Остаточные напряжения в поперечном сечении круглого бруса при изгибе Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

©

Шинкин В.Н.

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики, Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»

ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПОПЕРЕЧНОМ СЕЧЕНИИ КРУГЛОГО БРУСА

ПРИ ИЗГИБЕ

Аннотация

Для упругопластической среды с линейным упрочнением получено аналитическое выражение для остаточных напряжений круглого бруса при изгибе в зависимости от диаметра бруса, предела текучести, модуля Юнга и модуля упрочнения материала.

Ключевые слова: остаточные напряжения, круглый брус, упругопластическая среда. Keywords: the residual stresses, a round beam, an elastoplastic medium.

Нормальные напряжения круглого бруса при пластическом изгибе. Рассмотрим прямой брус с круглым поперечным сечением радиуса R. Пусть E, П и от - модуль Юнга, модуль упрочнения и предел текучести материала бруса [1-6]. При центральном растяжении бруса в области упругих деформаций нормальные напряжения s подчиняются закону Гука s = Ee, где e - относительное удлинение бруса. В области упрочнения зависимость s от e имеет качественно другой вид

s = sT + П (e-eT), e = s,

E

s = s + П(е -e ).

max т V max т/

При изгибе нормальные напряжения в поперечном сечении бруса могут принимать как положительные значения, так и отрицательные значения. Максимальные по модулю нормальные напряжений наблюдаются на поверхности бруса в точках поперечного сечения, максимально удаленных от нейтральной плоскости бруса. Эпюра нормальных напряжений в поперечном сечении бруса при изгибе показана на рис. 1.

Рис. 1. Эпюра нормальных напряжений в поперечном сечении круглого бруса

Поперечное сечение круглого бруса при изгибе делится на две зоны - упругую и пластическую (упругопласическую). Величина _ут, определяющая границу этих зон, равна

© Шинкин В.Н., 2016 г.

Ут

■£тР,

= 1.

ЕЕ" Еут При увеличении изгибающего момента и кривизны упругая зона бруса уменьшается. Радиус кривизны рт оси бруса, при котором на его поверхности впервые достигается напряжение, равное пределу текучести От, равен

Рт = E S, от

sp

ER

= 1.

Изгибающий момент при упругопластическом изгибе круглого бруса. При

упругопластическом изгибе изгибающий момент М в поперечном сечении бруса равен

м=- 6s r i1 - E 1

+ -

ER4

i П 11 •

1--К arcsin

, E J 2

SP

ER J

'sp

2

sp

ER

-5

+

+ -

ПR4 p

Р К E J 2 V ER J p 4 Остаточные напряжения круглого бруса после распружинивания. В основе определения остаточных напряжений после пластических деформаций лежит теорема о разгрузке Генки (1924 г.) [1-6]: остаточные напряжения равны разности между истинными напряжениями в упругопластическом теле и теми напряжениями, которые создавались бы в нем при предположении об идеальной упругости материала.

Пусть изменение нормальных напряжений в поперечном сечении бруса при распружинивании подчиняется линейному упругому закону о разгрузке Генки s = gy, где g = const - неизвестный коэффициент, подлежащий определению. Тогда эпюра нормальных напряжений после распружинивания круглого бруса будет иметь вид, показанный на рис. 2.

У ' CJmax G^OCT

/т А- Пластическая зона Ут > = УУ wi k 2 (7 ост

/ JT Р я* \ Упругая Ф \ зона , у aT r©

\ 0 А/ . . 4

Ут 2 G OCT ^

------------f 1 ' k©

О ост

Рис. 2. Эпюра нормальных напряжений в поперечном сечении круглого бруса после распружинивания

2

Изгибающий момент при чисто упругом изгибе круглого бруса. По теореме Пифагора длина хорды на расстоянии у от центра круглого сечения равна Ь(у) = 2(Я2 - у2)12. При чисто упругом изгибе изгибающий момент М в поперечном сечении круглого бруса равен

я я

М = | у о(у) Ь(у) ёу = 21 у о(у) Ь(у) ёу =

-Я 0

Я __Я __я

= 4\ у а(у)у1 Я2 - у2 ёу = 4\ у {уX/я2 - у2 ёу = 4у\ у2 >2 - у2 ёу =

0 0 0

= 4741

4Г [У! М-|

я

у

= 4]Я41 х2 л/Г-Х2 ах =

474

х

' л/1 - Х2 хД/г

■х2 1 .

