Устойчивость двупараметрических систем линейных автономных дифференциальных уравнений с ограниченным запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики УдГУ

2018. Том 51

УДК 517.929 © М. В. Мулюков

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ1

Рассматривается система линейных автономных дифференциальных уравнений с ограниченным запаздыванием в случае, когда ее характеристическая функция линейно зависит от двух скалярных параметров. Осуществлено развитие метода О-разбиения применительно к задаче построения области устойчивости этой системы. Во-первых, проведена полная классификация точек и линий О-разбиения. Во-вторых, проведена полная классификация двупараметрических характеристических уравнений по типу и структуре областей О-разбиения. Все уравнения разделены на четыре типа: области О-разбиения уравнения первого рода имеют криволинейные границы, области О-разбиения для уравнений второго и третьего рода имеют только прямолинейные границы, уравнение четвертого рода либо устойчиво, либо неустойчиво независимо от значений параметров. В-третьих, для каждого типа уравнений разработаны новые приемы выделения области устойчивости среди областей О-разбиения. На основании полученных результатов построены области устойчивости для некоторых дифференциальных уравнений и систем уравнений с сосредоточенным и распределенным запаздыванием.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения с запаздыванием, системы дифференциальных уравнений, автономные уравнения, асимптотическая устойчивость, метод О-разбиения, область устойчивости.

Б01: 10.20537/2226-3594-2018-51-04 Введение

Пусть М+ = [0, хм — алгебра вещественных N х Ж-матриц. Через I и в будем

обозначать единичную и нулевую матрицу. Нормы в и хМ согласованы. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

в следующих предположениях и обозначениях:

• Н> 0;

• при каждом £ € [0, Н] определена Я(£) € хМ;

• компонентами матричной функции Я являются функции Я^ ограниченной вариации, Ягз : [0, Н] ^ М, такие, что К^(0) = 0;

• функция / : М+ ^ Мм суммируема на каждом конечном отрезке, принадлежащем М+;

, н

• функция /^(¿) = ^Я(в)^(£ — в) суммируема на [0,Н].

Систему (0.1) принято называть автопомпой [1, с. 95]. Частными случаями системы (0.1) являются система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), система с постоянным сосредоточенным и распределенным запаздыванием.

1Работа выполнена в рамках базовой части госзадания Минобрнауки РФ (проект 1.5336.2017/8.9) при поддержке РФФИ (проект 18-01-00928).

(0.1)

Следуя подходу, разработанному в научной школе Н.В. Азбелева, перенесем начальную функцию в правую часть, тогда система (0.1) примет вид

/•min {t,h}

x(t)+ / dR(s)x(t - s) = f(t), t € R+, (0.2)

J 0

iu\ ff(t) + U(t), если t < h, где f(t) = <

I f (t), если t > h.

Определение 0.1 (см. [2, с. 9-10; 3, с. 23]). Решением системы (0.2) называется локально абсолютно непрерывная функция x : R+ ^ RN, удовлетворяющая системе (0.2) при почти всех t € R+.

x

ях t функцией ф, удовлетворяет системе (0.1) при почти всех t € R+, поэтому x будем называть решением системы (0.1).

Отметим, что существует иной подход к пониманию решения системы (0.1), согласно которому начальная функция ф предполагается непрерывной, а под решением системы понимается непрерывная функция x: [—h, ^ RN, при положительных t удовлетворяющая системе (0.2), а при неположительных — равенству ф^) = x(t) [1,4-6]. Такой подход не противоречит определению 0.1, но требует условия непрерывной стыковки x(0) = ф(0). Таким образом, не нарушая общности, можно полагать ф(£) = 0.

Определение 0.2 (см. [2, с. 34; 7]). Фундаментальной матрицей назовем матричную

функцию X: R+ ^ RNxN, удовлетворяющую матричному уравнению

fh

X(t) + dR(s)X(t - s) = в

0

при почти всех t € R+ и условиям X(0) = I, X(£) = в при £ < 0.

Утверждение 0.1 (см. [2, с. 34; 3, с. 23; 7]). Решение задачи Коши для системы (0.1) существует, единственно и представимо в виде

x(t) = X(t)x(0) + i X(t - s)f(s) ds. (0.3)

0

Из формулы (0.3) вытекает, что асимптотические свойства любого решения системы (0.1) определяются свойствами фундаментальной матрицы.

Определение 0.3. Систему (0.1) будем называть

• асимптотически устойчивой, если lim llX(t)ll= 0,

t—y^o

• экспоненциально устойчивой, если lim ln||X(t)||/t < 0.

t—ro

Определения асимптотической и экспоненциальной устойчивости, приведенные, например, в монографиях [6, с. 130, 197; 5, с. 112-113], эквивалентны определению 0.3.

Из определения 0.2 вытекает, что X непрерывна на R+. Кроме того, известно [1, с. 23], что sup ln||X(t)||/t < то. Следовательно, к фундаментальной матрице применимо преобразование Лапласа, а ее Лаплас-образ имеет вид (LX)(z) = (jz + J e-zs dR(s)j Определение 0.4. Назовем функцию

$(z)=det(Iz + J e-zs dR(s)) (0.4)

характеристической функцией системы (0.1).

Утверждение 0.2 (см. [8]). При любом а € R имеем,

X(t) = res \iCX+ o(e-at)

Z — zn Re zn>a

где сум,m,а распространена на все корни zn характеристической функции, лежащие в полуплоскости Re z ^ а, причем множество т,аких корней конечно.

Определение 0.5. Будем говорить, что функция комплексного аргумента устойчива,, если все ее корни лежат слева от мнимой оси.

Из утверждения 0.2 вытекает, что асимптотическая устойчивость системы (0.1) совпадает с экспоненциальной и эквивалентна тому, что характеристическая функция (0.4) устойчива. Очевидно, экспоненциальная устойчивость системы (0.1) эквивалентна тому, что при любой непрерывной начальной функции имеем lim lnlmt)ll/t < 0. Более того [3, с. 103-107], экспо-

t^œ 11 11

ненциальная устойчивость системы (0.1) эквивалентна ограниченности любого решения системы (0.2) при f € L^[0, +гс>), где p > 1.

Определить, лежат ли все нули функции (0.4) слева от мнимой оси, можно различными методами. Для полиномов такими методами являются критерий Рауса-Гурвица и теорема Эрмита-Билера [9, с. 46]; для квазиполиномов — теорема Л. С. Понтрягина [10] и метод, разработанный Н. Г. Чеботаревым и H.H. Мейманом [11]; для произвольных целых функций подходят методы, основанные на принципе аргумента (например, метод годографа, предложенный Г. Найквистом и усовершенствованный A.B. Михайловым [12]).

