CC BY
34
выше порядок уравнения, тем сложнее процесс решения). Второй метод (с помощью преобразования Лапласа) практически не изменится в плане трудоемкости. Также значительная разница между этими методами наблюдается в процессе решения систем линейных неоднородных дифференциальных уравнений, что имеет большую практическую значимость и увеличивает ценность второго метода.
Кроме того, как было отмечено раньше, применение первого метода требует владения большим количеством теоретического материала и учета множества мелких деталей, в то время как для применения второго метода достаточно знания таблицы соответствия и основных теорем со свойствами изображений и оригиналов.
Помимо универсальности и меньшей трудоемкости применения операционного метода у него есть и другие преимущества. Например, можно найти не только частное, но и общее решение уравнения, для этого достаточно вместо данных значений начальных условий у0,у'0,...,у(0"~1} подставить произвольные постоянные С1, С2,..., Сп. Кроме того, данный метод можно применять для неоднородных уравнений с большим многообразием в правой части уравнения кусочно-непрерывных функций и функций, заданных графически, а еще для решения уравнений не только с постоянными, но и с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных (данный курс изучается бакалаврами в 8 семестре и также может содержать описание применения операционного исчисления к решению данных уравнений), интегральных и интегро-дифференциальных уравнений [2]. Таким образом, диапазон применения данного подхода очень широк, что является его несомненным преимуществом перед другими методами.
Все вышеперечисленные преимущества метода, основанного на преобразовании Лапласа, говорят о том, что данному методу необходимо уделять повышенное внимание в процессе обучения бакалавров и тщательно его прорабатывать, чтобы в дальнейшем студенты с легкостью могли применять его на практике.
ЛИТЕРАТУРА
1. Плескунов, М.А. Операционное исчисление: учебное пособие. - Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2014. - 143 с.
2. Operate_Method /Электронный ресурс/ Режим доступа
https://math-it.petrsu.ru/users/semenova/MathECO/Lections/Math_basic/Operate_Method.pdf
М.Г. Макарченко, Н.Я. Терновская
ОСОБЕННОСТИ ТЕКСТОВ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ТЕОРЕМ В УЧЕБНИКАХ ГЕОМЕТРИИ 7 КЛАССА (Л.С. АТАНАСЯН И ДР., А.Г. МЕРЗЛЯК И ДР., И.М. СМИРНОВА И ДР.) И ВОЗМОЖНОСТИ ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
Аннотация. Статья посвящена актуальности изучения особенностей теорем и их доказательств в школьных учебниках геометрии. Содержание школьных учебников геометрии приблизительно одинаковое, поэтому учителю принципиально важно понимать различия в представлении этих фактов в различных учебниках. В статье также представлены основные особенности теорем и их доказательств в школьных учебниках геометрии. Рассмотрены основные характеристики идей доказательств теорем, а также использование этих особенностей на уроках геометрии.
Ключевые слова: теорема, доказательство теоремы, математический факт, идея доказательства теоремы, логико-математический анализ идей доказательств теорем, банк идей доказательств теорем.
M.G. Makarchenko, N.Y. Ternovskaya
FEATURES OF TEXTS OF PROOFS OF THEOREMS IN GEOMETRY TEXTBOOKS 7 TH GRADE (L.S. ATANASYAN ET AL., A.G. MERZLYAK ET AL., I.M. SMIRNOVA ET AL.) AND
THE POSSIBILITIES OF THEIR USE
Abstract. The article is devoted to the relevance of studying the features of theorems and their proofs in school textbooks of geometry. The content of school textbooks of geometry is approximately the same, so it is fundamentally important for the teacher to understand the differences in the presentation of these facts in different textbooks. The article also presents the main features of theorems and their proofs in school textbooks of geometry. The main characteristics of the ideas of proofs of theorems are considered, as well as the use of these features in geometry lessons.
Keywords: theorem, proof of theorem, mathematical fact, idea of proof of theorem, logical-mathematical analysis of ideas of proofs of theorems, bank of ideas of proofs of theorems.
