Коэффициент пружинения круглого бруса при кручении Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Шинкин В.Н. ©

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики, Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»

КОЭФФИЦИЕНТ ПРУЖИНЕНИЯ КРУГЛОГО БРУСА ПРИ КРУЧЕНИИ

Аннотация

Получен коэффициент пружинения круглого бруса при кручении для упругопластической среды с линейным упрочнением в зависимости от диаметра бруса, предела текучести, модуля Юнга и модуля упрочнения материала при кручении.

Ключевые слова: круглый брус, кручение, коэффициент пружинения, упругопластическая среда.

Keywords: round beam, torsion, spring coefficient, elastoplastic medium.

Вступление. Диаграмма касательных напряжений бруса для среды с линейным упрочнением при сдвиге показана на рис. 1, где t и g - касательное напряжение и угол сдвига; G, L и tT - модуль сдвига, модуль упрочнения при сдвиге и предел текучести при сдвиге материала бруса [1-6].

В области упругих деформаций касательные напряжения подчиняются закону Гука при сдвиге t = Gg. В области упрочнения зависимость касательного напряжения t от угла сдвига g имеет вид

Т=Тт + L(g-gr )=Тт ^^g-^ gr =G tmax = t + ^gnax - ^

Рассмотрим прямой брус с круглым поперечным сечением радиуса R. При кручении бруса максимальные касательные напряжений наблюдаются на поверхности бруса. Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении круглого бруса показана на рис. 2.

х Линейная зона упрочнения

Ут = Х JG Тост Ymax Y

Рис. 1. Зависимость касательных напряжений от угла сдвига

© Шинкин В.Н., 2016 г.

Рис. 2. Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении круглого бруса

По условию прочности Губера-Мизеса (энергетическая теория прочности) 1/2

Тт = от/3 » 0,58 от, а по условию прочности Треска-Сен-Венана (теория наибольших касательных напряжений) тт = от/2 = 0,5 от.

Кручение круглого бруса. Пусть ф(г) - угол закручивания поперечного сечения круглого бруса. Относительный угол закручивания 9(г) поперечного сечения бруса равен 9 = 9(г) = ёф/ёг.

Поперечное сечение круглого бруса при изгибе делится на две зоны - упругую и пластическую. Величина гт, определяющая границу этих зон, находится из уравнений

т = с, = &,9, г, = т, -±9=1

При увеличении крутящего момента и относительного угла закручивания упругая зона бруса уменьшается.

В упругой области поперечного сечения бруса т = Оу = Ог9, а в пластической области поперечного сечения бруса

т = тт + ¿(у-ут ) = тт + ^-Т ) = тт + ^ гв-Т

Относительный угол закручивания бруса, при котором на его поверхности впервые достигается касательное напряжение, равное пределу текучести при сдвиге Тт, находится из уравнений

Т + Ь\ Кв-^ |.

Т = К, тт

ОКв, в

г.

1.

ОК ОЯвт

По условию прочности Губера-Мизеса (энергетическая теория прочности)

Т = в =

т л/3' т ОК л/эОК'

а по условию прочности Треска-Сен-Венана (теория наибольших касательных напряжений)

т в=1^ =

т 2' т ОК 2ОК Изгибающий момент. При упругопластическом кручении крутящий момент М в поперечном сечении бруса равен

2р К 2Р К К

М = { { тт(т) гёгёу = | ёу-1 г т(т) гёг = 2р гТ(г)ёг =

0 0

0

0

0

'т л

2ж| т7(т)йт + 2ж| т7(т)йт

7т + Ь\ тв-

йт =

= 2ж| тОтвйт + 2ж|

0 Тт

= 2жОв] Т3 йт + 2ж7т(1 -Т2 йт + 2жЬв\ т3 йт =

= \жОвт^4 + 3р7т [1 - О - Тт3)+ \рьв(я4 - Тт4 ) = 1жв Отт4 + 1жвЬК4-—жвЬтт4 + 2ж7т(1 -Ь\(к3 -Тт3)

2

2

3

О.

