Научная статья на тему 'Моделирование течений в трубах'

Моделирование течений в трубах Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
28
6
Поделиться
Ключевые слова
ТЕЧЕНИЕ В ТРУБЕ / ВЯЗКОСТЬ / F -МОДЕЛЬ / ДИНАМИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ / ЧИСЛО РЕЙНОЛЬДСА / ПЕРЕПАД ДАВЛЕНИЯ / ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ / ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ / ПРОФИЛЬ СКОРОСТИ / КОЭФФИЦИЕНТ СОПРОТИВЛЕНИЯ / PIPE FLOW / VISCOSITY / F -MODEL OF TURBULENCE / REYNOLDS NUMBER / PRESSURE DIFFERENCE / DIFFERENTIAL EQUATIONS / BOUNDARY CONDITIONS / VELOCITY PROFILE / RESISTANCE COEFFICIENT

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Павловский Валерий Алексеевич, Чистов Алексей Леонидович, Кучинский Дмитрий Михайлович

Во многих технических устройствах реализуются течения в трубах и каналах, которые осуществляются за счет создания перепада давления вдоль оси канала, что требует затрат энергии. Для оценки этих затрат необходимо знание коэффициентов сопротивления, которые зависят от режима течения и шероховатости обтекаемых поверхностей. В работе использована f -модель турбулентности, позволяющая выполнять расчеты течений в трубах и каналах, в том числе и с шероховатыми стенками, как при больших, так и при малых числах Рейнольдса. Это позволило представить первые интегралы для профиля скорости и меры турбулентности в виде трансцендентных уравнений, таким образом рассматриваемая задача была сведена к решению системы алгебраических уравнений по методу Ньютона. Проведено сравнение рассчитанных по f -модели профилей скорости и коэффициентов сопротивления с результатами, полученными на основании альтернативных подходов, и экспериментальными данными Прандтля-Никурадзе.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Павловский Валерий Алексеевич, Чистов Алексей Леонидович, Кучинский Дмитрий Михайлович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Modeling of pipe flows

Lots of technical devices use flows in pipes and channels caused by pressure drop, along with one’s axis, which is energy consuming and has to be estimated. For the estimation resistant coefficient, dependent on flow regime and streamlined surface roughness, is required. Turbulence f -model applicable for calculation for both laminar and turbulent flow and smooth and rough walls is used for investigation. The problem of incompressible viscous liquid steady flow in a smooth round pipe is considered for different Reynolds numbers. First integrals for velocity profile and turbulence measure are obtained in form of transcendental equations and solved by Newton’s method for algebraic equation system. Calculated results are compared with data from alternative theoretical approaches and experiments.

Текст научной работы на тему «Моделирование течений в трубах»

УДК 551.511.61 Вестник СПбГУ. Прикладная математика. Информатика... 2019. Т. 15. Вып. 1 МБС 76Р05

Моделирование течений в трубах*

В. А. Павловский1, А. Л. Чистов2, Д. М. Кучинский1

1 Санкт-Петербургский государственный морской технический университет, Российская Федерация, 190121, Санкт-Петербург, Лоцманская ул., 3

2 Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Павловский В. А., Чистов А. Л., Кучинский Д. М. Моделирование течений в трубах // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2019. Т. 15. Вып. 1. С. 93-106. https://doi.org/10.21638/ 11702^рЬи10.2019.107

Во многих технических устройствах реализуются течения в трубах и каналах, которые осуществляются за счет создания перепада давления вдоль оси канала, что требует затрат энергии. Для оценки этих затрат необходимо знание коэффициентов сопротивления, которые зависят от режима течения и шероховатости обтекаемых поверхностей. В работе использована /-модель турбулентности, позволяющая выполнять расчеты течений в трубах и каналах, в том числе и с шероховатыми стенками, как при больших, так и при малых числах Рейнольдса. Это позволило представить первые интегралы для профиля скорости и меры турбулентности в виде трансцендентных уравнений, таким образом рассматриваемая задача была сведена к решению системы алгебраических уравнений по методу Ньютона. Проведено сравнение рассчитанных по /-модели профилей скорости и коэффициентов сопротивления с результатами, полученными на основании альтернативных подходов, и экспериментальными данными Прандтля—Никурадзе.

Ключевые слова: течение в трубе, вязкость, /-модель, динамическая скорость, число Рейнольдса, перепад давления, дифференциальные уравнения, граничные условия, профиль скорости, коэффициент сопротивления.

