CC BY
36
ВЕСТНИК 4/2010
ТЕЧЕНИЕ В ПРИСТЕНОЧНОМ СЛОЕ И ЗА ЕГО ПРЕДЕЛАМИ (В ТРУБЕ, КАНАЛЕ И ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ).
BOUNDARY LAYER AND CORE FLOW CHARACTERISTICS.
Ю.В. Брянская Y.V. Bryanskaya
ГОУ ВПО МГСУ
Рассмотрены распределения скоростей в пристеночном слое трубы, канала и в пограничном слое плоской пластины. Исследовано положение точки максимума турбулентных касательных напряжений.
In these article velocity distribution in tubes, channels and boundary layers is investigated. The parameters of logarithmic profile for wake region offlow and maximum turbulent skin friction position are determined.
Достоверно известно, что в пристеночном слое не сильно удаленном от твердых границ потока распределение скоростей соответствует логарифмическому закону, следующему из полуэмпирической теории Л.Прандтля:
u = —ln y + C (1)
к
В связи с тем, что в основу полуэмпирической теории положены несколько сходных априорных положений, точность и универсальность логарифмического распределения скоростей подвергалась сомнению различными исследователями, которыми предлагались различные поправки [5, 6] к профилю скорости (1). В настоящее время оформилось представление о том, что профиль скорости (1) справедлив не для всего потока в целом, а лишь для пристенного слоя lp, толщина которого составляет около 15% от радиуса трубы r0, глубины потока в канале h или толщины пограничного слоя S, образующегося при обтекании потоком плоской пластины. Однако попыток обосновать расчетно-аналитически толщину этого слоя lp (который по понятным обстоятельствам может быть назван «слоем Прандтля») до настоящего времени не производилось.
Вместе с тем, течение в пристеночном слое Прандтля обладает рядом физических особенностей, которые позволяют предложить расчетную модель для определения lp. Среди этих особенностей необходимо отметить нестационарность течения в вязком подслое, в которой реализуется в основном вязкий механизм трения [1]. Как показали более поздние исследования [2], течение в вязком подслое является перемежающимся с чередованием вязкого (ламинарного) и турбулентного режимов течения. В периоды турбулизации вязкого подслоя механизм передачи импульса силы от потока на твердую границу изменяется. С удалением от твердой границы турбулизация потока нарастает как по интенсивности, так и по времени своего проявления. При этом в общем балансе касательных напряжений, которые вблизи твердой границы применяются, как
известно [4], незначительно, величина турбулентной составляющей нарастает, а вязкостная составляющая уменьшается. При удалении от твердой границы суммарное касательное напряжение, определяемое в основном турбулентной составляющей в потоке, уменьшается. Таким образом, турбулентная составляющая касательного напряжения на некотором расстоянии от твердой границы потока будет иметь максимум (рис. 1). У к
Ум
к
Рис. 1
Учитывая линейное изменение суммарного касательного напряжения по радиусу трубы г0, запишем
/ \
«о
1 -У
= У
Си с1и в~Т + ут-
(2)
Су Су
где ув, Ут - кинематическая (физическая) и турбулентная вязкость соответственно.
Это выражение для суммарного касательного напряжения, восходящее к идее Ньютона - Буссинеска, вполне открыто для критики. В идее И.Ньютона предполагалась причинно-следственная связь между напряжением трения и создающимся в потоке градиентом скорости. В данном случае градиент скорости создается в основном за счет турбулентных напряжений, но в записи (2) связывается в той же мере с касательным напряжением вязкой природы.
Градиент скорости по нормали к стенке Си может быть найден дифференциро-
Су
ванием выражения (1). Тогда турбулентная составляющая касательного напряжения тт может быть найдена как разность полного напряжения трения и вязкой его составляющей
ТТ ,, 2 (л У ^ „ и* 1
— = и* I 1--I-Ув----(3)
Р \ г) К У Дифференцируя выражение (3) и приравнивая к нулю первую производную, определим координату ум точки максимума турбулентного касательного напряжения
( \ Ум
Ув
= 1
(4)
Для дальнейшего анализа рассмотрим течение в гладких трубах и используем известную формулу сопротивления гладких труб
2
г,
о
= 2lgR^л/I-0,8,
лД
В результате преобразований можно получить: 1П УМ = 0,87 - 0,575
(5)
(6)
'0 -!л
Результаты расчета по полученному соотношению (6), приведенные на рис. 2, показывают, что при средних часто встречающихся на практике значениях коэффициента 2=0,03^0,05, максимум турбулентных касательных напряжений находится на расстоянии ум=(0,1^0,15)г0, что согласуется с данными упоминавшихся выше предложений [5, 6] по корректировке логарифмических профилей скорости при — > 0,15 .
\
\ , "к ч
\
ч \ *
ч
0
1
и
Рис. 2.
Следует отметить, что с уменьшением Л положение точки максимума турбулентных касательных напряжений смещается ближе к твердой границе потока.
Учитывая, что суммарные касательные напряжения изменяются с расстоянием от стенки, было бы более правильным сопоставлять гТтах с суммарным касательным напряжением Тх при у=ум. Результаты такого сопоставления показывают, что в точке максимума турбулентных касательных напряжений вклад вязкой составляющей в общую величину трения и ее влияние на распределение скоростей оказывается весьма значимым.
