Преобразование частоты электромагнитного излучения в полупроводниках со сложной зонной структурой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.315.592; 537.311.322

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ СО СЛОЖНОЙ

ЗОННОЙ СТРУКТУРОЙ

В. А. Чуенков

Построена теория нелинейного преобразования частоты электромагнитного излучения в объемных однородных полупроводниках со сложной зонной структурой (Се, полупроводники АщВу)■ Показано, что в области высоких частот ш » т~1 (тр - время релаксации импульса электронов) узкозонные полупроводники с непараболической зависимостью энергии электронов от импульса являются наиболее эффективными преобразователями электромагнитного излучения. Вычислены мощность вторичного излучения (I - толщина полупроводниковой пластинки, ш = 4.37 ■ 1011 с-1 - частота падающего на полупроводник излучения) и коэффициенты преобразования по току К(3и>,ш) и по мощности Куу на тройной частоте в 1пБЬ при температуре Т0 — 77К. Теоретические значения И7^,, К(3ш,ш), Ку? хорошо согласуются с экспериментальными данными [2].

Нелинейные электромагнитные эффекты в системе свободных носителей тока в одно родных полупроводниках обусловлены зависимостью частоты соударений, концентрации, эффективной массы носителей тока от электрического поля. Последний из этих механизмов имеет место в полупроводниках с непараболической зависимостью энергии носителей зарядов (в дальнейшем для определенности будем говорить об электронах ) от импульса. Решение вопроса о доминирующей роли того или иного механизма пре образования частоты электромагнитного излучения не является очевидным. В общем случае этот вопрос требует специального рассмотрения.

В работе [1] построена теория электропроводности анизотропных многодолинных полупроводников в произвольно зависящем от времени электрическом поле, в частности, получены формулы (64) - (66), позволяющие при достаточно общих предположениях о законе дисперсии и механизмах рассеяния электронов вычислить как составляющие плотности электрического тока, меняющиеся с частотами падающих на полупроводник электромагнитных волн, так и составляющие плотности электрического тока, меняю щиеся с частотами, равными комбинации любых трех частот (или любых двух частот при наличии постоянного электрического поля), присутствующих в спектре действующего на полупроводник электромагнитного излучения, т.е. решить задачу о преобразо вании частоты электромагнитного излучения. Эффективность преобразования частоты электромагнитного излучения будем характеризовать коэффициентом преобразования по току

К^щ.) = Щ, (1)

представляющим собой отношение амплитуды стороннего тока j0(iZ>) на комбинированной частоте ш к амплитуде тока jo(u)n) на частоте сигнала шп. Вид этого отношения определяется законом дисперсии электронов, степенью вырождения электронного газа, соотношением между ш и шп, временами релаксации энергии те и импульса тр электро нов. Зависимость действующего на полупроводник переменного электрического поля E(i) может быть различной. Мы ограничимся важным для приложений случаем, когда

E(f) = Ei cos wji + E2coso;2i + E3cosu;3f. (2)

Одно из слагаемых в (2) может представлять собой постоянное электрическое поле Ео (например, и>3 = О, Е3 = Е0). Используя полученные в [1] общие результаты, рассмотрим ряд предельных случаев.

Полупроводники с непараболической зависимостью энергии электронов от импульса (халъкогениды свинца, полупроводники АщВу). Высокие частоты. Экстремумы четырех L-долин зоны проводимости халькогенидов свинца находятся в точках, расположенных на краю зоны Бриллюэна в направлениях [111]. Такова же структура валентной зоны халькогенидов свинца. В каждой из долин

\ т± А тц Д J

1/2

где р± и рц - поперечный и продольный импульсы, a mj_ и тц - поперечная и продоль ная массы электронов; Д - полуширина запрещенной зоны. Поверхности постоянной энергии, как следует из (3), являются эллипсоидами вращения с осями симметрии, направленными вдоль [111].

