CC BY
25
УДК621.396.96.001(07)
А. А. Кишкин, А. А. Зуев, М. Г Мелкозеров, Е. В. Черненко, А. С. Константинов
ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРНЫЕ ТОЛЩИНЫ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ
Проведено исследование степенного и градиентного профиля распределения скорости, получены выражения для относительных характеристик толщины динамического пространственного пограничного слоя. С учетом отношения толщины потери импульса получено выражение для закона трения градиентного профиля распределения скорости.
Ключевые слова: пространственно пограничный слой, толщина потери импульса, толщина вытеснения, закон распределения профиля скорости, закон трения.
Существующие на сегодняшний день логарифмические и степенные профили для аппроксимации эпюры скорости в пристеночном пограничном слое (рис. 1) имеют существенные недостатки [1] .
При логарифмическом законе распределения при у ® 0; и ® -¥, что физически нереально, логарифмическая формула не может описывать распределение скоростей турбулентного потока в непосредственной близости от стенки, поскольку существует вязкий подслой, течение в котором характеризуется значительным влиянием сил вязкости и определяется почти линейным законом
du du
распределения (t0 = ц— = const и — = const), подоб-
dy dy
но ламинарному безнапорному течению (течению Куэтта). Кроме того, — ф 0 на толщине пограничного слоя (на
су
оси трубы) как для степенного, так и для логарифмического профиля. Между тем, естественным условием на оси, подтверждаемым опытными данными, является
= 0 . Несмотря на эти недостатки профили
y=5=R
(рис. 1) в основной части турбулентного ядра потока со-
гласуются с опытными данными многих исследователей. Согласно Л. Прандтлю [2] установлен теоретический закон распределения скорости в поперечном сечении турбулентного потока в цилиндрической трубе, где у - расстояние от оси трубы либо от верхней границы пограничного слоя:
ТТ и 1 К и = и------1п-
Я (1)
С Я-У
где и - скорость на оси трубы; Я - радиус трубы или толщина пограничного слоя 5 ; С - опытный числовой
(т V’5
коэффициент; и * = I — I - динамическая скорость;
и ^ Р 0
т0 =1р—— - напряжение трения; и - средняя скорость. 8
Приближенно распределение скоростей при турбулентном течении предлагается оценивать вместо формулы (1) выражением
и~и , , , (2)
U
при у = 0 - точка на оси трубы и = и - согласуется с теоретическим значением (1). Примем более удобное для нашего случая обозначение у как расстояние от непод-
0.2
0.4
0.6
0.В
Y
Рис. 1. Степенной (а) и логарифмический (б) профили скоростей в пристеночном пограничном слое: у = |^у
г - и
относительная координата; о - толщина пограничного слоя; и =-------относительная скорость
0
вижной стенки, тогда формула (2) преобразуется следующим образом:
и - и ( Я - у'
и
Я
(3)
или после преобразований с учетом и = и • у = У_ получим уравнение, выразив и :
и = 1 - (1 - у)т . (4)
Графически зависимость (4) представлена на рис. 2 совместно с выражением:
и = уг‘
Г
— [1 - (1 - у )т ] = т(1 - у Г-1. су1- -1
8:=Л'
у=
1 -Iу
і л
ёу =
т +1
■ = 8*;
- толщина потери импульса продольного потока
=1 и^ (> - и^) *=М
1 -|у
1 л
ёу =
8.
Толщина потери импульса продольного потока в поперечном направлении для степенного закона распределения профиля скорости (учтем, что профиль поперечной скорости выбираем по рекомендации) [3]:
( / \3 Л
w = и є —
и
V
1 -1 и
(10)
8»=/|1 - и) и=[ [1 -у )
1 (
(5)
з л
1 -'-у)т
ёу =
= є8т
1
1
1
т +1 т + 2 т + 4 є8т(6т +18)
т + 5
(т + 1)(т + 2)(т + 3)(т + 4)(т + 5)
(11)
где є - тангенс скоса данной линии тока.
