Идея доказательства теоремы как составляющая профессионального контекста будущего учителя математики Текст научной статьи по специальности «СМИ (медиа) и массовые коммуникации»

УДК 378.147

МАКАРЧЕНКО Михаил Геннадиевич, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа Таганрогского государственного педагогического института. Автор 78 научных публикаций

ПОДХОДОВА Наталья Семеновна, доктор педагогических наук, профессор кафедры методики обучения математике анализа Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена. Автор 112 научных публикаций

ИДЕЯ ДОКАЗА ТЕЛЬ СТВА ТЕОРЕМЫ КАК СОСТАВЛЯЮЩАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО КОНТЕКСТА

БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ

В данной статье рассматривается понятие «идея доказательства теоремы» как составляющая профессионального контекста будущего учителя математики. Идея рассматривается как сущность, как способ действия и как форма. Идеи разделены по принадлежности к математической дисциплине или разделу; принадлежности к методам научного познания; принадлежности к математическим методам; отражению в идее особенностей структуры ее источника; составленности из других идей.

Идея, идея доказательства теоремы, математическая идея

Одним из подтверждений значимости математических идей может служить высказывание французского математика Ж. Адамара1: «...всякое математическое доказательство, как бы сложно оно ни было, должно мне представляться чем-то единым; у меня нет ощущения, что я его понял до тех пор, пока я не почувствовал его как единую, общую идею».

Понятия «идея», «идея решения», «идея доказательства» и тому подобные широко используются в быту, в обучении, в науке, но, что парадоксально, нигде не определяются и более того - по-разному трактуются. Понятие «идея» приобретает различную смысловую окраску в зависимости от того, в рамках какой науки идет рассмотрение этого понятия. Обращаясь к философскому словарю, находим следующее описание: «Идея - философский термин, обозначающий “смысл”, “значение”, “сущность”»2. И далее там же: «Под идеей понимается одна из

форм, способ познания, смысл которого заключается в формулировании обобщенного теоретического принципа, объясняющего сущность, закон явлений». Другими словами, под идеей можно понимать как сущность, так и форму, которую может принять эта сущность, тот или иной факт. Вложение сущности в ту или иную форму присущее только человеку. Именно он способен логически правильно распоряжаться познанным смыслом через ту или иную форму и адекватно его новизне и возникающим эмоциям регулировать далее свой познавательный процесс. А.Ю. Агафонов, исследуя проблемы негативного и позитивного понимания, отмечает: «Парадоксальность осознанного эффекта понимания выражается в том, что любая мысль является новой мыслью, но вместе с тем она узнается, как если бы она хранилась в памяти»3. В момент познания неизвестного в известном это известное приобретает новый

смысл через новую форму. Платон в поисках объяснения, как возникает мысль, пришел к выводу: мысль - результат воспоминания идей. Исследования известного немецкого психолога М. Вертгеймера, связанные с исследованием динамики процесса мышления, привели его к выводу: возникновение идеи - один из этапов мыслительной деятельности. Само же понятие «идея» М. Вертгеймер понимает как инсайт (озарение, внезапная догадка). Однако следует заметить, что автор не ставит в прямую зависимость возникновение идеи от случайности. Рассматривая отношение «учитель-ученик», он считает, что в процессе мышления ученику должна оказываться «помощь в ее функциональном значении, в зависимости от ее места, роли и функции в рамках требований ситуации»4 . Возможность оказания такой помощи он объясняет тем, что «процесс озарения (может быть даже микропроцесс)... имеет свою логику и структуру... поэтому [им] можно управлять».

Д. Пойа также понимает «идею» как инсайт

- «...внезапный проблеск света»5. Но тут же автор замечает, что после этапа инсайта наступает превращение его результатов в способ действия. Приведем отрывок из решения одной задачи, которую описывает Д. Пойа: «Что представляет собой неизвестное? - Объем усеченной пирамиды. А что это за геометрическое тело? Как оно определяется? Усеченной пирамидой называется часть полной пирамиды, отсекаемая математической плоскостью, параллельной основанию... Если бы мы знали объемы этих двух пирамид - обозначим их, соответственно, через В и А,- то можно было бы найти объем Vусеченной пирамиды V = В - А. Попытаемся найти объемы В и А

- в этом и состоит наша идея!»6.

Таким образом, Д. Пойа к идее относит не факт, лежащий в ее основе, а способ действия, который этот факт дает. Однако данный способ действия настолько конкретен, что не может принять статус знания. А следовательно, возникая в голове человека, идея нуждается в дополнительной обработке - в обобщении. Д. Пойа не выделяет обобщенные идеи, обоб-

щенные способы действия, а рассматривает конкретные идеи при решении конкретных задач.

