CC BY
28
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 16 Выпуск 3 (2015)
УДК 517.5
ОЦЕНКА СНИЗУ КОНСТАНТЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ Lp НА СФЕРЕ С ВЕСОМ ДАНКЛЯ, СВЯЗАННЫМ С ГРУППОЙ ДИЭДРА1
Р. А. Вепринцев (г. Тула)
Аннотация
В конце 80-х и начале 90-х годов прошлого века американский математик Ч. Данкль (C. F. Dunkl) создал основу для теории специальных функций многих переменных, связанных с группами отражений, и их интегральных преобразований в ряде своих работ. Эта теория получила развитие в работах многих математиков. В настоящее время эта теория получила название теории Данкля в математической литературе. Теория Данкля находит широкие применения в теории вероятностей, математической физике, теории приближений.
Настоящая работа посвящена применению гармонического анализа Данкля в пространствах Lp на евклидовом пространстве Rd и единичной евклидовой сфере Sd-1 с весом Данкля, определяемым системой корней и связанной с ней группой отражений, к задачам теории приближений.
Задача нахождения точной константы в неравенстве Джексона, или константы Джексона, между величиной наилучшего приближения функции и ее модулем непрерывности является важной экстремальной задачей теории приближений. В работе рассматривается задача о константе Джексона в пространствах Lp, 1 < p < 2, на единичной окружности S1 с весом Данкля, связанным с группой диэдра Im, m € N. Наилучшее приближение осуществляется подпространством к-сферических гармоник, определяемых с помощью лапласиана Данкля. Модуль непрерывности определяется с помощью оператора обобщенного сдвига, впервые появившегося в работах Ю. Шу.
В случае единичного веса, т. е. когда функция кратности к на системе корней тождественно равняется нулю, неравенство Джексона на единичной многомерной евклидовой сфере Sd-1 с константой 21/p-1, совпадающей с константой Юнга пространства Lp, было доказано Д. В. Горбачевым.
Он же установил точность этой константы.
хРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 13-01-00045), Министерства образования и науки Российской Федерации (госзадание № 1.1333.2014K).
96
Р. А. ВЕПРИНЦЕВ
Неравенство Джексона с той же константой в пространствах Lp, 1 < p < 2, на единичной многомерной евклидовой сфере Sd-1 с весом Данкля, инвариантным относительно произвольной конечной группы отражений, было получено автором ранее. Теперь в работе получена оценка снизу константы Джексона в пространствах Lp, 1 < p < 2, на единичной евклидовой окружности S1 с весом Данкля, инвариантным относительно группы диэдра Im, m € N. При m > 3 группы диэдра — группы симметрий правильных m-угольников в R2.
При решении поставленной задачи мы существенно используем подход, разработанный В. И. Ивановым совместно с Лю Юнпином. При этом преодолеваются дополнительные трудности, связанные с появлением в пространствах Lp[0, п], 1 < p < 2, с весом | sin(t/2)|2a+1| cos(t/2)|2e+1, а > в > -1/2, нового модуля непрерывности, определяемого с помощью несимметричного оператора обобщенного сдвига.
Ключевые слова: евклидова сфера, вес Данкля, к-сферические гармоники, наилучшее приближение, модуль непрерывности, неравенство Джексона, константа Джексона, группа диэдра.
Библиография: 33 наименования.
LOWER ESTIMATE OF JACKSON’S CONSTANT IN Lp-SPACES ON THE SPHERE
WITH DUNKL WEIGHT FUNCTION ASSOCIATED WITH DIHEDRAL GROUP
R. A. Veprintsev
Abstract
In the late 80ies and in the early 90ies of the past century the framework for a theory of special functions and integral transforms in several variables related with reflection groups was systematically built up in a series of papers of american mathematician C. F. Dunkl. This theory was further developed by many mathematicians. Nowadays, this theory is called Dunkl theory in the literature. Dunkl theory is widely used in probability theory, mathematical physics, approximation theory.
The present paper is devoted to an application of Dunkl harmonic analysis on the Euclidean space Rd and the unit Euclidean sphere Sd-1 with Dunkl weight function invariant under the reflection group associated with some root system to problems of approximation theory.
The problem of finding the sharp constant in Jackson’s inequality, or Jackson’s constant, between the value of best approximation of a function and its modulus of continuity in Lp-spaces is an important extremum problem of approximation theory. In the paper, the problem of Jackson’s constant in Lp-spaces, 1 < p < 2, on the unit circle S1 in the Euclidean plane R2 with Dunkl
ОЦЕНКА СНИЗУ КОНСТАНТЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ ... 97
weight function invariant under the dihedral group Im, m € N, is considered. Best approximation is given in terms of linear combinations of к-spherical harmonics defined by means of the Dunkl Laplacian. We introduce the modulus of continuity using the generalized translation operator first appeared in the papers of Y. Xu.
In the «weightless» case when the multiplicity function is identically equal to zero on a root system, D.V. Gorbachev proved Jackson’s inequality in Lp-spaces, 1 < p < 2, on the unit multidimensional Euclidean sphere Sd-1 with the constant 21/p-1 coinciding with Jung’s constant of the Lp-spaces. He also established its sharpness.
Jackson’s inequality with the same constant in Lp-spaces on the unit multidimensional Euclidean sphere Sd-1 with arbitrary Dunkl weight function was established earlier by the author. Now in the paper, we obtain the lower estimate of Jackson’s constant in Lp-spaces, 1 < p < 2, on the unit circle S1 in R2 with Dunkl weight function invariant under the dihedral group Im, m € N. The dihedral groups are symmetry groups of regular m-gons in R2 for m > 3.
To solve the given problem, we essentially use the method developed by V. I. Ivanov in cooperation with Liu Yongping. There are additional difficulties associated with the new modulus of continuity based on the nonsymmetric generalized translation operator in the spaces Lp[0, n], 1 < p < 2, with the weight function | sin(t/2)|2a+1| cos(t/2)|2e+1, a > в > -1/2.
Keywords: Euclidean sphere, Dunkl weight function, к-spherical harmonics, best approximation, modulus of continuity, Jackson inequality, Jackson constant, dihedral group.
Bibliography: 33 titles.
1. Введение
Теория Данкля посвящена изучению гармонического анализа в пространствах Lp на евклидовом пространстве Rd и евклидовой сфере Sd-1 с весом Данкля, определяемым системой корней и связанной с ней группой отражений. Она находит применение в математической физике, теории вероятностей, теории функций, теории приближений. Ее основы были заложены Ч. Данклем (C. F. Dunkl) в работах [1-5]. В дальнейшем она разрабатывалась в работах Ч. Данкля, М. Реслер (M. Rosier), Ю. Шу (Y. Xu), Х. Тримеша (K. Trimeche) и многих других математиков. Общим руководством по гармоническому анализу Данкля на единичной евклидовой сфере может служить книга [6].
Неравенства между величиной наилучшего приближения функции и ее модулем непрерывности называются неравенствами Джексона. Константа Джексона — это наименьшая константа в неравенстве Джексона, при которой оно остается справедливым при всех функциях. Задача о константах Джексона является важной и трудной экстремальной задачей теории приближений. Точные
98
Р. А. ВЕПРИНЦЕВ
неравенства Джексона в пространствах Lp известны только при 1 < p < 2, при p > 2 они отсутствуют. Трудной оказалась оценка константы Джексона как сверху, так и снизу.
Остановимся на результатах для пространств Lp, 1 < p < 2, на компактных многообразиях. Правильная оценка константы Джексона снизу впервые была получена для одномерного тора T В. И. Бердышевым [7], для произвольной компактной абелевой группы — В. И. Ивановым [8]. Нижние оценки константы Джексона совпали с геометрической константой Юнга пространств Lp, равной 21/p—1 (см. [9, 10, 11]). Для тора T с весом | sinx\2a+1, а > —1/2, нижняя оценка константы Джексона, совпадающая с константой Юнга, была получена в [12].
