CC BY
55
ГИДРАВЛИКА. ИНЖЕНЕРНАЯ ГИДРОЛОГИЯ. ГИДРОТЕХНИЧЕСКОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО
УДК 532.5
В.С. Боровков, В.В. Волшаник, И.А. Рылова
ФГБОУВПО «МГСУ»
ХАРАКТЕРНЫЕ ОСОБЕННОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ
Получены профили скорости для зоны вязкого течения при постоянном и изменяющемся касательном напряжении. Показано, что течение в этом слое имеет нестационарный характер, при котором вязкое течение перемежается с турбулентным. По опытным данным Никурадзе установлено, что логарифмический профиль скорости строго подтверждается только в некоторой пристеночной зоне, названной слоем Прандтля. Получена формула для определения толщины слоя Прандтля в зависимости от коэффициента гидравлического сопротивления. Показано, что толщина слоя Прандтля практически совпадает с толщиной вытеснения пограничного слоя.
Ключевые слова: вязкий профиль скорости, логарифмический профиль скорости, толщина слоя Прандтля, толщина вытеснения пограничного слоя.
Для решения инженерных гидравлических задач необходимы наиболее точные сведения о распределении скоростей в поперечном сечении потока.
В настоящее время принято считать, что при турбулентном течении в потоке могут быть выделены четыре характерные зоны:
вязкий подслой, который характеризуется безразмерным расстоянием от
и,2 с ш твердой границы-= 5...11,5;
V
переходная (буферная) зона от вязкого течения к турбулентному, которая
и, 2
распространяется на расстояние -< 70;
V
выше буферной зоны расположен слой турбулентного течения с логарифмическим распределением скоростей. Толщина этого слоя при течении в трубах в среднем имеет порядок (0,15...0,2)г0. Для различных условий течения толщина этого слоя до настоящего времени не исследована;
выше располагается ядро потока, распределение скоростей в котором заметно отличается от логарифмического. Данная область носит название — закона следа [1, 2].
Течение в вязком подслое определяется действием сил вязкого трения и рассчитывается с использованием закона внутреннего трения И. Ньютона [3]:
ёи
= , (1)
аг
где т = рп — динамическая вязкость; р — плотность жидкости; V — кинематическая вязкость; и — местная скорость; 2 — расстояние от стенки трубы или дна канала.
В связи с малой толщиной вязкого подслоя, изменением трения в его пределах обычно пренебрегают t = const = t Вводя в рассмотрение динамическую скорость и, = —, интегрированием уравнения (1) получаем линейное \ Р
распределение скоростей в вязком подслое
u = uz. (2)
и, v
Записывая уравнение (1) с учетом линейного изменения трения в поперечном сечении потока и интегрируя, получаем более точное линейно-параболическое распределение скоростей в вязком подслое:
и u„z Г 1 z ^ 1---
(3)
и* V "
* \ ' /
где го — радиус трубы.
Толщину вязкого подслоя обычно характеризуют безразмерным комплексом , величина которого обычно принимается близкой к 10. С удалением V
от твердой границы потока течение становится турбулентным.
Как показали последние исследования [4—11], течение в вязком подслое имеет нестационарный характер — толщина его нарастает до некоторого предела, при котором вязкое течение сменяется турбулентным [12, 13].
Таким образом, можно записать, что напряжение трения в зоне выше вязкого подслоя складывается из двух составляющих: вязкой составляющей тв и турбулентной составляющей тт [14]: т = тв + тт.
Количественная оценка вязкой составляющей трения осложняется тем, что градиент скорости в потоке формируется одновременно действиями как вязкой, так и турбулентной составляющей трения, поэтому использование одного и того же градиента скорости при определении вязкого и турбулентного трения, строго говоря, не является обоснованным.
Таким образом, можно предполагать, что распределение скоростей в буферной зоне будет носить перемежающийся характер: при вязком течении в виде профиля (3) и при нарушении вязкого течения в виде логарифмических профилей Прандтля — Никурадзе [15, 16].
За пределами буферной зоны Л. Прандтлем было получено выражение для распределения скоростей [17], которое имеет вид
и 1, г „ ...
— = — 1п — + С, (5)
и* к Го
где к — параметр Кармана; С — константы, определяемые опытным путем.
