Основные положения построения курса по выбору «Метод интервалов, метод областей и их приложения» Текст научной статьи по специальности «Математика»

Полученное неравенство решаем методом декомпозиции, который сводится к методу интервалов. Получаем х е [0; 2] и ответ: х е ^1 ;1 | и (1;2]

Итак, метод декомпозиции можно рассматривать как обобщение идеи монотонности функции, лежащей в структурной основе данного неравенства.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дорофеев, Г. В. Обобщение метода интервалов // Математика в школе. - 1969. - № 3.

2. Корянов, А. Г. Методы решения неравенств с одной переменной [Электронный ресурс] / А. Г. Корянов, А. А. Прокофьев. - Электрон. дан. - Режим доступа: http://alexlarin.net/ege/2011/c3-2011.pdf.

3. Мендель, В. В. Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств [Электронный ресурс] / В. В. Мендель. - Электрон. дан. - Режим доступа: khpms.khspu.ru/wp-content/ uploads/kr_2_m_11_12/doc.

4. Мирошин, В. В. Решение задач с параметрами. Теория и практика / В. В. Мирошин. - М.: Экзамен, 2009. -286 с.

5. Моденов, В. П. Пособие по математике / В. П. Моденов. - М.: Изд-во Москов. гос. ун-та, 1972. - Ч. 2.

6. Моденов, В. П. Метод декомпозиции при решении трансцендентных неравенств // Математика в школе. -2001. - № 5.

7. Потапов, М. К. О решении неравенств вида у(а(х)) > /х)) / М. К. Потапов, А. В. Шевкин, Т. М. Вуколова // Математика в школе. - 2005. - № 5.

УДК 372.016:51 ББК 74.262.21

Н. Е. Ляхова

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПОСТРОЕНИЯ КУРСА ПО ВЫБОРУ «МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ, МЕТОД ОБЛАСТЕЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ»*

Аннотация. В статье рассматривается идея построения курса по выбору «Метод интервалов, метод областей и их приложения», основанная на общности теоретического обоснования методов и приемов их реализации.

Ключевые слова: дисциплины и курсы по выбору, метод интервалов, метод областей.

N. E. Lyakhova

BASIC PROVISIONS OF CONSTRUCTION THE COURSE AT THE CHOICE

"METHOD OF INTERVALS, METHOD OF AREAS AND THEIR APPLICATIONS"

Abstract. The article deals with the idea of building a course on the choice of "the method of intervals, the method of areas and applications" based on common theoretical basis of methods and techniques to implement them.

Key words: discipline and elective courses, method of intervals, the method of areas.

Метод интервалов и метод областей являются наиболее эффективными методами нахождения множества точек, удовлетворяющих неравенствам с одной и двумя переменными соответственно. Значение этих методов в школьном курсе математики трудно переоценить. Заметим, например, что метод областей можно успешно применять для решения неравенств с параметрами

вида f (X, a) V 0 (под знаком v будем понимать любой из знаков >, >, <, < .), если считать параметр второй равносильной переменной. Такой подход к решению неравенств с параметрами, один из немногих допускающих алгоритмизацию и охватывающий большой класс задач.

Потребность в изучении указанных методов в школе возросла в связи с подготовкой учащихся к решению задач группы «С» единого государственного экзамена по математике, а именно, в соответствии со спецификацией последних лет, заданий С3 и С5. Однако, как показывает анализ школьных учебников, этому вопросу не уделяется должного внимания. Поэтому основная нагрузка по изложению указанных методов учащимся и формированию навыков их применения ложится

* Данная работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А. П. Чехова» по проекту № 6.2058.2011, тема «Обучающие системы методико-математических заданий как средство моделирования самостоятельной работы студентов в процессе их методической подготовки». Научный руководитель - М. Г. Макарченко.

на учителя математики. Этим обстоятельством обусловлена необходимость детального рассмотрения (начиная с теоретического обоснования и заканчивая приложениями) самих методов и методики их изложения в средней школе в рамках подготовки бакалавров педагогического образования по профилям «Математика», «Математика и физика». Один из курсов по выбору студента, предусмотренный ФГОСВПО, можно посвятить этому вопросу. Автором предлагается подход к построению курса «Метод интервалов, метод областей и их приложения», апробированный им во время неоднократного чтения лекций по данной теме, как студентам педвуза, так и учителям математики на курсах повышения квалификации.

