Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 27-49
= Математика =
УДК 517.5
Неравенство Джексона в пространствах Ьр на сфере с весом Данкля *
Р. А. Вепринцев
Аннотация. Получена оценка сверху константы Джексона в пространствах Ьр, 1 ^ р < 2, на единичной евклидовой сфере в М^, й ^ 2, с весом Данкля, аналогичная оценке Д.В. Горбачева в безвесовом случае.
Ключевые слова: неравенство Джексона, константа Джексона, евклидова сфера, вес Данкля, к-сферические гармоники, наилучшее приближение, модуль непрерывности, обобщенные сферические средние, свертка.
Введение
Работа посвящена исследованию константы Джексона, то есть наименьшей константы в неравенстве Джексона между величиной наилучшего приближения функции и ее модулем непрерывности в пространствах Ьр, 1 ^ р < 2, на единичной евклидовой сфере с весом Данкля. Модуль непрерывности функции определяется с помощью обобщенных сферических средних. В качестве аппроксимирующего множества рассматривается подпространство к-сферических гармоник. Исследование константы Джексона использует развитый гармонический анализ Данкля на евклидовой сфере, основы которого вместе с необходимым алгебраическим аппаратом изложены в работе [1].
1. Предварительные обозначения и понятия
Пусть N — множество всех натуральных чисел, N0 = N и {0} — множество всех неотрицательных целых чисел, М — поле действительных чисел, С — поле комплексных чисел, М4 (й € N — й-мерное действительное евклидово
пространство со стандартным скалярным произведением {п, г) = ^ п3-г3-,
3 = 1
||п|| = л/{п, п) — норма (или длина) вектора п, {в3-}^=1 — стандартный ортонормированный базис в М4, §4-1 = {х € М4 | ||х|| = 1} — единичная
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00045).
евклидова сфера в Мй, С(8й-1) — пространство всех комплекснозначных измеримых по Лебегу функций на сфере 8й-1, ш — лебегова мера на сфере §й_1, Вй = {х Є Мй | ||х|| ^ 1} — единичный евклидов шар в Мй. Символ Похгаммера определяется для і Є М по формулам
(і)о = 1, (і)п = і (і + 1)... (і + п — 1), п Є N.
Зафиксируем в Мй систему корней К. Выберем в К положительную
подсистему К+. Обозначим через Ш = Ш(К) группу отражений, связанную с К. Группа Ш конечна и содержится в ортогональной группе пространства Мй. Зададим функцию кратности к: К ^ М+ на системе корней К. С ее помощью определяется весовая функция
№К(х) = Ц |(х,и)|2к(и), х Є §й-1, (1)
и^К+
которую назовем весом Данкля на сфере §й-1. Вес инвариантен
относительно Ш. С каждой функцией кратности связывают два числа:
7к = ^ к(и) Лк = 7к + . (2)
и^К+
В силу Ш-инвариантности функции к числа 7К, Лк, определение веса Данкля wк (1) не зависят от выбора положительной подсистемы в К.
Рассмотрим важный случай веса Данкля. Множество К = {±е-является системой корней. С базисом Є1,..., е^ свяжем отношение полного упорядочения [1, п. 2]. Относительно данного упорядочения К+ = {е-}^=1 — положительная подсистема в К. Группа отражений, связанная с К, изоморфна абелевой группе К^. Функция кратности к: К ^ М+ в общем виде определяется следующими значениями:
к(±е-) = Kj, к- ^ 0, і = 1,..., ^. (3)
Вес Данкля wк на сфере §й-1 равен произведению модулей координат аргумента в неотрицательных степенях:
й й
и-к(х) = П і(х.е-)|2“> = П |х-12“-. (4)
-=1 -=1
2. Весовые пространства и величина наилучшего
приближения
Пусть Л > 0, с-1 = J-1(1 — і2)Л-1 dі — нормировочная константа, шл — вероятностная мера на отрезке [—1,1], определяемая равенством dшл(і) =
= СА(1 — £2)А 1 ё£,
^р,л[—1, 1] = { / : [ — 1, 1] ^ С 1 У/||р,[—1,1],А = ( J 1 |/ЙШа(^^ < ТО |,
1 ^ р < ТО,
£те,л[-1, 1] = { / : [ —1, 1] ^ С | ||/||те)[-1)1],А = в888Ир |/(*)| < то) , р = ТО,
^ *€[-1,1] }
— пространства комплекснозначных измеримых по Лебегу на отрезке [—1,1] функций.
Пространство Ь2,а[—1,1] — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением
г 1
(ЛйОлл-м] = J / (і)#(і) ^л(і).
Введем вероятностную меру на сфере 8й 1
й^к(х) = ак-шк(х)ёш(х), а-1 = ЭДге(х) ёш(х),
весовые пространства комплекснозначных измеримых по Лебегу функций на сфере 84-1 (1 ^ р ^ то)
ьР,к(§й ^={/: 1 ^ с1 ц/||Р)8й-1)К=(і |/(х)|р(х))/р < то,
1 ^ р < то,
£те,к(§й-1) = {/: §й-1 ^ с | ||/Щ§^-1к = Є888Ир |/(х)| < ТО, р = то.
1 жЄ§^-1 }
Пространство Ь2;К(§й-1) — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением
(/,#)к^-1 = /(х)#(х) ^к(х).
■У^-1
Пространство Ь2;К(§й 1) разлагается в ортогональную сумму пространств АП (к) всех к-сферических гармоник степени п Є N0:
^2,к(§й-1) = ^ АП(к), АП (к) ±А^(к), п = ш.
п=0
Оператор ортогонального проектирования
Рг„(к) : ^2,к(§й 1) ^ АП(к) (5)
из £2,к(§4 1) на АП(к) имеет интегральное представление
Рг„(к; /, х) = [ /(у)Рп(к; х, у) ^к(у), х € §4-1, (6)
■У^-1
где Рп(к; ■, ■) — воспроизводящее ядро пространства А^(к).
