ОБ ОЦЕНКЕ СНИЗУ КОНСТАНТ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ $L_p$, $1\leq p Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 81-93 = Математика

УДК 517.5

Об оценке снизу констант Джексона в пространствах Ьр, 1 ^ р < 2 на прямой со степенным весом *

В. И. Иванов, Д. В. Чертова

Аннотация. Точность неравенств Джексона в пространствах Ьр,\(М+), Lp,x(К), 1 ^ р < 2 на полупрямой и прямой со

степенным весом |х|2Л+1, Л > —1/2, установленных А.В. Московским (случай полупрямой) и вторым автором работы (случай прямой), доказывается для Л > 0, Щ+{ < р < 2.

Ключевые слова: полупрямая, прямая, степенной вес,

пространства Ьр, целые функции, наилучшее приближение, оператор обобщенного сдвига, модуль непрерывности, неравенство Джексона..

Введение

В пространствах ЬР,\(М+), Ьр,\(М), 1 ^ р < 2 на полупрямой и прямой со степенным весом И2^1, Л > —1/2 А.В. Московским [1] (случай полупрямой) и вторым автором работы [2] (случай прямой) доказаны неравенства Джексона

е2Я(/)ьрЛ(ж+) < 21/р-1и(,А ,

\ / Ьр,х(Ш+)

Е2Е(/)ЬР'Х(&) < 21/Р-1ш( , Л

\ / Ьр,\(Ш')

с той же самой константой

21/р-1,

что и в случае единичного веса (Л = —1/2) [3]. Здесь в левых частях неравенств стоят величины наилучших приближений четными целыми функциями и целыми функциями экспоненциального типа 2Я соответственно, а в правых частях - модули непрерывности, Ь\ - наименьший положительный нуль функции Бесселя <1\(х) порядка Л. При Л = —1/2 константа 21/р-1 является точной [1]. Вопрос

о ее точности при Л > —1/2 остается открытым. В работе доказывается

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 10-01-00564, № 12-01-91158-ГФЕН).

точность константы 21/p-1 при Л > 0, ff+f < p < 2, что говорит в пользу гипотезы о ее точности при всех Л> —1/2, 1 ^ p < 2.

Функции из пространства Lp,a(R+) можно четным образом продолжить на всю прямую, поэтому Lp,a(R+) можно отождествить с подпространством Lp,a(R) четных функций и доказывать оценку снизу на этом подпространстве, рассматривая только действительные функции.

Пусть Г(х) - гамма-функция, Л ^ —1/2, va(x) = 2At(a+i) _ степенной вес на полупрямой R+, d^A(x) = vA(x)dx, 1 ^ p ^ œ, Lp,a(R+) - пространство действительных измеримых по Лебегу функций f на R+ с конечной нормой

\\f ||p,A = ^jR \f (x)№a(x)^ , 1 < Р< œ,

\\f IU,A = \\f IU = vrai sup \f (x)\, p = œ.

R+

Пространство Lî,a(R+) - гильбертово со скалярным произведением

(f,g) = f (x)g(x)d^A (x).

J R+

Через Ep,A, a > 0 обозначим множество функций f G Lp,A(R+), которые являются сужениями на R+ четных целых в C функций f (z), удовлетворяющих оценке

\fMi < c,e°M, c, > 0.

Таким образом, Ep,a - класс четных целых функций экспоненциального типа a из Lp, a(R+).

Величину наилучшего приближения функции f G Lp,a(R+) четными целыми функциями экспоненциального типа R, R> 0 определим равенством

ER(f)p,A = inf{\\f — g\\p,A : g G eRa}- (!)

В пространстве Lp,a(R+) действует ограниченный линейный оператор обобщенного сдвига (см. [1,2,4])

ГП

Ttf (х) = CA f (A) sinîA <pdtp, (2)

J 0

где t G R+,

CA = ^Ц+ф) , A =^XÎ + t2 — 2Xt COS ^, (3)

позволяющий определить модуль непрерывности

u(ô, f )p,A = sup{Q(t, f )p,A : 0 ^ t ^ ¿}, ô > 0, (4)

где

en

f )р,х = (Tt\f (y) - f (x)\p) \y=x d^x(x)

/0

rn

= cW / \f (A) - f (x)\p sin2A ^d^d^x(x). (5)

JR+ J 0

Константы Джексона определим равенством

-tv d n ER(f )p,x

V(R,S)ptx = sup ———.

febp,x(R+) ^(5,J )p,X

Наша цель - доказать следующее утверждение.

