Некоторые вопросы гармонического анализа Данкля на сфере и шаре Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 6-26

= Математика =

УДК 517.5

Некоторые вопросы гармонического анализа Данкля на сфере и шаре *

Р. А. Вепринцев

Аннотация. Излагаются некоторые вопросы гармонического анализа Данкля на евклидовой сфере и евклидовом шаре. Строится оператор сплетения из весового пространства Ь і на шаре в пространство Ьі на сфере с весом Данкля, позволяющий определить свертку на сфере с весом Данкля.

Ключевые слова: система корней, группа отражений, функция кратности на системе корней, оператор Данкля, лапласиан Данкля, к-сферическая гармоника, оператор сплетения Данкля, алгебра Данкля.

Введение

В конце 80-х годов прошлого века американский математик Ч. Данкль (C.F. Dunkl) определил дифференциально-разностные операторы, которые теперь принято называть операторами Данкля. В последние годы теория операторов Данкля нашла широкие применения в математике и математической физике. Эти операторы представляют полезный инструмент при изучении специальных функций, связанных с системами корней.

Ч. Данкль ввел и изучил преобразование Фурье, связанное с операторами Данкля, называемое преобразованием Данкля. Формула обращения, теоремы Планшереля и Пэли-Винера были установлены позднее в работах М.Ф.Е. де Же (M.F.E. de Jeu). В определении этого преобразования

Ч. Данкль использует ядро Данкля, которое обобщает обычную экспоненту и получается путем применения к экспоненте так называемого оператора сплетения Данкля. Важные свойства оператора сплетения доказаны М. Реслер (M. Rosier) и К. Тримеш (K. Trimeche).

Оператор сплетения позволяет построить теорию сферических гармоник, связанных с группами отражений, аналогичную классической теории сферических гармоник. Такой гармонический анализ, называемый гармоническим анализом Данкля, находит применения в теории приближений, например, в работах Ю. Шу (Y. Xu).

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00045).

Настоящая работа посвящена изложению некоторых вопросов гармонического анализа Данкля.

1. Предварительные обозначения и определения

Пусть N — множество всех натуральных чисел, N0 = N и {0} — множество всех неотрицательных целых чисел, Ъ = N0 и (—N — множество всех целых чисел, М — множество всех действительных чисел, М+ — множество всех неотрицательных действительных чисел, С — множество всех комплексных чисел, Мй (^ Є N — ^-мерное действительное евклидово пространство со

й ___________________

стандартным скалярным произведением (и, V) = ^ изVj, ||и|| = \/(и, и) —

3=1

норма (или длина) вектора и, еі,..., вй — стандартный ортонормированный базис в Мй, ё1ш X — размерность линейного пространства X. Символ Похгаммера определяется для £ Є М по формулам

(£)о = 1, (£)п = £(£ + 1)... (£ + п - 1), п Є N.

Введем следующие обозначения, связанные с некоторыми пространствами комплекснозначных функций /: X ^ С, заданных на локально компактном хаусдорфовом пространстве X:

|/Щх = йир |/(ж)|;

хЄХ

С(X), Сь^), С1 (X), Е(X) — пространства соответственно непрерывных, непрерывных ограниченных, непрерывно дифференцируемых, бесконечно дифференцируемых функций на X;

Ьте^, д) — пространство измеримых по Лебегу существенно

ограниченных на X относительно меры д функций / с нормой

II/іи,х,м = {М > 0 | |/1 ^ М д - п.в. на X}.

Если д есть борелевская мера на Мй, то ее пополнение (процесс пополнения описан в [1, с. 51]) обозначим через Д. Мера Д является единственным продолжением меры д до полной меры на ст-алгебре измеримых по Лебегу множеств в Мй.

Группу всех ортогональных преобразований пространства Мй называют просто ортогональной группой и обозначают через 0(Мй), или О(^). Тождественное преобразование обозначим символом 1ё.

Пусть и Є Мй \ {0}. Линейную оболочку, натянутую на вектор и, обозначим через (и), т. е.

(и) = {си | с Є М}.

Ортогональная вектору и гиперплоскость (и)^ есть множество

(и)х = {V Є Мй | (и, V) = 0}.

Имеем разложение пространства Мй в ортогональную сумму своих ненулевых подпространств (и) и (и)1

Мй = (и) ф (и)1.

Поскольку ортогональная сумма ненулевых подпространств всегда является прямой суммой, то произвольный вектор х Є Мй допускает единственное представление в виде

х = її + її1, її Є (и), її1 Є (и)1. (1)

Отражением вдоль вектора и (или отражением относительно гиперплоскости (и)1, ортогональной и) называется линейный оператор на Мй, действующий на произвольный вектор х Є Мй (1) по правилу

«м(х) = -ЇЇ + її1.

Справедлива следующая простая формула [2, р. 3]:

2(х, и)

5«(х) = х-----п—и.

||и||2

Отметим два свойства оператора 8и:

1°. («и(х),5и(у)) = (х,у) для всех х,у Є Мй;

2°.

Таким образом, есть ортогональное преобразование Мй, т. е. Є 0(Мй),

и имеет порядок 2 в ортогональной группе 0(Мй).

Конечные группы, порожденные отражениями (кратко конечные группы отражений), представляют собой наиболее интересные конечные подгруппы ортогональной группы.

В работе придерживаемся стандартной мультииндексной системы обозначений [3, р. 30,31]. Набор а = (а1,...,ай) Є N называется мультииндексом. Для а Є N и х = (хі,...,х^) моном от переменных х1, . . . , хй есть произведение

ха = ™«1

х х і ... х й .

