Об асимптотической формуле для электрического сопротивления в проводнике с малыми контактами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 3 (2015). С. 16-28.

УДК 537.311.3, 517.95

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ В ПРОВОДНИКЕ С МАЛЫМИ КОНТАКТАМИ

P.P. ГАДЫЛЬШИН, A.A. ЕРШОВ, C.B. РЕПЬЕВСКИЙ

Аннотация. Построена и строго обоснована полная асимптотика по малому параметру электрического сопротивления трехмерного проводника, подключенного с помощью двух малых контактов произвольной геометрии. Получены явные формулы для первых двух членов асимптотики, которые обобщают классическую формулу Хольма одночленной асимптотики сопротивления для двух малых круговых контактов одинакового радиуса.

Ключевые слова: электрическое сопротивление, малые контакты, формула Хольма, асимптотическое разложение, краевая задача, метод согласования, уравнение Лапласа, смешанная задача.

Mathematics Subject Classification: 35J05, 35J25, 35В40, 78М35

Введение

В работе [1] приводится одно из первых упоминаний широко известного хольмовского приближения электрического сопротивления образца произвольной формы

R(e) = J- + 0( 1), е^О, (1)

Zea

где е — радиус малых круглых контактов на уплощенной части поверхности, о — удельная проводимость материала. При экспериментальной проверке, проведенной в [2], погрешность формулы (1) не превышала ±1, 5%. В монографии Р. Хольма [3] дано аналитическое обоснование формулы (1).

Хольмовское приближение (1) часто используется и в современных работах ( см. например, [4,5]).

В нашей работе рассматривается случай контактов произвольной формы, причем, необязательно совпадающих. Построена полная асимптотика сопротивления. Для главного члена асимптотики получена явная формула, в которой отражена зависимость от геометрии контактов ( см. формулы (2), (3) ниже). Также выведена формула для второго члена асимптотики сопротивления.

Для этого в настоящей работе также будет построено полное асимптотическое разложение решения краевой задачи, интерпретирующего электрический потенциал проводника,

R.R. Gadylshin, A.A. Ershov, S.V. Repyevsky, On asymptotic formula for electric

resistance of conductor with small contacts.

© Гадылыпин P.P., Ершов A.A., Репьевский C.B. 2015.

Работа первого автора выполнена в рамках базовой части государственного задания в сфере научной деятельности Минобрнауки России. Работа второго автора выполнена при поддержке гранта РФФИ проект N® 14-31-50424-мол_нр и "Фонда поддержки молодых ученых "Конкурс Мебиуса". Третий автор частично поддержан РФФИ проект N® 14-01-00322.

Поступила 15 апреля 2015 г.

подключенного с помощью малых или так называемых «точечных» контактов ( см. например, [6]), с помощью которого и будет найдена асимптотика электрического сопротивления.

В заключении раздела заметим, что двумерный аналог подобных исследований приведен в работах [7-9].

1. Постановка задачи и формулировка результатов

Пусть х = (#1, Х2,Хз), проводник П — ограниченная односвязная область в К3 с границей дП Е С°°. И пусть эта область имеет два конечных плоских участка, с которыми мы свяжем две декартовые координатные системы О+я+^^з" и О-Х^Х^Х^] ;г± := В этих координатах математически опишем форму малых контактов и 7!. Пусть множества 7+ и 7_ — замыкания ограниченных односвязных областей на плоскостях = О и х^ = 0, соответственно, Е С°°. В качестве сечений малых контактов возьмем

7± = : £ 7±}> 0 < е С 1 (рис. 1).

3

+

----- 1~ +

Рис. 1. Проводник П

Первую координатную систему будем считать основной. Поэтому иногда будем опускать знак „+" и записывать ее как ().г\.г->.г-.с х := (^1,^2,^3)-

В работе получена следующая асимптотическая формула для электрического сопротивления:

Д-1

П{е)

До

3=1

где

Я-1

С-у_|_ С-у

2т1аС1+С1_

Яо — — -

1

2тга

ГЗ)

Здесь и всюду далее, С7± >0 — емкости дисков 7± ( см. например, [10, гл.2, §1], [11, гл.2, §3]), С±(х) = г^1 + д±(х), где г+ = [;г|, г_ = а функции д±(х) Е С°°(П) являются решениями следующих краевых задач:

Ад± = 0, х Е П,

дд

±

<9п

-2тг-

д

<9п V г±

1

хЕдП\0±, 9±(0±) = 0,

где п — вектор внешней нормали. Существование таких функций хорошо известно ( [12, гл.2, § 2, п. 122], [13, гл.6, § 7,8]).