При обосновании профиля (5) Л. Прандтль использовал предположения о малой величине вязкой составляющей трения и о постоянстве турбулентного напряжения [18]. Приемлемость профиля (5) для всего потока, подтвержденная измерениями И. Никурадзе в трубах, Л. Прандтль назвал «не более чем счастливой случайностью».
Тщательный анализ опытных данных И. Никурадзе, предпринятый разными исследователями [2, 12, 18—22], в дальнейшем подтвердил, что профиль (5) действительно наилучшим образом согласуется с данными измерений
И. Никурадзе только в некоторой пристеночной части потока, которую было предложено называть «слоем Прандтля» [23]. Выше слоя Прандтля измеренные значения скоростей отходят от зависимости Л. Прандтля (5) в сторону больших значений. Слой Прандтля в нижней его части граничит с буферной зоной. Положение верхней границы слоя Прандтля указывается разными исследователями неоднозначно, и факторов, управляющих толщиной слоя Прандтля, до настоящего времени установлено не было. Предпринятые ранее попытки связать положение верхней границы слоя Прандтля с толщиной вырождения турбулентных пульсаций скорости за счет действия вязкости [23] и максимумом турбулентных касательных напряжений [22] дали заниженные результаты.
Для определения толщины слоя Прандтля ¡^ были использованы распределения скоростей, измеренные И. Никурадзе в гладких и шероховатых трубах [15, 16]. Измеренные профили скорости в полулогарифмических координатах
r
V О /
позволяют выделить зону, в которой экспериментальное распреде-
Л = /
и„
ление скоростей согласуется с формулой Л. Прандтля (5).
Анализ экспериментальных данных позволил выявить влияние коэффициента гидравлического сопротивления X на толщину слоя Прандтля, который характеризуется аппроксимационной зависимостью I
(6)
С учетом того, что -у/1 существенно меньше 1 зависимость (6) может быть преобразована к виду
- = 7^ • (7)
Г 1 -л/1
I
На рисунке видно, что при средних значениях X = 0,02.. .0,03 величина — находится в пределах 0,17.0,23. г
0,350
0.300
0,250
0.200
0.150
0,100
0,050
1 \
1 A
. A
|_ /V
] A J iH ♦ A
A
*
—A-
Д ♦
iAi
► J ►_
«ф
3.0 4,0 5,0 6,0 7,0 1ЛЙС
;,о 9,0 ю,о п.о
- А ш1 роке им анионная зависимость (6) Гладкие трубы
г/к= 15
г/к = 30,6
г/к = 60
г/к = 126
г!к = 252
* г/к = 507
Толщина слоя Прандтля в гладких и шероховатых трубах при различной относительной гладкости г/к (по опытным данным Никурадзе)
r
Таким образом, слой Прандтля расположен в области максимальных градиентов скорости, наибольшей генерации и диссипации турбулентности [18].
Выполненный анализ показал, что толщина слоя Прандтля, отнесенная к радиусу трубы, близка к безразмерной толщине вытеснения пограничного слоя
—, где 5 — толщина пограничного слоя. Толщина вытеснения 8 определяе-8
мая как
8( ^
81 =i|1 - rhdz, (8)
О V U max /
характеризует уменьшение удельного расхода в плоском потоке при реальном распределении скоростей по сравнению с расходом в потоке без трения:
Umax 81 = Umax 8-J udz. (9)
О
Очевидно, что толщина вытеснения существенно зависит от неравномерности распределения скоростей вблизи твердой границы потока, которая определяется гидравлическим сопротивлением. По всей видимости, именно это обстоятельство определяет близость слоя Прандтля и толщины вытеснения. Если для определения 81 по выражению (8) использовать степенной профиль
скорости
8,
■л
u ( \
z
U rn
max V о у
n
получим
(10)
8 n +1
где n = — для пограничного слоя.
Сопоставляя зависимости (7) и (10) при отождествлении толщины пограничного слоя 8 с радиусом трубы r легко заметить, что они одинаковым образом зависят от коэффициента гидравлического сопротивления X, обладают
структурной общностью и количественной близостью значений — и —. Такое
ro 8
отождествление 8 с r0 возможно, поскольку на границе пограничного слоя и на оси потока в трубе трение равно нулю.
Таким образом, полученные зависимости позволяют рассчитать толщину слоя Прандтля, в котором распределение скоростей наиболее точно подчиняется логарифмическому профилю. За пределами этого слоя реальные скорости отклоняются от логарифмического профиля, что требует дополнительных исследований.