--1- — агсБт х

8 8

= 474 Гагсв1п (1) = 4741 - = 7'

М =

7 =

4М

8 4 ' ' 8 2 4 ' 4 ' ' —Я4'

Изгибающие моменты при изгибе и распружинивании одинаковы, поэтому

4Мр = 4М р = р = —ЕЯ4 ~ —Я4 Е ~7Е ~

1 —

22ГР[1 - П к И

3 ЕЯ { Е

■2(

ЕЯ

2

у.

Е_ —р

ЕЯ

2 - Д11 -

3 ЕЯ { Е Л I ЕЯ

+ 2| 1--I агсзт | —I + -—

Е ) { ЕЯ ) Е

,2 Г

\ 2 Л - 5

ЕЯ

+

П

Е

ърУ п

бруса

ЕЯ ) Е

Откуда получаем линейный упругий закон о разрузке Генки при изгибе круглого

У) = 7У =

Еу Р

2 -ДI ц.

3— ЕЯ

Е

ЕЯ

2

V

ЕЯ

2

+

+ 2 [ П} . (атр) + П

+ — | 1--I агсБт | —— I +—

— { Е) {ЕЯ ) Е

ъ( У) = 7 =Х~, Р

-^ - П}1 - т

2

\

ЕЯ

2

+

+ 2 [ П} . (атр) + П +—| 1--I агсБт | —— I +—.

— { Е) \ ЕЯ ) Е

Зависимость с от атр/(ЕЯ) показана на рис. 3.

2

2

0

0

4

0

5

2

5

2

5

итр/(ЕЛ)

Рис. 3. Зависимость с от радиуса кривизны круглого бруса р

Экстремальные значения остаточных напряжений. Найдем экстремальные значения остаточных напряжений после изгиба круглого бруса:

ОосТ = Отах - 7 = От + П(£тах - £т ) - 7 = От + П

1 - Д+

(

Я о

\

Е П} П ЕЯ _ Ът| 1 -тт I+ ЪТ---7 = Ъ

^ Е) Е атр

[ П П ЕЯл

Е Е отр

Р Е -7Я

-7Я

т)

О

П П ЕЯ

1 — +

Е Е отр

тИ )

ЕЯ —р

2 ЪР[1 - д 11.

3 ЕЯ

Е

ЕЯ

2

2

ор

ЕЯ

2

+

+ 2| 1 - П I агсв1п (Щ + П—

Е ) \ ЕЯ ) Е

= О

(л П П ЕЯ} 1--+ ■

Е Е отр

О

ЕЯ

тИ

^ тг - П1 и-

3— ЕЯ \ Е

ЕЯ

2

2 ЪР

ЕЯ

2

+

2 ( П} . (отр} П

+—| 1--I агсБт | —— I + —

— I Е) I ЕЯ ) Е

i 1 п} ея

= Ъ| 1 -— I-от-

е) ор

2 ътр[1 - Д | 1 - ( ор

3— ея

е

ея

2 (

,2 \ 2| I - 5

ея

+

2 Е П} . (отр

+— | 1--I агс81п |

— I е) I ея

= О

Г - П} - ея

е) ор

2 отр(1 - Д} 1 - (ор

3— ея

е

ея

2

-5

ея

2

+

2 Е П} . (ор

+— | 1--I агс81п |

— { е) \ ея

= оМ - П }]1 + -¡1 - [ОТ

е Л 3— V I ея

2

2| - 5

ея

1 ея. — ор

-агс81п

ор

ея

5

5

s

s. - п :

i+—ii - S

3pV l ER

1 ER.

p s.p

- arcsin

ER

SP

ER

- 5

S ос.( P = P

:0, S1oc^P = 0 = -S. - fYp - ^ < 0,

2 _

S ост — S.

