Особенности явлений электронного переноса в анизотропных монокристаллах и пленках Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Особенности явлений электронного переноса в анизотропных

*

монокристаллах и пленках

Поляков Н. Н., Филиппов В. В. fwwfilippow@pochtamt.ru )

Липецкий государственный педагогический университет

1. Введение

В настоящее время в электронике все большее применение находят перспективные полупроводниковые соединения, в кристаллах которых из-за сложности строения решеток наблюдается анизотропия различных физических свойств [1, 2]. В ряде случаев наблюдается анизотропия физических свойств и у атомарных полупроводников, стимулированная давлением или влиянием внешнего поля. В связи с этим разработка методов исследования характеристик анизотропных полупроводников становится все более актуальной.

Общие вопросы кинетической теории явлений электронного переноса в анизотропных полупроводниках рассмотрены в работе [3]. В данной работе представлены общефизические соотношения между величинами, необходимыми для научной интерпретации экспериментальных данных. В то же время для практических исследований экспериментатору и инженеру требуются теоретически обоснованные и надежные методы измерений характеристик анизотропных полупроводников, гарантирующие достоверные результаты. В частности, тензор проводимости не определяется на практике прямым путем. Непосредственно измеряемыми величинами являются полные сопротивления, которые связаны с компонентами тензора электропроводимости множителями, содержащими размеры образца. При измерениях кинетических коэффициентов анизотропных материалов необходимо учитывать ряд факторов: конечные размеры и форму образцов, угол ориентации кристаллографических направлений относительно границ образцов, расположение и размеры токовых контактов и др. Проблема здесь, в первую очередь, заключается в сложном характере распределений электрического поля и тока в анизотропных образцах.

В данной работе путем решения соответствующих краевых задач проведен теоретический анализ распределения потенциала и плотности тока в ограниченных анизотропных полупроводниках. На основе этого предсказаны вихревые токи анизотропии, поперечное напряжение анизотропии и концентрация линий тока в анизотропных кристаллах и пленках. Результаты, полученные при решении краевых задач, не зависят от электропроводимости материала и являются электродинамическими по своему характеру.

*По материалам доклада на Международной конференции по физике электронных материалов

2. Теоретический расчет распределения потенциала

В рассмотренном нами случае монокристалл вырезан так, что главные оси тензора электропроводимости составляет произвольный угол 0 с границами образца, токовые контакты 1, 2 расположены на противоположных боковых гранях (рис. 1). Будем считать, что толщина образца ё значительно меньше его длины а и ширины Ь (образец является тонким), а контакты 1, 2 изготовлены на периметре образца по всей его толщине. Таким образом, рассматриваем двумерную задачу. Кроме того, принимаем, что ширина контактов удовлетворяет требованию 2с<<а, Ь, т. е. контакты являются точечными и их шунтирующим влиянием на распределение потенциала можно пренебречь.

3

о1 0

/а

Рис.1. Схема расположения контактов на анизотропном образце прямоугольной формы.

В данном случае симметричный тензор удельной электропроводности имеет вид

о =

) о о &

w хх w xy (а yx а yy %

а его компоненты определяются равенствами [4]:

2 2 о xx = о1 • cos 0 + о2 • sin 0,

2 2 оуу = а2 • cos 0 + о1 • sin 0,

аху =аух = °-5 •(а1 -а2 )• sin20 •

(1)

(2)

(3)

(4)

Здесь о1 и а2 - главные компоненты тензора электропроводимости кристалла.

При пропускании через анизотропный образец постоянного тока плотность электрического тока ] связана с потенциалом ф(ху) в двумерной модели следующим равенством [5]

J =

о х

дф д х

+ о

ху

дф д у

) дф о уу^

ду

' ху

дф д х

-у

(5)

В относительно слабых внешних электрических полях при отсутствии источников и стоков электрических зарядов полагаем

b

2

4

ех~

(Калуга, октябрь 2002 г.)

] = 0 .

Отсюда следует уравнение для потенциала электрического поля в образце

д2 ф д2 ф д2 ф а хх-;т + а т,-;т + 2а -

" д х2 уу д у2 ху д х д у

= 0.

(7)

Граничные условия для потенциала должны удовлетворять требованию, чтобы нормальная составляющая плотности тока была равна нулю всюду на поверхности образца, кроме точек под токовыми электродами:

0 ,у е[0; ¿12 - с) и (Ъи + с ; Ъ]

I и * 1 (8)

дф

дф

^^ XX ^ ^^ XV

д х д у

х=0, а

2 сё

■> у е1Ъ12 -с; Ъ1, 2+с ]

(

дф дф а--+ а —

д у д х

= 0.

