CC BY
39
УДК 621.315.592; 537.311.322
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНОЙ ИОНИЗАЦИИ
В МНОГОДОЛИННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ЩЕЛОЧНО-ГАЛОИДНЫХ КРИСТАЛЛАХ
В. А. Чуенков
Детально исследована ударная ионизация в анизотропных многодолинных полупроводниках (Се, 5г, СаАв) с учетом их реальной зонной структуры, анизотропии эффективной массы, перераспределения электронов (дырок) между долинами. Получены аналитические выражения, описывающие зависимость коэффициентов ударной ионизации электронов и дырок от электрического поля, температуры и параметров, характеризующих физические свойства полупроводников. Вычислены критические электрические поля Ес, при которых происходит электрический пробой полупроводников и диэлектриков; по лучена зависимость Ес от температуры.
В общем виде кинетическая теория ударной ионизации в многодолинных полупроводниках и диэлектриках была построена в [1, 2]. В [1] был получен критерий электрического пробоя многодолинных полупроводников и диэлектриков. В данной работе делается детальный анализ теории применительно к конкретным полупроводникам (Ge, Si, GaAs) и щелочно-галоидным кристаллам.
Германий. Германий является многодолинным полупроводником. Экстремумы долин зоны проводимости Ge расположены в различных точках зоны Бриллюэна и занимают различное положение на энергетической шкале. Экстремумы четырех ¿-долин находятся в точках, расположенных на границе зоны Бриллюэна в направлениях [lili, и занимают одинаковое положение на энергетической шкале. В этих долинах зависимость энергии электронов от импульса
е(р) =
Pi ^ Р\\
+
(1)
2Ш£,х 2тпщ'
где р± и рц - поперечный и продольный импульсы электрона, т^х и т^ц - поперечная и продольная эффективные массы электрона в ¿-долинах.
Экстремум Г-долины зоны проводимости находится в центре зоны Бриллюэна, а на энергетической шкале он расположен выше экстремумов ¿-долин на 0.12 - 0.13 эВ. В Г-долине
где шр - эффективная масса электрона в окрестности экстремума, Дг - полуширина запрещенной зоны в Г-точке (Дг = е3г/2).
Экстремумы шести Х-долин расположены на осях [100] в точках к кз 0.8&то1 (ктах - граничная точка зоны Бриллюэна в направлениях [100]), а на энергетической шкале расположены выше экстремумов ¿-долин на 0.17 - 0.18 эВ. Другие долины зоны проводимости нас интересовать не будут, поскольку их экстремумы на энергетической шкале расположены существенно выше экстремумов ¿-, Г-, Х-долин. Функция е(р) в Х-долинах получается из (1) заменой т^х и гпщ соответственно на т^х и тх\\-
Экстремумы долин валентной зоны Се (долины легких и тяжелых дырок, а также долина, соответствующая спин-орбитально отщепленной подзоне) находятся в центре зоны Бриллюэна. Будем предполагать, что в долинах валентной зоны
где тр - эффективная масса дырок. Здесь и в дальнейшем величины, относящиеся к дыркам, будем снабжать индексом "р".
Рассмотрим процессы ударной ионизации в перечисленных выше долинах зоны проводимости и валентной зоны.
