ТЕОРЕМЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВЕ $L_2(\mathbb{R})$ НА ПРЯМОЙ С ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ ВЕСОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 32-51

Математика

УДК 517.5

Теоремы Джексона в пространстве Ь2(М) на прямой с гиперболическим весом

Аннотация. В пространстве Ъ на прямой с гиперболическим весом доказаны точные неравенства Джексона.

Ключевые слова: прямая, гиперболический вес, пространство , наилучшее приближение, оператор обобщенного сдвига, модуль непрерывности, неравенство Джексона.

гиперболический вес на прямой М, й/ла(х) = уа(х) йх, 1 ^ р ^ ж, ЪР(М, ца)

— пространство комплексных измеримых по Лебегу функций / на М с конечной нормой

Пространство Ъ2 (М, ^а) — гильбертово со скалярным произведением

В безвесовом пространстве Ъ2(М) точное неравенство Джексона между величиной наилучшего приближения функции целыми функциями экспоненциального типа и ее модулем непрерывности было доказано И. И. Ибрагимовым, Ф. Г. Насибовым [1] и В. Ю. Поповым [2]. В пространстве Ъ2(М, ца), а > -1/2 точных результатов нет. Более изучен случай пространства Ъ2(М+,^а) на полупрямой М+. Функции из Ъ2(М+, ца) можно считать сужениями четных функций из Ъ2(М, 1ла), поэтому для их норм, скалярных произведений и т.д. будем использовать те же обозначения.

Известно [3, 4] что любую функцию / € Ъ2(М+,^а) можно в

среднеквадратичном разложить в интеграл Фурье-Мелера-Фока

С. В. Осташев

Введение

Пусть Г(г) — гамма-функция, а ^ -1/2, га(х)

(бЬ \х\)2“+1 2“+1Г(а+1)

V ||те^а = уг&1 йир\/(х)\, р = ж

К

f (r)=2/ f(P)^p,"(r)da"(P), f(p)=2[ f (r)Vp,"(r)dV"(r), (1)

Jr+ J r+

где [5, б, 7]

2"Г(а + 1)P-"/2+ip(ch r) =

Vp , "(r) =

(sh r)

=F (2 (а+2—ip^ ’ 2 (а+2+ip^,а+1—sh2 r);

P—1/2+ip(x) — функция Лежандра (функция конуса); F (a,b,c,x)

гипергеометрическая функция;

daa(p) = 1

2"+1Г(а + 1)

Г (а + ^ + ip) r(ip)

2

dp. (2)

Величина наилучшего приближения функции f £ L2(M+,^«) определяется равенством

En(f )2,а = inf {||f - glha : д £ ^2(М,^а), suppд С [0,

Здесь suppj — носитель функции j.

Для модуля непрерывности функции f £ L2(R+,^a)

W(£,f )2," = sup ( f (T1\f (x) — f (y)|2)x=y dia\ 0<t^5 \JR

")x=y d^a(y)

где

rn

Tf (x) = сЛ f (9) sin2" ^d^, t Є R+ (3)

0

— оператор обобщенного сдвига, с„ = ; ch 9 = ch x ch t +

+ shxshtcos v (см. также [В]), Д. В. Горбачев доказал точное неравенство Джексона

ER(f)2," ^ u(2TR,f)2,"■

Здесь TR - наименьший положительный нуль VR,"(r).

Наша цель — получить точные неравенства Джексона в пространстве L2(R, fi"). Мы будем следовать работе [9], в которой аналогичная задача решена в пространстве L2 на прямой со степенным весом. Отметим работы [10, 11], в которых анонсируется точное неравенство Джексона в пространстве L2 на отрезке [—1,1] с гиперболическим весом.

1. Гармонический анализ в пространстве ^(К, ца)

Гармонический анализ в пространстве Ь2(К, ца) можно найти в работе в работе Опдама [12] (см. также [13]). Он осуществлен с помощью дифференциально-разностного оператора Данкля-Чередника

Ва! (х) = /'(.г') + (а + 2Л

Л ! (г) - ! (-г) - (а + 1| / (-г).

Л г V 2

Гипергеометрические функции Опдама

Ох,а (г) = Р\,а(г)----------- р'\,а(г)

а + 2 — іЛ

являются собственными функциями этого оператора

Ва^^л,а(х) — І\С\,а(г)-

Для них выполнены свойства

&л,а (0) = 1, \0\,а (г)| ^ 1, Х,г Є М.

