CC BY
22
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 25-41 = Математика
V IК 519.4
Теорема Джексона в пространстве Ь2(Та) с весом Якоби
А.В. Иванов
Аннотация. Доказывается точное неравенство Джексона для наилучших приближений тригонометрическими полиномами в пространстве Ь2 на многомерном торе
Тсг
с периодическим весом Якоби
а
П | йт ж*|2“<+1, а* > —1/2, 1 = \
Ъ = 1
Ключевые слова: многомерный тор, пространство Ьг, периодический вес Якоби, тригонометрические полиномы, наилучшее приближение, модуль непрерывности, неравенство Джексона.
Введение
Пусть (I 6 N Т = (—7г, тг}а — ^-мерный тор, а = (а 1,... , а^) € М, сс* ^ —1/2, г = 1,... , (I, х = (ж1,..., ж^) € Т*,
(I
г;а (ж) = | вт |2а<+1
Ъ—1
— многомерный периодический вес Якоби (ультра-еферичеекий вес),
Т
Т
конечной нормой
Т
(/1 §)а = [ /(ж)йг(ж )йиа.
Jтd
Наша цель — доказать точное неравенство Джексона между величиной наилучшего приближения функции тригонометрическими полиномами и ее
Т
Т
Т
Джексона в пространствах 1/2,а(Т), а > —1/2 для четных функций были доказаны А.Г. Бабенко [3], а в общем случае Д.В. Чертовой [4]. Мы будем использовать эти работы.
1. Полная ортогональная система тригонометрических полиномов в Ь2,а(ТЛ)
Пусть а ^ —1/2, Рпа,а\і) — ортогональные многочлены Якоби на отрезке
[-1,1] с весом (1 — £2)а, для которых Рпа,а\і) = 1 [5], (Рп{%) = Рпа,а\совж) — четные тригонометрические полиномы порядка п.
Полином <р„(х) [5] удовлетворяет дифференциальному уравнению
у"{ х) + + 1 у'{х) + п(п + 2 а + 1)у{х) = 0. (1)
т;§ х
В пространстве 1/2,а(Т) построена полная ортогональная система тригонометрических ПОЛИНОМОВ {е“(ж)}пе2 [4], где
ео(ж) = 1, е°(х) = <р°(х) - ——! ЛУп(ж))',
у п(п + 2а + 1)
е-„(ж) = Є“(ж) (п Є N). (2)
Для нее справедливы следующие свойства:
е“(0) = 1, |е“(ж)|^1, е“„(ж) = е“(ж) = е“(-ж),
/ае“(ж) = г«(ж).
Здесь _______________
= sgn n^/|n|(|n| + 2а + 1),
/<,«(х) = ^) + (а + 1/2)*ЬіЬ^.
tg ж
При а = —1/2 система {е“(ж)}гаЄ2 превращается в систему экспонент
f „іпх\
Iе IneZ-
Оператор 1а для веса | віпж|2а+1 определен в [4] по аналогии с дифференциально-разностным оператором Данкля [6, 7] для веса |ж|2а+1:
Day(x) = у'(х) + (а + 1/2) У(Х)~У(~Х) .
ж
Для его квадрата справедливо равенство
т2 г \ /// ч , 2а+ 1 f , у(х) - у(-х) \
1пу(ж) = у (ж) Н-------< у (ж)--------;— ----- > .
аУК 1 У w tg ж w sin2ж /
В частности,
= «)2е“(ж) = M(|n| + 2а + 1)е“(ж). (3)
Теорема Джексона в пространстве Ьъ (Т1*) с весом Якоби
27
На четных функциях совпадает с оператором Якоби из (1)
12ау{х) = у"{ ж) +
Пусть п = (п1,..., па) € х = (ж1,..., х^) € Т, а = (а 1,..., а^) € ^ —1/2, г = 1,... , ё. Положим
е“(®)
(4)
Система {е“(ж)}Т1е2сг является полной ортогональной системой тригонометрических полиномов в пространстве Ь2,а(Т). Для нее выполнены свойства
е“(°) = !, 1е“(ж)1 ^ !, е“(ж) = е-п(ж) = (5)
Для любой функции / 6 ^аСТ^) справедливо разложение в ряд Фурье
/(®) = ^2 /» = //а’ееа\а • (6)
п62<»
Рассмотрим дифференциально-разностный оператор
г / \ т2 ( \ Г / \ (2СК* + 1)
ЬаФ) = 221аМХ) = 22\Щ^)+ Х
Ж*
і и{х) • • • , ж*—1, Ж*, Ж/— 1 • • • • , Ж<*)
х I — (ж
дх і віп 2ж
Согласно (3)
~ЬаЄ°(Ж) = еп(х) = Ы(Ы + 2аг + еп(х) =
= //»<( ж).
