Турбулентный пограничный слой на подвижной поверхности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Т о м VII 197 6

№ 1

УДК 532.526.4

ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПОДВИЖНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

А. С. Гиневский, Г. Н. Емельянова, А. В. Колесников

Излагаются интегральный и численный методы расчета турбулентного пограничного слоя на подвижной поверхности при наличии продольного градиента давления в условиях, когда профили скорости остаются монотонными. Последнее ограничение позволяет использовать модели турбулентной вязкости, апробированные при расчете пограничного слоя на неподвижной поверхности. Результаты расчета сопоставляются с данными эксперимента.

Расчет пограничного слоя на подвижной поверхности представляет интерес для многих отраслей техники. Такая задача, в частности, возникает при разработке систем управления пограничным слоем, при моделировании в аэродинамических трубах движения летательного аппарата вблизи земли или судов на мелководье, при изучении течения в трубах Людвига или движения скачков уплотнения у твердой поверхности, при проектировании ленточных транспортных систем, бумагоделательных и сушильных аппаратов, технологических процессов в текстильной и химической промышленности [1—10].

Применительно к ламинарному пограничному слою решение такой задачи не представляет принципиальных затруднений. Здесь известен ряд точных и приближенных решений [1—3]. Кроме того, использование известных численных методов решения уравнений ламинарного пограничного слоя в сочетании с ЭЦВМ позволяет решить любую задачу, не выходящую за пределы справедливости приближения пограничного слоя.

При расчете турбулентного пограничного слоя на подвижной поверхности возникает ряд трудностей принципиального характера, обусловленных тем, что в общем случае профили скорости оказываются немонотонными, а профиль вихревой вязкости неизвестен. Такая ситуация, например, возникает вблизи сопряжения неподвижной и подвижной поверхностей. Здесь, во-первых, несправедливы уравнения пограничного слоя и, во-вторых, профиль скорости становится немонотонным и при скорости движения поверхности,

превышающей скорость внешнего потока, напоминает соответствующий профиль в пристенных струях [6, И]. Для преодоления первого затруднения можно, как это сделано в работе [6], заменить в расчете скачкообразное изменение скорости движения поверхности плавным, сглаженным. Второе затруднение устраняется так же, как это обычно делается при расчете пристенных струй: в пристеночной и внешней частях пограничного слоя используются различные модели вихревой вязкости.

Существует, однако, ряд важных для практики течений около подвижной поверхности, где профили скорости остаются монотонными. Для расчета такого рода турбулентных пограничных слоев можно воспользоваться известными методами расчета турбулентных пограничных слоев на неподвижной поверхности и апробированными в этих методах моделями вихревой вязкости.

В первом разделе работы дано видоизменение однопараметрического интегрального метода расчета турбулентного пограничного слоя [11] применительно к подвижной поверхности для случаев, когда скорость движения этой поверхности либо меньше, либо больше скорости внешнего потока. Указанный метод основан на полиномиальной аппроксимации профиля касательного напряжения и двухслойной схеме — вязкий подслой, турбулентное ядро — с использованием формулы Прандтля — Никурадзе для длины пути смешения. .

Во втором разделе излагается численный метод расчета с более сложной моделью вихревой вязкости, в которой учтены перемежаемость во внешней части слоя и взаимодействие эффектов молекулярной и молярной природы в пристеночной части слоя.

Использование двух существенно различающихся методов расчета делает полученные в работе выводы более надежными. Оба метода дают практически совпадающие результаты и позволяют рассчитать параметры слоя вплоть до сечения, где поверхностное трение обращается в нуль. В работе показано, что обращение в нуль поверхностного трения может в зависимости от отношения скорости подвижной поверхности к скорости внешнего потока происходить как при положительном, так и при отрицательном продольном градиенте давления.

Результаты расчета сопоставлены с имеющимися данными эксперимента на пластинах для широкого диапазона отношений скорости подвижной поверхности к скорости потока (от нуля до бесконечности).