Таким образом, произвольной функции / € Ьр,к(84-1), 1 ^ р ^ то, можно поставить в соответствие ее к-сферический гармонический ряд
ГО
^Ргга(к; /). (7)
n=0
Для функции / € L2;K(Sd-1) этот ряд сходится в среднем квадратичном. Для р > —1 обозначим через Sn(к; /) средние Чезаро ряда (7):
Sn(к; /) = Ар £ Рг^(к; /), АП = *
АП . „ n!
■=0
Отметим, что Sn(к; /) представляет собой n-ю частичную сумму ряда (7). Для средних Чезаро справедливо следующее предложение [2, theorem 7.4.4, p. 170].
Предложение 1. При р ^ 2АК + 1 средние Чезаро к-сферического гармонического ряда (7) функции / € Lp,K(Sd-1) при 1 ^ p < то и / € C (Sd-1) при p = то сходятся к ней по норме пространства Lp,K(Sd-1), а оператор Sn(к) является неотрицательным оператором.
Для R € N
Г R-1 1
er(/)P,sd-i)K = if ||/ — gyP)sd-i)K 1 g € ^ АП(к) f
n=0
(8
— величина наилучшего приближения функции / € ЬР)К(84-1) линейными комбинациями к-сферических гармоник порядка не выше К — 1.
В гильбертовом пространстве £2,к(§4-1)
ГО
ER(/)2,Sd-1,K = ^ 11Ргп(к; /) 12,Sd-1,к* (9)
n=R
3. Обобщенные сферические средние и модуль непрерывности
3.1. Свертка. Свертка / *к # двух функций / € £1;К(§4-1) и # € € £1;ак+1/2[—1,1] определена в [3] равенством
(/*к #)(х) = [ •))](у)(у^ х € (10)
■№-1
где РК — оператор сплетения Данкля, который построен и подробно изучен
Пусть Ск(х, у) = Ук [д({х, -))](у), |С|к(х,у) = Ук [|д({х, -))|] (у). Тогда для любого х € 8й-1 (см. [1, формула (10)], [1, свойства 1), 4) леммы 6], [4, формула (7)])
1) /&-1 Ук [д({х •)^ (У) й^к(У) = /- д(^ ЙШАк + 1/2
2) |Ск(х, -)| ^ |С|к(х, ■),
3) |Ск(х, О I 1 §^—1 к ^ ||С|к(х, ОЦ1 §^- 1 к,
4) |||С|к(х ■)|1 ^-1, к = Н^Н 1 ,[-1 ,1], Ак+1/2.
5) Ск(х,у) = Ск(у,х) для почти всех х,у € 8й-1.
Лемма 1. Для любых функций / € Ь1>к(§й-1), д € £1;ак+1/2[—1,1] и почти всех х € 8й-1 имеем
1) |||/1 *к |д|||1;§^-1к = ||/II 1,§^-1,к |д| 1,[-1,1],Ак+1/2,
2) (|/1 *к |д|)(х) ^ |/*к д|(х).
Доказательство. Из определения свертки (10), свойств 2), 4), 5) функции Ск(■, ■) выводим свойство 1) леммы
Отсюда функция |/1 *к |д| конечна для почти всех х € 8й 1, и для таких значений х по свойству 2) функции Ск имеем
Лемма доказана.
Из леммы 1 следует, что свертка / g существует (определена) почти всюду на сфере Sd-1 и / g € L1;K(Sd-1)* Таким образом, определение свертки (10) на сфере корректно.
При к = 0 получается обычная сферическая свертка в Rd, многие свойства которой сохраняются и в общем случае к ^ 0* В частности, справедливо неравенство Юнга [3, Proposition 2.2].
Предложение 2. Пусть p, q, r ^ 1 и p-1 = q-1 + r-1 — 1* Для функций
/ € Lq,K(Sd 1) и g € Lr,AK + 1/2[ 1 j 1] имеем
11/*к g|p,Sd-1,K ^ ||/llg,§d-1,Jlgllr-,[-1,1],AK + 1/2*
в [1, п. 6].
>! |/(y)||GK(x,y)| d^K(y) ^ [ /(y)GK(x,y) daK(y) = |/ g|(x)
Из неравенства Юнга получаем следствие.
Следствие 1. Пусть f Є LP;K(Sd-1), 1 ^ p ^ to, g Є L1^K+1/2[-1,1] и
g = lim gn в L1^ + 1/2[-1,1]. Тогда n^-ro
(f *K g) = lim (f *к gn) в Lp,K(Sd:1),
n^-ro
в частности,
llf*K gyp,Sd-1,K = lim llf*K gn 11 p, Sd 1,к^
’ n^-ro ’
Отметим, что оператор ортогонального проектирования Ргп(к) (Б) из L2,K(Sd-1) в АП(к), учитывая его интегральное представление (б), можно записать в виде свертки [2, формула (7.4.4)]
Рг,,(к;f) = f*„ zn, z;(i) = (n±^n2^c;n-(t), <5n-(0 =
Лк n* Cn (1)
где {Cn}ro=Q, Л > О, — полная ортогональная система многочленов Гегенбауэра в пространстве L2^+1/2[—1,1] [Б, p. 17-20].
3.2. Оператор обобщенного сдвига. В безвесовом случае, т. е. при к = О, классический модуль непрерывности функции f определяется с помощью оператора сдвига Те, О ^ в ^ п, который называют сферическим средним, [2, Definition 2.1.4, p. 31]
Tf (x) = ^(sta e)d-2 f (y) d^"x Є S":I'
где dЛX)0 обозначает лебегову меру на множестве Лх,в = {у Є Sd-1 | (x,y) = = cos в}.
В случае произвольной функции кратности к ^ О оператор сдвига МП, —1 ^ т ^ 1, который называют обобщенным (или весовым) сферическим средним, определяется для функции f Є L1;K(Sd-1) и x Є Sd-1 неявно
J (x)g(T) dmЛк+1/2(т) = (f *n g)(x) Vg Є Lro^K+1/2[ 1, 1]. (11)
Функция Mf(x) Є Li^k+i/2[—1,1] является единственной функцией переменной т, которая удовлетворяет соотношениям (11). Если f Є Lro;K(Sd-1), то для любого x Є Sd-1 функция M^f(x) принадлежит Lro^K+l/2[ 1, 1]. При к = О имеем McQosв = Те, О ^ в ^ п.
