НЕРАВЕНСТВО ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ $L_p$ НА СФЕРЕ С ВЕСОМ ДАНКЛЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 27-49

= Математика =

УДК 517.5

Неравенство Джексона в пространствах Ьр на сфере с весом Данкля *

Р. А. Вепринцев

Аннотация. Получена оценка сверху константы Джексона в пространствах Ьр, 1 ^ р < 2, на единичной евклидовой сфере в М^, й ^ 2, с весом Данкля, аналогичная оценке Д.В. Горбачева в безвесовом случае.

Ключевые слова: неравенство Джексона, константа Джексона, евклидова сфера, вес Данкля, к-сферические гармоники, наилучшее приближение, модуль непрерывности, обобщенные сферические средние, свертка.

Введение

Работа посвящена исследованию константы Джексона, то есть наименьшей константы в неравенстве Джексона между величиной наилучшего приближения функции и ее модулем непрерывности в пространствах Ьр, 1 ^ р < 2, на единичной евклидовой сфере с весом Данкля. Модуль непрерывности функции определяется с помощью обобщенных сферических средних. В качестве аппроксимирующего множества рассматривается подпространство к-сферических гармоник. Исследование константы Джексона использует развитый гармонический анализ Данкля на евклидовой сфере, основы которого вместе с необходимым алгебраическим аппаратом изложены в работе [1].

1. Предварительные обозначения и понятия

Пусть N — множество всех натуральных чисел, N0 = N и {0} — множество всех неотрицательных целых чисел, М — поле действительных чисел, С — поле комплексных чисел, М4 (й € N — й-мерное действительное евклидово

пространство со стандартным скалярным произведением {п, г) = ^ п3-г3-,

3 = 1

||п|| = л/{п, п) — норма (или длина) вектора п, {в3-}^=1 — стандартный ортонормированный базис в М4, §4-1 = {х € М4 | ||х|| = 1} — единичная

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00045).

евклидова сфера в Мй, С(8й-1) — пространство всех комплекснозначных измеримых по Лебегу функций на сфере 8й-1, ш — лебегова мера на сфере §й_1, Вй = {х Є Мй | ||х|| ^ 1} — единичный евклидов шар в Мй. Символ Похгаммера определяется для і Є М по формулам

(і)о = 1, (і)п = і (і + 1)... (і + п — 1), п Є N.

Зафиксируем в Мй систему корней К. Выберем в К положительную

подсистему К+. Обозначим через Ш = Ш(К) группу отражений, связанную с К. Группа Ш конечна и содержится в ортогональной группе пространства Мй. Зададим функцию кратности к: К ^ М+ на системе корней К. С ее помощью определяется весовая функция

№К(х) = Ц |(х,и)|2к(и), х Є §й-1, (1)

и^К+

которую назовем весом Данкля на сфере §й-1. Вес инвариантен

относительно Ш. С каждой функцией кратности связывают два числа:

7к = ^ к(и) Лк = 7к + . (2)

и^К+

В силу Ш-инвариантности функции к числа 7К, Лк, определение веса Данкля wк (1) не зависят от выбора положительной подсистемы в К.

Рассмотрим важный случай веса Данкля. Множество К = {±е-является системой корней. С базисом Є1,..., е^ свяжем отношение полного упорядочения [1, п. 2]. Относительно данного упорядочения К+ = {е-}^=1 — положительная подсистема в К. Группа отражений, связанная с К, изоморфна абелевой группе К^. Функция кратности к: К ^ М+ в общем виде определяется следующими значениями:

к(±е-) = Kj, к- ^ 0, і = 1,..., ^. (3)

Вес Данкля wк на сфере §й-1 равен произведению модулей координат аргумента в неотрицательных степенях:

й й

и-к(х) = П і(х.е-)|2“> = П |х-12“-. (4)

-=1 -=1

2. Весовые пространства и величина наилучшего

приближения

Пусть Л > 0, с-1 = J-1(1 — і2)Л-1 dі — нормировочная константа, шл — вероятностная мера на отрезке [—1,1], определяемая равенством dшл(і) =

= СА(1 — £2)А 1 ё£,

^р,л[—1, 1] = { / : [ — 1, 1] ^ С 1 У/||р,[—1,1],А = ( J 1 |/ЙШа(^^ < ТО |,

1 ^ р < ТО,

£те,л[-1, 1] = { / : [ —1, 1] ^ С | ||/||те)[-1)1],А = в888Ир |/(*)| < то) , р = ТО,

^ *€[-1,1] }

— пространства комплекснозначных измеримых по Лебегу на отрезке [—1,1] функций.

Пространство Ь2,а[—1,1] — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением

г 1

(ЛйОлл-м] = J / (і)#(і) ^л(і).

Введем вероятностную меру на сфере 8й 1

й^к(х) = ак-шк(х)ёш(х), а-1 = ЭДге(х) ёш(х),

весовые пространства комплекснозначных измеримых по Лебегу функций на сфере 84-1 (1 ^ р ^ то)

ьР,к(§й ^={/: 1 ^ с1 ц/||Р)8й-1)К=(і |/(х)|р(х))/р < то,

1 ^ р < то,

£те,к(§й-1) = {/: §й-1 ^ с | ||/Щ§^-1к = Є888Ир |/(х)| < ТО, р = то.

1 жЄ§^-1 }

Пространство Ь2;К(§й-1) — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением

(/,#)к^-1 = /(х)#(х) ^к(х).

■У^-1

Пространство Ь2;К(§й 1) разлагается в ортогональную сумму пространств АП (к) всех к-сферических гармоник степени п Є N0:

^2,к(§й-1) = ^ АП(к), АП (к) ±А^(к), п = ш.

п=0

Оператор ортогонального проектирования

Рг„(к) : ^2,к(§й 1) ^ АП(к) (5)

из £2,к(§4 1) на АП(к) имеет интегральное представление

Рг„(к; /, х) = [ /(у)Рп(к; х, у) ^к(у), х € §4-1, (6)

■У^-1

где Рп(к; ■, ■) — воспроизводящее ядро пространства А^(к).

