ОЦЕНКА СВЕРХУ КОНСТАНТ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ $L_p$, $1\leq p Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 94-109 = Математика

УДК 517.5

Оценка сверху констант Джексона в пространствах Ьр, 1 ^ р < 2 на прямой со степенным весом

Д. В. Чертова

Аннотация. В пространствах Ьр, 1 ^ р < 2 на прямой со степенным весом |ж|2Л+1, Л > —1/2 доказано неравенство Джексона с той же константой, что и в случае единичного веса (Л = —1/2).

Ключевые слова: прямая, степенной вес, пространства Ьр, целые функции, наилучшее приближение, оператор обобщенного сдвига, модуль непрерывности, неравенство Джексона.

Введение

Пусть r(x) — гамма-функция, Л ^ -1/2, v\(x) = 2а+1г(а+1) — степенной вес на прямой R, d^\(x) = v\(x) dx, 1 ^ p ^ œ, Lp,\(R) — пространство комплексных измеримых по Лебегу функций f на R с конечной нормой

Уllp,A =( f \f(x)\Pd^X(x)

\J R

llf |»,л = llf II» = vrai sup \f (x)\, p = œ,

R

C'è(R) С LM(R) — подпространство непрерывных ограниченных функций. Пространство L2,л(R) — гильбертово со скалярным произведением

(У,9)л = f (x)g(x)d^(x).

R

Пусть Jл(x) — функция Бесселя первого рода порядка Л,

Зл{2) = 2ЛГ(Л + 1) Jxx-, 1л(0) = 1

— нормированная функция Бесселя, Ьл — наименьший положительный нуль Jл(x).

i./p

Через Е* Л, а > 0 обозначим множество функций f Е Ьр ¿(Ж), которые являются сужениями на Ж целых в С функций f (г), удовлетворяющих оценке

Ц(г)1 < Чв*1*1, Ч > 0.

Таким образом, Е* л — класс целых функций экспоненциального типа а из

pL

p,

Величину наилучшего приближения функции f е Lp,a(R) целыми функциями экспоненциального типа R, R > 0 определим равенством

Er(f )p,л = inf{\\f - g\\p,л : g е Erx}.

В пространстве Lp,л(^) действует ограниченный линейный оператор обобщенного сдвига (см. [1])

Tf (x) = Cf 0{f (A)(1 + B) + f (-A)(1 — B)} вт2л <p dp, (1)

где t E R

Г(Л + 1) t ^-о- „ x — t cos ш

сл = ФГЛ + 1/2)' A = Vx + ' — 2xt cos Ш B = A -

позволяющий определить модуль непрерывности

u(6,f)p,л = sup{Q(t,f)p,л : \t\ ^ ¿}, 5> 0, (2)

где

ttp(t- f )p,л = (Tt\f (y) — f (x)\p)\y=x (1^л(х) =

JR

= f £ {\f (A) — f (x)\p(1 + B) + \f (—A) — f (x)\p(1 — B)} ып2л ^d^(x).

Константы Джексона определим равенством

тл/ d п ER(f )p,л

D(R,S)pt л = sup ———. febP!x(R) Ш(д,1 )p,л

Четные функции в Lp,л(М) образуют подпространство. Их удобно рассматривать на полупрямой R+. Указанное подпространство четных функций обозначим Lp^(R+). Константы Джексона в Lp^(R+) для приближений четными функциями экспоненциального типа обозначим De(R, 5)р,л.

Очевидно, что

De(R, S)p,л < D(R, S)p,л-

При Л = —1/2 оператор обобщенного сдвига Ttf(x) = (f(x + t) + + f (x — t))/2 и модуль непрерывности (2) совпадет с обычным модулем

непрерывности, определяемым оператором сдвига т f (x) = f (x + t). Известно, что

De (2R= D (2R=21/p-1, 1 < p< 2.