Разложение функций из Ь2(М, ца) осуществляется с помощью прямого и обратного преобразований Фурье-Опдама-Чередника

Р(!)(Л) — / !(г)Сл,а(—г)(1у,а(г),

Jж

! (х) = /«Р (/){Х)алАх) (1 - '

где

)— 2а+1/2 - ілГ(а + 1)Г(ІЛ)

аа(Л) —

г (2 (а + 2 +ІЛ))г (2 (а +1 +ІЛ))

Указанное разложение нам представляется не вполне удобным, так как И,еСл,а(х) не является четной функцией Л, а 1тОл,а(х) — нечетной функцией Л, поэтому прямое и обратное преобразования Фурье-Опдама-Чередника не действуют инвариантно на подпространствах четных и нечетных функций. Приведем другое разложение функций из Ь2(М,^а), опираясь на дифференциально разностный оператор

Ва! (х) = !'(х) + ^а +2^

Л !(х) - !(-х)

Ш х

Определим обобщеную систему экспонент

/Л /Л І йёП Л , / ч

ел , а(х) = ¥л ,а(х)---; =2 VЛ ,а(х)• (4)

14 2

\Д2 + (а+2=2

Покажем, что она является системой собственных функций оператора Оа. Учитывая, что [7]

Р\,а(х) + 2^1|х 1 ^Л,а(х)+( +2) + ^Л,а(х)=0, (5)

получим

Оа еЛ,а(х) = ^'\,а(х)------* ^ Л / ^Л,а(х)\ =

у Л2 + (а + ЛХ ^

= ^Л,а(х) + * йёП ^Л2 + (а +2) ^Л,а(х) =

= * ЭёП ^Д2 + ("а +2) | (р\,а(х)------------. 1 ^ Л = А,а(х)

V V 2 \ уЛ= + (а + I)2

Итак,

1 4 2

Оа&\,а(х) = * йёП Л^Л2 + + 2) ех,а(х).

Отметим, что И,ев\,а(х) — четная по х и Л, а 1тв\>а(х) — нечетная по х и Л и

вЛ,а(0) = 1, \вХ,а(х)\ ^ 1, х, Л € М. (6)

Последнее неравенство вытекает из того, что

\ еЛ,а (х) \2 < ^Л,а(х) + —---71----7Т2 (РЛ,а(х))2

X2 + (а + 2)

и /

( ^Л,а(х) + —------71----7Т2 (^Л,а(х))2 ) = 2^Л,а(х) (^Л,а(х) +

V Л2 + (а + 2) /

, ^Л,а(х) \ 2(2а + 1) ( ( )Л2/ 0 ^0

+ ~ } Г=2 =-7 / Г=2Г (^Л,а(х)) ^ 0, х ^ °-

Л2 + (а + 2) ) Л х ^Л2 + (а + 2) ^

Преобразование Фурье функции / € Ь2{М,ц,а) определим равенством

1(Л) = /(х)еЛ,а(х)й^а(х). (7)

ш

Пространство Ь2(М,аа) определяется аналогично пространству Ь2(М, ца) для меры аа (2).

Теорема 1. Если а > 1/2, / € Ь2(М,^а), то / € Ь2(М,аа)

/(х) = / Т(Л)еЛ,а(х)(1аа(Л). (8)

ш

Сходимость интегралов в (7), (8) понимается по норме пространств Ь2(М,аа), Ь2(М, Цо) соответственно. При этом выполняется равенство Парсеваля

[ \/(х)\2й,Ц,а(х) = [ \/(Л)\2^а(Л). (9)

^Ж ./К

Доказательство. Пространство Ь2(М, ^а) раскладывается в

ортогональную сумму подпространств

Ь2(М,Ц.а) = Ь2(М,Ра) © Ь°2(М,^а),

где Щ(М, ^а) — подпространство четных, а Ь2(М, ца) — подпространство нечетных функций. Для четной функции

/(Л) = / (х)^Л,а(х)Л^а(х)

^Ж

четная и равенства (7) — (9) вытекают из разложения функций в

пространстве Ь2(М+,ц,а).

Для нечетной функции / € Ь°2(М,^а)

Т(Л) = : * ^ ==; ( /(х)^Л,а(х)Л^а(х)-

\/л2 + (а + 2)2 7ж

Функция д(х) = /(х)/вИ х € Щ а+1(М) и по доказанному

д(Л) = д(х)^Л, а+1 (х)^^а+1 (х) € Ь'2 (М,^а+1),

Ж

д(х) = 9(Л)^Л ,а+1(х)^а+1(х),

Ж

/ \д(х) \ 2^а+1(х) = \д(Л) \ 2(1о'а+1 (Л).