Относительная характерная толщина (7) для степенного закона распределения профиля скорости с учетом (11), (8) находится по выражению
7 = 1^. = 6(т +3) . (12)
є 8ф (т + 4)(т + 5)
Толщина потери импульса поперечного потока в продольном направлении для степенного закона распределения профиля скорости:
Рис. 2. Распределение профилей скоростей градиентного и степенного закона
Следует отметить, что профиль (2) не имеет недостатков логарифмического (1) и степенного (5) профилей: в
центре трубы — = 0 и производную на неподвижной
дЯ
стенке:
8** = [ ^—ёу = [є —
** Л и и -1 и
(
и
зЛ
— ёу =
и
у)" +(у
з Л
ёу =
= є8т
(6)
1
1
= є8-
3т
(13)
Основные выражения для характерных толщин ППС степенного закона (5):
- толщина вытеснения
т + 2 т + 5 0 (т + 2)(т + 5)
Относительная характерная величина (М) для степенного закона распределения профиля скорости с учетом (13), (8) имеет вид
М = 18*і= 3(т +1) є 8** т + 5
(14)
Толщина вытеснения поперечного потока рассчитывается по формуле
(7)
* (• w г и
8* = [ и = [є и
п ^ п ^
( / \3А
1 -(и
= є8-
3т
(т + 1)(т + 4)
(15)
Обратим внимание, что 5*** = 5* -5ф* [3], тогда с учетом (15) и (11) получаем выражение, тождественное (13):
** к ** 3т
5** =5* -5** = е5---------—---------
*** * ** (т + 1)(т + 4)
(8)
-є8
т(6т +18)
Относительная характерная толщина (Н) для степенного закона распределения профиля скорости рассчитывается по выражению
*
8* 8 (т + 1)(т + 2) т + 2
Н =^г =------------------------=--------• (9)
8 (т +1) 8т т
(т + 1)(т + 2)(т + 4)(т + 5) є8т ( 3т2 + 15т +12
(т + 1)(т + 4) [ (т + 2)(т + 5)
3т
= є8-
(т + 2)(т + 5)
8
0
8
0
Толщина потери импульса поперечного потока степенного закона распределения профиля скорости имеет вид
8 2 8 / V
8И и2 *і є2 (—)
8
2
= Р
0
.(
2( с \Л2
,1 й,
4 Л2
йу =
йу =
у)" - 2 'у
+ |у
; Л
йу =
= є 8т
80 [80 [8 (1 - т)(т + 8) + (т + 2)(т + 5)
= є2 8-
(т + 2)(т + 5)(т + 8) 18т
= 8*
Ь = -
є 8* (т + 5)(т + 8)
Ж
8/ Л 8 1/ \
8* = { I1 -—) йу={ [і1 -І)
йу.
Произведя замену переменных г = 1 - —; йг = ——,
8 8
8! =-
1 -| 1 - У
1 - у
йу.
