CC BY
20
Вычислительная математика
УДК 51-73
DOI: 10.14529/cmsel60101
АСИМПТОТИКА МАГНЕТОСОПРОТИВЛЕНИЯ
A.A. Ершов, Ю.А. Крутова
11айдеяа асимптотическая формула, выражающая электрическое сопротивление кристалла изотропного полупроводника в магнитном иоле и подключенного с помощью малых контактов. Для моделирования электрического потенциала использовалось решение краевой задачи для эллиптического уравнения с косой производной на границе.
Ключевые слова: магнетосопротпивление, потенциал электрического поля, электрическое сопротивление, магнитное поле, асимптотическое разложение, уравнение Лапласа, косая производная, краевая задача.
ОБРАЗЕЦ ЦИТИРОВАНИЯ
Ершов A.A., Крутова Ю.А. Асимптотика магнетосопротивл ения // Иестник ЮУрГУ. Серия: Вычислительная математика и информатика. 2016. Т. 5, № 1. С. 5-12. DOI: 10.14529/cmsel60101.
Введение
Магнетосопротпивление (м аг ни тор езис тив ный эффект) это изменение электрического сопротивления материала в магнитном поле [1]. Математические модели, позволяющие рассчитать магнетосопротивление, зависят от свойств материала и типа проводимости. Мы будем использовать математическую модель, приведенную II.II. Поляковым в работе [2] для моделирования электрического потенциала образца изотропного полупроводника прямоугольной формы при протекании через него электрического тока в магнитном поле. В этой работе были проведены эксперименты по следующей схеме (рис. 1).
Образец прямоугольной формы вырезан параллельно кристаллографическим плоскостям из монокристалла арайнида кадмия. По торцам образца расположены контакты 1 и 2, через которые пропускается ток /р . Кроме того, весь образец помещен в магнитное поле с индукцией В,, которое направлено перпендикулярно плоскости образца. Данная схема применяется в стандартной методике Ван дер Поля по измерению коэффициента Холла анизотропных кристаллов и пленок прямоугольной формы. При этом
ум
Рис. 1. Схема эксперимента
для моделирования электрического потенциала ф{х,у) при постоянном токе 1п и в установившемся режиме TT.II. Поляковым использовалось решение следующей краевой задачи.
2 2
8 0 + 0<х<а,0<у<Ь,0<кс1,
дх'
тх ду
8х+ГУду
di di ду дх
х=0.а
I
12
стх2есi' О, je
je
1 ЬЪ2-е Ю
1+е.Ь
(1)
= О,
У=0,а
где ух = <JXRZBZ, у = ayRzBz ; /|2 ток, протекающий через токовые контакты 1 и 2; <7V, <xv компоненты тензора электропроводимости; а , Л, d — длина, ширина и толщина образца; 2s— ширина токовых контактов; Rz— компонента тензора Холла при у слои ии. что вектор плотности тока лежит и плоскости x()j', и поперечное магнитное поле с индукцией В z направлено вдоль оси 0Z .
Решение данной краевой задачи рассматривается нами в классе функций, бесконечно дифференцируемых внутри области и непрерывных вплоть до границы области. В работе II.II. Полякова |2] указано, что решение данной задачи методом Фурье и комплексной форме довольно громоздко (и в то же время явный вид решения не приведен), поэтому мы приведем другое, более простое решение.
Отметим, что данная модель применима при достаточно слабом магнитном поле и малых контактах, поскольку, например, плотность тока по сечению контакта не является равномерной, а имеет довольно сложный характер (см., например, [3]).
Нашей задачей является отыскание асимптотики электрического сопротивления прямоугольного образца в магнитном поле при s 0.
Также отметим, что в случае отсутствия магнитного поля задача эффективного вычисления электрического сопротивления образца с малыми контактами рассматривалась различными методами в двумерном случае в работах |2. 4-6], в трехмерном случае в работах [7-10] и многих других.
В разделе 1 рассмотрен метод Фурье для краевой задачи с косой производной, которым получено решение задачи (1). Раздел 2 содержит вычисление самого магнетосопротивления как функционала от решения задачи и cío асимптотику. В заключении подводятся итого проведенного исследования и обсуждаются направления будущих ра-
1. Решение краевой задачи
Решим краевую задачу (1) с помощью метода Фурье. Обозначим через у =
гда у = у ух
Будем вначале искать решение в виде произведения ф{х,у) = Х{х)У(у). Подставим его в уравнение
Х\х)Пу) + у2Х(х)У\у) = 0
и разделим переменные
Х\х) у2У\у)
= л.