На функциях, четных по каждой переменной, оператор Ьа совпадает с дифференциальным оператором
т ч / \ V Г / \ , (2аг + 1) ди I Ьпи(ж) = > { ТГ^оІЖН------------------7;---(ж) > .
^ \^ж2 *§Жі ажі'' ;/
(?)
В пространстве 1/2,а(Т^) рассмотрим подпространство Щ а(Т°г) четных по каждой переменной функций. В нем полную ортогональную систему образуют функции
іі
<Рш{х) = Х\<Рші{хі)-, т = (ті,...,т(і)б2^ (8)
І—1
Для функции f 6 Щ а(Тсг) справедливы разложения
и = ^ , (9)
Гт/а
(/,е“)а
(е“5е“)а'
Как связаны между собой коэффициенты этих разложений?
Пусть т 6 тгг,... ,гпгв^ — ненулевые координаты т, 8(т) — их число, /у» = {—1,1},
ЛШ = {£ = (£ь • • • , £сд е Е$ : 61,,..., £гНт} Е Е2, а остальные е* = 1},
Лто = {ет ЕЪЛ : ет = {е^т^,... , елтл),е е К'т}.
Мощности множеств Лто, А'т равны
I д | _ | д/ | _ ов(то)
\1'т\ — \1хт\ — ^
Справедливы равенства
<(ж) = 2^0 £ е“(ж) = 2^0 ^ е“га(ж) = пеАт еёЛ'т
= ^0 X е™(еж)’ еж = (£1жь • • •> е*хл).
Если п 6 Ат, f 6 Ща( Т^), тол = ет, е 6 Л'т и
(С е“)а = (е?т, е“га)а = (е“ (еж), е“ (еж))а = (С , е“ ),
(/> Оа = (/(ж), е“ (еж))а = (/(вж), е“ (бж))а = (/, е“)а,
1
/,ла ,ла
УРгтФ
т/о
(Е <• Е <)
\п.€Лт га€Лт /
22«(то)
\ м /“ л м /“ л —
т / а
= ___1е<*\ — ___________1_(ра е<*\
22в(т) \^п1^п)а 2«(™) ' т т'С
(лл)« = ^ Е (/•<)« = (/•<)=
пеЛт
Поэтому для п 6 Лто и / 6 Щ а(Т^)
Т (/.<)« (/»Ута)а 1 7 ппч
(ей,е“)а 2*(-)(^“,^)а 2*(та) 1 '
Отметим также, что из (1) и (9)
(ж). (11)
2. Модули непрерывности в L2,a(Td)
Модули непрерывности в пространствах, в которых нет группового сдвига, определяются с помощью операторов обобщенного сдвига.
Вначале рассмотрим случай пространства L2,a(T), а ^ —1/2. В [4] для а > —1/2 определены два оператора обобщенного сдвига Т*, т*, i G T равенствами
TtaHx) = Y,fn<P н(*К(я), (12)
Ta/(®) = X (13)
Они действуют в пространстве Ь2а(Т) и их нормы равны 1. Если а = —1/2,
то они превращаются в операторы сдвига
Tt1/2f(x) = ^{/(ж + *) + /(ж - *)}, т* 1/2/(ж) = /(ж + *).
При a > —1/2 их интегральные представления [4] имеют вид
Г*/(®) = у /"{ЯМ1 + В) + /(-^)(! - £)}(sin0)2ad0, (14)
тУ(х) = у J + С) + — С)}(1 — cos 0)(sin 0)2ad0, (15)
где
= v^°a;11)/2).
ф = arccos(cos ж cos t + sin ж sin t cos 0),
sin ж cos t — cos ж sin t cos в sin (ж + t)
£3 : ' j О ; " 5
sm ip sin ip
причем, если sin ф = 0, то считаем В = С = 0.