R/ p,-1/2 V RJ p,-1/2

Оценка сверху получена О.Л. Виноградовым [2], оценка снизу — А.В. Московским [3].

При Л > -1/2 в пространстве LPt\(R+) известна только оценка сверху А.В. Московского [3]

De(2R, —) ^ 21/p-1, 1 ^ р< 2.

V R J p,\

Наша цель — доказать следующее утверждение.

Теорема. Если X > -1/2, 1 ^ р < 2, R > 0, то для любой функции f є Є Ьр,\(Ж) справедливо неравенство Джексона

Е2пи)р,л < 21/р-1Ш( ^ ^ .

Таким образом, при Х> —1/2, 1 ^ р < 2 и на всем пространстве Ьр, л(М)

о(2R, < 21/р-\

V R ) р, л

Теорема анонсирована в [11]. При доказательстве теоремы будем следовать схеме, предложенной В.И. Ивановым [4, 5] и являющейся развитием подхода Н.И. Черных [6]. Будем также опираться на работы Д.В. Горбачева [7-9], А.Г. Бабенко [10], А.В. Московского [3].

1. Элементы гармонического анализа в пространствах

£р,а(К)

В пространстве Ь2,л(^), X > —1/2 гармонический анализ осуществлен с помощью оператора и преобразования Данкля. Дифференциально-разностный оператор Данкля имеет вид [12, 13]

Dлf (х) = f '(х) + (Х + 1/2) f (Х) —^(—х). (3)

Обобщенные экспоненциальные функции

ел(Ух) = Іл(Ух) — гэ'л(Ух) (\ел(х)\ < 1 Цл(х)\ < 1 \э'л(х)| < 1) (4)

являются его собственными функциями

Dлeл(yx) = іуел(ух).

Разложение функций из Ь2,л(Ж) осуществляется с помощью прямого и обратного преобразований Данкля [14]:

/(х) = / Ку)вл(ух)йул(у), !(у) = / /(х)вл(-ух)йц,л(х). (5)

Равенства (5) понимаются в смысле сходимости частичных интегралов по норме пространства ¿2л(Ж). При этом справедливо равенство Парсеваля

2,Л = ||/||2,Л. (6)

Нам понадобится «действительное» разложение функций из ¿2,л(Ж). Справедлива следующая лемма [1].

Лемма 1. Если X ^ -1/2, / Е Ь2,л(Ж), то

Р(/)(У) = ! /(х) (3л(ху) - з'л(хУ)) йрл(х) Е Ь2,л(ж) (7)

ж

и Г

/(х) = ! Р(/)(У)(Зл(ху) - з'л(ху))й,ц,л(у). (8)

ж

Сходимость интегралов в (7), (8) понимается по норме пространства Ь2,л(Ж). При этом выполняется равенство Парсеваля

II/||2,Л = 1|Р(/) 112,Л- (9)

Если /,д Е ¿2,л(Ж), то из равенств Парсеваля (6), (9) для них вытекают

обобщенные равенства Парсеваля

(/,д)л = (1,д)л = (Р (/),Р (д))л- (10)

Лемма 2. Если / Е Ьр,л(Ж), 1 ^ р ^ 2, д,д Е Ь1гл(Ж), то (10) верно. Доказательство. Так как

< II/||1,Л, Н/кл = II/|2,Л,

то преобразование Данкля распространяется и на пространства Ьр,л(М), 1 < <р < 2. По интерполяционной теореме Рисса-Торина [15] получается аналог неравенства Хаусдорфа-Юнга [16]

\\р',л < V\\р,л, 1/Р + 1/р = 1- (11)

Если д,д є ^(М), то \\д\\^ ^ Ш\і,л и для 1 ^ р ^ то

\\д\\р,л < \д\1-1/р \\д\\1/ < Ы1/,* IІ£Іl1-1/p,

1Ир.л « ІИ1 л ||д|| 1“л1/р. (12)