2

Если 7± — круги единичного радиуса, то С7± = — [11, гл.2, §3], [14, гл.1, §4]. Поэтому

7Г

даже для частного случая малых круговых контактов 7± радиуса е, рассмотренном в [1-3], в силу (2), (3) получаем равенство

R(e) = ±--±- (G_(0+) + G+(CL)) + 0(е),

которое уточняет классическую формулу (1). Заметим, что для ряда форм дисков 7 их емкости С1 вычисляются явно [10,11]. В частности, если 7± — эллипс с осями а и Ь, то

а

7± / г\ о-ГТГ / \ '

где

тг/2

K(z)

dt

J Л/1 — Z2 sin2 t o v

— полный эллиптический интеграл 1-го рода [11, гл.2, §3].

Отметим также, что уплощение границы в месте присоединения контактов, во-первых, естественно с технологической точки зрения, а во-вторых, не влияет на значение главного члена асимптотики (см. замечание в следующем разделе).

2. Сведение вычисления сопротивления к решению краевой задачи Так как по закону Ома

Л = (5)

где AU — разность потенциалов на контактах, а / — сила тока, проходящего через проводник, то, зная электрический потенциал и(х,£) в каждой точке проводника П, мы можем вычислить разность потенциалов AU = \u(0+) — u{OJ)\ и силу тока как модуль поверхностного интеграла по любому сечению Н проводника:

/

[ dU rl с

о / —— аЪ

J ànH

н

(6)

ди

где пя — нормаль к поверхности сечения п , а а—--плотность силы тока, проходящего

дпн

через сечение Н ( см. например, [14, гл.З, §21]).

Электрический потенциал и(х,е) моделируется с помощью решения следующей краевой задачи:

Аи = 0, хбО,

г) 7/

^ = 0, хбШ\{71и7!}, (7)

<7П

и = и±, х €

где и+, II- — потенциалы на контактных поверхностях, п - внешняя нормаль [14, гл.З, §21], [3, §4, с.25].

Поскольку искомое сопротивление проводника не зависит от напряжения, то для удобства изложения можем положить II + = 1, [/_ = —1. То есть вместо (7) достаточно рассмотреть следующую основную краевую задачу

Аи = 0, хбО,

ПИ

^ = 0, хеш\{7;и71}, (8)

<7П

и = ±1, х £

Из [15] и теорем о повышении гладкости решений эллиптических уравнений [16, гл. IV, §2, п.З] следует существование и единственность решения задачи (8) в классе функций из

С°°(П\{<97; и }) п с(й).

Замечание 1. Если в окрест,ноет,и присоединения контактов граница не является плоской, то можно сделать ее упрощенной локальной заменой переменной. Естественно, что оператор Лапласа перейдет, в оператор с переменными, коэффициентами, что никак не влияет, на вычисление главных членов асимптотики, хотя, конечно, технически усложняет, и, удлиняет, процесс построения полной, асимптотики ( [17], где была рассмотрена задача на собственные значения для эллиптического операт,ора второго порядка с переменными, коэффициентами и, сменой, типа граничного условия на малом участке границы). Замет,им, что подобная ситуация имеет, мест,о и, для других сингулярных возмущений, стягивающихся к точке (для малых отверстий [18], [19]).

3. Построение главных членов асимптотики решения краевой задачи (8)

Построение формальной асимптотики решения и(х,е) краевой задачи (8) при е —> О проводится методом согласования асимптотических разложений [18,20,21].