Процесс ударной ионизации, при котором взаимодействие быстрого электрона L-долины зоны проводимости с медленным электроном валентной зоны приводит к рождению двух медленных электронов в ¿-долине и одной медленной дырки в валентной зоне (непрямая ударная ионизация) возможен лишь при участии фонона с большим импульсом. Вероятность такого процесса, вычисленная во втором приближении теории квантовых переходов, равна
(2)
ИТ"\е) = доь • т0Ь(едЬ) ■ ' , (4)
где £дь - пороговая энергия ударной ионизации для электронов ¿-долин, равная ширине запрещенной зоны в ¿-точках; т0£,(ед- время релаксации импульса электронов в Ь-долинах при е — ед1,, температуре Т0 = 0;
■Kh4(h4jj0)-1/2 ■ W,, • T0L(egL)
V2a3ml/2(egL + p2j0/2mp)2
x {"<«,.)+5 ± 5} (5)
/ 4 , I mL J 2тгЯ PqUQ r0L(egL) = l0L ■ ^ —, Iol = piJC2mr
Iql ~ длина свободного пробега электронов; h - постоянная Планка; Wjr^N(ujj0) + ^ ± ! ; - вероятность перехода дырки из промежуточного состояния j в валентной зоне в конечное состояние I в той же зоне в результате испускания (поглощения) фонона с большим импульсом pjo и энергией huj0; N(u>j0) - число фононов с энергией /гы_,о; а - постоянная решетки; тр - эффективная масса дырки; т - некоторое среднее значение массы между массой плотности состояний mi — {гпьх • т^ц)1/3 и массой дырки тр; е - заряд электрона; р0 - плотность; и0 - частота оптического фонона; T>l - константа деформационного потенциала; К. — 2~к/а. При выводе (4) были использованы соображения, высказанные в [3]. Вероятность ударной ионизации электронами Г-долины зоны проводимости (прямая ударная ионизация) определяется выражением [см. (2) и [3]]
rrrdivf \ 90Г f£-£ir\2 т*е4 {е,т\3 , ,
W'T (£) = УГ7Г) ' 3or = -1Г Ш 'Tor(£ir)' (7)
в котором е,т = З.ббДг ~ 1-56 эВ - пороговая энергия ударной ионизации для электронов Г-долины; тог(£,г) - время свободного пробега электронов в Г-долине при е = е,р, То = 0; т* - некоторое среднее значение массы между тр и тр.
Если ударная ионизация осуществляется дырками валентной зоны, то вместо формул (7), (4) - (6) получим соответственно [см. (3)]
W£'r(e) = 90р
т*еА
( тр\ Л тр\ 1
1*0*), eip = eir{l+2- ) (1 + - ) ,
90р J.3 ujyv-i^/7 -if -41-.- 11 —
h \ 77ip / \ mp,
, x , , 27ГП3РоШО
r0p(e,p)-W—, 4 - ;
-tP "-p
2
rindir s » 1/_ v £ -£gL
£gL ,
50p ^a3mi/2(2£fli + p*02/2mL)2
x JV ш
W + 5 ±5}
• 4
me
"j 0) h3 ■
В (8), (9) приняты следующие дополнительные обозначения: г0р(е,р) - время свободного пробега дырок с пороговой энергией ударной ионизации е,р; /ор - длина свободного пробега дырок; |-/V(k->*0) + | ± ~ вероятность перехода электронов из промежуточного состояния j в Z-долине зоны проводимости в конечное состояние / в той же долине в результате испускания (поглощения) фонона с большим импульсом р'0 и энергией huj*0] N((jU*0) - число фононов с энергией hui"0\ Vp - константа деформационного потенциала.
Используя выражения (1), (2), (4) - (7) и метод решения кинетического уравнения, изложенный в [4 - 6], можно показать, что изотропные части функций распределения электронов, средние значения вероятностей ударной ионизации и рекомбинации в L-, Г-. Х-долинах зоны проводимости определяются соответственно соотношениями (индексы L, Г, X относятся соответственно к L-, Г-, X-долинам):
fUe) = III(FLq) ■ ехр (-Ц&. —),(« = 1,2,3,4),
(И)
(12)
2 _ З^р£дЬ _ Пи0 _ тщ
^оЬ — 71 \2 ¿1 /э ' Ро — слгр ■> ^оь — ?