Здесь и ниже будем предполагать, что изотропные части функций распределения одинаковы во всех долинах. Это имеет место либо в произвольно ориентированных слабых электрических полях, либо в ориентированных в определенном направлении сильных электрических полях, когда условия разогревания электронного газа одина ковы во всех долинах. Последнее условие в халькогенидах свинца выполняется при Ei||Е2||Ез||[100]; оно обеспечивает максимальное значение коэффициента преобразования (Efc параллельны друг другу) и одинаковые условия разогревания электронного газа во всех долинах (Е^||[100]). Будем предполагать также, что выполняются неравенства: сOkTp » 1 (высокочастотные поля), е2 — А2 << А2 (слабая непараболичностъ закона дисперсии). При указанных выше предположениях коэффициент преобразован!¡я

К(= ^ ( — + — V Z0(Ek,uk), (4)

A Vmj. та)

Zq {Ek,Uk) =

El

п

E2sE^n

2 ш1ицЕп' EsEi

u)sui 1

Ш — 3un (n — 1,2,3);

ш = 2us ± (n,s,l=-1,2,3; 5 ф /); (5)

Co = us ± Ш1 ± шп (s, /, n = 1,2,3; n ф I, s ф I).

Анизотропия К(ш:соп) сравнительно мала. В оптимальном случае, когда тц/тх —► оо, в (4) появится численный множитель 5/4 при Еа;||[110] и множитель 4/3 при Е&||[111].

При тц = т± = т из (4) и (5) получим коэффициент преобразования для полупроводников АщВу, в Г-долине которых электроны обладают непараболическим изотропным законом дисперсии. В частности, при ш — Зи>п (утроение частоты) коэффициент преобразования равен в этом случае [см. (4), (5)]

При ш > V [и - частота столкновений электронов) для среднего по времени отноше ния токов на этих же частотах (экспериментально наблюдаемая величина) вместо (6 ) получим

____eh

К(3и>п,шп) = К(3шп,шп) ■ cos2unt = -— п——. (7)

4тД(и^ + и1)

Для образцов InSb n-типа [m = 0.013то, 2Д = 0.18э#, v = 3 • 10й с-1 при Т0 — 77 А (рассеяние на полярных оптических фононах), шп = 4.37 • 1011 с-1, Еп = 300 В/см] формула (7) дает К(3шп,шп) = 0.12. Эксперимент при тех значениях перечисленных выше величин и толщине пластинки I = 0.07 мм дает К(3шп,шп) — 0.10 [2]. Следовательно, в этом конкретном случае теория согласуется с экспериментом. В случае, когда ш пред ставляет собой комбинацию трех различных частот [см. (4), (5)], К(й>,ип) » 0.1-0.2 при Ек и 300 В/см, шк » 1012 с-1.

Полупроводники с параболической зависимостью энергии электронов от импульса. Высокие частоты. В случае, когда (германий, кремний)

нелинейные электромагнитные эффекты в электронном газе в полупроводниках обусловлены зависимостью частоты столкновений электронов от энергии и, следовательно, от электрического поля. Если поперечная и продольная компоненты тензора частоты столкновений

|(е)~е"г (9)

(такая зависимость имеет место практически для всех известных нам механизмов рас сеяния электронов), то коэффициент преобразования определяется выражением

К(й,шп) = е2|г(3 - 2г)| • (^Ио) + ММ) . . г0(Ек,Шк), (10)

где в данном случае

/о(е) - изотропная часть функции распределения электронов, То - температура решетки.

г0{Ек,и>к) =

30 «3' Е2яЕ1Шп

10 и*Ы1Еп\2ш.±Ш1\

ш - 2ш3 ± шг 3 Е3Е1 5 ± Ш[ ± шп\

ш = ш5 ± Ш1 ± ип

ш — Зшп (п — 1,2,3);

(п, 5, / = 1,2,3; 5 ф /); (з, /, п = 1,2,3; ге ф з, п ф /, 5 ф I).

(12)

При выводе (10) использованы формулы (64) - (66) из [1]. Величина V зависит от степени вырождения электронного газа; механизма рассеяния, определяющего частоту столкновений электронов; вида функции распределения электронов /о(е). При г — (электроны рассеиваются на акустических фононах) в случае вырожденного электронного газа

К(6шп,шп) — —— ---Ь —- • —,

15//0 \3 т± Зтц /

(13)

где цо - энергия Ферми.

Для невырожденного электронного газа в сильном электрическом поле, когда е »

То,

+ (14)

45-У/7Г \3 тпх Зтц ) \ Те

где электронная температура

1

Те = То + ^е2т0(Т0) • ( £

2 У±(Т0) , ^ц(Т0)'

Зтц

3 1712 , ,2 '

(15)

3 т±

а То(То) есть время релаксации энергии электронов [см. формулу (216) в [3]]. Отношение коэффициента преобразования (14) (германий; параболический закон дисперсии) к коэффициенту преобразования (6) (антимонид индия; непараболический закон дисперсии) равно

V

16 т Д ¡То

135\/л" т± Т°\ 1те

\-1

(16)

при т = 0.013то, т± = 0.082тО; Д = 0.09 эВ, Т0 = 77 К, Те = 4Г0. При рассеянии электронов на нейтральных (г = 0) или заряженных (г « 3/2) примесных центрах V —► 0.