Так как [7]

^^а+1(х) — 2(а + 1) ^№а(х)

, Л2 + (а + 2 = ^ М)

аиа+1 = --------т-------%-----ааа(Л),

а+1 2(а + 1) а1

( ) 2(а + 1)^л ,а(х) (10)

<^Л,а+1(х) = - 7--------(------ТТоЧ------, (10)

^Л2 + (а + 1) ^ вИ х

то /(Л) — нечетная функция и

?(х) [ !(х) 2(а + 1) І ^п Л<р'л,а(х) йЬ2 х , ()

!(Л) = Ь ^ -йх- ■ ^,+ (а +2 )2 ■ И

— У #(х) ^-І sgn Л^Л2 + ^а + 2^ ^ Vл,а+і(х)(1^а+і(х)

— -І sgn Л\1 Л2 + (а + 2 ^ д(Л),

1!(Л)\2(1оа(Л) — I \<?(Л)\ ( Л* + ( а + М ) (1оа(Л) —

— 2(а + 1) / \д(Л)\2йоа+і(Л) < ж, Jж

/(х) — йЬх,(х) — йЬ х / -------І/Л 2 ( - 2(; + 1)"л ■ а<х>2'

■,ж sgnЛ у Л2 + (а + 2) \ йЬ^Л2 + (а + 2) )

Далее

Л +( ^а+1)2^ Лоа(Л) — [ /'(Л')ел,а (х')йОа (Л) •

2(а + 1) 7К

( \/(Л)\ 2йоа(Л) — 2(а + 1) / \ <?(Л)\ 2гіста+і(Л) — 2(а +

+1) / \ д(х)\2й^а+і(х) — 2(а + 1)

J К ./К

— / \ /(х) \ 2d^а(x)•

JR

Теоремя доказана.

/(х) 2 йЬ2х йЬ х 2(а + 1)

dц,а(x) —

2. Операторы обощенного сдвига

Оператор обобщенного сдвига 5* в пространстве £2(М, ца) в работе [13] определен равенством

Р (в*/)(Л) — Сл ,а(і)Р (/)(Л).

Для него в ней получено интегральное представление.

Мы определим в пространстве Ь2(М, ца) еще два оператора обобщенного сдвига равенствами

(Т/ )(Л) — Vл ,а(і)Т(Л), (11)

(Ті/)(Л) = ex,a(t)fW,t є R. (12)

Согласно (б) эти операторы действуют из L2(R, ца) в L2(R, ца) и их нормы равны 1. Получим для них интегральные представления.

На четных функциях оператор (11) совпадает с оператором (З). Поэтому его следует изучить на нечетных функциях.

Лемма 1. Оператор (З) действует из пространства LP(R+, цО) в пространство Lp, ^(R+,^a), І ^ p ^ о и его норма равна Ї.

Доказательство. В пространстве LP(R+,^a) норма определяется равенством

. i/p

P,Va - I I l/(x)№a(x)

при І ^ p < о и

\\f |U ,.a = vrai sUP l/(x)l

R+

при p = о. Мы докажем неравенства

IT/\\p.a < II/\\p.a (1З)

при p = І, о. Для остальных І < p < о они будут вытекать из

интерполяционной теоремы Рисса-Торина [14].

Согласно (З) имеет очевидную оценку

ГП

1Т/IU ,.a < Са \/IU,.a sin2“ = \\f IU,.a •

Jo

Пусть p = І. Если t = 0, то Т0/(r) = /(r) и (1З) верно. Если t > 0, то

делая в (З) замену переменной s = arch(ch r ch t + sh r sh t cos ф), получим для

r > 0 , r+t

Т/(r) = Са /(s)V(t,r, s)(sh s)2a+lds, (14)

rt

где

л 22а l ( s +1 + r s +1 — r s —1 + r

V (t,r,s) = —:-----------:------: < sh --------------------- sh ------------- sh ------------

V ’ ’ / f„U л ™ -A 2a 1 о о о

(sh s sh r sh t)2a sh

2

— функция симметричная относительно г, Ь, в.

Пусть

Щ = {(г, в) е R+ : \г — Ь| ^ в ^ г + Ь}. Если (г, в) е Щ, то (в, г) е Щ, поэтому для функции

х(ь г в) = / 1 (г,в) е Щ Х(Ь Г? в) \ 0, (г, в) е К\ \ Щ

выполняется равенство

X(t,r,s) = x(t,s,r).