Записи (14), (15) для операторов Т„, будем использовать и при ск = —1/2, имея ввиду, что
П1/2/( ж)= lim T^f(x) = ^{/(ж + i) + /(ж — t)},
' а—>—1/2+0 2
т!1/2/(ж)= lim rtaf(x) = f(x + t).
' а—>—1/2+0
Пусть теперь ё > 1, 1,х Е Т, о: 6 М, о:I ^ —1/2, /(ж) 6 Ь2,а(Та). Используя (4), (6), (8), определим многомерные варианты операторов (12), (13) равенствами
ТУ(Х) = X ^С(*) X (16)
тех! пвА 771
;/(®) = Yl /«е“(*)е“(ж)- (17)
n&Zd
Согласно (14), (15) их интегральные представления имеют вид
Tif{x) =7fi J ■■■ J ^2 ГК1 + £гВг)1(£Ф) П(- 6i)2aide 1 • • • ded, (18)
[0,тг
'га/(ж) =тр[ /•••/ X n(1 + ei<:7i)^(e^)r[(1 _COS6,i)(Sin6,i)2a< х
[0,7r]d 6^E2 1=1 1=1
x d9i... dOd, (19)
где
Ca = cai . . . Cad, бф = {е\Ф\, . . . , б^Ф^у
фг = arccos (cos Xi COS ti + sin Xi sin ti COS 6i) ,
D sin Xi COS tj — COS Xi sin £j COS 0i ^ sin (Xi + ti)
•'i = : ; j ( i = : ; j
Sin ipi Sin ipi
причем В, = С, = 0, если sin ф = 0.
Если f E L,2!Ct(Td), то согласно (18), (16), (10)
Tlf(x)=ca j - J }{Ф)Х\{ыъвг)2аЧвг. . .d9d,
[0,7T]d *_1
Т*<(ж) = <(*)<(.), (20)
ПН*) = J2 Vmlm J2 en(X) = J2 fnVmWVmi?)-
meZf neAm meZf
Отметим следующие свойства операторов (16), (17):
Til = тга1 = 1, (21)
если /(ж) ^ 0, то 7^/(ж) ^ 0, (22)
(TU(x))n = <РтШп (пеЛга), (Т*/(ж))п = е“(*)Д, (23)
СTif,g)a = (f,Tig)a, (24)
[ Ttaf(x)dva(x)= [ Ttaf{x)dua{x) = [ f(x)dva(x). (25) JT JT JT
Свойства (21), (23), (25) вытекают из определения операторов Т^, г„. Свойство (22) — из интегрального представления (18) и неравенств \Bi\ ^ 1, i = 1.....d. Свойство (24) — из (15) и обобщенного равенства Парееваля
[ f{x)g(x)dva(x) = ^2 fngn{eZ,e“)a. (26)
Пусть ||ж|| = ||(ж1, • • • , ж^)|| — норма в R, четная по каждой координате жь • • • ,xd, г > О
Вг = {ж 6 R : ||ж|| ^ г},
supp / — носитель функции /(ж) (/(ж) = О, Ж е T \ supp /).
Отметим, что ||ж|| = ||(|жх|,... , |ж^|)|| и ||ж|| неубывает по каждой координате в R+.
Лемма 1. Если г,5 > 0, Вг+$ С supp / С ВГ! t Е В$, то
supp Т*/ С Br+s, supp т‘/ С Br+s.
Доказательство. В интегральных представлениях (18), (19) операторов Тц, Тц у функции /(ж) участвуют аргументы
£1^1,... ,£d^d, e = (ei ,...,ed) Е Е$,
поэтому достаточно показать, что если ф = {ф\,..., ipd) ||ж|| > г + 5, то \\еф\\ = H(eiV’l) • • • £афв)\\ > Г. Если ! = 1,...,(1и |Жг| ^ 7Г, |t*| ^ 7Г, ТО
фг = arccos (cos Xi COS ti + sin Xi sin ti COS 9i) ^
^ arccos (cos |ж*| cos |ij| + sin |ж*| sin |ij|) =
= arccos (cos (||ж*| — |i*||)) = ||ж*| — |i*||.
Согласно четности и неубыванию нормы по каждой координате для t Е Bg будет
ЦеФЦ = ЦФЦ ^ IKINil - |*i||,..., ||ж^| - \td\\)\\ =
= IKNii - |ti|,..., |ж^| - |td|)|| ^
^ IKNI,..., |ж^|)|| - ||(|*i|,..., \td\)\\ = ||ж|| -1|*|| > r.