Точное неравенство Джексона для тора T было доказано Н. И. Черных [13], для тора Td и нульмерных компактных абелевых групп — В. И. Ивановым [14, 15], для сферы Sd—1 — Д. В. Горбачевым [16], для тора T с весом \ sinx|2a+1, а > —1/2, — Д. В. Чертовой [17]. Историю Lp-неравенств Джексона можно посмотреть в [18].
Цель работы — получить оценку снизу константы Джексона в пространствах Lp, 1 < p < 2, на сфере с весом Данкля, совпадающую с константой Юнга, в случае, когда группой отражений является группа диэдра. Для этого мы существенно используем элементы гармонического анализа Данкля и методы работы [12]. Соответствующая оценка сверху для произвольного веса Данкля, аналогичная оценке Д. В. Горбачева в безвесовом случае [16], получена автором в [19, 20]. Эти оценки совпадают. Таким образом, в настоящей работе установлена точность неравенства Джексона, рассмотренного в [20].
2. Предварительные обозначения и сведения
Пусть N — множество натуральных чисел, No = N U {0}, R — множество действительных чисел, Rd (d Е N) — d-мерное действительное евклидо-
d
во пространство со стандартным скалярным произведением {u,v) = ^2 ujVj,
j=1
||м|| = \J{u, u) — норма (или длина) вектора u, {ej}<d=1 — стандартный ортонормированный базис в Rd, Sd-1 = {x Е Rd: ||x|| = 1} (d > 2) — единичная сфера
в Rd, dw — лебегова мера на сфере Sd-1. Символ Похгаммера определяется для t Е R по формулам
(t)o = 1, (t)n = t(t + 1)... (t + n — 1), n Е N.
Если r(x) — гамма-функция, то
(t)
n
при t > 0 и n Е No
Г(п + а) Г(п + в)
n
а—в
Запись An x Bn будет означать, что
n
C1An < Bn < C2An,
п Е No
ОЦЕНКА СНИЗУ КОНСТАНТЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ ... 99
где положительные константы c1,c2 не зависят от п.
Пусть а > в > -1/2, va,e(t) = |sin(t/2)|2a+1 |cos(t/2)|2e+1,
РП
dma/3 (t) = Ca,eVa,e (t) dt, / dma,e (t) = 1.
J 0
Введем весовые пространства Lp,а,в [0, п], 1 < p < то, комплекснозначных измеримых по Лебегу функций g на отрезке [0,п] с конечной нормой
1Ы1
р,а,в
(/ lg(t)\p dma,e (t))
1/p
Пространство L2,a,e[0,п] — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением
РП
(f,g)a,e = f (t) g(t) dma,e (t)■
0
В пространстве L2,a,e[0,п] полную ортогональную систему образуют тригонометрические полиномы Якоби {P,a’e)(cost): п Е N0}, где Р,а’в^(х) — ортогональные многочлены Якоби на отрезке [— 1,1] с весом (1 — x)a(1 + х)в, для которых Р(а,в') (1) = 1. Нам также понадобятся многочлены Гегенбауэра {C^: п Е N0}, А > 0, которые с многочленами Якоби связаны соотношением
Cn(x)
СП(1)
Р(х-1/2’х-1/2)(х),
сП(1)
(2А),
п!
(1)
(см. [21-26]).
Отметим следующие свойства тригонометрических полиномов Якоби:
max 1Р(а’в) (cos t)l = Р(а’в)(1) = 1, (2)
*е[о,п|
W":i)(cos t))
п(п + а + в + 1) р(а+1’в+1)
2(а + 1)
1
’(cost) sint,
< п,
(P,(“’e) (cos t))
fvaJ(t) (pye)(cos+ п(п + а + в + 1)иав(OP^cost) = 0,
а,в
п
-2а-1
d-1 = (Р(а’в) (cos t),P(a’e) (cos t))
(1)и(в + 1)n(a + в + 1)
(а + 1),(а + в + 2п + 1)(а + в + 1),
t 1 )-а-1/2 ( t 1 )-в-1/2
2 + пт~1> \°s 2 + пТъ
ip{na,e)(cost)i<с(а,в)п а 1/2(sin2 + п+y) 1 К + п+г)
(3)
(4)
(5)
(6) (7)
100
Р. А. ВЕПРИНЦЕВ
P^» (cos t)vaJ, (t) d t = V‘2ft)+ i‘)1 Pn-l1'S+1) (cos t),
2(а + 1)
P,na ’ e)(cos t)va , в (t) dt
< C(а, в)(n +1)~a~3/2.
0
0
(8)
(9)
Свойства (2), (3), (5), (6) имеются в [21, 22, 23, 24, 25, 26], поточечная оценка (7) — в [27]. Оценка (4) вытекает из неравенства Бернштейна для производной тригонометрического полинома (см. [28]) и (2). Свойства (8), (9) вытекают из (3), (5) и (7).
Далее приведены необходимые сведения по алгебраическому аппарату теории Данкля и элементы гармонического анализа Данкля на сфере.
2.1. Системы корней и группы отражений
Такие понятия, как отражение в пространстве Rd, система корней, группа отражений, связанная с системой корней, образуют алгебраический фундамент теории Данкля. В настоящем пункте дается ряд важных определений, в том числе определения указанных базовых понятий, детальное рассмотрение которых можно найти в [21, 29] (см. также [6, 19]).
Отражением вдоль ненулевого вектора u Е Rd называется линейный оператор su, определяемый по формуле
su(x) = x — 2 Ju, x Е Rd.
M2
По определению, каждое отражение содержится в группе ортогональных преобразований 0(Rd) пространства Rd.
Пусть R С Rd — конечный набор ненулевых векторов. Набор R называется системой корней, если
(1) R П Ru = {±u} для всех и Е R;
(2) su(R) = R для всех u Е R.
Подгруппа W = W(R) С 0(Rd), порожденная отражениями {su: u Е R}, называется группой отражений (или группой Коксетера), связанной с R.
Для каждой системы корней группа W конечна, а набор отражений, содержащихся в W, есть в точности {su: u Е R} [21, Theorem 6.2.7]. Если u Е R, то (—u) = su(u) Е R.
Транзитивное отношение < на Rd называется отношением (линейного) порядка, если выполнены следующие условия:
• для любых не равных друг другу векторов Л,^ Е Rd либо Л < ^, либо ц < Л;
• если Л < ^, то Л + v < ц + v для любого вектора v Е Rd;
ОЦЕНКА СНИЗУ КОНСТАНТЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ ... 101
• если Л < л, то c\ < cл при c > 0 и ец < е\ при c < 0.
Вектор Л называется положительным, если 0 < Л.
С каждым базисом -. ,^d в Rd можно связать линейный порядок, задаваемый лексикографически: а = ai^i < в = bi^i тогда и только тогда,
когда для некоторого j выполнено неравенство aj < bj, а при всех i < j имеем ai = bi (т.е. набор (a1,... ,ad) как «слово в словаре» идет раньше, чем набор
(bi,---,bd)).
Подмножество R+ С R, состоящее из положительных векторов относительно заданного линейного порядка, называется положительной подсистемой.
Неотрицательная функция к, определенная на системе корней R, называется функцией кратности, если она W-инвариантна, т. е. к(и) = k(w(u)) для всех и е R и w е W.
С каждой функцией кратности связывают следующие два числа:
yk = к(и)’
u^R+
лк
d - 2
Yk + —
Благодаря W-инвариантности функции к, числа yk, Лк и дальнейшие определения, использующие положительную подсистему R+, не зависят от специального выбора R+ в R.
2.2. Элементы гармонического анализа Данкля на сфере
Зададим в Rd систему корней R и функцию кратности к на ней.