Итак, под «идеей» понимается результат некоторого мыслительного процесса, который, с одной стороны, отражает его сущностную, предметную, содержательную характеристику, а с другой - деятельностную.

Следует иметь в виду, что идеи «на пустом» месте не рождаются - они плод мыслительных концентраций, рассуждений и поисков. В «Современном словаре по педагогике» понятие «идея» представлено так: «идея - мысль, получившая концептуальное оформление»7. Здесь слово «оформление» можно трактовать как «выраженная в знаке»: в речи, текстом, формулой или даже с помощью невербальных средств. А.Ю. Агафонов отмечает: «Инсайт возникает в результате осознания проверенного в рефлексивном контуре решения. Только после того, как «смысл узнал себя», происходит его осознание в качестве мысли, которое сопровождается чувством субъективной очевидности. Осознается всегда то, что уже до этого момента сознанием идентифицируется и выбирается для осознания. Осознание - результат уже проверенного решения»8. По утверждению А.Ю. Агафонова, «осознается то, что идентифицируется», значит, необходимым условием возникновения идеи-инсайта должна быть идея-знак. Под идеей-знаком можно понимать и текст, в котором отражена математическая сущность, представленная способом действия. Своевременное знакомство с такими идеями будет способствовать «идентификации» их в конкретных проблемных ситуациях. Вышесказанное позволяет рассматривать «идею» прежде всего как обобщенный способ действия, базирующийся на некоторой «сущности» - теоретическом факте. Это представление, несомненно, сужает вышеприведенное понимание «идеи», однако, учитывая, что источниками идей выступают математические факты, такое сужение вполне оправдано. Не освоившему разнообразие возможностей применения математического факта ученику вряд ли придет в голову «нужная» мысль.

В связи со сказанным обратим внимание на понятие «идея доказательства теорем». Эту

проблему подняла в своей книге «Формирование умственной культуры в процессе обучения математике» В.Н. Осинская. В ней она уделяет особое внимание обучению школьников умению выделять главное в учебном материале. Под «главным» она понимает «самое важное в объекте изучения»9. При изучении же теорем и их доказательств главным В.Н. Осинская считает «основную главную мысль чего-либо, общее понятие о предмете или явлении»10. И эта «мысль» при ее формулировке принимает у нее такую форму, которая определяет способ действия. Например, идею доказательства теоремы синусов она формулирует так: «.. .для доказательства теоремы синусов достаточно площадь треугольников выразить через две стороны и угол между ними тремя способами и полученное равенство разделить на произведение сторон треугольника»11. Таким образом,

В.Н. Осинская под «идеей доказательства теоремы» понимает прежде всего главную мысль, обличенную в форму, которая дает способ действия. Она пишет: «Идея выступает в доказательстве при его запоминании, воспроизведении, как некий “стержень ”, “ключик ”, как очень свернутое доказательство»12. Это понимание «идеи» говорит о том, что данное понятие, хотя оно и не определяется, видится В.Н. Осинской не столько обобщенным способом действия, сколько основой этого способа, причем активизирующим ход доказательства. Не понятно, на каком теоретическом факте он базируется, но данный способ, несомненно, верен, следовательно, он имеет теоретическую основу, которая не представлена в явном виде содержанием школьного учебника геометрии. Пример Д. Пойа можно рассматривать в том же ракурсе. Представленные примеры, с одной стороны, позволяют рассматривать «идею» и как обобщенный способ действия, и как его практическую основу, причем и «способ», и «основа» базируются на теоретическом факте, который может содержаться в учебнике, может выводиться из его теории, быть априорно допущенным, но четко не сформулированным. С другой стороны, не понятно, чем кроме формы способ действия от-

личается от теоретического факта, лежащего в его основе.

Под идеей доказательства теоремы мы понимаем основу обобщенного способа действия или сам способ, который:

1) опирается на теоретический факт (определенный учебником, либо выводимый, либо априорно допущенный, но явно не сформулированный в учебнике);

2) характеризуется глобальным и (или) локальным направлением хода (или изучения по тексту) доказательства данной теоремы от ее заключения к условию.