Число |а| = аі + ... + а^ называется полной степенью монома ха. Полином Р от й переменных есть выражение вида

P(x) = ^2 C«x“, Са Є C,

в котором все коэффициенты са равны нулю, кроме, быть может, конечного их числа. Полином P назовем нулевым, если все коэффициенты са нулевые. Степень полинома P обозначается через deg P и в случае ненулевого полинома определяется по формуле deg P = max |а|, где Q = {а € Nd |

а€П

= 0}. Ненулевой полином P называется однородным степени n € No, если

aSNg

|а| = n для любого а € Q. По определению, степень нулевого полинома может быть произвольным неотрицательным целым числом, и нулевой полином есть однородный полином, степень которого также может быть произвольным неотрицательным целым числом.

Пусть nd — множество всех полиномов в Rd,

П+ = {P € П | P(ж) ^ 0 Vx € Rd}

— множество всех неотрицательных полиномов,

ПП = {P € П | deg P < n}

— пространство всех полиномов степени не выше n, dim П^ = (n+d),

РП = {P € nd | P(ж) = ^ саж“, Са = 0 при |а| = n|

— пространство всех однородных полиномов степени n от d переменных, dim РП = (n+^-^.

Линейный оператор L на nd называется однородным степени k € Z, если L(P^) С P^+fc при всех n € N0 таких, что n + k ^ 0. Линейный оператор L на nd называется положительным, если L(n+) С П+.

2. Основы теории Данкля

Основу теории операторов Данкля составляют системы корней и связанные с ними конечные группы отражений. Дадим соответствующие определения.

Системой корней называется конечный набор R ненулевых векторов в Rd, удовлетворяющий двум условиям [2, p. 5]:

(R1) R П (u) = {u, — u} для всех u € R;

(R2) su(R) = {su(v) | v € R} = R для всех u € R.

Сами векторы, принадлежащие системе корней R, называются ее корнями.

Подгруппа W = W(R) С O(Rd), порожденная отражениями {su | u € R}, называется группой отражений (или группой Коксетера), связанной с R.

Для любой системы корней R в Rd группа W = W(R) конечна, а набор отражений, содержащихся в W, есть в точности {su | u € R} [3, p. 141].

Транзитивное отношение < на Rd называется полным упорядочением, если выполнены следующие аксиомы [2, 4]:

TO1) Для каждой пары u, v € Rd определено одно из соотношений u < v, u = v, v < u.

TO2) Если u < v, то для любого t € Rd имеем u +t < v +t.

TO3) Если u < v и c — ненулевое действительное число, то cu < cv при С > 0 и cv < cu при С < 0.

Для заданного упорядочения будем говорить, что вектор u € Rd положительный, если 0 < u. Очевидно, что сумма положительных векторов

вновь является положительным вектором, так же как произведение положительного действительного числа на положительный вектор.

С каждым базисом £i,...,£d можно связать отношение полного упорядочения следующим образом. Считаем, что u = uj£j < v = ^ vj£j, если для некоторого j выполнено неравенство uj < vj, а при номерах i < j имеем равенства u = vj. Заметим, что все £ положительны при данном упорядочении.

Возвращаясь к системе корней R, назовем ее подмножество R+ положительной системой, если оно состоит из всех тех корней, которые положительны относительно некоторого полного упорядочения Rd. Ясно, что положительные системы существуют. Более того, поскольку корни объединяются в пары {u, —u}, то сама система R обязана быть дизъюнктным объединением подмножеств R+ и — R+, последнее из которых называется отрицательной системой.

Функция к: R ^ R+ называется функцией кратности на R, если функция к инвариантна относительно группы W, что означает выполнение равенств k(u) = k(wu) для любых w € W и u € R.

С каждой функцией кратности связывают два индекса (числа):

Yk = ^ K(u^ Лк = Yk + . (2)

Эти индексы не изменятся, если в системе корней R выбрать другую положительную систему, что вытекает из W-инвариантности функции кратности.

Дифференциально-разностные операторы первого порядка (операторы Данкля) в координатной форме при 1 ^ j ^ d или в свободной от координат форме для £ € Rd определяются соответственно по формулам (для p € nd) [3, Definition 4.4.2, p. 152]

dp(x) ^ p(x) — p(s„(x))

Djp(x) = "dxr + £ K(u>—(xu—“j ■

Dgp(x) = (£ vp(x)) + ^ k(u)p(x) (r^7(s)u(x)) (£,u)

«ед+ ( , )

где Vp(x) — значение градиента полинома p в точке ж.

Данное определение не зависит от специального выбора положительной системы R+ вследствие W-инвариантности функции кратности к. При к = 0 оператор Dj представляет собой частную производную по переменной Xj, а оператор Dg — производную по вектору £. Операторы Данкля впервые введены Ч. Данклем в [5, p. 169]. Очевидно, что Dj = Dej. Оператор Данкля Dg есть однородный оператор степени —1. Для любых векторов £, Z € Rd справедливо равенство DgD^ = D^Dg [5, p. 171]. Операторы Данкля могут быть продолжены на класс функций C 1(Rd) по формулам из

определения, если считать, что p € C 1(Rd). При этом Dgp € C(Rd). Набор {Dj }d=i порождает коммутативную алгебру дифференциально-разностных операторов на nd.

Лапласианом Данкля, или к-лапласианом, называется следующий оператор:

д. = £ dj.

j=i

Лапласиан Данкля введен Ч. Данклем в [6]. Он является однородным оператором степени —2 [6, p. 36]. Для любого ортонормированного базиса £i,...,£d в Rd [5, p. 172]

Д» = £ Dj.

j=i

При к = 0 имеем обычный лапласиан Д.

