ОЦЕНКА СНИЗУ КОНСТАНТ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ $L_p$, $1\leq p Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 59-70

Математика

УДК 517.5

Оценка снизу констант Джексона в пространствах Ьр, 1 ^ р < 2 с периодическим весом Якоби *

Аннотация. Доказывается точность неравенства Джексона в пространствах Lp a(T), 1 ^ p < 2 на одномерном торе T = [—п,п) с периодическим весом Якоби | sinx|2“+1, а > -1/2, установленного Д.В. Чертовой.

Ключевые слова: тор, периодический вес Якоби, пространства Lp, тригонометрические полиномы, наилучшее приближение, оператор обобщенного сдвига, модуль непрерывности, неравенство Джексона.

Пусть T = [—п,п) — одномерный тор, а ^ -1/2, va(x) = | sinxl2a+l

— периодический вес Якоби, dva(x) = va(x)dx, 1 ^ p < то, Lp,a(T)

— пространство 2п-периодических комплексных измеримых по Лебегу функций с конечной нормой

В. И. Иванов, Юнпин Лю

Введение

Тригонометрические полиномы

P0,a(x) = 1, Pn,a (x) = (cOS x),

^n,a(x) = Pn-I ’a Vos x) sin x, n = 1, 2,...

(a+1,a+1)

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 10-01-00564, № 12-01-91158-ГФЕН).

образуют в пространстве Ьр, а(Т) полную систему, ортогональную относительно скалярного произведения

(f,g)= f (x)g(x)dva(x)

J T

(см. [1-3]) Пусть

En(f )p,a = min ak, bk

f (x) - ao<f0,a(x) -^2(ak<fk,a(x) + bkфk,a(x))

k=1

p,a

— величина наилучшего приближения функции f £ Lp,a(T) тригонометриче скими полиномами порядка n = 0,1,...

В работе Д.В. Чертовой [4] доказано, что в пространстве Lp,a(T) действует ограниченный линейный интегральный оператор обобщенного сдвига

Г(а + 1)

2^/пг(а + 1/2) J0

где t £ T,

A = arccos (cos x cos t + sin x sin t cos ф),

sin x cos t — cos x sin t cos ф

B = --------------:—:-----------,

sin A

и определен модуль непрерывности

ы(6, f )p,a = sup{Q(t, f )p,a : \t\ ^ 5}, 0 <6 ^ П,

Tf (x) = 2 /^r(++1) /2) Г{f A)(1 + B) + f (—A)(l - B)} sin2a

V^r(a + 1/2) Jо

где

№ (t,f )p,a = Jt (Tt\f (y) - f (x)\P)\y=x dva (x) =

= 2 /ТЇ ++1) /2) f f'{\f(л) - f (x)lp(1 + B) +

2\пГ(а + 1/2) JtJо

+\f (-A) - f (x)\p(1 - B)} sin2a ^d^dva(x). Константы Джексона определяются равенством

En(f )p,a f £Lp,a (T) ^(5,f )p , а

D(n,S)p,a = sup n . (1)

В случае единичного веса (а = —1/2) известно, что

Б (и — 1,5)2,-1/2 = 2-1/2, п/п ^ 5 ^ п, (2)

Б(2п — 2,5)р--1/2 = 21/р-1, 1 ^ р< 2, п/п ^ 5 ^ п. (3)

Равенство (2) доказано Н.И. Черных [5]. Оценка сверху в (3) также доказана

Н.И. Черных [6], оценка снизу — В.И. Бердышевым [7].

В [4] установлено, что для а > -1/2

Б(и - 1,5)2аа = 2 1/2, 2Тп,а ^ 5 ^ П,

Б(2и - 2, 5)р а а < 21/р-1, 1 < р< 2, 2тп, а < 5 < п.

(4)

(5)

Для четных функций равенство (4) было доказано А.Г. Бабенко [8]. Мы доказываем следующее утверждение.