Таким образом, произвольной функции / € Ьр,к(84-1), 1 ^ р ^ то, можно поставить в соответствие ее к-сферический гармонический ряд

ГО

^Ргга(к; /). (7)

n=0

Для функции / € L2;K(Sd-1) этот ряд сходится в среднем квадратичном. Для р > —1 обозначим через Sn(к; /) средние Чезаро ряда (7):

Sn(к; /) = Ар £ Рг^(к; /), АП = *

АП . „ n!

■=0

Отметим, что Sn(к; /) представляет собой n-ю частичную сумму ряда (7). Для средних Чезаро справедливо следующее предложение [2, theorem 7.4.4, p. 170].

Предложение 1. При р ^ 2АК + 1 средние Чезаро к-сферического гармонического ряда (7) функции / € Lp,K(Sd-1) при 1 ^ p < то и / € C (Sd-1) при p = то сходятся к ней по норме пространства Lp,K(Sd-1), а оператор Sn(к) является неотрицательным оператором.

Для R € N

Г R-1 1

er(/)P,sd-i)K = if ||/ — gyP)sd-i)K 1 g € ^ АП(к) f

n=0

(8

— величина наилучшего приближения функции / € ЬР)К(84-1) линейными комбинациями к-сферических гармоник порядка не выше К — 1.

В гильбертовом пространстве £2,к(§4-1)

ГО

ER(/)2,Sd-1,K = ^ 11Ргп(к; /) 12,Sd-1,к* (9)

n=R

3. Обобщенные сферические средние и модуль непрерывности

3.1. Свертка. Свертка / *к # двух функций / € £1;К(§4-1) и # € € £1;ак+1/2[—1,1] определена в [3] равенством

(/*к #)(х) = [ •))](у)(у^ х € (10)

■№-1

где РК — оператор сплетения Данкля, который построен и подробно изучен

Пусть Ск(х, у) = Ук [д({х, -))](у), |С|к(х,у) = Ук [|д({х, -))|] (у). Тогда для любого х € 8й-1 (см. [1, формула (10)], [1, свойства 1), 4) леммы 6], [4, формула (7)])

1) /&-1 Ук [д({х •)^ (У) й^к(У) = /- д(^ ЙШАк + 1/2

2) |Ск(х, -)| ^ |С|к(х, ■),

3) |Ск(х, О I 1 §^—1 к ^ ||С|к(х, ОЦ1 §^- 1 к,

4) |||С|к(х ■)|1 ^-1, к = Н^Н 1 ,[-1 ,1], Ак+1/2.

5) Ск(х,у) = Ск(у,х) для почти всех х,у € 8й-1.

Лемма 1. Для любых функций / € Ь1>к(§й-1), д € £1;ак+1/2[—1,1] и почти всех х € 8й-1 имеем

1) |||/1 *к |д|||1;§^-1к = ||/II 1,§^-1,к |д| 1,[-1,1],Ак+1/2,

2) (|/1 *к |д|)(х) ^ |/*к д|(х).

Доказательство. Из определения свертки (10), свойств 2), 4), 5) функции Ск(■, ■) выводим свойство 1) леммы

Отсюда функция |/1 *к |д| конечна для почти всех х € 8й 1, и для таких значений х по свойству 2) функции Ск имеем

Лемма доказана.

Из леммы 1 следует, что свертка / g существует (определена) почти всюду на сфере Sd-1 и / g € L1;K(Sd-1)* Таким образом, определение свертки (10) на сфере корректно.

При к = 0 получается обычная сферическая свертка в Rd, многие свойства которой сохраняются и в общем случае к ^ 0* В частности, справедливо неравенство Юнга [3, Proposition 2.2].

Предложение 2. Пусть p, q, r ^ 1 и p-1 = q-1 + r-1 — 1* Для функций

/ € Lq,K(Sd 1) и g € Lr,AK + 1/2[ 1 j 1] имеем

11/*к g|p,Sd-1,K ^ ||/llg,§d-1,Jlgllr-,[-1,1],AK + 1/2*

в [1, п. 6].

>! |/(y)||GK(x,y)| d^K(y) ^ [ /(y)GK(x,y) daK(y) = |/ g|(x)

Из неравенства Юнга получаем следствие.

Следствие 1. Пусть f Є LP;K(Sd-1), 1 ^ p ^ to, g Є L1^K+1/2[-1,1] и

g = lim gn в L1^ + 1/2[-1,1]. Тогда n^-ro

(f *K g) = lim (f *к gn) в Lp,K(Sd:1),

n^-ro

в частности,

llf*K gyp,Sd-1,K = lim llf*K gn 11 p, Sd 1,к^

’ n^-ro ’

Отметим, что оператор ортогонального проектирования Ргп(к) (Б) из L2,K(Sd-1) в АП(к), учитывая его интегральное представление (б), можно записать в виде свертки [2, формула (7.4.4)]

Рг,,(к;f) = f*„ zn, z;(i) = (n±^n2^c;n-(t), <5n-(0 =

Лк n* Cn (1)

где {Cn}ro=Q, Л > О, — полная ортогональная система многочленов Гегенбауэра в пространстве L2^+1/2[—1,1] [Б, p. 17-20].

3.2. Оператор обобщенного сдвига. В безвесовом случае, т. е. при к = О, классический модуль непрерывности функции f определяется с помощью оператора сдвига Те, О ^ в ^ п, который называют сферическим средним, [2, Definition 2.1.4, p. 31]

Tf (x) = ^(sta e)d-2 f (y) d^"x Є S":I'

где dЛX)0 обозначает лебегову меру на множестве Лх,в = {у Є Sd-1 | (x,y) = = cos в}.

В случае произвольной функции кратности к ^ О оператор сдвига МП, —1 ^ т ^ 1, который называют обобщенным (или весовым) сферическим средним, определяется для функции f Є L1;K(Sd-1) и x Є Sd-1 неявно

J (x)g(T) dmЛк+1/2(т) = (f *n g)(x) Vg Є Lro^K+1/2[ 1, 1]. (11)

Функция Mf(x) Є Li^k+i/2[—1,1] является единственной функцией переменной т, которая удовлетворяет соотношениям (11). Если f Є Lro;K(Sd-1), то для любого x Є Sd-1 функция M^f(x) принадлежит Lro^K+l/2[ 1, 1]. При к = О имеем McQosв = Те, О ^ в ^ п.