Существует множество школьных учебников геометрии, которые состоят из различных текстов. К текстам, содержащимся в учебниках геометрии, относятся тексты задач, тексты понятий, тексты теорем и их доказательств. Математическое содержание всех учебников геометрии примерно одинаковое, отличия заключаются в том, как автор излагает весь материал. Следовательно, необходимо исследовать особенности текстов, содержащихся в школьных учебниках геометрии, в том числе текстов теорем и их доказательств, а также возможности использования этих особенностей на уроках.
В качестве исследуемых учебников геометрии были взяты учебники 7 класса Л.С. Атанасяна, А.Г. Мерзляка и И.М. Смирновой. Эти учебники были выбраны потому, что они являются одними из наиболее широко используемых в современных школах. В них исследовались особенности текстов доказательств теорем.
Общее понятие текста и его виды приведены в учебно-методическом комплексе Г.А. Камлевича. Автор считает, что текст - это «некоторое упорядоченное множество предложений, объединенных различными типами лексической, логической и грамматической связи, способное передавать определенным образом организованную и направленную информацию» [2, с. 24].
Из приведенного определения текста следует, что для понимания информации текста необходимо обеспечить соответствие его внешней и внутренней структуры, их единство и взаимосвязь.
Перейдем к рассмотрению понятий теоремы и доказательства. Согласно А.А. Столяра доказательством теоремы называют некоторую упорядоченную цепочку высказываний или предложений, которая принадлежит определенной теории и удовлетворяет следующим двум условиям. Во-первых, любое предложение доказательства является либо условием доказанной теоремы, либо аксиомой, либо оно может быть выведено из предыдущих высказываний по ранее установленным допустимым правилам. Во-вторых, последнее из предложений последовательности и является выводом этой теоремы. Теоремой является такое предложение, для которого существует хотя бы одна последовательность высказываний, которые при этом удовлетворяли бы двум названным выше условиям [7].
Доказательство в школьных учебниках геометрии строится синтетическим методом, то есть от «данных» к «искомым». Чтобы понять логику этого построения необходимо идти от «искомого». А затем выстроить рассуждение в соответствии с текстом учебника [4].
Теоремы и доказательства могут подразделяться на виды по различным основаниям. М.Г. Макарченко выделяет виды теорем в зависимости от объема понятий, используемых в формулировке, от роли теоремы в раскрытии понятия, а также от типа логических союзов. Все теоремы имеют определенную внешнюю и внутреннюю структуру [3].
Текст теоремы и ее доказательства в школьных учебниках представлен следующей внешней структурой:
- формулировкой теоремы,
- вводным предложением,
- текстом рассуждения,
- предложением вывода [3].
Эта внешняя структура соответствует рассуждениям, проводимым от «данных» к «искомым», то есть синтезом. Внутренняя структура теоремы представляет собой тезис, в роли которого выступает формулировка. Данный тезис необходимо аргументировать и продемонстрировать ученикам. Внутренняя структура доказательства говорит о том, что необходимо выявить логику проводимого рассуждения, которая ведется от «искомых» к «данным». Как видим, не соответствие внешней и внутренней структуры доказательства как рассуждения и как текста учителю необходимо устранить.
Если в тексте доказательства взять отдельное утверждение, то его внешняя структура предполагает выделение тезиса (то, что утверждается), аргументов и демонстрации некоторым математическим фактом. Внутренняя структура говорит о том, что внешняя структура должна продемонстрировать применение математического факта.
Если сделать краткую запись доказательства, то она будет разбита на логические шаги, которые и будут являться ее внешней структурой. Каждый логический шаг основывается на математическом факте. Один из этих фактов является кульминацией, он выводит на то, что требуется доказать. Этот факт собирает все шаги доказательства в единое целое, он представляет основную мысль доказательства, и называется его идеей.
Выделение идей, их формулировок и особенностей и было результатом исследования.