Следовательно, узкозонные полупроводники с непараболическим законом дисперсии для электронов (7п56, НдТе и другие) при иптр >> 1 (высокие частоты) являются более эффективными преобразователями частоты электромагнитного излучения, чем полу проводники с параболическим законом дисперсии для электронов. Этот вывод остается в силе и в том случае, когда ш представляет собой комбинацию двух или трех различ ных частот. Соответствующие выражения для коэффициента преобразования в этом случае легко получить с помощью формул (4), (5), (10), (12).

На основании работы [1] можно показать, что в области промежуточных частот, когда т~х « ш « Тр"1, непараболичность закона дисперсии и зависимость частоты столкновений электронов от энергии оказывают одинаковое, по порядку величины, влияние на коэффициент преобразования К(а>, о;п). В этом случае в германии при Г0 = 30 К. ип и Ю10 с-1, Еп = 36 В/см коэффициент преобразования К(Ъшп,шп) к 0.4.

Пусть на полупроводник действует электрическое поле

Е(*) = Ео + Е1С08Ш1* +Басова**. (17)

Предположим, что

Ео,Ех » Е2,шкт » 1,|а/1 - ш2\ - ш2\т, << 1. (18)

Условия (18) могут быть реализованы в следующем эксперименте. Сильная электромагнитная волна с частотой и амплитудой Е\ направляется на движущийся с большой скоростью объект. Отраженная от объекта волна возвращается к месту ее регистрации; с частотой о>а (частота незначительно меняется вследствие эффекта Допплера, так что |о>1 — 1/^2 ~ Ю-5) и с сильно уменьшенной амплитудой Е2 « Ег,Е0. На приемное устройство будут действовать сильная электромагнитная волна с амплитудой Е\, отраженная волна с амплитудой Е2 и постоянное электрическое поле Е0. Уравнение движения частицы с зарядом е в поле (17) имеет вид:

= еЕ0 + еЕх соьш^ + еЕ2 сова** — —. (19)

<а тр

При Е^ЦЕзЦЕо оно имеет решение

л етрЕ\ , . .

р(*) = еЕ0тр + т——^(сова;!*+ а;1Трвта**)+ 1 + шх тр

етрЕ2 1 + ^2Тр

При [см. (3)]

(сое + ш2Тр вт ш^). (20)

ток (непараболичность считаем слабой)

где А^о - концентрация электронов. Подставляя (20) в (22) и усредняя полученное выражение для тока по промежутку времени << АЬ << 1/1^! — ш2|, получим (ых ¡=а и>2 = ш)

»>" ^ ~ ' И Ф +■ ^ +

+ ЗА0А1А2 • [(1 + и>2тр2) 003(0;! ~ о*)* + (и>1 - ш2)тр ■ шп(ы1 - ш2)г]} ;

етрЕ1 еТрЕ2

А0 = еТрЕо, Ах = , 9 ,, ^2 =

Как следует из (23), амплитуды тока на частоте —ш2 и на частоте отраженной волны определяются соответственно выражениями

зе^адад

лН-<*)=2теЯД(1+^т2)' (24)

. 3 е*т?М0Е0Щ

(25)

Измеряя ток на частоте 0)1 —и;2 и разносл ь частот Да; = и>х — и;2, можно определить абсолютную величину и направление скорости объекта, а по времени прихода отраженной волны и расстояние до него. Можно, конечно, получить те же сведения путем измерения тока на частоте отраженной волны. Но этот ток, как показывает отношение

]о(ш2) _ Е2 п—8

]0{и>1 - и2) 2Ех

на восемь порядков меньше тока на разностной частоте — со2-

Вычисление амплитуд вторичных волн. Коэффициент преобразования электромагнитного излучения по мощности. Предположим, что электрические поля

Е;СМ) = Е° ехр[г(и;пг - кпг)], кп = ^ (п = 1,2,3),

составляющие нормально падающий на полупроводник вдоль оси г электромагнитный сигнал, параллельны друг другу. Под действием этих полей в полупроводнике, обладающем нелинейными свойствами, возникают, как сказано выше и показано в [1], вторичные токи на комбинированных частотах