Рассмотрим два линейных функционала

11(/) = (/,д)л, к(/) = (К,д)л-

Это линейные непрерывные функционалы на пространстве Ьр,л(Ж), 1 ^ р ^ ^ 2, так как согласно (11), (12) по неравенству Гельдера

1(/.д)л| « НдНр'.л Н/Нр,л < ||д||!-л1/р ИЛ1Й Н/Нр.л, К-Г.Юл! « Н^Нр-.л НКНр,л « 1М1/Р 1|д||!--1/р Н/Нр.л-

Согласно (10) они совпадают на множестве Ьр,л(Ж) Р| ¿2,л(Ж), плотном в Ьр,л(Ж), поэтому ¡1(/) = ¡2(/) на Ьр,л(Ж).

Лемма 2 в случае преобразования (5) доказана. Для преобразования (7) доказательство аналогичное. Только нужно учесть, что согласно (4)

Шх) - з'х(х)\ < \3л(х)\ + \з'х(х)\ < 2

и 2

НР(/)|и < 2Н/1| 1,л, НР(/)Нр-,л < 2р-1 II/||р,л, 1 < р < 2. (13)

Лемма 2 доказана.

Отметим, что в условиях леммы 2 билинейные формы в (10) конечны для модулей функций, например,

(\К \д1)л « Н.КНр'. Л НК'Нр,л < НКН1/Р ||д||1-1/р Н/Нр. Л -

Обозначим

А(Ж) = {/ Е Ь1,л(Ж) : / Е Ь1<л(Ж)}. (14)

Отметим некоторые свойства оператора обобщенного сдвига (1) (см. [1]): если /(х) ^ 0, то Т/(х) ^ 0; (15)

Т л(хУ) = 3 лШз Л(ху),, Т 1з 'х (ху) = з л(гу)з 'х (xy),

Т гв л (ху)= 3Л (^у)вл (ху), 1*1 = 1; (16)

если /,д Е Ь2,л(Ж), то (Т/,д)л = {/,Тгу)л; (17)

если / Е Ь1,л(Ж), то IТ/(х)й^л(х) = J /(х)й^л(х); (18)

жж для норм по переменным х и Ь справедлива оценка

НТ/(х)Нр,л < Н/Нр,л- (19)

Далее определим свертку функции д и четной функции /

(д *.)(х) = !ТУд(х)/(у)л^л(у)- (20)

ж

Отметим, что эта свертка не является коммутативной.

Для свертки справедлив следующий аналог неравенства Юнга.

Лемма 3. Пусть 1 ^ р ^ ж, 1 ^ д ^ ж, 1 = - + - — 1 ^ 0. Тогда д * . Е ьг,л(ж) и

1|д * . 1|г,Л < НдНр,Л Н/||д,Л (21)

для любых д Е Ьр,л(Ж) и / Е Ья,л(Ж).

Доказательство. Проводится стандартно. В силу (19), неравенства Минковского

||д * .||р,л < [\.(у)\ ( [ \тУд(х)\Р ¿Ых)1 Лц.л^') < Ш^.л Н/1| 1,л-

жж

Применяя неравенство Гельдера и (19), получим

||д *.1кл < НдНР,лН/Ь'л р + р = 1-

рр

Поэтому для оператора Ь/ = д * / справедливы оценки норм

11^Н1—»-р ^ НдНР,Л, ||Ь||р'—го ^ НдНР,Л-

По интерполяционной теореме Рисса-Торина [15]

||Ь||д—г ^ ШРЛ-Последнее неравенство эквивалентно (21). Лемма 3 доказана.

Введем обозначения для преобразования Р (7)

Р (/)(Ь) = а(/)(Ь) + Ь(/)(Ь), (22)

где

а(/)(Ь) = I /(х)зл(хЬ)й^л(х), Ь(/)(Ь) = — ^ /(х)зЛ(хЬ)йрл(х)-

жж

Преобразование а(/) действует в подпространстве четных функций, а Ь(/)

— нечетных функций.