(9)

у=0, Ъ

Уравнение (7) с граничными условиями (8)-(9) в виде наклонной производной составляет задачу, решение которой представляет известные математические трудности [6, 7]. Нами разработан способ решения задач такого типа с применением комплексных рядов Фурье [8].

Опуская громоздкую процедуру решения, запишем окончательное выражение для действительной части комплексного потенциала, имеющей смысл потенциала электрического поля в образце:

1 (а ху у ауу х], 21 ^^ | sin(ап с)

ф(х у ) = -

Ъё а2

Ъё а0

п=1

а

П с ап а)

х ^72 ап х) • cos(ап (у- У1 (х- а))) • cos(ап Ъ2 )- ^(72 ап ((- а^ • cos(ап (У- У1 • cos(ап Ъ1)] Г ,(10)

71 =а ху7 а хх ; 7 2 =а 0 7 а хх ; а 0 = л/а1 2 ; а п =П п/Ъ • (11)

Достоинством полученного решения является возможность вариации параметров образца и анизотропии.

3. Компьютерное моделирование линий тока и эквипотенциалей электрического поля

Для более полного отражения электродинамических свойств анизотропных полупроводников построим распределение эквипотенциалей и линий тока на поверхности анизотропной пленки. Для этого, согласно (5), рассчитаем компоненты вектора плотности тока:

I 2 ^ V I sin (а п с) 1 Ъё а пс sh(y2 а п а)

]х(ху >=Ъё+% Е

п=1

х [sh(y2an x)•cos(an(У_ Yi(x_ a^ cos(an b2 )+ sh(У2an(x_ a))• cos(an(y_ Yl *))• cos(an b1)] j ,(12)

Jy (x,y ) = ^ v{ sin (a nc) ( 1 ) х

bd ¿-i la nc sh (y 2 a n a)

n=1 ^ "

х [ch(Y2an x) sin(an (y- Yl(x- acos(an b2 У- ch(Y2an (x- a^ sin(an (y_ Yl • cos(an b1 )] j -

_ 21Y1 v{ sin (a n c) 1 х

bd ¿-f 1 a nc sh(Y 2 a na)

n=1 ^ "

х [sh(Y2an x) cos(an (y_ Y1 (x_ acos(an b2 )+ sh(Y2an (x_ a^ cos(an (y_Y1 x))• cos(an b1 )] j (13)

Согласно полученным выражениям нетрудно показать, что

V,j] = rot." * 0; [v,Ej = rotE=0. (14)

Отсюда следует, что в образце существует вихревая компонента вектора плотности тока j , в

то время как электрическое поле E является потенциальным, безвихревым. Данную вихревую составляющую имеет смысл назвать вихревыми токами анизотропии (ВТА). Как показывает расчет, вихревые токи анизотропии могут возникать в анизотропных материалах, где электропроводимость является тензором. Это позволяет представить ВТА как дополнительную составляющую плотности тока, возникающую в анизотропном образце по сравнению изотропным.

Таким образом, построенная нами модель характеризует вихревую составляющую не только качественно, но и количественно. Вихревой ток имеет наибольшее значение в местах сгущений линий тока. Именно в этих областях вихревые токи анизотропии оказывают наиболее значительное влияние на распределение электрического поля в образце.

Наличие аналитических выражений для потенциала, плотности тока и вихревых токов позволяет моделировать электрическое поле в образцах с помощью ЭВМ. Такое моделирование дает возможность более глубоко исследовать структуру электрического тока в анизотропных кристаллах и пленках. В качестве примера на рис. 2-4 представлены отдельные частные случаи распределения электрического поля и вихревой токовой составляющей при определенных параметрах анизотропии электропроводимости. Здесь показаны эквипотенциали электрического поля (пунктир) и линии тока (сплошные линии) в образцах, а также рассмотрены модели ВТА в анизотропных образцах. Все результаты вычислений выполнены по формулам (10)-(13), обработаны и представлены в виде моделей на ЭВМ с помощью пакета MathCAD 2001 [9]. Для удобства сравнения на рис. 2-4 представлены модели в тонких образцах со следующими геометрическими параметрами: a/b=1.5, 2c=b/20, bx=b2=b/2.