Идеей построения курса «Метод интервалов, метод областей и их приложения» является тот факт, что оба метода имеют одно и то же теоретическое обоснования (одно из свойств непрерывной функции) и единые приемы реализации (метод декомпозиции, метод равносильных преобразований и правило смены знака). Поэтому рассматривая метод областей как обобщение метода интервалов на случай функции двух переменных, можно существенно повысить эффективность усвоения этого метода. Остановимся подробнее на отборе материала и последовательности его изложения при таком подходе.

Итак, как уже отмечалось выше, изложение материала необходимо начать с теоретического обоснования методов. Рассматривать эти методы вместе позволяет то обстоятельство, что оба метода опираются на один и тот же факт известный из курса математического анализа.

Теорема 1. Пусть функция / определена и непрерывна на некотором связном множестве

О . Если в двух точках этого множества функция принимает значения разных знаков, то в этом множестве найдется точка, в которой функция обращается в нуль.

Множество называется связным, если любые его две "точки" можно соединить "ломанной", лежащей всеми своими "точками" в этом множестве.

Отметим, что функция / может быть, как функцией одной, так и функцией нескольких, в частности, двух переменных. В курсе математического анализа эта теорема доказывается сначала для функции одной переменной, непрерывной на отрезке.

Теорема 2. Если функция /(х) непрерывна на отрезке [а; Ь] и принимает в его концах значения разных знаков, т.е. /(а)• /(Ь)< 0, то на отрезке [а; Ь] имеется хотя бы один нуль

функции /, т.е. Зс £ [а; Ь]. /(с)= 0. При этом если функция строго монотонна на [а; Ь], то она принимает нулевое значение лишь один раз [2].

Затем теорема доказывается для случая двух переменных [3] сведением к случаю функции одной переменной непрерывной на отрезке.

Обе теоремы имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Кривая на плоскости, являющаяся графиком непрерывной на отрезке [а; Ь] функции у = / (X) и соединяющая две точки плоскости (а; / (а)) и (Ь; / (Ь )) с ординатами разных знаков, обязательно пересекает ось абсцисс. Поверхность в пространстве, являющаяся графиком функции I = / (х; у) непрерывной

на некотором связном множестве О и проходящая через две точки пространства с аппликатами разных знаков, обязательно пересекает плоскость хОу. Именно обращаясь к геометрическим образам необходимо объяснять суть сформулированных теорем в средней школе.

В случае, когда / является функцией одной переменной, структура связных множеств на числовой прямой достаточно проста. Ими являются лишь промежутки (а; Ь), (-да; +да), (-да; а), (а; +да), [а; Ь], [а; +да), (-да; а], [а; Ь), (а; Ь] Непосредственным следствием теоремы 1 является следующая теорема.

Теорема 3. Если функция /(х) непрерывна на промежутке X и не обращается в ноль ни

в одной точке этого промежутка, то она имеет один и тот же знак на всём промежутке X .

Доказательство. Доказательство проведем от противного. Действительно, если бы функция

имела различные знаки в точках X и х2 промежутка X , то по первой теореме она обратилась

бы в ноль, по крайней мере, в одной внутренней точке отрезка [хх; х2 ], но эта точка является

внутренней и для промежутка X . Это противоречит тому, что на промежутке X функция /(х)

в ноль не обращается. Следовательно, функция /(х) не может иметь на промежутке X значений разных знаков.

Аналогично формулируется и доказывается этот факт для функции двух переменных.

Теорема 4. Пусть функция /(х, у) определена и непрерывна на некотором связном множестве X , не содержащем нулей функции. Тогда функция /(х, у) сохраняет свой знак на всем множестве X.

После изложения необходимых теоретических сведений можно переходить непосредственно к методу интервалов. При этом в процессе изучения метода интервалов необходимо повторить (или изучить, если ранее не рассматривались в курсе элементарной математики) правило смены знаков, метод декомпозиции и равносильные преобразования основных типов иррациональных, показательных и логарифмических уравнений и неравенств, а также уравнений и неравенств, содержащих модули. Все выше перечисленное будет применяться в дальнейшем и в процессе применения метода областей, поэтому в формулировках лучше не фиксировать количество неизвестных в обозначениях функций.

