Остаточные напряжения в поперечном сечении круглого бруса при кручении Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Шинкин В.Н. ©

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики, Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»

©

ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПОПЕРЕЧНОМ СЕЧЕНИИ КРУГЛОГО БРУСА

ПРИ КРУЧЕНИИ

Аннотация

Получены остаточные напряжения круглого бруса при кручении для упругопластической среды с линейным упрочнением в зависимости от диаметра бруса, предела текучести, модуля Юнга и модуля упрочнения материала.

Ключевые слова: круглый брус; кручение; остаточные напряжения; упругопластическая среда.

Keywords: round beam; torsion; residual stresses; elastoplastic medium.

Введение. Рассмотрим прямой брус с круглым поперечным сечением радиуса R. Рассмотрим упругопластическую среду с линейным упрочнением при сдвиге. Пусть t и g -касательное напряжение и угол сдвига; G, L и тт - модуль сдвига, модуль упрочнения при сдвиге и предел текучести при сдвиге материала бруса [1-6]. Пусть j(z) - угол закручивания поперечного сечения круглого бруса. Относительный угол закручивания 0(z) поперечного сечения бруса равен 0 = 0(z) = dj/dz.

В области упругих деформаций касательные напряжения подчиняются закону Гука при сдвиге t = Gg = Gr0. В области упрочнения зависимость касательного напряжения t от угла сдвига g имеет вид

При кручении бруса максимальные касательные напряжений наблюдаются на поверхности бруса. Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении круглого бруса при кручении показана на рис. 1.

Рис. 1. Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении круглого бруса при

кручении

© Шинкин В.Н., 2016 г.

У А

Пластическая ./ зона

Упругг зона

Поперечное сечение круглого бруса при изгибе делится на две зоны - упругую и пластическую. Величина гт, определяющая границу этих зон, находится из уравнений

х

t = Gg = Grq, rT =

= 1.

Gв Grтв

При увеличении крутящего момента и относительного угла закручивания упругая зона бруса уменьшается. Относительный угол закручивания бруса, при котором на его поверхности впервые достигается касательное напряжение, равное пределу текучести при сдвиге Хт, находится из уравнений

Г = R,

GR0, в

1.

GR GRвг

Крутящий момент при упругопластическом кручении круглого бруса. При

упругопластическом кручении крутящий момент М в поперечном сечении бруса равен

M = -жв 2

(G - L)

Ge

+ LR4

+\жтт i1 - G

г

R -

Ge

л

Приведем выражение для крутящего момента к безразмерному виду

1

M = -pQR3eR 2

2 M жт R3

- - L Y-Ч+L

G Л GRe) G

1

4 т

+ -PGR*-1 - —

2

3 G

L

- - к

G)VGRe

2M

L + —

G

f GRe^

V тт )

G

f

1

1-

GRe

л

3 (1 -L

жт R3 3 V G

J

4-

GRe,

+ 3 f1 G.v

V^ L fGRe^ + —

GRe

3

G

Рис. 2. Остаточные напряжения при кручении круглого бруса

т

т

4

3

т

т

Остаточные напряжения круглого бруса после распружинивания. В основе определения остаточных напряжений после пластических деформаций лежит теорема о разгрузке Генки (1924 г.) [1-6]: остаточные напряжения равны разности между истинными напряжениями в упругопластическом теле и теми напряжениями, которые создавались бы в нем при предположении об идеальной упругости материала.

Пусть изменение касательных напряжений в поперечном сечении бруса при распружинивании подчиняется линейному упругому закону о разгрузке Генки т = hr, где h = const - неизвестный коэффициент, подлежащий определению. Тогда эпюра касательных напряжений после распружинивания круглого бруса будет иметь вид, показанный на рис. 2.

Крутящий момент при чисто упругом распружинивании круглого бруса. При

чисто упругом изгибе изгибающий момент М в поперечном сечении круглого бруса равен

2р К 2р К К

М = { { г т(г) гёгёу = | ёу-1 г т(г) гёг = 2р г2г(г)ёг =

0 0

R R i i

2pj r2гр dr = 2prjj r3 dr = —PjR4, M = — pR4, h

2M

00

Крутящие моменты при кручении и распружинивании одинаковы.

pR

4 '

h

2M = t pR4 R

31,1 G

f

4 -

GRO

3\

L + —

G

f

GRO

Л

V Тт у

бруса

Откуда получаем линейный упругий закон о разрузке Генки при кручении круглого

/ \ t r

t(r) = hr =

R

31,1 G

4-

GRO

3

L + —

G

GRO

V Тт j

С другой стороны, можно записать

t = hr = %Gg,

Х =

hr = hr _ h = Тт 1

Gg = GrO GO GRO 3

c=—i, - L

3 V GjGR6

L 4-I

3

GRO,

j

L + —

G

GRO

V Тт j

(

GRO,

c(O = OT> = 1,

i j

j

L G

L

+ —,

G

В области чисто упругих кручений круглого бруса (O < 0т) ( = const =1. Зависимость % от GRQ/xT показана на рис. 3.