Отсюда и из (14)

(■ r+t

^ Сь. ‘

'\г —1\

Г pr+t

\\Tif (r)lb ,^а < ca \f (s)\V (t,r,s)(sh s)2a+1 d,sd^a{r) =

JR J\r—1\

[ [\f(s)\V(t,r,s)x(t,r,s)(shs)2a+1 dsd^a(r) = JR jR

f f \f(s)\V(t,s,r)x(t,s,r)(shr)2a+1 drd^a(s) < JrJ r

< Ca sup f V(t,s,r)x(t,s,r)(shs)2a+1 dr\\f11l^ =

seR+ J R+

Г s+t

= Ca suW V(t, s,r)x(t, s, r)(sh r)2a+1dr\f\\1,^a =

^ rW is-ti

= Ca

= Ca

a

s£R+ J\s—t\

= (^IIJ 111 ,»« = \\ j\\1 ,»«■

Неравенство (13) верно и при p = 1. Лемма доказана.

Определим линейный интегральный оператор

T2f(x)=у j{f(^)(1+b)+f(-^)(i - b)isin2avdv, (15)

где x, t £ R,

A = arch(ch x ch t + sh x sh t cos ф) ^ 0,

, sh x ch t + ch x sh t cos ф

B = Ax = -------------—----------.

x sh A

Так как

chx cht + shx sht cos <p ^ ch(\x\ — \t\) + sh \x\ sh \t\(1 — \ cos ф\),

то A = 0 для 0 < ф < n только, если x = t = 0. В этом случае считаем B = 0.

Во всех остальных случаях

о sh2 A — (sh x ch t + ch x sh t cos ю)2

1 — B2 = —

sh2 A

oo oo о о о ooo

ch x ch t — sh x sh t — 1 + sh x sh t cos 2 ф — ch x sh t cos 2 ф

sh 2 A

ch21 — 1 — sh2 t cos2 <p

sh2 A

\B\ < 1. (16)

Проверим, что T°f (x) = f (x). Пусть

g = f (A)(1 + B) + f (—A)(1 — B).

и

Если x = 0, то A = B = 0, g = 2f(0) и T0f (0) = f (0). Если x > 0, то B = 1, A = x, g = 2f(x) и T°f (x) = f (x). Если x < 0, то B = —1, A = —x, g = 2f(x) и T° f (x) = f (x). Так как

A(—t) = ch x ch t — sh x sh t cos ф = ch x ch t + sh x sh t cos(n — ф), sh x ch t — ch x sh t cos ф sh x ch t + ch x sh t cos(n — ф)

B(—t) =------------A—)-----------=----------------A—)-------------•

то делая в (15) замену п — ф = 0, получим, что

T—f (x) = Tt f (x). (17)

Вычислим Tf (0). Можем считать t > 0. Имеем A = t, B = cos ф, g = = 2fe(t) + 2f0(t) cos ф,

/*П /»П

Tf (0) = Ca fe(t) / sin2 a ф(!ф + Cafo(t) cos ф sin2a ф(!ф = fe(t).

JO JO

Так как

A(—x) = ch x ch t + sh x sh t cos(n — ф)

B (—x) = —fracsh x ch t + ch x sh t cos(n — ф^(—x), то, делая в (15) замену п — ф = 0, получим, что

Ca

2 jo

Лемма 2. Оператор (15) действует из пространства Lp(R, /j.a) в пространство Lp(R, /ia), 1 ^ p ^ ж и его норма равна 1.

Доказательство. Согласно (17) достаточно рассмотреть t > 0. Для t >

> 0 \\T2tf \\р,^а, как и в лемме 1, достаточно оченить при p = ж и p = 1. Если p = ж, то в силу (15), (16)

Tf (—x) = Ц 0 {f (A)(1 — B) + f (—A)(1 + B)} sin2a фdф. (

18)

\\T2\\™,V* ^ Y J {\\f (1+ B) + \\f (1 — B)} sin2a ф(1ф = \\f •

Если p = 1, то в силу (15), (16), (18)

f \Ttf (x)\dva(x) < Cf\ Г Г {\f (A)\(1 + B) + \f (—A)\(1 — B)} ■

J r 2 uo Jo

rn

■ sin 2a фсф!^(x)+ / / {\f (A)\(1—B)+\f (—A)\(1—B)} sin 2a фdфdц,a(x)

Jo Jo

rn

= Ca / {\f(A)\ + \f(—A)\} sin2a dфd^a(x)•

oo

Согласно лемме 1

rn

Ca / \f (A)\sin2a dфd^a(x) ^ / \f (x)\d^a(x),

o o o

го гп го /*0

са / \/ (-А)\8Іп2" (1^(1^а{х) ^ / \/ {-х)\(1^а (х) = / |/(ж)|^^а(ж),

./0 ./0 ./0 л — о

поэтому

/* о /* 0

УУ ||і,а </ \/(х)ИЫх)+/ \/(х)ИЫх) = ||/||і,^а •

70 J—о

Лемма доказана.