Метод интервалов используется при решении неравенств вида /(х) > 0, /(х) < 0, где

/ (х) - функция, непрерывная на каждом промежутке области определения Суть метода состоит

в том, что область определения функции /(х) разбивают на промежутки точками, в которых функция обращается в нуль (сами точки в промежутки не включают). Тогда на каждом таком промежутке функция непрерывна, не обращается в нуль и, следовательно, по теореме 3, сохраняет на нём постоянный знак. Поэтому достаточно определить знак функции в какой-либо "пробной" точке взятого промежутка, чтобы знать его на всём промежутке.

Возникает следующий алгоритм решения неравенств указанного вида.

1. Находим область определения функции /(х) и изображаем её на числовой прямой.

2. Находим нули функции, решая уравнение /(х) = 0. Изображаем их на числовой прямой, тем самым разбивая область определения на промежутки, не содержащие нулей функции.

3. Определяем знак функции /(х) на каждом полученном промежутке методом пробной точки и отражаем его на рисунке.

4. Используя рисунок, выписываем множество решений неравенства.

При решении нестрогих неравенств / > 0 , / < 0 к полученному методом интервалов решению строгого неравенства присоединяются ещё корни уравнения / (х) = 0 .

Если концы промежутков, на которых определен знак функции, являются иррациональными и расположены близко друг к другу, то выбрать пробную точку из промежутка проблематично. В том случае, когда функция является многочленом, для определения знака функции целесообразно применить, так называемое, правило смены знака, основанное на следующих рассуждениях.

Пусть Р (х) - многочлен П -ой степени с действительными коэффициентами, а С,С - все действительные корни многочлена с кратностями к,к2,•••,к соответственно, причем С > > • •• > С, тогда его можно представить в виде

Р (х) = (х - С )к1 (х - С2 )\--( х - с, )к'а (х ) (1), где многочлен Q(x) действительных корней не имеет (то есть Q(x) либо положителен, либо отрицателен при всех х е К). Положим для определенности, что Q(x) > 0. Тогда при х > С все сомножители в разложении (1) положительны и Р(х) > 0 . Если С - корень нечетной кратности (к - нечетное), то при С2 < х < С все сомножители в разложении (1), за исключением первого, положительны и Р(х) < 0 . В этом случае говорят, что многочлен Р(х) меняет знак при переходе через корень С . Если же С - корень четной кратности (к - четное), то все сомножители (в том числе и первый) при С < х < С положительны и, следовательно, Р(х) > 0 при х е (с2 ; С ). В этом случае говорят, что многочлен Р(х) не меняет знак при переходе через корень С . Аналогичным способом, используя разложение (1), нетрудно убедиться, что при переходе через корень

С многочлен Р(х) меняет знак, если к2 нечетное и не меняет знак, если к2 четное. В этом и заключается правило смены знака.

Понятно, что для дробно-рационального неравенства применение метода интервалов благодаря правилу смены знаков существенно ускоряется. Поэтому, если это возможно, трансцендентные неравенства перед применением метода интервалов удобно рационализировать, то есть заменить равносильным дробно -рациональным неравенством или системой таких неравенств. Это можно сделать с помощью, так называемого, метода декомпозиции, основанного на применении следующих утверждений.

м

Утверждение 1. 0О§М / — () = ((и —1)(/ — ()) на множестве М , где множество м задается системой неравенств

и > 0, и Ф 1, / > 0, (> 0.

М:

Утверждение 2. (и1 — и()= sgп((и —1(/ — ()) на множестве М , где множество М задается неравенством

М : и > 0.

Утверждение 3. Если функции / и ( определены и неотрицательны на множестве М ,

то (/ — (( = (/ 2 — (2 ). Утверждение 4. Неравенство

/Л

§1

V 0 равносильно системе

х е М,

/2 ' И2 §2

V 0,

МММ

если sgn / = sgп /, sgn = sgп \, sgп §2 = sgn § на множестве М , где М - область оп-

/1 Л

ределения исходного неравенства

-V 0.

§1

Рассмотрим пример применения метода декомпозиции.

Пример 1. Решить неравенство

(9х — з)Уз — Ух)

|х — 1

> 0.

Решение. Рационализируем данное неравенство.

(9х—з)(Уз—ух) (з2 х—з)(Уз —ух)

4 А ' > 0 о---'-> 0 о

1og2 х — 1

^2 Х — 1 — 1^21

О <

х Ф 1, х > 0,

( 2 х —1)( з — х)

(( х — 1)2 — 1)

о <

> 0.