По лемме 1 для / Е Ь2,л(Ж), а(/) Е Ь2.л(Ж), Ь(/) Е Ь2,л(Ж) и для четной и нечетной составляющих /

/е(х) = I а(/)(Ь)3л(хЬ)йрл(Ь), /о(х) = —! Ь(/)(г)з'л(хЬ)йрл(Ь)- (23)

жж

Известно [14], что если /, / Е Ь1Л(Ж), то

/ (х) = I /г(г)вл(хЬ)й^л(Ь),

ж

поэтому (23) верно, если /, Р(/) Е Ь1>л(Ж).

Лемма 4. Если д Е ЬР.Л(Ж), 1 ^ р ^ 2, /(у) = ТУд(х), то для всех х

Р (/)(Ь) = а(дШ]л(хЬ) — Ь(д)(Ь)зЛ(хЬ)- (24)

Доказательство. Вначале предположим, что д Е Ьр,л(Ж) Р| Ь2,л(Ж). Тогда по лемме 1

д(х) = ! Р(д)(Ь) (3л(хЬ) — зЛ(хЬ)) ^л(ь)-

ж

В силу непрерывности оператора Т в пространстве Ь2,л(Ж) и (16)

.(у) = тУд(х) = IР(д)(Ь)тУ (Зл(хЬ) — з'л(хЬ)) ^л(ь) =

ж

= IР(д)(Ь)зл(уЬ) Цл(хЬ) — зЛ(хЬ)) ^л(ь) =

ж

= У (а(д)(Ь)зл(х) — Ь(д)(Ь)зЛ(хЬ)) злу)^л(Ь)-

ж

Поэтому

Р (/)(Ь) = а(/)(Ь) = а(д)(Ь)зл(хЬ) — Ь(д)(1)з'л(хЬ)-

Таким образом, (24) верно для д Е ЬР,Л(Ж) Р| Ь2,л(Ж).

Остается заметить, что Ьрл(Ж) Р| Ь2 л(Ж) плотно в Ьр л(Ж) и в силу (13),

(19), (22)

11Р (/)Нр- , л < 2НдНр, л, На(д)Нр-, л < НдНр, л , НЬ(д)Нр-, л < ||д||р, л -

Лемма 4 доказана.

Лемма 5. Если д Е Ьр,л(Ж), 1 ^ р ^ 2, / Е Л(Ж) (14), / — четная, то

д * / е Ьр,л(Ж) и

(д *.)(х) = ! (а(д)(Ь)зл(хЬ) — Ь(д)(Ь)зЛ(хЬ))а(/)(t)dJл(t), (25)

ж

Р(д * /)(Ь) = Р(д)(Ь)Ё(/)(Ь) =

= (а(д)(Ь) + Ь(д)(Ь)) а(/)(Ь) Е ь1,л(ж^^ р] ьр-,л(ж)- (26)

Доказательство. Равенство (25) вытекает из (20), лемм 2 и 4. Принадлежность (д * /) Е ЬР,л(Ж) вытекает из неравенства Юнга (лемма 3) при д = 1. Если д Е Ь^Ж), то а(д)а(/), Ь(д)а(/), (д * /) Е Ь1,л(Ж) и

а(д)(Ь)а(/)(Ь) = I(д * /)(х)Ил(хЬ^л(х) Е Ь1,л(Ж),

Ь(д)(Ь)а(/)(Ь) = — (д *.)(х)3'л(хЬ)^л(х) Е ь1,л

поэтому Р(д * /) Е Ь1,л(Ж) и равенство (26) выполняется. Если д Е Ьр.л(Ж), дп Е Ь1,л(Ж)ПЬр.л(Ж) и ||д — дпЦр,л ^ 0 (п ^ ж), 1 <р ^ 2, то из (11) и (21)