Если компоненты матрицы R— заданные функции и запаздывание h фиксировано, то вопрос об устойчивости функции (0.4) решается одним из вышеперечисленных методов. Если h

R

чивости, то есть определения всех значений параметров, при которых система (0.1) асимптотически устойчива. Сделать это указанными методами затруднительно, поскольку каждый из них приводит к изучению некоторой сторонней задачи: построению годографа, решению системы неравенств (в случае критерия Рауса-Гурвица и Чеботарева-Меймана) или анализа взаимного расположения корней тригонометрических многочленов (теорема Эрмита-Билера и Понтрягина). Попытка построения области устойчивости таким образом приводит к сложной параметрической задаче, эффективный алгоритм решения которой удается найти лишь в простейших случаях.

Иной подход к построению областей устойчивости предложил Ю.И. Неймарк [13-15], развив прием, использованный И. А. Вышнеградским [16]. Предложенная им идея разбиения пространства параметров на области, внутри которых количество корней характеристической функции постоянно, получила название метод D-разбиения. В 40-60-е годы XX века был найден ряд плоских и трехмерных областей устойчивости для уравнений с сосредоточенным запаздыванием и систем ОДУ, что подтверждало эффективность метода D-разбиения. Может создаться впечатление, что схема дальнейшего исследования ясна: построив любое плоское сечение области устойчивости, можно построить трехмерную, а затем и любую n-мерную область устойчивости. В действительности же получение новых областей устойчивости замедлилось и впоследствии почти прекратилось. И это не было результатом отсутствия мотивации исследователей. Напротив, за прошедшие десятилетия накопилось множество новых моделей, использующих дифференциальные уравнения с запаздыванием, вопрос об асимптотическом поведении решения которых открыт.

Можно выделить три трудности, возникающие при использовании метода D-разбиения для исследования устойчивости функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ).

Во-первых, характеристическая функция системы ФДУ, в отличие от полинома, в общем случае не представима в виде произведения конечного множества функций того же класса. Это лишает нас хотя бы теоретической возможности свести задачу к задаче меньшей размерности, поэтому увеличение количества параметров приводит к качественному росту сложности

задачи. Количество исследованных трехпараметрических систем невелико, четырехпараметри-ческие изучаются редко, а успешные исследования пятипараметрических систем автору статьи неизвестны.

Во-вторых, применение метода Б-разбиения к системам ФДУ приводит к перебору бесконечного множества областей, причем универсального способа указать среди них область устойчивости не существует. Она может иметь любое конечное или даже бесконечное множество компонент связности, которые могут быть сколь угодно малыми и удаленными друг от друга.

В-третьих, сама область устойчивости может быть весьма сложно устроена. Рассмотрим уравнение

где а, Ь € К, т € К+ При т = 0 область устойчивости уравнения (0.5) известна [17]: это бесконечный криволинейный угол, обе границы которого имеют простое аналитическое описание. При т > 0 уравнение (0.5) изучалось в работах [18-20]. Оказалось, что при каждом фиксиро-т

аЬ

метров (а, Ь, т) до сих пор неизвестна. Причина этого заключается в том, что с ростом т растет количество точек самопересечения кривой, которая образует границы областей Б-разбиения, поэтому увеличивается количество звеньев границ областей Б-разбиения. Зависимость колит

Осознавая серьезность перечисленных трудностей, мы не считаем их непреодолимыми, а возможности метода Б-разбиения в исследовании устойчивости ФДУ исчерпанными.

Определение 0.6. Назовем систему (0.1) и-параметрической, если ее характеристическая функция линейно зависит от и вещественных параметров.

Развитие метода Б-разбиения целесообразно начинать с рассмотрения одно- и двупарамет-рических систем. Настоящая статья продолжает цикл работ [21-23], посвященных развитию метода Б-разбиения применительно к исследованию устойчивости двупараметрических систем линейных автономных дифференциальных уравнений с ограниченным запаздыванием. В указанных работах рассматривались различные частные вопросы, а цель настоящей статьи — систематизация и наиболее полное изложение полученных результатов.

§ 1. Характеристическая функция системы с запаздыванием

В настоящем параграфе устанавливаются некоторые важные свойства характеристической функции системы (0.1).

Обозначим через Е алгебру целых функций, определенных на С. Обозначим через Ек алгебру функций из Е с вещественными коэффициентами ряда Маклорена.

Лемма 1.1. Если f € Е; то следующие утверждения эквивалентны:

ж(£) + аж(£ - 1) + Ьж(£ - т) = 0,

(0.5)

(3) V* (ЕС: /(*) = /(*).

Лемма 1.1 доказывается элементарными методами [22].

Теорема 1.1. Характеристическая функция (0.4) имеет вид

N -1

(1.1)

п=0

где фп € ЕК и вир |фп(г)| < то.

Яе

г -

Доказательство. Обозначим P (z) = e zs dR(s). Для люб ого z € C имеем

J о

rh rh ж (i)k zk sk m ( i)k zk rh

Рф) = / e~zs dRij(s) = / ЕМй-= / ^iW+W*),

k=0 ' k=0 ' Jo

rh ж

Tm(z)= E(-1)kzksk/k' dRij(s). Далее,

Jo k m

fh ж lim |Tm(z)| ^ |dRij(s)I lim V |z|khk/k'= 0,

г^-ж1 1 J° m^-ж

k=m

к=т

следовательно,

к=0 '

г н г н

где ак = вк dЯij(в) № щенки |ак| ^ Ьк (в)| вытекает, что ряд (1.2) абсолютно

00 сходится при любом г € С т0 есть Ргз —целая функция.

| I ¡'НI I

При И,ег ^ 0 имеем |Р^(г)| ^ / |dЯij(в)| < ж, следовательно, все миноры, составленные

0

из матрицы Р, представляют собой ограниченные на полуплоскости И,е г ^ 0 функции из Ем-Известно [24, с. 55], что для любой А € МмхМ справедливо равенство

N

det(Iz + А) = zN + 1)пСпzN-п, (1.3)

п=1

где сп — это стмма всех главных миноров порядка п матрицы А. Утверждение доказываемой

[Н -

теоремы непосредственно вытекает из сравнения (1.1) и (1.3), если положить А = е dЯ(в)

и фп(г) = Сп(—1)п 0 □

Рассмотрим замкнутый контур Сг на комплексной плоскости, состоящий из полуокружности г = гег1р, где р € (—п/2,п/2), и отрезка мнимой оси г = гу, где у € [—г,г]. Для функции

/: С ^ С обозначим Mf(г) = тах|/(г^ и а(/) = Ит Mf (г).