Ч. Данкль доказал [7], что для каждой функции кратности к существует единственный линейный оператор VK на П такой, что

д

VK(Pd) Cpd, VK1 = 1, Dj VK = Vk, 1 < j < d. (3)

Оператор VK называется оператором сплетения Данкля. VK есть положительный [8, Theorem 1.1, p. 447] и однородный оператор степени 0. Если к = 0, то VK = id.

Оператор сплетения Vk играет центральную роль в теории Данкля и ее приложениях. В частности, он используется в записи ядра Данкля, которое обобщает обычное экспоненциальное ядро e^v^. Явное выражение VK известно в нескольких специальных случаях (подробнее см. [8, p. 446]). Определим весовую функцию равенством

Ьк(ж)= П l(x,u)|2K(u), ж € Rd. (4)

Она инвариантна относительно W, т. е. hK(x) = hK (wx) для любого преобразования w € W, а ее определение, как и в случае операторов Данкля, не зависит от выбора R+ в R. Будем называть весовую функцию hK, инвариантную относительно группы отражений W, просто весом Данкля в Rd. Весовая функция Данкля является однородной степени 2yk (yk определено в (2)).

В дальнейшем используем индекс „к“ для напоминания того факта, что все рассмотрения производятся для фиксированных системы корней R и функции кратности к на R.

Гармонический анализ в пространствах с весом Данкля осуществляется с помощью операторов Данкля и преобразования Данкля. Его основы заложены в конце прошлого века в работах [5-7, 9, 10] американского

математика Ч. Данкля, поэтому соответствующие гармонический анализ и теорию называют гармоническим анализом и теорией Данкля. Теория Данкля находит широкое применение в теории функций, теории вероятностей, математической физике. В последнее время гармонический анализ Данкля используется при решении ряда задач теории приближений, например, при доказательстве неравенств Джексона в пространстве Ь2(Кй) с весом Данкля (4) [11-16].

3. Весовые пространства на сфере и шаре

Пусть 8й-1 = {ж € | ||ж|| = 1} — единичная евклидова сфера в , ш —

лебегова мера на сфере 8й-1, шй-1 = fgd-1 ёш — площадь сферы 8й-1, Вй = = {ж € | ||ж|| ^ 1} — замкнутый единичный евклидов шар в Мй, В = В1 =

= [-1,1].

Сужение веса Данкля в (4) на сферу 8й-1, умноженное на нормировочную константу ак, определяемую из равенства fgd-1 ёш = 1,

обозначим через эдк:

■шк(ж) = акйк(ж), ж € 8й-1, (5)

и будем называть весом Данкля на сфере 8й-1, или просто весом Данкля.

С помощью вероятностной меры на 8й-1, определяемой равенством = ■шкёш, введем для 1 ^ р ^ то весовые пространства комплекснозначных измеримых по Лебегу функций на сфере 8й-1:

£Р;К(8"-1) = {/: 8й-1 ^ С | ||/^ |/|р ёстк)1/Р < то},

1 ^ р < то,

£те,к(8й-1) = £^(8й-1,стк), р = то.

Пространство Ь2,к(8й-1) — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением

(/,д)к^-1 = / (ж)д(ж) ёстк(ж). (6)

У^-1

Нетрудно видеть, что вес Данкля на сфере 8й-1 по самому определению для -п.в. ж € 8й-1 не нуль. Отсюда произвольное свойство, справедливое аге-п.в. на сфере 8й-1, выполняется для ш-п.в. ж € 8й-1. Обратное заключение очевидно. Поскольку другие меры на сфере, кроме ш и ак, нами не будут рассматриваться, то всякий раз указание на меру, когда говорим о том, что некоторое свойство выполняется ш-п.в. или аге-п.в. на 8й-1, опускаем.

Пусть Л > 0,

СЛ'“ = (1(1 -"У"2 )Л"‘ Лу)-‘ = ГПЛ/+г'(А))

— нормировочная константа [3, р. 38], тл,й — вероятностная мера на шаре Вй, определяемая равенством ётл^(у) = сл^(1 — ||у||2)л-1ёу, у € Вй,

) ТО/: В" ^ С | ||/||рМл ТО/ I/ 1Р ётм) ^ < ТО, 1 < Р < то,

Ь^,л(Вй) = £те(Вй,тл^), Р = то,

(ьР;л[—1,1] = ЬР;л(В), тд = тл,1, 1 ^ р ^ то)

— пространства комплекснозначных измеримых по Лебегу функций на шаре Вй при 1 ^ р ^ то.

Пространство Ь2;л[—1,1] — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением

(/д)л,[-1,1] = J /(%№ётл(£). (7)

В гармоническом анализе Данкля используются функции вида д((ж, •)), ж € 8й-1, где д: [—1,1] ^ С. Для них справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть ж € 8й-1, Л > 0, 1 ^ р ^ то.

Если д € £Р;л+(й-1)/2[-1,1], то д((ж, ■)) € ^л^) и

Цд^ж '^НрМл = НдН^-м]^^-^ 1 < р < то, (8)

11д((ж, ,тл^ ||д||те,[- 1,1],тол+(^г1)/2, р то. (9)

Если д € С[-1,1], то д((ж, ■)) € С(Вй) и ||д((ж, -))||тев = ||дН~,[-1,1]-

Доказательство. Заключительная часть утверждения очевидна в силу непрерывности скалярного произведения (■, ■) в Мй.

Для произвольных ж € 8й-1, 7 > —1 и функции / € £1;7+(й+1)/2[—1,1] справедливо следующее равенство [17, р. 412, (А.5.2)]:

I /((ж,у))(1 — 1М|2)7ёУ = ЬТО /(*)(1 — ^)7+(10)

.JBd -1-1

где константа Ь7 определяется из формулы при /(£) = 1. Из формулы (10) непосредственно следует (8), если в качестве / взять |д|р и Л = 7 + 1 Соотношение (9) между нормами получается теперь из (8), если р устремить к бесконечности.