Отметим некоторые свойства обобщенных сферических средних МП
Предложение 3 [2-4, б]. Справедливы следующие утверждения:
(1) Если fQ = 1, то M.KfQ(x) = 1.
(2) MH(af + eg)(x) = aMf (x) + eMHg(x) для любых f, g Є L1;K(Sd-1) и а, в Є C.
(3) МП сохраняет положительность, т. е. если f ^ О, то Mf ^ О.
(4) Еыи / € £Р;К1), 1 < р < то, то ||МК/||Р^-1К < ||/||р^-1к.
(5) Если {/П}ГО=0 С Т1к(§^-1) и / = Нш /п в £1к(§^-1), то для любого
х € §^-1 последовательность <^п(т) = МТ/п(ж), п € N0, сходится к функции ^>(т) = МП/(ж) по норме пространства Т1Лк+1/2[—1,1].
(6) Рг„(к; МК/) = МК Рг„(к; /) = СПК (т)Рг„(к; /), п € N0, и
[ М/(ж) ёстк(ж) = [ /(ж) ёстк(ж) = Рго(к; /) V/ € £1;К(§Й-1),
7§^-1 7§^-1
(7) Если / € £2>к(§й-1), то
ГО
М/ = ^ СПК(т)Ргга(к; /) в Т2,к(§"-1).
п=0
3.3. Модуль непрерывности. Модуль непрерывности функции / € € £Р;К(§й-1), 1 ^ р < то, определим по формуле
^ /)р,§^-1,к = йир ([ Мск08 в [/х,р(-)](ж) ^к(ж)) /p, 5 € [0,пЬ (12)
о<в<ЛУ в^-1 7
где /ж,р(') = |/(■) - /(ж)|р € Т1;К(§Й-1) для почти всех ж € 8й-1.
В гильбертовом пространстве Т2,к(§й-1) модуль непрерывности принимает вид
1 /2
/)2^-1,к = яир Г2^1 - СПК (С08 0)) ||Ргга(к; Л!^-^) • (13)
п=о у
Так как
/х,2(-) = |/(•) - /(ж)|2 = (/(-) - /(ж))(/(•) - /(ж)) =
= I/(-)12 +1/(ж)|2 - (/(-Ш + / (ж)7(0) =
= I/(-)|2 + I/(ж)|2 - 2Ие[/(ж)/ё,
МСОв0 [/х,2(')] = МС08в (|/(-)|2 + |/(ж)|2 - 2Ие[/(ж)Ш]) =
= МС08в |/(-)|2 + |/(ж)|2 МС08в 1 - 2МС08в (Ие[/(ж)Ш]) =
= МС08в|/(-)|2 +1/(ж)|2 - 2Ие[/(ж)МС0ввШ],
то
МС0в0 [/х,2(')] (ж) = (МС0в0|/(')|2 + |/(ж)|2 - Же[/(ж)МС0в0/(-)])(ж) =
= МС0в 0|/(ж)|2 +|/(ж)|2 - Же[/(ж)МС0в 0/ (ж)],
/ MCOsв |7x,2(0] (x) daK(x) =
/sd-1
(MCOsв|/(x)|2 +|/(x)|2 - 2Re[/(x)MCOsв/(x)D daK(x) =
/§d-1
= 24 |/(x)|2 daK(x) - Re( / /(x)MCOsв/(x) daK(x^ =
/gd-l VJgd-l У У
го ^
= 2( У/11 2,gd 1,K -^ / - ^ (cos ^ |Prn(K; /,x)|2 daK (x)) =
n=Q"'gd 1 го
= 2(У/ll2,Sd-l, к - ^ Cn" (cos ^llPrn(к; /^l^gd-l,
го
'Ак Л.. -/*M|2
n n=Q
го
Используя теперь равенство Парсеваля У/||2gd-1re = l|Prn(«; /)У2 gd-1
, , n=Q , ,
получаем соотношение
го
/ MCOs в [/x,2 (0](x) daK (x) =^X!(1 - ^ (cos ^ /) У 2 gd-1 I
Sd-1 n=Q 2,S ,
которое доказывает справедливость представления (13) модуля непрерывности /Ь,^-1, к•
4. Неравенство Джексона и константа Джексона: известные результаты в пространствах Ьр, 1 ^ р ^ 2, на сфере и формулировка основного результата
Неравенства между величиной наилучшего приближения функции и ее модулем непрерывности в пространствах Тр, 1 ^ р < то, называются неравенствами Джексона. Константа Джексона или точная константа в неравенстве Джексона — наименьшая (минимальная) константа в неравенстве Джексона, при которой неравенство выполняется для всех функций из пространства Тр. Задача о константах Джексона является важной задачей теории приближений. Точные неравенства Джексона (неравенства Джексона с точной константой) в пространствах Тр, р > 2, отсутствуют.
Константу Джексона определим равенством
Г ЕЯ(/)р,§^-1)К | / т (£1^— 1'
1 ^(^, /)р,§^-1,к
K(£, R)p,§d-l = sup^ ’-| / Є Lp,к(S ) f, 1 ^ p < то.
Обозначим через тк ,д наибольший нуль многочлена С^к, ,д =
= агеесе тк,д. Пусть = £о,я, £(£, Я)р,^-1 = £(£,
Приведем известные результаты о константе Джексона К(£, Д)р,§^-1, 1 ^ / Р
^ р ^ 2, ^ ^ 2 (р' =--------показатель, сопряженный с р):
р — 1
I. к = 0 (безвесовой случай):
d = 2:
d > 2:
II. к ^ 0: d = 2:
Результат Н.И. Черных (1967, [7]):
k(R-4 1
2,S1
Результаты Н.И. Черных (1992, оценка сверху, [8]) и В.И. Бердышева (1967, оценка снизу, [9]):
К(= 2-1/р, 1 ^ р< 2.
ЧЯ ^р,®1
Результат А.Г. Бабенко (1996, [10]):
к(2^д, Д)2,§^-1 = ^2.
Результат Д.В. Горбачева (1999, [11]):
£(2£д, 2Я — 1)р8^-1 = 2-1/р', 1 < р< 2.