■ — s.

E S.p

pp e

2 s.PÎ1 -f ] 1 -(S.P

3 ER

e

er

22 S.P

er

- 5

+

, П] . (s.P] П + 2| 1--I arcsin I —— I + — p

e : i ER : E

— s

1 s.PÎi - nj 1 -(SP

3p ER

E

ER

2 f /■ \2

2

V

\

2 h П ] . -—I 1--I arcsin

p l E : l ER

ER

П

E

\

\

-5

:

==sM - f

1 +_! SP.. 1 - (SP

3p er

er

2 f

SP

er

- 5

2 • (S.P

--arcsin I —.—

p l er

j

2

S ост

— s. (1 - E,

1+A SP^ L

3p ER

ER

2

\

ER

2 • ( s.P ■ — arcsin I —— p l ER

2

S oc.

P = P.

0, S2oc^ P = 0 = S. (1 - f] > 0.

Заключение. Получено аналитаческое выражение для остаточных напряжений круглого бруса при упругопластическом изгибе. Резуль.а.ы исследований могу. бьпъ применены в ме.аллургической и машиностроительной промышленности при производстве ме.аллических изделий из круглого бруса и строшельной арма.уры [1-59].

Литература

1. Мошнин Е.Н. Гибка и правка на ротационных машинах. Технология и оборудование. — М.: Машиностроение, 1967. — 272 с.

2. Буланов Э.А., Шинкин В.Н. Механика. Вводный курс. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013.

— 172 с.

3. Шинкин В.Н. Сопротивление материалов. Простые и сложные виды деформаций в металлургии.

— М: Изд. Дом МИСиС, 2008. — 307 с.

4. Шинкин В.Н. Теоретическая механика для металлургов. — М: Изд. Дом МИСиС, 2012. — 679 с.

5. Шинкин В.Н. Сопротивление материалов для металлургов. — М: Изд. Дом МИСиС, 2013. — 655 с.

6. Шинкин В.Н. Механика сплошных сред для металлургов. — М: Изд. Дом МИСиС, 2014. — 628 с.

7. Шинкин В.Н. Математическая модель правки стальной полосы на пятироликовой листоправильной машине фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 8 (88). С. 344—349.

8. Шинкин В.Н. Правка толстой стальной полосы на одиннадцатироликовой листоправильной машине линии поперечной резки фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 9 (89). С. 359—365.

9. Шинкин В.Н. Расчет технологических параметров правки тонкой стальной полосы на пятнадцатироликовой листоправильной машине фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 10 (90). С. 361—366.

10. Шинкин В.Н. Холодная правка толстого стального листа на девятироликовой машине фирмы SMS Siemag на металлургическом комплексе стан 5000 // Молодой ученый. 2015. № 11 (91).

2

ос.

2

2

2

2

5

С.467-472.

11. Шинкин В.Н. Четырехроликовый режим холодной правки толстого стального листа на пятироликовой листоправильной машине фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 12 (92). С. 356-361.

12. Шинкин В.Н. Упругопластическая деформация металлического листа на трехвалковых вальцах // Молодой ученый. 2015. № 13 (93). С. 225-229.

13. Шинкин В.Н. Шестироликовый режим предварительной правки стальной полосы на листоправильной машине фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 14 (94). С. 205-211.

14. Шинкин В.Н. Определение критических давлений магистральных газонефтепроводов при частичном несплавлении продольного сварного шва стальных толстостенных труб // Молодой ученый. 2015. № 15 (95). С. 222-227.

15. Шинкин В.Н. Критерий разрушения труб при дефекте раскатной пригар // Молодой ученый. 2015. № 16 (96). С. 261-265.

16. Шинкин В.Н. Дефект перегиба стальной заготовки на трубоформовочном прессе // Молодой ученый. 2015. № 17 (97). С. 318-323.