Лемма доказана.

4. Элементы теории к-сферических гармоник

Полином Р € П назовем к-гармоническим, если ДКР = 0. Из (3) немедленно получаем, что ДкУК = УКД. Следовательно, если Р — гармонический полином (ДР = 0), то УКР будет к-гармоническим. Отметим, что к-гармоника — к-гармонический однородный полином. Пространство

к-гармоник степени n обозначим через НП(к). Если N(n,d) = dimНП(к), то N(n, d) = (га+--1е — (n+- - 3е при n ^ 2, N(0, d) = 1, N(1, d) = d. Заметим, что N(n, 2) = 2 при n ^ 1, N(n, 3) = 2n + 1 для всех n ^ 0.

Сужение к-гармоники степени n на сферу Sd-1 будем называть к-сферической гармоникой степени n. Обозначим через АП(к) множество всех к-сферических гармоник степени n. Оно совпадает с множеством сужений на Sd-1 всех элементов из НП(к) по своему определению. Кроме того, dimАП(к) = dimНП(к) (см. по этому поводу рассуждения в [18, с. 160]). Относительно к-сферических гармоник справедливо следующее предложение [6, p. 37].

Предложение 1. Если f, g — к-сферические гармоники и deg f = deg g, то Jgd-i fghK = 0.

Из предложения 1 следует, что пространства Д^(к), рассматриваемые как подпространства в L2,K(Sd-1), ортогональны относительно скалярного произведения (■, -)K;gd-i (6):

АП(к) ±А?г(к), n = m.

Более того, методами стандартной теории гильбертовых пространств (см. рассуждения в [18, с. 159-162], которые благодаря [6, Theorem 1.7] проходят и в гармоническом анализе Данкля), доказывается, что имеет место следующее к-гармоническое разложение L2,K(Sd-1) в ортогональную сумму:

ГО

L2,k (Sd-1) = £ ®лП(к).

n=0

Таким образом, если f € L2,K(Sd-1), то существует единственное разложение

ГО

f = £ Y(n),

n=0

где ряд справа сходится к f по норме L2,K(Sd-1) и Y(n) € АП(к). В случае нормированной меры Лебега на сфере Sd-1 (к = 0) такой ряд называется рядом Лапласа функции f.

Оператор ортогонального проектирования из L2,K(Sd-1) на АП(к)

Ргга(к): L2,K(Sd-1) ^ A (к) можно записать в интегральной форме:

Рг„(к; f,x)=/ f(у)Рп(к;x,y)da„(y), x € Sd-1, (11)

■/§d-1

где Рп(к; ■, ■) — воспроизводящее ядро пространства ДП(к)-

Для каждого n Є N0 воспроизводящее ядро Pn(^ ■, ■) определяется свойством

/ Q(y)Pn(^ x,y) daK(y) = Q(x) VQ Є АЛ, x Є Sd-1.

J Sd-1

С помощью действительного ортонормированного базиса {££; I 1 ^ У ^ ^ N(п, й)} пространства А^ функция Рп(к; ■, ■) запишется в виде

N (n,d)

^Л(к;x,y)= £ Sn,j(x)sn,j(y), (12)

j=l

причем такое представление не зависит от выбора ортонормированного базиса в АЛ (к).

Используя оператор сплетения Данкля Vk, можно выразить PЛ(к; ■, ■) в замкнутой форме через многочлены Гегенбауэра СЛ, Л > О [З, p. 172G], которые ортогональны на отрезке [—1,1] относительно скалярного

произведения (■, ■)л+1/2,[-1,1] (7). Именно [19, Theorem З.2, p. 297G]:

Pл(к; x, y) = n + Лк Vk [СЛК((■,y))l(x), x, y Є Sd-1, (1З)

Лк

где Ак определяются из (2). При к = 0 и й ^ 3 правая часть часто называется зональной гармоникой, поскольку является сферической гармоникой и зависит только от (ж, у) [17, р. 9]. Используя теорию специальных функций [3, р. 18-20], можем получить следующее представление в удобных обозначениях: _ _

Рп(к; ж, у) = й„,кР„(к; ж, у), (14)

где

Pn^;x,y) = Vk СЛК(by)) (x), СЛК(t) = , СЛК(1) = ^F, (15)

/^Лк(t) (0\ \

СЛ ^Лк (2Лк)л

Л ^ СЛк (1) ' ' n!

Т _ п + Ак (2Ак)п 2(2Ак + 1)га(п + Ак) Т _ 1 /1йч

= 7 ■ } = Г7 | О \ \ , й0,К = 1 (16)

Ак п! п!(п + 2Ак)

Будем формально считать, что (£) есть многочлен Чебышева Тга первого рода, поскольку Иш С*П(£) = Тга(£) [20, р. 303]. Тогда при к = 0 и Ак = 0, т. е. в

Л——0

случае безвесового пространства на единичной окружности с нормированной мерой Лебега, формула (14) остается формально верной.

Известно [3, р. 19,20], что

,2 - " — "2 1

llT0 112,[— 1,1], 1/2 = 1, ііТл II 2,[—1,1],1/2 =2 (n Є N),

(Л > О

n!(n + Л)

IIСЛII2,[— 1,1],Л+1/2 = пТТп+Л) (Л > О, n Є N0)-

Отсюда и из (15), (16)

||CnK 112, [—1,1] ,ЛК+1/2 = d , ^ 0, n € N0- (17)

dn,K

Из представления (12) можно видеть, что функции Рп(к; ■, ■) и, в частности, Рп(к; ■, ■) (14) непрерывны по совокупности переменных и симметричны как функции двух переменных: x,y € Sd— 1.