Библиографический список
1. Millikan C.B. A critical discussion of turbulent flows in channels and circular tubes // Proc. 5th Int. Congress of Appl. Mech., Cambridge, Mass. 1938. Pp. 386—392.
2. Coles D. The law of the wake in turbulent boundary layers // J. Fluid. Mech. 1956. Vol. 1. No. 2. Pp. 191—226.
3. Ньютон И. Математические начала натуральной философии / пер. с лат. и прим. А.Н. Крылова. М. : Наука, 1989. 688 с.
4. MikhailovM.D., Freire A.P.S. Feasible domain of Walker's unsteady wall-layer model for the velocity profile in turbulent flows // Annals of the Brazilian Academy of Sciences. 2014. No. 86 (4). Pp. 2121—2135.
5. Einstein H.A., Li H. The viscous sublayer along a smooth boundary // Proc. Am. Soc. Civil Engrs. Paper. 1956. Vol. 82. P. 945.
6. Hutchins N., Marusic I. Evidence of very long meandering features in the logarithmic region of turbulent boundary layers // J. Fluid Mech. 2007. Vol. 579. Pp. 1—28.
7. Emmons H.W., Bryson A.E. The laminar-turbulent transition in a boundary layer // Part I. JAS. 1951. Vol. 18. No. 7. Pp. 490—498; Part II. Proc. First US National Congress Appl. Mech. 1952. Pp. 859—868.
8. Schubauer G.B., Klebanoff P.S. Contribution on the mechanics of boundary layer transition // NACA Report. 1289. 1956. Pp. 853—863.
9. Dryden H.L. Recent investigation of the problem of transition // ZFW 4. 1956. Pp. 89—65.
10. Боровков В.С., Брянская Ю.В. Расчет сопротивления в переходной области с учетом перемежаемости течения в вязком подслое // Гидротехническое строительство. 2001. № 7. С. 20—22.
11. Mazzuoli M., Vittori G., Blondeaux P. Turbulent spots in a Stokes boundary layer // Journal of Physics: Conference Series 318 (032032). 2011. Pp. 1—10.
12. Богомолов А.И., Боровков В.С., Майрановский Ф.Г. Высокоскоростные потоки со свободной поверхностью. М. : Стройиздат, 1979. 344 с.
13. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / пер. с нем. М. : Наука, 1969. 711 с.
14. Киселев П.Г. Гидравлика: Основы механики жидкости. М. : Энергия, 1980. 360 с.
15. Nikuradse I. Gesetzmaessigkelten der turbulenten Stroemung in glatten Rohren. Forschungs-heft (Forschungs auf dem Gebiete des Ingenieur-wesens). 1932. No. 356. Pp. 1—36.
16. Nikuradse I. Stroemungsgesetze in rauhen Rohren // Forschungs-Heft (Forschungs auf dem Gebiete des Ingenieur-wesens). 1933. No. 361. Pp. 1—22.
17. Прандтль Л. Результаты работ последнего времени по изучению турбулентности // Проблемы турбулентности : сб. М. ; Л. : Изд-во ОНТИ НКТП, 1936. С. 9—35.
18.Хинце И.О. Турбулентность, ее механизм и теория / пер. с англ. М. : Физматгиз, 1963. 680 с.
19. Clauzer F.H. The turbulent boundary layer // Advances Appl. Mech. NY : Academic Press, 1956. Vol. 4. Pp. 1—51.
20. Zanoun E.-S., Durst F., Nagib H. Scaling laws for turbulent channel and pipe flows over a wide range of Reynolds numbers // 4th International Conference on Heat Transfer, Fluid Mechanics and Thermodynamics. 2005. Paper number: ZF2.
21. Stelian C. Analysis of turbulent flow in closed and open channels with application in electromagnetic velocimetry // Magnetohydrodynamics. 2012. Vol. 48. No. 4. Pp. 637—649.
22. Брянская Ю.В. Течение в пристеночном слое и за его пределами (в трубе, канале и пограничном слое) // Вестник МГСУ 2010. № 4—2. С. 60—65.
23. Боровков В.С., Корыванова В.Д. Особенности пространственного течения в туннеле при шероховатых стенках // Вопросы гидравлики и водоснабжения : сб. тр. 1980. № 174. С. 59—64.