Первоначально, для сравнения, рассмотрим распределение электрического поля в изотроп-

ном образце с соответствующими геометрическими параметрами. Модель распределения эквипо-тенциалей и токовых линий в изотропном образце представлена на рис. 2.

2 с

Рис. 2. Модель электрического поля и тока проводимости в тонком изотропном прямоугольном образце.

Видно, что электрическое поле в данном случае имеет распределение, симметричное относительно линии контактов 1, 2. Наибольшее значение плотность электрического тока имеет в при-контактных областях, в средней же части образца поле практически равномерное, вихревые токи во всей области образца отсутствуют.

Рассмотрим теперь распределение электрического потенциала и токовых линий в анизотропном образце при 0=0.

2 1

а)

Ь)

Рис. 3. Модели электрического поля, тока проводимости (а) и вихревых токов анизотропии (Ь) в тонком анизотропном прямоугольном образце при а1/а2=5, 0=0.

1

2

Как показывает проведенное моделирование (рис. 3), наличие ВТА существенно меняет распределение электрического поля в анизотропном образце по сравнению с изотропным. Действие ВТА приводит к увеличению концентрации линий тока проводимости в окрестности прямой, соединяющей контакты, так как в данной области вихревая и безвихревая токовые составляющие совпадают по направлению. В приповерхностных частях образца они направлены противоположно друг другу, что вызывает ослабление электрического тока в соответствующих областях образца. Как показывает расчет, степень увеличения или уменьшения электрического тока в различных

областях анизотропного образца по сравнению с изотропным с аналогичными геометрическими параметрами определяется параметром о1/о2.

Для анализа взаимодействия ВТА с границами образца рассмотрим случай, когда главные оси проводимости направлены под некоторым углом 0^0 к границам образца (рис. 4).

а) Ь)

Рис. 4. Модели электрического поля, тока проводимости (а) и вихревых токов анизотропии (Ь) в тонком анизотропном прямоугольном образце при о1/о2=5, 0=п/6.

Проведенное моделирование распределений потенциала и плотности тока показывает, что происходит выталкивание тока из объема на поверхность образца при условии, когда внешнее электрическое поле, создаваемое в кристалле электродами, не совпадает с главными осями тензора электропроводимости. Это может быть обусловлено либо асимметрией граничных условий, либо обработкой граней образца под углом к кристаллографическим осям кристалла. И в том, и в другом случаях наблюдается сгущение линий тока на поверхности образцов вследствие взаимодействия ВТА с их границами. Как видно из модели электрического тока в анизотропном образце (рис. 4), действие ВТА приводит к существенному вытеснению линий электрического тока к боковым граням у=0, Ь по сравнению с изотропным образцом, обладающим теми же геометрическими параметрами. Как показывает моделирование, плотность тока на гранях у=0, Ь анизотропных образцов значительно превышает плотность тока в изотропных материалах при тех же параметрах образцов. Результаты полученного нами решения для потенциала и плотности электрического тока позволяют количественно вычислить степень этого превышения и проанализировать полученные экспериментальные данные. Данное распределение тока проводимости и ВТА приводит к вышеупомянутому поперечному квазигальваноанизотропному эффекту: возникновению поперечного квазихолловского поля в направлении оси 0у.

Данное явление неравномерного распределения линий тока можно назвать концентрацией линий вектора плотности тока в ограниченных анизотропных средах. Оно объясняет экспериментально наблюдаемый факт, когда в ограниченном полупроводниковом кристалле с собственной проводимостью в условиях сильного поперечного выноса значительная часть носителей тока со-

бирается в малых областях кристалла, что приводит к пинч-эффекту, вызванному анизотропией проводимости [10].

Концентрация линий тока и вихревые токи анизотропии оказывают существенное влияние на сопротивление образца в продольном и в поперечном направлениях. На основании полученного распределения потенциала (10) можно найти падение напряжения U12 между электродами как разность средних значений потенциалов на контактных поверхностях. При симметричном расположении контактов (b1=b2=b/2) имеем:

U12 = —— + 1 QS; (15)

' а1 • а2 bd • а2 d

Qs Y Ch(a " Y32 a)- COs(an Y1a) sin2 (a nc). (16)

C b n=24... an • sh(anY2 a)

В работе [10] рассмотрен пинч-эффект в электронно-дырочной плазме ограниченных анизотропных полупроводников при условии сильного поперечного выноса, когда значительная часть носителей тока собирается в малой области кристалла. В нашем случае данное явление рассматривается с позиций макроскопической электродинамики, что позволяет определять топологию образования плазменных каналов в кристаллах в сильных внешних полях, а также областей стимулированной анизотропии проводимости в случае эффекта Сасаки-Шибуи [11, 12].