Вес Данкля на сфере Sd-1 определяется по формуле
Wk(x) = Д \{и,х)\2к(и), x е Sd 1.
u£R+
С помощью вероятностной меры
daK(x) = aKwK(x) du(x), x е Sd-1, aK =( wK(x) du>(x)Y ,
V§d-1 J
введем весовые пространства Lp,K(Sd-1), 1 < p < ж, комплекснозначных измеримых по Лебегу функций f на Sd-1 с конечной нормой
p,Sd-1,K = ( I \f (x)\P dMx)) 1 .
V Sd-1 '
Пространство L2,K(Sd 1) — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением
(f,g)K,Sd 1
Sd-1
f (x)g(x) daK(x).
102
Р. А. ВЕПРИНЦЕВ
Обозначим через nd пространство полиномов от d переменных с комплексными коэффициентами, через РП — подпространство однородных полиномов степени n Е No.
Дифференциально-разностные операторы Vj, 1 < j < d, на nd, определяемые по формулам
Vj p(x)
dp(x)
dxj
+ к{и)
u^R+
p(x) - p(su(x)) (u, x)
(u, ej),
называются операторами Данкля.
Операторы Данкля являются однородными операторами степени - 1, т. е. Vj(РП) С Р<^-1 при n Е N, и коммутируют, т. е. V{Vj = VjVi} 1 < i,j < d. Оператор
AK = V2 + ... + V2d называется лапласианом Данкля.
Существует единственный линейный оператор VK (оператор сплетения Данкля) на nd такой, что
Ук(Рлп) cvd, n Е No, VK1
1 и Vj Vk
Vk
d
dxj,
1 < j < d.
В случае, когда к = 0, имеем wK = 1, Vj = d/dxj, AK переходит в обычный лапласиан, а VK — в тождественный оператор.
Полином P Е nd называется к-гармоническим, если AKP = 0. Сужение однородного к-гармонического полинома степени n на сферу Sd-1 называется к-сферической гармоникой степени n. Пространство к-сферических гармоник степени n обозначим через АП(к), n Е N0.
Предложение 1 ([1]). Предположим, что f и h — к-сферические гармоники различных степеней. Тогда f§d-1 f (x)h(x) daK(x) = 0.
Методами стандартной теории гильбертовых пространств показывается, что пространство L2,K(Sd-1) разлагается в ортогональную сумму подпространств
АП(к) [6]:
L2ASd-1) = ^(& АП(к). (10)
n=0
Оператор ортогонального проектирования Ргп(к) из L2,K(Sd-1) на АП(к) имеет интегральное представление
где
Ргп(к; f,x)= f (у)рп(к;x ,y) d^K(y),
JSd-1
рп(к;x,y) = vk[C^k((x, •))](y), x,y Е Sd \
XK
— воспроизводящее ядро подпространства АП(к).
ОЦЕНКА СНИЗУ КОНСТАНТЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ ... 103
3. Константа Джексона в пространствах LpK(Sd х),
1 < р< 2
3.1. Оператор обобщенного сдвига
Пусть т Е [— 1,1]. Оператор обобщенного сдвига MK из L2,K(Sd-1) в себя определяется по формулам (сравните с [6, Definition 7.4.6])
Ггга(к; MKf)
Ct (т) Cfr (1)
Prn(K;f),
n Е N0.
Имеет место (см. [6, Proposition 7.4.7])
Предложение 2. Пусть т Е [— 1,1], h — сферический полином от d переменных. Тогда
(i) MK1 = 1;
(ii) если h > 0, то M^h > 0;
(iii) при 1 < p < ж имеем
Mhi
,Sd-i,f
i,Sd
и
lim WM^h - h||P)sd-i«;
T^1-
0.
Из последнего предложения следует, что оператор MK можно продолжить по непрерывности до линейного непрерывного оператора в пространстве LPK(Sd-1), где 1 < p < ж, который также будем обозначать через MK.
Приведем некоторые дополнительные свойства оператора M'£.
Предложение 3. Пусть f,h Е L2,K(Sd-1). Тогда выполнены следующие соотношения:
(1) Pr„(к; MKf) = MК [Pr„(«; f)] , n Е No.
(2) Mf = £ Pr„(K; f) в L2JSd-v).
n=0 Cn (1)
(3) fsd-i MKf (x) daK(x) = fsd-i f (x) daK(x) = Pro(K; f).
(4) fSd-i f (x)MKh(x) daK (x) = fSd-i MKf (x)h(x) da к (x).
104
Р. А. ВЕПРИНЦЕВ
Свойства (1)-(3) очевидны, а свойство (4) проверяется непосредственно следующим образом, используя ортогональность к-сферических гармоник (предложение 1):
Sd-1
f (x)M^h(x) daK(x) =
lim
I /Sd-1
lim
{p n n \
.iY Pri(K; f,x)) (Y Pr,(к; M^h,x)^ daK(x) >
Jsd-1 i=0 J=0 )
n
(Y Pri(K; f, x) Pri(K; M?h, x)) daK(x)
i=0 n
(Y Pri(K; M^f, x) Pri(K; h, x)) daK(x)
i=0
{p n n
(£ Pri(K; Mf.xf) (£ Pr, (к; h,x)j daK(x) >
Esd-1 i=0 j=0 )
lim
n^-<x I Jgd-1
lim
п^Ж I Jsd—1
x) =
I Sd-1
M Kf (x)h(x) daK(x).
В выкладках пользовались равенством
Ф(t)
Ф (1)
Pri(K; f) Pri(K; h) = Pri(K; MK f) Pri(K; h) = Pri(K; f) Pri(K; M?h).
3.2. Константа Джексона в пространствах Lp, 1 < p < ж, на сфере с весом Данкля
Пусть 1 < p < ж, L Е N.
Величина наилучшего приближения функции f Е Lp,K(Sd-1) линейными комбинациями к-сферических гармоник порядка не выше L — 1 и модуль непрерывности функции f определяются соответственно по формулам
L-1
EL(f )P,§d-1,K = inf{ ||f — h^p,gd-1,K: h е^ЛП(к)} (11)
n=0
и
U(SJ )p,Sd-1,K = sup (/ MKos e [fx,pO](x) dMx))
0<в<6 'Jsd-1 /
1/P
0<e<6
где fx,p(•) = \f0 — f(x)\p.
Отметим, что по теореме 1.7 в [1]
6 Е [0,я],
L-1
L-1
EPd (sd-1 ) = £ Ак
n=0 n=0
ОЦЕНКА СНИЗУ КОНСТАНТЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ ... 105
где Vd(Sd-1) — множество всех однородных сферических полиномов степени п, т. е. сужений на Sd-1 всех полиномов из Рф Таким образом, в качестве аппроксимирующего подпространства в (11) берется множество всех линейных комбинаций однородных сферических полиномов порядка не выше L — 1, или, что одно и тоже, множество сужений на Sd-1 всех полиномов степени не выше L — 1.
В гильбертовом пространстве L2,K(Sd-1) имеем, согласно (10), [20, (13)], учитывая [6, (10.1.4)], что
EL (f)2,Sd-l,K = ||РГп(Р f )||2,S*- 1,к>
n=L
2
U(6,f )2,Sd-l,K = sup (2V(l —
n<жл V V
c" (COSe)) BPrn(«;/)«2,sd-.,„.)
0<e<8 ^ n=0 V СПК (1)
^2 sup ll(I — MKose)l/2fI|2,sd-1,
1/2
0< в<8
где I — тождественный оператор.
Константа Джексона определяется равенством
K(5,L)Ptsd-itK = sup
(
El(/)
p,Sd-1,K
1)
/ e Lp,K(Sd 1) >, 1 < p< ж.
12)
Ш(5, f )p,Sd 1,k
Обозначим через tk,l наибольший нуль многочлена CLK. В [20] доказана Теорема 1. Пусть d > 2, 1 < p < 2, L e N. Тогда
K(26k,l, 2L — 1)p>Sd-i,K < 21/p-1, (13
где 6K,L = arccos tk,l.