Теорема. Если Л> 0, |x+i <Р < 2, R> 0, 5 > 0, то

D(R, 5)p,\ > 21/p-1. (6)

Доказательство будет следовать схеме, предложенной в [5], где получена

правильная оценка снизу константы Джексона в пространствах Lp, 1 ^ p <

< 2 на торе с периодическим весом Якоби \ sin x\2a+1, а > -1/2. В нашем случае возникают новые трудности, связанные с неограниченностью R+ и сложностью приближающего аппарата.

В дальнейшем запись A ^ B будет обозначать неравенство A ^ cB с константой, возможно, зависящей от Л, R, 5, запись A х B - B ^ A ^ B.

1. Некоторые вспомогательные результаты

Пусть

J\(x)

jx(x) = 2ЛТ(Л + 1)^, Зх(0) = 1

- нормированная функция Бесселя.

Для функции У е Ь2,х(Щ справедливо разложение в интеграл Фурье-Ганкеля

у(х) = !{У)3\{ХУ)Л^\{У), Т(у) = у {х)]х{ху)(1^х{х). (7)

•/М+ •/м+

Для функций У,д е Ь2,х(М+) справедливо обобщенное равенство Парсеваля

и,д) = (Т,9). (8)

Приведем некоторые свойства функции 3х(х) (х,у ^ 0):

\зх(х)\ < 1 \з'х(х)\ < 1 (9)

х

з'х(х) = - 2(Х + 1) 3х+1(х), (10)

х2Х+1(зх(ух))' + у2х2Х+1зх(ух) = 0, (11)

г-г ¿2Х+2

\ У0 ]\{ух)йц,\{х) |< у + 1)Х+3П ■ (14)

\Іх(х)\^ (х + 1)х+1/2 , (12)

г-г ¿2Х+2

0 ¿\(.Ух)Л^\(х) = 2л+іГ(Л + 2) 3Х+1У)’ (13)

гг ¿2Х+2

/о .............. У +

Свойства (9) - (12) можно найти в [6,7]. Равенство (13) вытекает из (10), (11). Неравенство (14) вытекает из (12), (13).

Отметим некоторые свойства оператора обобщенного сдвига (2) (см. ^,2,4]) 0 г

Т0 / (х) = / (х), Т 1 = 1, (15)

если /(х) ^ 0, то Тг/(х) ^ 0, (16)

(Тг/,д) = (/,Тгд), (17)

если / є £1)д(М+), то

[ Тг/(х)й^х(х) = ( /(х)й^х(х), (18)

•/М+ «/М+

ТІІ\(Ух)= ,І\у).Іх(Ух)- (19)

Пусть отрезки А1, А2 С [0,6], Ь > 1, ХД1, ХД2 - их характеристические

функции

дДі,Д2 (і)= ХДі (х)Тгхд2 (х)йух(х), (20)

^ М+

ш(5, /) = 8ир{\/(хі) - /(х2)\ : \хі - х2І < 5 < 1}

- модуль непрерывности функции / є С(М+).

Лемма 1. Для модуля непрерывности функции (20) справедлива оценка ш(5,дд1д2) < Ь2Х+151п1/5.

Доказательство. Согласно (8), (19), (20)

дДі,Д2№ = / ХДі(У) • ХД2(У)Іх(Ъу)Л^х(у)■

К+

Так как для любого у ^ 0 функция х2Х+2(ух + 1) Х 3/2 возрастает, то в силу (14) для г = 1, 2

¿2Х+2

\ХДг (у)\ < (Ьу + 1)Х+3/2 , (21)

поэтому

I / м [ Ь4Х+4у2Х+1 ,

\дд!Д2 №\ < (Ьу + 1)2Х+3 (1у-

Последний интеграл сходится, значит, ддьд2 € С(К+).

Для ¿1 ,¿2 ^ о, (¿1 - ¿21 ^ 5, 5 ^ 1 в силу (9) \э\(иу) - За(¿2у)\ ^ у5, поэтому согласно (9), (21)

, б-1

\ддг,д2(^1) -дд1 ,д2(г2)] < 5 / у\хдхЫИМуН

./0

/* те

+2 \хдгЫНхд(у)\л^\(у) «

б-1

/•б-1 у2А+2 /-те у2Л+1

« 64А+4{^о (Ьу+ 1)2А+3 йу + 1-1 (Ьу + 1)2А+з йу} «

«Ь“+1{5/0 у2А+2Л/ + ^¿зуЛу + рш[_ 11}«

« Ь2А+151п 1/5.