= 2жв[(О - 1)тт4 + ЬК4 ] + "~Ж7Т \ 1 - О к - Тт3),

М = 1жв 2

(О - Ь)

Ов

+ ЬК4

+ 1Ж7т I1 - О

(

К3

Ов

3^

При Ь = 0 (диаграмма напряжений Прандтля) получаем

3 3

М(Ь = 0 = -1Ж7т Тт 3 + 4ж7т К3

Т = 3 т -

3 6М(Ь = 0) 4 К3--^-.

Ж7„,

С другой стороны, при Ь = 0 крутящий момент равен

Х41т л\ 1 Ов( 7т V 2 ( л3^

М(Ь = 0 = —Ж7т-\ —^ I +—Ж7т

Х ' 2 т 7 IОвJ 3 т

К3 -

Ов

К 3

6т

2

4-

ОКв.

1 2

М(Ь = 0, в = вт) =-Ж7тК\ М(Ь = 0, в = ¥=-Ж7т К3.

При Ь = 0 пластическая деформация на поверхности круглого бруса впервые наступает, когда

Т = К = 3

4К3

6М(Ь = 0

М(Ь = 0) = 1 ж7т К3.

Ж7т ' 2

При Ь = 0 максимальный крутящий момент достигается при

Т = 0 = 3

3 6тах М(Ь = 0 , \ 2 3

4 К3--^-, тах М(Ь = 0 = ~жгт К3.

Ж7„

3

При К = тт и 0 = 0т получаем

М(К = тт , в = вт) = 1жвт [(О - Ь)К4 + ЬК4] = 1жвтОК4 = 1ж7тК3. Приведем выражение для крутящего момента к безразмерному виду

2М = 1(1 - Ь

ж7тК3 3

При Ь = 0, в = вт получаем

7

(

4

ОКв

3

Ь + —

О

(

ОвК

\

V 7т J

в

ОК

в К = 7,

2М = 1Г1 - Ь Ж7„ К3 _ 3 \ О

О ОКвт

(

1, ОКв=1,

ОКв

3

Ь + —

О

ОвК

V 7т J

0

Т

К

т

т

4

3

2M ptT R3

4-

т

GRq

т J

GR6

2M = l = GRq

pt R

При чисто упругом кручении круглого бруса

pR4

= pD4 p = 32

2

wr =PDÎ

P 16

pR

t =

M 16M 2M д 1 D3 1 ^

< т , M <-pt R3 = —pt D\

W pD

pR

2

16

При чисто упругом кручении крутящий момент M в поперечном сечении бруса равен

2p R 2p R R

M = J J rt(r) rdrdy = | dy-J r t(r) rdr = 2pf r2t(r)dr =

0 0 0 0 0 RR

= 2pJ r2Gr6 dr = 2pG6f r3 dr = jpGÛR4,

0

2M

pGR

3

6R

т GR6 2M GR6

G т

pt R3

к

4: II X /

/ /

/

/ /

Jl- —e'- - --

Хост ^

х = сде/тт

Рис. 3. Зависимость крутящего момента от относительного угла закручивания

Зависимость y = 2M/(pTt:R ) от х = GRQ/tr показана на рис. 3, где 2M

У = х - хост -

GR6 GR6ост = GR (6 6 , 6 = 6 2M

= -6-6ост h 6ост =6-

рттЯ Тт Тт т Коэффициент пружинения. Вычислим коэффициент относительного угла закручивания 0 при кручении круглого бруса:

2М

pGR4' пружинения b(6)

6

6-

b(6) = 1 -

pGR4 2M

1--2M- |6 = b(6)6,

pGR46

f

pGR 6

1-

GR6

2M

Л

уРТтR J

T

т

2

0

= 1-

GRO

3 Г G

GR в

Л

L + —

G

GOR

V Тт j

в- ==в ß(O)=3 V1 - GGjf1 - Ш.