геОг

Заметим, что если / — полином степени п, то а(/) = п.

Символом N обозначено множество натуральных чисел, а N0 = {0} и N.

Следствие 1.1 (из теоремы 1.1). Обозначим С(г) = zN — Ф(г). Справедливы следующие утверждения:

• Ф,С € Ем,

• а(С) € N0 и а(С) < ст(Ф) = N.

Символом р будем обозначать пмерную вещественную вектор-строку {Р1,Р2, • • .рп}-Пусть характеристическая функция зависит от р (быть может, нелинейно), то есть Ф(г) = = Ф(г, р). Согласно теореме 1.1 функции фп тоже зависят от р, то есть

N -1

$(z, p)= zN + £ z'^n(z, p).

n=0

Как известно [14, с. 62], для полиномов при непрерывном изменении параметров корни с положительной вещественной частью могут появляться благодаря либо переходу через мнимую ось, либо появлению из «бесконечно удаленной точки». Второй способ имеет место, если коэффициент при главном члене обращается в ноль.

Если в выражении (1.1) вместо функций фп подставить произвольные аналитические функции, то при непрерывном изменении параметров возможно появление корней из «бесконечно удаленной точки», несмотря на то что коэффициент при главном члене гN не обращается в ноль. В качестве примера рассмотрим уравнение г + еа = 0, где а € М+. При любом а > 0 это уравнение имеет корни со сколь угодно большой положительной вещественной частью, а=0

Следующая теорема дает достаточные условия того, что при непрерывном изменении параметров корни характеристического уравнения системы (0.1) с положительной вещественной частью появляются только благодаря переходу через мнимую ось.

Теорема 1.2. Пусть при каждом п = 0, N — 1 функция фп непрерывно зависит от р равномерно по г в полуплоскости И,е г ^ 0. Рассмотрим связную область Б в пространстве параметров. Если ни для, какой точки области Б характеристическая функция (0.4) не имеет корней на мнимой оси, то она имеет одинаковое (с учетом кратности) количество корней с неотрицательной вещественной частью в любой точке области Б.

Доказательство. Пусть ро, р1 € Б. Соединим их простой непрерывной кривой, параметризованной следующим образом: выберем непрерывную вектор-функцию к: М — Мп такую, что к(0) = ро, к(1) = р1, а при любом Ь € [0,1] точка к(Ь) принадлежит данной кривой. При любом Ь € [0,1] функция Ф(г, к(Ь)) не имеет корней с нулевой вещественной частью.

Согласно предположению теоремы существует А > 0 такое, что

фп (г, к(Ь))

^ А при любых

п = 0, N — 1, £ € [0,1] и г € С таких, что 11е,г > 0. Из (1.1) вытекает, что при \г\ > А + 1 имеем

|г| 1

|г|N

N-1 1

п=0

гпфп( г, к(Ь))

N-1 | N

аУ \г\п = А^--

^ |г| — 1

п=о

Полученное противоречие доказывает, что при любом Ь € [0,1] все корни функции Ф(к(Ь)) с неотрицательной вещественной частью расположены внутри контура СА+1-

При каждом Ь € [0,1] трансформируем контур СА+1 в контур Г(Ь) с помощью непрерывного отображения Ф( к(Ь)) : С - С.

По теореме о логарифмическом вычете [26, с. 205] имеем

ЖРо) =

2т] с

1 9Ф(г,р0)(1г = ^_[

Са+1 ф(г,Ро) дг 2пиГ(0) С '

т 1 дФ(г,Р1) _ 1 [ %

1ЧР1) 2ш]Са+1 Ф(г>Р1) дг ^ 27ггУГ(1) С '

где N(р) — число корней функции Ф(г, р) внутри контура Са+1, то есть число корней с положительной вещественной частью. Так как при непрерывном изменении Ь контур Г(Ь) непрерывно деформируется, «не задевая» единственную особую точку подынтегральной функции то

Уг(о) С Уг(1) С '

Следовательно, функции Ф(г, ро) Ф(г, р1) имеют одинаковое количество корней в полуплоскости И,е г ^ 0 □ Заметим, что условия теоремы 1.2 выполняются, если Ф(г, ■) есть целая функция от р.

§ 2. Развитие метода Б-разбиения для систем с запаздыванием

Цель настоящего параграфа заключается в том, чтобы определить основные понятия и по-

пп В следующих параграфах будет рассматриваться случай п = 2. п

висит от п-мерного вещественного вектора р = {Р1,Р2, • • -Рп}- Согласно теореме 1.1 имеем

п

Ф(г, р) = zN + #о(г) + ^ Рк#к (г),

к=1

где при любом к = 0, п имеем дк € Ек, а(дк) < N.

Вместо функции Ф можно выбрать любую функцию Р, имеющую те же нули. Известен общий вид такой функции: Р(г, р) = еад(г)Ф(г, р), где ш— произвольная функция из Ем [25, с. 21].

Определение2.1. Уравнение Р (г, р) = 0 назове м п-параметрическим характеристическим уравнением системы (0.1).

Далее,

п

Р(г, р) = е^Ф(г, р) = Д(г) + ^рк/к(г),

к=1

где /оСг) = +д0(г)) и Д(г) = е^дк(г), к € Т^.

Установим взаимно однозначное соответствие между функциями Р(■, р) и лотками р из Мп.

Определение 2.2. Область устойчивости — это совокупность всех точек плоскости, которым соответствует устойчивая функция Р(■, р).

Как правило, границы области устойчивости задаются параметрически, поэтому для ее описания удобно воспользоваться другими координатами. Обозначим г = {г1, Г2, • • • гп} и будем исследовать в комплексной плоскости уравнение

п

/0(г) + £ гк /к (г) = 0- (2.1)

к=1

Определение 2.3. Любой точке г € Мп поставим в соответствие число р(г), равное количеству корней (с учетом кратности) с неотрицательной вещественной частью функции Р(■, г) и будем называть его абсолютным индексом, точки г.

Отметим, что р(г) всегда конечно.

мп

ность точки р этому множеству эквивалентна тому, что функция Р(■, р) устойчива.

Рассмотрим пространство Мп+1, точки которого будем обозначать символом (г, р), где р € М. Значение р будем называть частотой, этой точки, а вектор г— проекцией, точки (г,р).