Цель настоящей работы — получение оценки снизу константы Джексона (12) в пространствах Lp,K(S1), 1 < p < 2, в случае, когда в качестве группы отражений берется группа диэдра. Точная формулировка основного результата работы содержится в следующем пункте.
4. Формулировка основного результата
Мы рассматриваем случай евклидовой плоскости R2, т. е. действительного евклидова пространства размерности 2 со стандартным скалярным произведением (x, y) = x1y1 + x2y2. Пусть m e N и
V(j),m = v(j)
( ■ nj nj
sin —, — cos —
mm
j e N.
106
Р. А. ВЕПРИНЦЕВ
Тогда набор ненулевых векторов I2(m) = {vj: 1 < j < 2m} является системой корней в R2. Относительно линейного порядка, задаваемого лексикографически при помощи стандартного ортонормированного базиса е1 = (1,0), е2 = (0,1), подсистема положительных корней в I2(m) есть I2(m)+ = {vj: 1 < j < m}. Заметим, что v(m+j) = —vj), 1 < j < m.
Группу отражений Im, связанную с системой корней I2(m), называют группой диэдра. Отражения образуют единственный класс сопряженности в Im при нечетном m и два класса при четном m. Отсюда следует, что функция кратности к на I2(m) и вес Данкля wK(x), x = (xi,x2) Е S1, в комплексных координатах (z = x1 + ix2, Z = x1 — ix2) имеют следующий общий вид:
k(v(i)) = k(v(2)) = ... = K(v(2m)) = a + 1/2,
Wk(x) = WK(z) — при нечетном m,
zm zz m
2a+1
2i
a > —1/2,
k(V(2) ) = k(V(4) ) = ... = K(V(2m)) = a + 1/2, k(V(1) ) = k(V(3) ) = ... = K(V(2m-1)) = в + 1/2,
(14)
Wk(x) = WK(z)
m m 2a+1 m m
Z 2 — Z 2 Z 2 + Z 2
2i 2
2в+1
5
a, в >—1/2,
(15)
— при четном m (см. [21, 29]).
Теперь мы можем точно сформулировать основной результат работы. Теорема 2. Пусть L,m Е N, R = I2(m), 6 Е [0,я]. Тогда K(5,L)P&K > 21/p-1, 1 < p< 2.
Таким образом, оценка (13) с учетом условий теоремы 2 является точной.
Замечание 1. Очевидно, что при нечетном m имеем v(2j)>2m = v(j)>m, 1 < j < 2m, а вес Данкля, связанный с группой I2m, в случае в = —1/2 переходит в вес Данкля, связанный с группой Im. Также операторы Данкля, оператор сплетения Данкля, оператор обобщенного сдвига, связанные с группой I2m, перейдут в соответствующее операторы, связанные с группой Im. Следовательно, теорему 2 достаточно доказать для группы I2m.
5. Редукция задачи
Рассмотрим случай группы I2m, m Е N, в соответствии с замечанием в конце п. 4. Мы используем обозначения пп. 2, 3 при d = 2 и R = I2(2m). Функция
ОЦЕНКА СНИЗУ КОНСТАНТЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ ... 107
кратности к на 12(2т) и вес Данкля wK определяются, согласно (14) и (15), соответственно по формулам
k(V(2)) = k(V(4)) = ... = K(v(4m)) = а + 1/2, а > -1/2,
k(V(1) ) = k(V(3) ) = ... = к(У(4т— i) ) = [ + 1/2, в > -1/2,
и
wK(x) = wK(z)
Zm z m 2a+l zm + z m
2i 2
2в+1
(16)
Имеем Хк = yk = т(а + в + 1).
Наряду с комплексными координатами используются и полярные координа-
ты:
x = (x1, x2) = (cos ф, sin ф) Е S1, z = x1 + ix2 = cos ф + i sin ф = егф, ф Е [0, 2п). В полярных координатах вес Данкля (16) запишется в виде
wK(x) = wK^) = \ sinт>ф\2а+1 \ cosтф\2в+1.
Следовательно, вес wK^) четный и имеет период п/т.
Без ограничения общности можем предположить, что а > [. Иначе перейдем к координатам
x = (x1, x2) = (cos(ф + п/2т), sin(ф + п/2т)), ф Е [0, 2п),
в которых
wK^) = \ cos тф\2а+1 \ sinтф\2в+1,
и повторяем для данного перехода к полярным координатам нижеследующие рассуждения и выкладки с необходимыми изменениями.
Функции
Р 2rm+l(x) q 2rm+l(x)
и
cos 1ф рГа,в) (cos 2тф) — 2 sin 1ф sin 2тф p3-+l’e+l1 (cos 2тф), sin 1ф P(a,e (cos 2тф) + 2 cos 1ф sin 2тф Pr—ll,e+l) (cos 2тф),
p (2r+i)m+i(x) = ^r + а + 1 j cos 1ф cos тф рГа’в+Г) (cos2rn^) — — (r + [ + 1 j sin 1ф sin тф P(a+1,e') (cos2mф),
q (2r+i)m+i(x) = (r + а + 1 j sin 1ф cos тф P(a,e+r) (cos 2тф) +
+ (r + [ + 1^ cos 1ф sin тф p(a+1,e) (cos 2тф),
108
Р. А. ВЕПРИНЦЕВ
записанные при помощи полярных координат, образуют соответственно ортогональный базис в подпространствах A2,rm+i (к) и А^2г+Г)т+1(к), r Е N0, l = 0,1, ■ ■ ■ ,m — 1, пространства L2,K(S1) [21, Sect. 7.6.1], которое является ортогональной суммой подпространств Ар(к), n Е N0 (см. формулу (10)).
В дальнейшем мы будем отождествлять функции, заданные на сфере S1, и 2п-периодические функции, заданные на отрезке [0, 2п]. Запись f Е Lp,K(Sv) будет означать, что
p,S1,K
^aK j \f (ф)\р | sinтф\2а+1\cosтф\2в+1
i/p
< oo.
Отметим, что aK = caf/2.
Для п/т-периодической функции f Е L1,K(S1) справедлива следующая формула:
caf
г2п
f (x1,x2) daK(x) =
Is1 2
c f 2n
__ caf
f (cos ф, sin ф) \ sin тф\2а+1\ cos тф\2в+1 d^ =
|2в+1Я,о -
2l
0
f2n
f (cos(t/2m), sin(t/2m)) \ sin(t/2)\2a+1 \ cos(t/2)\2l3+1 dt = f (cos(t/2m), sin(t/2m)) dma^в(t).
0
Если, кроме того, f — четная функция, то
f (x1,X2) daK(x)
f (cos(t/2m)
0
sm(t/2rn7)) &тав(t).
(17)
Обозначим через Sp,m класс четных п/т-периодических функций, принадлежащих пространству Lp,K (S1), через Spp,e — класс четных 2п-периодических функций, принадлежащих Lp,а,в[0,п], а через S^f — подкласс в Spa’в действительных функций, равных по модулю 1.
Пусть f Е Spa’в. Полагаем, по определению,
Fm(f; x) = Fm(f; ф) = f (2тф).
Нетрудно видеть, что Fm(f) Е Spm и
\\F„,(f )Bp,Si,« = ( / \Fm(f i x)\p dff„(x))
1/p
IS1
rn
1/p
(j, Nf;£)Гdmaf<ф>)
гж \ 1/p
\f AA dma f (фA = \\f ||p, a f
(18)
При выводе равенства (18) пользовались формулой (17).
ОЦЕНКА СНИЗУ КОНСТАНТЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ ... 109
Поскольку f — четная функция, то ее полином наилучшего приближения
можно считать четным.
