CC BY
10
©
Шинкин В.Н.
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики, Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»
КОЭФФИЦИЕНТ ПРУЖИНЕНИЯ КРУГЛОГО БРУСА ПРИ ИЗГИБЕ
Аннотация
Получен коэффициент пружинения круглого бруса при изгибе для упругопластической среды с линейным упрочнением в зависимости от диаметра бруса, предела текучести, модуля Юнга и модуля упрочнения материала.
Ключевые слова: круглый брус, коэффициент пружинения, упругопластическая среда. Keywords: a round beam, a spring coefficient, an elastoplastic medium.
Среда с линейным упрочнением. Диаграмма нормальных напряжений бруса при растяжении показана на рис. 1, где s и e - нормальное напряжение и относительное удлинение бруса; E, П и ат - модуль Юнга, модуль упрочнения и предел текучести материала бруса [1-6].
В области упругих деформаций нормальные напряжения подчиняются закону Гука s = Ee. В области упрочнения зависимость нормального напряжения s от относительного удлинения e имеет вид
s = s + П(e-e ), e = -т-, s = s + n(e -e ).
т V т /> т т^ > max т V max т/
E
Рассмотрим прямой брус с круглым поперечным сечением радиуса R. При изгибе бруса максимальные нормальные напряжений наблюдаются на поверхности бруса в точках поперечного сечения, максимально удаленных от нейтральной плоскости бруса. Эпюра нормальных напряжений в поперечном сечении круглого бруса показана на рис. 2.
Рис. 1. Зависимость нормальных напряжений от относительной деформации
© Шинкин В.Н., 2016 г.
Рис. 2. Эпюра нормальных напряжений в поперечном сечении круглого бруса
Поперечное сечение круглого бруса при изгибе делится на две зоны - упругую и пластическую. Величина ут, определяющая границу этих зон, находится из уравнений
■ Ут о = 77п п =0
о = Е—, я; = Ее, е = , р Е
°тР °тр
ор Еер У
т _ тл
1.
Е Е " Я ЕЯ Еут При увеличении изгибающего момента и кривизны упругая зона бруса уменьшается. Радиус кривизны оси бруса, при котором на его поверхности впервые достигается напряжение, равное пределу текучести от, равен
г Я 17 Я отрт
Рт = Е —, от = Е —, —^ = 1. от т р; ЕЯ
По теореме Пифагора длина хорды на расстоянии у от центра круглого сечения равна
2 2 1/2
Ь(у) = 2(Я - у ) . Введем прямоугольную полярную систему координат (р, ф) с началом в центре поперечного круглого сечения.
Изгибающий момент. При упругопластическом изгибе изгибающий момент М в поперечном сечении бруса равен
Я Я Я
М = | у о(у) Ь(у) ёу = 2{ у о(у) Ь(у) ёу = у о(у)д/Я2 - у2 ёу =
-Я 0 0 ут__Я
= 41 у о( у )у1 я 2 - у2 ёу + 41 у о( у )д/ Я2 - у2 ёу =
о ут
( лЛ
4 \ у Е— д/я 2 - у2 ёу + 4 \ у (от + П(п-е )У Я2 - у2 ёу
0 I р)
ут. ( ,Л
41 у Е у I/Я2 - у2 ёу + 41
о V р)
у
= 4 Е ] у 2 л/ Я2 - у 2 ёу + 41
ут
Я ( (V 0 ^ I-
у 0|л/Я^ ёу:
\
у
ут V Я(
о + П
р
у
о
ут
рЕ
Пот П
Ер
л/Я2-у2 ёу =
= 4 Е ) ёу + 4от (1 - ПЦ у л/Я2-у2 ёу + 4 — ] у2 ёу =
р 0 V Е) I рI
П
о
+4&т я3 [1 - П]Г[У 11 - [ УI У1+4^ М УI М - [У1 ¿У
У Е Р [ я л I я J I я J Р -1 I я П I я J I я
Е, Ея 4
+ -
= *т я311 - ЕIИ
' П11 . (ар + пя4 ж
1--I — агсБт I —I + -
Р П
Е) 2
ея
\2 (/
V
Ея
. 2
Р -
°тР V-1 + ---( а,Р Ея 1 2 3 3 \ Ея
2
+
Ея4 Г П11 . (аР пя4 ж
+-1 1--I-агсБт I —— I +--.
р [ Е J 2 ^ Ея J р 4
-Ь я5 [1 - Е11 - (Ц
21 ^Т - 51
V
Ея
+
Ея4 Г П11 . (атр) пя4 ж
+-1 1--I-агсБт I —— I +--.