Отметим некоторые свойства обобщенных сферических средних МП

Предложение 3 [2-4, б]. Справедливы следующие утверждения:

(1) Если fQ = 1, то M.KfQ(x) = 1.

(2) MH(af + eg)(x) = aMf (x) + eMHg(x) для любых f, g Є L1;K(Sd-1) и а, в Є C.

(3) МП сохраняет положительность, т. е. если f ^ О, то Mf ^ О.

(4) Еыи / € £Р;К1), 1 < р < то, то ||МК/||Р^-1К < ||/||р^-1к.

(5) Если {/П}ГО=0 С Т1к(§^-1) и / = Нш /п в £1к(§^-1), то для любого

х € §^-1 последовательность <^п(т) = МТ/п(ж), п € N0, сходится к функции ^>(т) = МП/(ж) по норме пространства Т1Лк+1/2[—1,1].

(6) Рг„(к; МК/) = МК Рг„(к; /) = СПК (т)Рг„(к; /), п € N0, и

[ М/(ж) ёстк(ж) = [ /(ж) ёстк(ж) = Рго(к; /) V/ € £1;К(§Й-1),

7§^-1 7§^-1

(7) Если / € £2>к(§й-1), то

ГО

М/ = ^ СПК(т)Ргга(к; /) в Т2,к(§"-1).

п=0

3.3. Модуль непрерывности. Модуль непрерывности функции / € € £Р;К(§й-1), 1 ^ р < то, определим по формуле

^ /)р,§^-1,к = йир ([ Мск08 в [/х,р(-)](ж) ^к(ж)) /p, 5 € [0,пЬ (12)

о<в<ЛУ в^-1 7

где /ж,р(') = |/(■) - /(ж)|р € Т1;К(§Й-1) для почти всех ж € 8й-1.

В гильбертовом пространстве Т2,к(§й-1) модуль непрерывности принимает вид

1 /2

/)2^-1,к = яир Г2^1 - СПК (С08 0)) ||Ргга(к; Л!^-^) • (13)

п=о у

Так как

/х,2(-) = |/(•) - /(ж)|2 = (/(-) - /(ж))(/(•) - /(ж)) =

= I/(-)12 +1/(ж)|2 - (/(-Ш + / (ж)7(0) =

= I/(-)|2 + I/(ж)|2 - 2Ие[/(ж)/ё,

МСОв0 [/х,2(')] = МС08в (|/(-)|2 + |/(ж)|2 - 2Ие[/(ж)Ш]) =

= МС08в |/(-)|2 + |/(ж)|2 МС08в 1 - 2МС08в (Ие[/(ж)Ш]) =

= МС08в|/(-)|2 +1/(ж)|2 - 2Ие[/(ж)МС0ввШ],

то

МС0в0 [/х,2(')] (ж) = (МС0в0|/(')|2 + |/(ж)|2 - Же[/(ж)МС0в0/(-)])(ж) =

= МС0в 0|/(ж)|2 +|/(ж)|2 - Же[/(ж)МС0в 0/ (ж)],

/ MCOsв |7x,2(0] (x) daK(x) =

/sd-1

(MCOsв|/(x)|2 +|/(x)|2 - 2Re[/(x)MCOsв/(x)D daK(x) =

/§d-1

= 24 |/(x)|2 daK(x) - Re( / /(x)MCOsв/(x) daK(x^ =

/gd-l VJgd-l У У

го ^

= 2( У/11 2,gd 1,K -^ / - ^ (cos ^ |Prn(K; /,x)|2 daK (x)) =

n=Q"'gd 1 го

= 2(У/ll2,Sd-l, к - ^ Cn" (cos ^llPrn(к; /^l^gd-l,

го

'Ак Л.. -/*M|2

n n=Q

го

Используя теперь равенство Парсеваля У/||2gd-1re = l|Prn(«; /)У2 gd-1

, , n=Q , ,

получаем соотношение

го

/ MCOs в [/x,2 (0](x) daK (x) =^X!(1 - ^ (cos ^ /) У 2 gd-1 I

Sd-1 n=Q 2,S ,

которое доказывает справедливость представления (13) модуля непрерывности /Ь,^-1, к•

4. Неравенство Джексона и константа Джексона: известные результаты в пространствах Ьр, 1 ^ р ^ 2, на сфере и формулировка основного результата

Неравенства между величиной наилучшего приближения функции и ее модулем непрерывности в пространствах Тр, 1 ^ р < то, называются неравенствами Джексона. Константа Джексона или точная константа в неравенстве Джексона — наименьшая (минимальная) константа в неравенстве Джексона, при которой неравенство выполняется для всех функций из пространства Тр. Задача о константах Джексона является важной задачей теории приближений. Точные неравенства Джексона (неравенства Джексона с точной константой) в пространствах Тр, р > 2, отсутствуют.

Константу Джексона определим равенством

Г ЕЯ(/)р,§^-1)К | / т (£1^— 1'

1 ^(^, /)р,§^-1,к

K(£, R)p,§d-l = sup^ ’-| / Є Lp,к(S ) f, 1 ^ p < то.

Обозначим через тк ,д наибольший нуль многочлена С^к, ,д =

= агеесе тк,д. Пусть = £о,я, £(£, Я)р,^-1 = £(£,

Приведем известные результаты о константе Джексона К(£, Д)р,§^-1, 1 ^ / Р

^ р ^ 2, ^ ^ 2 (р' =--------показатель, сопряженный с р):

р — 1

I. к = 0 (безвесовой случай):

d = 2:

d > 2:

II. к ^ 0: d = 2:

Результат Н.И. Черных (1967, [7]):

k(R-4 1

2,S1

Результаты Н.И. Черных (1992, оценка сверху, [8]) и В.И. Бердышева (1967, оценка снизу, [9]):

К(= 2-1/р, 1 ^ р< 2.

ЧЯ ^р,®1

Результат А.Г. Бабенко (1996, [10]):

к(2^д, Д)2,§^-1 = ^2.