L-1
Если h Е Ап(к) — четный полином, то
n=0
h*w = ^ Уh (ф+— е %М(Е апм)
s=0 n=0
2m— 1
L- 1
а в силу я/т-периодичности веса wK (ф) имеем
\\FmU) - h*||p,Si,K
aK I
2п i 2т-1
Z (Fm (f; ф+—- М^ф+—)) Г Wk^ /P -
Fm (f; ф + —) - h (ф + —) wK(ф) dф]
V m/ V m / /
in \ 1/p
Fm(f; ф) - Чф)1 Wk (ф) d^ = \\Fm(f) - h\\
2m
<
1
2m
1
2m
2m-1
У
s=0 2m-1
У
s=0
s=0 Г 2n
aK
1/p
p2n
ак I \Fm 0
p,S1,K.
Таким образом, учитывая вид ортогонального базиса в подпространствах
АП(к), n Е N0, получаем
F2mR+1(Fm(f ))p,S1,K = F2m(R+1)(Fm(f ))p,S1,K, R Е N0,
R
F2mR+1 (Fm (f ))p,S\K = Fm(ф) - ^ а*Рг(“’в) (cOS 2—ф)
m (ф) / , ar ^ r
r=0 R
1
рф1,^
Ф9)
(20)
f (ф) - £ a*P(a,e) (cos ф) = Er(f )pa,p,
Р,а,в
r=0
где ER(f )p,a,e — величина наилучшего приближения функции f в пространстве Lp,a,e[0,я] четными тригонометрическими полиномами порядка не выше R.
Пусть теперь f Е L2a,e[0,я]. Ее ряд Фурье по тригонометрическим полиномам Якоби {Р>Па,в') (cos ф)} имеет вид
f (ф) = Z dnfnpna,l3)(cos ф), fn = (f 4),p[na,l3)(cos ф))
' а,в
(21)
n=0
Напомним, что последовательность dn определена в (6).
Определим несимметричный оператор обобщенного сдвига Т(а,13\ где 9 Е [0,я], на пространстве L2,a,e[0,я] по формуле
TTJ,) f (ф) = У d’f
n=0
c2mn(cos 9)
nJn ГХк (1)
C2mn(1)
pyycos ф).
(22)
0
110
Р. А. ВЕПРИНЦЕВ
Прежде чем сформулировать свойства оператора Тда,в\ введем еще одно обозначение. Функцию, которую получаем из функции f Е Ь2>а,в[0,п] путем доопределения ее на полуинтервале [—п, 0) по формуле f (—ф) = f (ф) (т. е. функция f продолжается четным образом на [—п, 0)), обозначим через fE. Имеем
fE е sae.
Лемма 1. Пусть 9 Е [0,п]; f,h Е L2,a,e[0,п], g — произвольный тригонометрический полином на [0,п]; 1 < p < 2. Тогда
(i) Т(ав)1 = 1.
(ii) Fm((Tiaje’f)E;ф) = MCos,[Fm(fE)](ф).
(iii) iM Mf Ika.S = Mo, Q [Fm(fE)] и ||T<“ в) f ||2 , a , в < Ilf Ika.S ■
(iv) iM^g1!,., в = Mo,»[Fm(gE)]Мк и ITPs)g\ra.в < kko.s•
n f rp{a.в)
(v) ф F f )MK,q [Fm(fE)] daK = J0 fTp1”/й,п«.в
(vi) fo TeaJ>)f dma.в = 10 f dm,
a. в •
(vii) fn f Ta)h dm,a.e = £? h Т<(°в) f dm-ap •
(viii) Если f > 0, то T(a’в) f > 0, т. е. оператор TQa,p> сохраняет положительность.
фа.в)
Доказательство. Свойство (i) следует из самого определения оператора обобщенного сдвига tQ0’^. Из соотношений (18), (21) следует, что
UFm(fE) ||2.S1.k \\J ц2.а.в
и ряд Фурье функции Fm(fE) Е S2,.m имеет вид
(23)
Fm(fE; ф) = ^2t dnfnPiaj3) (COS 2пф).
n=0
По определению оператора обобщенного сдвига M?, т Е [—1,1], имеем
СХк (COS 9)
MCOo,q [FmlfE)](ф) = Ys dnfn m. m ' РП°-в) (cos 2пф).
C2mn(1)
n=0
Отсюда и из (22) вытекает свойство (ii).
Из равенства (23) и предыдущего свойства получаем требуемое совпадение норм в свойстве (iii). Так как MCO, в [Fm(fE)] ||2Sik < \\Fm(fE )||2.sik = Ilf Ъ.а.в,
ОЦЕНКА СНИЗУ КОНСТАНТЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ ... 111
то вторая часть свойства обоснована. Свойство (iv) выводится аналогичным образом:
II Тав)
9\\р,а,в
Fm( (TaS)g)E)
p,S1,K
— \Fm(gE )\p,S1,re ||g||p,a,e
MCos q [Fm(gE)]
p,S1,K
<
Используя свойство (ii), выводим
Is1
Fm(fE)MLq [Fm(fE^ daK
-2n
Fm{ (fTQa,e)f )E; ф wk (ф)
a
к
0
са,в
(fTpr>)
0
f )e(2тф) Wk(ф) dp =
i п2п лп
= 2J0 (fT(ae)f )E (Ф) dma/3 (Ф) = J0 f (Ф) Tea,e)f (ф) dma,e (Ф).
Тем самым имеет место свойство (v).
Свойства (vi), (vii) доказываются стандартным образом на основе разложения (21). Положительность оператора TQa,e следует из положительности M£ и свойства (ii). □
Таким образом, T(a’e есть линейный положительный оператор с нормой 1, действующий в пространстве L2,a,e[0, п]. Он по непрерывности продолжается до линейного непрерывного оператора на Lpae[0, п], где 1 — p < 2, который также будем обозначать через T(a’в).
С помощью несимметричного оператора обобщенного сдвига T(a’в) зададим модуль непрерывности в Lp,а,в[0,п] по формуле
Ш(6, f )р,а,в
SUP ( f TQa/3) [fV,P(-)](V) dma,e (ф) 1 ,
0<в<&\J0 7
6 e [0,п],
(24)
где fv,P(') = \f 0 - f (Ф)\р.
Константу Джексона в Lp,a,e
[0, п] определим равенством
К,(6, R)p,a,e
| Er(f)Рдв
у Ш(5, f )р,а,в
f e Lp,a,e[0, п]
}
R e No.
Если g — действительная функция и \g\ = 1, то
(gO - g(t))2 = (g(-))2 - 2g(-)g(t) + (g(t))2 = 2(1 - gО g(t)),
\g(') - g(t)\p = 2p-2(g(-) - g(t)) = 2P-1(1 - g(-) g(t)).
Поскольку операторы MК и T(a,e') линейны и M£1 = 1, T(a,e') 1 = 1, то для
f e sp?]
MKosq [Fm(f )x,p(-)] (x) = 2p-1( 1 - Fm(f; x)Mclsq [Fm(f )] (x))
112
Р. А. ВЕПРИНЦЕВ
I Mos в [Fm(f)*M(x) daк(x) = 2p-1( 1 -/ Fm(f) McKos e [Fm(f)] daK)
JS1 v dsi 7
и
TF” [ЛД0](ф) = 2p-1 (1 - f(Ф)TFefш, f ^“АЛДОКф) cbvM^) = 2р-1(1 - f fTt°J))f dma,e) ■ (2r>)
Отсюда и из свойства (v) леммы 1
U(6,Fm(f )) p,S1,K
Из (20), (26) вытекает
^(5, f )р,а,в,
f е SF
(26)
sup
J E2mR+1{ Fm(f )) p,§1,K
Ш(6, Fm(f ))p,S1,K
: f е S^if 1 =
1 = sup i
ER(f )р,а,в ^(5, f )р,а,в
: f е sal
)
5
где R е N0.