р [ Е J 2 [ Ея J р 4
При отрт/(Ея) = 1 получаем
М =
жа я3
При чисто упругом изгибе круглого бруса
м
рЕЯ4 4р
Приведем выражение для изгибающего момента при чисто упругом изгибе круглого бруса к безразмерному виду
М _р ЕЯ
При чисто упругом изгибе круглого бруса и р = рт = ЕЯ/ат получаем
Я3
М - т
4
Приведем выражение для изгибающего момента при упругопластическом изгибе к безразмерному виду
-Мт _-1 Г, - П „.
а Я 61 Е
ар
ЕЯ
2
V
атР
ЕЯ
Г - 5Л
+
ЕЯ Г П^ 1 . Г ар) П р ЕЯ
+-1 1--I-агсБт I —— I +---
(Гтр{ Е) 2 ^ ЕЯ ) Е 4 ар
Зависимость М/(атЯ) показана от ЕЯ/(отр) на рис. 3.
а
0.5
1.5
МНпЛу)
Рис. 3. Зависимость кривизны бруса 1/р от изгибающего момента М
Коэффициент пружинения. В основе определения остаточных деформаций после пластических деформаций лежит теорема о разгрузке Генки (1924 г.) [1-6]: остаточные напряжения равны разности между истинными напряжениями в упругопластическом теле и теми напряжениями, которые создавались бы в нем при предположении об идеальной упругости материала.
Пользуясь теоремой о разгрузке Генки, получаем уравнение для определения остаточного радиуса кривизны круглого бруса рост:
М
г
ЕЯ ЕЯ
Л
р ЕЯ
(
тг ост )
4 о
1
1
Л
т
р р
ост )
4M
1
1
pER p р0Ст 1 1 4M
}4 '
Рост p PER
Коэффициент пружинения при изгибе круглого бруса равен
Рост _ 1
ß(p) =
Р
1
4mp Per4
Рост = ß(P)P,
ß(p)
1п\ 1 fsp
3p ER
E
та
ER
21 SP
l ER
\ 2 Л
2 f П ^ . f (ГтР\ П
■ — I 1--I arcsin I —— I--
p l E J l ER J E
ß(0) =
1-
П
E
, Ь(Рт ) = ¥.
Для диаграммы Прандтля (П = 0) ß(p) =-¡—
1+-1-S
3p ER \ l ER
2
2
StP
ER
Ï - ;
2 • f StP
--arcsin I —т—
p l ER .
до) = 1, ) = ¥.
Заключение. Получено аналитическое выражение для коэффициента пружинения круглого бруса при упругопластическом изгибе. Результаты исследований могут быть применены в металлургической и машиностроительной промышленности при производстве металлических изделий из круглого бруса и строительной арматуры [1-58].
Литература
Мошнин Е.Н. Гибка и правка на ротационных машинах. Технология и оборудование. — М.: Машиностроение, 1967. — 272 с.
Буланов Э.А., Шинкин В.Н. Механика. Вводный курс. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013.
— 172 с.
Шинкин В.Н. Сопротивление материалов. Простые и сложные виды деформаций в металлургии.
— М: Изд. Дом МИСиС, 2008. — 307 с.
Шинкин В.Н. Теоретическая механика для металлургов. — М: Изд. Дом МИСиС, 2012. — 679 с. Шинкин В.Н. Сопротивление материалов для металлургов. — М: Изд. Дом МИСиС, 2013. — 655 с. Шинкин В.Н. Механика сплошных сред для металлургов. — М: Изд. Дом МИСиС, 2014. — 628 с. Шинкин В.Н. Математическая модель правки стальной полосы на пятироликовой листоправильной машине фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 8 (88). С. 344—349. Шинкин В.Н. Правка толстой стальной полосы на одиннадцатироликовой листоправильной машине линии поперечной резки фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 9 (89). С. 359-365.
Шинкин В.Н. Расчет технологических параметров правки тонкой стальной полосы на пятнадцатироликовой листоправильной машине фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 10 (90). С. 361—366.
Шинкин В.Н. Холодная правка толстого стального листа на девятироликовой машине фирмы SMS Siemag на металлургическом комплексе стан 5000 // Молодой ученый. 2015. № 11 (91). С.467-472.
11. Шинкин В.Н. Четырехроликовый режим холодной правки толстого стального листа на пятироликовой листоправильной машине фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 12 (92). С. 356-361.