3% (г, 0 = а(ш) Еа(г, *) + за(г, ¿), (26)

где первое слагаемое в правой части есть линейная по полю часть тока проводимоо и свободных зарядов на комбинированной частоте си — шп ± ш3 ± иц (п, з, I = 1,2,3);

Ев(г,0 = Е а(г)е** (27)

- электрическое поле вторичной волны;

Ь0М)=Ьехр [г'И-Ь)] (28)

- нелинейная по полю часть тока проводимости свободных зарядов на частоте ш,

к = кп±к8± к„ К = —-^х^п), Зй, ~ Еп- Е3 • Еи (29)

х(^п) - диэлектрическая постоянная полупроводника на частоте шп, Еп - амплитуды электрических полей на частотах ип в полупроводнике (в отличие от амплитуд в пустоте).

Амплитуда вторичной волны, распространяющейся вдоль оси г, может быть

найдена из уравнения

сРЕЛг) ,_чи>2„ , ч 47гга>. г

—¿Г1 + хЧ^(г) = —зв • е (30)

где

4:7Г1

х(й>) = Хо(^)--—[Яеа(й}) - Ита(ш)} (31)

и

- полная диэлектрическая постоянная, в которой учтена линейная по полю часть тока проводимости свободных зарядов; Н.еа(ш) и 1тсг(ш) - соответственно действительная и мнимая части электропроводности системы свободных зарядов; Хо(^>) - диэлектрическая постоянная системы связанных зарядов. Заметим, что в рассматриваемом нами случае (все электрические поля параллельны друг другу) ток ¿) является чисто поперечным. Уравнение (30) является линейным, поскольку поле Е^(г), как показывают оценки, является достаточно слабым, т.е. не влияет на величину сг(й>) и Правая

часть уравнения (30) является, как сказано выше и показано в [1], известной функцией полей Еп внутри полупроводника.

Поля Еп(г) могут быть найдены из уравнения

Если поля Еп достаточно велики (оказывают влияние на величину электропроводности сг(и>п) и на величину х(и;п)), то они должны определяться, строго говоря, путем реше ния самосогласованной задачи [сильные электрические поля изменяют сг(шп), которая, в свою очередь, через х{.ип) влияет на величину полей Еп в полупроводнике (см. (31))]. Мы ограничимся рассмотрением случаев, когда х{шп) в (32) слабо изменяется по сравнению с изменением Е„(г). Заметим также, что для подавляющего числа полупроводников \о практически не зависит от частоты вплоть дошй 1013с-1.

Рассмотрим пример, имеющий непосредственное отношение к эксперименту [2]. Б\ дем предполагать, что полупроводник представляет собой пластинку толщиной /. Предположим также, что электромагнитный сигнал падает нормально к поверхности пла стинки, а составляющие его поля параллельны друг другу. При этих предположения:; решение уравнения (30) может быть представлено в виде:

¿2Еп(г) , Л

(32)

Еа(г) = Е%е'к> (г < 0),

Е0(г) = Е'-е~гкаг + Е^е'^2 + Еге"'Ъ + Е+е'Ъ (0 < г < I),

(33)

Ев(г) = Е^е

I „-«£*

(г > /),

где

. _ e*N0E± • Et2 • Е±

Jui

2т2Д(ш2 + г/2)3/2 '

Формула (35) получена для закона дисперсии (21) с помощью формул работы [1]. Поля Е^ находятся из решения уравнения (32):

(35)

Еш(г) = E^e~ik°z + Е'ше'к°г (z < 0),

Еш(г) = E~e~ih"z + Е+е'*"2 (0 < z < /),

+ 0iku,z

(36)

Е„(г) = Eie~ik°z (г > l).

Под ш в (36) подразумевается любая из частот шп.

Сшивая функции (33) и их первые производные при z = 0 и z = /, мы выразим амплитуду прошедшей через пластинку волны Ej- на комбинированной частоте ш через амплитуды Е£, Е~ и волновые векторы кШ1 к:

к,т> \ к к.