1. Интегральный метод расчета. Рассмотрим турбулентный

пограничный слой на двумерной непроницаемой подвижной поверхности в неподвижной системе координат. Для расчета следует воспользоваться уравнениями пограничного слоя

ди . ди 1 Ар , 1 йт ди , ди г. ,, ч

и ц---Ь V 5“ =-----Л-------Г- » -5---Ь л— = 0 (1)

ох 1 ду р йх 1 р ду ’ дх 1 ду ' '

с граничными условиями

и = и (у) (х = АГ0); )

“=“- г,=0 при ■)'=0 !(*>*,). (2)

И == Из при у -> оо ] ]

В рамках интегрального метода расчета ограничимся случаем слоя конечной толщины. Представим профиль касательного напря-

п

жения в пограничном слое в виде полинома 'Г = та)^а/У, коэф-

1=0

фициенты которого определим исходя из граничных условий на поверхности тела (т = д~.1ду — йр!йх при _у = 0) и на внешней границе слоя (х = 0 при у = 3); второе условие на стенке получается из первого уравнения (1). В итоге будем иметь [11]:

£ = 1 +фт)-(1 + ф)7!2> Ф==^Г^-’

а-ит<\, х>0; Ь—иш> 1. т<0( с-нда=оо, с<0 ф=о, 2-ф>о, з-ф<о Фиг. 1. Профили скорости и касательного напряжения в пограничном слое на подвижной поверхности

Знак формпараметра пограничного слоя Ф определяется знаком продольного градиента давления и касательного напряжения на стенке: при ит>и& ^<0 (фиг. 1). Формула (3) справедлива в следующем диапазоне значений формпараметра Ф: — 2<Ф<!оо. Вне , этого диапазона происходит изменение знака касательного напряжения вблизи внешней границы слоя.

Используя (3) в совокупности с формулой Прандтля 1~р1*(ди/ду)2 и формулой Прандтля — Никурадзе для длины пути смешения //8 = 0,14—0,08(1 — т))2 — 0,06(1 — ^)4, найдем выражение для профиля скорости вне вязкого подслоя в турбулентном пограничном слое на подвижной поверхности («с —]Ада /Р, / = //§):

-2- =! _ 41 ф)]%, шш

■Л

^ =1 — 11. Гг1!"— (7), Ф)ТйУ1. (4)

«15 иХ 8 J [>- .

Вторая формула (4) выражает профиль скорости в подвижной системе координат, движущейся вместе с поверхностью со скоростью

II —И «1,

иш, причем «,<0 ири «^>«6.

Для нахождения профиля скорости внутри вязкого подслоя воспользуемся упрощенным выражением (3), справедливым при малых значениях поперечной координаты: т = + (йр\йх)у, и фор-

мулой Ньютона = ^ди/ду. В итоге будем иметь

ит = и

и

и.

ар

йх

У

+ 2

У11-.

(5)

. В подвижной системе координат толщина вязкого подслоя определяется так же, как и в случае неподвижной поверхности [11].

Отсюда следует важный вывод о том, что профили скорости и в вязком подслое и в турбулентном ядре в подвижной системе координат выражаются так же, как и в случае турбулентного пограничного слоя на неподвижной поверхности. Следовательно, в этой системе координат и закон сопротивления, который получается приравниванием (4) и (5) на границе вязкого подслоя, будет также совпадать с соответствующим выражением для случая неподвижной поверхности [И].

Все это позволяет для решения нашей задачи воспользоваться интерполяционными формулами, приведенными в работе [11], для определения коэффициента поверхностного трения и отношения условных толщин Я=8*/о**, полученными для диапазона значений £ от 2,2 до 6,5: ^

+*|/+Мех*/—1)1,

- - 4-0.17 ^ 2 Сб,_0,391?

-/О'

(6)

(7)

= 2с(/?**Ги,и =2се-°'391?-, 5 = ^/?**, с = 0,001 [6,55-0,0685(5 - 4,4) + 0,2506 (& — 4,4)2],

X, =0,2814-0,036? 4-36 А2 = 0,И85Е-0,262, Хз = 0,585-0,125 $ + 20,4 Г1'75. ,

Я-Я0(1-).,/) - 0,019/^, |

/7„ = 1,251—-0,0131 5 + 5,351-2'85, X, = 0,28—0,034 Е + (0,1 Е)9. |

Здесь знак „—“ над буквой означает, что эта величина определена в подвижной системе координат, индекс „нуль* соответствует без-градиентному течению, когда формпараметр Бури — Лойцянского

7--~% (8)

обращается в нуль.

Приведем формулы, связывающие параметры пограничного слоя в неподвижной и подвижной системах координат:

И = +■ (1 — ит) ии и = и/иъ, Н4 = И3/Н1 6,

'ит = ит!и а, 3* = (1 —иш)Ь*)

8** = й„( 1 - н«)8* + (1 - и.)*?’**;

Я=Я/[1 + «„(#- 1)];

(9)

(10)

(П)

43

здесь

cf=*cf(\ ~Mj2sign(l— и„); (12)

R** = [!-)- uw(H — 1)] R** sign (1 — нш); (13)

и,Й** _ «, .8** _

Я*. « , R« = _LL__ sign (1 _

cr

-у^-, С/--р.1- , 8** = Г и (1 — «) йу,

ТР>4 ТР“?г о

8** = | «1 (1 — йу.