11Р(д *.) — Р(д)р(/)Нр-,л < ||р ((д — дп) *.) ||р-,л+

+НР(д — дп)Нр-,лНР(/)1кл < НР(д — дп)Нр-,лН Ш 1|1,л + НР(/)1Ы <

< 2Н/Н 1,лНд — дпНр ^ 0 (п ^ ж)-Поэтому (26) выполняется для почти всех Ь. Остается заметить, что из (26)

НР(д * /)111,Л < НР(д)Нр',л||Р(/)Нр,л < НдНрлН/1кл,

Нр(д * /)Нр-,л < НР(д)Нр',л||Р(/)Щл < НдНрлН/||1,л-

Лемма 5 доказана.

2. Доказательство теоремы

Рассмотрим следующую конструкцию. Пусть / — действительная, четная функция, / Е А(Ж). Положим

.(х,у) = Iа(/)(Ь) (.]л(хЬ).]л(уЬ) + ЗЛ(хЬ)3Л(уь)) ^Л(Ь)- (27)

ж

Лемма 6. Для функции /(х,у) (27) выполнены следующие свойства:

/(х, у) Е А(Ж) по х и по у, /(х, у) Е СЬ(Ж2); (28)

для любой д Е Ьрл(Ж), 1 ^ р ^ 2

У д(у)/(х,у)(^л(у) = J а(/)(Ь) (а(д)(Ь)зл(хЬ) — Ь(д)(Ь)3Л(хЬ)) ^л(ь) =

жж

= !ТУд(х)/(у^л(у) = (д * .)(х); (29)

ж

/(х, 0) = /(х). (30)

Доказательство. Покажем, что /(х,у) Е А(Ж) по х. Для четной

функции а(/) = Р(/) = /. Так как /, / Е Ь1;Л(Ж), то для всех х

/(х) = [ а(/)(Ь)Ил(хЬ^л(Ь)-

Из непрерывности оператора обобщенного сдвига в ^¿(Ж) (19)

ТУ/(х) = ! а(/)(Ь)зл(хЬ)зл(уЬ^л(Ь) Е Ь^Ж).

ж

Функцию /(х) можно записать

/(х) = I а(/)(Ь)ел(хЬ)с^л(Ь)-

ж

В пространстве Ь1,л(Ж) действует линейный непрерывный оператор обобщенного сдвига тУ (см. [1, 13]), для которого

тУ/(х) = [ д(Ь)ел(уЬ)ел(хЬ)с^л(Ь),

ж

если /, / Е Ь1>Л(Ж), поэтому

Яе тУ/(х) = а(/)(Ь)ел(хЬ))ел(уЬ)с!^(Ь) =

ж

У а(/)(Ь) (Зл(хЬ)зл(уЬ) — зЛ(хЬ)Зл(уь)) ^Л(Ь) Е Ь1,Л(Ж)

ж

и

/(х,у) = 2ТУ/(х) — Яе тУ/(х) Е Ь1,л(Ж)

по переменной х. Для нее

рх(/)(Ь) = а(/)(Ь) (Зл(уь) — Зл(уЬ)) е ь1,л(ж)-

Итак, свойство (28) доказано.

Свойство (29) вытекает из лемм 2 и 5. Свойство (30) получается прямой подстановкой у = 0 в (27). Лемма 6 доказана.

Симметричную непрерывную функцию /(х,у) (/(х,у) = /(у,х)) назовем положительно определенной на Ж2, если для любой д Е Ь1,л(Ж)

У J/(х,у)д(х)д(у)(1^(х)(1^(у) > 0. (31)

жж

Лемма 7. Если /(х) — четная, неотрицательная функция, а(/)(Ь) ^ ^ 0, / Е Л (Ж), то для функции Р (х,у) (27) выполнены следующие свойства

/(х,у) ^ 0 на Ж2; (32)

/(х,у) — положительно определенная на Ж2. (33)