Свойство воспроизводящих ядер Pn(к; ■, ■) и, как следствие, функций Рп(к; ■, ■), выраженное в следующей лемме, называется положительной определенностью.

Лемма 2. Для любой функции f € L1;K(Sd—1)

[ [ Р„(к; x,y)f (y)f (x) dCTK(y)dCTK(x) ^ 0, n € No.

Доказательство. Пусть | 1 ^ j ^ N(n,d)} — действительный

ортонормированный базис пространства АП(к), N(n, d) = dim АП(к), =

= /§d-1 S^j(x)f (x) daK(x). Пользуясь представлением (12), получим

Р„(к; x,y)f (y)f (x) d^K (y)d^(x) =

Jsd-1 Jsd-1

N (n,d)

I (Y1 S™,j (x)sn,j Ы) f (y)f (x) d^K(y)d^K(x) =

wsd 1 j=1

N(n,d) . . _____________________________

= 2 Sn,j (x)sn,j (y)f (y)f (x) d^K(y)d^K(x) =

j=1 7sd -1 7 sd-1

N (n,d) . . ____________________________________

= £ Sn,j(y)f (y) d^K(yW Sn,j(x)f (x) d^K(x) =

j= Vs^1 7§d-1

N (n,d) N (n,d)

= £ <j<7 = 2 Kj|2 ^ 0-j=1 j=1

Лемма доказана.

Из предложения 1

/ S*-(x) daK(x) = 0, n € N, 1 ^ j ^ N(n,d).

./sd-1

N (n,d)

Поэтому для воспроизводящего ядра Pn(^ x, y) = ^ SnK,j(x)Sn,j(y) при n Є

j=l

Є N

[ Pл(к; x, y) daK(y) = 0, x Є Sd—1, (18)

./§d-1

[ ( Pл(к; x, y) dCTK(x)dCTK(y) = 0. (19)

./Sd-^Sd-1

5. Оператор сплетения Данкля в различных функциональных пространствах

Одной из важных задач теории Данкля является распространение оператора сплетения VK с пространства полиномов nd на различные пространства функций. В качестве обозначений для соответствующих расширений будем использовать исходное обозначение VK.

В [9] оператор сплетения VK продолжается до ограниченного линейного оператора на подходящей нормированной алгебре рядов однородных действительнозначных полиномов в единичном шаре Bd.

Пусть r > 0, Bd? = rBd — замкнутый евклидов шар в Rd радиуса r, 8?—1 = = rSd—1 — евклидова сфера в Rd радиуса r, nd(Bd) — пространство всех сужений полиномов P Є nd на шар B?, ^(B?) — пространство всех сужений полиномов P Є P? на шар B?,

оо оо

A? = {/: Bd ^ C | / = £ /л, /л ЄРЖ)}, ||f ||Ad = £ ||/лЩвd.

n=0 n=0

Известно, что (A?, | ■ ||Ad) — коммутативная В*-алгебра непрерывных в шаре B? и действительно-аналитических в его внутренности функций с поточечным умножением функций, комплексным сопряжением как инволюцией и единицей 1 [8, p. 458, Lemma 4.1], называемая иногда алгеброй Данкля.

Предложение 2 [8, 9, 21]. Справедливы следующие утверждения:

(1) IIKpIL^ < llplL,Bd для каждого p Є Pd(B?).

(2) f ILd < ||f ILd для каждого f Є nd(Bd).

(3) VK продолжается единственным образом до ограниченного линейного оператора на A? равенством

оо

Vk/ = Vk/л для / = /л.

n=0 n=0

(4) При каждом x Є B? функционал

Фх : / ^ Vk/(x)

положительный на А".

(5) Для каждого х Є М" существует единственная вероятностная мера ^К на борелевской а-алгебре пространства М" с носителем в шаре В|хц такая, что

УК/(х) = [ /(С) ф£(С) для всех / Є А|жи.

Jnd ..

II X II

С определениями инволюции на банаховой алгебре и положительного функционала на алгебре с инволюцией можно ознакомиться по учебнику [22].

Из утверждения (5) предложения 2 следует, что для любого х Є М"

УКр(х) = I рдля каждого р Є П".

Jшd

Перейдем от семейства вероятностных борелевских мер {^К}хЄ^ из утверждения (5) предложения 2 к соответствующему семейству полных вероятностных мер (см. п. 1) на а-алгебре измеримых по Лебегу

множеств в М".

Определение 1. Оператор сплетения УК на С (М") определим равенством

Кд(х)=/ д(С) ёДХ(С), д Є С(М"), х Є М". (20)

J Rd

Предложенное определение формально отличается от исходного распространения оператора УК на С(М") в [23, р. 364], в котором используется мера ^К. Но так как

/ д(С) «£)=/ д(С) Ф£(£), д є с(м"), х є м",

Jшd .JЖd

то в случае пространства С(М") отличия между подходами в действительности нет. Последнее замечание касается и свойств продолженного оператора УК.

Справедливы следующие два предложения [23, р. 365,366].

Предложение 3. Пусть д Є С(М").

1) Для всех х Є В" имеем |УКд(х)| ^ ||д||те^.

2) Функция УКд принадлежит С(М").

3) Кд(0) = д(0).

4) Если функция д Є СЬ(М"), то УК/ Є СЬ(М") и ||УКд||те^ ^ ||д||те^.

Свойства 1), 2) предложения 3, свойство УК1 = 1 (3) означают, что норма оператора УК как оператора из С (В") в С (В") равна 1.