Лемма доказана.
T
f)2,a = {Ti\f{y) - /(ж)|2) \y=x dva{xyj , (т‘|/(У)-/(ж)|2) \y=xdva(x)j .
Так как из (21)
(т! 1/(9) - №)|2)|„=1 = т;|/(х)|2 - 2Ъ*Нх)т‘/(х) + |/(х)|
то согласно (25), (26)
^1(*> /)2,а = 2 ( [ \f(x)\2dva(x) - 11е [ f(x)тtaf(x)dva(x/
\«/^ «/Т1*
= 2^(е“,е“)а|/Т1|2(1-Еее“(*)).
п&а
Аналогично
п?(‘,/к« = 2 £ (!-Л(*)) Е
тьбЛт
Модули непрерывности определим равенствами Ш1(<5, /)2,а = йир Ох(*, /)2,а,
Ш2(^, /)2,а = йир 02(*, /)2,а-teвs
3. Теорема Джексона в Х2,а(ТЙ)
Для любого Я > 0 определим множество
(27)
(28)
(29)
(30)
Уд=<|жёКа: /ха(ж)
d 'I
|Жг|(|Жг| + 2ctj + 1) < R2 > .
i=1 J
^д(/)2,а = inf
Оно является выпуклым, симметричным относительно координатных плоскостей телом.
Пусть
Я®) - апеп(х)
nevя 2,а
T
рическими полиномами со спектром в Уд.
Имеем Л
EUfh,a= Е (е“>е“)-1/-|2- (31)
/ха(тг)^Я2
Метод доказательства точных неравенств Джексона в пространствах h >
T T
полнены свойства
1) h(x) ^ 0, fTd h(x) dva{x) > 0, (32)
Теорема Джексона в пространстве Ьъ (Т) с весом Якоби
33
2) вирр/г С (33)
3 (34)
Для / е Ь2,а(Т<г) рассмотрим интеграл
Л = [ п1(г, /)2,а^(*)сгг/а(*).
Т
С одной стороны согласно (32), (33), (29)
■Л ^ (<5,/)2>а [ /г(*)с?г/а(*).
Т
С другой стороны согласно (28), (31), (32), (34), (9)
Т
гЄ2^ ^ Я габЛ„
>0 Ч I /1 ,„а І4-\\иІ4-\ Л,. (4-\ Ч ' „а\|? |2
2 X /еі(1 - ^т(*))^(*)^а(*) X (Є“’Є“)І/«
р,а(тп)'^№‘ Т пЄЛт
>
Т ца(т)^К2 п.ЄЛт
(/)2,а [ /г(*)с?г/а(*)-•/Тй
>
Т
Поэтому
£7д(/)2,а< ^=«1(<5,/)2>а. (35)
[ 0|(і,/)2>а/г(і)сгг/а(і), «/Т*
Аналогично, если
П
то с одной стороны
^^и%{б,^2,а [ ь(г)с1^а(г).
Т
С другой стороны согласно (27), (31), (32), (34), (10)
^ = 2^2 (е“,е“)а|/п|2 / (1 - Кее*{Ь))Ь{Ь)(1рС1{г) ^ X (е“’е“)1/«12 / (1-Кее“(*))л(*)«г1/а(*) =
м“0)^я2 Те!
= 2-Ед(/)2,а [ Л(*)«Ы*)- 5; (е“,е“)2|/п|2(Лп + Л-п)
Т* р,а(п)^К2
2Я|(Я2,«ДмО^«М-2 £ ^
Т 11а(гп)'^К?‘ пбЛга
г(/)2,а [ Л(*)Й1/а(*).
Т
Поэтому
%(/)2,а ^ ^=«2(<5,/)2>а. (36)
Таким образом, задача сводится к построению весовой функции /г(ж) с возможно меньшим носителем В$, 5 = 6(К).
Пусть В сТ — компактное, выпуклое, симметричное относительно координатных плоскостей тело с кусочно-гладкой границей дВ.
Нам понадобится следующий вариант известной формулы Грина [8].
Лемма 2. Если для функций и,у: В —> М выполнены условия
1) и’У’ ш;> Ш1> 7а4«» е Ь2,а(В)> г = 1,...,с1,
2) и! V, ^ абсолютно непрерывные ПО Хг, I = 1.........(I,
то
/ (и(х)Ь2у(х) — у(х)Ь^и(х))уа(х) йх Л В
/ (
JдB \
) г,“(®)вг<7(®>> (з?)