В следующем пункте доказывается
Теорема 3. Пусть а > в > -1/2, R е N0. Тогда
sup
| Er(f)р,а,в Ш(п, f )р,а,в
f е S£ie|
> 21/р-1,
1 < р< 2.
Из этой теоремы и (19), (20) следует теорема 2 и оценка снизу константы Джексона K(5, Я)р,а,р.
Теорема 4. Пусть а > в > -1/2, R е N0, 5 е [0,п]. Тогда
К(5,К)р,а,е > 21/р-1, 1 < р< 2.
6. Доказательство теоремы 3
Пусть отрезки А1, А2 С [0,п], ха1, ха2 — их характеристические функции,
gAi,A2 (0)
XAi (Ф) Тва,13)ХА2 (ф) dma,e (ф), 0 е
(27)
u(5,g) = sup{|д(ф1) - д(ф2)\: \ф - Ф21 < 5}, 5 е [0,nL — модуль непрерывности непрерывной на отрезке [0,п] функции д.
Лемма 2. Для модуля непрерывности, функции (27) справедлива оценка
П
0
u(5,gA1,A2) < C(а,в,т) 5ln
1
5’
5е
0
1 -2. ■
ОЦЕНКА СНИЗУ КОНСТАНТЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ ... 113
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разложим функции хд., i = 1,2, в ряд Фурье по тригонометрическим полиномам (cosф)}:
Хд. (ф) = ^2 dr (хд.) r Pj:a’e)(cos ф), (хд^ r = (хДг (<f),Pj:a’e)(cos ф))
' а,в’
r=0
Согласно (22)
ТГ'Уд, (ф) = Ё dr (хд, )r C2;;)C0(в) P'“j3)(cos ф).
r=0
Ct r (i)
Тогда
ж
9д1,д, (0) У )
Согласно (6), (9)
r=0
c Ctr(cos 0) r Ctr (1)
cr dr (xaJ r (хд,) r ■
\cr\ < C(a,e) (r + 1) 2.
Следовательно, функция дд1,д2 непрерывна на отрезке [0,я].
Так как для 01, в2 Е [0,я], \01 — 02\ < 5 в силу (1), (3)
d г ]
I Ctr (cos 9i) — Ctr (cos 02)1 < XI Ctr (cos ф) \0i — 02 \ <
dф
< 2mr Ctr (1) 5,
то, учитывая порядковое равенство (сравните с [30, (8.8)])
r=N
1
N’
имеем
\дд1,д2 (01) — 9д1А2 (02)\ = £ пХСк\х (C2™r (cos 01) — C2m r (cos 02 У)
C“2rm (1)
<
<
E
1<r<1/S
+ |Ё
r>1/S
Ct r (1)
(Ctr (cos 01) — Ctr (cos 02))
+
cr
C& r (1)
(Ctr (cos 01) — Ctr (cos 02))
<
< 2m5 E \cr\r+2E \cr\ < 2mC(a, [3) |~5 У 1+ 2Y. 1
<
1<r<1/S
r>1/5
1<r<1/5
r>1/5
< C(a, (3,m) 5 ln — ■ 5
r
□
114
Р. А. ВЕПРИНЦЕВ
Пусть N £ N. Нам понадобятся оценки сумм независимых случайных величин. Оценки Хефдинга [31] запишем в подходящих формах:
P(X1 + ... + XN <-т) < ехр(- NbV , (28)
P(lXi + ••• + xn \> т) < 2ехр(- nb 2) , (29)
где т > 0, Xi — независимые случайные величины, для которых ai < Xi < bi, bi — ai < B и математические ожидания E(Xi) = 0, i = 1, . . . , N.
Пусть Zn = {1,2,...,N}, Sn — множество всех перестановок Zn, nN — подмножество перестановок п, для которых для всех i £ Zn п(г) = i.
В [15] доказано
Предложение 4. Для любой перестановки п £ nN последовательность (i,n(i))N=1 можно разбить на три набора так, что в каждом наборе все элементы пар будут различными.
Напомним, что квадратная матрица C = (cij)nxn называется дважды стохастической, если все ее элементы неотрицательны и
N N
^ ^ cij 1, i 1, • • • , N, ^ ^ cij 1, j 1, • • • , N•
j=1 i=1
Дважды стохастическая матрица называется крайней (или матрицей перестановок), если у нее в каждой строке и в каждом столбце ровно одна единица, а остальные элементы равны нулю. Имеет место [32]
Теорема Биркгофа. Для любой дважды стохастической матрицы C порядка N существуют набор неотрицательных чисел X1,...,XN2 таких, что А1 + ... + XN2 = 1, и набор крайних матриц C1,, CN2, для которых
N2
C = J] XSCS.
S=1
Те функции fN, которые мы далее вводим на отрезке [0, п], считаем продолженными на полуинтервал [—п, 0) четным образом (Jn(—ф) = fN(ф)), при этом индекс «Е» (см. п. 5) у таких функций для удобства опускается.
N
Пусть отрезки А1,..., An С [0,п], ma^ (Ai) = /д. dmap (ф) = 1/N, U Ai =
1 i=1
iMb c(i) £ { — 1, 1},
fN (ф) = c(i), ф £ Ai, i = 1,...,N.
(30)
ОЦЕНКА СНИЗУ КОНСТАНТЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ ... 115
Константы c(i) считаем независимыми случайными величинами, принимающими значения ±1 с одинаковыми вероятностями
P(c(i) = 1) = P(c(i) = -1) = 2.
так что E(c(i)) = 0.
Так как \fN (ф)\ = 1, т. е. fN G Sp^f, то в силу (25)
РП
/ Тв^ [(fN W0] (ф) (ф) =
J 0
= 2»-‘( 1 - Г fN (ф) T^fN (ф) Атав(ф)) =2p-1(1 - Gn (0)). (31)
Используя обозначение (27), получим
N
Gn(0) = ^2 c(i)c(j)9Ai,Aj (0)■ i,j=1
Если вектор c = (c(1),..., c(N)) и матрица порядка N A(0) = (gAi,Aj (0)), то GN(0) = cA(0) cT. Согласно свойствам (i), (vii), (viii) из леммы 1 N A(0) — симметричная и дважды стохастическая матрица. Действительно,
РП
9Ai,Aj (0) = XAi (ф) Т$а’вXAj (ф) dma,/3 (ф) =
J 0
П
= XAj (ф) Т1а,в)XAi (ф) dma,e (ф) = 9Aj,Ai (0) > 0.
0
N
Y N9Ai,Aj (0) = N XAi Тв 1 dma,e
j=1 Л
N XAi (ф) dma,/3 (ф) = N ma,e (Aj) = 1.
Следовательно, по теореме Биркгофа
N 2
A(0) = As (0)
s^ i-sy^ J 1
s=1
П
П
0
N2
где \1(0)..... Xn2(0) > 0,J2 K(0) = 1, A1(0)..... An2(0) — крайние матрицы.
s=1
Отсюда
1 N2 1 N2 N
Gn(0) = йТ, Xs(0)cAs(0)cT = - £ X,(e)Y, c(i)c(n. в(i)). (32)
s=1 s=1 i=1
116
Р. А. ВЕПРИНЦЕВ
где перестановки ns,e Е SN.