0.4 0.6

х - тт/ GRQ Рис. 3. Зависимость ( от 6

Экстремальные значения остаточных напряжений. Найдем экстремальные значения остаточных напряжений после кручения круглого бруса:

0

0

0

4

оо

tocT = tmax " h = t + Lg^ " g )] " ^ = t + L| -TR

l

= t + t —

т т g

gr в

v t

-1

-Tr =

l

= t +t —

т т g

gr в

-1

v t

-t

l

= t + t —

т т g

gr в

t

v т )

l

3г g

l

4-I

gro

l f gor 1

+ —

g t V т )

тт g тт 3 Г g

= tji - l1^ I f! - l

g) т 3 V g

4-I

gro

gr в

/

3 \

l

т g

f ger \

t

V т )

- G

1 -1

3

r

gr в

3

- GI 3

gr в

2 L T

to„ =r, ^ =.,= Г, I1 - —

= t

1 - ^

GR в

3 Г G

У

GRв,

L + —

G

f

GOR

'1 - L1 -1 f1 - Lf

G) 3V G)GRO

4 -

V t- ) 3 Y\

GR в

))

=t (1 - L.

1 - 1--

f

3 gro

3

GRO,

Окончательно получаем

t ост

t f1 - G) 3

1 -

GRO,

Т1ост (в = в) = 0, г'ост (в

- Ь (1 - L' < 0-

ь ост

t-n - G

1 -1

3 GRO

4 -

GRO

Л

t ост (0 = 0) = 0, t ост (e=~) = tJ 1--I > 0.

ь

G

Заключение. Получено аналитическое выражение для остаточных напряжений круглого бруса при упругопластическом кручении. Результаты исследований могут быть применены в металлургической и машиностроительной промышленности при производстве металлических изделий из круглого бруса и строительной арматуры [1-65].

Литература

1. Мошнин Е.Н. Гибка и правка на ротационных машинах. Технология и оборудование. - М.: Машиностроение, 1967. - 272 с.

2. Буланов Э.А., Шинкин В.Н. Механика. Вводный курс. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013.

- 172 с.

3. Шинкин В.Н. Сопротивление материалов. Простые и сложные виды деформаций в металлургии.

- М: Изд. Дом МИСиС, 2008. - 307 с.

4. Шинкин В.Н. Теоретическая механика для металлургов. - М: Изд. Дом МИСиС, 2012. - 679 с.

t

4

т

3

т

т

4

1

т

т

4

4

3

оо

5. Шинкин В.Н. Сопротивление материалов для металлургов. - М: Изд. Дом МИСиС, 2013. - 655 с.

6. Шинкин В.Н. Механика сплошных сред для металлургов. - М: Изд. Дом МИСиС, 2014. - 628 с.

7. Шинкин В.Н. Математическая модель правки стальной полосы на пятироликовой листоправильной машине фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 8 (88). С. 344-349.

8. Шинкин В.Н. Правка толстой стальной полосы на одиннадцатироликовой листоправильной машине линии поперечной резки фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 9 (89). С. 359-365.

9. Шинкин В.Н. Расчет технологических параметров правки тонкой стальной полосы на пятнадцатироликовой листоправильной машине фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 10 (90). С. 361-366.

10. Шинкин В.Н. Холодная правка толстого стального листа на девятироликовой машине фирмы SMS Siemag на металлургическом комплексе стан 5000 // Молодой ученый. 2015. № 11 (91). С.467-472.

11. Шинкин В.Н. Четырехроликовый режим холодной правки толстого стального листа на пятироликовой листоправильной машине фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 12 (92). С. 356-361.

12. Шинкин В.Н. Упругопластическая деформация металлического листа на трехвалковых вальцах // Молодой ученый. 2015. № 13 (93). С. 225-229.

13. Шинкин В.Н. Шестироликовый режим предварительной правки стальной полосы на листоправильной машине фирмы Fagor Arrasate // Молодой ученый. 2015. № 14 (94). С. 205-211.

14. Шинкин В.Н. Определение критических давлений магистральных газонефтепроводов при частичном несплавлении продольного сварного шва стальных толстостенных труб // Молодой ученый. 2015. № 15 (95). С. 222-227.

15. Шинкин В.Н. Критерий разрушения труб при дефекте раскатной пригар // Молодой ученый. 2015. № 16 (96). С. 261-265.