О

С учетом сделанных преобразований и уравнения Бернулли йр)с1х = — рйа йиа/йх формулу (8) представим в следующем безразмерном виде:

2 # ** «а

Re cf о (I — uwf u\ ’

где Re=l/I/v, «5 = tts/K, «5--= dui/dx, x = xjL, V и /-—характерные значения скорости и линейного размера.

_ Отсюда следует, что_/<0 в двух случаях: а) при иа<0 и «^,<1 и б) при «ь>0 и «^,>1.

В настоящей работе рассматриваются случаи, когда на всем протяжении пограничного слоя либо иъ > uw^ const, либо йо<Ию= = const. При приближении к сечению пограничного слоя, где ui = uw, число Рейнольдса /?** стремится к нулю, т. е. в рамках рассматриваемого приближения происходит вырождение пограничного слоя. В действительности в такой ситуации профиль скорости может стать немонотонным [9]. Пограничный слой в сечении, где Ub~Uw, во многих отношениях сходен с пограничным слоем в окрестности критической точки.

Для решения задачи воспользуемся интегральным соотношением количества движения

dR** 1 Re~UbCf-U±(H+ l)R**. (14)

Ах г 1 «5

Таким образом, для нахождения трех неизвестных R**,H и в нашем распоряжении имеются, помимо уравнения (14), еще формулы (И) и (12) для Н и ср которые, в свою очередь, выражаются через Н и Ср зависящие от /?•*, Н, и /. Очевидно, что использование формул (6) —(8) и (13) делает задачу замкнутой. При этом

й, — и./«в ==(»./Ю/иг.

Интегрирование уравнения (14) существенно упрощается в частном случае пластины, когда на = 1 и иг> = 0. При этом

= и {?е, = Не,0 + 2

^Ни®.|/(1 и-щ) (15)

1 Иуц

здесь Re* — Us x/v, Rex0 = UsX0/\ и uw = const, x0 — координата начального сечения, ^ — значение параметра А в начальном сечении.

В принципе по формуле (15) может быть выполнен расчет и для случая uw<i 0, который соответствует движению поверхности навстречу набегающему потоку. При этом с ростом абсолютных значений uw местный коэффициент поверхностного трения cf будет возрастать. Такой расчет, как показано в работе [2], будет иметь физический смысл при конечной хорде пластины и при сравнительно небольших значениях |mJ, когда еще справедливо приближение пограничного слоя.

Представляет также интерес случай uw — oo, который соответствует движению пластины в покоящейся среде («5 = 0, uw = const). Вводя число Рейнольдса Rexw = uwXj't и учтя, что uw->oo, из (15) будем иметь

Re*® — ReJtt) о + 2 Г -Ы-, *„, = (#-1)#Ч (16)

? 4 t£J0

В этом последнем случае cf=so и поэтому в качестве характерной используется скорость uw, т. е. С j = — "'•■w j

Изложенный здесь прием „приспособления“ интегрального однопараметрического метода расчета пограничного слоя к случаю подвижной поверхности может быть, в частности, использован и для ламинарного пограничного слоя, а также других интегральных методов расчета турбулентного пограничного слоя [12].

2. Численный метод расчета. Рассмотрим общий случай турбулентного пограничного слоя, когда скорость подвижной поверхности либо меньше, либо больше скорости внешнего потока. Вследствие принятого допущения о монотонности профилей скорости можно от плоскости физических переменных х, у в уравнениях (1) перейти к переменным Крокко х, и,и в результате чего бесконечная по у область интегрирования преобразуется в полосу О-^и^І, х^>хо> гДе х0—координата, определяющая начальное сечение пограничного слоя. При использовании переменных Крокко в качестве аргументов принимаются величины х и ии а в качестве искомых функций у =y!L и х или m = duxjdy. После ряда преобразований приведем систему уравнений пограничного слоя (1) к виду

д® _ л d2(A3m) , л д<о . , _

Отнесение «18 к разности скоростей V—ит удобно в том смысле, что получающиеся при этом безразмерные комплексы одинаково пригодны в двух предельных случаях, когда либо V, либо ит обращаются в нуль.

Для определения входящей в (17) функции А3 воспользуемся следующей моделью турбулентной вязкости для внутренней и внешней областей пограничного слоя [11]:

— 5^- = |0,4^ 1 - ехр[ —-'шуКV

!’$ (0 <_*«*),

) ду

26

(V,),, - 0,01688* [1 + 5,5 (у/8)б]~1 (ус <3, < ЪЩ,

х = 1/р|«15|м15) /?==|м1б|/./м;

(19)

)

здесь 8 равно такому значению поперечной координаты .у, которому соответствует значение «! = 0,99.