Поступила в редакцию в апреле 2015 г.
Об авторах: Боровков Валерий Степанович — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры гидравлики и водных ресурсов, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 261-39-12, borovkov01@yandex.ru;
Волшаник Валерий Валентинович — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры гидроэнергетики и использования водных ресурсов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (8499) 182-99-58, tvg1806@gmail.com;
Рылова Ирина Александровна — аспирант кафедры гидравлики и водных ресурсов, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, mariposa516@yandex.ru.
Для цитирования: Боровков В.С., Волшаник В.В., Рылова И.А. Характерные особенности распределения скоростей в турбулентном потоке // Вестник МГСУ. 2015. № 6. С. 103—109.
V.S. Borovkov, V.V. Volshanik, I.A. Rylova
FEATURES OF VELOCITY DISTRIBUTION IN A TURBULENT FLOW
In this article the questions of kinematic structure of steady turbulent flow near a solid boundary are considered. It has been established that due to friction the value of the local Reynolds number decreases and always becomes smaller than the critical value of the Reynolds number, which leads to formation of viscous flow near a wall. Velocity profiles for the area of viscous flow with constant and variable shear stress are obtained. The experimental investigations of different authors showed that in this area the flow is of unsteady character, where viscous flow occurs intermittently with turbulent flow. With increasing distance from the wall the flow becomes fully turbulent. In the area where generation and dissipation of turbulence are very intensive, there is a developed turbulent flow with increasing distance from the wall. Dissipation of turbulence is an action of viscous force. The logarithmic velocity profile was obtained by L. Prandtl disregarding the viscous component and the linear variation of the shear stress in the depth flow. The profile parameters C and k were determined from Nikuradze's experiments. The detailed investigations of Nikuradze's experiments established the part of the flow where the logarithmic velocity profile is correctly confirmed.This part of the flow was called "Prandtl layer". The measured velocity distribution above this layer deviates in the direction of greater values. Processing of experimental data revealed that the thickness of the "Prandtl layer", normalized to the radius of a pipe, depend on a drag coefficient. The formula for determining the thickness of the "Prandtl layer" with the known value of the drag coefficient is obtained. It is shown that the thickness of "Prandtl layer" almost coincides with the boundary layer displacement thickness formed on the wall of the pipe.
Key words: viscous velocity profile, logarithmic velocity profile, thickness of the Prandtl layer, boundary layer displacement thickness.
References
1. Millikan C.B. A Critical Discussion of Turbulent Flows in Channels and Circular Tubes. Proc. 5th Int. Congress of Appl. Mech., Cambridge, Mass. 1938. Pp. 386—392.
2. Coles D. The Law of the Wake in Turbulent Boundary Layers. J. Fluid. Mech. 1956, vol. 1, no. 2, pp. 191—226. DOI: http://dx.doi.org/10.1017/S0022112056000135.
3. Newton I. Matematicheskie nachala natural'noy filosofii [Mathematical Principles of Natural Philosophy]. Translated from Latin by A.N. Krylov. Moscow, Nauka Publ., 1989, 688 p. (In Russian)
4. Mikhailov M.D., Freire A.P.S. Feasible Domain of Walker's Unsteady Wall-Layer Model for the Velocity Profile in Turbulent Flows. Annals of the Brazilian Academy of Sciences. 2014, no. 86 (4), pp. 2121—2135. DOI: http://dx.doi.org/10.1590/0001-3765201420130528.
5. Einstein H.A., Li H. The Viscous Sublayer Along а Smooth Boundary. Proc. Am. Soc. Civil Engrs. Paper. 1956, vol. 82, p. 945.
6. Hutchins N., Marusic I. Evidence of Very Long Meandering Features in the Logarithmic Region of Turbulent Boundary Layers. J. Fluid Mech. 2007, vol. 579, pp. 1—28. DOI: http:// dx.doi.org/10.1017/S0022112006003946.
7. Emmons H.W., Bryson A.E. The Laminar-Turbulent Transition in a Boundary Layer. Part I. JAS. 1951, vol. 18, no. 7, pp. 490—498; Part II. Proc. First US National Congress Appl. Mech., 1952, pp. 859—868.
8. Schubauer G.B., Klebanoff P.S. Contribution on the Mechanics of Boundary Layer Transition. NACA Report 1289, 1956, pp. 853—863.