Предложение 4. Оператор Ук на С(М?) оставляет пространство Е(М?) инвариантным, т. е. УК (Е(М?)) С Е(М?), и

Уж е М?, рУк(д)(ж) = , У = 1,2,...,й.

Лемма 3. Пусть д, / е С(М?). Тогда

1) Уд| < Ук|д|;

2) Ук сохраняет положительность, т. е. УК д ^ 0, если д ^ 0;

3) если / ^ д, то УК/ ^ Укд;

4) если / ^ д в шаре В?, то УК/ ^ Укд в шаре В?;

5) если / = д в шаре В?, то УК/ = Укд в шаре В?.

Доказательство. Используя представление (20), получаем для произвольного ж е М? оценку

|уКд(ж)| = I д(0Ш |д(С)|^({) = К|g|(ж),

Jшd

которая доказывает свойство 1).

Свойство 2) вытекает из свойства 1), так как д = |д|. Свойство 3) следует из свойства 2) и линейности оператора оператора сплетения Данкля, поскольку / — д ^ 0.

Свойство 5) следует из свойства 4). Докажем свойство 4). Можем считать, что д = 0. Тогда при ||ж|| ^ г

Лемма доказана.

6. Определение оператора сплетения Данкля из Ь1Пк (Вгі)

в Хх,к(§гі-1)

Построим линейный ограниченный оператор

К : І1)7К(В") ^ І1,К(§Я-1), (21)

где значение 7К положительно и определяется по формуле (2), сужение которого на пространство С (ВЯ) совпадает с оператором

УК : С (В") ^ С (8Я-1),

( Я Я і (22) УК/(х) = /(С) а^к(С), / Є с(ВЯ), х Є а"-1. ' 7

J Bd

Норма оператора УК (22) из С(ВЯ) в С(8Я-1) равна 1.

Из свойства 1) предложения 3 вытекает следующая лемма.

Лемма 4. Пусть {fn} С C(Bd) равномерно сходится к функции f в шаре Bd. Тогда VKfn равномерно сходится к функции VKf на сфере Sd—1.

Если f € C(Bd), то справедлива следующая формула интегрирования [19, Theorem 2.1, p. 2965], [17, Theorem 7.2.9, p. 165]

/Sd-1

VKf (x) d^K(x) = / f (y) dm7K,d(y). (23)

Bd

Лемма 5. Если {/п} С С (В?) — фундаментальная последовательность в ^1)7к (В?), то {Ук/п} — фундаментальная последовательность в

(§?-1).

Доказательство. Из определения оператора Ук из С (В?) в С (8? -1) (22), леммы 3, формулы (23) и фундаментальности {/п} в Ь1;7к(В?) следует

/ |Ук/п(ж) — Ук/т(ж)|ёстк(ж) = [ |УК(/п — /т)(ж)|ёстк(ж) ^

У^-1 .У^-1

^ / Ук|/п — /т| = / |/п — /т| йш7к,? ^ 0, П, Ш ^ ТО.

.У^-1 ^

Лемма доказана.

Пусть / е ^1>7к(В?). Так как пространство непрерывных функций плотно в £1>7к (В?), то существует последовательность {/п} С С (В?), сходящаяся к функции / по норме пространства ^1>7к(В?). По лемме 5 последовательность {Ук/га} фундаментальна в пространстве £1>к(§?-1) и (как следствие полноты £1)К(8?-1)) сходится в нем к некоторой функции, которую обозначим через Ук/. В итоге приходим к следующему определению.

Определение 2. Пусть / Є L1)7k(Bd) и / = lim /Л в L1)7k

->7к

/п Є С(Вя). Тогда оператор УК (21) из £1)7к(ВЯ) в £1)К(§Я-1) определяется с помощью последовательности {Ук/п} С С (8Я-1), которая сходится в £1)К (§Я-1) следующим образом

Ук/ = ІІШ Ук/ в І1,К(§Я-1), причем оператор У под знаком предела есть оператор (22).

Сужение оператора Ук (21) на С(ВЯ) совпадает с оператором Ук (22) в силу леммы 4 и того, что в качестве аппроксимирующей последовательности может быть выбрана по теореме Вейерштрасса равномерно сходящаяся в шаре ВЯ последовательность полиномов.

Из определения 2 и свойств оператора Ук (22) следует, что оператор Ук (21) линейный. Действительно, если /, д Є Ь1 7к(В"), с Є С и / = ііш /П,

’ ' П—го

д = ііш д„ в І1)7к (В"), /п, дга Є С (В"), то

П—го

/ + д = ііш (/„ + дга), с/ = ііш с/п,

п—— <ТО П—го

Ук(/ + д) = ііш Ук(/п + дп), сУк/ = ііш с (Ук/п)

п—го п—го

и

Ук/ + Укд = ІІШ Ук/п + ІІШ Укдп = ІІШ (УК/п + У^п) =

п—го п—го п—го

= ііш Ук(/п + дп) = Ук(/ + д),

п—го

сУк/ = ІІШ с (Ук/п) = ІІШ Ук(с/п) = Ук(с/).

п—го п—го

Покажем, что определение 2 оператора Ук корректно в том смысле, что не зависит от выбора последовательности {/п} С С(В"), сходящейся к функции / по норме пространства £1)7к (В"). Пусть последовательность {дп} С С(В") также сходится к функции / в І1 ,7к (В"). По лемме 5 последовательность {Укдп} фундаментальна в £1>к(§"-1). Докажем, что {Укдп} сходится в £1,к(§"-1) к Ук/. Используя формулу интегрирования (23), получаем

/ |( ііш Укдп) - Ук/I ёак = / І ііш Укдп - ііш УК/П йак =

7^-1 П—— го 1 7Sd-1 П—го П—го 1

= / 1 ііш (Укдп - У/ 1 аак = / 1 ііш Ук(дп - /п)1 йак =

7^-1 'п—го 71 У^-і 'п—го '

= / ііш |Ук(дп - /п)1 аак = ІІШ ( |Ук(дп - /п)| йаЛ ^

7^-і п—го 1 п—го V7^-1 /

^ ііш ( Ук|дп - /п| йа^ = ііш ( / |дп - /п| йт™") ^

п—го V7^-1 / п—го 47Bd /

< ІІШ ( / |дп - /1 ат7к," + / |/п - /1 ат7к,^ =

п—го V ^ ^ /

= ІІШ ( / |дп - /1 ат7к,^ + ІІШ ( / |/п - /1 ат7к,^ = 0.