Лемма 3. Операторы (11), (15) в Ь2(М, ца) совпадают. Доказательство. Из теоремы умножения для функций ул,а(х) [7]

Т&Ха (х) = ТІфХ,а(х) = УЛ,а(%Л,а(х) (19)

Дифференцируя обе части равенства

ГП

У\,а(І)УЛ,а(х) = СЛ У\,а(А) 8ІП2"

0

по х, получим

гп

УЛ,а(і)У'\,а = У'\,а(А)А'х 8Ш2а У^ (20)

0

Отсюда и из (4), (15), (19)

п

Т2,е\,а(х) = {ел,а(А)(1 + В) + бд ,а(-А)(1 - В)} 8ІП2" у(1у =

0

= Ул,аб\,а(х) (21)

Пусть / Є І2(М,^а),

/(А) = / (х)еда(х)йц,а(х) •

^Ж

Тогда частичные интегралы

гя ^

вя/(х) = / /(Х)бл,а (х)(1оа(\)

■І—я

сходятся в Ь2(М, Ца) к /(х). Согласно (11), (21), линейности оператора Т|

/■я —

Т2Бя/(х) = / /(Х)Т%б\,а(х)(ІОа(\) =

я

Ся ^

= У\а(1)/(Х)б\а(х)ЛОа (А) = Т*£я/(х)

я

Остается воспользоваться непрерывностью операторов Т|, Т1 в Ь 2(М, ца). Лемма доказана.

В дальнейшем будем использовать обозначение Т1 и для оператора Т|. Соберем вместе некоторые свойства оператора обощенного сдвига Т*:

(!) г

Тг1 = 1. (22)

(2) Если /(х) ^ 0, то

Тг/(х) ^ 0. (23)

(3) Если / е Ь2№,Уа), то

(Т/ )(Л) = ,а(/)- (24)

(4) Если т > 0, эирр / С [—т, т], то

эиррТг/ С [—т — \Щ, —т + Щ]. (25)

(5) Если /, д е Ь2^,у,а), то

(Тг/,д),а = (/,Тгд),а. (26)

(6) Если / е 1/1^, Уа), то

I Тг/й^а = / /й»а. (27)

■)ж -)ж

Свойства (22), (23) вытекают из (15). Свойство (24) вытекает из (11). Свойство (25) вытекает из того, что если \х\ > т + \Ь\ то

еИхеИЬ + эИх эИЬеоэ <р ^ еИ \х\ еИ \Ь\ — эИ \х\ эИ \Ь\ = еЬ(\х\ — \Ь\) > еИт.

Свойство (26) вытекает из равенства Парсеваля и (24). Свойство (25)

вытекает из того, что если Хя — характеристическая функция отрезка

[—Я, Я], то

/ Тг(/(х)хп)ХпЛуа(х) ^ [ Тг/(х)й^а(х),

ЛЖ ЛЖ

/ /(х)ХвТ1ХЯ(¥а(х) ^ /(х)йу,а(х) (Я ^ Ж>)

ЖЖ и согласно (26)

/ Тг(/(х)хк)Хпйц.а(х) = /(х)хкТгхкйц,а(х).

ЖЖ

Оператор обощенного сдвига тг (12) может быть записан

тг/(х) = [ ел ,а (Щ)1(Л)ел,а(х)йОа(Л). (28)

Найдем его интегральное представление.

Рассмотрим интегральный оператор

т1/(x) = у J {/(A)(1+ С)+/(—A)(1 — С)} (1+cos ^)sin2a (29)

где

. , , , . . sh(x +1)

A = arch(ch x ch t + sh x sh t cos ф), C = - —-—

sh A

и считаем C = 0, если x = t = 0.

Оператор (29) в отличие от оператора (15) не является положительным. Тем не менее справедлива следующая лемма.

Лемма 4. Оператор (29) является ограниченным линейным интегральным оператором из Lp(R, ца) в Lp(R,^a), 1 € p € о.

Доказательство. Так как согласно (1б)

sh x ch t + ch x sh t cos ф

|(1 і C)(1 + cos ф)| € 2 +

+

sh A

sh t ch x + ch t sh x cos ф

sh A

+ € 4,

то

ГП

К/(x)| € 2Ca {|/(A)| + |/(—A)I} sin2a

o

Далее, как и в лемме 1, получаем оценки

Уі / Wp,,a €

сначала при р = 1, ж, а затем, опираясь на интерполяционную теорему Рисса-Торина, и для 1 < р < ж. Лемма доказана.