где ^ — производная и по внешней нормали к дВ. Доказательство. По условию
О = Е7^ е ь2,а(в).
Для почти всех ж
1ау( ж) = Г-:-1о—ГГЙ— ( I вш Ж* I ———
|8тж|2а*+1 0Жг \ поэтому
/ и(х)Ь'^у(х)уа(х) (1х =
Л В
= У' [ и(х)^- (\8тХг\2щ+1^^-')Г\\8тх,\2^+Ых = У^
дХ^ дХ^)фг и
Пусть ж* = (жх,... , ж*_1, ж/_].... , ж<$), В* — проекция В на плоскость Хг = 0, дВ = Sf и Й'г,
^ = {(Ж*> Хг) : Хг = ^Рг{хг), Ж* € В*},
$і = {(ж*> ®і) : %і = Xі Є Вг},
функции ірі(хг) — кусочно-гладкие в Вг.
Если Щ = (1, 0,... , 0),... , ёа = (0,..., 0,1) — базисные векторы в п — внешняя нормаль к поверхности дВ, то на
±1
сов п, є,-
сІа(х)
\
1 + Е.,'/,- (§^(®г))
Применяя теорему Фубини и формулу интегрирования по частям, полу
чим
/ ]>Ш (/_
дФг '
= /.Пі”
і В' ,
Ї’ІО4) ^ І) и( ж'
8ІпІіГ.Миіі
0Ж,- \ 0Ж,-
ЯП |2“і+1 ( и((жг, ¥>*(®*))) ((жг, ¥>і(®*)))
-и((жг, -<Рі{хг)))-^{{хг, -<Рі(хг))) ) І вігі <^і(жг)|2аі+1^жг-
+1 ( в»ы М5)|8.П1,|*.1+1*Л Лхі
.ф. дхі дхі )
вІПЖ^І20^
Отсюда
/ .Пи
Л Вг /
дФг
= / и{х)^^ соя {п,Єі)уа{х)<1а - / ^(ж) д^х\а^х) (іх.
іав <9ж* ів <9ж* дх і
/ и(х)Ь'^у(х)уа(х) (їх = їв
ів <м*> - Ів Е ^ ^ ”«(*> <'*•
Аналогично
/ у(х)Ь'^и(х)уа(х) сіх J в
=!авЛх)Ч^“‘{х)ли{х)- 1в%^^',‘{х)лх-
Вычитая эти два равенства, получим формулу Грина (37). Лемма доказана.
Пусть шары В$ С Т, определяемые нормой ||ж|| в М, четной по каждой координате, имеют кусочно-гладкую границу дВ$.
Для оператора рассмотрим задачу на собственные значения -Ь^и(ж) = Хи(ж), ж 6 В$,
{
(38) и\дв6 —
Сделаем следующие предположения:
1. Существует единственная собственная функция и^(х), четная по каждой переменной, отвечающая минимальному положительному собственному значению А^й).
2. Собственная функция
и?(ж) ^ 0 (ж € £$)> ®и1(х) ^ о (ж 6 дВ$). (39)
3. Собственное значение А^й) непрерывно и убывает по 5 > 0, А^й) —>• +оо (5 —>• 0 + 0).
4. Для и±(ж) выполнены условия леммы 2.
Продолжим г^(ж) нулем на Т. Тогда виррг^ С В$. Следуя В.А. Юдину [2], построим весовую функцию /г(ж).
Пусть Я > 0 и йд > 0 таковы, что #25я С Т, А^йд) = В?. Применяя лемму 2 для функций г^я(ж), <р^п{ж), получим
[ («1 Н(х)Ь1(Рш(х) - ^ш(ж)£а«1Д(жЖ(ж) ^Ж =
',в*н
= 1„В
°я
Согласно (11), (38)
(А1(5д) - (ла{т)) [ г^я(х)(р^1(х)уа(х) йх Jтd
ди^я(х)
Vш(х)—к:—ьа(х) йа(х), (40)
двн
причем при А^йд) = В? = ца{т)
[ &{х)??£&ьа(х) Лг(х) = 0. (41)
JдвR ип
Рассмотрим функцию
0м?яМ
^а“1 '
1дВн
По лемме 1
вирр/г С В2гд.