12. Шинкин В.Н. Упругопластическая деформация металлического листа на трехвалковых вальцах // Молодой ученый. 2015. № 13 (93). С. 225-229.
9.
10.
1
5
1
1
l3. Шинкин В.Н. Шестироликовый режим предварительной правки стальной полосы на листоправильной машине фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 1А (9А). С. 205-211.
1А. Шинкин В.Н. Определение критических давлений магистральных газонефтепроводов при частичном несплавлении продольного сварного шва стальных толстостенных труб // Молодой ученый. 2015. № 15 (95). С. 222-227.
15. Шинкин В.Н. Критерий разрушения труб при дефекте раскатной пригар // Молодой ученый. 2015. № 1б (9б). С. 2б1-2б5.
16. Шинкин В.Н. Дефект перегиба стальной заготовки на трубоформовочном прессе // Молодой ученый. 2015. № 17 (97). С. 318-323.
17. Шинкин В.Н. Подгибка кромок стального листа по эвольвенте // Молодой ученый. 2015. № 18 (98). С. 231-237.
18. Шинкин В.Н. Критерий образования гофра при формовке стального листа на кромкогибочном прессе SMS Meer // Молодой ученый. 2015. № 19 (99). С. 238-2А3.
19. Шинкин В.Н. Остаточные напряжения при экспандировании стальной трубы // Молодой ученый. 2015. № 20 (100). С. 88-93.
20. Шинкин В.Н. Разрушение стальных труб при дефекте «раскатанный пригар с риской» // Молодой ученый. 2015. № 22 (102). С. 213-225.
21. Шинкин В.Н. Гидроиспытания стальных труб на прочность на заводе. Труба с «донышками» // Молодой ученый. 2015. № 23 (103). С. 2б8-27б.
22. Шинкин В.Н. Гофр продольной кромки листа при его формовке на кромкогибочном прессе // Машиностроение и безопасность жизнедеятельности. 2009. № б. С. 171-17А.
23. Шинкин В.Н., Коликов А.П. Формовка листовой заготовки в кромкогибочном прессе и условие возникновение гофра при производстве труб магистральных трубопроводов // Производство проката. 2011. № А. С. 1А-22.
2А. Шинкин В.Н. Математическое моделирование процессов производства труб большого диаметра для магистральных трубопроводов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2011. Т. А. № А (б2). С. б9-7А.
25. Шинкин В.Н., Коликов А.П. Модель пластического формоизменения кромок листовой заготовки при производстве труб большого диаметра для магистральных трубопроводов // Известия вузов. Черная металлургия. 2011. № 9. С. А5-А9.
26. Шинкин В.Н., Коликов А.П. Моделирование процессов экспандирования и гидроиспытания труб большого диаметра для магистральных трубопроводов // Производство проката. 2011. № 10. С. 12-19.
27. Шинкин В.Н., Коликов А.П., Барыков А.М. Технологические расчеты процессов производства труб большого диаметра по технологии SMS Meer // Металлург. 2011. № 11. С. 77-81.
28. Shinkin V.N., Kolikov A.P. Simulation of the shaping of blanks for large-diameter pipe // Steel in Translation. 2011. Vol. А1. No. 1. P. б1-бб.
29. Shinkin V.N., Kolikov A.P. Elastoplastic shaping of metal in an edge-ending press in the manufacture of large-diameter pipe // Steel in Translation. 2011. Vol. А1. No. б. P. 528-531.
30. Шинкин В.Н., Барыков А.М., Коликов А.П., Мокроусов В.И. Критерий разрушения труб большого диаметра при несплавлении сварного соединения и внутреннем давлении // Производство проката. 2012. № 2. С. 1А-1б.
31. Шинкин В.Н., Коликов А.П., Мокроусов В.И. Расчет максимальных напряжений в стенке трубы при экспандировании с учетом остаточных напряжений заготовки после трубоформовочного пресса SMS Meer // Производство проката. 2012. № 7. С. 25-29.
32. Шинкин В.Н. Критерий перегиба в обратную сторону свободной части листовой заготовки на трубоформовочном прессе SMS Meer при производстве труб большого диаметра // Производство проката. 2012. № 9. С. 21-2б.
33. Шинкин В.Н., Мокроусов В.И. Критерий разрыва труб газонефтепроводов при дефекте «раскатной пригар с риской» // Производство проката. 2012. № 12. С. 19-2А.