Лемма 1 доказана.

Рассмотрим следующий класс четных целых функций экспоненциального типа Л:

^д,м = {/(г) : \/(г) < Ив*11™1, г € С}.

Он является компактным в пространстве С[0, Ь], Ь > 1 (см. [8]). Обозначим через пе = пе(Ш*м ,С [0, Ь]) количество элементов в наименьшей е-сети для м в С[0,Ь]. Правильный порядок \og2nе по е можно найти в [9]. Однако он был получен при фиксированных К, Ь, И. Нам будет важна зависимость пе от параметров Ь и И. Будем следовать рассуждениям из [9].

Функция / € м раскладывается в ряд Тейлора

/(г) = ^2 акг2

„2к

ак' к=0

который сходится абсолютно для всех г € С. По формуле Коши

1 [ /(г) 7

ак = 2П

Выбирая го как угодно маленьким, а Гк = Щ при к = 1, 2,..., получим оценки

(К \ 2к

Кв) , к = 0,1,... (\ао\ ^ И).

При построении е-сети будем использовать частичные суммы ряда Тейлора порядка 2з — 2, в = [КвЬ] + 1. Для х € [0, Ь] справедлива оценка

5— 1 те

\/(х) -^ акх2к\ ^ ^ \ак\Ь2к <

к=0 к=5

(квЬ\2к 1 и

* И Ц -й) * И £ 2кк * 225—Г * е/2

к=5 к=5

если 2 * е/2И. Пусть

2к 2м(Кв\2кг г = 1 —1

к = 0,1,...,в - 1, то для некоторых

8И ( КвЬ\2к ¡к = ~ {^) ,

Если ак € [-И (Ш^.И (§)2‘

Хк,гк, 1к € {1, ...,1к - 1} будет

5—1 5—1 5—1

\ ^ акх2к -^2 Хк,гкх2к\ * ^ \ак - Хк,гк\Ь2к *

к=0 к=0 к=0

* 5—1 2И ( КвЬ\2к * у1 е 1 * е

*^ ~к \2к ) *4 ^ 2^ * 2.

к=0 к к=0

Значит, многочлены

5—1

р(х) = ^2 хк, гк х2к, гк €{1,...,1к - 1}

к=0

образуют е-сеть. Их количество равно Пк=0(¡к - 1), поэтому

5 1 8М / КвЬ\2к = (Ш\5 (КвЬ)5(5—1)

пе *

к=0 е V к ' Vе' Шк=2 ккГ

Так как КвЬ * в,

к=2

то

5—1 [ 5—1 (в —1)2 (в —1)2

к 1п к ^ у х 1п хйх = ----------2----1п(в - 1)----------4----

/8И\5 в5(5—1)

Пе * ----- --------------------*

V е / в(5—1)2 1п(5—1) — (в 2 }

* ^ 8И ^ в(5— 1)[5 1П 5—(5—1) 1п(5—1)]+ (8-1)

Учитывая, что

в 1пв - (в - 1) 1п(в - 1) = (в - 1) 1п ^1 +------+ 1пв * 1 + 1пв,

получим

Пе * ( ~И ) в^ +(5—1)1п е5.

Итак, нами доказано утверждение.

Лемма 2. Если 0 < е < 1, Ь > 1, К > 0, М > 0, 2-2ПеЬ ^ е/2Ы, в = = [КвЬ] + 1, то

Пе^п,м,с[0,Ь]) ^8М) е ^ +(5-1)1п“

Пусть Zn = {1,2,...,п}, Бп - множество всех перестановок Zn, Пп -подмножество перестановок п Е Бп, для которых для всех г Е Ъп, п(г) = г.

В [10] доказано следующее утверждение.

Лемма 3. Для любой перестановки п Е Пп последовательность пар (г,п(г))П=1 можно разбить на три набора так, что в каждом наборе все элементы пар будут 'различными.