В подтверждение правомерности понимания под идеей основы обобщенного способа действия в виде образа приведем мнение Ж. Ада-мара, высказанное им по этому поводу: «В фокусе моего сознания проходят последовательные образы или, точнее, общий образ; сами же рассуждения ожидают, так сказать, в прихожей, чтобы быть введенными лишь в начале стадии “завершения”. Этот случай очень ясно иллюстрирует природу и роль краевого сознания, которое находится, так сказать, на службе у полного сознания, готовое появиться каждый раз, когда в нем возникает необходимость»13. Понятно, что и в процессе изучения готового доказательства может возникнуть идея доказательства в виде образа, озарения и т.п.

Понимая идею в указанной выше трактовке, заметим, что речь идет о понимании идеи как результата чьей-то мыслительной деятельности, например о понимании идеи, заложенной в текст доказательства теоремы, приведенной в школьном учебнике. В теоретическом содержании учебника заложено большое количество идей, надо только уметь извлекать их из текстов. Значит, естественным является вопрос: «Где в тексте учебника его авторы “спрятали” идеи?» Поскольку доказательства теорем в учебниках изложены синтетическим стилем, значит, «кульминация рассуждений» приходится на его конец, то есть идея доказательства должна быть предъявлена в конце текста доказательства.

Таким образом, в школьных учебниках математики, как правило, заложено опосредован-

ное формирование математических идей. Прежде всего это касается определенных видов идей.

Идеи можно условно разделить по следующим основаниям: принадлежности к школьной математической дисциплине или разделу; принадлежности к методам научного познания; принадлежности к математическим методам; отражению в идее особенностей структуры ее источника; составленности из других идей.

По принадлежности к дисциплине идеи можно разделить на внутридисциплинарные (или предметные) и интердисциплинарные. Например, чтобы доказать равенство углов, достаточно доказать, что они (или им равные) опираются на равные дуги одной окружности (или окружностей, равных радиусов) - внутри-дисциплинарная идея, принадлежащая курсу геометрии. Интердисциплинарные идеи, в свою очередь, делятся на: логические, метрические и теоретико-множественные. Например, чтобы доказать, что «из А следует В», достаточно доказать, что «из А и отрицания В следует отрицание А» - логическая идея. «Чтобы доказать, что один отрезок (угол, дробь) меньше другого, достаточно найти третий отрезок (угол, дробь), который был бы больше первого, но меньше второго» - метрическая идея. «Чтобы доказать, что некоторая линия задается данным уравнением, достаточно доказать, что множество пар чисел, являющихся координатами точек линии, совпадает с множеством пар чисел, удовлетворяющих данному уравнению»

- теоретико-множественная идея.

По принадлежности идеи к методам научного познания можно выделить идеи, основанные на методах полной и неполной индукции, дедукции, аналогии. Здесь целесообразно выделить две группы идей: достоверных и вероятностных. К достоверным следует отнести идеи, основанные на полной индукции и дедукции, а к вероятностным - на неполной индукции и аналогии.

Говоря о принадлежности идеи к тому или иному математическому методу, следует понимать, что аппарат математического метода, использованный внутри дисциплины

(например, векторный метод в теме «Векторы») свидетельствует о применении внутридисципли-нарной идеи, но, как правило, математические методы используются для решения задач не одноименных разделов. Например, идеи векторного метода конкретизируются в правилах перевода языка векторов на «другой» (сюжетный, геометрических преобразований, комплексных чисел и др.) язык.

Математические идеи - это результат применения математической информации в условиях конкретной ситуации и обобщения до возможности их использования в других ситуациях. Математическая информация представляет собой определения понятий, формулировки теорем, доказательства теорем, правила, алгоритмы, методы и задачи. Их логические структуры влияют на процесс формулирования идей и их использования. Например, определения неправильной дроби и неотрицательной функции имеют дизъюнктивную структуру, которая по-разному может проявляться в условиях конкретной задачной ситуации. Формулировки школьных теорем обычно имеют структуры:

Ух е А В(х) ^ Р{х) или Зх е А Р{х).

Доказательства теорем или решения задач, построенные на основе этих структур, имеют разные последовательности реализации. Но они похожи друг на друга в рамках одной структуры. Например, чтобы доказать, что некоторый объект с указанными свойствами существует, достаточно: 1) указать объект или его построить; 2) доказать, что построенный объект обладает указанными свойствами.