(е/оь)2 ■ т/?о 2,1 о гпь±
(13)
ть
тщ
2А^ + 1£2 2{Коь-\)
+
+
+ +
+
ЕХЕУ ЕхЕ2 ЕуЕ:
+
(14)
(тгАг)3/2 Г^У (Лл6'5
не) - дГ у • ^ ,
УУгТ^> Ы 4 • Г(8/5) \5 е»г
/ £ \3/10
хтог(£«т) ■
» Еог /
£<эгЛ ' £2 Г
1х-у(ЕХ1) =
ттЧ3
9 Л 3
1 + тг— • 1 +
4<5
4<5лч
(15)
(16)
и/ т 3 (Ь"оАЛ3/2 (Еог^ 1
2 3 Аг /^У 0Г 5 (е/ог)2-^ ' ЧДг/ '
Дг /тг /Ч?г Л"72 , 2тгЯУ0 • ш0 т0г(е,т) = /ог • —^ • ^дЗГ - ^ ' /оГ -
= ГХ\(ЕХУ) ■ ехр ,
2\/2 (тхЬ0)3/2
(18)
(19)
_ ■ ^о • + 1] , _ 2тгН3р0ш0
(20)
Fh = П2 = -- {Kox(El + El) + El) , Кох =
Fl3 = n4 = • {Kox(El + El) + El} , mx || J
Fx$ = = — * + + •
(21)
В (10) - (21) приняты дополнительные обозначения: Flq(q = 1,2,3,4) и Fx^{7 = 1,2,3,4,5,6) - эффективные электрические поля соответственно в L- и Х-долинах [см. (14) и (21)]; первая сверху строка знаков в (14) соответствует первой долине, вторая строка знаков - второй долине, и т.д.; Ех, Еу, Ez - компоненты вектора электрического поля Е в системе координат, оси которой совпадают с осями [100] кристаллической решетки; тх - масса плотности состояний в Х-долинах; N(hu>0) - число фононов с энергией hu о; тг£, ту г, ттХ - рекомбинационные времена жизни электронов в L-, Г , Х-долинах в условиях термодинамического равновесия (Е —> 0). Подчеркнем, что выражения для функций распределения электронов, вероятностей ударной ионизации и рекомбинации в (10) - (21) справедливы в той области электрических полей, в которой проводились эксперименты (105 — 106 В/см). Вероятность ударной ионизации электронами Х-долин в этой области полей пренебрежимо мала, поскольку электроны этих долин обладают сравнительно большой эффективной массой и сравнительно малой длиной свободного пробега (10Х & 10~7 см). В этом случае в (19) функция Sx-, ~ 1 при То < el0XFx-yth/?o < SXl = el0XFXlthß0/T0 при el0xFXlthß0 < T0.
Усредненная по всем долинам вероятность ударной ионизации электронами в германии вычисляется, как показано в [1], по формулам [см. (10) - (21)]
Win(E) = Wir ~ + Е '
а=1
(22)
(23)
(24)
В (22) - (24) Nr и Nia ~ концентрация электронов соответственно в Г-долине и в ¿-долине под номером а, N - полная концентрация электронов в зоне проводимости, Wliip, Wl^ri ^LaX-y и т-д- _ вероятности междолинного рассеяния электронов на фо-нонах, выражения для которых легко получаются с помощью формул, приведенных в [1]. Например,
/ \TLJx{E + huLX)
2 v J_jJ{ I
+ e/ /-4/ba(e)fa(e + hbjLX) I" de. (25)
Т1х(£У
Здесь ~ функция распределения электронов в ¿аг-долине [см. (10), (14)]; Дт - наи-
большая из энергий Д^ и Ах, характеризующих положение ¿- и Х-долин относительно начала отсчета на энергетической шкале;
/о 3/2
т&(е) ~ Рь(е) = ^^-е1'2 (26)
- время междолинной релаксации, соответствующее переходу электрона из ¿-долины в Х-долину в результате взаимодействия с фононом, энергия которого равна Ньо^х;
Nlx =
ехрпг Г1
(27)
ГК 3/2 3/2 /2 \ !/2
у2'Шу 1/0 , ч гаг • £ / е 4
''-^^•^-ЯФЛЬ-1) • (28)
рь(б) - плотности состояний соответственно в Х-, Г- и ¿-долинах. Выражения для других вероятностей междолинного рассеяния получаются из (25) заменой индексов. Например, вероятность перехода электрона из Г-долины в Х-у-долину получается из (25) заменой индексов Ьа и ¿ на индекс Г. Заменив в (22) индекс г на индекс г и добавив в правую часть
6 ЛГу
Е «к*, ■
7=1
получим усредненную по всем долинам вероятность рекомбинации электронов \¥тп[Е).