Доказательство. Для любой неотрицательной функции д е Ь1,л согласно (29) и (15) для всех х Е Ж2

[д(у)/(х,у)гЫу) = [ ТУд(у)/(у^л(у) ^ 0- (34)

Если предположить, что f (x0,yo) < 0, то в силу непрерывности f (x,y) в некоторой окрестности U(x0,y0) будет

f (x, у) ^ —а, а > 0,

поэтому для характеристической функции ха(у) отрезка А С U(x0,y0) и (x,y) е U(xo,yo), y е А будет

У XA(y)f (x, y)dß\(y) = j f (x, y)dß\(y) ^ —aj dßX < 0,

R А А

что противоречит (34). Свойство (32) выполнено.

Далее для любой функции g е Ь\,\(Ж) согласно (29), леммам 2, 5

У Jf (x,y)g(x)g(y)dßx(x)dßx(y) =

RR

= У a(f)(t) (\a(g)(t)\2 + \b(g)(t)\2) dß\(t) ^ 0-

R

Свойство (33) и лемма 7 доказаны.

Пусть tr = t\/R. В [3] предложена четная функция

* {Х)= ^ jxw- (35)

(tl — (Rx)2)

для которой

а(К m = F * №=$$&.

где

m = lЬШ), \t\ < R,

’ [0, \t\ > R.

Для нее выполнены следующие свойства:

1) К — неотрицательная четная целая функция экспоненциального типа 2R,

У Kdßx = 1, К е Л(М); (36)

R

2) а(К) — неотрицательная четная функция,

suppа(К) С [-2R, 2R], а(К)(0) = 1, (37)

a(K)(t) ^ jx(TRt t є R.

(38)

Применяя конструкцию (27), рассмотрим на М2 функцию

K(x,y) = j a(K)(t) (jx(xt)jx(yt) + j'x(xt)j'x(yt)) dßx(t). (39)

R

По леммам 6, 7, (36) она неотрицательная, положительно определенная на

к

Согласно леммам 3, 6, (36) оператор А/(х) = (/ * К)(х) и действует из £р,х(М) в Ьр,х(М), 1 ^ р ^ 2. Согласно (37), леммам 5, 6 А/(х) — целая функция экспоненциального типа 2К и А/ є Ерд.

Для оператора А с неотрицательным, положительно определенным ядром справедлива следующая оценка (см. [7-9]).

Лемма 8. Если X > -1/2, 1 ^ р < 2, то для любой функции / є Ьр,х(М) и оператора А (40)

R2 и принадлежит A(R) по x и по y.

Рассмотрим линейный положительный интегральный оператор

(40)

E2R(/ )p,X ^ ||/ — A/ ||p,X ^

< 21/p-1 f \/(x) — /(y)\pK(x,y)dßx(x)dßx(y)

і/р

Пусть

h(x) = TTR v(x),

G(x) = jjdjx = j a(G)(t)jx(xt)dßx(t).

(41)

R

R

А.Г. Бабенко [10] и А.В. Московским [3] доказано, что G(x) ^ 0(x є R), supp G С [—2tr, 2tr],

a(G)(t) = Jx(TRt) є Li,x(R).

Отсюда О є А(М) и из (38) а(К)(і) ^ а(О)(і), і є М, а(0)(0) = 1.

Пусть

С(х,у) = I а(С)(Ь) (зх(хг)зх(у1) + /х(хЬ)з'х(у$) !рх&). (43)

к

Так как К(х) — С(х) е Л(К), а(К)(1) — а(С)(1) ^ 0, а(К)(0) — а(С)(0) = = 0, то из леммы 7 функция М(х,у) = К(х,у) — С(х,у) — симметричная, положительно определенная и /М(х,у)й^х(у) = 0 для всех х.

к

В [7-9] установлено, что для симметричной, положительно определенной функции М(х,у), для которой / М(х,у)(1^х(у) = 0 для всех х, и

к

произвольной функции / е Ьр,х(М), 1 ^ р < 2

У У \/ (х) — /(у)\р М(х, у)!^х(х)!^х(у) < 0.