Идея доказательства теоремы рассматривается не только как главная мысль, но и как способ действия, его основа. С этой позиции идея характеризуется опорой на некоторый теоретический факт, а также локальным или глобальным направлением хода мысли. В одной теореме может содержаться как одна, так и несколько видов идей. Рассмотрим теорему, состоящую из нескольких видов идей.
Рассмотрим теорему «первый признак параллельности прямых».
Формулировка теоремы: «Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны» [5, с. 88].
Теория позволяет выделить в ее доказательстве три вида идей:
1. Логическая идея основывается на том, что все доказательство теоремы построено на методе полной индукции. То есть автор рассматривает два случая: когда накрест лежащие углы равны и равны 90° и когда накрест лежащие углы равны и не равны 90°. Автор доказывает справедливость первого случая, а затем сводит второй случай к первому. В первом случае рассматриваются прямые, которые перпендикулярны их секущей, во втором случае идея интегрирует в себе предметную, логическую и теоретико-множественные идеи.
2. Теоретико-множественная идея состоит в следующем: строятся перпендикуляры к каждой прямой из точки, а затем доказывается, что данная точка и точки оснований перпендикуляров лежат на одной прямой.
3. Предметная идея, на которой основывается доказательство теоремы, включает в себя математический факт: две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.
Примером теоремы, содержащей в себе одну единственную идею, может стать теорема «первый признак равенства треугольников». Формулировка теоремы: «Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны» [1, с. 30].
Во всех трех учебниках доказательство представлено одинаковым образом. Треугольники накладываются друг на друга таким образом, чтобы равные вершины совместились между собой, а прилегающие к равной вершине две равные стороны одного треугольника совместились соответственно с равными сторонами другого треугольника. Далее путем рассуждений устанавливается то, что при подобном наложении оставшиеся элементы треугольников также наложатся друг на друга. В итоге две фигуры совместятся, что означает, что они равны.
Как мы можем видеть, в одной теореме могут встречаться одна или несколько идей. Чтобы организовать изучение той или иной теоремы необходимо понять, где какая идея работает, а для этого провести логико-математический анализ, чтобы выделить идеи.
Логико-математический анализ идей доказательств теорем основывается на четырех основных этапах. На первом этапе логико-математического анализа теорем выявляется прообраз идеи доказательства теоремы, который заключен в одном из последних предложений доказательства, прообраз соотносится с некоторым математическим фактом.
Затем дается формулировка теоремы, и устанавливаются ее видовые особенности. Если удается соотнести идею и математический факт, ранее прописанный в тексте учебника, то в теореме заложена предметная идея. В том случае, если идея не соотносится с таким математическим фактом, можно говорить о том, что доказательство теоремы основывается на логической или теоретико-множественной идее. Последний этап предполагает построение плана реализации идеи [3, с. 181186].
Таблица 1.
Логико-математический анализа теоремы «Первый признак равенства треугольников»
Формулировка теоремы: «Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум
сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны» [6, с. 42].
Текст доказательства Прообраз идеи Математи ческий факт Формули ровка идеи План доказательства
Учебник геомет рии 7 класс под руководством А.Г. Мерзляка
«Рассмотрим треугольники ABC и «Следова «Два Чтобы 1. Наложить соответственные
A1B1C1, у которых АВ = AÍBÍ и ВС = тельно, треугольн доказать и равные по условию
В1С1, углы B и B1 равны. треугольн ика равенство элементы треугольников.
ики называютс треугольн 2. Объяснить наложение
В/\ Bl/X совместят я иков, остальных элементов
/\ /\ ся...» [5, равными, достаточн треугольников.
Л \ Л X с.53] если их о 3. Сделать вывод о равенстве
/ \ / \ можно совместит треугольников.
а/ \с Al / \Ci совместит ь наложени ем» [5, ь наложени ем их элементы,
Наложим треугольники друг на друга с.47]. т. е.