п—го^ Jвd ' п—гоЧ ^ '

Отсюда Ук/ = ііш Укдп, что и требовалось доказать.

п—го

Следующая лемма описывает свойства построенного оператора сплетения Данкля Ук.

■>7.

свойства:

Лемма 6. Пусть /,д Є Ь1;7к(В"). Тогда справедливы следующие йс

1)

Л^1

Ук/(х) йак(х) = /(у) ёт7к,"(у).

Jвd

2) Ук сохраняет положительность, т. е. если / ^ 0 почти всюду в шаре В", то УК/ ^ 0 почти всюду на сфере 8"-1.

3) Если / ^ д почти всюду в шаре В", то Ук/ ^ Укд почти всюду на сфере 8"-1.

4) |УК/1 ^ УК|/1 почти всюду на сфере §"-1.

5) ||Ук/^1^-1^ ^ ||Ук|/Ук^-ік ||Ук|/У^^-ік = ||/II 1,В^7к .

6) Норма оператора Ук равна 1.

7) Оператор Ук является единственным продолжением оператора Ук из С (В") в С (§"-1) (22) до ограниченного линейного оператора из І1)7к(В") в Ь1,к(§"-1).

8) |Ук/1 < ||/||го, вd ах почти всюду на сфере 8" 1. В частности, ПК/II 1,§^-1,к ^ ||/ІІго,В^гіх.

Доказательство. Пусть / = Нш /п в £17к (В?), /п е С (В?). По

п—ГО ’

определению 2, Ук/ = Нш Ук/п в £1к(§?-1). Отсюда свойство 1)

п—ГО ’

доказывается следующим стандартным образом с применением предельных переходов и формулы интегрирования (23):

/ Ук/йстк = / Нш Ук/п ёстк = Нш ( Ук/п ёст,

у^-1 у^-1 п—го п—го V у^-1

= Нш ( / /п йш7к, ?) = Нш /п ёш7к, ? = / ёш7к, ?

п—ГО V // /цЫ п—ГО /ш^

Докажем свойство 2). Так как / = |/1 и Ук|/1 = Нш Ук|/п| в Ь1 к(8? 1),

п—— <ГО ’

то Ук/ = Нш Ук|/п| в Ь1>к(§?-1). Будем вести доказательство методом от

противного.

Предположим, что VKf < 0 на множестве положительной меры res Nk = {ж € Sd—1 | VKf (ж) < 0}, aк (res Nk) > 0.

Исходя из данного предположения, имеем VKf (ж) = — |VKf (ж)| при ж € res Nk

I VKf d^K = — / |VKf|d^K < 0. (24)

J res Nk j res Nk

По свойству 4) леммы 3 при каждом n

f VK|fn| d^K ^ 0.

J res Nk

Отсюда

/ VKf d^K = / lim VK|fn| d^K = lim ( f VK|fn| da^) ^ 0. (25)

./res NK ./res NK n^<^V7res NK '

Сравнивая оценки (24) и (25) для JresN VKf daK, приходим к противоречию, которое доказывает свойство 2).

Свойство 3) непосредственно вытекает из линейности оператора VK и свойства 2).

Используя рассуждения из доказательства свойства 2), установим свойство 4). Пусть

res Nk = {x Є Sd—1 I VKlf | (x) - I VKf (x) | < 0}.

Предположим, что aK(res NK) > 0.

Тогда, с одной стороны,

/ (VkI/I - | VKf I) d^K < 0.

J res Nk

С другой стороны,

поскольку из свойства 1) леммы 3 для всех n имеем

/ (VKl/nl - |VK/n|) d^K ^ 0.

J res Nk

Полученное противоречие доказывает свойство 4).

Из свойств 1), 2), 4) следуют свойства 5), б). Действительно,

||Kf 11l gd-l к = I |VKf 1 d^K ^ f VK|f 1 d^K = ||VK|f|||l gd-l K =

Jgd-1 J gd-1

= / |f 1 dmYK, d = У/11l, Bd Yk ,

Bd

У VK1 У 1 ,gd-1, к = Pill, Bd, Yk = 1.

Предположим, что существует некоторый линейный ограниченный оператор VK из L1)Yk(Bd) в L1;K(Sd—т) с нормой M ^ 1, который совпадает с оператором VK из С(Bd) в С(Sd—т) (22). Тогда для любой функции / Є Li,yk (Bd) имеем

||VK/ - Vk/||1Sd-lK = ||(Vk/ - Vk/л) - (Vk/ - vk/л) ||1)Sd-l>K <

||VKf - VK/n|l)gd-l)K + ||VKf - VK/n|l)gd-l)K =

= ||VK(/ - fn)|1)gd-l,K + ||VK(/ - /n)|1)gd-l;K ^

^ MУ/ - 7лУ 1,Bd,YK + У/ - fnУ 1,Bd,YK =

= (M + 1)У/ - fn|| 1,Bd,YK -----* 0, n ^ ^,

т. е. ||VK/ — VKf || i i к = 0- Следовательно, VK = VK и единственность

построенного продолжения (свойство 7)) доказана.