Граница внутренней / и внешней II области определяется из

условия плавности сопряжения значений турбулентной вязкости.

При решении уравнения (17) граничные условия представляются в следующем виде: _

1) на внешней границе слоя «1=1, ш = 0; _

2) на внутренней границе слоя, т. е. на стенке («1 = 0), спра-

ведливо соотношение

~~ 1-4-иш й и, г дх ~

~ -|---з-signиl5 (v = vju\f), (20)

«15 Лх ду

которое получается подстановкой в уравнение пограничного слоя условий на стенке, проницаемой (г^ Ф 0) или непроницаемой (^„,=0).

Определить значение непосредственно из уравнения (17) в общем случае нельзя. Поэтому в первом приближении при решении методом прогонки значение ш.а1 на стенке принимается_равным значению производной (ди^ду)^ для предыдущего слоя по х. В последующих приближениях величина определяется по формуле, которая получается из граничного условия (20),

1Х 6 (I X

здесь ш и у выражаются по предыдущей итерации;

3) зависимость ш (м() в начальном сечении определяется по заданному профилю^корости, т. е.,_зная щ(у), можно легко определить со (у) = ди^ду, а затем и ш (м2).

Уравнение (17) при определенных выше граничных условиях решалось по неявной конечноразностной схеме методом прогонки. Форма его записи позволяет рассмотреть случаи_«И1 = иа,/«г, = 0 (пограничный слой на неподвижной поверхности), _Мц,<1 и «т>1 (пограничный слой на подвижной поверхности) и иш — оо (пограничный слой, образующийся на подвижной поверхности при отсутствии внешнего потока, т. е. при «8 = 0).

3. Анализ влияния движения поверхности на параметры пограничного слоя. Сравнение расчета и эксперимента. Вначале были

выполнены расчеты турбулентного пограничного слоя на подвижной поверхности при отсутствии продольного градиента давления. Расчеты проводились на основе интегрального метода для широкого диапазона значений = Здесь принималось во внима-

ние, что при достаточно больших значениях числа Рейнольдса Кее (или Не^ при ихи = оо) ошибка, вызванная применением изложенного метода при малых числах Рейнольдса, где пограничный сло^ ламинарный, пренебрежимо мала. При вычислении интегралов (15) и (16) принималось, что в передней кромке пластины конечно и определяется из условия = 0 111].

4-иш=Ъ 5-аш= оо

Фиг. 2. Расчетные характеристики турбулентного пограничного слоя на пластине с подвижной поверхностью (интегральный метод)

1 ~ит=0' и&=1-0,7х; ^-«ш=1/4и5і 5г=1—0,7Ъ 3—ит=41и6' ид-\ + 2х

Фиг. 3. Влияние продольного градиента давления на характеристики турбулентного пограничного слоя на подвижной поверхности (сплошные кривые — численный метод, пунктир — интегральный метод)

Результаты расчета представлены на фиг. 2. Штрихпунктир-ные кривые соответствуют случаю иш = оа, причем здесь С; = = й=>/8**.

Отсюда, в частности, видно, что при стремлении 1, вследствие уменьшения поперечного градиента скорости, местный коэффициент поверхностного трения стремится к нулю.

Далее обращает на себя внимание заметное различие зависимостей для случаев иш = 0 и и.ш — оо. Общий характер влияния параметра ит такой же, как и в случае ламинарного пограничного слоя [2].

Рассмотрим теперь, как изменяются параметры турбулентного пограничного слоя на подвижной поверхности при наличии продольного градиента давления. Расчеты были выполнены для диф-фузорного и конфузорного внешнего течения, для линейного изменения скорости внешнего потока и5/У = 1 + чх, причем в первом случае а =—0,70, а во втором а = 2. В начальном сечении полагалось /?** = 104, причем число Рейнольдса Ие = 1/£,Ь=108.

В обоих случаях (диффузорного и конфузорного течения) расчеты проводились для иш=- 0 и ишф 0, причем в первом случае ит >= («„,/У)/ш, = 0,25/и8, во втором — ит= 4/м6.

/—эксперимент {13], 2—интегральный метод, 3—численный метод

Фиг. 4. Сравнение расчета и эксперимента для турбулентного пограничного слоя на крыловом профиле с неподвижной поверхностью (ию = 0, Ие = 25,8 х Ю6)

На фиг. 3 представлены результаты расчетов, выполненных по интегральному и численному методам. При расчете по численному методу профиль скорости в начальном сечении соответствовал тому профилю, который получался в интегральном методе расчета. Таким образом, при использовании обоих методов исходные данные совпадали. Результаты расчета по обоим методам во всех случаях (при разных а и иш) оказались близкими, близкими оказались и координаты точек, где поверхностное трение становится равным нулю.