х Ф 1, х > 0,

( 2 х —1)( з — х ) х ( х — 2)

> 0.

|х — 1 > 0,

х > 0, о

2 ( 2 х —1)( з — х)

(I х — 1— 1)

> 0.

(1) (2)

(з)

<

Далее решаем неравенство (э) методом интервалов, на множестве, заданном неравенствами (1) и (2) . Кривая знаков изображена на рисунке 1.

2

Рис. 1.

Используя рисунок, записываем ответ. Ответ. 0;1 ^(2;3).

После закрепления навыков решения подобных неравенств можно переходить к методу областей. Метод областей используется для нахождения множества точек плоскости, удовлетворяющих неравенствам вида / (х; у )> 0, / (х; у )< 0, где / ( х; у ) - функция, непрерывная на

области определения Суть метода состоит в том, что область определения функции / (х; у) изображают на плоскости. Затем изображают график уравнения / (х; у) = 0, который разбивает область определения на связные множества, не содержащие нулей данной функции (точки графика не рассматриваются). Тогда на каждом таком множестве функция непрерывна, не обращается в нуль ни в одной точке и, следовательно, по теореме 4, сохраняет на нём постоянный знак. Поэтому достаточно определить знак функции в какой-либо "пробной" точке множества, чтобы знать его на всём множестве.

По аналогии с методом интервалов можно сформулировать алгоритм метода областей, позволяющий находить множество точек плоскости, удовлетворяющих неравенству / (х, у ^ 0,

где /(х, у) непрерывная функция.

1. Находим область определения функции / (х, у) и изображаем её на плоскости.

2. Находим множество точек, в которых функция /(х, у) обращается в ноль, т.е. строим график уравнения / (х, у) = 0 на плоскости.

3. Определяем знак функции /(х, у) на каждом получившемся множестве, комбинируя правило смены знаков с методом пробной точки, и отображаем его на рисунке.

Понятно, что успешное применение метода возможно лишь при наличии у студентов или учащихся навыков построения графиков уравнений.

При построении графиков уравнений с двумя переменными / (х, у) = 0 полезно использовать следующие достаточно очевидные факты.

1. Если функция / (х, у) четная относительно переменной х, то есть, если /(— х, у) = /(х, у), график уравнения /(х, у) = 0 симметричен относительно оси Оу.

2. Если функция / (х, у) четная относительно переменной у, то есть, если / (х,—у) = / (х, у), график уравнения / (х, у )= 0 симметричен относительно оси Ох.

3. Если функция / (х, у) четная относительно переменных х и у, то есть, если /(— х,—у) = /(х, у), то график уравнения /(х, у)= 0 симметричен относительно осей Оу, Ох и начала координат.

4. График уравнения Е(х — х0, у — у0 ) = 0 получается из графика уравнения Е(х, у) = 0 с по-

мощью параллельного переноса на вектор а(х0, у0).

Перечисленные факты позволяют в некоторых случаях существенно упростить построение графиков уравнений, например уравнений, содержащих модули.

0

Последний этап изучения данной темы - приложение метода областей к решению неравенств с параметрами. Как отмечалось выше, с помощью метода областей можно решать неравенства с одной переменной и одним параметром. В этом случае сначала необходимо, используя метод областей, изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству с двумя переменными, одна из которых и есть параметр, а затем, используя рисунок, ответить на вопрос задачи. Этот подход к решению задач с параметрами получил название координатно -параметрического метода [1]. Как показывает опыт, снятие информации с чертежа для ответа на вопрос задачи иногда бывает для студентов более трудным этапом решения, чем этап применения метода областей и выполнение самого чертежа. Для формирования навыков считывания информации можно рекомендовать следующее. Для каждого рассматриваемого неравенства формулировать несколько разнообразных вопросов, что позволит, работая с одним чертежом, больше времени уделить именно содержательной, а не технической части решения задачи с параметром.

Рассмотрим пример применения метода областей.

Пример 2. Для каждого допустимого значения параметра а решить неравенство

^ (х—а )(х + а )> 1

Решение. Рационализируем заданное неравенство.

х—а) ( х + а) > 1 О х-а) ( х + а) — 1Оg(х-а) (х — °) > 0 О

х — а > 0, х — а Ф1, х + а > 0,

о

(х — а —1)( х + а — (х — а)) > 0.