Итак, формулы (10) - (28) дают возможность вычислить вероятности ударной ионизации и рекомбинации при произвольном направлении электрического поля.
В интересующей нас области электрических полей вероятности междолинных переходов из Г-долины в Ь- и Х-долины, как показывают оценки, значительно превышают вероятности обратных переходов (в Г-долине более разогретый электронный газ и значительно меньше плотность состояний электронов). Это приводит к тому, что первое слагаемое в (22) оказывается пренебрежимо малым по сравнению с последующими слагаемыми (А^/А^ « Ю-2 — Ю-3). Следовательно, коэффициент ударной ионизации электронов а(Е) может быть вычислен по формуле
Численные расчеты по формуле (29) [см. (10) - (28), (30)] показали, что с точностью до нескольких процентов (в пределах погрешности эксперимента) коэффициент ударной ионизации электронов в германии не зависит от направления электрического поля Рассчитанная по формуле (29) теоретическая зависимость а(Е) при То = 300 К предста влена в таблице 1. Там же приведены экспериментальные значения а(Е), полученные
Рассмотрим теперь процесс ударной ионизации в валентной зоне германия. Анализ различных вариантов расчета показал, что экспериментально наблюдаемую зависимость коэффициента ударной ионизации дырок от электрического поля можно объяснить лишь при условии, что ударная ионизация в валентной зоне германия является непрямой и осуществляется в основном тяжелыми дырками. При этом условии верояч ности ударной ионизации и рекомбинации дырок в германии описываются формулами
^ №1Ьа МЬа
(29)
где скорость дрейфа электронов
(30)
в [7].
[см. (9) - (13)]
(31)
3/2
Таблица 1
Коэффициенты ударной ионизации электронов и дырок в полупроводниках
Германий (Т0 = 300 К)
Е ■ Ю-5, ' см 1.325 1.5 1.75 2 2.5 2.7
Р(Е), см-1 7.7-102 2.4 • 103 8 • 103 1.9 • 104 6.6 ■ 104 9.5 ■ 104
теория
/?(£), см'1 8 - 102 2.5 • 103 8 • 103 2-104 6.5- 104 9.5 • 104
экспер.
а(Е), см'1 3.4 • 102 1.15-103 4 • 103 9.1 -103 2.8 • 104 4- 104
теория
ск(Е), см'1 3-Ю2 1.20 - 103 4 • 103 104 3 ■ 104 4 • 104
экспер.
Кремний (Г0 = 300 К)
Е ■ Ю-5, -2- ' см 2 3 4 . 5 6.3 10
а(Е), см'1 2.68 • 102 5 • 103 2.2- 104 6 • 104 1.4 10® 6.6 • 105
теория
а(Е), см'1 2.3 • 102 4 • 103 2- 104 6-104 2-105 -
экспер.
/?(£), см-1 0.8 • 102 1.7- 103 7.6 • 103 2 • 104 5.3 • 104 2.6 • 105
теория
Р(Е), см-1 102 1.7-103 7 • 103 2 • 104 4.3 • 104 -
экспер.
Арсенид галлия (Г0 = 300 К)
Е ■ 10~5, ' см 2 2.5 3 4 5 6
а(Е), см'1 4.7 90 103 104 4- 104 105
теория
/?(£), см-1 4.4 87 103 104 4- 104 ю5
теория
а(Е) = 0{Е) 5 95 103 104 4- 104 ю5
экспер.