так,чтобы луч BA совместился с лучом представи
B1A1, а луч BC совместился с лучом B1C1. ть в
Это можно сделать, так как по условию развернут
углы B и B1 равны. Поскольку по ом виде
условию АВ = AÍBÍ, ВС = В1С1, то при процесс
таком наложении сторона BA наложени
совместится со стороной B1A1, а сторона я по
BC - со стороной B1C1. Следовательно, элементам
треугольники совместятся, значит, они
равны» [5, с.53].
Источник: учебник геометрии под руководством А.Г. Мерзляка [5].
В учебниках геометрии 7 класса изучается множество теорем, содержание теорем в учебниках примерно одинаковое. Различия заключаются в том, как автор представляет те или иные теоремы, как он хочет, чтобы ученики их воспринимали. Чтобы понять, в чем заключаются особенности представления теорем в учебнике, необходимо провести сравнительный анализ теоремы, представленной в разных учебниках.
Таблица 2.
Сравнительный анализ теоремы «первый признак параллельности прямых»
Формулировка теоремы: «Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны» [5, с. 88]
Текст доказательства
Прообра з идеи
Математич еский факт
Формулиров ка идеи
План доказательства
Учебник геометрии 7 класс под руководством А.Г. Мерзляка
«На рисунке прямая с является «Если «Две Чтобы 1. Рассмотреть два случая: когда
секущей прямых а и Ь, ¿1 = ¿2. ¿1 = прямые, доказать, что прямые перпендикулярны третьей
Докажем, что а Ь ¿2 = перпендику прямые прямой и не перпендикулярны
Если ¿1 = ¿2 = 90°, то 90°, то лярные параллельны, третьей прямой.
параллельность прямых a и Ь параллел третьей достаточно 2. Рассмотреть отдельно случай,
следует из теоремы 13.1. ьность прямой, рассмотреть когда прямые перпендикулярны
прямых параллельн два случая: третьей прямой.
а с а и Ь ы» [5, с. 84] когда они 3. Сделать вывод о параллельности
следует перпендикуля прямых в первом случае.
п2 из рны третьей 4. Рассмотреть случай, когда прямые
Ь теоремы прямой и не не перпендикулярны третьей прямой.
13.1» перпендикуля 5. Свести второй случай к первому
Пусть теперь прямая с не «Отсюда рны третьей дополнительными построениями.
перпендикулярна ни прямой а, ни ¿АЕМ = прямой и 6. Сделать вывод о параллельности
прямой Ь соответственно. А и В - ¿МРВ = доказать их прямых во втором случае.
точки пересечения прямой с с 90°» [5, параллельнос ть в обоих
прямыми а и Ь соответственно. с.88]
Отметим точку М - середину случаях.
отрезка АВ. Через точку М Чтобы
проведем перпендикуляр МЕ к доказать, что
прямой а. Пусть прямая МЕ прямые
пересекает прямую Ь в точке F. параллельны,
Имеем: углы 1 и 2 равны по достаточно
условию, углы 3 и 4 равны как показать, что
вертикальные. Следовательно, они
треугольники АМЕ и ВМБ равны перпендикуля
по второму признаку равенства рны третьей
треугольников. Отсюда ¿АЕМ = прямой.
¿МРВ = 90°. Мы показали, что Чтобы
прямые а и Ь перпендикулярны показать, что
прямой EF, значит, они два угла
паралелльны» [5, с. 88] равны,
достаточно
Е с/ , А/п » показать, что
1_ м они лежат в равных
~1 Ъ треугольника
/в ' Р х против
соответствен
но равных
сторон.
Учебник геометрии 7-9 классы под руководством Л.С. Атанасяна
«Пусть при пересечении прямых а и Ь секущей АВ накрест лежащие углы равны: ¿1 = ¿2.
а А
1 L h В I2
Докажем, что а\\Ь. Если углы 1 и 2 прямые, то прямые а и Ь перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.