С помощью гипотезы длины пути перемешивания Л. Прандтля [1-3] можно описать на полуэмпирическом уровне пристенные турбулентные течения и тем самым удовлетворить неотложные потребности инженерной практики по расчету таких течений в энергетике и транспорте [4-6]. Теория приводит к логарифмическим профилям осредненных скоростей, хорошо согласующихся с экспериментальными данными за счет надлежащего выбора двух констант. Следует заметить, что она не применима в непосредственной близости к стенке, поскольку краевое условие прилипания в рамках ее невыполнимо. Потому для придания формуле Л. Прандтля физического смысла приходится вводить понятие вязкого подслоя. В настоящее время разработаны двух- и трехслойные модели течения, позволяющие сопрягать зону потока с чисто молекулярным трением с областью развитого турбулентного течения, где трение имеет молярную природу, и профиль скорости является логарифмическим. Естественно, что при использовании таких многослойных моделей число эмпирических констант увеличивается [7-10].

Однако можно построить более простую, феноменологическую, f-модель турбулентности, альтернативную гипотезе длины пути перемешивания, которая имеет не менее ясный физический смысл, приводит к логарифмическим профилям осреднен-

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 16-08-00890).

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2019

ных скоростей, а также обеспечивает краевое условие прилипания и содержит всего лишь две феноменологические константы [11].

При больших числах Рейнольдса (Ие) в турбулентном режиме рейнольдсовы напряжения играют главную роль в формировании течения. Обычно в теории турбулентности проблему замыкания, связанную с появлением тензора рейнольдсовых напряжений, решают путем построения алгебраической или дифференциальной модели для данного тензора (или всего лишь одной, касательной, компоненты его в полуэмпирической теории Прандтля—Кармана). Однако можно поступить и по-другому, введя в рассмотрение скалярное поле безразмерной меры турбулентности ] = f (т,Ь), 0 ^ ] < 1. Эту функцию можно определить так, чтобы при И,е ^ 0, f ^ 0 и во всей зоне течения имел бы место чисто ламинарный режим течения, а при И,е оо, ] ^ 1 и в зоне течения был бы чисто турбулентный режим с профилями скорости предельной полноты.

После введения в рассмотрение поля величины f можно представить дивергенцию тензора напряжений как функцию меры ], а для самого параметра f записать дифференциальное уравнение переноса. В итоге можно получить для любых чисел Рейнольдса замкнутую систему уравнений движения вязкой жидкости

РТг

V-« = 0, (1)

г4 - „Д/ + (/) (V/ • V/) + „ (1 - /)

Здесь V — скорость жидкости, р — плотность, ¡л — динамическая вязкость, р — давление, — оператор эйлеровой производной, V — оператор Гамильтона.

Все физические величины, входящие в систему (1), являются осредненными по правилам Рейнольдса (очевидно, для ламинарного режима течения мгновенные и осредненные значения совпадают), 6 и Ш — тензор скоростей деформации и спин соответственно, которые характеризуют симметричную и антисимметричную части тензора градиентов скоростей деформации VV = 6 + Ш, : — символ двойного скалярного произведения, Ф (/) — скалярная функция /, равная

(2)

[а + в (1 - ])]

где а = 2.5 и в = 8.5 — феноменологические константы.

Скалярная функция ] является функцией поперечной координаты и числа Рейнольдса. При И,е ^ 0 функция f ^ 0 и во всей зоне течения имеет место чисто ламинарный режим течения, а при И,е оо, ] ^ 1 течение, полностью турбулентное с профилем предельной полноты. Таким образом, функцию f можно трактовать как безразмерную скалярную меру режима движения в рассматриваемой точке потока. Краевыми условиями для системы (1) являются условия прилипания и вязкого ньютоновского трения на твердой границе и равенство нулю функции на твердой границе:

= (« + /?) V,. (3)

в

На основе уравнений (1)—(3) выполнены расчеты ряда пристенных течений, в том числе и внутренних — течений в трубах и каналах с гидравлически гладкими, а также и с шероховатыми стенками [3, 12]. Их результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными как для ламинарного, так и для турбулентного режимов течения

жидкости. При этом для простых сдвиговых течений решение уравнений сводится к квадратурам.