Квадратная матрица А = (а3)пхп называется дважды стохастической, если для всех г,] = 1, ...,п, а3 ^ 0 и

пп

^2аИ = 2 аИ = 1

3=1 г=1

Дважды стохастическая матрица называется крайней или матрицей перестановок, если в каждой строке и в каждом столбце ровно одна единица, а остальные элементы нули. Теорема Биркгофа [11] утверждает, что любая дважды стохастическая матрица является выпуклой линейной комбинацией крайних матриц.

В наших дальнейших построениях будут возникать дважды субстохастические матрицы, у которых для всех г,] = 1, ...,п, а13 ^ 0 и

пп

^2а3 < 1 '}2агз < 1

3=1 г=1

Дважды субстохастическую матрицу назовем крайней, если у нее в каждой строке и каждом столбце не более одной единицы, а остальные элементы нули. Аналог теоремы Биркгофа для дважды субстохастических матриц был доказан Мирским [11].

Теорема Мирского. Для любой дважды субстохастической матрицы А порядка п существует набор неотрицательных чисел Х1,..., Лп2+1,

еп:!1 л, = 1 и набор крайних дважды субстохастических матриц А1,..., Ап2+1, для которых

п2 +1

А =^2 ЛвА3. (22)

5=1

На самом деле Мирский не подсчитывал число крайних матриц в представлении (22). Это было сделано в более поздних доказательствах [11].

2. Доказательство теоремы

Пусть N Е N ам выбрано так, что ^Л([0, ам]) = йц,л(х) = N, отрезки

А1,...,Дм2 С [0,ам], Ц.л(^) = N, иГ=21 дг = [0,ам], с(г) Е {-1,1},

, ( ) Г а, х Е Д, г = 1,...,N2, (23)

/м(х) = 4 0 ( ) (23)

[0, х Е (ам, ж).

Константы с(г) будем считать независимыми случайными величинами, принимающими значения ±1 с одинаковыми вероятностями Р(с(г) = 1) = = Р(с(г) = -1) = 1/2, так что математическое ожидание Е(с(г)) = 0. Отметим, что

1 гам а2Л+2

N = —----- х2Л+1^х = м

2ЛГ(Л + 1) 70 2Л!1Г(Л + 2)’

\ 11 1 1

ам = (2Л+1Г(Л + 2)N) 2Л+2 х N 2Л+2. (24)

Если 0 ^ Ь ^ 5, А = , то при 0 ^ х ^ ам — 5, А ^ х +

+ Ь ^ ам, а при х ^ ам + 5 А ^ х — Ь ^ ам, поэтому, согласно (5), (15),

("ам—0 СП

гам —о гп

Ор(Ь,/)р,Л = сл I / |/(А) — /(х)\р 8т2Л ^й^й^Л(х) + 00

^.^\р *^2Л,

0

г ам +0 г п

+сл / \/(А) — /(х)\р 8т2Л ^й^йц.л(х)+

«/аN—0 «/ 0

+сЛ / \/(А) — /(х)\р 8т2Л ^й^й^Л(х) =

«/ ам +0 «/ 0 гам—0 гп

= 2р—2сл / \/м(А) — /м(х)\2 8т2Л ^^ц.л(х) +

00 Г ам +0 г п

+сл / \/м(А) — /м(х)\р 8Ш2Л ^й^й^л(х) ^

^ ам —0 «/0 гам —0

— 1г,,/Гп I /™\ I I £1М <

гам —0

^ 2р—1{^([0,ам]) — /м(х)Т/м(х)й^л(х) +2^([ам — 5,ам + 5])}

Jo

^ 2р—1^ + 3^([ам — 5,ам + 5]) — [ /м(х)Т/м(х)й^л(х)}. (25

</ к+

Отметим, что

ц.([ам — 5,ам + 5]) = 2Л!1Г(Л + 2) {(ам + 5)2Л+2 — (ам — 5)2Л+2} < N2Л+2.

(26)

Если

Ом (Ь) = / /м (х)Т/м (х)й^л(х),

о М +

30 ПП

то, используя обозначение

дД;Д (Ь)= ХД; (х)Т*ХДз (x)d^л(x),

м+

получим

м2

Ом(Ь) = ^ с(г)с(])дД;Дз(Ь).