Свойство 8) очевидно в случае ||/||o,Bd dx = +то. Поэтому далее предполагаем, что ||/||o,Bd dx < +то. Вторая часть свойства вытекает из первой. Действительно, если почти всюду на сфере Sd-1

|VK/1 < ||/||TO)Bd)dx, (26)

то

HKf ||i,Sd—1,K = / |V/ 1 d^K ||f llo^dx d^K =

JSd—1 ./Sd—1

II/ 11 ^o,Bd ,dx'

В свою очередь, неравенство (26) вытекает из свойств 3) и 4) и свойства VK 1 = 1. Поскольку почти всюду в шаре Bd

\/ 1 ^ ||f ||o,Bd,dxi

то

|VK/1 < Vk|/| < К(||/|o,Bd;dx) = ||/||o,Bd,dx VK1 = II/HoMdx-

Свойство 8) тем самым полностью обосновано.

Лемма доказана.

Пусть g € L1;Ak+1/2[—1,1]. Тогда по лемме 1 функция g((x, •)) € L1)7k(Bd) для любого x € Sd-1. В свою очередь, к таким функциям g((x, ■)) можно применить лемму 6.

Одним из важных приложений оператора VK является определение на его основе свертки на сфере с весом Данкля [24, Definition 2.1, p. 5].

Определение 3. Свертка двух функций / € L1;K(Sd-1) и g € L1Ak+1/2[— —1,1] обозначается через /*к g и определяется по формуле

(/*кg)(x) = / •))](y)d^K(y^ x € Sd-1.

JSd—1

При к = 0, что влечет за собой yk = 0, Ак = , daK = , vk = id,

получаем классическую сферическую свертку [17, Definition 2.1.1, p. 30]

(/*кg)(x) = (/*g)(x) = —^ f /(y)g((x,y))d-(^ x €

-d-1 7sd—1

многие свойства которой переносятся и на общий случай к ^ 0.

Автор считает своим приятным долгом выразить признательность В.И. Иванову за полезные обсуждения и ценные замечания.

Список литературы

1. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

2. Humphreys J.E. Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge University Press,

1990. 204 p.

3. Dunkl C.F., Xu Y. Orthogonal polynomials of several variables. Cambridge University Press, 2001. 390 p.

4. Смирнов Е.Ю. Группы отражений и правильные многогранники. М.: МЦНМО, 2009. 48 с.

5. Dunkl C.F. Differential-difference operators associated to reflection groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V. 311. № 1. P. 167-183.

6. Dunkl C.F. Reflection groups and orthogonal polynomials on the sphere // Math. Z. 1988. V. 197. P. 33-60.

7. Dunkl C.F. Operators commuting with Coxeter group actions on polynomials // Invariant Theory and Tableaux. Springer, 1990. P. 107-117.

8. Rosler M. Positivity of Dunkl’s intertwining operator // Duke Math. J. 1999. V. 98. № 3. P. 445-463.

9. Dunkl C.F. Integral kernels with reflection group invariance // Canad. J. Math.

1991. V. 43. № 6. P. 1213-1227.

10. Dunkl C.F. Hankel transforms associated to finite reflection groups // Contemp. Math. 1992. V. 138. P. 123-138.

11. Иванов А.В., Иванов В.И. Теорема Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Матем. заметки. 2010. Т. 88. № 1. С. 148-151.

12. Иванов А.В., Иванов В.И. Теория Данкля и Теорема Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Труды ИММ УрО РАН. 2010 Т. 16. №4. С. 180-192.

13. Иванов А.В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 26-44.

14. Иванов А.В. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 29-58.

15. Йонг Пинг Ли, Су Чун Мей, Иванов В.И. Некоторые задачи теории приближений в пространствах Lp на прямой со степенным весом // Матем. заметки. 2011. Т. 90. № 3. С. 362-383.

16. Иванов А.В., Иванов В.И. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Матем. заметки. 2013. Т. 94. № 3. С. 338-348.

17. Dai F., Xu Y. Approximation theory and harmonic analysis on spheres and balls. Springer: New York, 2013. 440 p.

18. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 336 с.

19. Xu Y. Integration of the intertwining operator for h-harmonic polynomials associated to reflection groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1997. V. 125. P. 2963-2973.

20. Andrews G.E., Askey R., Roy R. Special functions. Cambridge University Press, 1999. 664 p.

21. Rosler M. Dunkl operators: Theory and applications / Orthogonal polynomials and special functions. Leuven 2002. Lecture Notes in Math. Springer, 2003. V. 1817. P. 93-135.

22. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. 443 с.

23. Trimeche K. The Dunkl intertwining operator on spaces of functions and distributions and integral representation of its dual // Integral Transforms Spec. Funct. 2001. V. 12. № 4. P. 349-374.

24. Xu Y. Weighted approximation of functions on the unit sphere // Constr. Approx. 2005. V. 21. P. 1-28.

Вепринцев Роман Андреевич (veprintsevroma@gmail.com), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Some problems of Dunkl harmonic analysis on the sphere and

the ball

R. A. Veprintsev

Abstract. Some problems of Dunkl harmonic analysis on Euclidean sphere and Euclidean ball are stated. The Dunkl intertwining operator from weighted space L1 on the ball to the space L1 on the sphere with Dunkl weight is constructed. It allows us to define the convolution on the sphere with Dunkl weight.

Keywords: root system, reflection group, multiplicity function on a root system, Dunkl operator, Dunkl Laplacian, K-spherical harmonic, Dunkl intertwining operator, Dunkl algebra.

Veprintsev Roman (veprintsevroma@gmail.com), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 12.09.2013