17. Шинкин В.Н. Подгибка кромок стального листа по эвольвенте // Молодой ученый. 2015. № 18 (98). С. 231-237.

18. Шинкин В.Н. Критерий образования гофра при формовке стального листа на кромкогибочном прессе SMS Meer // Молодой ученый. 2015. № 19 (99). С. 238-243.

19. Шинкин В.Н. Остаточные напряжения при экспандировании стальной трубы // Молодой ученый. 2015. № 20 (100). С. 88-93.

20. Шинкин В.Н. Разрушение стальных труб при дефекте «раскатанный пригар с риской» // Молодой ученый. 2015. № 22 (102). С. 213-225.

21. Шинкин В.Н. Гидроиспытания стальных труб на прочность на заводе. Труба с «донышками» // Молодой ученый. 2015. № 23 (103). С. 268-276.

22. Шинкин В.Н. Гофр продольной кромки листа при его формовке на кромкогибочном прессе // Машиностроение и безопасность жизнедеятельности. 2009. № 6. С. 171-174.

23. Шинкин В.Н., Коликов А.П. Формовка листовой заготовки в кромкогибочном прессе и условие возникновение гофра при производстве труб магистральных трубопроводов // Производство проката. 2011. № 4. С. 14-22.

24. Шинкин В.Н. Математическое моделирование процессов производства труб большого диаметра для магистральных трубопроводов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2011. Т. 4. № 4 (62). С. 69-74.

25. Шинкин В.Н., Коликов А.П. Модель пластического формоизменения кромок листовой заготовки при производстве труб большого диаметра для магистральных трубопроводов // Известия вузов. Черная металлургия. 2011. № 9. С. 45-49.

26. Шинкин В.Н., Коликов А.П. Моделирование процессов экспандирования и гидроиспытания труб большого диаметра для магистральных трубопроводов // Производство проката. 2011. № 10. С. 12-19.

27. Шинкин В.Н., Коликов А.П., Барыков А.М. Технологические расчеты процессов производства труб большого диаметра по технологии SMS Meer // Металлург. 2011. № 11. С. 77-81.

28. Shinkin V.N., Kolikov A.P. Simulation of the shaping of blanks for large-diameter pipe // Steel in Translation. 2011. Vol. 41. No. 1. P. 61-66.

29. Shinkin V.N., Kolikov A.P. Elastoplastic shaping of metal in an edge-ending press in the manufacture of large-diameter pipe // Steel in Translation. 2011. Vol. 41. No. 6. P. 528-531.

30. Шинкин В.Н., Барыков А.М., Коликов А.П., Мокроусов В.И. Критерий разрушения труб большого диаметра при несплавлении сварного соединения и внутреннем давлении // Производство проката. 2012. № 2. С. 14-16.

31. Шинкин В.Н., Коликов А.П., Мокроусов В.И. Расчет максимальных напряжений в стенке трубы при экспандировании с учетом остаточных напряжений заготовки после трубоформовочного пресса SMS Meer // Производство проката. 2012. № 7. С. 25-29.

32. Шинкин В.Н. Критерий перегиба в обратную сторону свободной части листовой заготовки на трубоформовочном прессе SMS Meer при производстве труб большого диаметра // Производство проката. 2012. № 9. С. 21-26.

33. Шинкин В.Н., Мокроусов В.И. Критерий разрыва труб газонефтепроводов при дефекте «раскатной пригар с риской» // Производство проката. 2012. № 12. С. 19-24.

34. Shinkin V.N., Kolikov A.P. Engineering calculations for processes involved in the production of large-diameter pipes by the SMS Meer technology // Metallurgist. 2012. Vol. 55. Nos. 11-12. P. 833-840.

35. Шинкин В.Н. Производство труб большого диаметра по схеме JCOE фирмы SMS Meer для магистральных трубопроводов // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 3-1. С. 64-67.

36. Шинкин В.Н. Расчет технологических параметров кромкогибочного пресса фирмы SMS Meer // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 4-1. С. 114-119.

37. Шинкин В.Н. Математический критерий возникновения гофра при формовке стальной листовой заготовки на кромкогибочном прессе SMS Meer // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 5-1. С. 96-99.