Описываемая /-модель течения обладает следующими свойствами:

1) наличием предельных переходов — при малых числах Рейнольдса решения совпадают с классическими решениями для ламинарного режима, а при больших — дают логарифмические профили скорости турбулентного режима течения и логарифмические законы сопротивления;

2) сравнительной простотой и удобством для использования в инженерных приложениях.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рассмотрим течение в круглой цилиндрической трубе (круговое течение Пуазей-

ля).

Рис. 1. Схема течения жидкости в трубе

Для кругового течения Пуазейля в трубе радиусом Я (рис. 1) под действием постоянного градиента давления вдоль оси трубы система (1) в цилиндрической системе координат принимает вид

^ ¡1 1 Й / дх, ^ ^

т ¿т V ¿т / 1 7 ^

г<1г\ ¿г) ^(1 — /) V } и У Ах дьт / дьт

Граничными условиями будут следующие:

&р /х 1 с1 / с1и\ /х Ах (1 - /) г ¿г \ б?г / (1 - ^ Ат Ат

т Ат \ Ат ) (1 - т) \ Ат ) Ах Ат / Ат

(4)

у = 0: и = 0, § = / = 0, = (а + 0)у,1,

у = 21г: и-0, % = / = 0, Ш = (а + (3) г;*2.

Систему уравнений (4) в безразмерных величинах можно записать так:

п

Не + + 0

+ (1_/} + (1_/}2 " и.

здесь граничные условия

п = 0 : V = 0, V' = Ие^, / = 0, /' = Ие*/(а + в),

П = 2 : V = 0, V' = -Е1е*, / = 0, /' = -Е1е*/(а + в),

где V = — безразмерная скорость; — динамическая скорость, равная

т -

Решение этой системы уравнений для течения в трубе радиусом Я позволяет получить профиль скоростей жидкости

V = вт - а 1п (1 - Т). (5)

Мера турбулентности f является функцией радиальной координаты п = r/R и динамического числа Рейнольдса Re* = v*R/v и находится из трансцендентного уравнения

i-v-^) = -^T)-ßMi-f). (6)

Задаваясь значением Re*, можно по формулам (5) и (6) рассчитать профиль скоростей и по нему найти сначала среднюю скорость по сечению потока

1

иср

= — = 2 I V I

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^ = 2 [ v (V) drt,

v* J

а далее число Рейнольдса

^ср

v* 0

2Rvcp Re =-- = 2-yrnRe*

и коэффициент сопротивления

A 8 \tw\ = _8_

S о о •

Puip v2p

Полученное решение хорошо согласуется с экспериментальными данными как по профилям скоростей, так и по сопротивлениям. В предельном случае чисто ламинарного режима (число Re = 2Куср/и мало) видно, что при ] ^ 0 имеет место классическая парабола Пуазейля. При развитом турбулентном течении (число Re оо) решение приводит к известному логарифмическому профилю скоростей и соответствующему закону сопротивления, практически совпадающему с кривой Прандтля— Никурадзе. При этом профиль скоростей имеет все четыре характерных участка — вязкий подслой, буферную зону, логарифмический участок и область внешнего течения (вблизи оси трубы).

В табл. 1 представлены результаты расчета профилей скорости для разных чисел Рейнольдса и приведены значения функции f в зависимости от расстояния до стенки.

Таблица 1. Результаты расчета профилей скорости и функции /

v

V Re = 2 • 104 Re = 4 • 104 Re = 1 • 10ь Re = 3 • 10b

»/«шах / »/«шах / »/Птах f »/»max f

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.1 0.553 0.695 0.739 0.901 0.811 0.9882 0.867 0.99948

0.2 0.743 0.847 0.849 0.941 0.886 0.9941 0.918 0.99972

0.3 0.838 0.901 0.903 0.973 0.926 0.9959 0.946 0.9998

0.4 0.896 0.925 0.937 0.982 0.951 0.9968 0.964 0.99984

0.5 0.934 0.939 0.959 0.986 0.968 0.9972 0.976 0.099986

0.6 0.96 0.947 0.975 0.988 0.981 0.9975 0.985 0.99988

0.7 0.978 0.952 0.986 0.989 0.989 0.9977 0.992 0.99989

0.8 0.99 0.955 0.994 0.99 0.995 0.9979 0.996 0.99989

0.9 0.997 0.956 0.998 0.991 0.998 0.998 0.999 0.9999

1 1 0.957 1 0.991 1 0.998 1 0.9999

Данные табл. 1 иллюстрируют рис. 2 и 3.

