x — sin2 p (1 — cosx))) sin2a pdp =

a' 2 Jo

ГП/2

= 2са ¡ / (arcos (— cos x — sin2 p (1 — cos x)))sin2“ pdp.

o

Делая замену переменной cos z = — cos x — sin2 p (1 — cos x), получим

ГП

ТП-i / (x) = / (z) K (x,z) dva-í/2,— í/2(z'),

’ 2 Jo

где для 0 < x, z < п функция

K (r z) = (- (eos x + COS z))+ 2 > 0

K (r ,z) 2"_ 1 sin2“! sin2“! > 0 ’

Таким образом, лемма 2.1 справедлива и для оператора (2.43) при а> —

—1/2, 0 ^ t < п.

Так как для операторов (2.41), (2.42)

та-1 / (x)=та- 2 / (x)

Т0х— 1/ (—х) = “2" 0 {/ (А1) (1 — В0 + / (—А1) (1 + в1)}^п2а

\В1\ ^ 1, \(1 ± С1) (1 — совр)\ ^ 4,

выполнены свойства (2.36), (2.37), то леммы 2.2 — 2.5 справедливы и при а > в = — 2. Для операторов (2.41), (2.42) при а > — 2 выполнены свойства (2.25) —(2.31). Наконец, лемма 2.6 при а > в = — 2 доказывается совершенно аналогично.

3. Модули непрерывности в пространствах Ьр,а,р (Т)

Вначале определим модули непрерывности в пространстве Ь2а,в (Т). Сделаем это двумя способами.

Пусть г ^ 1, I—единичный оператор,

Д£/ (х) = (I — Т*)2 / (х) = £ (—1)г ( Г/2) (ТУ / (х),

г=0 ' '

ДГ/ (х) = (I — т‘) 2 / (х) = £ ( — 1)Г ( Г/2\ (т>)Г / (х)

г=0 ' '

— разностные операторы. Так как в Ь2,а,в (Т) ||Т*|| = ||т*\| = 1, а

ряд Х^=0 (—1)^ ) сходится абсолютно, то разностные операторы

действуют из Ь2,а,в (Т) в Ь2,а,в (Т).

Следуя Х. П. Рустамову [11], для функции / е Ь2,а,в (Т) положим

(5, /)2,а,в = йиР { IIД /\\2,а,в : \Ь\ < , (3-1)

2

Шг (6, /) 2,а ,в = йиР

Д г /

2 а в

Так как

(Т У / (х) = Е со еПа ’ в>(x),

nEZ

Д/ (х) = ^ /п С1 — Р|п| (^) 2 еПа ’ в>(x),

nEZ

то по равенству Парсеваля (1.18)

Д / »1 в = 2 Е г ('—^|(‘))'

1

Аналогично,

дг / (х) = £ Тп (1 — еПа ’ в>(г)) ~2 еПа ’ в>(х)

nEZ

1

ШГ (6, / )2 ’ а в = 2 йиР 2 Т" 1 — епа’в) (^ |*КЙП^ “п

Так как

1 — еП ’ в>(^) ^ 1 — p|n|(t),

то

шг (6, /)2а ’ в ^ (6, /)2’а ’ в '

Далее для функции / е Ь2гагв (Т) положим

(3-2)

(3-3)

(3-4)

(3.5)

°2 (1,/)2’а ’ в = / (ТУ \/ (У) — / (х)\2) \у=х Лра,в(х) =

J Т

^ X (И 0 {\/(А) — / <х)\2 (1 + В) + \/(—А) — /(х)\2 (1 + В)} X

X (1 — р2)а в 1 р2в+1 8Ш2в фйрйр) й^а>в(х),

са,в

П2 & /) 2 ’а’ в = (ТУ \/ (У) — / (х) \ ) \У=х (1уав(х) =

Т

[ ( [ [ { \/ (А) — / (х) \ 2 (1 — р сой р + С) + \/ (—А) — / (х) \ 2 х Jт \Jо Jо

X (1 — р сов Р — С)} (1 — р2)а в 1 р2в+1 8Ш2в рйрй^ (1иа ’в (х).