Идеи могут быть составлены из разных идей. В этой классификации выделяем простые, составные и комбинированные идеи. Например, вышеуказанная идея об уравнении линии будет комбинированной в следующей формулировке: «...чтобы доказать, что некоторая линия задается данным уравнением, достаточно доказать, что множество пар чисел, являющихся координатами точек линии, содержится во множестве пар чисел, удовлетворяющих данному уравнению, и ни одна пара чисел, не принадлежащая второму множеству, не бу-

дет принадлежать первому (комбинация логической и теоретико-множественной идей). В сокращенной трактовке в неявном виде данная идея “спрятана” в определении “уравнение линии”»14. Простыми идеями доказательств теорем следует считать идеи, приводящие к доказательству теорем с одним требованием, например идеи доказательств некоторых свойств и признаков параллелограмма, а составными -идеи доказательств теорем с двумя и более требованиями, например: «в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну», а также, возможно, и теорем, доказанных методом полной индукции или разделительным доказательством. Идея доказательства «первого» признака параллельности двух прямых15 одновременно и составная, и комбинированная. Она составная - для доказательства теоремы используется полная индукция. Комбинированность этой идеи выражается в том, что, во-первых, второй случай сводится к первому, во-вторых, в специальном построении «линии» и доказательстве того, что она является секущей по отношению к данным прямым, в-третьих - внутри второй идеи используется идея доказательства принадлежности трех точек прямой.

Наиболее ярким примером реализации комбинированной идеи, теоретическая база которой учебником не определяется, а априорно допускается, является теоретико-множественная идея доказательства следующего свойства показательной функции: «.. .множество значений показательной функции - множество всех положительных чисел»16 \Е(у) = Я+ )• В основе доказательства этого утверждения лежит следующая идея: для того, чтобы доказать, что множество всех значений показательной функции является множество всех положительных чисел, достаточно доказать равенство двух множеств Е(у) и Я +. Именно эту идею имеют в виду авторы школьного учебника.

Проведем параллель между тем, как описано доказательство свойства показательной функции в учебнике17, и тем, как оно может быть описано (должно быть описано) в соответствии с указанной идеей.

Здесь и в других текстах доказательств теорем идеи доказательств не выделены, они как бы «стоят за текстом», а эффект от изучения самих текстов порождает системный взгляд на учебный материал теоремы и ее доказательства. Причем в виде идеи этот взгляд является целостным видением всего доказательства и представляет наложение (супераддитивность) смыслов различных элементов доказательства, и даже комбинаций различных идей. Супераддитивность смыслов элементов доказательства Ж. Адамар называет «синтезом», который «является для нас поводырем, без которого мы были бы как слепые, умеющие ходить, но никогда не знающие направления, в котором надо идти»18.

В связи с этим идеи доказательств теорем, содержащиеся в текстах школьных учебников, можно рассматривать в качестве контекстов текстов доказательств теорем. Опираясь на определение контекста М.А. Можейко, было сформулировано определение контекста учебного материала по математике. Контекст учебного материала по математике - это квазитек-стовый феномен, порождаемый эффектом системности учебного математического текста как экспрессивно-семантической целостности математической, логической, исторической и методической его составляющих и выраженный в супераддитивности их смыслов и значений и входящих в текст языковых единиц19.

Идея как контекст текста доказательства теоремы (внешний контекст) будет воспринят субъектом (учеником или учителем), если у него присутствует соответствующий внутренний контекст, в частности внутренний - методикоматематические контексты доказательств теорем. В методико-математический контекст субъекта должны быть включены соответствующие виды и типы идей.

Изучая текст доказательства теоремы, субъект должен воспринимать не только описанную в нем математическую информацию, но и не описанную, контекстную, идейную информацию, которая объединяет все части доказательства в целое. Это «объединение» происходит на основе наложения в сознании

Текст рассуждений в учебнике Текст альтернативного рассуждения

Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение ах = Ь, где а >0, а Ф 1, не имеет корней, если Ь < 0, и имеет корень при любом положительном Ь . Для того, чтобы доказать равенство двух множеств, достаточно доказать: 1) Я +с Е(у)- 2) Л +с Е{у).

По свойству степени [ах > о) это уравнение не имеет корней, если Ь < 0 . Докажем первое утверждение: Я + с Е(_у), другими словами, надо доказать, что ни одно отрицательное число или нуль не может быть значением показательной функции. Пусть Ь е Я+ , то есть Ь < 0 , тогда надо показать, что Ь е Е), то есть число Ь не может быть значением ни для одного х е О^у). Если предположить, что такое X' существует, то есть X' е и(у) и ах = Ь, Ь < 0, то это будет означать, что уравнение ах = Ъ, где Ъ < 0, будет иметь решение, а уравнение ах — Ь, где Ь > 0, будет иметь решение не для любого X . Последний вывод не верен, значит, рассуждение пришло к противоречию. Предположение о том, что существует х' е О^у) такой, что ах = Ь, где Ь < 0, не верно. Следовательно, таких X не существует. Тем самым доказано, что если Ь е Я+ , то Ь е Е^у). А это означает, что К * с Е(у). Итак, первое утверждение доказано.