4 ('+á)+

к°

■ш e~i(k+ka)l_

(37)

-l1 + í

кш\ к + кш

м

(к-ка)1

+

+Е+-

оЬ. (л -+ (\ л. к ~ к»си~к+ка)1

к?Л к°г\1 + к° ко

i _ к Цк-кд,)1

V=(l-h) e~ik*1 - [ 1 + к

ш 1 „>к,¿I

ч *8У V *8/

Сшивая, в свою очередь, функции (36) и их первые производные при г = 0 и г — /, мы выразим амплитуды Ец~ и, следовательно, амплитуду Е1^ через амплитуды падающих на полупроводник электромагнитных волн Е° и волновые векторы кш, к^ После этого задачу можно считать решенной.

В качестве примера снова рассмотрим пластинку толщиной / = 7 • 10" ! см, на

поверхность которой падает электромагнитная волна с частотой ш — 4.37 • 10й с-1. Физические параметры образца: т = 0.013то, 2Д = 0.18эВ, хо — 17, А^о = 8.7 • 101Л см~ частота столкновений электронов в отсутствие электрического поля при То = 77 А равна V = 1.65 • 1011 с-1. Вычислим амплитуду вторичной волны с частотой ш = За; = 1.31 • 1012с-1. Будем предполагать при этом, что частота столкновений электронов и и плазменная частота шр связаны с действительными и мнимыми частями волновых векторов электромагнитных волн соотношениями, характерными для однородного по лупроводника [см. (29), (31)]:

% = = = -№) - ^ • п"(о)], (38)

с с 1 с

п'(ш) и п' (ш) - соответственно действительная и мнимая части показателя преломления, определяемые выражениями

П'Н.П'НЛ^-^-,, (39)

2 47ге2ЛГ0

и —--—,

т*х о

где т' - зависящая от средней энергии и, следовательно, от электрического поля эф фективная масса электронов (в отличие от эффективной массы т у дна зоны проводимости).

Проделав с помощью перечисленных выше формул сравнительно простые, но гро моздкие вычисления, получим:

|2

5

мощность прошедшего через пластинку вторичного излучения на частоте Зи равна

^1 = 2.34 -Ю-^Е-^Вт-см-2 (Е^вВ/см), (40)

где \Е~\2 - квадрат напряженности среднего по образцу электрического поля. В эксперт менте падающая на образец мощность излучения (площадь образца 5 = 1.4-10-2 см2) па частоте си = 4.37 ■ 1011 с-1 равнялась 130 Вт (9.3 • 103 Вт/см2), а поглощенная в образце

мощность излучения на той же частоте составляла 30 Вт (2.14 • 10,? Вт/см2), что со ответствует \Е~\2 = 105 В2/см2. Подставляя \Е~\2 в (40), получим = 2.34 Вт/см2, • 5 = 33 мВт [эксперимент [2] дает ■ 5 = 30 мВт]. Коэффициент преобразования излучения по мощности при тех же условиях равен Ку? ~ 10_3. Согласие теории с экспериментом можно считать вполне удовлетворительным.

Выводы. 1. Теоретически показано, что в области высоких частот (и;тр >> 1, где тр - время релаксации импульса электронов) узкозонные полупроводники с непараболиче ской зависимостью энергии электронов от импульса (¡пБЬ, НдТе и другие) являются более эффективными преобразователями электромагнитного излучения, чем полупроводники с параболической зависимостью энергии электронов от импульса. В полупроводниках с параболической зависимостью е(р) коэффициент преобразования по току К{ш,и)п) в области высоких частот в штр раз меньше, а мощность вторичного излучения IV- на комбинированной частоте и и коэффициент преобразования по мощности Кщ в (штр)2 раз меньше, чем в узкозонных полупроводниках с непараболическим законом дисперсии.

2. В области промежуточных частот (т~г << ш « т~1, те - время релаксации энергии электронов) эффективность преобразования электромагнитного излучения и в тех, и в других перечисленных выше полупроводниках примерно одинакова.

3. Теоретические значения мощности вторичного излучения и коэффициентов преобразования по току и по мощности на тройной частоте в ГпБЬ совпадают с экспери ментальными значениями, полученными в [2].

ЛИТЕРАТУРА

[1] Ч у е н к о в В. А. ФТП, 6, N 8, 1413 (1972).

[2] Б е л я н ц е в А. М., Г е н к и н В. Н., К о з л о в В. А., П и с к а р е в В. И. ЖЭТФ, 59, N 3(9), 654 (1970).

[3] Ч у е н к о в В. А. Труды ФИАН, 80, 174 (1975).

Поступила в редакцию 20 июня 2003 г.