Пусть 9к = N3, k = 1,..., N3. Рассмотрим события
B
sk
(N fe
\i=l
c(i)c(ns,ek(i)) > -6vNln N
)
N2, к = 1,
N3. (33)
1
s
По предложению 4 слагаемые в последней сумме, для которых ns,ek (i) = i, могут быть разбиты на три суммы, в каждой из которых элементы пар (i, ns^k (i)) будут различными. Как показано в [33, 15], слагаемые (число которых не превосходит N) в каждой такой сумме Yi, l = 1, 2, 3, будут независимыми случайными величинами, принимающими значения ±1 с вероятностью 1/2. Поэтому в силу (28)
P(Bsk) < P I ^2 c(i)c(ns,ek (i)) < -бл/Nln N I <
\i: ns,6k(i)=i ) (34)
3
<Y1 P(Y < -2vNln N) < 3 exp(-2 ln2 N).
i=i
Рассмотрим события
Dk = (\(fN(v).Pka'e)(cosp))aJ< 2^), к = 0,1,...,R, R Е No. (35)
Так как
U'n(ф),р(а’e)(cos ф))
а,в I
N
J2c(i) Pka’e) (cos Ф) dmae (Ф)
i=i JA
JAi
то в силу (29)
Pka,e)(cos ф) dma,e(ф) < I dma,e (ф) = N,
Ai
P(Dk) = P Отсюда и из (34
( t *) jA
V i=l JA
J2c(i) Pk(cOS ф) dma,e (ф)
l Ai
)
> 2^ | < 2exp(-2ln2 N).
P
(N2 N3 R \
YYB‘k + £ Dd
s=l k=l k=0 /
Bsk + V Dk) < (3N5 + 2(R + 1))exp(-2ln2 N),
поэтому с некоторого номера N
'N2 N3 \ / R
P П nBs^ JlDk > 1 - (3N5 + 2(R + 1))exp(-2ln2 N) > 0. (36
sk Dk
v.s=l k=l / \k=0
ОЦЕНКА СНИЗУ КОНСТАНТЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ ... 117
Таким образом, для каждого достаточно большого N существует функция In (30), для которой согласно (32)-(36) выполнены свойства
N 2
-] N ГУ 1 ]\Т
Gn9) >^\.(9k)(—6ENlnN) =
s=1 *
к =1,...,N3, (37)
fN {ф),Р<к'Р) (c°s ф)) ав | < , к = 0,-",R-
(38)
Теперь несложно закончить доказательство теоремы 3. Согласно лемме 2 для любого 9 E [0,я] и некоторого 9k, для которого \9 — 9k\ < N3, будет
\9Aia(9) — g&iAi(9k)\ < C(а,в,т)
ln N
N,
и
N
i,j = 1,■■■,N,
ln N
GN (9) — GN (9k)| < ^ \9Ai,Aj (9) — 9Ai,Aj (9k )\ < C (а,в,т)
i,j=1
N
Отсюда и из (37) для всех 9 E [0, п]
ln N ln N 6 ln N
Gn(9) > —C(aJ,m)N + Gn(9k) > —C(а,в,т)—----->
> —C(а, в,т)
поэтому согласно (31), (24)
ln N
-N,
C(а, в, m) > 0,
UP(п, fN)р,а,в < 2 1 (1 + C(а, в, m) ■
(39)
Пусть
R
Er(In )p,a,P = || In (ф) — tR(cOS ф)\\р,а,в, tR (cOS ф) = ^ ak Рк*'в (COS Ф) •
k=0
Так как |tR(cos ф)\\рав < 21 InWPae = 2 то коэффициенты ak, зависящие от функции In, ограничены в совокупности: \ak\ < ^(R+ff , где K(а, в, R) — некоторая постоянная, зависящая от указанных параметров. Тогда согласно (38)
R
|(f ^2r (cos ф))ав 1 < ^ \ak \1 (fN (ф),Р{ка’в) (cos Ф))ав 1 < K (a,e,R)l—/=-
k=0 N
Применяя неравенство Гельдера, получим
1 = \\fN WlaP = / fN (ф)(и (ф) — tR(cOS ф)) dma,e (ф) + 0
118
Р. А. ВЕПРИНЦЕВ
Г ln N
+ J In(cos ф) dma,e(ф) < \\In(ф) - £r(cos ф)\\р,а,в + K(a,fi,R)-^n
П
+
0
ln N
ErUn)p,a,/3 > 1 - K(a,fi, R) ~^n.
Отсюда и из (39)
>
i/p
1+ C(a,e,m)
Теорема 3 и теоремы 2, 4 доказаны.
7. Заключение
В заключение укажем одно из возможных направлений развития и приложения полученных в настоящей работе результатов. На основе теоремы 2 получить оценку снизу константы Джексона (12) в пространствах Lp на сфере с весом Данкля, связанным с абелевой группой Zd( (см. [21, Sect. 7.5]). Поскольку абелева группа Z2 совпадает с группой диэдра I2, то поставленная проблема решена при d =2.
Автор считает своим приятным долгом выразить признательность В. И. Иванову за поставленную в работе проблему и внимание к ее решению.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Dunkl C.F. Reflection groups and orthogonal polynomials on the sphere // Math. Z. 1988. V. 197. P. 33-60.
2. Dunkl C.F. Differential-difference operators associated to reflection groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V. 311, № 1. P. 167-183.
3. Dunkl C.F. Operators commuting with Coxeter group actions on polynomials / Invariant Theory and Tableaux. Springer, 1990. P. 107-117.
4. Dunkl C.F. Integral kernels with reflection group invariance // Can. J. Math. 1991. V. 43, № 6. P. 1213-1227.
5. Dunkl C.F. Hankel transforms associated to finite reflection groups // Contemp. Math. 1992. V. 138. P. 123-138.
6. Dai F., Xu Y. Approximation theory and harmonic analysis on spheres and balls. Springer: New York, 2013. 440 p.
7. Бердышев В.И. О теореме Джексона в Lp // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 3-16.
ОЦЕНКА СНИЗУ КОНСТАНТЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ ... 119
8. Иванов В.И. Об оценке снизу константы в неравенстве Джексона в разных Lp-нормах // Матем. заметки. 1992. Т. 52, № 3. С. 48-62.
9. Пичугов С.А. Константа Юнга пространства Lp // Матем. заметки. 1988. Т. 43, № 5. С. 604-614.
10. Иванов В.И., Пичугов С.А. Константы Юнга /"-пространств // Матем. заметки. 1990. Т. 48, № 4. С. 37-47.
11. Иванов В.И. О связи констант Джексона и констант Юнга пространств Lp // Матем. заметки. 1995. Т. 58, № 6. С. 828-836.
12. Иванов В.И., Юнпин Лю Оценка снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 < p < 2 с периодическим весом Якоби // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 59-69.
13. Черных Н.И. Неравенство Джексона в Lp(0, 2п) (1 < p < 2) с точной константой // Тр. МИАН. 1992. Т. 198. С. 232-241.
14. Иванов В.И. О приближении функций в пространствах Lp // Матем. заметки. 1994. Т. 56, № 2. С. 15-40.
15. Иванов В.И. Приближение в Lp кусочно-постоянными функциями // Матем. заметки. 1988. Т. 44, № 1. С. 64-79.
16. Горбачев Д.В. Точное неравенство Джексона в пространстве Lp на сфере // Матем. заметки. 1999. Т. 66, № 1. С. 50-62.
17. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp, 1 < p < 2 с периодическим весом Якоби // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 5-27.
18. Иванов В.И. Прямые и обратные теоремы теории приближения периодических функций в работах С. Б. Стечкина и их развитие // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 4. С. 5-17.
19. Вепринцев Р.А. Некоторые вопросы гармонического анализа Данкля на сфере и шаре // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 6-26.
20. Вепринцев Р.А. Неравенство Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 27-49.
21. Dunkl C.F., Xu Y. Orthogonal polynomials of several variables. Cambridge University Press, 2014. 420 p.
120
Р. А. ВЕПРИНЦЕВ
22. Andrews G.E., Askey R., Roy R. Special functions. Cambridge University Press, 1999. 664 p.
23. СЕГЕ Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 с.
24. БАДКОВ В.М. Введение в единую теорию алгебраических и тригонометрических ортогональных полиномов. Учебное пособие. Екатеринбург: УрГУ, 2006. 132 с.
25. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966. 295 с.
26. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Физматлит, 2005. 480 с.