Hl
Из
середины O отрезка AB проведем перпендикуляр OH к прямой а. На прямой b от точки B отложим отрезок BHi. Треугольники OHA и OHiB равны по двум сторонам и углу между ними (AO=OB, AH=BHi, ¿1 = ¿2), поэтому ¿3 = ¿4 и ¿5 = ¿6. Из равенства ¿3 = ¿4 следует, что точка H1 лежит на продолжении луча OH, т. е. точки H, O и Hj лежат на одной прямой, а из равенства ¿5 = ¿6 следует, что угол 6 - прямой (так как угол 5 -прямой). Итак, прямые a и b перпендикулярны к прямой НЩ, поэтому они параллельны» [1, с. 55]
«Если «Три точки Чтобы 1. Рассмотреть два случая: накрест
углы 1 и лежат на доказать, что лежащие углы равны и равны 90° и
2 одной прямые накрест лежащие углы равны и не
равны... прямой, параллельны, равны 90°.
» если одна из достаточно 2. Рассмотреть первый случай:
«углы 1 этих точек рассмотреть накрест лежащие углы равны и равны
и 2 не является два случая: 90°.
прямые» вершиной когда они 3. Сделать вывод о параллельности
«.т. е. развернутог перпендикуля прямых в первом случае.
точки Н, о угла, а две рны третьей 4. Рассмотреть второй случай:
О и Н1 другие прямой и не накрест лежащие углы равны и не
лежат на лежат на его перпендикуля равны 90°.
одной сторонах». рны третьей 5. Свести второй случай к первому
прямой» «Две прямой и дополнительными построениями.
«Итак, прямые, доказать их 6. Сделать вывод о параллельности
прямые а перпендику параллельнос прямых во втором случае.
и Ь лярные к ть в обоих
перпенд третьей, не случаях.
икулярн пересекают Чтобы
ы к ся» [1, с. доказать, что
прямой 23]. прямые
НН1...» параллельны,
[1,с. 56] достаточно
показать, что
они
перпендикуля
рны третьей
прямой.
Чтобы
показать, что
три точки
лежат на
одной
прямой,
достаточно
показать, что
они
составляют
развернутый
угол.
Учебник геометрии 7 класс под руководством И.М. Смирновой
«Пусть прямые a и b пересекаются прямой c в точках A и B соответственно и образуют равные внутренние накрест лежащие углы. Предположим, что прямые a и b не параллельны. Тогда они пересекутся в некоторой точке C. Для треугольника ABC угол 5 является внешним и, следовательно, должен быть больше внутреннего угла 3, что противоречит условию равенства этих углов. Значит, прямые a и b не могут пересекаться, т. е. они параллельны». а А/с / / / / / b В/3 «Прямы е a и b не могут пересека ться...» [27, с. 117] «Внешний угол треугольни ка равен сумме двух внутренних, не смежного с ним» [27, с. 57] Чтобы показать, что прямые параллельны, достаточно предположит ь противное и доказать, что это противоречит ранее введенному в учебнике математическ ому факту. 1. Предположить, что прямые не параллельны, то есть они пересекаются. 2. Изучить углы треугольника, назвать их, связывая с данными теоремы. 3. Померить углами внешний угол треугольника и сформулировать вывод о сравнении. 4. Получить противоречие и сделать вывод о параллельности прямых.
Идеи доказательств теорем могут применяться в теоретической и практической деятельности учителя и учеников. Теоретические возможности использования предполагают создание банка идей доказательств теорем. Практические возможности использования представлены эвристической беседой, использованием проблемного метода обучения, решением задач и построением изложения учителя от идеи [3, с. 179-181].
Составление «банка идей» необходимо для систематизации и обобщения доказательств теорем. Банк идей фиксирует используемые в доказательстве идеи, что важно, так как идеи не прописаны в учебнике в явном виде.
Банк идей представляет собой три столбца, на первых порах ученику необходимы два последних столбца, в которых содержатся формулировки теорем и математические факты, на которых основываются идеи доказательств теорем. По мере изучения теорем и выделения в них идей, ученикам необходимо знать формулировки идей.