Анизотропия а(Е) в СаЛз
Е ■ Ю-5, ' СЛ 3.85 3 2
«100/<3!111 • 1.3 1.72 5.73
Таблица 2
Параметры полупроводников, использованные при проведении численных расчетов
Hujo, hu*о, Wjh PjO, P*jO>
эВ эВ с-1 c-1 7Г h/a irk/a
Ge 0.037 0.037 ю10 - 1011 Ю10 - 1011 1 1
Si 0.058 0.058 Ю10 - 10u Ю10 - 10" 0.53 0.34
GaAs < 0.036 < 0.036 Ю10 - 1012 Ю10 - 1012 0.53 0.58
Таблица 3
Значения Ес, Т>(ЕС), go, m/mo для щелочно-галоидных кристаллов (То = 300 К)
Ec • 10-6, ^ L ' CM V(EC) 9o m/mo (автор) m/mo (С. И. Пекар)
LiF 3.1 16.25 46 1.04 -
NaF 2.4 17.34 366 1.92 -
KF 1.9 17.29 324 1.79 -
NaCl 1.5 17.33 696 2.44 2.78
KCl 1.00 17.00 861 1.98 1.85
RbCl 0.83 17.01 640 1.69 1.78
NaBr 0.81 16.86 684 1.9 2.96
KBr 0.70 16.99 947 1.79 1.87
RbBr 0.63 16.94 1114 1.77 1.70
NaJ 0.70 16.55 907 1.94 3.25
KJ 0.57 16.59 1558 2.03 2.11
RbJ 0.50 16.57 1626 1.81 1.89
Вычисленная с помощью (31) зависимость коэффициента ударной ионизации дырок /3(E) = Wip(E)/up при Т0 = 300 К представлена в таблице 1 (скорость дрейфа дырок ир получается из (30) заменой на тр). Экспериментальные значения /3(Е) получены в [7].
Кремний. Ударная ионизация в зоне проводимости кремния осуществляется электронами Х-долин (непрямая ударная ионизация), расположение которых в импульсном пространстве такое же, как расположение Х-долин зоны проводимости германия. Экстремумы других долин зоны проводимости кремния на энергетической шкале расположены значительно выше экстремумов Х-долин. Вероятности ударной ионизации и рекомбинации в Х-долинах описываются формулами
"^-¿^(ёМ-ЗЗ- (33)
^ЧёПй)'-*'*'-?©^? (34)
где 7 = 1 — 6; едх - ширина запрещенной зоны в Х-точках; Ех-у определяются соотношениями (21); д0х, т0х{£дх), ¡ох определяются соотношениями (5), (6), в которых индекс Ь заменяется на X. Физический смысл всех входящих в (33), (34) величин тот же, что и в германии; различны лишь их численные значения. Функции распределения электронов в Х-долинах получаются из (10) заменой индексов Ьа и Ь соответственно на индексы X7 и X, а отношения вероятностей переходов электронов между Х-долинами, вычисленные с помощью этих функций [см. [1], а также формулы (25) - (28) и текст перед ними], описываются формулами
ту//туе/_ Я, 2 + а7 №хх + 1)е а-г + ^х
ЗНш0 • Ьи>хх ЗЙш0 • ^шхх
аР = П-17 \2 ^а » (36)
7 " (е/0
где Тгихх ~ энергия фононов, участвующих в переходах между Х-долинами; Nxx число таких фононов. В (35), (36) мы опустили индекс X у величин И^^,
¿Х-у, ¿X/?, «X/?.
Как показано в [1], коэффициент ударной ионизации электронов в кремнии вычисляется по формуле
6 / 6 \v4\~1 = Е^ -«х1, (37)
7=1 4/3=1 УУ^/
где их получается из (30) заменой тп£ на тх- Значения «(¿2), вычисленные по формуле (37) с помощью (33) - (36), (21), представлены в таблице 1. Экспериментальные значения а(Е) получены в [8]. Вычисления показали также, что в области указанных в таблице электрических полей анизотропия а(Е) практически отсутствует (в пределах погрешности эксперимента). При меньших значениях Е анизотропия <х{Е) становится заметной. Например, при Е = 1.5 • 10ъ В/см отношение сцоо/^т ~ 2.6 (индексы у а указывают направление Е).