Вес Данкля wK(ж^ж2) = |ж212К2, к2 > 0 (см. (3), (4)):
• Результаты Д.В. Чертовой (2009, оценка сверху, [12]) и В.И. Иванова, Лю Юнпин (2011, оценка снизу при 1 < p < 2, [13]):
k(2^k,r, R)2,§1, к = ^,
K(25K,r, 2R - 1)Р)81к = 2-1/p', 1 < p < 2.
Без дополнительных предположений о весе Данкля wк (4):
• Результат Yi Gu (2012, Beijing Normal University, устное сообщение):
K(2^,R, R)2,Sd-1, к = ‘
В силу (9), (13) равенство (14) эквивалентно равенству
(14)
1
sup 2 52 (1 — CnK (cos 0))p*
Q^^a* R n=R
го
I Pn ^ 0,J> = 1 >
n=R
доказанного А.Г. Бабенко [14].
Справедлива следующая основная теорема.
Теорема 1. Если й ^ 2, 1 ^ р < 2, то
К(2£к,д, 2Д — 1)р,§^-1,к < 2-1/р'.
1
Теорема 1 анонсирована в [15], ее доказательство приводится в следующем пункте. При доказательстве используются результаты и методы работ [10], [11], [16, §1.1]. Схема доказательства неравенств Джексона в пространствах Тр, 1 ^ р < 2, учитывающая строгую выпуклость пространств, предложена Н.И. Черных [8] и усовершенствована В.И. Ивановым [17-22].
5. Доказательство оценки сверху константы Джексона К(2дк,я, 2Я - 1)^-1^, 1 ^ р < 2
Воспроизводящее ядро Рп(к; ■, ■) пространства А (к) является симметричной, непрерывной функцией на 8й-1 х 8й-1 и допускает удобное представление
Р„(к; ж,у) = (4)КРга(к; ж,у), Д»(к; ж,у) = К СПК((ж, •)) (у), (15)
4 =2<2Л»+ 1_+"2" +Лк), = 1, (16)
п!(п + 2ЛК)
в котором на оператор сплетения Данкля РК можно смотреть как на оператор из £1;Лк+1/2[—1,1] в Т1;К(8й-1) при каждом ж Є 8й-1.
Функции -Рга(к; ■, ■) (15) будем называть нормированными воспроизводящими ядрами пространств АП(к).
Нормированные воспроизводящие ядра -Рп(к; ■, ■) непрерывны на 8й-1 х х 8й-1, симметричны и обладают свойством положительной определенности [1, лемма 2]
Р„(к; ж, у)/(у)/(ж) ёстк(ж)ёстк(у) ^ 0 V/ € £1)К(§Й1), п € N0.
Jsd-1 J§^-1
(17)
При п € N имеем [1, формулы (18),(19)]
[ Рп(к; ж, у) ёстк(у)=0, ж € §^-1,
.№-1
/ / РП(к; ж, у) ёстк(ж)ёстк(у) = 0. (18)
.У^-1 У^-1
Лемма 2. При 1 ^ р< 2, п ^ 1 для любой функции / € £Р;К(§Й-1) имеем [ I |/(ж) - /(у)|рР„(к;ж,у) ёстк(ж)ёстк(у) ^ 0. Доказательство. Справедливы следующие равенства
/* 2п
Ир = с-1/ | Ке(^в-г^)|р ёр,
0
/*2п
г € С, р> 0, Ср = / | 008 у|р ёу > 0;
0
|а — Ь|р = ^-1 / 0
-1 1 — оо8(а — Ь)£
ер+1
ё£,
Г ГО
1 — 008 £
а,Ь € М, 0 <р< 2, ^р = J —£р+1— ё£ > 0.
Пользуясь этими равенствами, свойством положительной определенности (17), формулой (18), получаем оценку
Ср^р / / |/(ж) — /(у)|рР„(к;ж,у)ёстк(ж)ёстк(у) =
•У^-1 ./§^-1
= йр I I ( I | Ке((/(ж) — /(у))в--)|р ёу)Рга(к; ж, у) ёстк(ж)ёстк(у) =
,/§^-1 ,/§^-1 У ./0 '
= ^ / / ( Л | Пе(/(ж)в-^) — Ие(/(у)е-^-)|р ёу) х
/^-1/^-1 \./п /
хР„(к; ж, у) ёстк(ж)ёстк(у) = г2п ''~ 1 — оов(Ие(/(ж)в-^) — Ие(/(у)б-^))£
ё{) ёу) х
/sd-^sd-Л ,)о ч,/о £р+1
хРП(к; ж, у) ёстк(ж)ёстк(у) =
= [~ Л [ [ 1 — оо8(Ие(/(ж)в-^) — Ие(/(у)в-^))£
Jо -!о ]^-1 ]^-1 £р+1
хРП(к; ж, у) ёстк(ж)ёстк(у)ёу ё£ =
гго /*2п 008Ие(/(ж)в-г^)£ ■ 008Ие(/(у)б-г^)£х
хР„(к; ж, у) ёстк(ж)ёстк(у)) ё|+ёр < 0.
Jо Jо yJSd-1 ■) §'г-1 хР„(к; ж,у) ёстк(ж)ёак(у) + / / 8тИ,е(/(ж)в-г^)£ ■ 8тИ,е(/(у)в-г^)£х
У^-1 У^-1
ёу ё£
£р+1
Лемма доказана.
Лемма 2 обобщает лемму 3 в работе [11].
Рассмотрим функцию из пункта 3.1:
С„(ж,у) = К[#((ж, -))](у), ж, у € §^-1,
где $(•) — непрерывная неотрицательная на отрезке [—1,1] функция такая,
что
ГО
д(^) = ^ £™СПК (£) в ^2,Ак + 1/2[— 1 1], (19
га=о
до = У 1 #(т) ёШЛк+1/2(Т) = 1.
Таким образом, функция Ск(-, ■) непрерывна, симметрична, неотрицательна на 8й-1 х 8й-1 и для любого ж € 8й-1
ГО
Ск(ж,у) = ^дгаРга(к; ж,у) в £1>к(8й-1).