Теорема 1. Если п е М, а> -1/2, 1 ^ р < 2, то

Таким образом, оценка Д.В. Чертовой (5), как и в случае единичного веса, является точной. Теорема 1 была анонсирована в [9].

Оценка (6) будет получена с помощью действительных, четных функций, поэтому нам удобно рассматривать функции на отрезке [0, п] и ввести следующие обозначения. Пусть

Для четных функций на отрезке [0, п] оператор обобщенного сдвига, модуль непрерывности и константы Джексона примут следующий вид:

Б (и - 1,п)р а а > 21/р 1.

(6)

(7)

П

Еи(І)р = тіп / (х) - V аи, а(х)

а и ' *

(8)

(9)

^(5, / )р а а = sup{Q(í, / )р а а : 0 ^ і ^ 5 ^ п},

где

ГП

nP(і, /)р ; а = (Т*Ц(у) - /(х)\Р)\у=х й^а(х)

ГП ГП

= / \/(А) - /(х)\р(1^а_1/2(у)(1^а(х),

.)о .)о

А = arccos (cos х сс^ і + sin х sin і cos ^>).

Очевидно, что

D(и, 5)раа ^ De(и, 5)раа-

Теорема 1 будет вытекать из следующего утверждения.

Теорема 2. Если n є N, а> -1/2, 1 ^ p < 2, то

De(n - 1,n)p,a ^ 21/p-1.

В дальнейшем параметры а и n (порядок полинома наилучшего приближения) будут фиксированными и нам будет не важна зависимость от них констант в неравенствах, поэтому вместо неравенства A ^ ca,nB будем писать A ^ B. Запись A х B будет означать B ^ A ^ B.

1. Некоторые вспомогательные результаты

Вначале приведем некоторые свойства полиномов фк,а(х):

\фк,а(х)\ < 1, К,«(х)\ < к, (11)

/ / \ к(к + 2а + 1) ,

Фк,а(х) =-----2(а + 1)— Sin (12)

((sin х)2а+1ф'к,а(х))' + к(к + 2а + 1)(sin x)2“+Vka(x) = 0, (13)

t \ i t \ Г(2а + 2)Г(к + 1) 1 , ,

(фо ,^ фо ,а) = 1, (фк,а фка) = (2к + 2а + 1)Г(к + 2 а + 1) ~ кО1, (14)

\фк,а(х)\ < ^¡-1----.+ 1)а+1/2 , (15)

(к\ sinх\ + 1)а+1/2

rt

^k,a(x)d^a (х) = , Са ' (Sin t)2a+2^k-1,a+1(t), (16)

/о 2( а + 1)

/ ірк,а(х)йу,а(х) о

Свойства (11)—(14) можно найти в [1, 2, 10]. Второе неравенство в (11) вытекает из первого неравенства и неравенства Бернштейна для производной тригонометрического полинома [11]. Порядковое равенство в (14) вытекает из поведения гамма-функции [10]:

г(к + а) ^ в Г(к + в) '

Оценка полиномов ^и,а в форме (15) предложена В.М. Бадковым [12]. Равенство (16) вытекает из (12) и (13). Неравенство (17) вытекает из (15) и (16).

Отметим некоторые свойства оператора обобщенного сдвига Т* (см. [4, 8]): 0 *

Т0 / (х) = / (х), Т 1 = 1, (18)

если /(х) ^ 0, то Т*/(х) ^ 0, (19)

(Т*/,д) = (/,Т*д), (20)

СП рп

Ы .

/ Т/ (х)й^а(х) = / (х)й^а(х), (21)

Jо J0

Тг^к (х) = ук (г)(рк (х). (22)

Пусть отрезки А\, Д2 С [0, п], ХД1 , ХД2 — их характеристические

функции,

5ДЬД2 (¿) = / ХД± (х)Т*ХД2 (х)йуа(х), (23)

0

ш(5, /) = 8ир{|/(х1) - /(х2)| : | х 1 - х21 < 5}

— модуль непрерывности функции / е С[0,п].

Лемма 1. Для модуля непрерывности функции (23) справедлива оценка

и(5,дд1,д2) < 51п 1/5.