16. Шинкин В.Н. Дефект перегиба стальной заготовки на трубоформовочном прессе // Молодой ученый. 2015. № 17 (97). С. 318-323.

17. Шинкин В.Н. Подгибка кромок стального листа по эвольвенте // Молодой ученый. 2015. № 18 (98). С. 231-237.

18. Шинкин В.Н. Критерий образования гофра при формовке стального листа на кромкогибочном прессе SMS Meer // Молодой ученый. 2015. № 19 (99). С. 238-243.

19. Шинкин В.Н. Остаточные напряжения при экспандировании стальной трубы // Молодой ученый. 2015. № 20 (100). С. 88-93.

20. Шинкин В.Н. Разрушение стальных труб при дефекте «раскатанный пригар с риской» // Молодой ученый. 2015. № 22 (102). С. 213-225.

21. Шинкин В.Н. Гидроиспытания стальных труб на прочность на заводе. Труба с «донышками» // Молодой ученый. 2015. № 23 (103). С. 268-276.

22. Шинкин В.Н. Холодная правка металлической полосы на семироликовой листоправильной машине // Молодой ученый. 2016. № 3 (107). С. 228-237.

23. Шинкин В.Н. Гофр продольной кромки листа при его формовке на кромкогибочном прессе // Машиностроение и безопасность жизнедеятельности. 2009. № 6. С. 171-174.

24. Шинкин В.Н., Уандыкова С.К. Гибка стальной листовой заготовки на кромкогибочном прессе при производстве труб большого диаметра // Известия Кыргызского государственного технического университета им. И. Раззакова. 2009. № 16. С. 110-112.

25. Шинкин В.Н., Коликов А.П. Моделирование процесса формовки заготовки для труб большого диаметра // Сталь. 2011. № 1. С. 54-58.

26. Шинкин В.Н., Коликов А.П. Формовка листовой заготовки в кромкогибочном прессе и условие возникновение гофра при производстве труб магистральных трубопроводов // Производство проката. 2011. № 4. С. 14-22.

27. Шинкин В.Н. Математическое моделирование процессов производства труб большого диаметра для магистральных трубопроводов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2011. Т. 4. № 4 (62). С. 69-74.

28. Шинкин В.Н., Коликов А.П. Упругопластическое формоизменение металла на кромкогибочном прессе при формовке труб большого диаметра // Сталь. 2011. № 6. С. 53-56.

29. Шинкин В.Н., Коликов А.П. Модель пластического формоизменения кромок листовой заготовки при производстве труб большого диаметра для магистральных трубопроводов // Известия вузов.

Черная металлургия. 2011. № 9. С. 45-49.

30. Шинкин В.Н., Коликов А.П. Моделирование процессов экспандирования и гидроиспытания труб большого диаметра для магистральных трубопроводов // Производство проката. 2011. № 10. С. 12-19.

31. Шинкин В.Н., Коликов А.П., Барыков А.М. Технологические расчеты процессов производства труб большого диаметра по технологии SMS Meer // Металлург. 2011. № 11. С. 77-81.

32. Shinkin V.N., Kolikov A.P. Simulation of the shaping of blanks for large-diameter pipe // Steel in Translation. 2011. Vol. 41. No. 1. P. 61-66.

33. Shinkin V.N., Kolikov A.P. Elastoplastic shaping of metal in an edge-ending press in the manufacture of large-diameter pipe // Steel in Translation. 2011. Vol. 41. No. 6. P. 528-531.

34. Шинкин В.Н., Барыков А.М., Коликов А.П., Мокроусов В.И. Критерий разрушения труб большого диаметра при несплавлении сварного соединения и внутреннем давлении // Производство проката. 2012. № 2. С. 14-16.

35. Шинкин В.Н., Коликов А.П., Мокроусов В.И. Расчет максимальных напряжений в стенке трубы при экспандировании с учетом остаточных напряжений заготовки после трубоформовочного пресса SMS Meer // Производство проката. 2012. № 7. С. 25-29.

36. Шинкин В.Н. Критерий перегиба в обратную сторону свободной части листовой заготовки на трубоформовочном прессе SMS Meer при производстве труб большого диаметра // Производство проката. 2012. № 9. С. 21-26.

37. Шинкин В.Н., Мокроусов В.И. Критерий разрыва труб газонефтепроводов при дефекте «раскатной пригар с риской» // Производство проката. 2012. № 12. С. 19-24.

38. Shinkin V.N., Kolikov A.P. Engineering calculations for processes involved in the production of large-diameter pipes by the SMS Meer technology // Metallurgist. 2012. Vol. 55. Nos. 11-12. P. 833-840.

39. Шинкин В.Н. Производство труб большого диаметра по схеме JCOE фирмы SMS Meer для магистральных трубопроводов // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 3-1. С. 64-67.