GRO,

+ 21

GRO,

Заключение. Получено аналитическое выражение для коэффициента пружинения круглого бруса при упругопластическом кручении. Результаты исследований могут быть применены в металлургической и машиностроительной промышленности при производстве металлических изделий из круглого бруса и строительной арматуры [1-63].

9.

Литература

Мошнин Е.Н. Гибка и правка на ротационных машинах. Технология и оборудование. — М.: Машиностроение, 1967. — 272 с.

Буланов Э.А., Шинкин В.Н. Механика. Вводный курс. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013.

— 172 с.

Шинкин В.Н. Сопротивление материалов. Простые и сложные виды деформаций в металлургии.

— М: Изд. Дом МИСиС, 2008. — 307 с.

Шинкин В.Н. Теоретическая механика для металлургов. — М: Изд. Дом МИСиС, 2012. — 679 с. Шинкин В.Н. Сопротивление материалов для металлургов. — М: Изд. Дом МИСиС, 2013. — 655 с. Шинкин В.Н. Механика сплошных сред для металлургов. — М: Изд. Дом МИСиС, 2014. — 628 с. Шинкин В.Н. Математическая модель правки стальной полосы на пятироликовой листоправильной машине фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 8 (88). С. 344—349. Шинкин В.Н. Правка толстой стальной полосы на одиннадцатироликовой листоправильной машине линии поперечной резки фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 9 (89). С. 359—365.

Шинкин В.Н. Расчет технологических параметров правки тонкой стальной полосы на пятнадцатироликовой листоправильной машине фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 10 (90). С. 361—366.

Шинкин В.Н. Холодная правка толстого стального листа на девятироликовой машине фирмы SMS Siemag на металлургическом комплексе стан 5000 // Молодой ученый. 2015. № 11 (91). С.467-472.

Шинкин В.Н. Четырехроликовый режим холодной правки толстого стального листа на пятироликовой листоправильной машине фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 12 (92). С. 356-361.

12. Шинкин В.Н. Упругопластическая деформация металлического листа на трехвалковых вальцах // Молодой ученый. 2015. № 13 (93). С. 225-229.

Шинкин В.Н. Шестироликовый режим предварительной правки стальной полосы на листоправильной машине фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 14 (94). С. 205-211. Шинкин В.Н. Определение критических давлений магистральных газонефтепроводов при частичном несплавлении продольного сварного шва стальных толстостенных труб // Молодой ученый. 2015. № 15 (95). С. 222—227. 15. Шинкин В.Н. Критерий разрушения труб при дефекте раскатной пригар // Молодой ученый. 2015. № 16 (96). С. 261—265.

Шинкин В.Н. Дефект перегиба стальной заготовки на трубоформовочном прессе // Молодой ученый. 2015. № 17 (97). С. 318—323.

Шинкин В.Н. Подгибка кромок стального листа по эвольвенте // Молодой ученый. 2015. № 18 (98). С. 231—237.

Шинкин В.Н. Критерий образования гофра при формовке стального листа на кромкогибочном прессе SMS Meer // Молодой ученый. 2015. № 19 (99). С. 238—243.

Шинкин В.Н. Остаточные напряжения при экспандировании стальной трубы // Молодой ученый. 2015. № 20 (100). С. 88—93.

Шинкин В.Н. Разрушение стальных труб при дефекте «раскатанный пригар с риской» // Молодой ученый. 2015. № 22 (102). С. 213—225. 21. Шинкин В.Н. Гидроиспытания стальных труб на прочность на заводе. Труба с «донышками» //

10.

11.

13.

14.

16.

17.

18.

19.

20.

4

2

2

Молодой ученый. 2015. № 23 (103). С. 2б8-27б.

22. Шинкин В.Н. Холодная правка металлической полосы на семироликовой листоправильной машине II Молодой ученый. 201б. № 3 (107). С. 228-237.