То, что это уравнение имеет корень при любом Ь > 0, доказывается в курсе высшей математики. Это означает, что любая прямая у = Ъ, где Ь > 0, пересекается с графиком показательной функции. Перейдем к доказательству второго утверждения: Я+ С Е^у). Для этого достаточно доказать, что Эх 0 <Е И(у) такое, что ах° = Ь .А это, действительно, так, потому что уравнение ах — Ь, где Ь > 0, имеет решение для любого Ь (это известно из высшей математики). Итак, взяли произвольное Ь е Я+ и показали, что оно является элементом Е(_у), то есть доказали второе утверждение.

Таким образом, Я + С Е^у) и Я + С Е(_у), то есть Я + = Е(_у).

субъекта смысла текста или его части на когнитивные структуры собственного идейно-математического тезауруса, при этом изменения первого под влиянием второго порождают (активизируют) этот «оперативный контекст» в виде осмысления логического шага или идеи как способа действия, т.е. возникает тот «ква-зитекстовый феномен», о котором говорится в вышеприведенном определении. Оперативный контекст - очень мобильная конструкция, содержание которой непрерывно меняется или под воздействием поступающей информации, или произвольно в результате осуществления когнитивных процессов. Оперативный контекст разделяет контекст на две неравные части: 1) активированный в данный момент массив -

собственно оперативный контекст и 2) не активированный в этот же момент, так называемый, массив стратегического значения. Эта стратегическая часть содержит в качестве своей части и идеи (структуру).

Педагогическая дееспособность идеи как оперативного контекста зависит от качества структуры идей (банка идей), имеющейся у субъекта. В силу сказанного, идеи математики целесообразно рассматривать в качестве элемента профессионального контекста будущего учителя математики - он должен ими мыслить сам и им обучать. Понятие «идея» сначала должно появиться в сознании студента в качестве предмета изучения, а затем и как методического средства обучения школьников математике.

Примечания

1 Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики / пер. с фр. М.А. Шаталовой иО.П. Шаталова; под ред. И.Б. Погребысского. М., 1970. С. 63.

2 Философский словарь / под ред. И.Т. Фролова. 4-е изд. М., 1981. С. 14.

3 Агафонов А.Ю. Основы смысловой теории сознания. СПб., 2003. С. 269.

4Вертгеймер М. Продуктивное мышление: пер. с англ. / под общ. ред. С.Ф. Горбова и В.И. Зинченко; вступ. ст.

B.П. Зинченко. М., 1987. С. 92.

5ПойаДж. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. М., 1988.

C. 195.

6 Там же. С. 187.

7 Современный словарь по педагогике / сост. Е.С. Рапацевич. Мн., 2001. С. 257.

8 Агафонов А.Ю. Указ. соч. С. 271.

9 Осинская В.Н. Формирование умственной культуры учащихся в процессе обучения математике: кн. для учителя. К., 1989. С. 52.

10 Там же. С. 110.

11 Там же. С. 73.

12 Там же. С. 115.

13 АдамарЖ. Указ. соч. С. 76.

14Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. 8-е изд. М., 1998.

С. 230.

15 Там же. С. 53.

16 Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобраз. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. 6-е изд. М., 1998. С. 4.

17 7ам же.

18 Адамар Ж. Указ. соч. С. 99.

19 Макарченко М.Г. Контекстуальный анализ учебных текстов по математике II Изв. Рос. гос. ун-та им. А.И. Герцена. Сер. «Обществ, и гуманит. науки». 2008. № 11(71). С. 268-275.

Makarchenko Mikhail, Podkhodova Natalia

THEOREM-PROVING IDEA AS A PROFESSIONAL CONTEXT ELEMENT OF A FUTURE TEACHER OF MATHEMATICS

The article considers the «theorem-proving idea» notion as a professional context element of a future teacher of mathematics. The idea is shown as the essence, as the direction of action and the form. The ideas are classified in accordance with membership of some mathematical subjects; membership of scientific knowledge methods; membership of mathematical methods; reflection in the idea of structure peculiarities of its source; the state of being composed of other ideas.

Контактная информация: Макарченко Михаил Геннадиевич e-mail: macarchenko@rbcmail.ru, mmacarchenko@mail.ru Подходова Наталья Семеновна e-mail: podhodova@mail.ru

Рецензент - Гусев В.А., профессор кафедры теории и методики обучения математике, доктор педагогических наук, профессор Московского педагогического государственного университета