3А. Shinkin V.N., Kolikov A.P. Engineering calculations for processes involved in the production of large-diameter pipes by the SMS Meer technology // Metallurgist. 2012. Vol. 55. Nos. 11-12. P. 833-8А0.
35. Шинкин В.Н. Производство труб большого диаметра по схеме JCOE фирмы SMS Meer для магистральных трубопроводов // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 3-1. С. бА-б7.
36. Шинкин В.Н. Расчет технологических параметров кромкогибочного пресса фирмы SMS Meer //
Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 4—1. С. 114—119.
37. Шинкин В.Н. Математический критерий возникновения гофра при формовке стальной листовой заготовки на кромкогибочном прессе SMS Meer // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 5—1. С. 96—99.
38. Шинкин В.Н. Расчет усилий трубоформовочного пресса SMS Meer при изгибе плоской толстой стальной заготовки при производстве труб большого диаметра // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 6—1. С. 115-118.
39. Шинкин В.Н. Оценка усилий трубоформовочного пресса SMS Meer при изгибе стальной цилиндрической заготовки // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 7—1. С. 74—78.
40. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Сила давления пуансона трубоформовочного пресса SMS Meer при изгибе частично изогнутой толстой стальной заготовки // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 8—1. С. 78—83.
41. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Математический критерий перегиба стальной заготовки на трубоформовочном прессе SMS Meer // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 9—1. С. 73—77.
42. Шинкин В.Н. Влияние остаточных напряжений на прочность металла при экспандировании стальной заготовки // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 10—1. С.153—157.
43. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Гибка стального листа на вальцах трехвалковых // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 11—1. С. 252—257.
44. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Правка толстой стальной полосы на пятироликовой листоправильной машине // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 11—1. С. 257—262.
45. Шинкин В.Н. Расчет кривизны стального листа при холодной правке на одиннадцатироликовой машине // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 12—2. С. 246—251.
46. Шинкин В.Н. Прочностные гидроиспытания стальных труб с заглушками на заводе // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 12—2. С. 251—258.
47. Шинкин В.Н., Федотов О.В. Расчет технологических параметров правки стальной горячекатаной рулонной полосы на пятироликовой машине линии поперечной резки фирмы Fagor Arrasate // Производство проката. 2013. № 9. С. 43—48.
48. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Расчет технологических параметров холодной правки стального листа на девятироликовой машине SMS Siemag металлургического комплекса стан 5000 // Производство проката. 2014. № 5. С. 7—15.
49. Шинкин В.Н. Расчет технологических параметров правки стального листа на одиннадцатироликовой листоправильной машине линии поперечной резки фирмы Fagor Arrasate // Производство проката. 2014. № 8. С. 26—34.
50. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Расчет формы трубной заготовки при гибке на кромкогибочном и трубоформовочном прессах фирмы SMS Meer при производстве труб большого диаметра по схеме JCOE // Производство проката. 2014. № 12. С. 13-20.
51. Шинкин В.Н., Борисевич В.Г., Федотов О.В. Холодная правка стального листа в четырехроликовой листоправильной машине // В сборнике: Глобализация науки: проблемы и перспективы. Т. 2. — Уфа: Башкирский государственный университет, 2014. — С. 119—121.
52. Шинкин В.Н. Математическая модель правки тонкого стального листа на пятнадцатироликовой листоправильной машине линии поперечной резки фирмы Fagor Arrasate // Производство проката. 2015. № 1. С. 42-48.
53. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Гибка стального листа на трубоформовочном прессе при производстве труб большого диаметра // Сталь. 2015. № 4. С. 38-42.
54. Шинкин В.Н. Оценка критических давлений при разрушении стальных труб магистральных газонефтепроводов при несплавлении сварного соединения // Современная наука: актуальные проблемы теории и практики. Серия: Естественные и технические науки. 2015. № 5—6. С. 7—11.
55. Шинкин В.Н. Математический критерий разрушения стальных толстостенных труб при дефекте раскатной пригар // Мир науки и инноваций. 2015. Т. 5. № 2 (2). С. 57—64.
56. Шинкин В.Н. Прочность стальных труб при внутреннем давлении // Научные труды SWorld. 2015. Т. 5. № 4 (41). С. 50—58.
57. Шинкин В.Н. Холодная правка металлической полосы на семироликовой листоправильной
машине // Молодой ученый. 2016. № 03 (107). С. 228-237. 58. Романовский В.П. Справочник по холодной штамповке. - Л.: Машиностроение, 1971. - 782 с.