о^

х — а > 0, х — а Ф1, х + а > 0, 2а •( х — а —1)> 0.

о^

х > а, х Ф а +1, х > —а,

а•(х — а — 1) > 0.

(1) (2)

(3)

(4)

Неравенства (1), (2) и (3) задают на плоскости верхний угол образованный прямыми х = а х = —а за исключением точек прямой х = а +1. Неравенство (4) определено на этом множестве точек. Графиком уравнения 2а ( х — а — 1) = 0 является объединение прямых а = 0 и х = а +1. Эти прямые разбивают угол на четыре связных множества. Определяем знаки функции / (х; а) = 2а (х — а — 1) на каждом из них, и выясняем, что неравенству (4) удовлетворяют

области, выделенные штрихами. Таким образом, системе, а значит и исходному неравенству удовлетворяет множество точек, представленное на рисунке 2. При этом участки границы множества, изображенные сплошной линией принадлежат ему, а изображенные пунктирной линией - множеству не принадлежат.

х = —а V

✓ \

-1 — 1 0

2

а = 0

/ .

' х = а + 1

Рис. 2

X

х = а

а

Используя рисунок 2, ответим на вопрос задачи и запишем ответ.

Ответ. Если a <--, то решений нет; если--< a < 0, то — a < х < a +1; если a = 0

2 2

, то 0 < х < 1 или х > 1; если a > 0, то х > a +1.

Приведем пример другой формулировки вопроса к этому же неравенству. Пример 3. Найдите все значения параметра a , при которых множество решений неравенства log (Х_а)(х + a) > 1 содержит какой-нибудь отрезок длиной 0,5, но не содержит числа 7. Снова используя рисунок 2, даем ответ на поставленный вопрос.

Ответ. — — < a < 0, a > 6. 4

Предложенная идея изучения метода интервалов и метода областей прошла апробацию в учебном процессе и показала свою эффективность.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Моденов, В. П. Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод: учеб. пособие / В. П. Моденов. - М.: Экзамен, 2007. - (Абитуриент).

2. Тер-Крикоров, А. М. Курс математического анализа: учеб. пособие для вузов / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. - 2-е изд. - М.: Физматлит: Лаборатория Базовых Знаний, 2003.

3. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц; пред. и прим. А. А. Флоринского. - 8-е изд. - М.: Физматлит: Лаборатория Знаний, 2003. - Т. 1.

УДК 372.016:51 ББК 74.262.21

М. Г. Макарченко, Н. В. Пасечникова

ПОНЯТИЕ УЧЕБНО-ЦЕЛЕВОГО КОНТЕКСТА ТЕКСТА УЧЕБНИКА МАТЕМАТИКИ ДЛЯ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ*

Аннотация. В статье представлено понятие учебно-целевого контекста применительно к учебникам по математике для начальных классов. Описана типология понятия «учебно-целевого контекста». Приведены примеры.

Ключевые слова: контекст, учебно-целевой контекст, учебники по математике для начальных классов.

M. G. Makarchenko, N. V Pasechnikova

CONCEPT TEACH-PURPOSE CONTECXT FOR MATHEMATICS TEXBOOKS FOR PRIMARY SCHOOL

Abstract. In the article the concept teach purpose context for mathematics textbooks for the primary school is presented. The typology of the concept of the teach-purpose context is described in this article. Examples are given.

Key words: context, teach-purpose context, mathematics textbooks for the primary school.

Учебник математики для начальных классов предназначен, прежде всего, для обучающихся в начальных классах, также для учителей и студентов педагогических ВУЗов. Обучающийся в учебнике видит только источник информации, представленный в форме заданий. Учитель, кроме самих заданий, видит в них последовательность самого процесса обучения, понимает, как организовать урок. Он как бы «вычитывает» методические рекомендации «за текстом учебника». Главная задача для учителя: выявить как можно больше методической информации, находящейся «за текстом» учебника. Методическая информация об уроке находится в контексте текста учебника.

Контекст учебного материала по математике - это квазитекстовый феномен, порождаемый эффектом системности учебного математического текста как логической, исторической и методи-

* Данная статья подготовлена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А. П. Чехова» по проекту № 6.2058.2011, тема: «Обучающие системы методико-математических заданий как средство моделирования самостоятельной работы студентов в процессе их методической подготовки». Научный руководитель М. Г. Макарченко.