Результат Д.В. Горбачева (1999, [11]):

£(2£д, 2Я — 1)р8^-1 = 2-1/р', 1 < р< 2.

Вес Данкля wK(ж^ж2) = |ж212К2, к2 > 0 (см. (3), (4)):

• Результаты Д.В. Чертовой (2009, оценка сверху, [12]) и В.И. Иванова, Лю Юнпин (2011, оценка снизу при 1 < p < 2, [13]):

k(2^k,r, R)2,§1, к = ^,

K(25K,r, 2R - 1)Р)81к = 2-1/p', 1 < p < 2.

Без дополнительных предположений о весе Данкля wк (4):

• Результат Yi Gu (2012, Beijing Normal University, устное сообщение):

K(2^,R, R)2,Sd-1, к = ‘

В силу (9), (13) равенство (14) эквивалентно равенству

(14)

1

sup 2 52 (1 — CnK (cos 0))p*

Q^^a* R n=R

го

I Pn ^ 0,J> = 1 >

n=R

доказанного А.Г. Бабенко [14].

Справедлива следующая основная теорема.

Теорема 1. Если й ^ 2, 1 ^ р < 2, то

К(2£к,д, 2Д — 1)р,§^-1,к < 2-1/р'.

1

Теорема 1 анонсирована в [15], ее доказательство приводится в следующем пункте. При доказательстве используются результаты и методы работ [10], [11], [16, §1.1]. Схема доказательства неравенств Джексона в пространствах Тр, 1 ^ р < 2, учитывающая строгую выпуклость пространств, предложена Н.И. Черных [8] и усовершенствована В.И. Ивановым [17-22].

5. Доказательство оценки сверху константы Джексона К(2дк,я, 2Я - 1)^-1^, 1 ^ р < 2

Воспроизводящее ядро Рп(к; ■, ■) пространства А (к) является симметричной, непрерывной функцией на 8й-1 х 8й-1 и допускает удобное представление

Р„(к; ж,у) = (4)КРга(к; ж,у), Д»(к; ж,у) = К СПК((ж, •)) (у), (15)

4 =2<2Л»+ 1_+"2" +Лк), = 1, (16)

п!(п + 2ЛК)

в котором на оператор сплетения Данкля РК можно смотреть как на оператор из £1;Лк+1/2[—1,1] в Т1;К(8й-1) при каждом ж Є 8й-1.

Функции -Рга(к; ■, ■) (15) будем называть нормированными воспроизводящими ядрами пространств АП(к).

Нормированные воспроизводящие ядра -Рп(к; ■, ■) непрерывны на 8й-1 х х 8й-1, симметричны и обладают свойством положительной определенности [1, лемма 2]

Р„(к; ж, у)/(у)/(ж) ёстк(ж)ёстк(у) ^ 0 V/ € £1)К(§Й1), п € N0.

Jsd-1 J§^-1

(17)

При п € N имеем [1, формулы (18),(19)]

[ Рп(к; ж, у) ёстк(у)=0, ж € §^-1,

.№-1

/ / РП(к; ж, у) ёстк(ж)ёстк(у) = 0. (18)

.У^-1 У^-1

Лемма 2. При 1 ^ р< 2, п ^ 1 для любой функции / € £Р;К(§Й-1) имеем [ I |/(ж) - /(у)|рР„(к;ж,у) ёстк(ж)ёстк(у) ^ 0. Доказательство. Справедливы следующие равенства

/* 2п

Ир = с-1/ | Ке(^в-г^)|р ёр,

0

/*2п

г € С, р> 0, Ср = / | 008 у|р ёу > 0;

0

|а — Ь|р = ^-1 / 0

-1 1 — оо8(а — Ь)£

ер+1

ё£,

Г ГО

1 — 008 £

а,Ь € М, 0 <р< 2, ^р = J —£р+1— ё£ > 0.

Пользуясь этими равенствами, свойством положительной определенности (17), формулой (18), получаем оценку

Ср^р / / |/(ж) — /(у)|рР„(к;ж,у)ёстк(ж)ёстк(у) =

•У^-1 ./§^-1

= йр I I ( I | Ке((/(ж) — /(у))в--)|р ёу)Рга(к; ж, у) ёстк(ж)ёстк(у) =

,/§^-1 ,/§^-1 У ./0 '

= ^ / / ( Л | Пе(/(ж)в-^) — Ие(/(у)е-^-)|р ёу) х

/^-1/^-1 \./п /

хР„(к; ж, у) ёстк(ж)ёстк(у) = г2п ''~ 1 — оов(Ие(/(ж)в-^) — Ие(/(у)б-^))£

ё{) ёу) х

/sd-^sd-Л ,)о ч,/о £р+1

хРП(к; ж, у) ёстк(ж)ёстк(у) =

= [~ Л [ [ 1 — оо8(Ие(/(ж)в-^) — Ие(/(у)в-^))£

Jо -!о ]^-1 ]^-1 £р+1

хРП(к; ж, у) ёстк(ж)ёстк(у)ёу ё£ =

гго /*2п 008Ие(/(ж)в-г^)£ ■ 008Ие(/(у)б-г^)£х

хР„(к; ж, у) ёстк(ж)ёстк(у)) ё|+ёр < 0.

Jо Jо yJSd-1 ■) §'г-1 хР„(к; ж,у) ёстк(ж)ёак(у) + / / 8тИ,е(/(ж)в-г^)£ ■ 8тИ,е(/(у)в-г^)£х

У^-1 У^-1

ёу ё£

£р+1

Лемма доказана.

Лемма 2 обобщает лемму 3 в работе [11].

Рассмотрим функцию из пункта 3.1:

С„(ж,у) = К[#((ж, -))](у), ж, у € §^-1,

где $(•) — непрерывная неотрицательная на отрезке [—1,1] функция такая,

что

ГО

д(^) = ^ £™СПК (£) в ^2,Ак + 1/2[— 1 1], (19

га=о

до = У 1 #(т) ёШЛк+1/2(Т) = 1.

Таким образом, функция Ск(-, ■) непрерывна, симметрична, неотрицательна на 8й-1 х 8й-1 и для любого ж € 8й-1

ГО

Ск(ж,у) = ^дгаРга(к; ж,у) в £1>к(8й-1).