Следуя этому методу, в окрестности частей границы 7± (т.е. в окрестности точек 0±) асимптотическое разложение функции и(х,е) естественно искать в виде

оо

«(*, е) =-о ) + evt т + £ ^ ) • (9)

•7=2

Подставляя ряд (9) в (8) и переходя к внутренним переменным = ^, получаем краевые задачи для внутренних разложений:

^о = ±1, £± е т±>

:ю)

<96

о, е±ег±:={е±: е3± = о,е±^7±}, £ > о,

(п)

1 2

дЬ

Здесь и далее используется обозначение = £±, а под понимается оператор

Лапласа в переменных

Обозначим также р± = |£±|, Е^ = : ^ > 0}. Через и будем

обозначать однородные гармонические полиномы степени удовлетворяющие условию

= Д = 0 при =0. Из определения следует, что Х- р± , Х - ' р± — гармони-

чеекпе функции, удовлетворяющие условию —-(£^>£^>0) = —-(С^С^О) = 0

при ф 0. В [22, лемма 3] показана справедливость следующего утверждения.

Лемма 1. Для любой, функции, Ф € С°°(7±) существует решение V еС°° П С (к^) краевой задачи

Ау = 0, ^>0, V = Ф, е 7±,

имеющее дифференцируемую асимптотику

УЫ = ^ + (ЫР^', Р± ^ оо-

р± и

Обозначим через 7±) функцию, удовлетворяющую утверждению леммы 1 при

Ф = 1. В обозначениях этой леммы имеем:

С1 °°

Р± ¿Г

где, напомним, С7± >0 — емкости дисков 7±. Заметим, что, если 7± — единичный круг, то ( см. например, [14, гл.1, §4])

2

^ V Р± " 1 + \/(р! " !)2 + 4(Сз±)2

Из определения 7±) вытекает, что функции

= (12) ь7± \ ь7± у

являются решениями краевых задач (11) для любой постоянной Во и имеют асимптотики

^о (Ы = ±1-7^ ± — + Х 2,+1 > Р±^ос. (13)

V Ч± / Р± р1

Переписывая (13) во внешних переменных х± = имеем:

х

±

, Во \ , Во , ^ ,Х?°{х±)

° 1 е ) К ~г± — г±

Отсюда, следуя методу согласования асимптотических разложений, получаем, что внешнее разложение должно иметь вид

оо

и(х,е) =^екик(х), (14)

где

к=0

щ(х) =А£ + о(1), г± —>• 0, (15)

В

щ(х) =± — + 0(1), г± —>• 0, (16)

г±

Щ(х) + 0(г^'+1), г± 0, ^ = 2, 3,... (17)

г±

^ = ±(1-^). (18)

Подставив разложение (14) в (8) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем следующие краевые задачи:

IS.Uk = 0, жеО,

^ = 0, ж еШ\{0+и0_}, к = 0,1,... (19)

оп

В силу (4) функция

щ(х) = Бо(с+(ж) - + А (20)

является решением краевой задачи (19) и (16) при любой постоянной Л\. Очевидно, что, если

До = ■= А), (21)

то функция

Щ (х) = До (22)

удовлетворяет (19) и (15).

Решая систему линейных уравнений (18) и (21), получаем, что

_ С7+ — С7_ _ 2 С7+С7_

Л° ~~ ~п—I п ' — т;—, Г< • ' '

07_ 7+

Таким образом, определены функции щ{х), в силу равенств (22), (12) и (23), а

функция 1/1 (ж) определена равенством (20) с точностью до пока произвольного слагаемого

Дь

Всюду далее через и ^ также будем обозначать однородные гармониче-

ские полиномы степени ], удовлетворяющие условию = = 0 при = 0. Из (20) следует, что

В °°

щ(х) =±^ + ЛгТ В0Ст(О±) + г± ^ 0. (24)

Г± 3 = 1

Перепишем с учетом равенств (22) и (24) асимптотику суммы щ(х) + еи\{х) при г± —> 0 во внутренних переменных

К 00

щ(х) + £щ(х) = Ао ± у + е^АгТ ВоСт(0±)^) • "Ч/•'(< : ).