Н 8ф 8 (т + 1)(2да +1) 2т +1
8** (т +1)
(21)
5т т
Учтем, что профиль поперечной скорости [4] определяется выражением (10), толщина потери импульса продольного потока в поперечном направлении выглядит следующим образом:
5 / \ 5 ,
=[|1 -—) ъ-[(1 -У
1 -| 1 - У
Л
1 -
йу,
сделав подстановку (19), после достаточно громоздких преобразований получим выражение
(16)
(т + 2)(т + 5)(т + 8)
Относительная характерная толщина (Ь) для степенного закона распределения профиля скорости с учетом (16) и (8) равна
"** 18(т +1)
8** = є8| ф* | 2т +1
или в другом виде
6
1
3т +1 4т +1 5т +1
8** є8т(36т2 + 11т +1)
ф* = (2т + 1)(2т + 1)(4т + 1)(5т +1)
(22)
(17)
Относительная характерная толщина (р) связана с другими [3] и имеет вид
Ь
Относительная характерная толщина (7) для закона профиля (4) с учетом (20) и (22):
(т + 1)(36т2 + 11т +1)
7 =18ф*
є 8ф*
(23)
(18)
Относительная (существенно положительная) характерная величина (К) для степенного закона распределения профиля скорости находится по уравнению
К = М + 7 =18^*ф +1 % =
є 8ф є 8ф
= 484т4 + 367т3 + 115т2 + 17т +1 = (3т + 1)2(4т + 1)(5т +1) •
Рассмотрим аналогичные толщины ППС для закона профиля (4), — = 1 - (1 - у )т, толщина вытеснения (8ф) выглядит следующим образом:
8 / \ 8 А/ \тЛ
(3т + 1)(4т + 1)(5т +1)
Толщина потери импульса поперечного потока в продольном направлении для закона профиля (4) рассчитывается по выражению
8
—
8** = [ Ъ—йу = є[ —
*ф J и и *и
и
1 -| ии
)3 Л —
00 и
у) т Л
80 0
йу•
Произведя замену переменных (19), после интегрирования имеем
я** _( 3 9 10 5 1
5 — е51-----------------1------------------
*ф I т +1 2т +1 3т +1 4т +1
5т +1
получим выражение
(19)
т +1
Толщина потери импульса продольного потока составит
8 ( / Лт Л і
или в другом виде
„** 2є8т2 (47т2 + 12т +1)
8*ф =---------------- --------------- --------. (24)
*ф (т + 1)(2т + 1)(3т + 1)(4т + 1)(5т +1)
Относительная характерная величина (М) для градиентного закона распределения профиля скорости с учетом (24) и (20):
1 8**
1
М = --ф =
є 8ф
є82т2(47т2 + 12т +1)
0 V у 0 Произведя аналогичную (19) замену переменных, получим формулу
с** 5т
5ф = -
є (т + 1)(2т + 1)(3т + 1)(4т + 1)(5т +1) (т + 1)(2т +1) = 2т(47т2 + 12т +1)
(25)
8т (3т + 1)(3т + 1)(5т +1)
Толщина вытеснения поперечного потока имеет вид
-• (20) (т + 1)(2т +1)
Относительная характерная толщина (Н) для градиентного закона распределения профиля скорости имеет вид
8* = [ Ъйу = [є -
* J и 1 и
и
( / Л3Л
1 -(—
V
и
йу =
/
/ \т ( т 4
1 -(1 - у) - 1 - |1 - у)
[ 8 0 [ 8 0 0
і
йу,
8
После замены переменных (19) и интегрирования получаем выражение:
3 6 4 1
** *1 - 6 4
8* =є8|--------------------+--------------------
\т +1 2т +1 3т +1 4т +1
или
8* є8(26т3 + 9т2 + т)
* = (т + 1)(2т + 1)(3т + 1)(4т +1) • Отметим, что проверка по выражению
є8(26т3 + 9т2 + т)
8 2 8 ( / \ 4 Л2
8** = [Ъгйу = є2 [| — -|—)
* 0 и1 у I и [ и) ,
йу =
Л2 ( - 2
йу,
(
8* =є2 8
36
60
2т +1 3т +1 4т +1
54 28 8
1
или
8* -
| 5т +1 6т +1 7т +1 8т +10
2є28т2(7032т4 + 2602т3 + +413т2 + 32т +1)
Ь=4- 4=
є2 8,
2т (т + 1)(7032т4 + +2602т3 + 413т2 + 32т +1)
(28)
(26)
8"* =8" -8"* =-*ф * ф* (т + 1)(2т + 1)(3т + 1)(4т +1)
є8(36т3 + 11т2 + т) =
(2т + 1)(3т + 1)(4т + 1)(5т +1)
= 2є8т2(47т2 + 12т +1)
(т + 1)(2т + 1)(3т + 1)(4т + 1)(5т +1)
дает результат, аналогичный уравнению (24).