Определение 2.4. Точку (г, р) назовем точкой 0-ра,збиен ия, если Р (гр, г) = 0.

п

а определение 2.4 позволяет исследовать все точки Б-разбиения по отдельности, поскольку они никогда не совпадают в (п + 1)-мерном пространстве.

Согласно лемме 1.1 уравнения Р(гр, г) = 0 и Р(—гр, г) = 0 эквивалентны, следовательно,

р

Определение 2.5. Областью Б-разбиения будем называть линейно связное открытое множество V € Мп такое, что

• V не содержит проекции ни одной точки Б-разбиения,

•

ляется V, содержит проекцию хотя бы одной точки Б-разбиения.

Согласно теореме 1.2 все точки области Б-разбиения V имеют один и тот же абсолютный индекс, который будем называть абсолютным индексом, области V и обозначать р^).

Описание областей Б-разбиения является лишь первым этапом метода Б-разбиения. Следующий этап заключается в том, чтобы расставить абсолютные индексы областей. Если множество областей конечно, то область с нулевым абсолютным индексом можно найти перебором.

Если областей бесконечно много, то требуется сравнить абсолютные индексы соседних областей, то есть определить направление возрастания вещественной части корня на границе областей Б-разбиения. Наиболее общий прием для этого заключается в нахождении производной по направлению функциональной зависимости вещественной части корня характеристической функции от параметра. Однако это можно сделать не для любой точки Б-разбиения.

Символом ¥'(г, г) будем обозначать производную по первому аргументу.

Определение 2.6. Назовем точку Б-разбиения (г, (р) регулярной, если ¥'(гр, г) = 0, и нерегулярной, если ¥'(гр, г) = 0.

Приведем следствие из теоремы о неявном операторе в аналитическом случае [28, с. 415]. Рассмотрим регулярную точку Б-разбиения (а, р). В окрестности точки а существует единственная аналитическая функция : М2 — С такая, что (а) = гр и ¥(2^(г), г) = 0.

Вычислим полный дифференциал функции ¥ в точке (а, р):

сЩгр, а) = £ (Пгр, а)^^ + Д(гр)) йгк.

к=1

В любой точке г, такой, что ¥(2^(г), г) = 0, полный дифференциал функции ¥ равен нулю, следовательно, имеет место равенство

ГИе ¥'(гр, аШ-грП Т

увяад =--2 ^'(^ш-гр) . (2.2)

¥'(гр,а) 2 -

(Де ¥ '(гр, а)/п(—гр))

При выводе формулы (2.2) используется вытекающее из леммы 1.1 равенство

И,е ¥ '(гр, а)/к (—гр) = Ие ¥'(—гр, а)/к (гр).

(г, р)

V И,е (г) = 0, и нестационарной, если V И,е 2^(г) = 0.

а € Мп

аа

неособой.

Если общая граница двух областей Б-разбиения содержит хотя бы одну неособую точку, то для этих областей можно вычислить разность абсолютных индексов. Действительно, в этой точке можно определить направление возрастания вещественной части корня, причем если И,е 2^ = 0, то этот вектор совпадает с направлением возрастания вещественной части корня. В проекции стационарной точки тоже можно найти направление возрастания вещественной части корня, но для этого требуется вычислить старшие производные функции И,е 2^.

Если любая точка общей границы особая, то абсолютные индексы таких областей, вообще говоря, нужно вычислять независимо.

Определить, является ли точка Б-разбиения нестационарной, можно без вычисления величины V И.е 2^. Для этого рассмотрим вектор-функции vm = {^1т, , • • • ^пт} : М — Мп, где Укт(<р) = 1тД(гр)/т(-гр) при к,т = 1 ,п. Заметим, что Укт = —Утк согласно лемме 1.1.

(г, р)

п

и достаточно, чтобы выполнялось неравенство v0(р) + ^ гкvk (р) = 0.

к=1

(г, р)

Укт(г) = —г/к (гг)/т (—гг),

являющуюся аналитическим продолжением гкт на комплексную плоскость. Из гкт(г) = = (/к(гг)/т(—гг)) 'и гкт(р) = Ие гкт(р) вытекает

^кт(р)=Ие( Л (гр)/т(—гр^' (2.3)

для любых /г,т = 1,пир€М. Выразив

г/т( гр) = — /0(—гр) — Е гк/к(—гр)

к=1,к=т

из (2.1), найдем

/т( — гр)Р'г) = /т(—гр)/0(гр) + гт/т( —гр)/^(гр) + /т(—гр) ^ гк/к=

к=1,к=т

п

= /т( гр)/(0(гр) — (гр)/0(—гр) + ^ гк (/т( —гр)/к(гр) — (гр)/к( —^ •

к=1,к=т

В силу леммы 1.1 имеем

Ие( /т( гр)/к (гр) — Ут (гр)/к (—гр^ = = Ие( /т( гр)/к (гр) — ( —гр)/к М) = Ие( /к (гр)/т (—гр^

следовательно,

п

Ие /т(—гр)Р' (гр, г) = — Ие( Л(—гр)/т(гр))' — ^ гк Ие( /к (гр)/т(—гр)) '•

к=1,к=т

Заметим, что = 0, поэтому

п

Ие /т(—гр)Р'г) =—гт0(р)—е гк^т к(р)^ (2.4)

=1

п

Итак, если v0(р) + ^ гкV'.(р) = 0, то Р'(гр, а) = 0, то есть (г, р) — регулярная точка 0 =1

Б-разбиения.

Подставив (2.4) в (2.2), получаем формулу

VИе ВД = |Р'(гр, а) | 2( v0(р) + ^ г^(р) ) • (2.5)

=1

Итак, если v0(р) + ^ гкv/k(р) = 0, то VИе ^(г) = 0. Если v0(р) + ^ гкvk(р) = 0, то (г, р) 0 =1 0 =1

□

Формула (2.5) интересна сама по себе, поскольку вычисление вектор-функций v, как правило, проще, чем использование формулы (2.2).

Следующая лемма используется при ответе на вопрос о сгущении областей Б-разбиения в конечной области.

Л е м м а 2.2. Для любого множества точек Б-разбиения, проекции которых ограничены, множество их частот тоже ограничено.