Доказательство. Разложим функции Хдг, * = 1,2 в ряд Фурье по системе {ук,а}^=0:

к=0

где

(Х¿Дi )к =

ХДг (х) = Е(Хд г )к ук,а.(х"),

(хДг, ук,а)

(ук,а, ук,а)

Согласно (22)

го

ТХД2 (х) = ^(ХД2 )кУк,а.(1)Ук,а. (х).

ХД2 (х) =

к=0

Применяя равенство Парсеваля, получим

(хД1 ,ук,а)(хД2 ,ук,а) дД1,Д2 (1) = ^ -------(----- ----)-------Ук,а(1) = 2_> акУк,а(Ц.

к=о (ук,«,ук,«) к=0

Согласно (14), (17)

I | |(хД1 ,ук,а)(хД2 ,ук,а)\ 1

1ак| = --------7---------ч------ < Т2

(Ук,а,Ук,а) К2

и, в частности, ддьд2(¿) е С[0,п]. Так как для ¿1,^2 е [0,п], |^1 — ¿2| ^ 5 в

силу (11)

^ка^ - Ук,а (¿1)! = - ¿1| < К5,

то

|gдl,д2 (¿2) - дд1,д2 (¿1) I < ^2 а к+2 ^2 а |<■

1<к<1/г к>1/&

«5 £ 1+2 £ К* < 5 ^

1<к<1/5 к>1/5

Лемма 1 доказана.

Нам понадобятся оценки сумм независимых случайных величин. Оценку Хефдинга [13] запишем в нужных нам формах:

Р(Х1 + • • • + XN ^ —х) ^ ехР ^- N£2 ^ , (24)

Р(|Х1 + ••• + Хк\ ^ х) ^ 2ехр^-N£¡2^ , (25)

где х > 0, Хк — независимые случайные величины, для которых ак ^ Хк ^ ^ Ък, Ък — ак ^ В и математические ожидания Е(Хк) = 0.

Пусть ZN = {1, 2, • • •, N}, SN — множество всех перестановок ЪN, Пк —

подмножество перестановок п, для которых для всех г € ZN п(г) = г.

В [14] доказано следующее утверждение.

Лемма 2. Для любой перестановки п € Пк последовательность пар (г,п(г))к=1 можно разбить на три набора так, что в каждом наборе все элементы пар будут 'различными.

Напомним, что квадратная матрица А = (а—)кхм называется дважды стохастической, если для всех г] = 1, • • •, N, а^- ^ 0 и

N N

^2а- = 2а- =1 -=1 ¿=1

Дважды стохастическая матрица называется крайней или матрицей перестановок, если у нее в каждой строке и в каждом столбце ровно одна единица, а остальные элементы нули. Теорема Биркгофа [15] утверждает, что любая дважды стохастическая матрица является выпуклой линейной комбинацией крайних матриц. Сформулируем её более точно.

Теорема Биркгофа. Для любой дважды стохастической матрицы А

N 2

порядка N существуют набор неотрицательных чисел Х1, • • •, \N2, ^2 Хв =

8=1

= 1 и набор крайних дважды стохастических матриц A1,•••,AN2, для которых

N 2

А = ^2 ХЖ (26)

8=1

На самом деле Биркгоф не подсчитывал число крайних матриц в представлении (26). Это было сделано в более поздних доказательствах. Наименьшее число крайних матриц, достаточное для представления любой дважды стохастической матрицы, равно N2 — 2N + 2 [15].

2. Доказательство теоремы 2

Пусть N є М, отрезки Ді,..., С [0,п], ¡ла(Ді) = /д. йу,а(х) = 1/Ы,

N

и Ді = [0,п], с(і) є {-1,1}, і=1

fN(х) = с(і), х є Ді, і = 1,..., N. (27)

Константы с(і) будем считать независимыми случайными величинами, принимающими значения ±1 с одинаковыми вероятностями

Р(с(і) = 1) = Р(с(і) = -1) = 1/2,

так что Е(с(і)) = 0.