Лемма 5. Операторы (28), (29) совпадают в пространстве L2(R,^,a).

Доказательство. Согласно лемме 4 и рассуждениям в лемме 3 достаточно доказать равенство

т\ел,а (х) = ел ,а(Ь)ел,а(х). (30)

Так как в силу (4), (10)

г sgn Л\/Л2 + (а + 2)2 ел , а (х) = фл, а(х) +-^(а + 1)------- хфл,а+ 1 (х),

то

ел,а(Ь)ел,а(х) = фл,а(Ь)фл,а(х) — Л 4+0++)2^ ^ 1Фл,а(Щ) йЬ хфл,а(х) +

г sgn Л л/ Л2 + (а + 2 )2

+--------2(а + 1)---------{фл,а(Ь) ЭЬ хфл,а+1(х) +

+фл,а(х)йЪ Ьфл,а+1 (Ь)}. (31)

Для функций фл,а(х) справедлива теорема сложения (см. [5, 15])

фл,а(А) = аГ (а)

2 ~ (—1)k(а + к)_____________

k=0 22k |Г(2 - а + гЛ)|2 Г2(а + к + 1)

£

•(йИ Ь)к фл,а+к (Ь)(вЬ х)к фл,а+к (х)Са(еОЭ ф),

где Са(х) — многочлены Гегенбауэра, ортогональные на отрезке [—1, 1] с весом (1 — х2)а - 1/2, для которых

С а(1) = Г(2а + к)

Ск (1)= к!Г(2а) •

Из теоремы сложения, (19), (20)

ГП

фл,а(Ь)фл,а(х) = Са фл,а(А) 8Ш2а ф(1ф,

Jо

, . _ , . 4(а + 1)2са Г . .. 2а

йИ Ьфл,а+1 (Ь) эИ хфл,а+1(х) =-----(----—^ фл,а ( А) еОЭ ф йШ фйф,

(а + 2) 70

ГП

фл,а(Ь)$Ъ. хфл,а(х) = сЛ йИ Афл,а+1(А) А'х э1п2а фйф,

7о

П

йИ Ьфл,а(Ь)фл,а(х) = сЛ йИ Афл,а+1(А)А£ э1п2а фйф

0

Отсюда и, из (31) и равенства

С (1 + еой ф) = АХ + А£,

получим

[П I гsgnЫЛ2+ (а+ 2)2

ел,а(Ь)ел,а(х) = Са J < фл,а +1(А)+ 2(0+1) Афл,а+1(А)С

л /* W

•(1+cos ^)sin2“ pdp = -а {ел,«(А)(1 + C) +

2 Jo

+еЛа(—A)(1 — C)}(1 + cos у) sin2a уdp. Равенство (30) и лемма 5 доказаны.

Таким образом, оператор (12) имеет интегральное представление (29).

3. Теоремы Джексона

Пусть f(х) Є Ь2(М, ца). Величину ее наилучшего приближения определим равенством

С помощью операторов обощенного сдвига Т*, т1 модули непрерывности в пространстве £2(М, ^а) определим двумя способами Для г ^ 1 положим

Er(/)2, а = inf{/- g||2,.а : g Є L2(R,^a), supp <7 С [—R, R]}, R> 0. По теореме 1

(32)

Ur (SJ )2, a = sup |Ar / ІІ2,.a ,

(33)

0<t<S

Ur (8J )2, a = sup ||АГ / ІІ2,.a ,

(34)

0<t<S

где

n=o

разностные операторы, I — тождественный оператор. По теореме 1

и

Аналогично

^(5,f)2,а = sup / (1 - ex,a(t))r\f(X)\2daa(Л) (36)

0<t<SJ R

Из определения обобщенных экспонент 1 — ф\а(Ь) ^ |1 — еХа{г)\1 поэтому для модулей непрерывности (33), (34) из равенств (35), (36) вытекает, что

иг (5, / )2 , а ^ й (5, / )2 , а- (37)

Далее положим

. 1/2

^ (У) — / (х)|2)|у=х^а(

t(5,f)2,а = suP ( I (Tty\f (y) - f (x)\2)\y=xdMx)) , (38)

0<t^5 \JR J

to (5,f )2,a = suP ( I'Т \f (y) - f (x)\2 )\y=xd^a(x)] • (39)