2

и

2

и

2

г

Модули непрерывности определим равенствами

W (S f)2,а в = SUP {Q (i’ f)2,a ,в : I t I ^ S} , (3-6)

W № f)2,a ,в = SUP ^, f)2,a ,в : 1 t 1 ^ S} • (3-7)

Используя свойства (2.27), (2.28), (2.30) оператора T*, равенство

Парсеваля (1.18), получим

^2 (t,f)2ae = / {T* I f (x) I 2 + I f (x)I2 T*1 - 2Ref (x) Ttf (x)} йиаф(х) =

2< I f (x) I dva,в (x) - Re / f (x) T f (x) dva,в (x)

It J t

1

neZ

fn

w

(S, f)2,a ,в = 4 SUP S T ^ - ^M(t)) m^nez dn

Аналогично,

Q2 (t’ f )2,a ,в = 4 2 dn i1 - Re e(n 'в)(І))

neZ

neZ

(3.8)

1

w

(S f)2,a ,в = 4 SUP Y, T ^ - P\n\(t))

dn

fn

msnez dn Согласно (3.3), (3.8), (3.9)

w (S f)2,a,в = W (S f)2,a в = ^2Wl (S f )2 ,a,в •

(3.9)

(3.10)

В пространствах Lpa, в (T) ,p = 2, 1 ^ p < oo с помощью оператора T* по аналогии можно определить следующие модули непрерывности

W (S f )Ра,в = SuP {НА f lip , a,в : I tI < S} , r ^ 1,

W (S f )p ,a ,в = SUP / (Ty I f (У) - f (x) I P) IУ=х dVaв (x)

\t\^S\ J T

В этих определениях мы учли, что HT^Ip^p = 1 и оператор T* -положительный. Так как т* не является положительным оператором, то

2

и

2

2

2

и

2

прямо, без дополнительного исследования с его помощью можно определить следующий модуль непрерывности

йг (6,/ )Рав = 8ир{ Дг / : \ £ \ < Л,г = 2т,т е N.

4. Неравенства Джексона в пространстве Ь2,а,в (Т)

Пусть п е N, г ^ 1, 0 <6 ^ п, а ^ в ^ — 2. Используя определения (1.19), (3.1), (3.2), (3.6), (3.7), константы Джексона в пространстве Ь2ав (Т) определим равенствами

Еп 1 (/)2’а’в ( л -] \

Бг (n, 6)2’а ’ в = йиР ,, (6 .)-, (4-1)

/ еЬ2, а в (Т> йг (д,1 )2 ’ а ’ в

П I а\ Еп-1 (/) 2 ’ а в ,Аг>\

Бг (п,6)2 ’а ’ в = йиР п (6 Л-, (4-2)

/еЬ2,ав (Т> йг (д,1 )2’а ’ в

7~1 ( Еп 1 (/)2’а’в {л п\

Б (n, 6)2’а ’ в = йиР ,, (6 ,)----------------, (4-3)

/€¿2, а в(Т> й (6 /)2’а в

пг х\ Еп-1 (/) 2 ’ а ’ в (ЛЛ\

Б (п,6)2 ’а ’ в = йиР П (6 /)------------- (4-4)

/€¿2, а в(Т> Ш (6/ )2’а в

Согласно (3.5), (3.10)

Бг (п, 6)2’а ’ в ^ Б (п, 6)2а ’ в, (4-5)

° ^ 6)2 ’а ’ в = Б (n, 6)2’а ’ в = ^Б (n, 6)2 ’а ’ в - (46)

Через БГ’е (п,6)2 а в обозначим величину (4.1) на подпространстве ]^2’ав (Т) четных функций. Из (1.19), (3.3)

Бг (n, 6)2 ’а ’ в = йиР \ вир V” (1 - т: Рк ^ ^ Ё Рк = 1

Йир 2_^к=1 (1 Рп-1+к(Г)) рк к

К о^/^г к=1

= БГ’е (п, 6)2’а ’ в • (4-7)

Равенство (4.7) при а = в = — 2 было доказано Н. И. Черных [12], а при а = в > — 1 — Д. В. Чертовой [3. 4].