Ударная ионизация в валентной зоне кремния является также непрямой и осуществляется в основном тяжелыми дырками. Значения /3(Е) — ]У{р(Е)/ир, вычисленные по формулам (30), (31), приведены в таблице 1. Экспериментальные данные получены в [8].
Арсенид галлия. В зоне проводимости арсенида галлия мы рассмотрим Г-долину (экстремум находится в центре зоны Бриллюэна и занимает наинизшее положение на энергетической шкале), Х-долины (экстремумы находятся на границе зоны Бриллюэна в направлениях [100]), ¿-долины (экстремумы находятся на границе зоны Бриллюэна в направлениях [111])- На энергетической шкале экстремумы ¿- и Х-долин расположены выше экстремума Г-долины на 0.4 - 0.5 эВ. Экстремумы других долин расположены значительно выше экстремумов Г-, ¿-, Х-долин. Переходя к вычислению коэффициентов ударной ионизации в С а Аз, сделаем предварительно ряд замечаний. Заметим, во-первых, что электроны ¿-долин не принимают участия в процессе ударной ионизации, поскольку в них отсутствуют состояния с энергией, равной энергии ионизации [15]. Электроны Г-долины не дают заметного вклада в процесс ударной ионизации по трем причинам: 1) состояния с энергией, равной энергии ионизации £;г ~ 2.7 эВ, существуют в этой долине лишь в направлении [100]; 2) численные оценки и эксперимент (эффект Ганна) показывают, что в электрическом поле Е > 104 В/см подавляющая часть электронов Г-долины переходит в ¿- и X-долины в результате междолинного рассеяния на фононах (плотность состояний в ¿- и Х-долинах превышает плотность состояний в Г-долине соответственно в 25 и 45 раз); 3) вероятность накопления электроном энергии егт = 2.7 эВ при движении вдоль оси [100] в пролетном режиме на несколько порядков меньше вероятности перехода электрона из Г-долины в Х-долину. Сделанные выше замечания и непосредственные вычисления показали, что экспериментально наблюдаемую зависимость коэффициентов ударной ионизации электронов и дырок от электрического поля в арсениде галлия можно объяснить лишь при уело вии, если ударная ионизация осуществляется в основном электронами Х-долин зоны проводимости и тяжелыми дырками валентной зоны. Значения ос(Е), вычисленные по формуле (37) с помощью (33) - (36), (21) при Е||[111], и значения 0(Е), вычисленные по формулам (31), (30), представлены в таблице 1. Экспериментальные результаты приведены в [9]. В арсениде галлия имеет место заметная анизотропия коэффициента ударной ионизации электронов а(Е) [см. таблицу 1], что подтверждается и экспериментом [9].
Заметим, в заключение, что при вычислении коэффициентов ударной ионизации электронов и дырок в Се, 5г, С а Аз мы использовали в качестве подгоночных пара-
метров две величины: длину свободного пробега электронов (дырок) при энергиях, превышающих энергию оптических фононов, и постоянный множитель до (или д^) в выражениях, описывающих зависимость вероятности ударной ионизации от энергии электрона (дырки) [см. (5) - (20)]. Указанные параметры подбирались таким образом, чтобы получить максимально возможное согласие теории с экспериментом [см. таблицу 1]. Подгоночные значения параметров оказались весьма близкими к значениям, вычисленным по приведенным в статье теоретическим формулам [см. (5) - (20)]. Значения других параметров полупроводников, в том числе температурная зависимость шири ны запрещенной зоны £3(То) в соответствующих экстремальных точках, взяты из [15] и таблицы 2. Заметим, наконец, что с изменением температуры коэффициенты ударной ионизации электронов и дырок остаются неизменными, если, как следует из всех приведенных выше теоретических выражений [см. (5) - (20)], выполняется соотношение
4ГТ1Г = const, (Д, = %ио!2То\
Е1 ■ tg/?o
определяющее температурную зависимость а(Е) и Р{Е) при фиксированном значении Е.