23. Шинкин В.Н. Гофр продольной кромки листа при его формовке на кромкогибочном прессе II Машиностроение и безопасность жизнедеятельности. 2009. № б. С. 171-174.

24. Шинкин В.Н., Уандыкова С.К. Гибка стальной листовой заготовки на кромкогибочном прессе при производстве труб большого диаметра II Известия Кыргызского государственного технического университета им. И. Раззакова. 2009. № 1б. С. 110-112.

25. Шинкин В.Н., Коликов А.П. Моделирование процесса формовки заготовки для труб большого диаметра II Сталь. 2011. № 1. С. 54-58.

26. Шинкин В.Н., Коликов А.П. Формовка листовой заготовки в кромкогибочном прессе и условие возникновение гофра при производстве труб магистральных трубопроводов II Производство проката. 2011. № 4. С. 14-22.

27. Шинкин В.Н. Математическое моделирование процессов производства труб большого диаметра для магистральных трубопроводов II Вестник Саратовского государственного технического университета. 2011. Т. 4. № 4 (б2). С. б9-74.

28. Шинкин В.Н., Коликов А.П. Упругопластическое формоизменение металла на кромкогибочном прессе при формовке труб большого диаметра II Сталь. 2011. № б. С. 53-5б.

29. Шинкин В.Н., Коликов А.П. Модель пластического формоизменения кромок листовой заготовки при производстве труб большого диаметра для магистральных трубопроводов II Известия вузов. Черная металлургия. 2011. № 9. С. 45-49.

30. Шинкин В.Н., Коликов А.П. Моделирование процессов экспандирования и гидроиспытания труб большого диаметра для магистральных трубопроводов II Производство проката. 2011. № 10. С. 12-19.

31. Шинкин В.Н., Коликов А.П., Барыков А.М. Технологические расчеты процессов производства труб большого диаметра по технологии SMS Meer II Металлург. 2011. № 11. С. 77-81.

32. Shinkin V.N., Kolikov A.P. Simulation of the shaping of blanks for large-diameter pipe II Steel in Translation. 2011. Vol. 41. No. 1. P. б1-бб.

33. Shinkin V.N., Kolikov A.P. Elastoplastic shaping of metal in an edge-ending press in the manufacture of large-diameter pipe II Steel in Translation. 2011. Vol. 41. No. б. P. 528-531.

34. Шинкин В.Н., Барыков А.М., Коликов А.П., Мокроусов В.И. Критерий разрушения труб большого диаметра при несплавлении сварного соединения и внутреннем давлении II Производство проката. 2012. № 2. С. 14-1б.

35. Шинкин В.Н., Коликов А.П., Мокроусов В.И. Расчет максимальных напряжений в стенке трубы при экспандировании с учетом остаточных напряжений заготовки после трубоформовочного пресса SMS Meer II Производство проката. 2012. № 7. С. 25-29.

36. Шинкин В.Н. Критерий перегиба в обратную сторону свободной части листовой заготовки на трубоформовочном прессе SMS Meer при производстве труб большого диаметра II Производство проката. 2012. № 9. С. 21-2б.

37. Шинкин В.Н., Мокроусов В.И. Критерий разрыва труб газонефтепроводов при дефекте «раскатной пригар с риской» II Производство проката. 2012. № 12. С. 19-24.

38. Shinkin V.N., Kolikov A.P. Engineering calculations for processes involved in the production of large-diameter pipes by the SMS Meer technology II Metallurgist. 2012. Vol. 55. Nos. 11-12. P. 833-840.

39. Шинкин В.Н. Производство труб большого диаметра по схеме JCOE фирмы SMS Meer для магистральных трубопроводов II Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 3-1. С. б4-б7.

40. Шинкин В.Н. Расчет технологических параметров кромкогибочного пресса фирмы SMS Meer II Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 4-1. С. 114-119.

41. Шинкин В.Н. Математический критерий возникновения гофра при формовке стальной листовой заготовки на кромкогибочном прессе SMS Meer II Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 5-1. С. 9б-99.