Так как \fN(х)| = 1, то в силу (10), (18), (21)

рП

)р,а = Jo (Т *\^ (У) - ^ (х)|Р)\у=х <¥а(х) =

рП

= 2Р-2 І (Tt\fN (У) - fN (х)|2)\у=х ЙЫх) =

П

= 2Р-1 (ТЧ - fN(x)TtfN(х))(1^а(х) =

J0

= 2Р-і 11 - І (х)ТьІ'N(х)фа(х) | = 2Р-1{1 - GN(Щ. (28)

Используя обозначение (23), получим

N

GN(t) = Е с(і)с(І)9^іЛі(t).

і,І=1

Если вектор с = (c1,...,CN) и матрица порядка N А^) = (дД.Д(t)), то GN(t) = сА^)ст. Согласно (18), (20) матрица NA(t) — симметричная и дважды стохастическая:

П

дДіДз № = ХДі (х)Т^ (х)Фа(х) =

0

П

= ХДі (х)Т^ХДі (х)й^а(х) = ддіД (Ґ) ^ 0,

0

/* П

Е NgДi,Д] (t) = ^ ХДі(х)Т^1Л^а (х) = ¿=1 У0

П

= N / ХДі (х)й^а(х) = N ^а (Ді) = 1,

0

поэтому по теореме Биркгофа

N

8=1

N 2

где Л1 (Ь),..., ЛN2 (Ь) ^ 0, £ Л8(Ь) = 1, А1 (^).., AN2 (Ь) — крайние дважды

8=1

стохастические матрицы.

Отсюда

1 N2

GN(Ь) = N Е Лз^)сА.3(г)е

8=1

N2 N

1 Е Л8(г)^ Ф)с(п8,г(г)), (29)

N

8=1 г=1

где перестановки п8^ € SN.

пк N 3

Пусть Ьк = N3, к = 1,..., N3. Рассмотрим события

В8к = ^]Г]с(г)с(п8 ,^(г)) > -3—N 1п^ 8 = 1,...,N2, к = 1,...^3.

По лемме 2 слагаемые в последней сумме, для которых п8,^(г) = г, могут быть разбиты на три суммы, в каждой из которых элементы пар (г,п8,гк (г)) будут различными. Как показано в [14, 16], слагаемые в каждой такой сумме Уг, I = 1, 2, 3 будут независимыми случайными величинами, принимающими значения ±1 с вероятностью 1/2, поэтому согласно (24)

Р(^8к) ^ Р | Е с(г)с(п8,ьк(г)) ^ -3—N 1п N | ^

\г‘-п в,ьк {г)=г )

3

Р(У ^ -^ 1пN) < 3ехр (-2 1п2 N). (31)

г=1

Мы воспользовались также тем, что число слагаемых в каждой сумме У не превосходит N.

Рассмотрим события

( 1п N \

Ок = ,Фк,«)| < 2-^), к = 0,1,...,п - 1. (32)

Так как

N

\ (1 N,^к)\ =

^с(гП <£к,а(х)Л^а(х)

г=1 "'Д’

/ Vk, a(x)d^a(x) ' Ai

то согласно (25)

N

P(Dk) = P ' '

'Y^c(i) i Vk, a(x)d^a(x) i=1 ^ Ai

Отсюда и из (31)

/ N2 N3 n-1 \

P ^ £ Bsk + 2 Dk I < (3N5 + 2n) exp (—2 In2 N),

\s=1 k=l k=0 /

поэтому

// N2 N3 \ /n-l \\

P Bsk П Dk\\ ^ 1 — (3N5 + 2n) exp (—2 In2 N) > 0. (33)

V Vs=1 k=1 / Vk=0 //

Таким образом, для каждого достаточно большого N существует функция /n (27), для которой согласно (29)—(33) выполнены свойства

N2

N

Gn (tk) >^Е X-s(tk )(—3VN In N) =----k = !>•••> N3, (34)

s=1 *

i . „ .. 2 In N . .