Щелочно-галоидные кристаллы. Щелочно-галоидные кристаллы имеют простую кубическую структуру. Следовательно, можно предполагать, что в зоне проводимости этих кристаллов ударная ионизация осуществляется электронами одной долины с экстремумом в центре зоны Бриллюэна, занимающем на энергетической шкале наинизшее положение. Экстремум валентной зоны также находится в центре зоны Бриллюэна. Зависимость энергии электронов и дырок от импульса описывается формулой (3) с соответствующими значениями эффективных масс.
Все сказанное выше о структуре зон щелочно-галоидных кристаллов подтверждается в [10 - 14]. Есть также основания считать, что ширина валентной зоны в щелочно-галоидных кристаллах меньше ширины запрещенной зоны, а эффективная масса дырок существенно больше эффективной массы электронов. По этим двум причинам дырки не принимают участия в процессе ударной ионизации. Поэтому можно считать, что электрический пробой щелочно-галоидных кристаллов обусловлен ударной ионизацией быстрыми электронами. Как показано в [3], зависимость вероятности ударной ионизации от энергии электрона может быть представлена в виде (высокочастотная диэлектрическая постоянна Хоо ~ 1)
Wi(e) = g0 ■ r0_1(£t) • -——,
( те4
до = То(£г)' п ) ' (38)
1оо .
где е,- - ширина запрещенной зоны, ть(£г) - время свободного пробега электрона при е = £,, Т0 = 0. Учитывая (38) и используя результаты работы [16], легко показать, что усредненная по функции распределения вероятность ударной ионизации электронами в щелочно-галоидных кристаллах определяется выражением
1¥(п (4/3)^^(4/3) дУ\те^ Л ' у/2 ■ тг2П3 ■ I ' г0(£.) • 1п2(4£1/^0)
Е\4/3
х
где
/ р1
Ы) (39)
Ъ{Е) = Щ ■ [1-\п'х0 + (1 + 1п4) • (Ьхо + 1 - " " Ьх,} ,
_ _ ЗЙшо _ £»•
0 е/о • ' ° е1оЕ ' 1 Кшо'
1 /9
т° (е'} = ПГ \2КГо) -Хо ] ЧV)
I-1 = _ у-1)
10 — 2^2 ^ОО АО )1
I - нормировочная постоянная функции распределения электронов, Хо - статическая диэлектрическая постоянная. Вероятность рекомбинации электронов определяется выражением
Л ' тг г '
где тГ - рекомбинационное время жизни электронов в условиях термодинамического равновесия. На основании (39) и (41) критерий электрического пробоя щелочно-галоидных кристаллов может быть представлен в виде:
УГ{{Ее) _ (4/3)1/3 • Г(4/3) д1/3-тг ( е,
X
\УТ{ЕС) ^ • 1п2(4£(/^0) Т0(£,)
Тт_ ( £« V
Л \huoJ
(42)
где Ес - критическое электрическое поле, при котором происходит электрический про бой кристалла. При проведении численных расчетов параметры Хо, Хоо, Лшо, £;, тг, входящие в критерий (42), а также экспериментальные значения Ес были взяты из независимых источников [10 - 14, 17]. Эффективная масса электронов рассматривалась нами в качестве единственного подгоночного параметра. Мы подбирали такие значения эффективной массы электронов, которые приводили бы к совпадению теоретических значений Ес, определяемых формулой (42), с экспериментальными (см. 4-ый столбец в таблице 3). Для сравнения в 5-ом столбце таблицы 3 приведены значения эффективных масс электронов, полученные С. И. Пекаром [11] из условия совпадения теоретических значений положения максимумов F-полос поглощения в щелочно-галоидных кристаллах с экспериментальными. Из таблицы 3 следует, что значения эффективных масс электронов, полученные двумя различными способами, практически совпадают. Такое совпадение можно считать подтверждением справедливости критерия (42).