п

г

п

Доказательство. Запишем характеристическое уравнение системы (0.1) в виде

п

—zN = до(г) + ^ Гк дк (г)

к=1

При условии г = гср и тах \гк\ < Я получаем

к=1,п

п

|P|N < |^о(гр)| + Я ^ (гP)|•

к=1

В силу ) < N при р — то имеем

п

1 < |до(гр)^ | + Д^|дк(гр)^ | — 0, к=1

следовательно, при достаточно больших частотах не существует точек Б-разбиения таких, что тах \гк\ ^ К. □

к=1,п

Полезно иметь в распоряжении легко проверяемые признаки того, что область устойчивости

пуста или содержится в некотором подмножестве исходного пространства.

п | | п

Л е м м а 2.3. Пусть ^ |/к(0)| = 0 и р(г) = 0, тогда /о(0) + ^ гк/к(0) > 0.

к=1 к=1

п

Доказательство. Если /о(0) + ^ Гк /к (0) = 0, то уравнение (2.1) имеет нулевой ко-

к=1

рень.

п

Пусть /о(0) + ^ гк /к (0) < 0. При х € М имеем ¥ (х, г) = но ¥ (0, г) < 0,

к=1

следовательно, уравнение ¥(■, г) = 0 имеет положительный корень.

В обоих случаях функция ¥(■, г) не является устойчивой. □

Следующее утверждение доказывается аналогично.

Л е м м а 2.4. Пусть /1(0) = /2(0) = • • • = /п(0) = 0 и /о(0) < 0. Тогда, область устойчивости пуста.

Утверждения, эквивалентные леммам 2.3, 2.4, часто встречаются (например, см. [27, с. 29]).

Теорема 2.1. Если v0 = 0 и по крайней мере одна из функций /1, /2, • • • /п отлична от тождественного нуля, то область устойчивости пуста.

Прежде чем перейти к доказательству данной теоремы, сформулируем утверждения, которыми будем пользоваться и в последующих параграфах.

Лемма 2.5. Пусть /, д,Л, € ЕМ. Если 1т /(—гр)д(гр) = 0 и 1тд(—гр)Л,(гр) = 0; то либо д(г) = 0, либо 1т /(—гр)^(гр) = 0.

Доказательство. Пусть д(г) ф 0 1т/(—гр)д(гр) = 0 и 1тд(—гр)Л,(гр) = 0. Тогда

| 12

при любом р € М имеем /(—гр)|д(гр)| Л,(гр) € М. По теореме единственности [26, с. 122] множество нулей функции д нигде не плотно на мнимой оси, поэтому 1т /(—гр)^(гр) ф 0 □

Л е м м а 2.6. Для любого конечного набора целых функций {Нт} (т, = 1, М), вещественных чисел {ак} (к = 1 ,К) и целых неотрицательных чисел {г^} (т = 1>2М; к = 1 ,К) множество решений уравнения

к м

5>к П (йеЯт(гх))^2т-1 (1т Ят(гх))"2т = 0 (2.6)

к=1 т=1

Доказательство. Покажем, что целая функция Нт единственным образом пред ставима в виде Нт(г) = Нт (—¿я) + ¿Н^, (-¿я), где Н^, Н^ € Ек. Для этого разложим Нт в ряд

те те те

Маклорена: Нт(я) = ^ сп^п■ Ряды ^ (Ие ¿псп)яп, ^ (1т ¿пс^я"" сходятся абсолютно, по-

п=о п=0 п=0

скольку | И,е ¿псп | < |сп | и 11т ¿псп| < |сп|. Степенные ряды, сходящиеся на всей комплексной плоскости, — целые функции [26, с. 116], которые мы обозначим как Н^ и Н^ соответственно.

тете

Далее, Н^(—¿я) + ¿Н^(—¿я) = ^ (сп%а)(-¿)пяп = ^ Сп2™ = Нт(г).

п=0 п=0

Рассмотрим функцию

к м

Ш(я) = £ а^ №))(*))г

к=1 т=1

Очевидно, Ш € Ек, поэтому множество вещественных корней этой функции совпадает со множеством решений уравнения (2.6). По теореме единственности каждая ненулевая целая функция имеет конечное число корней на компакте. □

Доказательство теоремы 2.1. В силу леммы 2.5 и того, что /о(я) ф 0, имеем ^кт^) = 0 для любых к,т = 0, п.

В силу леммы 1.1 тождество 1т / (-¿р)/т(гр) ф 0 эквивалентно следующему:

/к(-*р)/т(гр) ф /к(¿р)/т(-гр)-

В силу теоремы единственности получаем, что для любого я € С выполняется равенство /к(-я)/т(я) ф /к(я)/т(-я) и, следовательно, Р(я, г)/т(-я) ф Р(-я, г)/т(я).

Пусть найдется функция /т и число ¿о € С такие, что ¿о — корень Р(я, а) и либо ¿о не является корнем функции /т, либо является корнем меньшей кратности. Тогда из равенства Р(яо)/т(-яо) = Р(-^о)/т(^о) вытекает, что -яо тоже является корнем функции Р(■, а), которая, таким образом, не является устойчивой.

Итак, для того, чтобы функция Р(■, а) была устойчивой, необходимо, чтобы каждый корень этой функции являлся корнем любой функции /т с учетом кратности. Следовательно, имеет место представление /т(я) = Р(я, а)вт(я), где вт € ЕМ. № тождества Р(я, а)/т(-я) ф ф Р(-я, а)/т(я) вытекает, что вт— четная функция.

Следовательно, для любого г € Кп получаем представление

Р(я, г) ф Р(я, а) ^во(я) + £ ^вк(я)^ .

Поскольку все функции вк четные, то для того, чтобы Р(■, г) была устойчивой, необходимо, чтобы уравнение

п

воСЮ + Е ^ вк (я)=0 (2.7)

к=1

не имело решений в комплексной плоскости. Без ограничения общности будем считать, что /1 (я) ф 0. При фиксированном Г2 существует не более двух значений переменной п, при которых уравнение (2.7) не имеет решений в комплексной плоскости [25, с. 61]. Следовательно, существует последовательность {ап}, сходящаяся к а, такая, что Р(■, ап) не является устойчивой при любом п € N. В силу теоремы 1.2 функция Р(■, а) тоже не является устойчивой. □

§ 3. Развитие метода Б-разбиения для двуиараметрических систем с запаздыванием

Рассмотрим ситуацию, когда характеристическое уравнение (2.1) линейно зависит от двумерного вещественного вектора г = {Г1,Г2}, то есть характеристическое уравнение имеет вид

/о(я)+ Г1/1(я)+ Г2/2(я)=0. (3.1)

В данном случае точка Б-разбиения (г, р)— это точка пространства М3, а проекция точки Б-разбиения (г, р) — это точка г плоскоети М2.