га=о
3^-1'|
Лемма 3. Если /, Н € Т2;К(8“ 1), то
/(ж)Н(у)С„(ж, у) ёстк(у)ёстк(ж) =
^-1 V В^1
ГО
У^£п / / /(ж)Н(у)Р„(к; ж, у) ёстк(у)ёстк(ж).
У^-1 У^-1
га=о
Доказательство. Из сходимости по норме пространства Т2,лк+1/2[— —1,1] следует сходимость по норме пространства Е1;лк+1/2[—1,1]
ГО
£(^ = Х] (^ в ^,Лк + 1/2[ —11]. (20
га=о
По определению свертки
(Н*к #)(ж) = I Н(у)К[^((ж, -))](у) ёстк(у), ж € 8й-1,
У^-1
а по следствию 1
ГО
(Н*к #) = ^ £п(Н*к СПК) в Е2,к(8й-1).
га=о
Отсюда
/ / / (ж)Н(у)^К [#((ж -Ш ё^к (у)ё^к(ж) =
/в^1 У^-1
л
/ - /(ж)(^ #га(Н*к <5ПК)(ж)) ё^к(ж)
1 п=о
ГО «
У]#™/ /(ж)(Н*к СПК)(ж) ёстк(ж).
-№-1
Лемма доказана.
Для 1 ^ р ^ то определим следующие пространства комплекснозначных измеримых по Лебегу функций на 8й-1 х 8й-1
Т^СкЖ-1 х 8й-1) ТОЬ: 8й-1 х 8й-1 ^ С |
||ЬУрр)Ск)к = ( I I |Л.(ж,у)|Р Ск(ж,у) ёстк(ж)ёстк(у)) ^ < ТО,
1 ^ р < то,
Д^.СкЖ-1 х 8й-1) ТОЬ: 8й-1 х 8й-1 ^ С |
||^утете,ск,к = Є888Ир |Л(ж, у)| < ТО, Р = ТО.
ж,уЄ§гі-1
Произвольной функции / Є ЕР;К(8й-1) можно поставить в соответствие функцию двух переменных Тск / (ж, у), ж, у Є 8й-1 по правилу
ТСк/(ж,у) = /(ж) - /(у) Є ТРР;Ск)К(8"-1 х 8й-1).
Непосредственно видно, что оператор
ТСк: ЕР;К(8й-1) ^ ТРР;Ск)К(8й-1 х 8й-1)
есть линейный оператор.
В следующих двух леммах оценивается норма оператора Т^к.
Лемма 4. Для всех 1 ^ р ^ то линейный оператор Т^к является
ограниченным с нормой, не превосходящей 2 тах (Ск(ж, у))1/р, т. е. для
ж,уЄ§гі-1
любой функции / Є ЕР;К(8й-1), 1 ^ р ^ то,
11ТСк /||рр,сК)к < 2 тах 1(Ск(ж,у))1/р ||/||р^-1к.
ж,уЄ§гі-1
Доказательство. Случай р = то. Имеем
ІІЇСк / ||~~,СК)к = е888иР |ТСк / (ж,у)| = е888ир |/(ж) - / (у) | <
ж,уЄ§гі-1 ж,уЄ§гі-1
< 2 е888ир |/(ж)| = 2 ||/Н^-і*. (21)
жЄ§гі-1
Случай р = 1. Имеем
||ЇСк/|І11,сК)к = / / |ТСк/(ж,у)|Ск(ж,у)ёстк(ж)ёстк(у) =
.У^-1 У^-1
= / / |/(ж) - /(у)|С„(ж,у) ёстк(ж)ёстк(у) <
.У^-1 У^-1
< тах _ Ск(ж,у) / / (|/(ж)| + |/(у)|) ёстк(ж)ёстк(у) =
х,уе§^-1 У^-1 У^-1
= 2 тах Ск(ж,у) / / |/(ж)| ёстк(ж)ёстк(у) =
1 У§^-1 У§^-1
= 2 тах1 Ск(ж,у) ||/||1,в^-1,к- (22)
ж,у€§^-1
Случай 1 < р < то. Интерполируя неравенства (21) и (22) [23, теорема 1.3, с. 202], получим оценку
ЦУЪк/||рр,сК)к < 2 тах 1(Ск(ж,у))1/р ||/||р)8й-1.
ж,уЄ§гі-1
Лемма доказана.
Лемма 5. Если для функции д(-) (19) имеем
дп ^ 0, п Є М,
то при 2 ^ р ^ то норма оператора Т^к не превосходит 21/р , т. е. для любой функции / Є Тр>к(8й-1), 2 ^ р ^ то,
||ТСк/||рр)Ск,« < 21/р/1|/Нр^-і*.
Доказательство. Случай р = то. По лемме (4)
||ТСк/Цмм.йк.к ^ 2 ||/|1ю,§^-1,к. (23)
Случай р = 2. Пользуясь положительной определенностью нормированных воспроизводящих ядер Рп(к; ■, ■) (17), леммой 3, получим
11ТСк / ||22,Ск,к = / / |ТСк / (ж,у)|2 Ск(ж,у) астк(ж)ёстк(у)
У§^-1 У§^-1
|/(ж) - /(у)|2Ск(ж,у) ёстк(ж)ёстк(у) =
/§^-1 .7 §^-1
(|/(ж)|2 + |/(у)|2 - 2Ре /(ж)/Ы)^к(ж,у) ёстк(ж)ёстк(у) =
/В^1 У^-1
= 2 / / |/(ж)|2Ск(ж,у)ёстк(ж)ёстк(у)-
У^-1 У^-1
-2Ие / / /(ж)/(у)Ск(ж, у) ёстк(ж)ёстк(у) =
У^-1 У^-1
= 2 / |/(ж)|2 (ж)-
У§^-1
ОО л л
2К^У дп / / (ж)/(у)Рп(к; ж,у) ёстк(ж)ёстк(у) =
П=0 ^-1 У^-1
ОО л л
= 2( 11/112в^-1к -^дп / /(ж)/(у)рп(к;ж,у)ёстк(ж)ёстк(уЛ <
4 ’ ’ п=0 У§^-1 У в^-1 '
<2II/112^-^
т. е.
||ТСк/||22,Ск,к < 21/2 ||/|і2)8Л-1)К. (24)
Случай 2 < р < то. Интерполируя неравенства (23) и (24) [23, теорема 1.3, с. 202], получим оценку
||ТСк/||рр)Ск,« < 21/р/ ||/||р)8Л-1)К.