4. Поперечное напряжение анизотропии

Полученное распределение потенциала (10) позволяет получать значение напряжения между различными точками в анизотропных образцах, измерение которого используется при исследованиях материалов электронной техники. В частности, из (10) непосредственно определяется разность потенциалов и0 между симметричными точками на противоположных гранях у=0, Ь (например, между точками 3 и 4 на рис. 1):

I'С XV I ( \

и 0 =Ф3 -Ф4 =—^Т = о-7(а1- С2 )' ^п20 . (17)

С 2 й 2^2 а

Так как вследствие малой площади контактов в постановке задачи не учитывается их шунтирующее влияние, то поперечная квазихолловская разность потенциалов (17) не зависит от координаты х и геометрических размеров образца, а определяется лишь параметром анизотропии среды аху/а02. Полученное значение квазихолловской разности потенциалов (17) согласуется с экспериментальными данными работы [13].

Как указывалось выше, расчет компонент ]х, ]у вектора плотности тока показал вытеснение линий плотности тока на поверхность образца, что приводит к возникновению поперечной квази-холловской разности потенциалов и0. Это явление в определенной степени аналогично эффекту

Холла в изотропном образце. Действительно, э.д.с. Холла возникает в изотропном образце потому, что во внешнем магнитном поле электропроводимость изотропного материала становится тензором. Однако, не смотря на это формальное сходство, поперечное напряжение и0 и э.д.с. Холла имеют различный физический смысл. Э.д.с. Холла возникает в ограниченных образцах в результате разделения зарядов под действием силы, действующей на носители заряда со стороны внешнего магнитного поля. Поперечное напряжение и0 возникает в анизотропных пленках и кристаллах вследствие более сложного по сравнению с изотропными материалами распределения электрического потенциала и плотности тока.

Разность потенциалов и0 целесообразно назвать поперечным напряжением анизотропии (ПНА), поскольку, согласно (17), это напряжение обусловлено отличной от нуля компонентой оху тензора электропроводимости. Величина оху , в свою очередь, определяется углом наклона 0 кристаллографических направлений по отношению к граням у=0, Ь .

Существенно отметить два важных свойства ПНА, которые характерны для рассматриваемого случая образов конечных размеров.

Во-первых, величина ПНА не зависит от х, т. е. одинакова между любыми симметрично расположенными точками на гранях у=0, Ь по всей длине образца. Возникновение не зависящего от х поперечного квазихолловского электрического поля напряженностью и0/Ь, перпендикулярного внешнему полю, становится возможным благодаря существованию в области образца замкнутых вихревых токов анизотропии (ВТА) (рис. 4). Взаимодействие ВТА с границами образца приводит к возникновению на гранях у=0, Ь дополнительных поверхностных токов, которые выравнивают величину и0 по длине образца.

Вторая особенность ПНА заключается в том, что его величина и0 не зависит от геометрических размеров образца а и Ь, а определяется лишь соотношением аху/а02 и толщиной образца. Это объясняется тем, что распределение линий плотности тока в анизотропном образце можно представить как суперпозицию распределения тока в изотропном образце и ВТА. В изотропном образце при пропускании электрического тока по схеме рис. 1 при Ь1=Ь2=Ь/2 картина распределения плотности тока симметрична относительно линии контактов и ВТА отсутствуют. В анизотропных материалах эта симметрия нарушается и степень искажения этой симметрии определяется отношением проводимостей о1/о2, а также углом наклона 0 кристаллографических направлений к граням образца. Соответственно этими величинами и определяется степень нарушения симметрии распределения потенциала на гранях у=0, Ь относительно линии контактов, что приводит к возникновению ПНА.

На основании отмеченных свойств следует одно из возможных практических применений ВТА - определение ориентации кристаллографических направлений анизотропных пленок и монокристаллов относительно границ образцов. Величина ПНА может дать полезные сведения о

свойствах пленок и кристаллов при их механических деформациях, а также при исследованиях стимулированной анизотропии.