га=о

3^-1'|

Лемма 3. Если /, Н € Т2;К(8“ 1), то

/(ж)Н(у)С„(ж, у) ёстк(у)ёстк(ж) =

^-1 V В^1

ГО

У^£п / / /(ж)Н(у)Р„(к; ж, у) ёстк(у)ёстк(ж).

У^-1 У^-1

га=о

Доказательство. Из сходимости по норме пространства Т2,лк+1/2[— —1,1] следует сходимость по норме пространства Е1;лк+1/2[—1,1]

ГО

£(^ = Х] (^ в ^,Лк + 1/2[ —11]. (20

га=о

По определению свертки

(Н*к #)(ж) = I Н(у)К[^((ж, -))](у) ёстк(у), ж € 8й-1,

У^-1

а по следствию 1

ГО

(Н*к #) = ^ £п(Н*к СПК) в Е2,к(8й-1).

га=о

Отсюда

/ / / (ж)Н(у)^К [#((ж -Ш ё^к (у)ё^к(ж) =

/в^1 У^-1

л

/ - /(ж)(^ #га(Н*к <5ПК)(ж)) ё^к(ж)

1 п=о

ГО «

У]#™/ /(ж)(Н*к СПК)(ж) ёстк(ж).

-№-1

Лемма доказана.

Для 1 ^ р ^ то определим следующие пространства комплекснозначных измеримых по Лебегу функций на 8й-1 х 8й-1

Т^СкЖ-1 х 8й-1) ТОЬ: 8й-1 х 8й-1 ^ С |

||ЬУрр)Ск)к = ( I I |Л.(ж,у)|Р Ск(ж,у) ёстк(ж)ёстк(у)) ^ < ТО,

1 ^ р < то,

Д^.СкЖ-1 х 8й-1) ТОЬ: 8й-1 х 8й-1 ^ С |

||^утете,ск,к = Є888Ир |Л(ж, у)| < ТО, Р = ТО.

ж,уЄ§гі-1

Произвольной функции / Є ЕР;К(8й-1) можно поставить в соответствие функцию двух переменных Тск / (ж, у), ж, у Є 8й-1 по правилу

ТСк/(ж,у) = /(ж) - /(у) Є ТРР;Ск)К(8"-1 х 8й-1).

Непосредственно видно, что оператор

ТСк: ЕР;К(8й-1) ^ ТРР;Ск)К(8й-1 х 8й-1)

есть линейный оператор.

В следующих двух леммах оценивается норма оператора Т^к.

Лемма 4. Для всех 1 ^ р ^ то линейный оператор Т^к является

ограниченным с нормой, не превосходящей 2 тах (Ск(ж, у))1/р, т. е. для

ж,уЄ§гі-1

любой функции / Є ЕР;К(8й-1), 1 ^ р ^ то,

11ТСк /||рр,сК)к < 2 тах 1(Ск(ж,у))1/р ||/||р^-1к.

ж,уЄ§гі-1

Доказательство. Случай р = то. Имеем

ІІЇСк / ||~~,СК)к = е888иР |ТСк / (ж,у)| = е888ир |/(ж) - / (у) | <

ж,уЄ§гі-1 ж,уЄ§гі-1

< 2 е888ир |/(ж)| = 2 ||/Н^-і*. (21)

жЄ§гі-1

Случай р = 1. Имеем

||ЇСк/|І11,сК)к = / / |ТСк/(ж,у)|Ск(ж,у)ёстк(ж)ёстк(у) =

.У^-1 У^-1

= / / |/(ж) - /(у)|С„(ж,у) ёстк(ж)ёстк(у) <

.У^-1 У^-1

< тах _ Ск(ж,у) / / (|/(ж)| + |/(у)|) ёстк(ж)ёстк(у) =

х,уе§^-1 У^-1 У^-1

= 2 тах Ск(ж,у) / / |/(ж)| ёстк(ж)ёстк(у) =

1 У§^-1 У§^-1

= 2 тах1 Ск(ж,у) ||/||1,в^-1,к- (22)

ж,у€§^-1

Случай 1 < р < то. Интерполируя неравенства (21) и (22) [23, теорема 1.3, с. 202], получим оценку

ЦУЪк/||рр,сК)к < 2 тах 1(Ск(ж,у))1/р ||/||р)8й-1.

ж,уЄ§гі-1

Лемма доказана.

Лемма 5. Если для функции д(-) (19) имеем

дп ^ 0, п Є М,

то при 2 ^ р ^ то норма оператора Т^к не превосходит 21/р , т. е. для любой функции / Є Тр>к(8й-1), 2 ^ р ^ то,

||ТСк/||рр)Ск,« < 21/р/1|/Нр^-і*.

Доказательство. Случай р = то. По лемме (4)

||ТСк/Цмм.йк.к ^ 2 ||/|1ю,§^-1,к. (23)

Случай р = 2. Пользуясь положительной определенностью нормированных воспроизводящих ядер Рп(к; ■, ■) (17), леммой 3, получим

11ТСк / ||22,Ск,к = / / |ТСк / (ж,у)|2 Ск(ж,у) астк(ж)ёстк(у)

У§^-1 У§^-1

|/(ж) - /(у)|2Ск(ж,у) ёстк(ж)ёстк(у) =

/§^-1 .7 §^-1

(|/(ж)|2 + |/(у)|2 - 2Ре /(ж)/Ы)^к(ж,у) ёстк(ж)ёстк(у) =

/В^1 У^-1

= 2 / / |/(ж)|2Ск(ж,у)ёстк(ж)ёстк(у)-

У^-1 У^-1

-2Ие / / /(ж)/(у)Ск(ж, у) ёстк(ж)ёстк(у) =

У^-1 У^-1

= 2 / |/(ж)|2 (ж)-

У§^-1

ОО л л

2К^У дп / / (ж)/(у)Рп(к; ж,у) ёстк(ж)ёстк(у) =

П=0 ^-1 У^-1

ОО л л

= 2( 11/112в^-1к -^дп / /(ж)/(у)рп(к;ж,у)ёстк(ж)ёстк(уЛ <

4 ’ ’ п=0 У§^-1 У в^-1 '

<2II/112^-^

т. е.

||ТСк/||22,Ск,к < 21/2 ||/|і2)8Л-1)К. (24)

Случай 2 < р < то. Интерполируя неравенства (23) и (24) [23, теорема 1.3, с. 202], получим оценку

||ТСк/||рр)Ск,« < 21/р/ ||/||р)8Л-1)К.