Лемма доказана.
Введем линейный положительный интегральный оператор АСк: Ер;К(8й-1) ^ £р;К(8й-1)
по правилу
АСк/(ж) = / /(у)^к(ж,у) (у).
■№-1
Лемма 6. Если для функции д(-) (19) имеем
дп ^ 0, п Є М,
то при 1 ^ р ^ 2
II/ - АСк/||р)8^-1,к < 2-1/р/ ||ТСк/||рр)Ск,к.
Лемма 6 доказывается с помощью леммы 5 аналогично лемме 2 из работы
[11].
Лемма 7. Пусть 1 ^ р < то, / Є Трк(8й 1), / = Ііт /п в Трк(8й 1) {/п} с С(8й-1). Тогда
Ііт
/ / |/(ж) - /(у)|рСк(ж,у) ёстк(ж)ёстк(у) =
'§^-1 ,/§^-1 ОО л л
УДд™ / / |/п(ж) - /п(у)|рТт(к;ж,у)ёстк(ж)ёстк(у))
^' V /^-1/^-1 /
|-т=0
Доказательство. Ввиду ограниченности по лемме 4 линейного оператора Тск из Тр, к(8й-1) в Трр,ск, к(8й-1 х 8й-1) и сходимости последовательности функций {/п} с С(8й-1) к функции / в пространстве Тр,к(8й-1) имеем
Отсюда
то есть
ТСк/ = Ііт ТСк/п в Трр,Ск,к(8й-1 х 8й-1).
||ТСк / ||рр,Ск,К = Ііт ||ТСк /пЦрр.Ск.к,
І I |/(ж) - /(у)|рСк(ж,у) ёстк(ж)ёстк(у) =
/в^-1 У^-1
и
lim
/ / lfn(x) - /n(y)|PGK(x,y) dCTK(x)dCTK(y) . (25)
/§d-1 ,/§d-1
Учитывая (25), для доказательства леммы остается показать, что
|/п(ж) — /„(у)|рСк(ж,у) ёстк(ж)ёстк(у) =
Jn\
/Sd-w Sd-1
сю
^2 9т I I |/n(x) - /n(y)|pPm(K;x,y) daK(x)dCTK(y). (26)
ygrf-^Sd-1
m=0
d-1
Так как для всех у €
/ |/п(ж) — /п(у)|рСк(ж,у) ё^к(ж) = (|/п(-) — /п(у)|р *к з)^ (27)
то по неравенству Юнга (предложение 2, следствие 1)
СЮ
(|/п(') — /п(у)|р *к #)(у)=^ Зт(|/п(') — /п(у)| *к <5™ )(y), у € 8^-1 (28)
т=0
(поточечная сходимость частичных сумм). Пусть
^9(у) = X] (|/га(') — /п(у)|р *к <т) (у).
т=о
Тогда из (27), (28) следует
/ / |/п(ж) — /га(у)|рСк(ж,у)ё^к(ж)ёстк(у) = / Пт 5,(у)ёстк(у).
У^-1 У^-1 У^-1 9ПГО
(29)
Для получения представления (26) достаточно обосновать возможность предельного перехода в интеграле в правой части равенства (29).
Очевидно, что
я
< ЛК
*к I / ^
т=о
|Sq (У)| < (|/га(') - fn(y)|P |E9mCm ) (У) •
Поэтому для всех q € N0
|Sq| < sup sup (|/n(-) - fn(y)|P *k|E 9m<^mK)(y). (30)
yeSd-1 q€N0V m=0
Выберем произвольное e0 > 0. Для данного e0 > 0 существует номер N0 € € N такой, что
9 — 9m(Crm
т=0
< ^0.
1,[-1,1],Лк + 1/2
Отсюда по неравенству Юнга
| у —
Vq ^ ^ (|/n(-) - /n(y)|P 9m<^mK ) (У) < |||/n(-) - /n(y)|P|^>Sd-1 кх
т=0
£ 9mCm 1 ,[-1 ,1] .Л. + 1/2 ^ ||/"(') - /"(y)|P" ■ ■ "d- -Х
п\ ) Jnyyл 11^ sd-1,к
т=0
q
х(УдУ1,[-1,1],лк+1/2 + I9 - Е L^+J <
т=0 ’1 к
^ ||/n(') - /n(y)|P|^Sd-1K (УдУ 1,[-1,1],Лк + 1/2 + £0). (31)
Пусть
N = 0<i<NK-X^9 - I] gmCm ||1,[-1,1],Лк + 1/2,е^ .
<*< 0 т=0
Тогда из (31) следует оценка
suP (|/n(-) - /n(y)|P *к |£ 9mCm )(У) <
im=0 у
^ ||/n(-) - /n(y)|P|^Sd-1K (|g| 1,[-1,1],Лк + 1/2 + N), y € 1. (32)
Так как
suP ||/n(-) - /n(y)|P|^gd-1K < 2P m<JXi |/n(x)|P
yggd-1 ’ ’ xeSd 1
то из (30), (32) для всех д € Мо
|^9| < 2р таХ_ |/п(ж)|р (||0||1 ,[-1 ,1] ,Лк + 1/2 + ^).
戧d 1
Теперь для обоснования возможности предельного перехода в (29) остается воспользоваться теоремой Лебега о мажорированной сходимости.
Лемма доказана.
Лемма 8. Пусть
ОО ОО
^ (^ ^ № в ^2,Лк+1/2[ 1 1],
п=о п=о
ио = 8о = 1, Пп ^ 5п, П € М,
— непрерывные неотрицательные функции на отрезке [—1,1], ик(ж,у) = УК[и((ж, -))](у), 5к(ж,у) = УК[в((ж, -))](у).
Тогда для любой функции / € Тр,к(8й при 1 ^ р < 2
I I !/(ж) - /(у)|р и„(ж,у) ёстк(ж)ёстк(у) ^
.У^-1 У^-1
/ !/(х) - /(у)|р £К(х,у) ёстк(ж)ёстк(у).