3.1. Точки В-разбиения двупараметрических характеристических уравнений

¥(гр, г) = 0

Г1 Ие /1(гр) + Г2 Ие /2(гр) + Ие /о(гр) = 0, Г11т /1(гр) + Г21т /2(гр) + 1т /о(гр) = 0^

(3.2)

Запишем (3.2) в виде АгТ = Ь, где А = (а11 а12\ Ь = (ЪЛ аг] = (р), Ъг = Ъг(р),

\а21 «22/ \02)

{%,] = 1,2), и положим

А = det А, и1 = ёем Ъ а12), и2 = ёем а11 Ъ

1 Ъ2 а22 2 а21 Ъ2

Согласно лемме 1.1 имеем

А(р) =1т /1(—гр)/2(гр), «1(р) = 1т /2(—гр)/о(гр), иг(р) = 1т /о(—грЩгр) Обозначим и = {и1,и2}.

р

сительно г в том и только том случае, если ранг матрицы А(р) совпадает с рангом расширенной матрицы. Ранг матрицы А(р) равен нулю, если Д(гр) = /2(гр) = 0; единице — если А(р) = 0 и по крайней мере одно из чисел /1 (гр), /2 (гр) отлично от нуля; двум — если А(р) = 0. Ранг расширенной матрицы равен нулю, если /1 (гр) = /2(гр) = /о(гр) = 0 единице — если А(р) = 0, и(р) = 0 и по крайней мере одно из чисел /о(гр), /1 (гр), /2(гр) отлично от нуля; двум — если А(р) = 0

р

• если А(р) = 0 то система (3.2) имеет единственное решение Б(р) = и(р)/А(р);

• если А(р) = и1(р) = и2(р) = 0 н0 п0 крайней мере одно из чисел /1(гр), /2(гр) отлично

М2

• если /1(гр) = /2(гр) = /0(гр) = 0 т0 любое г € М2 является решением системы (3.2), поэтому область устойчивости пуста.

Согласно лемме 2.6 в случае А(р) ф 0 множество корней функции А либо конечно, либо счетно, причем в последнем случае любой отрезок содержит лишь конечное количество корней. Пронумеруем все неотрицательные корни по возрастанию, начиная с нулевого номера, и обозначим множество этих корней через {£п},п € N0-

Множество {£п} разбивает М+ на не более чем счетное множество интервалов /п (п € N0). Заметим, что £о = 0 в силу нечетности функции А. Если множество {£п} бесконечно, то для 1п = (£п,£п+0 для любо го п € N0- Если количество корней конечно, то обозначим через т их количество, уменьшенное на единицу; тогда 1п = (¿¡п, ¿>1+1) при п = 0, т — 1 ш 1т = (£т, оо).

Определение 3.1. Ориентированную кривую в М3, задаваемую непрерывным отображением (г, р) = (8(р),р), р € /п, будем называть кривой Б-разбиения. Ориентированную кривую в М2, задаваемую непрерывным отображением г = Б(р) р € /п, будем обозначать

через Сп и называть проекцией кривой Б-разбиения.

р

!А(р)= и1(р) = и2(р)=0, \ | /1 (гр) | + | /2(гр) | =0,

то прямую на плоскости (■, -,р) пространства М3, состоящую го таких точек (г, р), что ¥(гр, г) = 0 р

М2 г ¥(гр, г) = 0

р

Определение 3.3. Линией Б-разбиения будем называть любую кривую или прямую Б-разбиения.

Итак, любая точка Б-разбиения принадлежит ровно одной линии Б-разбиения. На существование прямых и кривых Б-разбиения указал Ю.И. Неймарк при рассмотрении устойчивости полиномов и квазиполиномов, линейно зависящих от двух вещественных параметров. Кроме того, им было предложено правило штриховки, согласно которому штриховка наносится на проекции кривых Б-разбиения. Ю.И. Неймарк предложил два способа определения направления возрастания вещественной части корня на проекциях прямых Б-разбиения. Если прямая соответствует частоте £п и известна штриховка на прямой Сп, то предлагалось штриховать прямую так, чтобы заштрихованные стороны проекции прямой и кривой Сп совпадали. Другой способ заключается в деформировании прямых Б-разбиения в кривые Б-разбиения «малым» изменением функций /о, /1, /2- Однако в общем случае предложенные приемы не позволяют найти область устойчивости. Таким образом, не был решен вопрос о принципиальной возможности вычислить разность абсолютных индексов двух соседних областей Б-разбиения (и вообще двух различных областей Б-разбиения).

§ 3.2. Кривые В-разбиения

Исследуем свойства кривых Б-разбиения и найдем способ, которым можно определить направление возрастания вещественной части корня на проекциях кривых.

Если (а, Ь) С /п, то множество (5(р),р), р € (а, Ь) является непрерывным участком проекции кривой Б-разбиения, который будем обозначать через Сп"'Ь).

Следствие 3.1 (из леммы 2.2). Любое ограниченное множество О С М2 пересекается лишь с конечным, числом кривых Сп. Если {Сп} конечно и содержит т + 1 кривую (то есть т — наибольший, номер кривой), то найдется вещественное число а такое, что сп о = 0 при любых Ь > а > а.

сп { сп}

{ сп}

нечно, то кривая с наибольшим номером состоит из не более чем счетного множества гладких сегментов, а все остальные кривые — из конечного числа гладких сегментов.

Доказательство. В точках, где кривая теряет гладкость, выполняется равенство §'(р) = д. Это уравнение либо тождественно выполняется на всей оси, либо на каждом конечном интервале имеет лишь конечное число корней (лемма 2.6). Предположим, что 8'(р) ф 0, тогда существуют й1,й2 € М такие, что для любого р € М+ имеем и1(р) = Д(р),

и>2(р) = &2Д(р)- Это означает, что проекция любой кривой Б-разбиения — это точка {&1,&2}•

р

Б-разбиения, что приводит к противоречию с леммой 2.2. Значит, если интервал 1п ограничен,

то он содержит лишь конечное число корней уравнения 8'(р) = 0, а если не ограничен, то

□

Определение 3.4. Если Д(р) ф 0 и функции Д,^1,^2 линейно зависимы, то прямую + &1Г1 + = 0 с вещественными коэффициентами &о, ^1, ^2 такими, что |&11 + |&21 = 0 и йоД(р) + &1«1(р) + й2и2(р) ф 0, будем называть главной прям,ой.