Лемма доказана.

Введем линейный положительный интегральный оператор АСк: Ер;К(8й-1) ^ £р;К(8й-1)

по правилу

АСк/(ж) = / /(у)^к(ж,у) (у).

■№-1

Лемма 6. Если для функции д(-) (19) имеем

дп ^ 0, п Є М,

то при 1 ^ р ^ 2

II/ - АСк/||р)8^-1,к < 2-1/р/ ||ТСк/||рр)Ск,к.

Лемма 6 доказывается с помощью леммы 5 аналогично лемме 2 из работы

[11].

Лемма 7. Пусть 1 ^ р < то, / Є Трк(8й 1), / = Ііт /п в Трк(8й 1) {/п} с С(8й-1). Тогда

Ііт

/ / |/(ж) - /(у)|рСк(ж,у) ёстк(ж)ёстк(у) =

'§^-1 ,/§^-1 ОО л л

УДд™ / / |/п(ж) - /п(у)|рТт(к;ж,у)ёстк(ж)ёстк(у))

^' V /^-1/^-1 /

|-т=0

Доказательство. Ввиду ограниченности по лемме 4 линейного оператора Тск из Тр, к(8й-1) в Трр,ск, к(8й-1 х 8й-1) и сходимости последовательности функций {/п} с С(8й-1) к функции / в пространстве Тр,к(8й-1) имеем

Отсюда

то есть

ТСк/ = Ііт ТСк/п в Трр,Ск,к(8й-1 х 8й-1).

||ТСк / ||рр,Ск,К = Ііт ||ТСк /пЦрр.Ск.к,

І I |/(ж) - /(у)|рСк(ж,у) ёстк(ж)ёстк(у) =

/в^-1 У^-1

и

lim

/ / lfn(x) - /n(y)|PGK(x,y) dCTK(x)dCTK(y) . (25)

/§d-1 ,/§d-1

Учитывая (25), для доказательства леммы остается показать, что

|/п(ж) — /„(у)|рСк(ж,у) ёстк(ж)ёстк(у) =

Jn\

/Sd-w Sd-1

сю

^2 9т I I |/n(x) - /n(y)|pPm(K;x,y) daK(x)dCTK(y). (26)

ygrf-^Sd-1

m=0

d-1

Так как для всех у €

/ |/п(ж) — /п(у)|рСк(ж,у) ё^к(ж) = (|/п(-) — /п(у)|р *к з)^ (27)

то по неравенству Юнга (предложение 2, следствие 1)

СЮ

(|/п(') — /п(у)|р *к #)(у)=^ Зт(|/п(') — /п(у)| *к <5™ )(y), у € 8^-1 (28)

т=0

(поточечная сходимость частичных сумм). Пусть

^9(у) = X] (|/га(') — /п(у)|р *к <т) (у).

т=о

Тогда из (27), (28) следует

/ / |/п(ж) — /га(у)|рСк(ж,у)ё^к(ж)ёстк(у) = / Пт 5,(у)ёстк(у).

У^-1 У^-1 У^-1 9ПГО

(29)

Для получения представления (26) достаточно обосновать возможность предельного перехода в интеграле в правой части равенства (29).

Очевидно, что

я

< ЛК

*к I / ^

т=о

|Sq (У)| < (|/га(') - fn(y)|P |E9mCm ) (У) •

Поэтому для всех q € N0

|Sq| < sup sup (|/n(-) - fn(y)|P *k|E 9m<^mK)(y). (30)

yeSd-1 q€N0V m=0

Выберем произвольное e0 > 0. Для данного e0 > 0 существует номер N0 € € N такой, что

9 — 9m(Crm

т=0

< ^0.

1,[-1,1],Лк + 1/2

Отсюда по неравенству Юнга

| у —

Vq ^ ^ (|/n(-) - /n(y)|P 9m<^mK ) (У) < |||/n(-) - /n(y)|P|^>Sd-1 кх

т=0

£ 9mCm 1 ,[-1 ,1] .Л. + 1/2 ^ ||/"(') - /"(y)|P" ■ ■ "d- -Х

п\ ) Jnyyл 11^ sd-1,к

т=0

q

х(УдУ1,[-1,1],лк+1/2 + I9 - Е L^+J <

т=0 ’1 к

^ ||/n(') - /n(y)|P|^Sd-1K (УдУ 1,[-1,1],Лк + 1/2 + £0). (31)

Пусть

N = 0<i<NK-X^9 - I] gmCm ||1,[-1,1],Лк + 1/2,е^ .

<*< 0 т=0

Тогда из (31) следует оценка

suP (|/n(-) - /n(y)|P *к |£ 9mCm )(У) <

im=0 у

^ ||/n(-) - /n(y)|P|^Sd-1K (|g| 1,[-1,1],Лк + 1/2 + N), y € 1. (32)

Так как

suP ||/n(-) - /n(y)|P|^gd-1K < 2P m<JXi |/n(x)|P

yggd-1 ’ ’ xeSd 1

то из (30), (32) для всех д € Мо

|^9| < 2р таХ_ |/п(ж)|р (||0||1 ,[-1 ,1] ,Лк + 1/2 + ^).

戧d 1

Теперь для обоснования возможности предельного перехода в (29) остается воспользоваться теоремой Лебега о мажорированной сходимости.

Лемма доказана.

Лемма 8. Пусть

ОО ОО

^ (^ ^ № в ^2,Лк+1/2[ 1 1],

п=о п=о

ио = 8о = 1, Пп ^ 5п, П € М,

— непрерывные неотрицательные функции на отрезке [—1,1], ик(ж,у) = УК[и((ж, -))](у), 5к(ж,у) = УК[в((ж, -))](у).