Пусть ^’в> — наименьший положительный нуль т>П(£), тПа’в> =

= шш |ьПа’в'>, § |. Известно, что ьПа’в'> = тПа’в'> при а = в ^ — 2, п ^ 1 и при

а> в > — 1, п > шах{2,1 + [1].

А. Г. Бабенко [13] доказал, что для любой четной / е Ь2’ав (Т) справедливы неравенства

Еп-1 (/)2 ,а,в ^ йг ’в),/) 2 а в , п > 1,а = в> — 1 или а> в = — 2 ,

Г - (4-8)

Еп-1 (/)2 ’ а ’ в < йг (21{ав),/^ 2 а в , а> в> — 1, п ^ ша^2, 1 + ,

Бге (п, п) 2ав ^ 1, п > 1, а ^ в > —1, из которых вытекают равенства

Бг’е (п, 2^а ’ в>) =1, п ^ 1, а = в > —1 или а> в = —1, (4-9)

V У 2 ’ а ’ в 2 2

Бг е (п, 2^Па’в>) =1, а > в > — -, п ^ шах {2, 1 + а—в \ -

’ V П У 2 ’ а ’в 2 [ 2 }

Неравенство (4.8) и равенство (4.9) при а = в = — 1 были установлены

Н. И. Черных [12].

Покажем, что для всех п ^ 1, а ^ в ^ — 2, г ^ 1

Еп-1 (/)2’а ’ в ^ иг (п, /)2’а ’ в - (4-10)

Отсюда и из результатов в Н. И. Черных, А. Г. Бабенко будет вытекать, что при п ^ 1, а ^ в ^ — 2

Бг (п, 2тПа’вЛ = Бг’е (п, 2тПа’в)) =1- (4-11)

2 а в 2 а в

Для / е Ь2’а’в (Т) рассмотрим интеграл

I = I II Дг / »2 ’ а ’в ^а ’ в (*)-

Т

С одной стороны

I < Ш? (п,/ )2 ’ а в/ (1уа ’ в ($- (4-12)

Т

С другой стороны согласно (1.19), (3.3), неравенства (1 — х)г ^ 1 —

— гх, \х\ ^ 1

2 тп Лк

(1 — ЩкО) й^а’ в(Ц)

2 [ ЛУа,в(Ц) ^ Т Т = ЕП-1 (/)2 ’а в / йиа,в(Ц)-

]Т \к\>п Лк ]Т

Отсюда и из (4.12) вытекает (4.11).

Лемма 4.1. Если п ^ 1, а > в ^ — 1, то

Бг (n, п)2’а ,в > 1-

Доказательство. Из (1.19), (3.4)

(4-13)

Бг(п,п) 2 ’ ав = ^Р

1

Еоо к=1

0<4<п

1е

(а в>

^п—1+к (Ц)

Предложим, что для любого 0 < Т ^ п, п ^ 1

г : рк ^ 0, ^ ' рк 1 ^ -

рк к=1

Нш шах

к—Ж Т

1е

(а в> П— 1+к

V)

(4-14)

(4-15)

Тогда по лемме В. В. Арестова [14] для любого е > 0 существует последовательность рк ^ 0, ^Ж=1 Рк = 1, для которой

Е

к=1

1е

(а в> П— 1+к

V)

Отсюда и из (4.14) вытекает (4.13). Докажем (4.15). Имеем

1е

(а в> п— 1+к

(V

тП-^к (£) + Ф—+к (£)

(а в> п—

Достаточно показать, что при а > в ^ — 2

Нш шах

П—Ж Т

Равенство Нш шах

п—ж Т

тГ’>(г)

тПа’в>(£) = 0 имеется в рабюте А. Г. Бабенко [13].