Здесь обращают на себя внимание два обстоятельства. Во-первых, в диффузорном течении при 1 увеличение от нуля

до заданной величины приводит к смещению точки £/ = 0 вперед; во-вторых, при конфузорном течении и «„,>1 происходит резкое уменьшение сг вдоль по потоку вплоть до с^ — 0.

Приведем теперь сравнение данных расчета и эксперимента. На фиг. 4 представлено сопоставление интегральных характеристик турбулентного пограничного слоя на крыловом профиле [13] с последовательно расположенными участками конфузорного, безгра-диентного и диффузорного течения, причем иш = 0. И интегральный и численный методы дают близкие результаты, удовлетворительно совпадающие с опытом.

/—эксперимент [9], 2— интегральный метод, 3—численный метод

Фиг. 5. Сравнение расчета и эксперимента для турбулентного пограничного слоя пластины с подвижной поверхностью

1 7 с^103-,і 10

"-іС: к <

• /V • ,

✓✓ V • і

№ *

• о 7 2 3

0,2 0,4 0,0 0,4 х

/—эксперимент [10], 2—интегральный метод,

3—численный метод

Фиг. 6. Сравнение расчета и эксперимента для турбулентного пограничного слоя на подвижной поверхности при отсутствии внешнего потока

(«5 = 0, НеЛ.а,= 1,2ХЮ7)

На фиг. 5 сравниваются расчетные и опытные [9] интегральные характеристики турбулентного пограничного слоя на пластине с подвижной поверхностью при нескольких значениях < 1. Оба метода расчета (интегральный и численный) хорошо описывают опытные данные. Столь же удовлетворительно совпадают расчетные и экспериментальные профили скорости.

Наконец, на фиг. 6 представлено сопоставление данных расчета и эксперимента [10] для турбулентного пограничного слоя на подвижной поверхности при ит = со. И здесь расчет по обоим методам вполне удовлетворительно согласуется с экспериментом.

4—Ученые записки ЦАГИ № 1

49

В заключение необходимо отметить целесообразность постановки экспериментального исследования турбулентного пограничного слоя на подвижной поверхности при наличии продольного градиента давления.

ЛИТЕРАТУРА .

1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., „Наука", 1969.

2. Черный Г. Г. Пограничный слой на движущейся поверхности. В сб. „Избр. пробл. прикл. мех.', М., 1974.

3. МхитарянА. М., Антонюк Р. А. Ламинарный пограничный слой на частично подвижной поверхности. „Гидромеханика.

Респ. межвед. сб.*, вып. 22, 1972.

4. Антонюк Р. А. Турбулентный пограничный слой на непрерывно движущейся гладкой поверхности. „Гидромеханика. Респ. межвед. сб.“, вып. 23, 1973-5

5. К о р о т к и н А. И., Трещевский В. Н., Христич И. С.

Об одной составляющей вязкостного сопротивления судна в условиях мелководья. Сб. „Вопросы судостроения", сер. 1, вып. 1, Л., „Судостроение*, 1972.

6. Т е n n a n t J. S., Yang Т. Turbulent boundary-layer flow from stationary to moving surfaces. AIAA J, vol. 11, N 8, 1973.

7. S a m u e 1 T. D. М. А., А с k г о у d J. A. D. Shock-induced turbulent boundary-layers. Appl. Scs., vol. 28, N 3, 1973.

8. Roper A. Т., Gentry Q. L. Growth of turbulent boundary-layers over nonstationary boundaries. AIAA J., vol. 12, N 1, 1974.

9. Roper A. Т., Gentry G. L. Analysis of a turbulent boundary-layer over a moving ground prane. NASA TN D-6788, 1972.

10. Riabouchinsky D. Etude experimental sur le frottement de l’air. Boul. de L’Institute Aerodynamique de Koutchino, 1914, 5.

11. Федяевский К. К., Гиневский А. С., Колесников А. В. Расчет турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости. Л., „Судостроение”, 1973.

12. Кутателадзе С. С., Леонтьев А. И. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое. М., „Энергия*, 1972.

13. Computation of turbulent boundary — layer — 1968. Proceedings AFOSR—IFR—Stanford Conference, vol. 2, Ed. Coles D. E., Hirst E. A.,

1969.

Рукопись поступила 91VIII 1974 г.