к(х) = -[ Т>?"(х)^£^»„(()^(().
о'п
Теорема Джексона в пространстве Ьъ (Т) с весом Якоби
37
Согласно (39), (22)
/г(ж) ^ 0 (ж 6 Т), I /г(ж) с?г/а(ж) > 0.
Jтd
Применяя (20), (24), получим
(Л>¥С)« = ^^Т*4д(ж)^т^г;а(*)^(^ (ж)^г/а(ж) =
= -/вв (^^^Д(®Х(®)^а(Ж)) Аф) =
-1дв (^4Д№К(®)^а(Ж)) Аф) =
= 1вв ^дп^Уа^ (/ег“1Я(ж^™^^™(ж^г/а(ж)) =
= -/ Ута(*) М*) Л*т<Н, <Рт)а-
ивв ип
Если ца{т) = Я2, то из (41)
(Л,¥>т)а = 0.
Если ца{т) ф Я2, то из (40)
(Л’*’™)" = Д^-м°(т) (/ввЛМ^^""(1)<Ь(з:)) ■
В частности, при ца{т) > Я2
{Ь>,<Рт)а ^ 0.
Таким образом, для /г(ж) при 5 = 5д выполнены все свойства (32)-(34)
Т
неравенства (35), (36):
-Ед(/)2,а ^ -^Ш1{2>5{1, /)2,а, -Ед(/)2,а ^ -/|Ш2(2с)д,/)2,а•
Приведем пример нормы в М, в случае которой для задачи на собственные значения (38) выполнены все предположения.
е£
Пусть а = (й1, ... , а^), 0 < < 7г, Па = ]^[ [—а^, а^] — параллелепипед в
г=1
М, ж е М,
|ж|| = іп£ |л > 0 : — Є Пс
ж
Л
норма в М, порожденная Па.
Шары
Bs = {x eRd :\\х|| ^ <5} = <Ша, S > О
являются компактными, выпуклыми симметричными относительно координатных плоскостей телами с кусочно гладкой границей dBg.
Первую собственную функцию uf(х) задачи (38) будем искать в виде произведения функций, зависящих только от одной переменной.
Пусть сс^— 1/2,0<а<7г. Рассмотрим задачу Штурма-Л иувилля
((sin х)2а+1и'{х)У + Z2(sin ж)2а+1и(ж) =0, 0 ^ Ж < 7Г
«'(0) = 0, «(0) = 1.
Ее решение при а = —1/2 имеет вид
<ра(ж, z) = COSZX.
При а > —1/2 оно может быть записано с помощью гипергеометрической функции [9]
((ж, z) = F (а + 1/2 — z', а + 1/2 + z', а + 1, sin2 ^
где z’ = -у!z2 + [а + 1/2)2. Имеем
оо п
<pa(x,z) = l + '^2Yl '
((* - 1)(* + 2a) -z2) sb2n X
к(к + а,
п=1к=1 V 1 /
поэтому (р(ж, г) — четная, аналитическая при |ж| < тг функция.
При 0 < ж < 7г <ра(х,г) может быть выражена через нормированные функции Лежандра (функции конуса) [9]
2“Г(а + 1)РГ“2+г,( совж)
<Ра{ж, г) = --------—-----—---------- =
(вшж)®
2а+1/2Г(а + 1) г*
рх
/ (cost — cos ж)а_1/2 cos z'tdt.
Jo
-у/7гГ(ск + 1/2)(втж)2а ]0
Из интегрального представления вытекает, что для любого 0 < а < 7г существует первое (минимальное) положительное 2“(а), для которого
<Ра(а, г“(а)) = 0,
причем 2“(а) непрерывно и убывает по а, г“(а) —>• оо (а —>• 0 + 0),
||(а,г?(а)) < 0.
Если мы рассмотрим задачу на собственные значения
|8тхР«+1 (1 8шж|2а+1ц'(ж)У = Хи(ж), ж € [-а, а],
1 и(—а) = и(а), 0 < а < 7г,
то минимальным собственным значением будет Ai(a) = (zf(a))2, а отвечающей ему собственной функцией —
щ(х,а) = (pa(x,zi(a)).
Для нее выполнены условия:
1) «i(0, а) = 1, «i(±a, а) = 0, 0 < щ(х, а) < 1 (—а < х < а, х ф 0),
2) Ui(a,a) < 0, «*(—а, а) > 0,
3) ui(x, а) — аналитическая на [—а, а].