40. Шинкин В.Н. Расчет технологических параметров кромкогибочного пресса фирмы SMS Meer // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 4-1. С. 114-119.

41. Шинкин В.Н. Математический критерий возникновения гофра при формовке стальной листовой заготовки на кромкогибочном прессе SMS Meer // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 5-1. С. 96-99.

42. Шинкин В.Н. Расчет усилий трубоформовочного пресса SMS Meer при изгибе плоской толстой стальной заготовки при производстве труб большого диаметра // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 6-1. С. 115-118.

43. Шинкин В.Н. Оценка усилий трубоформовочного пресса SMS Meer при изгибе стальной цилиндрической заготовки // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 7-1. С. 74-78.

44. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Сила давления пуансона трубоформовочного пресса SMS Meer при изгибе частично изогнутой толстой стальной заготовки // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 8-1. С. 78-83.

45. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Математический критерий перегиба стальной заготовки на трубоформовочном прессе SMS Meer // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 9-1. С. 73-77.

46. Шинкин В.Н. Влияние остаточных напряжений на прочность металла при экспандировании стальной заготовки // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 10-1. С.153-157.

47. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Гибка стального листа на вальцах трехвалковых // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 11-1. С. 252-257.

48. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Правка толстой стальной полосы на пятироликовой листоправильной машине // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 11-1. С. 257-262.

49. Шинкин В.Н. Расчет кривизны стального листа при холодной правке на одиннадцатироликовой машине // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 12-2. С. 246-251.

50. Шинкин В.Н. Прочностные гидроиспытания стальных труб с заглушками на заводе // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 12-2. С. 251-258.

51. Шинкин В.Н. Расчет технологических параметров семироликовой листоправильной машины //

Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2016. № 2-2. С. 134-141.

52. Шинкин В.Н., Федотов О.В. Расчет технологических параметров правки стальной горячекатаной рулонной полосы на пятироликовой машине линии поперечной резки фирмы Fagor Arrasate // Производство проката. 2013. № 9. С. 43-48.

53. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Расчет технологических параметров холодной правки стального листа на девятироликовой машине SMS Siemag металлургического комплекса стан 5000 // Производство проката. 2014. № 5. С. 7-15.

54. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Математическая модель расчета формы трубной заготовки после кромкогибочного пресса SMS Meer // Евразийский союз ученых. 2014. № 5. Часть 3. С. 112-115.

55. Шинкин В.Н. Расчет технологических параметров правки стального листа на одиннадцатироликовой листоправильной машине линии поперечной резки фирмы Fagor Arrasate // Производство проката. 2014. № 8. С. 26-34.

56. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Расчет формы трубной заготовки при гибке на кромкогибочном и трубоформовочном прессах фирмы SMS Meer при производстве труб большого диаметра по схеме JCOE // Производство проката. 2014. № 12. С. 13-20.

57. Шинкин В.Н., Борисевич В.Г., Федотов О.В. Холодная правка стального листа в четырехроликовой листоправильной машине // В сборнике: Глобализация науки: проблемы и перспективы. Т. 2. - Уфа: Башкирский государственный университет, 2014. - С. 119-121.

58. Шинкин В.Н. Математическая модель правки тонкого стального листа на пятнадцатироликовой листоправильной машине линии поперечной резки фирмы Fagor Arrasate // Производство проката. 2015. № 1. С. 42-48.

59. Шинкин В.Н., Барыков А.М. Гибка стального листа на трубоформовочном прессе при производстве труб большого диаметра // Сталь. 2015. № 4. С. 38-42.

60. Шинкин В.Н. Оценка критических давлений при разрушении стальных труб магистральных газонефтепроводов при несплавлении сварного соединения // Современная наука: актуальные проблемы теории и практики. Серия: Естественные и технические науки. 2015. № 5-6. С. 7-11.

61. Шинкин В.Н. Математический критерий разрушения стальных толстостенных труб при дефекте раскатной пригар // Мир науки и инноваций. 2015. Т. 5. № 2 (2). С. 57-64.

62. Шинкин В.Н. Прочность стальных труб при внутреннем давлении // Научные труды SWorld. 2015. Т. 5. № 4 (41). С. 50-58.

63. Шинкин В.Н. Геометрия листа при правке на семироликовой машине // Современные тенденции развития науки и технологий. 2016. № 1-1. С. 131-139.

64. Шинкин В.Н. К вопросу о правке листа на семироликовой машине // В сборнике: Актуальные проблемы технических наук в России и за рубежом. №. 3. - Новосибирск: ООО «Ареал», 2016. -С. 64-70.

65. Романовский В.П. Справочник по холодной штамповке. - Л.: Машиностроение, 1971. - 782 с.