Видно, что согласование расчетных профилей скорости с опытом в целом удовлетворительное. С ростом Re профили скорости увеличивают полноту — от близких

Рис. 2. Профили скоростей Сплошные линии — расчетные данные: 1 — Яе = 5, 2 — Яе = 11.6, 3 — Яе = 1987.4, 4 — Яе = 2.3 • 104, 5 — Яе = 3 • 106; + и • — опыты Никурадзе [12].

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

к параболической форме при малых числах Re они принимают все более «корытообразную» форму. Аналогичное поведение также характерно для функции f.

На рис. 4-6 приведены профили скоростей в универсальных координатах. В частности, рис. 6 наглядно демонстрирует, что расчетные профили скоростей при малых числах Рейнольдса приводят к параболе Пуазейля, а при больших — согласуются с данными Никурадзе.

На рис. 7 показано сравнение результатов расчетов по модели с полученными прямым численным моделированием DNS.

На рис. 8 представлены результаты расчета коэффициента сопротивления. Здесь можно видеть, как кривая сопротивления турбулентного режима переходит на участок, практически точно соответствующий формуле Прандтля—Никурадзе = 21g(Re>/£) - 0.8. В окрестности Re = 103 теория имеет некоторую погрешность — у кривой сопротивления нет характерного излома, связанного с переходом от ламинарного режима к турбулентному. В принципе такой недостаток можно устранить с помощью корректировки выражения для ^(f), которое приобретает после этого более громоздкую структуру. На рис. 9 показаны результаты расчетов сопротивления в других координатах.

Сравнение данных расчетов с полученными А. И. Короткиным иЮ. А. Роговым [13] приведено в табл. 2.

v

50

Re,=i07

log

0

1

2

3

4

5

6

7

Рис. 4- Универсальный закон распределения скоростей для течения Пуазейля [1] (сплошная линия — расчетные данные, пунктирные — асимптотики).

Н(у+)

Рис. 6. Универсальный закон распределения скоростей Сплошная линия — расчетные данные; экспериментальные данные Рейхардта (1) и Никурадзе [2] (2-8): 2 -Ке = 4.1 -103, 3 - Ие = 2.3-104, 4 — Не = 1Л • 105, 5 - Ие = 4.0-105, 6 - Ие = 1.1 • 106. 7 -Ке = 2.0-106. 5 - Ие = 3.2 • 106.

\ сг 64 "Яе

МЯе)

Рис. 8. Закон сопротивления для круглой трубы Сплошная линия — расчетные данные, точки — расчеты по формулам Пуазейля и Блазиуса, пунктирная линия — расчет по закону сопротивления Прандтля—Никурадзе [2] для гладких труб.

Рис. 9. Закон сопротивления для турбулентного течения в круглой трубе Сплошная линия — расчетные данные, 1—7 — экспериментальные данные, полученные: 1 — Никурадзе, 2 — Саф и Шодер, 3 — Нуссельт, 4- ~ Омбек, 5 — Якоб Эрк, 6 — Стэнтон и Паннел, 7 — Шиллер и Херман.