Х(х) У(у)
Здесь Л— некоторая неопределенная пока постоянная. Подставим ф{х,у) = Х{х)У(у) в граничные условия задачи (1):
Отсюда получаем, что
Х'(х) = МХ(х\
Г( 0)
где ц = ■
некоторая постоянная.
гМо)
Таким образом, одновременно выполняется
(Х'(х) = ЛХ(х), {Х'(х) = мХ(х).
Следовательно,
Х"(х) = -Х'(х),
Х"(х) = /лХ'(х). Отсюда,
Л = /л2.
Аналогичными действиями получим следующую задачу Штурма—Лиувилля ддяУ(у) :
.2
Г*
¥Х0) = ГхмГ(0), Г(Ь) = гх/ДГ(Ь).
(2)
Ненулевыми решениями задачи (2) являются
7ГП
где А = -шсЩ(уху) . Соответствен но, функции
1"нОО=со8| — у + А п^Х,
7ГП
хп(х) = /ь\ пег.
Общее решение задачи (1) можно искать в виде
ф(х,у) = В0+А0(х+уху)+
И=1 .2
( лп У—*
7ГП
я п
-■/ —х
соз —у + А + Впе ь соз —у-А
кп
Поскольку уу = у ух, ею А = —ухусо5 А , то
дф дф . п
V1 ^ пп
тгп пи Л
у х —у-*
" " - Ь
(1 +ухуу)е ь +В„(1-ухуу)е
;
, т , , соб| |соэ л .
Для того чтобы выполнялось равенство
'дф дф — + гу —
дх ~ ду
„ ^ГЛГУ г^ т положим В„ =--—е 0 . 1 огда
г=0 V
дф дф —+Гу —
дх ду
п 1
1~УхГу
§Ф+ГЁФ
дх у ду
л — и
дф+г дф
дх ' ду
учитывая, что соз А =
]
тгп I + УХУу
«= I &
1
у—" 1 + еь
V
тгп
тп
ф+г!-г2у
Обозначим С0 = Д)(1 + ухуу), С„ = 4,у будем иметь равенство
ТГП 1 + УхУу
Ь
42
лп У—а
1 + е »
Ъ Ь
Тогда на отрезке
ст. 2ес1
О, уе
О,--£ и —+Е,Ь
Отсюда,
С 12
0 ~ 1Г
сг,.па
С =--12---Г сой —у шу
1уг 4 (тгп)
—----с 05 -
<ту2£с1 тгп \ 2 )
эш
тгп
Поскольку С05{л"т) = (-1)т, то
ш -
/12 (-1)"' . (2тгт
(Тх£с/ тгт
т+1 =
51П
■е .
Таким образом,
42
ахЫ 1+ГхГу'
( 2пт
, /„ (-.Г/, ЫК П Ь
Л7т —
<гхЫ 2утгт1 1 + уху, , ^
И окончательно получаем, что
ф(х,у) = В0-
1
___1
ихМ 1+ухуу
1 + е ь
<х+ГхУ)~
/
12
V
i+гУу
sin
( 2 тгт b
(-1 )ть__
<rx£d 1 +ухГу £¡2утгт1 , у2^,
£ \( 2лт /„
7 i * {2лт
\ + е
eos -
^ ь
у + А +.
(3)
i i 2лт ,
1 + УхУу 7—{"-V)
I ЯП А
eos —у — А 1 Ъ '
1 -7хуу
где А =—шсщ(у).у), В0—произвольная аддитивная постоянная.
Отметим, что полученный ряд равномерно сходится при 0 < х < а и 0 <у<Ь, а каждое его слагаемое удовлетворяет уравнению из краевой задачи (1). Отсюда следует, что мы действительно построили решение краевой задачи (1) в классе функций
2. Вычисление асимптотики магнетосопротивления
Используя полученное нами решение (3), вычислим величину выделяемой мощности по формуле
ab{ s ^
( ПЛ
dydx =
w=d.\\
Ü о
_ <2
21
12
Щ (Вф
дх) х (ду
ау
ajxi \+гхГу
i -ññ
. 2(2лт Л , ( пт sin -£ tn\ у-а
■ La^J I ь
,=1 ( 2 тгт
т=I
I ь
¡71
Из последнего равенства легко получить выражение для электрического сопротивления прямоугольной пластины в магнитном поле:
1
21
12
<Тх<7у
¿-гУу;
Аз ахЫХ+УхУу 2i 2 пт
sin
I г I пт
£ th у — а
ъ ) V ь
т=i
Inm
т
(4)
Заметим, что ряд (4) имеет сложную зависимость от малого параметра s : при стремлении £ к нулю он расходится как гармонический. Однако, в работах [4] и [6] методом замены ряда на интеграл ([11, гл.2|. [12, гл.4, §11]) уже была получена полная асимптотика суммы следующего ряда при //—>0:
со Ал
„=! (/'")" » 2/J 2 и=] n-zh(Xn)
1 1 А пе~х" Л f
36 3^ch(Ли) J' ^2700 45^сЬ(Л«)
2 у-лп"е
Л í
3 -Ли \
/í4 +0(//6).