Подчеркнем, что показатель экспоненты Т>(Ес,То) в (42) (он не зависит ни от до, ни от ту, практически не зависит от £,) является достаточно большой величиной (для всех щелочно-галоидных кристаллов он равен примерно 17), а потому оказывает решающее влияние на величину критического поля Ес\ изменение предэкспоненциаль-ного множителя в (42) на два порядка приводит к изменению Т>(Ес,То) (или Ес, или т) на 30%. Отсюда следует также, что температурная зависимость Ес может быть найдена из условия Т>(Ес,То) = const. Вычисленная таким образом температурная зависимость Ес для КВт практически линейна в интервале Т0 = 100 — 500 if, причем
Ее{ЖК)/Ее(№К) = 2.16 (теория), Яс(500 К)/Ее(Ж К) = 2.06 (эксперимент [18]).
Таков же характер температурной зависимости Ес и для других щелочно-галоидных кристаллов.
Итак, на примере ряда многодолинных анизотропных полупроводников (Се, 5г, СаАз) и диэлектриков с ионной связью (щелочно-галоидные кристаллы) показано, ч го построенная нами кинетическая теория ударной ионизации в твердых телах хорошо согласуется с экспериментом [см. таблицы 1 и 3].
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ч у е н к о в В. А. ФТП, 11, N 6, 1055 (1977).
[2] Ч у е н к о в В. А. ФТТ, 9, N 1, 48 (1967).
[3] К е л д ы ш Л. В. ЖЭТФ, 37, N 3, 713 (1959).
[4] К е л д ы ш Л. В. ЖЭТФ, 48, N 6, 1692 (1965).
[5] Ч у е н к о в В. А. ФТП, 4, N 5, 860 (1970).
[6] Ч у е н к о в В. А. ФТП, 4, N 9, 1667 (1970).
[7] Ш о т о в А. П. ЖТФ, 28, N 3, 437 (1958).
[8] Miller S. L. Phys. Rev., 105, N 4, 1246 (1957).
[9] В о р о б ь е в Л. Е., Данилов С. Н., Ивченко Е. Л., Левинштейн М. Е., Фирсов Д. А., Ш а л ы г и н В. А. Кинетические и оптические явления в сильных электрических полях в полупроводниках и наноструктурах. Санкт-Петербург, Наука, 2000, с. 102-109.
[10] 3 е й т ц Ф. Современная теория твердого тела. М.-Л., Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949, с. 323, 469-473.
[11] П е к а р С. И. Исследования по электронной теории кристаллов. М.-Л., Государ ственное издательство технико-теоретической литературы, 1951, с. 56, 209-211.
[12] Воробьев А. А. ЖТФ, 10, 1183 (1940).
[13] С а 1 1 е п Н. В. Phys. Rev., 76, 1394 (1949).
[14] М о т т Н., Г е р н и Р. Электронные процессы в ионных кристаллах. Л., Изд-во "Молодая гвардия", 1950 г.
[15] Landolt-Börnstein. Zahlenwerte und Funktionen aus Naturwissenschaften und Technik. Band 17, Halbleiter, p. 43 - 77, 87 - 119, 218 - 248, 310 - 342, Springer - Verlag Berlin. Heidelberg. New York, 1982.
[16] Чуенков В. А. ФТТ, 9, N 1, 48 (1967).
[17] Чуенков В. А. УФН, LIV, N 2, 185 (1954).
[18] Hippel А. and А 1 g е г R. S. Phys. Rev., 76, 127 (1949).
Поступила в редакцию 16 июня 2003 г.