к к

Таким образом, справедлива следующая лемма.

Лемма 9. Если X > —1/2, 1 ^ р < 2, то для любой функции / е Ьр,х и функций К(х,у) (39), С(х,у) (43)

У У \/(х) — /(у)\р К(х, у)!^х(х)!^х(у) <

к к

</У \/(х) — / (у)\р С(х,у)!^х(х)!^х(у)-

к к

Лемма 10. Если X > —1/2, 1 ^ р < 2, то для любой функции / е Ьр,х и функций С(х) (41), С(х,у) (43)

У У \/(х) — /(у) \р С(х,у)!ц,х(х)!ц,х(у) =

к к

= 1 п р(у,/ )р, хС(у)й^х(у). (44)

к

Доказательство. Пусть

1х(/)= ([ I \/ (х) — / (у) \р С(х,у)й^х(х)!^х(у)\ ,

\к к /

12(/ )= (у пр(у,/ )р,хС(у)!^х(у)\ .

Так как С(х, у) ^ 0, то

М/1 + /2) < 1/) + ЬШ.

Аналогично, из неотрицательности О(у) и из (2)

Ы/1 + /2) < Ш1) + ¡2Ш-

Так как для всех у / С(х,у)й^\(х) = 1, то

к

к{/) < ([ ! | /(х) 1Р С{х,у)(1^х{х)(1^\{у)\ +

\к к )

+ (/ / 1 /(у) 1 РG(x,y)d^x(x)d^x(y)\ =2\\/\\р,X.

\к к /

Применяя неравенство |/(¿) — /(х)1Р ^ 2Р-1 (|/(¿)|р + |/(х)|р), (15), (16), (18), получим

(Ту /(*) — /(х)т=х < 2Р-1 (Ту/(х)? + /(х)Щ ,

Пр(у,/)Рхх < 2Р-1 ЦТу/(x)|pd^x(x) + У |/(x)|pd^x(x) \ =

\к к /

= 2Р||/1? х

и

Ш) < 2Р||/||р,х.

Приведенные рассуждения показывают, что (44) достаточно доказать для функций из множества, плотного в Ьр,х(М), например, для кусочнопостоянных функций.

Пусть в1,...,вм-1 — измеримые ограниченные непересекающиеся в М множества,

N -1

вм = М\ |^) вг, С1, . . . , См-1 £ С, См = 0,

г=1

/(х) = сг, х £ вг, г = 1,..., М,

Ха — характеристические функции множеств вг.

Имеем

N

\f(x) - f Шр \ci - cj\р Xei(x)Xe, (y) =

i,j = l

N-1 N-1

= \Ci - cj\p Xei(x)Xej (y) + Y \ci\p Xei(x)XeN(y) +

i,j=1 i=1

N-1

+ Y1 \cj\p XeN (x)Xe, (y) = j=1

N -1

= £ (\Ci - Cj f - 2 \Ci\p) Xe, (x)Xe, (y) + if(x)\p + \f(y)\p.

i,j=1

Здесь мы воспользовались тем, что

N-1 N-1

XeN (x) = 1 ~Y^ Xei (x),Y. \Ci\fXei (x) = \f (x)\p■

i=1 i=1

Согласно (29), (41)

N-1 r r

lp(f) =Y1 (\ci - cj\p - 2\ci\f) j J Xei(x)Xe,(y)G(x,y)d^x(x)d^x(y) +

i=1 R R

+ //\f (x)\pG(x,y)d^x(x)d^x(y) + J J\f (y)\pG(x,y)d^x(x)d^x(y) =

R R R R

N-1 r r

= J2(\Ci - cj\p - 2\ci\p) G(y) Xei(x)TyXej(x)d^x(x)d^x(y) + 2\\f \\pp,x-

i=1 R R

Согласно (16), (18)

(ТУ \ f (t) - f (x) \p) \ = =

\ t=x

N -1

j\p - 2 \c,\p) A«'x)Ty.