Таким образом,
Л =-
axbd\+yxyv
dn^Jc
2.2 \
In
л
Ans
-ут
-ъ
"=1 n-ch
па
ут
+ 0
! 2 Д £
Заключение
В статье рассмотрены сложности моделирования магниторезистивного эффекта. Решение приведенной задачи (1) и соответствующий функционал, выражающий магне-тосопротивленне, могут быть найдены численно. Однако, в таком случае его зависимость от параметров остается неясной. В данной работе мы выписали явное решение с помощью метода Фурье, а затем вычислили по нему электрическое сопротивление в виде суммы довольно сложного ряда. Опираясь на недавно полученные результаты, нам удалось найти асимптотику его суммы, в результате чего получена простая асимптотическая формула, наглядно показывающая зависимость электрического сопротивления проводника от величины напряженности магнитного поля и сечения контактов. Используя данную формулу, нетрудно вычислить и величину магнетосопротивления, которая является изменением электрического сопротивления иод воздействием магнитного поля. Отметим, что при увеличении напряженности магнитного поля электрическое сопротив-
ление растет из-за главного члена асимптотики
ах<7у
2 „2 Л
1+г;гу
1~гУу;
In—, что и наблю-
Е
дается в большинстве случаев за редким исключением так называемого отрицательного магнетосопротивления.
В дальнейшем было бы интересно найти такие конфигурации проводника и контактов. при которых бы магнетосопротивление было бы отрицательным, или показать, что такое невозможно в данной модели.
Работа выполнена при поддержке гранта РНФ (проект 15-11-10018). Литература
1. Киреев П.С. Физика полупроводников. М.: Высшая школа. Изд-во 2, доп, 1975. 584 с.
2. Поляков H.H. Об измерении коэффициент Холла электропроводимости анизотропных проводников // Заводская лаборатория. 1989. № 3. С. 20 22.
3. Гришенцев А.Ю. Моделирование распределения плотности тока в сложном неоднородном проводнике. Часть I // Научно-технический вестник ОПбГУ ИТМО. 2006. № 29. С. 87-94.
4. Ершов Л.Л. Краевая эллиптическая задача с дельтообразной производной на границе // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50. № 3. С. 479-485.
5. Ершов A.A. К задаче об измерении электропроводности Журнал вычислительной математики и математической физики. 2013. Т. 53. Xй 0. С. 1004-1007.
6. Ершов Л.Л. Асимптотика решения уравнения Лапласа со смешанными условиями па границе // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. Т. 51. № 7. С. 1064-1080.
7. Хольм Р. Электрические контакты. М.: Иностранная литература, 1961. 314 с.
8. Павлейно Ü.M., Павлов В.А., Павлейно М.А. Уточнение границ применимости холь-мо вс к ого приближения для расчета сопротивления электрических контактов // Электронная обработка материалов. 2010. Т. '16. № 5. С. 56 62.
9. Затовский В.Г., Минаков Н.В. Экспериментальное моделирование сопротивления стягивания // Электрические контакты и электроды. 2010. № 10. С. 132-139.
10. Филиппов В,В., Поляков II,II. Распределения потенциала в анизотропных проводниковых кристаллах и пленки при измерении электропроводимости и коэффициента Холла // Вести высших учебных заведений черноземья. 2011. № 2(24). С. 6-10.
11. Ильин A.M., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. М.: Физматлит, 2009. 222 с.
12. Федорюк М.В. Асимптотика, интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. 544 с.
Ершов Александр Анатольевич, к.ф.-м.н., научный сотрудник отдела динамических систем, Институт математики и механики имени H.H. Красовского Уральского отделения РАН (Екатеринбург, Российская Федерация), [email protected].