Тогда для любой функции / € Тр,к(8й при 1 ^ р < 2

I I !/(ж) - /(у)|р и„(ж,у) ёстк(ж)ёстк(у) ^

.У^-1 У^-1

/ !/(х) - /(у)|р £К(х,у) ёстк(ж)ёстк(у).

,/§^-1 ,/§^-1

Доказательство. По лемме 7

I I !/(ж) - /(у)|р [и„(ж,у) - 5К(ж,у)] ёстк(ж)ёстк(у) =

У^-1 .№-1

г го /. /.

Нш

п^-го

У(ит - «тМ / |/п(х) - /„(у)|рРт(к; ж, у) ёстк(ж)ёстк(у)

У^-1 У^-1

(33)

Отсюда, учитывая условия леммы и лемму (2), получаем, что предел в (33) неположителен.

Лемма доказана.

Замечание 1. В лемме 8, как и в лемме 3, можно потребовать сходимость соответствующих рядов в пространстве ^1,дк+1/2[-1,1], а не в ^2,лк+1/2[-1,1]- Условие и0 = £о = 1 также несущественно. В силу свойств оператора сплетения Данкля УК достаточно потребовать только, чтобы и0 = з0 > 0.

Известно (см., например, [5, р. 22,23], [24, теорема 1.10, с. 38]), что

СПК (-*) = (-1)ПСЛК (*), (34)

СПК (т«,д) > 0, п = 0,1,...,Д - 1. (35)

Для произведения СПк(£)Стк (^) (Лк > 0) справедлива формула

линеаризации [25, теорема 6.8.2, с. 298]

тт (п,т)

Е а(1,П,т) СП+т-^ а(1,п,т) > 0- (36)

'(Лк (+)/—Лк (+) ^ ' ~(7 п т) с-Лк

1=0

Рассмотрим многочлен степени Д - 1

Д-1

Е <^п>к (тк,Д) СПК ф-

п=0

Применяя формулу Кристоффеля-Дарбу [24, теорема 1.5, с. 22], [25, теорема 5.2.4, с. 236], можно установить, что

«И = йя, йя = (2Лк + 1>в-1С-’н-1<Тк,«> > 0.

Я(- Т«,я’ Я (Д - 1)!

Пусть

,Я—1 ч 2 / с-л

Я

t - Тк,Я

-(£) = С-п,к С-ПК (тк,Я) (£)) = ЙЯ ( /СЯтК)) , -1 ^ £ ^ 1- (37)

п=0 к Я

Соотношения (16), (35), (36) говорят о том, что в есть многочлен степени 2К - 2 вида

2Я-2

—(£) = Е -п <Лк (£) ^ 0, -1 < £ < 1, — > 0, п = 0,1,---, 2К - 2, (38)

п=0

где 5п — коэффициенты Фурье в разложении функции 5 в ряд по ортогональной системе {СПк }

~ 1 [1 ~

—п = ||С-Лк||2------------ 5(£)СПк (£) dmЛк+1/2(t),

||Сп'1 112,[-1,1],Лк + 1/2 —1

или, учитывая [1, формулу (17)],

—п = Йп,к J —(^)(—Пк (£) ёШЛк+1/2(^), П = 0,1,---, 2К - 2. (39)

Коэффициенты Фурье —п многочлена — подчиняются следующим

неравенствам, доказанным в [16, с. 25-27].

Лемма 9. При п = 0,1,..., К - 1

-п С-п,кС-пк (тк,Я)-0-

В [10, с. 348-349] построена непрерывная функция на отрезке [-1, 1] со специальными свойствами, которая позволила А.Г. Бабенко доказать неравенство Джексона в £2 на сфере 8^-1. Придерживаясь предложенных в данной работе обозначений и нормировок (нормировочных констант при определении функциональных пространств), эту функцию можно записать в виде

го

5№ = ^ 5п" СО в £2,Лк+1/2[-1, 1]-

п=0

Для нее выполнены свойства:

1) —(£) ф 0, —(£) ^ 0;

2) —(£) = 0 при £ € [-1, ео8 2£к,Я];

3) —п = <к<5пк(тк,Я) /Тк Д СДк(£)Спк(£) dmЛк+l/2(t), п = 0 1, - - -;

4) 50 > 0, 5Я = 0, —п ^ 0 при п > К.

Так как _ _

|с-пк(£)! < СЛ(1) = 1, -1 < £ < 1, п € N0,

и

Спк (£) > 0, £ € [тк,я, 1], 0 ^ п ^ К - 1,

то по свойству 3) функции и имеем при п = 0,1,..., Я — 1

^ Йп,кСПк (тК)Д)/ С^к (£) ЙШЛк+1/2(^) = с^кС,^ (тк,я)«о- (40)

Утк,Д

Используя накопленный материал, получим оценку сверху константы Джексона К(2£К,д, 2Я — 1)Р,§^-1,К при 1 ^ р < 2.

Положим

{/к(х,у) = К

и((х, •))

ио

(у), 5 (х,у) = К

«((х ■))

«о

(у), х,у € 1.

Функция 5 удовлетворяет условию леммы 6, что следует из (38), поэтому

II/ — %/ Ир*-.» « 2_1/р'К./ 11ррД,,« =

= 2_1/Р’ ( / / |/(х) - /(у) |Р'5к(х, у) dff*(x}d<7*(y}

ЧУ§^-1 У §^-1

1/р

(41)

Функции ик и 5 удовлетворяют условиям леммы 8, если учесть лемму 9, соотношения (38), (40) и свойство 4) для коэффициентов функции 5, поэтому

/ / I/(х) - /(у)|р»5к(х, у) dстк(ж)dстк(y) <

У§!-1 У§!-1 I I/(х) - /(у)|ри5к(х,у) dстк(ж)dстк(y). У^-1 У^-1

(42)

Используя определение и свойства функций ик и 5, определение модуля непрерывности ш(£, /)р,§^-1,к (12), определение свертки двух функций (10) и неравенство Юнга (предложение 2), свойства обобщенных сферических средних МК (предложение 3), выбирая р ^ 2ЛК + 1 и пользуясь свойствами средних Чезаро 5П(к; /) (предложение 1), получаем