3 = 1

Отсюда получаем требование для асимптотик на бесконечности функций Ук (£±):

у±(£±)=Ао± — + 0(р12), р± —>■ оо, (25)

Р±

vf(C±) =Л Т В0Ст{О±) + О(р^), р± ^ оо, (26)

^(Ы ^¿КЫ + 0(рГ2), р± ^ ос, к = 2,3,...

Заметим, что определенные в (12) функции г>^(£±) имеют асимптотики (25) (см. (18), (21))-

Из определения функций *у±) вытекает, что для любой постоянной В\ функции

^(Ы = ±^(Же±;т±)-1) (27)

являются решениями краевых задач (11) и имеют асимптотики

(е±) - ± ^ +

3 = 1

/г \ и1 I и1 , 3

°7± Н± ,-=1 Р±

Сравнивая последнее равенство с (26), выводим следующую систему линейных уравнений на Л\ и В\.

Т^ = Л1тВ0Ст(О±).

7±

Отсюда с учетом (23) получаем, что, во-первых,

Л =(СС+Сс~)^ - с1-сЛО-)),

7 Ч2 (29)

Вг =2 [с^+С, ) (С+(°-) + С-(°+))'

а, во-вторых, асимптотики (28) уточняют асимптотики (26).

Перепишем с учетом равенств (13) и (28) асимптотики сумм + пРи

р± —> оо во внешних переменных х±:

^ (Ы + ^ (£±) =л0 + е (±- + ЛТ ВоСт(0±)) + е2 ± *£

V г± / V г± г±

2j-l 1 2^-3 \ Т* —1_

¿=з \ ± ±

Отсюда, следуя методу согласования асимптотических разложений, уточняем асимптотики (15), (16), (17):

В

щ{х) =Ао + о{1), щ{х) = ±—+Л1ТВоСт{0±) + 0{г±), г± —> 0, (30)

г±

щ(х)=Х1' ± — + 0( 1), г± —>• 0, (31)

г± г±

= % + 2 -_з + 0(г± ), г± ->• 0, 3 = 3, 4,...

Функции «о(ж) и и\{х), определенные равенствами (22) и (20), удовлетворяют (30) (см. (24)).

Из [22, лемма 2] вытекает справедливость следующего утверждения.

Лемма 2. Пусть п ^ 1. Тогда для любых Х^(х±) существуют функции и±(х) Е С°°(П\0±); являющиеся решениями краевых задач

Д[/± = 0, хеП,

в и

—- = 0, же Ш\0±, В п

и имеющие дифференцируемые асимптотики

Х±{х±)

и±(х) = + у£¥±(х±), г± 0.

Г± 3=1

В силу (4) и утверждения леммы 2 существует решение и2(х) £ С°° (Г2\{0+и0_}) краевой задачи (19), (31) и оно представимо в виде

и2{х) = 1 , + —- + —---+и2(х) + Л2, (32)

где и2 € С°°(П), /п й2(х)(1х = 0, а Л2 — пока произвольная постоянная.

Из (22), (20), (32), (12), (27), (23) и (29), в частности, следует, что

а, (^у -у

и0(х) =

_

С7+ С7_

Мх) (с+(х) - СДх) + ] (с1+С.(0+) - С7_С+(0_)) V

(33)

(34)

+ 2 ) (С+(0-) + С_(0+)) " ^) + ЭД + Л,

где «2 ^ С°°(П), а Д.2 — пока произвольная постоянная,

V?(Ы = ± 2 ^ 2 (с+(0_) + с_(0+)) 7±) - ^

\ 7+ + 7—/

Таким образом, мы построили главные члены Ио(ж), гч(ж), «2 (ж) (с точностью до произвольной постоянной Л2), формальных разложений (14) и (9). Построение полных асимптотических разложений (14) и (9) и их строгое обоснование будет приведено в следующих двух разделах.