Обратимся теперь к задаче (38) для оператора и шара = <Ша, а =
(ai,..., ad), 0 < ai < 7г. Первая собственная функция uf(x) будет равна
d
ui(x) = WvoLiixiiZi^Sai)), i—1
а первое собственное значение —
М*) = £(гГ0К))2.
i—1
Для них выполнены все предположения, сделанные относительно задачи (38). Пусть R и 6ц таковы, что
d
5>Г0*явг))2 = Д2, B2SRcTd. (42)
i—1
Нами доказана теорема.
Теорема. Если модули непрерывности (29), (30) определены с помощью шаров 5Паг то для любой f 6 L2,a(Td) справедливы точные неравенства
^д(/Ь,а ^ -^Ui(2Sr, f)2,a, -Ед(/)2,а ^ ~^= ^2(2(>Д, /)2,а•
Точность этих неравенств вытекает из их точности при d = 1.
В заключение найдем асимптотику 5 ц в (42) при R —¥ оо. Рассмотрим уравнение
Га
/ (cos® — cos а)а~1 ^2 cos z'xdx = 0, а > —1/2.
Jo
Делая замену переменной х = ta, получим эквивалентное уравнение
[ (cos ta - cos a)a_1/2 cos az'tdt = 0. (43)
Jo
Имеем
/ 2(costa— cos a) \ a_ '
V ^ J =
(1_г2)а—1/2 1+2а2^
-1)8+1а28 1-*2(*+2)'
а—1/2
V ^ (2(*+2))! I-*2
= (1-*2)а“1/2{1 + 0(а2)} равномерно по I 6 [0,1], так как
(44)
1 _ £2(я+2)
о ^ ^ 8 + 2
£
1-г2
(-1 )8+1а28 1 - *2(*+2)
в^(2(в + 2))! I-*2
<
Е
2я
2(з + 2) а ^ (2(я + 2))!
Пусть Ja{x) — функция Бесселя 1-го рода порядка а,
. 2aT(a + l)Ja(x) .
За{ Х)= ----------—-------, 3а(0) = 1
х'-
нормированная функция Бесселя. Известно, что [9]
За\Х)
2Г(а + 1) 0ГГ(а + 1/2)
*2)а 1/2 сое хыг.
Если (]а — первый положительный нуль ]а(х) (,/а(ж)), то согласно (44) для наименьшего положительного корня (43)
аг'= ца + 0(а2), г' = — + О(а) (а —>-0 + 0).
Отсюда при а > —1/2
Ча
2“(а) = +0( 1) (а-> 0 + 0).
При ск = —1/2, (/,» = -|. <г“(а) = Подставим одномерные асимптотики в (42), получим
* <1 /
Яа_г (Х%
— У
Д2 (Д -»■ оо)
Окончательно
К
Е
Яаг
(Х%
1/2
Список литературы
1. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в Ь2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 71-74.
2. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в Ь2 // Матем. заметки. 1981. Т. 29, Ш. С.309-315.
3. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина для L 2- приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах // Изв. РАН. Сер. мат. 1998. Т. 68, №6. С.27-52.
4. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp, 1 ^ р ^ 2 с периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.1. С.5-27.
5. Сеге Г. Ортонональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.
6. Dunkl C.F. Differential difference operators assosiated to reflection groups // Ttans. Amer. Math. Soc. 1989. V. 311. P. 167-183.
7. Rosier M. Dunkl operators: Theory and applications // Lecture Notes in Math. 2002. V. 1817. P.93-135.
8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики // М.: Наука, 1971.
9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966.
Поступило 06.06.2009
Иванов Алексей Валерьевич (d_bringer@mail.ru), ассистент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Jackson theorem in L2(Td)-space with Jacobi weight
A.V. Ivanov
Abstract. The exact Jackson inequality for the best approximations by trigonometric polynomials in Z/2-space on multidimensional torus Td with periodic Jacobi
d
weight | sin Xi\2cti+1, ai ^ —1/2, i = 1,... , d is proved.
i—1
Keywords: multidimensional torus, Z/2-space, periodic Jacobi weight, trigonometric polynomials, best approximation, module of continuity, Jackson inequality.
Ivanov Alexey (d_bringer@mail.ru), assistant, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