,/§^-1 ,/§^-1
Доказательство. По лемме 7
I I !/(ж) - /(у)|р [и„(ж,у) - 5К(ж,у)] ёстк(ж)ёстк(у) =
У^-1 .№-1
г го /. /.
Нш
п^-го
У(ит - «тМ / |/п(х) - /„(у)|рРт(к; ж, у) ёстк(ж)ёстк(у)
У^-1 У^-1
(33)
Отсюда, учитывая условия леммы и лемму (2), получаем, что предел в (33) неположителен.
Лемма доказана.
Замечание 1. В лемме 8, как и в лемме 3, можно потребовать сходимость соответствующих рядов в пространстве ^1,дк+1/2[-1,1], а не в ^2,лк+1/2[-1,1]- Условие и0 = £о = 1 также несущественно. В силу свойств оператора сплетения Данкля УК достаточно потребовать только, чтобы и0 = з0 > 0.
Известно (см., например, [5, р. 22,23], [24, теорема 1.10, с. 38]), что
СПК (-*) = (-1)ПСЛК (*), (34)
СПК (т«,д) > 0, п = 0,1,...,Д - 1. (35)
Для произведения СПк(£)Стк (^) (Лк > 0) справедлива формула
линеаризации [25, теорема 6.8.2, с. 298]
тт (п,т)
Е а(1,П,т) СП+т-^ а(1,п,т) > 0- (36)
'(Лк (+)/—Лк (+) ^ ' ~(7 п т) с-Лк
1=0
Рассмотрим многочлен степени Д - 1
Д-1
Е <^п>к (тк,Д) СПК ф-
п=0
Применяя формулу Кристоффеля-Дарбу [24, теорема 1.5, с. 22], [25, теорема 5.2.4, с. 236], можно установить, что
«И = йя, йя = (2Лк + 1>в-1С-’н-1<Тк,«> > 0.
Я(- Т«,я’ Я (Д - 1)!
Пусть
,Я—1 ч 2 / с-л
Я
t - Тк,Я
-(£) = С-п,к С-ПК (тк,Я) (£)) = ЙЯ ( /СЯтК)) , -1 ^ £ ^ 1- (37)
п=0 к Я
Соотношения (16), (35), (36) говорят о том, что в есть многочлен степени 2К - 2 вида
2Я-2
—(£) = Е -п <Лк (£) ^ 0, -1 < £ < 1, — > 0, п = 0,1,---, 2К - 2, (38)
п=0
где 5п — коэффициенты Фурье в разложении функции 5 в ряд по ортогональной системе {СПк }
~ 1 [1 ~
—п = ||С-Лк||2------------ 5(£)СПк (£) dmЛк+1/2(t),
||Сп'1 112,[-1,1],Лк + 1/2 —1
или, учитывая [1, формулу (17)],
—п = Йп,к J —(^)(—Пк (£) ёШЛк+1/2(^), П = 0,1,---, 2К - 2. (39)
Коэффициенты Фурье —п многочлена — подчиняются следующим
неравенствам, доказанным в [16, с. 25-27].
Лемма 9. При п = 0,1,..., К - 1
-п С-п,кС-пк (тк,Я)-0-
В [10, с. 348-349] построена непрерывная функция на отрезке [-1, 1] со специальными свойствами, которая позволила А.Г. Бабенко доказать неравенство Джексона в £2 на сфере 8^-1. Придерживаясь предложенных в данной работе обозначений и нормировок (нормировочных констант при определении функциональных пространств), эту функцию можно записать в виде
го
5№ = ^ 5п" СО в £2,Лк+1/2[-1, 1]-
п=0
Для нее выполнены свойства:
1) —(£) ф 0, —(£) ^ 0;
2) —(£) = 0 при £ € [-1, ео8 2£к,Я];
3) —п = <к<5пк(тк,Я) /Тк Д СДк(£)Спк(£) dmЛк+l/2(t), п = 0 1, - - -;
4) 50 > 0, 5Я = 0, —п ^ 0 при п > К.
Так как _ _
|с-пк(£)! < СЛ(1) = 1, -1 < £ < 1, п € N0,
и
Спк (£) > 0, £ € [тк,я, 1], 0 ^ п ^ К - 1,
то по свойству 3) функции и имеем при п = 0,1,..., Я — 1
^ Йп,кСПк (тК)Д)/ С^к (£) ЙШЛк+1/2(^) = с^кС,^ (тк,я)«о- (40)
Утк,Д
Используя накопленный материал, получим оценку сверху константы Джексона К(2£К,д, 2Я — 1)Р,§^-1,К при 1 ^ р < 2.
Положим
{/к(х,у) = К
и((х, •))
ио
(у), 5 (х,у) = К
«((х ■))
«о
(у), х,у € 1.