4. Формальное построение полной асимптотики решения

краевой задачи (8) Содержанием этого раздела является доказательство следующего утверждения. Теорема 1. Существуют ряды (14); (9) такие, что

1) функции ии{х) € С°° (£!\{0+ и О-}) являют,ся решениями, краевых задач (19);

2) для функций щ(х), щ(х), 112(ж) справедливы равенства (33), где щ € С°°(П); а А2 — некоторая постоянная;

3) при, к ^ 1 функции, ии{х) имеют, следующие асимптотики:

*-1 Х^~\х±) , Вк-1

Пк

гг1 г±

9=1 ± 3 = 1

ч 3,±, „ ч _ 3,±ч

4) функции, Ук (£±) Е Сос(Е_|1 \д*у±) П С(Е_|1 ) являются решениями краевых задач (10),

(и);

5) для функций и справедливы равенства (34);

6) функции имеют следующие асимптотики:

к— 1 „ оо / ч.

vt(u) = Е +^ ± ^ + Е^ (36)

9=1 Р± 3 = 1 Р±

Доказательство. Справедливость (36) для вытекает из (13) при ± — '■= Ап а для следует из (28) при '■= Af, а для щ равенство (35) совпадает с (24).

Из (32) следует, что

щ(х) = 1 ^ ± — + + А2 + Е х± 0, (37)

3 = 1

где Л^ — вполне определенные числа, а А2 — пока произвольная постоянная.

В силу леммы 1 существуют решения € С°° П С (К^) краевой задачи

(11), имеющие асимптотики

р±

где В^ — вполне определенные числа. Тогда для любых чисел В^ функции

= ± ^ т±) \<97±) п С (Е^

являются решениями краевых задач (11) и имеют следующие асимптотики

^(Ы =^1±Д(Ы т Щ- ± ^^ + 0(Р1% р± ос. (38)

с7± р±

Сравнивая последнее равенство с требуемым равенством (36) при к = 2, получаем линейное уравнение на и В

В+ + В+ = В^ + В; :=В2. (39)

Сравнивая (38) с (36), а (37) с (35), получаем еще два линейных уравнения на £>2~ и

Л2:

= Л + А2 := Л± (40)

Так как определитель системы уравнений (39), (40) равен —У , то она однозначно

разрешима. Вычислив Ви А2, находим В2, А^ в силу (39), (40) и, следовательно, окончательно определяем и и2(х), добиваясь при этом равенств (35) и (36) для

к = 2. _

Кроме этого, в силу леммы 2 существует решение щ(х) € С°° (П\{0+ и О-}) краевой задачи (19), имеющее асимптотику

где А£ — вполне определенные числа, а Лз — пока произвольная постоянная. Т.е. получили аналог равенства (37) для следующего шага.

Повторяя проведенную выше процедуру, последовательно находим £>з, Л^ Лз, окончательно определяем и щ{х), добиваясь при этом равенств (35) и (36) для к = 3, а в силу леммы 2 получаем существование решения и±{х) € С°° (П\{0+ и О-}) краевой задачи (19), имеющего асимптотику

/ ч Хр1(х±) Х^'2{х±) В3 ~± ч—л ±4

щ(х) = —-у— + —^— + —— ± — + л4 + л4 + V ы, о,

где А% — вполне определенные числа, а Л4 — пока произвольная постоянная. И так далее. Теорема доказана. □

5. Обоснование построенной асимптотики решения краевой задачи (8)

Обозначим через -В±(£) шар радиуса £ с центром в точке 0±. Содержанием этого раздела является доказательство следующего утверждения, основанного на подходе, использовавшимся при обосновании асимптотик собственных значений краевых задач со сменой типа граничного условия на малом участке границы [23-26].

Теорема 2. Пусть функции ик(х) и удовлетворяют утверждениям теоре-

мы 1. Тогда решение краевой задачи (8) имеет, асимптотику (14) в П\ (В+(у/ё) и ВДу/е)) и, асимптотики (9) в П П В±(у/ё) по норме И^1-

Доказательство. Обозначим через им{х,е) и гг^(х,е) частичные суммы рядов (14), (9), соответственно, до степеней ем включительно. Из пунктов 3) и 6) теоремы 1 вытекает следующее дифференцируемое равенство:

им(х, е) - е) = О + емг± + г± у (41)

Пусть — бесконечно дифференцируемая срезающая функция, тождественно равная нулю при £ < 1 и единице при £ > 2. Обозначим