Одним из способов практического применения идей доказательств теорем является построение изложения учителя от идеи. Учитель строит доказательство теоремы, двигаясь в своих рассуждениях от «искомых» к «данным», что позволяет выявить логику рассуждения.
Таблица 3.
Применение идеи доказательства теоремы для построения изложения «от идеи».
Идея доказательства теоремы План доказательства теоремы Доказательство теоремы
Чтобы показать, что два угла равны, достаточно выразить их величины (градусные меры) одинаковым образом. 1. Выразить угол 1; 2. Выразить угол 2; 3. Сравнить их величины (градусные меры); 4. Сделать вывод о равенстве углов. «На рисунке углы 1, 2 и 3 - внешние углы треугольника ABC. Надо доказать, что ¿1=¿5+¿6, ¿2=¿4+¿6, ¿3=¿4+¿5. Докажем, например, первое из этих трех равенств (остальные равенства доказывают аналогично) По свойству смежных углов Z.1+Z.4=180°. По теореме о сумме углов треугольника ¿4+¿5+¿6=180°. Тогда ¿1+¿4=¿4+¿5+¿6, отсюда Z.1=Z.5+Z.6» [1, с. 103]
то есть вопросно-ответной методики, позволяющей направить учащихся на самостоятельный поиск знаний. Сущность использования проблемного метода состоит в постановке учителем проблемного вопроса, ответы на который ищут ученики. Обучающиеся высказывают гипотезы, связанные с идеей, которые учитель собирает и с помощью вопросов втягивает их в обсуждение. Еще одним немаловажным способом применения идей доказательств теорем является использование их при решении различных геометрических задач.
Таким образом, в процессе выполнения работы были рассмотрены три учебника геометрии за 7 класс под руководством авторов Л.С. Атанасяна, А.Г. Мерзляка и И.М. Смирновой. В учебнике под руководством И.М. Смирновой исследовано 68 теорем, в учебнике под руководством А.Г. Мерзляка - 54 теоремы, учебник под руководством Л.С. Атанасяна содержит 34 теоремы.
Во всех теоремах учебников доказательство ведется синтетическим методом. В учебнике представлены прямые и косвенные доказательства. Большая часть доказательств - прямые, косвенных намного меньше (В учебнике Мерзляка - 10, Атанасяна - 9, Смирновой - 6). Косвенные доказательства чаще всего представлены методом «от противного» или разделительным доказательством.
Говоря об идеях доказательства теорем, можно отметить то, что в учебниках геометрии они не представлены в явном виде. В учебниках содержится большое количество предметных идей, идеи логические, теоретико-множественные и метрические чаще всего представлены в тех теоремах, которые объединяют несколько идей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Атанасян, Л.С. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] - 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с.: ил.
2. Камлевич, Г.А. Учебно-методический комплекс по учебной дисциплине «Коммуникативная лингвистика и текстология». - Уфа: БГПУ, 2019. - 103 с.
3. Макарченко, М.Г. Задачи, определения и теоремы как понятия методики обучения математике. Учебное пособие. / В авторской редакции - Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. инс-та, 2004. - 224 с.
4. Макарченко, М.Г. Методическая составляющая контекстного обучения будущих учителей математики. - Таганрог: ИП Кравцов В.А., типография «Танаис», 2009. - 296 с.
5. Мерзляк, А.Г. Геометрия: 7 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. - М.: Вентана-Граф, 2015. - 192 с.: ил.
6. Смирнова, И.М. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов -М.: Мнемозина, 2007. - 376 с.
7. Столяр, А.А. Педагогика математики. Курс лекций. Минск, 1969. - 368 с.
В.Г. Михайличенко, И.В. Яковенко
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИДАКТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ ТЕМЕ
«ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ»
Аннотация. В статье рассматривается вопрос использования дидактических материалов при обучении математике в средней школе, в частности, на примере обучения теме «Обыкновенные дроби». Приведен анализ содержания основных школьных учебников по указанной теме. Подробно представлены примеры разработанных авторами статьи заданий для учащихся 6 классов, апробированные в ходе практической работы учителем.
73