Функция 5 удовлетворяет условию леммы 6, что следует из (38), поэтому
II/ — %/ Ир*-.» « 2_1/р'К./ 11ррД,,« =
= 2_1/Р’ ( / / |/(х) - /(у) |Р'5к(х, у) dff*(x}d<7*(y}
ЧУ§^-1 У §^-1
1/р
(41)
Функции ик и 5 удовлетворяют условиям леммы 8, если учесть лемму 9, соотношения (38), (40) и свойство 4) для коэффициентов функции 5, поэтому
/ / I/(х) - /(у)|р»5к(х, у) dстк(ж)dстк(y) <
У§!-1 У§!-1 I I/(х) - /(у)|ри5к(х,у) dстк(ж)dстк(y). У^-1 У^-1
(42)
Используя определение и свойства функций ик и 5, определение модуля непрерывности ш(£, /)р,§^-1,к (12), определение свертки двух функций (10) и неравенство Юнга (предложение 2), свойства обобщенных сферических средних МК (предложение 3), выбирая р ^ 2ЛК + 1 и пользуясь свойствами средних Чезаро 5П(к; /) (предложение 1), получаем
/§^-1 У§^-1
I/(х) - /(у)|РЦ/„(х,у)dстк(х^стк(у) =
1
/у,р(х)С/к(х,у) dстк(x)dстк(y) = — (/у,р *К и) (у) dстк(у) =
/§^-1 У§^-1 и0 У§^-1
1
— Нш
50 У§^-1
О(к; /у,р) *к 5) (у^ =
= и1 [ Иш (/ М [>П(к; (-))] (у) 5(т) ^Лк+1/2(тЛ =
«о У§^-1 /
1 гг 1
МТ [/УрО] (у)и(т) ^Лк+1/2(т= МК [/У,Р(')] (у) ^к(УМ™Лк+1/2(т) =
и0 и §^-1 и _1
Г1 5(т)
/_1 ио У§^-1
1
= / M [/y,p(')](y) dCT«(y)dmAK+1/2(T) <
./cos25K,R u0 7§d-1
< SUP f MTK[/y,P(')](y) d^(y) / ^ dmAK + 1/2(t) =
COs2^K R^T:$C1 VSd—1 7 — 1 j0
sup f MCOs0 [/y,p(-)](y) d^K(y) = wp(2^,/)P;gd—1. (43)
0^0 ^2<SK R УSd—1
Объединяя оценки (41)—(43), получим
llf - ASK/ llp,Sd—1,k ^ 2 1/p w(2^K,R> /)p,Sd—1,K- (44)
Из определения ядра SK оператора Ag и (15)
A§ / (x) = / (y)S’'«(x,y) d^(y) =
./sd—1
2R—2 ~ jra
~ /(У)рзп(к; x,y) d^(y) =
П=0 S0 -^—1
2R—2 ~
'Yh /(У)рП(к; x,y) d^KЫ =
n=0 S0(Xn,K -/Sd—1 2R—2 ~ 2R—2
E Prn(K;/,x) G S АП(к)-
S0(X„
п=о '->ои'п,К п=о
Отсюда и из определения величины наилучшего приближения (8), оценки (44) получаем неравенство Джексона
Е2Я_1(/)р,§^-1,к ^ ||/ - /||р,§^-1,к ^
< 2_1/р'и(2^,д, /)р,8^-1,к V/ € Тр,к(§й_1),
К(2^к,д, 2Я - 1)р,§^-1,к < 2_1/р', 1 < р < 2.
т. е.
Jp,S“~\к ^ ■“ ! ^ ^ Р
Теорема 1 доказана.
Список литературы
1. Вепринцев Р.А. Некоторые вопросы гармонического анализа Данкля на сфере и шаре // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С.6-26.
2. Dai F., Xu Y. Approximation theory and harmonic analysis on spheres and balls. Springer: New York, 2013. 440 p.
3. Xu Y. Weighted approximation of functions on the unit sphere // Constr. Approx. 2005. V. 21. P. 1-28.
4. Li Zh., Song F. Inversion formulas for the spherical Radon-Dunkl transform // SIGMA J. 2009. V. 5. № 025. 15 p.
5. Dunkl C.F., Xu Y. Orthogonal polynomials of several variables. Cambridge University Press, 2001. 390 p.
6. Xu Y. Approximation by means of h-harmonic polynomials on the unit sphere // Adv. Comput. Math. 2004. V. 21. P. 37-58.
7. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 71-74.
8. Черных Н.И. Неравенство Джексона в Lp(0,2п) (1 ^ p < 2) с точной константой // Труды МИРАН. 1992. Т. 198. С. 232-241.
9. Бердышев В.И. О теореме Джексона в Lp // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 3-16.
10. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2 функций на многомерной сфере // Матем. заметки. 1996. Т. 60. № 3. С. 333-355.
11. Горбачев Д.В. Точное неравенство Джексона в пространстве Lp на сфере // Матем. заметки. 1999. Т. 66. № 1. С. 50-62.
12. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp, 1 ^ p ^ 2 с
периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 5-27.
13. Иванов В.И., Лю Юнпин Оценка снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 ^ p ^ 2 с периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 59-69.
14. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина для L2-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах // Изв. РАН. Сер. Матем. 1998. Т. 62. № 6. С. 27-52.
15. Вепринцев Р.А., Иванов В.И. Точное неравенство Джексона в пространствах Lp, 1 ^ p < 2, на сфере со степенным весом // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Междунар. науч. конф. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 38-43.
16. Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения. Тула: Гриф и К, 2005. 192 с.
17. Иванов В.И. Приближение в Lp полиномами по системе Уолша // Матем. сб. 1987. Т. 134. № 3. С. 386-403.
18. Иванов В.И. О модуле непрерывности в Lp // Матем. заметки. 1987. Т. 41. № 5. С. 682-686.
19. Иванов В.И., Пичугов С.А. Приближение периодических функций в Lp линейными положительными методами и кратные модули непрерывности // Матем. заметки. 1987. Т. 42. № 6. С. 776-785.
20. Иванов В.И. Приближение в Lp кусочно-постоянными функциями // Матем. заметки. 1988. Т. 44. № 1. С. 64-79.
21. Иванов В.И. О приближении функций в пространствах Lp // Матем. заметки. 1994. Т. 56. № 2. С. 15-40.
22. Иванов В.И. Представление и приближение функций в среднем: дис. ...д-ра физ.-мат. наук. Тула, 1994. 212 с.
23. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 336 с.
24. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979. 416 с.
25. Аски Р., Рой Р., Эндрюс Дж. Специальные функции. М.: МЦНМО, 2013. 652 с.
26. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: ГИФМЛ, 1962. 500 с.
Вепринцев Роман Андреевич (veprintsevroma@gmail.com), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Jackson inequality in the spaces Lp on the sphere with Dunkl
weight
R. A. Veprintsev
Abstract. The upper estimation of Jackson constant in Lp-spaces, 1 ^ p < 2, on the unit Euclidean sphere Sd-1 in Rd, d ^ 2, with Dunkl weight function, similar D.V. Gorbachev estimation in the case without weight, is obtained.
Keywords: Jackson inequality, Jackson constant, Euclidean sphere, Dunkl weight function, K-spherical harmonics, best approximation, modulus of continuity, generalized spherical means, convolution.
Veprintsev Roman (veprintsevroma@gmail.com), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 20.09.2013