/§^-1 У§^-1

I/(х) - /(у)|РЦ/„(х,у)dстк(х^стк(у) =

1

/у,р(х)С/к(х,у) dстк(x)dстк(y) = — (/у,р *К и) (у) dстк(у) =

/§^-1 У§^-1 и0 У§^-1

1

— Нш

50 У§^-1

О(к; /у,р) *к 5) (у^ =

= и1 [ Иш (/ М [>П(к; (-))] (у) 5(т) ^Лк+1/2(тЛ =

«о У§^-1 /

1 гг 1

МТ [/УрО] (у)и(т) ^Лк+1/2(т= МК [/У,Р(')] (у) ^к(УМ™Лк+1/2(т) =

и0 и §^-1 и _1

Г1 5(т)

/_1 ио У§^-1

1

= / M [/y,p(')](y) dCT«(y)dmAK+1/2(T) <

./cos25K,R u0 7§d-1

< SUP f MTK[/y,P(')](y) d^(y) / ^ dmAK + 1/2(t) =

COs2^K R^T:$C1 VSd—1 7 — 1 j0

sup f MCOs0 [/y,p(-)](y) d^K(y) = wp(2^,/)P;gd—1. (43)

0^0 ^2<SK R УSd—1

Объединяя оценки (41)—(43), получим

llf - ASK/ llp,Sd—1,k ^ 2 1/p w(2^K,R> /)p,Sd—1,K- (44)

Из определения ядра SK оператора Ag и (15)

A§ / (x) = / (y)S’'«(x,y) d^(y) =

./sd—1

2R—2 ~ jra

~ /(У)рзп(к; x,y) d^(y) =

П=0 S0 -^—1

2R—2 ~

'Yh /(У)рП(к; x,y) d^KЫ =

n=0 S0(Xn,K -/Sd—1 2R—2 ~ 2R—2

E Prn(K;/,x) G S АП(к)-

S0(X„

п=о '->ои'п,К п=о

Отсюда и из определения величины наилучшего приближения (8), оценки (44) получаем неравенство Джексона

Е2Я_1(/)р,§^-1,к ^ ||/ - /||р,§^-1,к ^

< 2_1/р'и(2^,д, /)р,8^-1,к V/ € Тр,к(§й_1),

К(2^к,д, 2Я - 1)р,§^-1,к < 2_1/р', 1 < р < 2.

т. е.

Jp,S“~\к ^ ■“ ! ^ ^ Р

Теорема 1 доказана.

Список литературы

1. Вепринцев Р.А. Некоторые вопросы гармонического анализа Данкля на сфере и шаре // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С.6-26.

2. Dai F., Xu Y. Approximation theory and harmonic analysis on spheres and balls. Springer: New York, 2013. 440 p.

3. Xu Y. Weighted approximation of functions on the unit sphere // Constr. Approx. 2005. V. 21. P. 1-28.

4. Li Zh., Song F. Inversion formulas for the spherical Radon-Dunkl transform // SIGMA J. 2009. V. 5. № 025. 15 p.

5. Dunkl C.F., Xu Y. Orthogonal polynomials of several variables. Cambridge University Press, 2001. 390 p.

6. Xu Y. Approximation by means of h-harmonic polynomials on the unit sphere // Adv. Comput. Math. 2004. V. 21. P. 37-58.

7. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 71-74.

8. Черных Н.И. Неравенство Джексона в Lp(0,2п) (1 ^ p < 2) с точной константой // Труды МИРАН. 1992. Т. 198. С. 232-241.

9. Бердышев В.И. О теореме Джексона в Lp // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 3-16.

10. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2 функций на многомерной сфере // Матем. заметки. 1996. Т. 60. № 3. С. 333-355.

11. Горбачев Д.В. Точное неравенство Джексона в пространстве Lp на сфере // Матем. заметки. 1999. Т. 66. № 1. С. 50-62.

12. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp, 1 ^ p ^ 2 с

периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 5-27.

13. Иванов В.И., Лю Юнпин Оценка снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 ^ p ^ 2 с периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 59-69.

14. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина для L2-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах // Изв. РАН. Сер. Матем. 1998. Т. 62. № 6. С. 27-52.

15. Вепринцев Р.А., Иванов В.И. Точное неравенство Джексона в пространствах Lp, 1 ^ p < 2, на сфере со степенным весом // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междунар. науч. конф. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 38-43.

16. Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения. Тула: Гриф и К, 2005. 192 с.

17. Иванов В.И. Приближение в Lp полиномами по системе Уолша // Матем. сб. 1987. Т. 134. № 3. С. 386-403.

18. Иванов В.И. О модуле непрерывности в Lp // Матем. заметки. 1987. Т. 41. № 5. С. 682-686.

19. Иванов В.И., Пичугов С.А. Приближение периодических функций в Lp линейными положительными методами и кратные модули непрерывности // Матем. заметки. 1987. Т. 42. № 6. С. 776-785.

20. Иванов В.И. Приближение в Lp кусочно-постоянными функциями // Матем. заметки. 1988. Т. 44. № 1. С. 64-79.

21. Иванов В.И. О приближении функций в пространствах Lp // Матем. заметки. 1994. Т. 56. № 2. С. 15-40.

22. Иванов В.И. Представление и приближение функций в среднем: дис. ...д-ра физ.-мат. наук. Тула, 1994. 212 с.

23. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 336 с.

24. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979. 416 с.

25. Аски Р., Рой Р., Эндрюс Дж. Специальные функции. М.: МЦНМО, 2013. 652 с.

26. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: ГИФМЛ, 1962. 500 с.

Вепринцев Роман Андреевич ([email protected]), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Jackson inequality in the spaces Lp on the sphere with Dunkl

weight

R. A. Veprintsev

Abstract. The upper estimation of Jackson constant in Lp-spaces, 1 ^ p < 2, on the unit Euclidean sphere Sd-1 in Rd, d ^ 2, with Dunkl weight function, similar D.V. Gorbachev estimation in the case without weight, is obtained.

Keywords: Jackson inequality, Jackson constant, Euclidean sphere, Dunkl weight function, K-spherical harmonics, best approximation, modulus of continuity, generalized spherical means, convolution.

Veprintsev Roman ([email protected]), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 20.09.2013