38. Шинкин В.Н. Расчет усилий трубоформовочного пресса SMS Meer при изгибе плоской толстой стальной заготовки при производстве труб большого диаметра // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 6-1. С. 115-118.

39. Шинкин В.Н. Оценка усилий трубоформовочного пресса SMS Meer при изгибе стальной цилиндрической заготовки // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 7-1. С. 74-78.

40. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Сила давления пуансона трубоформовочного пресса SMS Meer при изгибе частично изогнутой толстой стальной заготовки // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 8-1. С. 78-83.

41. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Математический критерий перегиба стальной заготовки на трубоформовочном прессе SMS Meer // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 9-1. С. 73-77.

42. Шинкин В.Н. Влияние остаточных напряжений на прочность металла при экспандировании стальной заготовки // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 10-1. С. 153-157.

43. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Гибка стального листа на вальцах трехвалковых // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 11-1. С. 252-257.

44. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Правка толстой стальной полосы на пятироликовой листоправильной машине // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 11-1. С. 257-262.

45. Шинкин В.Н. Расчет кривизны стального листа при холодной правке на одиннадцатироликовой машине // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 12-2. С. 246-251.

46. Шинкин В.Н. Прочностные гидроиспытания стальных труб с заглушками на заводе // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 12-2. С. 251-258.

47. Шинкин В.Н., Федотов О.В. Расчет технологических параметров правки стальной горячекатаной рулонной полосы на пятироликовой машине линии поперечной резки фирмы Fagor Arrasate // Производство проката. 2013. № 9. С. 43-48.

48. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Расчет технологических параметров холодной правки стального листа на девятироликовой машине SMS Siemag металлургического комплекса стан 5000 // Производство проката. 2014. № 5. С. 7-15.

49. Шинкин В.Н. Расчет технологических параметров правки стального листа на одиннадцатироликовой листоправильной машине линии поперечной резки фирмы Fagor Arrasate // Производство проката. 2014. № 8. С. 26-34.

50. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Расчет формы трубной заготовки при гибке на кромкогибочном и трубоформовочном прессах фирмы SMS Meer при производстве труб большого диаметра по схеме JCOE // Производство проката. 2014. № 12. С. 13-20.

51. Шинкин В.Н., Борисевич В.Г., Федотов О.В. Холодная правка стального листа в четырехроликовой листоправильной машине // В сборнике: Глобализация науки: проблемы и перспективы. Т. 2. - Уфа: Башкирский государственный университет, 2014. - С. 119-121.

52. Шинкин В.Н. Математическая модель правки тонкого стального листа на пятнадцатироликовой листоправильной машине линии поперечной резки фирмы Fagor Arrasate // Производство проката. 2015. № 1. С. 42-48.

53. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Гибка стального листа на трубоформовочном прессе при производстве труб большого диаметра // Сталь. 2015. № 4. С. 38-42.

54. Шинкин В.Н. Оценка критических давлений при разрушении стальных труб магистральных газонефтепроводов при несплавлении сварного соединения // Современная наука: актуальные

проблемы теории и практики. Серия: Естественные и технические науки. 2015. № 5-6. С. 7-11.

55. Шинкин В.Н. Математический критерий разрушения стальных толстостенных труб при дефекте раскатной пригар // Мир науки и инноваций. 2015. Т. 5. № 2 (2). С. 57-64.

56. Шинкин В.Н. Прочность стальных труб при внутреннем давлении // Научные труды SWorld. 2015. Т. 5. № 4 (41). С. 50-58.

57. Шинкин В.Н. Холодная правка металлической полосы на семироликовой листоправильной машине // Молодой ученый. 2016. № 3 (107). С. 228-237.

58. Шинкин В.Н. Кривизна листа при правке на семироликовой машине // Современные тенденции развития науки и технологий. 2016. № 1-1. С. 131-139.

59. Романовский В.П. Справочник по холодной штамповке. - Л.: Машиностроение, 1971. - 782 с.