Согласно (1.6), (2.10), оценке В. М. Бадкова [15,16] для многочленов Якоби при п ^ 2, т ^ Ц ^ п

= Нш шах

п——<ж т

ФПа ’ в>(£)

0-

Фпа’в>(£) ^ 71 (а, в) п\в1п Ц\

72 (а, в) п \в1пЦ\

т (а+1 в+1> тП- 1

(V

па+§ (^т 21 + П)а+2 (1сой 21 + П)

1 )в+ 2

2

<

Y3 (а, в)

па+ 2 (|sin 2 | + £)а 2 (|cos 2 | + £)

<

74 (а, в, Т)

п

а—в

поэтому lim max

Т ^.t^K

= 0. Лемма 4.1 доказана.

Оценка (4.13) при а = в = — 2 получена Н. И. Черных [12], а при а = в > — 2 — Д. В. Чертовой [3, 4].

Из (4.5), (4.6), (4.11), (4.13) вытекает следующее утверждение.

Теорема 1. Если а> в ^ — 2, п G N, r ^ 1, то

Dr (п, 2тПа>в))2 а e = Dг (п, 2тПа'в))

2 , а, в

D ( п, 2тПа’в)\ = D (п, 2тПа’ в)

2,а,в

= 1,

2,а,в \ / 2,а,в л/2 V ' / 2,а,в

Автор благодарит В. И. Иванова за помощь в работе.

Список литературы

1. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 с.

2. Бадков В.М. Введение в единую теорию алгебраических и тригонометрических ортогональных полиномов. Учебное пособие. Екатеринбург: УрГУ, 2006. 132 с.

3. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp, 1 ^ p ^ 2 с

периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.1. С.5-27.

4. Чертова Д.В. Неравенства Джексона в пространствах Lp, 1 ^ p ^ 2, с весом: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Тула. 2011. 117 с.

5. Koornwinder T. The addition formula for Jacobi polynomials and spherical harmonics // SIAM J. Appl. Math. 1973. V. 25. № 2. P.236-246.

6. Koornwinder T. Jacobi polynomials, III. An analytic proof of the addition formula // SIAM J. Math. Anal. 1975. V. 27. № 6. P. 533-543.

7. Koornwinder T. Jacobi polynomials, II. An analytic proof of the product formula // SIAM J. Math. Anal. 1974. V. 26. № 5. P. 125-137.

8. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.2. М.: Мир, 1965. 538 c.

9. Gasper G. Positivity and the Convolution Structure for Jacobi Series // Annals of Math. 1971. V. 93. № 1. P.112-118.

10. Gasper G. Algebras for Jacobi Series and Positivity of Kernel // Annals of Math. 1972. V. 95. № 2. P.261-280.

11. Рустамов Х.П. О приближении функций на сфере О приближении функций на сфере // Изв. РАН. Сер. Матем. 1993. Т.57. №5. С.127-148.

12. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т.88. С.71-74.

13. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина для L2-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах // Изв. РАН. Сер. Матем. 1998. Т.62. №6. С.27-52.

14. Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенство Джексона на сфере в L2 // Изв. Вузов. Математика. 1995. №8. С.13-20.

15. Бадков В.М. Оценки функци Лебега и остатка ряда Фурье — Якоби // Сибирский матем. журнал. 1968. Т.9. №6. С.1263-1283.

16. Бадков В.М. Приближение функций частными суммами ряда Фурье по обобщенным многочленам Якоби // Матем. заметки. 1968. Т.3. №3. С.671-682.

Во Тхи Кук (donghocat159@yahoo.com), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Generalized translation operators in Lp-spaces on torus with Jacobi weight and their application

VoThi Cuc

Abstract. In L2,a,e (T)-space on torus with periodic Jacobi weight the complete orthogonal system of complex-valued trigonometric polynomials, which generalize on weighted case the system exponent, is constructed. In Lp,a,e (T), 1 ^ ^ p ^ то-spaces the bounded generalized translation operators and modulus of continuity are defined. In L2,a,e (T)-space Jackson constants are calculated. These results were got early by D.V. Chertova.

Keywords: periodical Jacobi weight, Lp-spaces, trigonometrical polynomials, best approximation, generalized translation operator, module of continuity, Jackson inequality.

Vo Thi Cuc (donghocat159@yahoo.com), postgraduate student, department of applied mathematics and computer sciences, Tula State University.

Поступила 12.01.2012