|(/nV)l < k = 0,...,n — 1. (35)

Теперь несложно закончить доказательство теоремы 2. Согласно лемме

1 для любого t Е [0,п] и некоторого tk, для которого It — tk l ^ N?, будет

lnN

I9Ai,Aj (t) — gAiAj (tk)| < N^ ’ i,j = 1’...’N

и

N In N

IGN(t) — GN(tk)| ^ X/ |gAi>Aj (t) — gAi>Aj (tk) 1 ^

i, j=1

Отсюда и из (34) для всех t Е [0, п]

lnN

Gn(t) ^ —c(a) , , c(a) > 0,

л/N

поэтому согласно (28), (10)

up(n,fN)Р,а < 2p-1 11 + c(a)^} • (36)

Пусть

Так как \\tn-i\\pa ^ 2||/^\\p,a = 2, то \ак\ ^ 1, поэтому согласно (35)

1. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.

2. Бадков В.М. Введение в единую теорию алгебраических и тригонометрических ортогональных полиномов. Учебное пособие. Екатеринбург: УрГУ, 2006.

3. Бадков В.М. Аппроксимативные свойства рядов Фурье по ортогональным полиномам // Успехи матем. наук. 1978. Т.33, №4. С.51-106.

4. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространствах Ьр, 1 ^ р ^ 2 с

периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.1.

С.5-27.

5. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т.88.

6. Черных Н.И. Неравенство Джексона в Ьр(0,2п) (1 ^ р < 2) с точной константой // Труды МИРАН. 1992. Т.198. С.232-241.

7. Бердышев В.И. О теореме Джексона в Ьр // Труды МИАН СССР. 1967. Т.88.

отрезке с весом Якоби и проективных пространствах // Изв. РАН. Сер. Матем. 1998. Т.62, №6. С.27-52.

9. Иванов В.И., Liu Yongping. Об оценке снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 ^ p < 2 с периодическим весом Якоби // Теория функций,

Применяя неравенство Гельдера, получим

1 = \Ш Z.

Отсюда и из (36)

Теорема 2 и теорема 1 доказаны.

Список литературы

С.71-74.

С.3-16.

8. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина для L2-приближений на

ее приложения и смежные вопросы: матер. 9 Межд. Казанской летней школы-конференции. Казань: Казанское матем. об-во, 2009. Т.38. С.136-139.

10. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.2. М.: Наука, 1966.

11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.1. М.: Мир, 1965.

12. Бадков В.М. Приближение функций частными суммами ряда Фурье по обобщенным многочленам Якоби // Матем. заметки. 1968. Т.3, №4. С.671-682.

13. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987.

14. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: ТулГУ, 2010.

15. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения. М.: Мир, 1983.

16. Иванов В.И. Приближение в Lp кусочно-постоянными функциями // Матем. заметки. 1988. Т.44, №1. С.64-79.

Иванов Валерий Иванович (ivaleryi@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, декан, механико-математический факультет, Тульский государственный университет.

Лю Юнпин (ypliu@bnu.edu.cn), доктор наук, профессор, факультет математических наук, Пекинский нормальный университет, Пекин, Китай.

Lower estimation of Jackson constants in Lp-spaces with periodical Jacobi weight

V. I. Ivanov, Yongping Liu

Abstract. The exactness of Jackson inequality in Lpa(T)-spaces, 1 ^ p < 2 on one dimensional torus T = [—n,n) with periodic Jacobi weight \ sinж|2а+1, a > -1/2, which was established by D.V. Chertova, is proved.

Keywords: torus, periodical Jacobi weight, Lp-spaces, trigonometric polynomials, best approximation, generalized translation operator, module of continuity, Jackson inequality.

Ivanov Valeriy (ivaleryi@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean, mechanical and mathematical faculty, Tula State University.

Liu Yongping (ypliu@bnu.edu.cn), doctor of sciences, professor, School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University, Beijing, China.

Поступила 10.06.2011