Таблица 2. Гидродинамические характеристики потока

Re Re* ^тах/^ср I'max/l'* c.f

4000 149 1.3402 17.800 0.04440

166 1.3331 16.032 0.05531

6100 209 1.3111 18.699 0.03756

229 1.2889 17.130 0.04529

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

9200 294 1.2739 19.650 0.03268

317 1.2523 18.164 0.03802

16 700 497 1.2428 20.963 0.02834

515 1.2097 19.617 0.03042

23 300 657 1.2290 21.804 0.02544

679 1.1907 20.410 0.02722

43 400 1137 1.2105 23.110 0.02196

1153 1.1624 21.867 0.02260

105 000 2511 1.1913 24.986 0.01830

2491 1.1344 23.906 0.01801

205 000 4537 1.1784 26.634 0.01567

4511 1.1196 25.439 0.01549

396 000 8217 1.1679 28.210 0.01378

8147 1.1087 26.946 0.01354

725 000 14 200 1.1597 29.603 0.01228

14 085 1.1007 28.331 0.01207

1.11 • 106 21 000 1.1540 30.641 0.01145

20 757 1.0961 29.307 0.01118

1.536- 106 28 300 1.1498 31.449 0.01086

27 929 1.0929 30.053 0.01057

1.959- 106 35 200 1.1469 32.047 0.01033

34 901 1.0907 30.611 0.01015

2.35- 106 41 700 1.1447 32.514 0.01008

41 246 1.0891 31.026 0.00985

2.79- 106 48 400 1.1427 32.925 0.00963

48 298 1.0877 31.416 0.00958

3.24- 106 55 500 1.1410 33.303 0.00939

55 435 1.0865 31.751 0.00936

Литература

1. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / пер. Г. А. Вольтера с 5-го нем. изд., испр. по 6-му (амер.) изд.; под ред. Л. Г. Лойцянского. М.: Наука, 1974. 711 c. (Schlichting H. Grenzschicht Theorie.)

3. Павловский В. А., Никущенко Д. В. Вычислительная гидродинамика. Теоретические основы: учеб. пособие. СПб.: Изд-во «Лань», 2018. 368 с.

4. Robertson J. M., Martin J. D, Burkhurt T. H. Turbulent flow in rough pipes // Ind. Eng. Chem. Fundam. 1963. N 7. P. 253-265.

5. Jimenz J. Turbulent flow over rough walls // Annu. Rev. Fluid Mech. 2004. N 36. P. 173-196.

6. Sedova O., Promina Y. A new model for the mechanochemical corrosion of a thin spherical shell // EPJ Web of Conferences. 2016. Vol. 108. 02040. P. 1-6.

7. Patel V. C. Perspective: flow at high Reynolds number and over rough surfaces — Achilles heel of CFD // J. Fluids Eng. 1998. N 120. P. 434-444.

8. Moody L. F. Friction factors for pipe flow // Trans. ASME. November 1944. Vol. 66. P. 671-684.

9. Tullis J. P., Wang J.-S. Turbulent flow in the entry region of a rough pipe // ASME J. Fluids Eng. 1974. N 75. P. 62-68.

10. Павловский В. А. Об одной феноменологической альтернативе гипотезе длины пути перемешивания // Модели механики сплошной среды: c6. Физическая механика. Вып. 7 / под ред. Б. В. Филиппова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. С. 21-35.

11. Павловский В. А. Учет шероховатости стенки для единой феноменологической модели течения вязкой жидкости при произвольных числах Рейнольдса // Проблемы экономии топливно-

энергетических ресурсов на предприятиях и ТЭС: межвуз. сб. науч. трудов. СПб.: СПб ГТУ РП, 2002. С. 11-17.

12. Nikuradze J. Laws of flow in rough pipes (English translation of Strömungsgesetze in rauhen Rohren, VDI-Forschungsheft 361, Ausgabe B, Bd 4. P. 1-22. July/August 1933). P. 63. Washington: NACA Technical Memo 1292, November 1950.

13. Короткин А. И., Роговой Ю. А. Метод расчета продольных средних скоростей в пристенных турбулентных течениях несжимаемой жидкости. СПб.: МорВест, 2009. 121 с.

Статья поступила в редакцию 8 мая 2018 г.

Статья принята к печати 18 декабря 2018 г.

Контактная информация:

Павловский Валерий Алексеевич — д-p физ.-мат. наук, проф.; v.a.pavlovsky@gmail.com

Чистов Алексей Леонидович — канд. физ.-мат. наук, доц.; a.chistov@spbu.ru

Кучинский Дмитрий Михайлович — канд. техн. наук, доц.; kuchinskiy-dm@bk.ru

Modeling of pipe flows *

V. A. Pavlovsky1, A. L. Chistov2, D. M. Kuchinsky1

1 St. Petersburg State Marine Technical University, 3, Locmanskaya ul., St. Petersburg, 190121, Russian Federation

2 St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Pavlovsky V. A., Chistov A. L., Kuchinsky D. M. Modeling of pipe flows. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2019, vol. 15, iss. 1, pp. 93-106. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.108 (In Russian)

Lots of technical devices use flows in pipes and channels caused by pressure drop, along with one's axis, which is energy consuming and has to be estimated. For the estimation resistant coefficient, dependent on flow regime and streamlined surface roughness, is required. Turbulence /-model applicable for calculation for both laminar and turbulent flow and smooth and rough walls is used for investigation. The problem of incompressible viscous liquid steady flow in a smooth round pipe is considered for different Reynolds numbers. First integrals for velocity profile and turbulence measure are obtained in form of transcendental equations and solved by Newton's method for algebraic equation system. Calculated results are compared with data from alternative theoretical approaches and experiments. Keywords: pipe flow, viscosity, /-model of turbulence, Reynolds number, pressure difference, differential equations, boundary conditions, velocity profile, resistance coefficient.