Толщина потери импульса поперечного потока для закона профиля (4):
(3т + 1)(4т + 1)(5т +1) > х(6т + 1)(7т + 1)(8т +1)
Относительная (существенно положительная) характерная величина (К) для степенного закона распределения профиля скорости:
К = М + 7 =18ф +1 ф =
є 8ф є 8ф
т(3т +19) + 22 (т + 4)(т + 5)
Очевидно, что использование градиентного закона распределения профиля скорости требует изменения всех относительных характерных толщин в уравнениях импульсов ППС и изменения закона трения, поскольку отношение толщин потери импульса степенного (5) и градиентного (4) закона распределения профиля скорости отличается от единицы:
2т +1
т + 2
■Ф1.
(29)
Для степенного закона распределения профиля скорости т = 7 имеем согласно [3]:
(
После замены переменных (19), интегрирования и достаточно громоздких преобразований получим выражение
ри2
= 0,01256
и 81
(30)
Для градиентного закона распределения профиля скорости т = 7 получаем с учетом (29):
(
ри2
= 0,0111
и 8ф
(31)
(27)
(2т + 1)(3т + 1)(4т +1) х х(5т + 1)(6т + 1)(7т + 1)(8т +1) Относительная характерная толщина (Ь) для градиентного закона распределения профиля скорости с учетом (27) и (20):
где 5** для уравнения (30) вычисляется по (8); 5** для выражения (31) вычисляется по (20).
Для удобства относительные характерные толщины для законов (5) и (4) при различных значениях т сведены в таблицу.
Библиографический список
1. Емцов, Б. Т. Техническая гидродинамика : учеб. для вузов по спец. «Г идравлические машины и средства ав-
Значения характерных относительных толщин для различных законов распределения скорости по толщине ППС
т Н 7 М Ь К
1 3 0,8 1 0,66(6) 0,8334 1,4667 Для закона 1 — = ут
2 2 0,7143 1,2857 0,7714 0,8399 1,7143
7 1,2857 0,45(45) 2 0,8 0,8801 2,2879
9 1,2(2) 0,3956 2,1429 0,7563 0,8921 2,3956
11 1,(18) 0,35 2,25 0,7105 0,9022 2,475
1 3 0,8 1,25 0,66(6) 0,66(6) 2,05 для закона — =1-(1-у)"
2 2,5 0,7229 1,5807 0,7054 0,6173 2,3036
7 2,1429 0,6416 1,9187 0,7081 0,5752 2,5603
9 2,11(1) 0,6329 1,9545 0,7065 0,5711 2,5874
11 2,09(09) 0,6272 1,9779 0,7053 0,5685 2,6051
томатики» / Б. Т. Емцов. 2-е изд., перераб. и доп. М. : Машиностроение, 1987.
2. Осипова, В. А. Экспериментальное исследование процессов теплообмена : учеб. пособие для вузов /
В. А. Осипова. 3-е изд., перераб. и доп. М. : Энергия, 1979.
3. Степанов, Г Ю. Гидродинамика решеток турбомашин / Г Ю. Степанов. М. : Физматгиз, 1962.
4. Сперроу, Е. М. Влияние предшествующих процессов на гидродинамическое развитие течения в канале / Е. М. Сперроу, С. Е. Андерсон // Тр. Американского общества инженеров-механиков. 1977. N° 3. С. 222-228.
A. A. Kishkin, A. A. Zuev, M. G. Melkozerov, E. V. Chernenko, A. S. Konstantinov
RELATIVE CHARACTERISTIC THICKNESSES OF THE DYNAMIC THREE-DIMENSIONAL BOUNDARY LAYER AT VARIOUS LAWS OF VELOCITY DISTRIBUTION
The degree and gradient profile of distribution of velocity investigation is conducted. The expressions for relative characteristics of the dynamic three-dimensional boundary layer thickness are received. Taking into account the relation of loss of an impulse expression thickness for the friction law gradient profile of speed distribution is received.
Keywords: three-dimensional boundary layer, thickness of impulse loss, thickness of replacement, law of distribution of velocity profile, friction law.
© Кишкин А. А., Зуев А. А., Мелкозеров М. Г., Черненко Е. В., Константинов А. С., 2009