имДх, е) =uN(x, е)х ( ^ ) X

+ e)(l-x (^f) ) + v-N(x, е) (l - Х (^j )

(42)

Тогда функция является решением краевой задачи

= fN,s, х Е Q,

= 0, хбВДи7!}, (43)

fN,s(x, е) = (uN(x, е) - е)) Ах + е) - v%(x, е)) Ах ^

st-

+ V (uN(x, е) - v%(x, ef) Vx ( —р ) + (uN(x, e) - v%(x, e)) Vx

_ I -I- Iii.atIx f) — tit-Jx f) ) Vv I Отсюда в силу (41) получаем, что

УмЛЫп) = 0{ету (44)

Обозначим

Un,s(x, е) = un,s(x, е) — и(х, е). (45)

В силу (8) и (43) получаем, что функция Un,s{x,£) является решением краевой задачи

AUNtS = fN,s, х е Q,

r)TJ

^ = 0, хеш\{7;и7!}, (46)

an

UNts = 0, х Е 7±.

Умножим уравнение в (46) на Un,s{x, е) и возьмем от обеих частей полученного равенства интеграл по П. Интегрируя левую часть последнего равенства по частям, в силу (44) имеем:

\тмЛЫп ) = 0(е%). (47)

В [27] показано, что минимальное собственное значение краевой задачи

~Афе = Х£ф£, X G П,

^ =0, an

Фе = 0, X Е

имеет асимптотику Л£ = е2тгС7+|П| + 0(е2). Поэтому из вариационных свойств собственных значений краевых задач следует ( см. например, [16, гл.IV, §1, п.4]), что для функций из И^П), обращающихся в нуль на 7+, справедлива оценка

при достаточно малых е. Отсюда и из (47) и (45) вытекает равенство

\\йм,з - и\\№1{п) = О (е^) •

И, наконец, из этого равенства, определения (42) функции и^^^х^е) и произвола в выборе N и 5 следует справедливость утверждения доказываемой теоремы. □

6. Доказательство формул (2), (3)

Пусть Н — произвольное сечение области не содержащие точек 0±, а Н^ — /х-окрестность Н для достаточно малого р. Тогда для решения краевой задачи (46) имеет место оценка [16, глава IV, §2]

1|и/2(Ям) ^ С\\1м,з\\ь2(П)- (48)

Так как

\ы\ь*(н) <

[16, глава III, §5], то из (48), (44) и неравенства ЦгуЦ^^я) ^ \Н\|Мкг(я) следует, что

ди™а

я

<9п я

dS = О

Отсюда в силу определений (45) и (42) функции Un,s(x, е) и un,s(x, с) и произвола в выборе N получаем, что

ди j- dUN_ds + 0(£N+iy

дпн

дпн

(49)

я я

Подставляя (49) в (6), с учетом равенств (22) и (35) и [22, лемма 2] получаем, что

1=<т

n

/

k=l {

9 (}_ _L

<9пя Vr+ r_

dS

+ 0(eN+l) = 2тг a

n

k= 1

+ 0(eN+l).

(50)

Так как Во > 0 и В\ > 0 в силу (23) и (29), то, подставив (50) и А11 = 2 в (5), в силу произвола в выборе N получаем справедливость формулы (2) для Д(е), где

Д_1

1

ТГСгВо

Ro — —

вл

-KCTBq '

И, наконец, из последних равенств и значений (23), (29) постоянных Во, В\ получаем формулы (3) для Н_1 и Ко-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. R. Holm Uber Kontaktwiderstände, besonders bei Kohlekontakten // Zeitschrift für technische Physik. 1922. V. 3. № 9, P. 290-294

2. R. Holm, R. Störmer Eine Kontrolle des metallischen Charakters von gereinigten Platinkontakten // Wissenschaftliche Veröffentlichungen aus dem Siemens-Konzern. 1930. Band 9, Heft 2. P. 323-330.

3. Хольм P. Электрические контакты. M.: Иностранная литература. 1961. 314 с.