Нетрудно показать, что А;о,^1, ^2 определяются однозначно с точностью до общего множителя, поэтому главная прямая единственная (если существует).

Л е м м а 3.2. Пусть Д(р) ф 0. Если функции Д, и1, и2 линейно зависимы, то все проекции

кривых Б-разбиения лежат на, главной прям,ой. Если функции Д,и1 , и2 линейно независимы,

М2

сп

Доказательство. Пусть функции А,-«1, -«2 линейно зависимы, тогда ко + к1$1(р) + +к2$2(р) ф 0 т0 есть при любом р = £п точка Б(р) принадлежит главной прямой.

Пусть функции А, «1, «2 линейно независимы. Рассмотрим некоторый отрезок АВ произвольной прямой ко + &1Г1 + ^2Г2 = 0. Согласно бедствию 3.1 существует интервал (а, Ъ) С М такой, что Сп,а'Ь) П АВ = Сп П АВ. Согласно лемме 2.6 множество решений уравнения к0 + к151(р) + к252(р) = 0 на (а, Ъ) конечно. □

Заметим, что А не меняет знак на /п.

Определение 3.5. Назовем кривую Сп положительной, если Ур € 1п : А(р) > 0. Назовем кривую Сп отрицательной, если Ур € 1п : А(р) < 0.

Будем говорить, что точка Б(р) пробегает кривую Сп в положительном направлении, если при этом р пробегает /п слева направо.

Теорема 3.1. Пусть р € /п; г = Б(р) и Б'(р) = 0. Если крива,я, Сп положительна, (отрицательна), то вектор V Ие 2Дг) отличен от, нулевого и направлен, впра,во (влево) относительно положительного направления ее обхода.

А(р) = 0

(г, р)

V Ие ад = |¥' (гр, г)|-2 (и' (р) — А'(р)г) [ ° -о1 ]• (3.4)

Подставим г = Б(р) в (3.4) и соберем производную частного:

VИе^(г) = А(р)|¥'(гр,г)|-2Б'(р) [° -о1 ]• (3.5)

□

Теорема 3.1 эквивалентна правилу штриховки.

§ 3.3. Прямые В-разбиения

Прямые Б-разбиения не являются частным случаем кривых. Более того, прямые могут иметь различную природу, что потребовало проведения полной классификации прямых и исследования их свойств.

Определение 3.6. Назовем прямую Б-разбиения нерегулярной, если она состоит из нерегулярных точек Б-разбиения. В противном случае прямую Б-разбиения будем называть регулярной.

р

нерегулярной, необходимо и достаточно выполнения, всех трех условий (3.6)-(3.8);

1т /1(—гр)/2(гр) = 1т /0(—гр)/1 (гр) = 1т /2(—гр)/0 (гр) = 0, (3.6)

(/1(—гр)/2(гр))' = (/о(—гр)/1(гр))' = (/2(—гр)/о(гр))' = 0, (3.7)

/1 (гр) = /2(гр) = 0 ^ /0(гр) = 0, (3.8)

(г, р)

ходимо и достаточно выполнения равенства

/0(гр)+ Г1 /1 (гр) + Г2/2(гр) = 0^ (3.9)

г

получаем, что уравнение (3.9) разрешимо в трех случаях:

(1) если /0(гр) = /1 (гр) = /2(гр) = 0 т0 уравнение (3.9) разрешимо при любом г € М2;

(2) если 1т /1 (гр)/2(—гр) = 0, то уравнение (3.9) имеет единственное решение — точку плос-

М2

(3) если по крайней мере одно из чисел /1 (¿р), /2(¿р) отлично от нуля и выполняются равенства (3.6), то уравнение (3.9) задает прямую на плоскости (■, ■, р) пространства М3.

В случае (1) прямая Б-разбиения нерегулярна, в случае (2) прямая Б-разбиения состоит из регулярных точек Б-разбиения, за исключением не более чем одной точки — решения уравнения (3.9).

Рассмотрим случай (3). Прямая, задаваемая уравнением (3.9), и прямая Б-разбиения либо параллельны, либо пересекаются, либо совпадают. В первом случае прямая Б-разбиения состоит из регулярных точек Б-разбиения, во втором случае единственная нерегулярная точка Б-разбиения— это точка пересечения прямых, в третьем случае — прямая Б-разбиения нерегулярна. Последний случай реализуется, если уравнение (3.9) пропорционально уравнениям

□

Следствие 3.2. Регулярная прямая Б-разбиения состоит из регулярных точек Б-разби-ения, за исключением не более чем одной точки.

Определение 3.7. Назовем регулярную прямую Б-разбиения, соответствующую частоте р, стационарной, если Д'(р) = и1(р) = и'2(р) = 0, и нестационарной, если хотя бы одно из

значений Д'(р), (р), и^(р) не равно нулю.

р

Д'(р) = 0, и'(р) = 0.

Тогда

• данная, прямая регулярна,

• в любой точке г проекции прямой Б-разбиения вектор V Ие ^<Дг) отличен от, нулевого и повернут, относительно вектора и'(р) на п/2 по часовой, стрелке.

Доказательство сводится к применению формулы (3.4), которая в данном случае принимает вид

VИе ВД = |Р'(¿р, г)|-2и'(р) -1].

Определ^^м 3.8. Пуить часто те р соответствует прямая Б-раз биения и Д'(р) = 0;

назовем точку (и'(р)/Д'(р), р) пространства М3 центральной точкой данной прямой Б-разби-ения.

Покажем, что центральная точка прямой Б-разбиения принадлежит этой прямой. Дифференцируя по р тождество 0 ф Д(р)/о(гр) + и1(р)/1 (¿р) + и2(р)/2(гр), проверяемое непосредственно, получим Д'/о + и'/ + и/2 ф -¿(Д/о + и1 /1 + И2/2)- Если р соответствует некоторая прямая Б-разбиения, то стоящее справа выражение равно нулю, поэтому нулю равно и выражение, стоящее слева.

Теорема 3.4. Пусть частоте р соответствует прямая Б-разбиения и Д'(р) = 0. Тогда, •г

тор V Ие ^<Дг) отличен от, нулевого и направлен, по касательной к окружности с цен-

г

V Ие ^<Дг) направлен против часовой, стрелки, если Д'(р) > 0, и по часовой, стрелке, если Д'(р) < 0.

Доказательство сводится к применению формулы (3.4), которая принимает вид VИеВД = — |Р(гр, г)|-2А'(р)(г — и'(р)/А'(р)) [° -о1 ] •

Для того чтобы определить направление возрастания вещественной части корня на проекциях стационарных прямых (за исключением не более чем одной точки), нужно вычислить младшую ненулевую частную производную функции Ие Разберем часто встречающийся случай.