= £ ( \ ci - cj\p - 2 \ c, !p) Xe_! (x)Ty Xe, (x) + Ty \ f (x) \p + \ f (x) \

i=1

N-1 ..

ttp(y, f )p,x =Y1 ( \ ci - cj \p - 2 \ ci \p) Xei(x)Ty Xej (x)d^x(x) + 2UJ Up,x

i=1 Ïïb

и

N 1 f f lp(x)=Yl (\ci-cj\p -2 \ci\p) J G(y) J Xei(x)TyXe,(x)d^x(x)d^x(y)+2\\f \\Pp,x-

i,j=1 R R

Таким образом, l1(f) = l2(f). Лемма 10 доказана.

Согласно леммам 8-10, (42) для произвольной функции f G Lp,a(R), 1 ^ ^ p < 2 имеем цепочку неравенств:

EP2R(f)P,a < \\f - A%'a <

< 21-p j j I f (x) - f (y) | pK (x,y)d,A(xWA (y) <

R R

< 21-p j j If (x) - f (y)lp C(x,y)dßA(x)dßA(y) =

RR

/2tr

Mp(y,f))p,AG(y)dßA(y) < 2l-pup(2rR,f )p,A.

-2tr

Теорема полностью доказана.

Список литературы

1. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространстве L2(R) со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.3. С.100—116.

2. Виноградов О.Л. О константе в неравенстве Джексона для пространства // Вестник СПбГУ. Сер.1. 1994. Вып.3. С.15-22.

3. Московский А.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp(M.n) и Lp,\(R+) // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4. Вып.1. С.44-70.

4. Иванов В.И. О приближении функций в пространствах Lp // Матем. заметки. 1994. Т.56, №2. С.15-40.

5. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: ТулГУ, 2010. 174 с.

6. Черных Н.И. Неравенство Джексона в Lp(0, 2п) (1 ^ p < 2) с точной константой // Труды МИРАН. 1992. Т.198. С.232-241.

7. Горбачев Д.В. Точное неравенство Джексона в пространстве Lp на сфере // Матем. заметки. 1999. Т.66, №1. С.50-62.

8. Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложений. Тула: Гриф и К, 2005. 192 с.

9. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи теории функций и теории приближений и их приложения: дис. .. .д-ра физ.-мат. наук. Тула. 2006. 200 с.

10. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2(Rm) // Труды ИММ УрО РАН. 1998. Т.5. С.183-198.

11. Chertova D.V. Jackson theorems in Lp-spaces, 1 < p < 2 on the line with power weight // Труды Международной летней математической школы С.Б. Стечкина по теории функций. Тула: ТулГУ, 2007. С.160—161.

12. Dunkl C.F. Differential difference operators associated to reflection groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V.311. P.167-183.

13. Rosier M. Dunkl operators: Theory and applications // Lecture Notes in Math. 2002. V.1817. P.93-135.

14. de Jeu M. The Dunkl transform // Invent. Math. 1993. V.113, № 1. P.147-162.

15. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.2. М.: Мир, 1965. 538 с.

16. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т.2. М.: Мир, 1985. 400 с.

Чертова Дарья Вячеславовна (dasha@lim.ru), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Upper estimation of Jackson constants in Lp-spaces on the straight line with power weight

D.V. Chertova

Abstract. In Lp-spaces, 1 ^ p < 2 on the straight line with power weight \x\2X+l, A > -1/2 Jackson inequality is proved with the same constant as in without the weight case (A = -1/2).

Keywords: straight line, power weight, Lp-spaces, entire functions, best approximation, generalized translation operator, module of continuity, Jackson inequality.

Chertova Darya (dasha@lim.ru), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 05.04-2011