42. Шинкин В.Н. Расчет усилий трубоформовочного пресса SMS Meer при изгибе плоской толстой стальной заготовки при производстве труб большого диаметра II Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № б-1. С. 115-118.

43. Шинкин В.Н. Оценка усилий трубоформовочного пресса SMS Meer при изгибе стальной цилиндрической заготовки II Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015.

№ 7—1. С. 74—78.

44. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Сила давления пуансона трубоформовочного пресса SMS Meer при изгибе частично изогнутой толстой стальной заготовки // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 8—1. С. 78—83.

45. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Математический критерий перегиба стальной заготовки на трубоформовочном прессе SMS Meer // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 9—1. С. 73—77.

46. Шинкин В.Н. Влияние остаточных напряжений на прочность металла при экспандировании стальной заготовки // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 10—1. С. 153—157.

47. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Гибка стального листа на вальцах трехвалковых // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 11—1. С. 252—257.

48. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Правка толстой стальной полосы на пятироликовой листоправильной машине // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 11—1. С. 257—262.

49. Шинкин В.Н. Расчет кривизны стального листа при холодной правке на одиннадцатироликовой машине // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 12—2. С. 246—251.

50. Шинкин В.Н. Прочностные гидроиспытания стальных труб с заглушками на заводе // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 12—2. С. 251—258.

51. Шинкин В.Н., Федотов О.В. Расчет технологических параметров правки стальной горячекатаной рулонной полосы на пятироликовой машине линии поперечной резки фирмы Fagor Arrasate // Производство проката. 2013. № 9. С. 43—48.

52. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Расчет технологических параметров холодной правки стального листа на девятироликовой машине SMS Siemag металлургического комплекса стан 5000 // Производство проката. 2014. № 5. С. 7—15.

53. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Математическая модель расчета формы трубной заготовки после кромкогибочного пресса SMS Meer // Евразийский союз ученых. 2014. № 5. Часть 3. С. 112—115.

54. Шинкин В.Н. Расчет технологических параметров правки стального листа на одиннадцатироликовой листоправильной машине линии поперечной резки фирмы Fagor Arrasate // Производство проката. 2014. № 8. С. 26—34.

55. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Расчет формы трубной заготовки при гибке на кромкогибочном и трубоформовочном прессах фирмы SMS Meer при производстве труб большого диаметра по схеме JCOE // Производство проката. 2014. № 12. С. 13-20.

56. Шинкин В.Н., Борисевич В.Г., Федотов О.В. Холодная правка стального листа в четырехроликовой листоправильной машине // В сборнике: Глобализация науки: проблемы и перспективы. Т. 2. — Уфа: Башкирский государственный университет, 2014. — С. 119—121.

57. Шинкин В.Н. Математическая модель правки тонкого стального листа на пятнадцатироликовой листоправильной машине линии поперечной резки фирмы Fagor Arrasate // Производство проката. 2015. № 1. С. 42-48.

58. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Гибка стального листа на трубоформовочном прессе при производстве труб большого диаметра // Сталь. 2015. № 4. С. 38-42.

59. Шинкин В.Н. Оценка критических давлений при разрушении стальных труб магистральных газонефтепроводов при несплавлении сварного соединения // Современная наука: актуальные проблемы теории и практики. Серия: Естественные и технические науки. 2015. № 5—6. С. 7—11.

60. Шинкин В.Н. Математический критерий разрушения стальных толстостенных труб при дефекте раскатной пригар // Мир науки и инноваций. 2015. Т. 5. № 2 (2). С. 57—64.

61. Шинкин В.Н. Прочность стальных труб при внутреннем давлении // Научные труды SWorld. 2015. Т. 5. № 4 (41). С. 50—58.

62. Шинкин В.Н. Геометрия листа при правке на семироликовой машине // Современные тенденции развития науки и технологий. 2016. № 1—1. С. 131—139.

63. Романовский В.П. Справочник по холодной штамповке. — Л.: Машиностроение, 1971. — 782 с.