Крутова Юлия Александровна, студент математического факультета, Челябинский государственный университет (Челябинск, Российская Федерация), lulia [email protected].
Поступила в редакцию 4 июля 2015 г.
Bulletin of the South Ural State University Series "Computational Mathematics and Software Engineering"
2016, vol. 5, no. 1, pp. 5-12
DOI: 10.14529/cmsel60101
ASIMPTOTICS OF MAGNETORESISTANCE
A.A. Ershov, Institute of Mathematics arid Mechanics, Ural branch of RAS, Ekaterinburg, Russian Federation
J.A. Krutova, Chelyabinsk State University, Chelyabinsk. Russian Federation
An asymptotic formula expressing the electric the resistance of the isotropic crystal semiconductor in a magnetic field and connected through small contacts was found. For modeling of the electric potential the solution of boundary value problems for elliptic equations with oblique derivative on the boundary was used.
Keywords: magnctorcsistance. electric potential, electrical resistance, magnetic field, asymptotic expansion. Laplace equation, oblique derivative, boundary value problem.
FOR CITATION
Ershov A. A., Krutova J.A. Asimptotics of Magnetorcsistance. Bulletin of the South Ural State University. Series: Computational Mathematics and Software Engineering. 2016. vol. 5, no. 1. pp. 5-12. (in Russian) DOI: 10.11529/cinsel60101.
References
1. Kireev P.S. Fizika poluprovodnikov [Physics of semiconductors]. Moscow, Higher school, 1975. 584 p. (in Russian)
2. Polyakov N.N. Ob izmerenii koeffitsient Kholla elektroprovodimosti anizotropnykh provodnlkov [The measurement of Hall coefficient of conductivity of anisotropic conductors]. Zavodskaya laboratoriya [Factory laboratory]. 1989. no. 3. pp. 20 22. (in Russian)
3. Grishentsev A.Yu. Modelirovanie raspredeleniya plotnosti toka v slozhnom neodnorod-nom provodnike. Chast' I [Simulation of current density distribution in complex inhomo-gcncous conductor. Part 1|. Nauchno-tekhnicheskiy vestnik SPbGU ITMO [Scientific and technical Bulletin of SPbSU ITMO]. 2006. no. 29. pp. 87-94. (in Russian)
4. Ershov A. A. Asymptotics of the solution to the Neumann problem with a delta-function-like boundary function. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2010. vol. 50, no. 3. pp. 457 463. DOI: 10.1134/S0965542510030073.
5. Ershov A.A. On measurement of electrical conductivity // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2013. vol. 53. no. 6. pp. 823-826. 1)01: 10.1134/S0965542513060079.
6. Ershov A.A. Asymptotics of the solution of Laplace's equation with mixed boundary conditions. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2011. vol. 51. no. 7. pp. 994 1010. DOI: 10.1134/S0965542511060066.
7. Holm R.. Electric contacts handbook. Berlin, Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH, 1958. 522 p.
8. Pavleyno O.M., Pavlov V.A., Pavlcyno M.A. Verification of the Boundaries of the Ap-plicabillity of the Holm Approximation for the Calculation of the Resistance of Electric Contacts. Surface Engineering and Applied Electrochemistry. 2010. vol. 46, no. 5. pp. 440 446.
9. Zatovskiy V.G., Minakov N.V. Eksperimental'noe modelirovanie soprotivleniya styagiva-niya [Experimental simulation of the resistance of the tightening]. Elektricheskie kontakty i elektrody [Electrical contacts and electrodes]. 2010. no. 10. pp. 132-139. (in Russian)
10. Filippov V.V., Polyakov N.N. Raspredeleniya potentsiala v anizotropnykh provodni-kovykh kristallakh i plenki pri izmerenii elektroprovodimosti i koeffitsienta Kholla [The potential distribution in t he anisotropic conductive crystals and films in the measurement of conductivity and Hail coefficient]. Vestí vysshikh uchebnykh zavedeniy chemozem'ya [News of higher educational institutions of Chernozem region]; 2011. no. 2(24). pp. 6-10. (in Russian)
11. Il'in A.M., Danilin A.R. Asimptoticheskie metody v analize [Asymptotic methods in analysis]. M.: Fizrnatlit, 2009. 222 p. (in Russian)
12. Fedoryuk M.V. AsimpLoiika, integraly i ryady [Asymptotics, integrals and series], M.: Nauka, 1987. 544 p. (in Russian)
Received July 4, 2015.