С использованием записанных выше выражений можно произвести оценку вклада турбулентных напряжений в общее напряжение трения также и в других точках потока.
Используя связь между
"0'0
и коэффициентом гидравлического сопротивления
Л, был выполнен расчет — для различных значений Л при к=0,4. Расчеты показали,
что при малых значениях Л,<0,02 доля турбулентных касательных напряжений превы-
'
0
шает 95 - 99% от суммарных касательных напряжений при — > 0,05 . С увеличением
г0
у
X вклад вязких напряжений возрастает и превышает 4 - 5% вплоть до — -0,25^0,30.
г0
Представляет интерес сравнение опытных значений толщины слоя Прандтля, полученной по профилям скорости, измеренным Никурадзе в гладких трубах, с результатами выполненных расчетов по изменению турбулентной и вязкой составляющих
касательного напряжения. Опытные значения
V г0 У
определялись по месту отклоне-
ния опытных точек от логарифмики Прандтля - Никурадзе, по точке пересечения этого профиля пристенной зоны потока с логарифмической аппроксимацией распределе-
ния скоростей в ядре потока (рис. 3). Найденные таким образом значения ведены на рис. 2.
при-
н ж
ш
Щ
Рис. 3. 1 - логарифмический профиль И. Никурадзе; 2 - отклонение от реального
профиля скоростей
Учитывая ранее высказанное предположение о том, что различающееся распределение скоростей в пристеночном слое Прандтля и в ядре потока связано с действием
вязкой составляющей касательного напряжения, было определено соотношение —— на
Тт
границе слоя Прандтля. Результаты расчетов —— показывают, что профиль скорости в
пристеночном слое Прандтля сохраняется до тех пор, пока вязкая составляющая трения становится практически неощутимой.
Графики изменения
Ум
в зависимости от Л, представленные на рис. 2,
обнаруживают качественно сходные тенденции, однако и заметные количественные различия этих величин.
в
У. Г0 у
в
V г0 ,
г,
0
в
ВЕСТНИК 4/2010
Анализ различных опытных данных по распределению скоростей в трубах [2] и открытых каналах [1] показал, что распределение скоростей в ядре потока над слоем Прандтля достаточно точно может быть аппроксимировано, также как и в слое Пран-дтля, профилем логарифмического вида:
u тЯх - u 1 ro
-шах " = —1п-^, (7)
и* У
однако угловой коэффициент этого профиля -1 заметно отличается от углового коэффициента — =2,44 для профиля скорости в слое Прандтля. К1
В результате преобразований профиль скорости для ядра потока можно записать в виде:
Гп _ „„. гп
• = (2,44 + = 2,88ln-^ (8)
и* У У
Таким образом, логарифмическая аппроксимация профиля скорости для ядра потока будет иметь средний угловой коэффициент -1 = 2,88, который в 1,18 раз превышает угловой коэффициент логарифмического профиля скорости в слое Прандтля.
Для течения во внешней области пограничного слоя плоской пластины согласно И.О. Хинце [3] профиль дефицита скорости можно записать в виде:
итах ~ и =-2,441пУ + 2,5 + /У1 , (9)
и* 5
где корректирующая добавка представлена в графической форме [3], 5 - толщи-
на пограничного слоя.
Из условия и=итах при у=8 определим угловой коэффициент в профиле скорости
-— = 3,83. При этом дефицит скорости для внешней части пограничного слоя приобретает вид
итах ~ и = 3,831п- = 8,81Б- (10)
и* У У
Сопоставление зависимостей (8) и (10) показывает, что распределение скоростей во внешней части пограничного слоя на плоской пластине в количественном отношении существенно отличается от распределения скоростей в «ядре» потока при течении в трубе с соотношением угловых коэффициентов равным 1,33.
Установленный угловой коэффициент в логарифмическом профиле скорости для внешней зоны пограничного слоя хорошо согласуется с опытным значением углового коэффициента профилей скорости, измеренных в широких открытых гладких и шероховатых каналах, что подтверждает предположения [1] о схожести течения в пограничных слоях и широких открытых каналах.
4/2010 М1 ВЕСТНИК
Литература:
1. Богомолов А.И.. Боровков B.C., Майрановский Ф.Г. Высокоскоростные потоки со свободной поверхностью. М.: Стройиздат, 1979.
2. Боровков B.C., Брянская Ю.В. Расчет сопротивления в переходной области с учетом перемежаемости течения в вязком подслое. М.: Гидротехническое строительство, №7, 2001.
3. Хинце И.О. Турбулентность, ее механизм и теория. М.: Госиздат физико-математической литературы, 1963.
4. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969.
5. Coles D.J. Fluid Mech., 1, 191, 1956.
6. Millican C.B. Proc. 5-th Intern. Congr. Appl. Mech., Cambridge, mass., p.386, 1938.
Ключевые слова: турбулентные потоки, распределение скоростей, максимум турбулентных касательных напряжений.
Ключевые слова: turbulent flow, velocity distribution, maximum turbulent skin friction.
Статья представлена Редакционным советом «Вестник МГСУ»