5. Экспериментальная проверка

Экспериментальная проверка полученного распределения потенциала (10) была проведена на монокристаллах диарсенида кадмия CdAs2, полученных методом направленной кристаллизации. На рис. 1 плоскости х0у соответствует кристаллографическая плоскость (100), с1 и с2 являются электропроводимостями по направлениям кристалла [001] и [010] соответственно. Эти величины были измерены заранее на специально изготовленных образцах, вырезанных вдоль указанных направлений монокристалла (с1=26'102Ом"1'м"1; с2=9'102Ом"1'м"1). Для опытного получения распределения потенциала был вырезан образец размерами: а=8.4 мм; Ъ=4 мм; 0=1 мм; токовые контакты располагались на оси симметрии (Ъ1=Ъ2=Ъ/2), электродами для них служили впаянные оловянные контакты размером 2с=0.4 мм. Величина угла ©=30° , что позволяло вычислить компоненты тензора электропроводимости данного образца по известным формулам преобразования координат (2)-(4). Из выражения (10) получено распределение потенциала ф(х) на гранях у=0, Ъ, которое и было проверено экспериментально. На ЭВМ для данного образца строился график зависимости ф(х) на гранях у=0, Ъ . Затем при помощи подвижного вольфрамового зонда и высокоом-ного вольтметра измерялось это же распределение потенциала. Относительная погрешность измерений потенциала не превышала 5%. Было получено совпадение теоретического распределения потенциала с экспериментальными данными в пределах погрешности измерений.

6. Заключение

Проведенное моделирование показывает, что в анизотропных проводящих средах протекание электрического тока носит значительно более сложный характер, чем в изотропных. Возникновение вихревой составляющей тока существенно меняет распределение потенциала и плотности тока в анизотропных кристаллах и пленках. Теоретически показано, что изменение распределения плотности тока в анизотропных образцах под действием вихревой токовой составляющей приводит к появлению ряда дополнительных разностей потенциалов между различными точками образца, измерения которых можно использовать для исследования свойств анизотропных полупроводников. Кроме того, вихревые токи анизотропии могут расширить функциональные возможности анизотропных кристаллов и пленок в электронике.

В заключение авторы выражают благодарность научному сотруднику ИОНХ РАН профессору Маренкину С. Ф. за предоставление опытных образцов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кутасов В.А., Лукьянова Л.П., Константинов П.П. Влияние анизотропии поверхностной посто-

янной энергии на термоэлектрическую эффективность твердых растворов n-Bi2(Te,Se,S)3. // ФТТ - 1999. Т.44, №2. - С. 187-192

2. Suk Myung-Jin, Choi Gil-Heyun, Moon In-Hyung. Determination of microstructural anisotropy in

Sb-InSb eutectic by electrical resistivity measurement. // J. Mater. Sci. - 1996. - T.31, №6. - С. 16631668.

3. Баранский П.И., Буда И.С., Даховский И.В., Коломиец В.В. Электрические и гальваномагнит-

ные явления в анизотропных полупроводниках. - Киев: Наукова думка, 1977. - 270 с.

4. Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц. - М.:

Мир, 1967. - 380 с.

5. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. - М.: Наука, 1982. - 620 с.

6. Крутицкая Н.Ч., Крутицкий П.А. Об электрическом токе в замагниченной полупроводниковой

пластине с заземленными боковыми стенками. // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1994. - Т. 34, №1. - С. 88-109

7. Басс Ф.Г., Бочков В.С., Гуревич Ю.Г. Электроны и фононы в ограниченных полупроводниках.

- М. Наука, 1984. - 288 с.

8. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т.1, 2. - М.: Мир, 1985. - 660 с.

9. Дьяконов В. MathCAD 2001: учебный курс. - СПб.: Питер, 2001. - 624 с.

10. Бойко Н.Н., Романов В.А. Электрические и фотоэлектрические явления в полупроводниках с

анизотропной проводимостью (обзор) // ФТП. - 1977. - Т. 11, №5. - С. 817-835.

11. Богданов Е.В., Кустова Т.Г. Стимулированная электрическим полем анизотропия проводимо-

сти в узкощелевых полупроводниках висмут-сурьма. // Вестник МГУ. Серия 3. - 1992. - Т. 33, №11. - С. 91-95

12. Богданов Е.В. Эффект Сасаки-Шибуи в многодоменных узкощелевых полупроводниках вис-

мут-сурьма. // ФТП. - 1991. - Т. 25-№11. - С. 2028-2033.

13. Битюцкая Л.А., Бормонтов Е.Н., Регель А.Н., Сыноров В.Ф. Гальвано-анизотропные эффекты в

дифосфиде цинка. // ФТП. - 1981. - Т. 15, №10. - С. 2043-2045