0<t^<S V J R J

Согласно (22), (24), равенства Парсеваля

f (Tt\f (y) - f (x)\2)\y=xd^a(x) = f (Tt\f (x)\2 + \f (x)\2Tt(1) -Jr Jr

-2 Re j (x)Ttf(x))dpa(x) = 2||f № - 2Re / j (x)Ttf(x)d^a(x) =

Jr

= 2 I (1 - ^\,a(t))\f^)\2daa(X)^

R

Аналогично,

! (Ty\f (y) - f (x)\2)\y=xd^a(x) = 2||f Wl^a - 2Re f f (x)Ttf (x)d^a(x) =

J r Jr

= 2 I (1 - ^ла(£))\/(Л)\^а(Л),

Jr

поэтому в силу (35)

t(5, f )2,a = UJ(S, f )2,a = V2ti(S, f )2^ (40)

Опеределим константы Джексона

7~i ( D ER(f )2,а

Dr (R,S)2ta = SUP - ’ ,

feb2(R,^a) шr(5,J)2,a ER(f )l,a

Dr (R,S)2,a = SUp

D(R, 5)2, a = sup

UUF — /с _p\ )

f €L2(R,Ma) Шг (5,J )2,a

Er (f )l,a

■г /г rt 5

f€L2(R,Ma) t(5 J )2,a

d ER(f ^2а

D (R,S)2, а = sup ’ .

f€L2(R ,ца) ш(5,1 )2,а

Согласно (37), (40)

Dr (R,S)2,а ^ Dr (R, 5)2,а,

D(R, 5)2 ,а = D(R, 5)2 ,а = Di(R, 5)2 ,а. (41)

Лемма 6. Если а > —1/2, 5 > 0, то

lim sup \<р\,а&)\ = 0, lim sup \Хрл,а+1Ш = 0.

^^|t|>5 ^^|t|>5

Доказательство. Вначале оценим рл,а&) равномерно по X, t £ R. Воспользуемся интегральным представлением [6, 7]

=а+1/2с rt

^Ла(t) = ------2—а c°s Xx(ch t — ch х)а-1/2(1х.

sh2а t Jo

Вместо неравенств A ^ c(a)B будем писать A ^ B. Имеем

1 f |t|.

o

Делая замену переменной т = ch t — ch x и вводя обозначение a = ch t — 1, получим

1 f |t|

\^Л,аШ^ (sh\t\)2a J (ch t — ch х)а-1/2^х-

, , ча_\/2j fa та 1/2dT

(ch t — ch х)а 1/2dx =

/o Jo \/(a + 1 — т )2 — 1

ra/2 T^^dT Г та-1/Чт

+ г-.----- .. <

л/(a + 1 — т)2 — 1 Ja/2 \/(a + 1 — т)2 — 1

<< . 1 [a/2 та-1/2dт + aа-1/2 /a+1

a(a + 1) o 1 т2 + 1

« (ch t — 1)а-1/2| + \t^ . (42)

Отсюда и из (42)

• , м 1 \t\ 1 + \t\ ,

Ь а(t)\« -ЩГ+72 + sh |(chtr << - ( )

Аналогично после интегрирования по частям =а+3/2 c X ft

Х^Л,а+1 (t) = (sh ^2(а+1) J c°s Xx(ch t — ch x)а+1/2dx =

o

2а+3/2 (а + 1 ^ c ,, f t ,

= ------ — , 2:а— sin Хх sh x(ch t — ch x)а-1/2dx. (44)

(sh t)2^ Jo V 7

Из асимптотических свойств гипергеометрической функции [6, 7] следует, что равномерно по t £ [5, M] при X ^ ж

\фЛ ,аШ = О ( щО+щ) , 1Х^Л ,а+1(^)1 = О ( ща+ф) ■

Отсюда и из (43), (44) вытекают утверждения леммы.

Лемма 7. Если а > —1/2, R > 0, 5 > 0, r ^ 1, то

Dr (R, 5)2,а ^ 1. (45)

Доказательство. Для любых R> 0, 5 > 0 из (32), (36)

J'w>r\7(X)\2dMX)

.,.,.„7 ,х,' 2

;2

r

Dr(R,5)2 , а = sup

= sup

f eL2(R, »а) sUPo<t Л | ^R \ 1 — еЛ ,а(^ \r \7(Х) \ 2^а(Х)

Jr dP(X)_____________

Р sUP0<t^S JR \ 1 — бЛ ,а(t) \rdP(X) ’

где р(Л) — неубывающая функция ограниченной вариации на [г, ж). Рассмотрим неубывающие ступенчатые функции ограниченной вариации с разрывами в точках фиксированной возрастающей последовательности Лк, Лк ^ Я, Ли ^ ж (к ^ ж) и скачками рк ^ 0, получим

У" рк те

Dr(R, 5)2 ,а ^ sup { -----------k=1--------------------- : р ^ 0,J> <

sup £ \ 1 — бЛ ,а (t) \ r Рк к=1

0<t^<S к=1

Из леммы 6 вытекает, что для любого т > 0

sup \ 1 — \ 1 — бЛ, а (t) \ r \ ^ 0(k ^ ж),

t^r

поэтому по лемме В. В. Арестова [16] получаем оценку (45). Лемма доказана.