References

1. Lojczyanskij L. G. Mehanika zhidkosti i gaza [Fluid and gas mechanics]. Moscow, Drofa Publ., 2003, 840 p. (In Russian)

2. Schlichting H. Grenzschicht Theorie [Boundary layer theory]. Berlin, Verlag G. Braun Publ., 1965, 736 p. (Rus. ed.: Schlichting H. Teoriya pogranichnogo sloya. Moscow, Nauka Publ., 1974, 711 p.)

3. Pavlovskij V. A., Nikushhenko D. V. Vychislitelnaya gidrodinamika. Teoreticheskie osnovy [Computational Fluid Dynamics. Theoretical fundamentals]. Saint Petersburg, Lan' Publ., 2018, 368 p. (In Russian)

4. Robertson J. M., Martin J. D., Burkhurt T. H. Turbulent flow in rough pipes. Ind. Eng. Chem. Fundam., 1963, no. 7, pp. 253—265.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

5. Jimenz J. Turbulent flow over rough walls. Annu. Rev. Fluid Mech., 2004, no. 36, pp. 173—196.

* The work is supported by Russian Fundamental Research (grand N 16-08-00890).

6. Sedova O., Pronina Y. A new model for the mechanochemical corrosion of a thin spherical shell. EPJ Web of Conferences, 2016, vol. 108. 02040, pp. 1-6.

7. Patel V. C. Perspective: flow at high Reynolds number and over rough surfaces — Achilles heel of CFD. J. Fluids Eng., 1998, no. 120, pp. 434-444.

8. Moody L. F. Friction factors for pipe flow. Trans. ASME, November 1944, vol. 66, pp. 671-684.

9. Tullis J. P., Wang J.-S. Turbulent flow in the entry region of a rough pipe. ASME J. Fluids Eng., 1974, no. 75, pp. 62-68.

10. Pavlovskij V. A. Ob odnoj fenomenologicheskoj alternative gipoteze dliny puti peremeshivaniya [About a phenomenological alternative to the mixing length hypothesis]. Modeli mehaniki sploshnoj sredy. Sb. Fizicheskaya mehanika. Vyp. 7 [Models of continuum mechanics. Physical mechanics digest. release. Iss. 7]. Pod red. B. V. Filippova. Saint Petersburg, Saint Petersburg State University Publ., 1998, pp. 2135. (In Russian)

11. Pavlovskij V. A. Uchet sherohovatosti stenki dlya edinoj fenomenologicheskoj modeli techeniya vyazkoj zhidkosti pri proizvolnyh chislah Rejnoldsa [Accounting for wall roughness for a unified phenomenological model of viscous fluid flow at arbitrary Reynolds numbers]. Problemy ekonomii toplivno-energeticheskih resursov na predpriyatiyah i TES: mezhvuz. sb. nauch. trudov [Problems of saving fuel and energy resources in enterprises and thermal power plants: an intercollege digest of scientific papers]. Saint Petersburg, SPb GTU RP Publ., 2002, pp. 11-17. (In Russian)

12. Nikuradze J. Laws of flow in rough pipes (English translation of Strömungsgesetze in rauhen Rohren, VDI-Forschungsheft 361, Ausgabe B, Bd 4, pp. 1-22, July/August 1933), p. 63. Washington, NACA Technical Memo 1292 Press, November 1950.

13. Korotkin A. I., Rogovoj Yu. A. Metod rascheta prodol'nyh srednih skorostej v pristennyh turbulentnyh techeniyah neszhimaemoj zhidkosti [Calculation method for longitudinal average velocities of near-wall turbulent incompressible fluid flows]. Saint Petersburg, MorVest Publ., 2009, 121 p. (In Russian)

Received: May 8, 2018.

Accepted: December 18, 2018.

Author's information:

Valéry A. Pavlovsky — Dr. Sci. in Physics and Mathematics, Professor; v.a.pavlovsky@gmail.com Alexey L. Chistov — PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor; a.chistov@spbu.ru Dmitry M. Kuchinsky — PhD in Technics, Associate Professor; kuchinskiy-dm@bk.ru