%3 = 1

Если вектор с = (с1,...,см2) и матрица порядка N А(Ь) = (дд;,дз(Ь)), то Ом(Ь) = сА(Ь)ст. Согласно (15), (17), матрица NA(t) - симметричная и дважды субстохастическая:

дД;Аз (Ь) = ХД;(х)Т *ХД- (х)^Л(х) =

•у М+

= ХДз(х)Т*ХД;(х)йрл(х) = дДз А(Ь) ^ 0,

^ м+

м2 м2

J2Ngдi,Дj(Ь) = N / хд;(х)Т*^2 ХДз (х)^л(х) <

3=1 ]ж+ 3=1

^ ХД; (х)Т*1й^л (х) = ХД; (х)й^л(х) = 1,

</М+ «/М+

3=1 3=

-I*

%.+ </ ж+

поэтому по теореме Мирского при п = N2

м4+1

А(Ь) = N ^

5=1

где Л1(Ь),...,Лм4+1(Ь) ^ 0, Й—+1 Л3(Ь) = 1, А1(Ь),...,Ам4+1(Ь) - крайние дважды субстохастические матрицы. Отсюда

1 м4+1

г

5=1

Ом(Ь) = N ^2 Лз(Ь)сА3(Ь)с

.. м4+1

N ^ Л*(Ь) ^ с(г')с(п3,*(г)), (27)

5—1

где £}3* С Zм2, перестановки п5* Е Бм2. ’ _0_ ’

м6

Пусть 5 > 0, Ьк = мкк, к = 1,..., N6. Рассмотрим события

2

В8к = ( ^ с(г)с(п8*к(г)) > — —— I ,в = 1,...,^ + 1,к = 1,...^6. (28)

1п N

< Ъ€.0>э,1к

По лемме 3 слагаемые в последней сумме, для которых п8*к(г) = г, могут быть разбиты на три суммы, в каждой из которых элементы пар (г,п8 ,*к (г)), г Е &8* будут различными. Как показано в [10,12], слагаемые в каждой такой сумме У\, I = 1, 2, 3 будут независимыми случайными величинами, принимающими значения ±1 с вероятностями 1/2, поэтому согласно оценке Хефдинга [13]

Р(В8,к) * р ( — с(г)с(п3,*К(г)) * — ^ I *

,па,ьк (г)=г )

* 1—1Р (У * — ^) * 3ехр (— ) ' (29)

Мы учли, что число слагаемых в каждой сумме У не превосходит N2.

Пусть для четной целой функции экспоненциального типа Я Еи,м выполнены неравенства

Еи(/м)р,л * ||/м — Ея,м\\р,л * ^ + Еи(/м)р,л * 2\\/м\\р,л

(30)

Тогда для нее

||^Н,м ||р,Л * Ш'м 11р,Л ?

иначе

\/м — Еи,м ||р,л ^ ||^Н,м ||р,Л — \/м ||р,Л > 21/м ||р,Л.

Применяя неравенство разных метрик (см. [4]), получим

№в,м||~ * 7лЯ(2Л+2)/р||^,м||р,л * 37лЯ(2Л+2)/р|/м||р,л « N1/р. (31)

Так как [8]

\Ея,м(х + гу)\ * ||^д,м||теея\у\,

3(х)}К

то Ех,м Е Шя,м, М = ||^н,м||те. Пусть {фз(х)}^—1 - минимальная 1/N-сеть

для Шим в пространстве С[0, ам]. Тогда по лемме 2 (Ь = ам)

1

К * е1л'кмЛ+2 , (32)

а в силу (31)

11Фз 11с[0,ам] * 1/N + М « N1/р. (33)

Рассмотрим события

3\(/м,фз) < ^N), 3 = 1,...,К. (34)

Так как согласно (31)

N2 .

\(fN ,ф3 )| =\Y1c(i) ф3 (x)d^(x) \,

■ 1 J Аг

1=1 г

\ i фз(x)d^\(x) \< N1/p 1, J Аг

то, применяя оценку Хефдинга [13], получим

N 2

P(Dj) = P (\^2c(i) f ф3ix)d^xix) U ln N

V i=i jAi

N

N 2(1-1/P)

< 2exp[ cX,R ln2 N ), j = 1,...,K.