Теорема 2. Если а > —1/2, R > 0, r ^ 1, TR — наименьший

положительный нуль фr,а(t), то

Dr (R, 2тR)2,а = Dr (R, 2т^2,а = 1,

D(R, 2тЯ)2,а = D(R, 2тR)2,а = ■

Доказательство. Согласно (41), лемме 7 досаточно оценить

Dr (R, 2тR)2 ,а сверху. Будем следовать общей схеме. В [7, 8] построена

непрерывная четная неотрицательная весовая функция Фд, для которой выполнены условия

(1) эиррФд С [0, 2тд],

(2) /к фд(№а№ = 1,

(3) Фд(Л) < 0, | Л | ^ Я.

В качестве весовой функции можно взять следующую функцию

Фд(*) = адТТЕ(<рда ■ х-д,щ)(^, ад > 0.

Используя свойства этой функции, (32), (35), неравенство

(1 — х)г ^ 1 — гх, х ^ 1,

получим

/ /112 ,ра ФД(^)^^« (^ >

JR

> ( [ (1 — ,а(1))Г1/(Л)12йаа(Л)Фд(1)й^а(г) ^

JжJ\х\^д

> ! |/(Л)|2^а / Фд(^)d^а(^) —

J\\\^д Jж

—г! |/(Л)|2Ф д (Л)йоа(Л) > ед (/)2 а,

■)\\\^д

[ /112, Фдф)(1р,а(г) < Ш2(2гд, / )2 ,а [ Фд(г)(1р,а(г) = Ш^(2тд,/ )2 , а,

Jш Jш.

поэтому

Е2д(/)2,а ^ и%(2тд,/)2,а, Ог (Я, 2тд)2,а ^ 1.

Теорема доказана.

Список литературы

1. Ибрагимов И.И., Насибов В.Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени // ДАН СССР. 1970. Т.194, №5. С.1013-1016.

2. Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Изв. вузов. Математика. 1972. №6. С.65-73.

3. Левитан Б.М., Саргасян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.

4. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

5. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. М.: Наука, 1991.

6. Бейтман Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Т.1. М.: Наука, 1961.

7. Горбачев Д.В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложений. Тула: Гриф и К, 2003, 192с.

8. Горбачев Д.В., Пискорж М.С. Точное неравнство Джексона в L2 на гиперболоиде // Изв. ТулГУ. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4. Вып.1. С.54-58.

9. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространстве L2(R) со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.3. С.101-117.

10. Иванов А.В., Иванов В.И., Liu Yongping Неравенство Джексона в пространстве L2 на отрезке [—1, 1] с гиперболическим весом // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Межд. науч. конф. Тула: ТулГУ, 2008. С.64-66.

11. Ivanov A.V., Иванов V.I., Liu Yongping Jackson inequality in L2-space on [—1, 1] with hyperbolic weight // Современные проблемы математики, механики и их приложений: матер. Межд. конф. М.: МГУ, 2009. С.103-104.

12. Opdam E. M. Harmonic analysis for certain representations of graded Hecke algebras // Acta. Math. 1995. V.175. P.75-121.

13. Anker J. Ph., Ayady F, Sifi M. Opdam’s hyperheometric functions: product formula and convolution structure in dimension 1 // Adv. Pure Appl. Math. 2011. arXiv: 1004.5203V2 [math. CA].

14. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.2. М.: Мир, 1965. 538 c.

15. Flensted-Jensen M., Koornwinder T.H. Jacobi functions: the addition formula and positivity of the dual convolntion structure // Ark. Math. 1979. V.17. P.139-151.

16. Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенство Джексона на сфере в L2 // Изв. вузов. Математика. 1995. №8. С.13-20.

Осташев Сергей Викторович (sergey.ostashev@gmail.com), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Jackson Theorems in Z2(R)-space on the straight line with

hyperbolic weight

D.V. Ostashev

Abstract. The exact Jackson inequalities in L2-space on the straight line with hyperbolic weight are proved.

Keywords: straight line, power weight, L2-space, best approximation, generalized translation operator, module of continuity, Jackson inequality.

Ostashev Sergey (sergey.ostashev@gmail.com), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 04-02.2011