27. Бадков В.М. Приближение функций частичными суммами ряда Фурье по обобщенным многочленам Якоби // Матем. заметки. 1968. Т. 3, № 6. С. 671682.
28. Иванов В.И. Введение в теорию приближений. Тула: ТулГУ, 1999. 116 с.
29. Humphreys J.E. Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge University Press, 1990. 204 p.
30. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М.: Мир, 1965.
31. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987.
32. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения. М.: Мир, 1983. 576 с.
33. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: ТулГУ, 2010.
REFERENCES
1. Dunkl, C. F. 1988, "Reflection groups and orthogonal polynomials on the sphere" , Math. Z., vol. 197, pp. 33-60.
2. Dunkl, C. F. 1989, "Differential-difference operators associated to reflection groups" , Trans. Amer. Math. Soc., vol. 311, pp. 167-183.
3. Dunkl, C. F. 1990, "Operators commuting with Coxeter group actions on polynomials" , in Invariant theory and tableaux (Minneapolis, MN, 1988), IMA Vol. Math. Appl., vol. 19, Springer, New York, pp. 107—117.
ОЦЕНКА СНИЗУ КОНСТАНТЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ ... 121
4. Dunkl, C. F. 1991, "Integral kernels with reflection group invariance" , Can. J. Math., vol. 43, pp. 1213-1227.
5. Dunkl, C. F. 1992, "Hankel transforms associated to finite reflection groups" , in Hypergeometric functions on domains of positivity, Jack polynomials, and applications (Tampa, FL, 1991), Contemp. Math., vol. 138, Amer. Math. Soc., Providence, RI, pp. 123-138.
6. Dai, F. & Xu, Y. 2013, "Approximation theory and harmonic analysis on spheres and balls" , Springer, New York, 440 pp.
7. Berdyshev, V. I. 1967, "Jackson’s theorem in Lp" , Trudy Mat. Inst. Steklov., vol. 88, pp. 3-16. (Russian)
8. Ivanov, V. I. 1992, "Lower bound on constant in Jackson inequality in different Lp-norms" , Mat. Zametki, vol. 52, no. 3, pp. 48-62. (Russian); translation in Math. Notes 52 (1992), no. 3, pp. 906-918.
9. Pichugov, S. A. 1988, "Jung’s constant for the space Lp" , Mat. Zametki, vol. 43, no. 5, pp. 604-614. (Russian); translation in Math. Notes 43 (1988), no. 5, pp. 348-354.
10. Ivanov, V. I. & Pichugov, S. A. 1990, "Jung constants of the /"-spaces" , Mat. Zametki, vol. 48, no. 4, pp. 37-47. (Russian); translation in Math. Notes 48 (1990), no. 4, pp. 997-1004.
11. Ivanov, V. I. 1995, "On the relation between the Jackson and Jung constants of the spaces Lp" , Mat. Zametki, vol. 58, no. 6, pp. 828-836. (Russian); translation in Math. Notes 58 (1995), no. 6, pp. 1269-1275.
12. Ivanov, V. I. & Yongping Liu 2011, "Lower estimation of Jackson constants in Lp-spaces with periodical Jacobi weight" , Izv. TulGU. Estestv. Nauki, no. 2, pp. 59-69. (Russian)
13. Chernykh, N. I. 1992, "A Jackson inequality in Lp(0, 2n) (1 < p < 2) with an exact constant" , Trudy Mat. Inst. Steklov., vol. 198, pp. 232-241. (Russian); translation in Proc. Steklov Inst. Math. 198 (1994), no. 1, pp. 223-231.
14. Ivanov, V. I. 1994, "Approximation of functions in spaces Lp" , Mat. Zametki, vol. 56, no. 2, pp. 15-40. (Russian); translation in Math. Notes 56 (1994), no. 2, pp. 770-789.
15. Ivanov, V. I. 1988, "Approximation in Lp by means of piecewise-constant functions" , Mat. Zametki, vol. 44, no. 1, pp. 64-79. (Russian); translation in Math. Notes 44 (1988), no. 1, pp. 523-532.
122
Р. А. ВЕПРИНЦЕВ
16. Gorbachev, D. V. 1999, "The sharp Jackson inequality in the space Lp on the sphere" , Mat. Zametki, vol. 66, no. 1, pp. 50-62. (Russian); translation in Math. Notes 66 (1999), no. 1, pp. 40-50.
17. Chertova, D. V. 2009, "Jackson theorems in Lp-spaces, 1 < p < 2 with periodic Jacobi weight" , Izv. TulGU. Estestv. Nauki, no. 1, pp. 5-27. (Russian)
18. Ivanov, V. I. 2010, "Direct and inverse theorems in approximation theory for periodic functions in S. B. Stechkin’s papers and the development of these theorems" , Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, vol. 16, no. 4, pp. 5-17. (Russian); translation in Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics 273 (2011), no. 1 supplement, pp. 1-13.
19. Veprintsev, R. A. 2013, "Some problems of Dunkl harmonic analysis on the sphere and the ball" , Izv. TulGU. Estestv. Nauki, no. 3, pp. 6-26. (Russian)
20. Veprintsev, R. A. 2013, "Jackson inequality in the spaces Lp on the sphere with Dunkl weight" , Izv. TulGU. Estestv. Nauki, no. 3, pp. 27-49. (Russian)
21. Dunkl, C. F. & Xu, Y. 2014, "Orthogonal polynomials of several variables" , Cambridge University Press, Cambridge, 420 pp.
22. Andrews, G. E., Askey, R. A. & Roy, R. 1999, "Special functions" , Cambridge University Press, Cambridge, 664 pp.
23. Szego, G. 1975, "Orthogonal polynomials" , American Mathematical Society Colloquium Publication 23, American Mathematical Society, Providence, RI, 431 pp.
24. Badkov, V. M. 2006, "Vvedenie v edinuyu teoriyu algebraicheskikh i trigo-nometricheskikh ortogonal’nykh polinomov" [Introduction to unified theory of algebraic and trigonometric orthogonal polynomials], Izd-vo UrGU, Ekaterinburg, 132 pp. (Russian)
25. Bateman, H. & Erdelyi, A. 1953, "Higher transcendental functions. Volume 2" , McGraw-Hill Book Company, New York.
26. Suetin, P. K. 2005, "Klassicheskie ortogonal’nye polinomy" [Classical orthogonal polynomials], Fizmatlit, Moskow, 480 pp. (Russian)
27. Badkov, V. M. 1968, "Approximation of functions by partial sums of a Fourier series of generalized Jacobi polynomials" , Mat. Zametki, vol. 3, no. 6, pp. 671682. (Russian)
28. Ivanov, V. I. 1999, "Vvedenie v teoriyu priblizheniy" [Introduction to approximation theory], Izd-vo TulGU, Tula, 116 pp. (Russian)
ОЦЕНКА СНИЗУ КОНСТАНТЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ ... 123
29. Humphreys, J. E. 1990, "Reflection groups and Coxeter groups" , Cambridge University Press, Cambridge, 204 pp.
30. Zygmund, A. 2002, "Trigonometric series. Volume I" , Cambridge University Press, Cambridge, 383 pp.
31. Petrov, V. V. 1987, "Predel’nye teoremy dlya sum nezavisimykh sluchaynykh velichin" [Limit theorems for sums of independent random variables], Nauka, Moskow, 1987. (Russian)
32. Marshall, A. W. & Olkin, I. 1979, "Inequalities: theory of majorization and its applications" , Academic Press, New York, 569 pp. 576 с.
33. Ivanov, V. I. & Smirnov, O. I. 2010, "Konstanty Dzheksona i konstanty Yunga v prostranstvakh Lp" [Jackson constants and Jung constants in Lp-spaces], Izd-vo TulGU, Tula. (Russian)
Тульский государственный университет.
Получено 10.03.2015