4. Павлейно О.М., Павлов В.А., Павлейно М.А. Влияние расплывания контактного пятна на процесс импульсного нагрева электродов // Электронная обработка материалов. 2011. Т. 47. № 4. С. 142-149.

5. Плохов И.В. Модель динамики токопередачи через скользящий контакт // Электротехника. 2005. № 2. С. 28-33.

6. Филиппов В.В., Поляков H.H. Распределения потенциала в анизотропных проводниковых кристаллах и пленках при измерении электропроводимости и коэффициента Холла // Вести высших учебных заведений черноземья. 2011. № 2(24). С. 6-10.

7. Ершов A.A. Краевая эллиптическая задача с дельтообразной производной на границе // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50. № 3. С. 479-485.

8. Ершов A.A. Асимптотика решения уравнения Лапласа со смешанными условиями на границе // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 7. С. 1064-1080.

9. Ершов A.A. К задаче об измерении электропроводности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2013. Т. 53. № 6. С. 1004-1007.

10. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике М.: Физмат-лит.1962. 336 с.

11. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала М.: Наука. 1966. 515 с.

12. Смирнов В.И. Курс высшей математики Т.4, ч.2. М.: Наука. 1981. 192 с.

13. Ильин A.M. Уравнения математической физики. М.: Наука. 2009. 192 с.

14. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика (в 10 m). T. VIII. Электродинамика сплошных сред М.: Физматлит. 2005. 656 с.

15. S. Zaremba Sur un problème mixte relatif a l'équation de Laplace // Bulletin de l'Académie des sciences de Cracovie Classe des sciences mathématiques et naturelles, série A. 1910. P. 313-344.

16. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных М.: Наука. 1976. 391 с.

17. Гадылынин P.P. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной эллиптической задачи с малым параметорм в граничном условии // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 4. С. 640-652.

18. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач М.: Наука. 1989. 336 с.

19. V. Maz'ya, S. Nazarov, В. Plamenevsky Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains V. 1,2. Birkhaeuser Verlag. Basel. 2000. 336 c.

20. Гадылынин P.P. Метод согласования асимптотических разложений в сингулярно возмущенной краевой задаче для оператора Лапласа // Соврем, математика и ее приложения. 2003. Т. 5. С. 3-32.

21. Бикметов А.Р., Гадылынин P.P. Возмущение эллиптического оператора узким потенциалом в n-мерной области // Уфимск. матем. журн. 2012. Т. 4, № 2. С. 28-64.

22. Ершов A.A. О смешанной задаче для гармонической функции // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2013. Т. 53. № 7. С. 1094-1106.

23. Гадылынин P.P. Расщепление кратного собственного значения задачи Дирихле для оператора Лапласа при сингулярном возмущении граничного условия // Матем. заметки. 1992. Т. 52. № 4. С. 42-55.

24. Гадылынин P.P. Расщепление кратного собственного значения в краевой задаче для мембраны, закрепленной на малом участке границе // Сиб. матем. журн. 1993. Т. 34. № 3. С. 43-61.

25. Гадылынин P.P., Шишкина Е.А. О неравенствах Фридрихса для круга // Тр. ИММ УрО РАН. 2012. Т. 18, № 2. С. 48-61.

26. Гадыльшин P.P., Репьевский C.B., Шишкина Е.А. О собственном значении для лапласиана в круге с граничным условием Дирихле на малом участке границы в критическом случае // Тр. ИММ УрО РАН. 2015. Т. 21, № 1. С. 56-70.

27. Гадыльшин P.P. О возмущении спектра Лапласиана при смене типа граничного условия на малой части границы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. № 7. С. 77-88.

Рустем Рашитович Гадыльшин,

Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы, ул. Октябрьской революции, За, 450000, г. Уфа, Россия E-mail: Gadylshin@yandex.ru

Александр Анатольевич Ершов, Челябинский государственный университет, ул. Братьев Кашириных, 129, 454001, г. Челябинск, Россия E-mail: Alel0919@yandex.ru

Сергей Владимирович Репьевский, Челябинский государственный университет, ул. Братьев Кашириных, 129, 454001, г. Челябинск, Россия E-mail: Repyevsky@gmail. com