2Л+2

Отсюда и из (29), (32) при р > , Л > 0, 1/р + 1/р' = 1

N

N 4+1 N6 K \ / дт2

P Е T.B-k+ Еj <3<N< + dn6exp(-) +

\ s=1 k=1 j=1 / '

/ N2/p,\ f N2/p \

+2K ex^-^,R in^N ) ^ex^-n^R inN ) , n\R > 0,

N 2/p'\ ( N 2/p

+2K exp I -вл,Е '

поэтому

//N4+1 N6 \ / K

P rr V'B. TTD ^ ^

f /N4+1 N6 \ { K \\ / N2/p

P П EBsk ^1 -exp\-^,r> 0 (35)

\ \ s=1 k=1 ) \j=1

Таким образом, для каждого достаточно большого N существует функция /м (23), для которой согласно (27), (28), (34), (35) выполнены свойства

1 ^ \s(tk)(-N) = - ^, k = 1,...,N6, (36)

. in N J ln N

s=1

\(fN,Фз) <^T7, j = 1,...,K. (37)

N 1п N'

Закончим доказательство теоремы. Согласно лемме 1 для любого Ь Е [0, 5] и некоторого Ьк, для которого \Ь — Ьк\ * , будет

/ м 1п N „т2

\дД;,Дз (Ь) — дД;Аз (Ьк ^ < N5- , г,3 = 1,...,N

м2 1п N

\Ом(Ь) — Ом(Ьк)\ * ^2 \дД;,Дз(Ь) — дД;Дз (Ьк)\ ^ г,3=1

Отсюда и из (36) для всех t е [0,5] GN(t) ^ — inN, поэтому согласно (25)

(26) ^

;P(Ä ^ 2P-l^T ( 1 i С(^)

ир(5,/м)Р,Х * Я-^ 1 + ^)- (38)

Применяя неравенство Гельдера, (30), (37), для некоторого ] Е {1, ...,К} получим

N = Ум % = [ /м(/м — РК,м)(1^\ + [ /м (РК,м — ф] )(1^\ +

*/М+ */М+

[ N

+ у ,[мФ] * \\/м\\р' \\/м — РК, м ||р + N ||РК, м — Ф] ||с[0 ,ам ] + Щм *

* N1/Р' ^ + Ек(/м^Р,х + 1+1—N■

Отсюда и из (38)

Ек(/)р,Х > (1— ' м 1п1м) м+1 : 21/Р-1 N ^ оо)

и(5,/м)р,х ^ 21-1/р{1 + ®)1/р

Теорема доказана.

Список литературы

1. Московский А.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp(Rn) и Lp,\(R+) // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т.3. Вып.1. С.44-70.

2. Чертова Д.В. Оценка сверху констант Джексона в пространствах Lp, 1 ^ p < 2 на прямой со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.94-109.

3. Виноградов О.Л. О константе в неравенстве Джексона для пространства Lp(—ж, ж>) // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер.1. 1994. Вып.3. С.15-22.

4. Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер. Матем. 2007. Т.71, №5. С.149-196.

5. Иванов В.И., Лю Юнпин Оценка снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 ^ p < 2 с периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.59-70.

6. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Ч.1. М.: ИЛ, 1949.

7. Бейтмен Г., Эрдейн А.Н. Высшие трансцендентные функции. Т.2. М.: Наука, 1966.

8. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

9. Витушкин А.Г. Оценка сложности задачи табулирования. М.: Физматгиз, 1959.

10. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: ТулГУ, 2010.

11. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения. М.: Мир, 1983.

12. Иванов В.И. Приближение в Ьр кусочно-постоянными функциями // Матем. заметки. 1988. Т.44, №1. С.64-79.

13. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987.

Иванов Валерий Иванович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, декан, механико-математический факультет, Тульский государственный университет.

Чертова Дарья Вячеславовна ([email protected]), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

About lower estimation of Jackson constants in Lp-spaces on a straight line with power weight

V. I. Ivanov, D. V. Chertova

Abstract. The exactness of Jackson inequalities in Lp-spaces, 1 ^ p < 2 on a half-line and a straight line with power weight |x|2A+1, A > -1/2 established by A.V. Moskovskiy (case with a half-line) and the co-author of the article (case with a straight line) are proved for A > 0, 2x+f < p < 2.

Keywords: half-line, straight line, power weight, Lp-spaces, entire functions, best approximation, generalized translation operator, module of continuity, Jackson inequality..

Ivanov Valeriy ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean, mechanical and mathematical faculty, Tula State University.

Chertova Darya ([email protected]), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 15.06.2011