9. Dryden H.L. Recent Investigation of the Problem of Transition. ZFW 4. 1956, pp. 89—65.
10. Borovkov V.S., Bryanskaya Yu.V. Raschet soprotivleniya v perekhodnoy oblasti s uchetom peremezhaemosti techeniya v vyazkom podsloe [Transitional Resistance Calculation with Mixing Flow in the Viscous Sublayer]. Gidrotekhnicheskoe stroitel'stvo [Hydraulic Engineering]. 2001, no. 7, pp. 20—22. (In Russian)
11. Mazzuoli M., Vittori G., Blondeaux P. Turbulent Spots in a Stokes Boundary Layer. Journal of Physics: Conference Series 318 (032032), 2011, pp. 1—10. DOI: http://dx.doi. org/10.1088/1742-6596/318/3/032032.
12. Bogomolov A.I., Borovkov V.S., Mayranovskiy F.G. Vysokoskorostnye potoki so svo-bodnoy poverkhnost'yu [High-speed Flows with Free Surface]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1979, 344 p. (In Russian)
13. Schlichting H., Gersten K. Boundary-Layer Theory. Springer, 8th edition, 2000, 800 p.
14. Kiselev P.G. Gidravlika. Osnovy mekhaniki zhidkosti [Hydraulics. Fundamentals of Fluid Mechanics]. Moscow, Energiya Publ., 1980, 360 p. (In Russian)
15. Nikuradse I. Gesetzmaessigkelten der turbulenten Stroemung in glatten Rohren. Forschungs-heft (Forschungs auf dem Gebiete des Ingenieur-wesens). 1932, no. 356, pp. 1—36.
16. Nikuradse I. Stroemungsgesetze in rauhen Rohren. Forschungs-Heft (Forschungs auf dem Gebiete des Ingenieur-wesens). 1933, no. 361, pp. 1—22.
17. Prandtl' L. Rezul'taty rabot poslednego vremeni po izucheniyu turbulentnosti [The Results of Recent Works on Turbulence Study]. Problemy turbulentnosti: sbornik [Turbulence Problems : Collection]. Moscow, Leningrad, ONTI NKTP Publ., 1936, pp. 9—35. (In Russian)
18. Hinze I.O. Turbulence. An Introduction to Its Mechanism and Theory. New York, Toronto, London, McGRAW-HILL, 1959, 680 p.
19. Clauzer F.H. The Turbulent Boundary Layer. Advances Appl. Mech. NY, Academic Press, 1956, vol. 4, pp. 1—51.
20. Zanoun E.-S., Durst F., Nagib H. Scaling Laws for Turbulent Channel and Pipe Flows over a Wide Range of Reynolds Numbers. 4th International Conference on Heat Transfer, Fluid Mechanics and Thermodynamics. 2005, paper number: ZF2.
21. Stelian C. Analysis of Turbulent Flow in Closed and Open Channels with Application in Electromagnetic Velocimetry. Magnetohydrodynamics. 2012, vol. 48, no. 4, pp. 637—649.
22. Bryanskaya Yu.V. Techenie v pristenochnom sloe i za ego predelami (v trube, ka-nale i pogranichnom sloe) [Boundary Layer and Core Flow Characteristics]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 4—2, pp. 60—65. (In Russian)
23. Borovkov V.S., Koryvanova V.D. Osobennosti prostranstvennogo techeniya v tunnele pri sherokhovatykh stenkakh [Features of Spatial Flow in the Tunnel with Rough Wall]. Voprosy gidravliki i vodosnabzheniya : sbornik trudov [Questions of Hydraulics and Water Supply : Collection of Works]. 1980, no. 174, pp. 59—64. (In Russian)
About the authors: Borovkov Valeriy Stepanovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Hydraulics and Water Resources, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499) 261-39-12; borovkov01@yandex.ru;
Volshanik Valeriy Valentinovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Hydropower Engineering and Water Management, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499) 182-99-58; tvg1806@gmail.com.
Rylova Irina Aleksandrovna — postgraduate student, Department of Hydraulics and Water Resources, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; mariposa516@yandex.ru.
For citation: Borovkov V.S., Volshanik V.V., Rylova I.A. Kharakternye osobennosti raspre-deleniya skorostey v turbulentnom potoke [Features of Velocity Distribution in a Turbulent Flow]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 6, pp. 103—109. (In Russian)