Теорема 3.5. Если точка а принадлежит проекции стационарной прямой Б-разбиения и имеет место неравенство

11е-

1

/2 (гр) + /2 (гр) V

> 0(< 0),

Р'(гр, а)

а

Р'(гр, а

г € М2

риваем,ой прям,ой, имеем Ие 2Дг) > 0 (< 0).

Доказательство. Найдем дифференциал второго порядка от функции

(3.10)

= -

2//1 , /2Р'

+ Р

+ 21 /1/2 + Л/2 + р/ д2г +

Р' /1/2Р''

дг2

+

(Р' )2

^2 +

<1Ыг2 + ( -Щ* + + )

дг1 дг2 ' (Р')2 / 1 V Р (Р')2,

Поскольку (г) ф 0 вдоль проекции рассматриваемой прямой вблизи а, то из предыдущей формулы можно найти производные второго порядка для точек, принадлежащих проекции прямой:

_ 2Р'/!/1 - /2Р" _ 2Р'/2/^ - /2Р" 9% _ Р//1Л + Р71/2-/1/2Р//

дг2

(Р )

3

дг2

(Р

3

дг1 дг2

(Р )

3

Через Я обозначим квадратную 2 х 2-матрицу, составленную из частных производных второго порядка функции Ие в точке а:

Я = Ие

дг1г2

~~дг(

дг2Г1

дг2

В силу найденных выше формул для производных получаем

Я = Г1е ■

1

2Р'/1/1 — /2Р'' Р '/1/2 + Р' /1 /2 — /1/2Р"' Р'/1/2 + Р '/1/2 — /1/2Р'' 2Р'/2/2 — /2 р''

(Р )3 га

Ие 2<Дг) = (г1 — а1)2Яп + 2(п — а0(г2 — а2)Я12 + (г2 — а2)2Я22 + о( (г — а)2) •

Далее,

г

к а (так, что (г, р) — регулярная точка Б-разбиения), то Ие (г) = 0, следовательно, Я — ненулевая эрмитова вырожденная матрица, поэтому элементы на главной диагонали отличны от нуля, имеют одинаковый знак, и справедливо представление

Вег^г) = sgnSpЯ(^Я^(rl - аг) + л/\Щ(г2 - а2))2,

откуда вытекает, что знак Ие 2^(г) вблизи точки а, за исключением точек проекции рассматриваемой прямой, совпадает со знаком следа матрицы Я. □ Сведем все возможные типы прямых Б-разбиения в таблицу 1.

Таблица 1. Типы прямых Б-разбиения

Нерегулярные Регулярные

стационарные нестационарные

с центральной точкой без центральной точки

Критерий Д'(р) = и'(р) = 0, (3.6), (3.7) и (3.8) Д'(р) = и'(р) = 0, и хотя бы одно из (3.6)-(3.8) неверно Д'(р) ф 0 Д'(р) = 0, и'(р) ф 0

Исследуем мощность множества прямых Б-разбиения. Как показывает следующий пример, это множество может быть несчетным (в отличие от множества кривых Б-разбиения).

Пример 3.1. Если функция (3.1) является полиномом Р (г, г) = г4 + Т\г2 + то 1т Р(гр, г) ф 0, поэтому прямые Б-разбиения задаются уравнением

р4 - Г1р2 + Г2 = 0

(при любом вещественном фиксированном р). Данное уравнение имеет вещественные корни в том и только том случае, если либо Г2 ^ 0 и Г1 ^ 0, либо Г1 > 0 и 4г2 < г"^. Таким образом, проекции прямых Б-разбиения полностью «заметают» неограниченную область в М2.

Теорема 3.6. Множество прямых Б-разбиения континуально в том и только том случае, если и(р) ф 0, но по крайней мере одна из функций /1,/2 отлична от тождественного нуля.

Доказательство. Необходимость очевидна: если и(р) ф 0, то множество неотрицательных корней системы (3.3) либо конечно, либо счетно (причем каждому отрезку вещественной оси принадлежит конечное число корней).

Если и(р) ф 0, то Д(р) ф 0 (в силу леммы 2.5 и того, что /о (г) ф 0), а функции /\,/2 имеют не более чем счетное множество корней на вещественной оси, поэтому система (3.3) имеет континуум решений. □

и(р) ф 0

нечно, либо счетно. Пронумеруем элементы этого множества, начиная с нулевого номера, и обозначим через 9п (и = 0,1, 2,...). Прямым Б-разбиения соответствуют частоты {9п}, и только они. Проекцию прямой Б-разбиения, соответствующей значению 9п, обозначим через Ьп.

Следствие 3.3 (из леммы 2.2). Если не все функции Д,и1,и2 тождественно равны нулю, то любое ограниченное множество Б € М2 пересекается, конечным, числом проекций, прямых Б-разбиения.

Таким образом, прямые {Ьп} разбивают М2 на не более чем счетное число выпуклых областей, ограниченных ломаной, причем если область ограничена, то ломаная состоит из конечного числа прямолинейных сегментов.

Если (и'(р)/Д'(р), р)—центральная точка прямой Б-разбиения, соответствующей частоте р, то проекцию этой точки будем называть центральной точкой, прямой Ьп.

Для того чтобы сравнить абсолютные индексы двух областей Б-разбиения, проведем непрерывную кривую, соединяющие две внутренние точки этих областей. Если эта кривая пересекает конечное число областей, причем точки ее пересечения с границей — проекции регулярных точек, то, выяснив характер убывания или роста функции И,е в этих точках, возможно вычислить разность абсолютных индексов заданных областей за конечное число шагов.

ОпределениеЗ.9. Назовем кривую Q С М2 регулярной, если она ограничена, содержит конечное число проекций точек Б-разбиения и не содержит особых точек.

Из существования регулярной кривой, соединяющей неособые точки а, Ь € М2, вытекает вычислимость р(а) — р(Ь) за конечное число арифметических операций.

Теорема 3.7. Пусть не все функции А, и^ и2 одновременно равны нулю. Для того чтобы две неособые точки плоскости М2 можно было соединить регулярной кривой, необходимо и достаточно, чтобы эти точки располагались по одну сторону от, любой нерегулярной прямой.

Доказательство. Необходимость очевидна, покажем достаточность. Построим произвольную ломаную ^^ ^^^^^^^^щую точки а и Ь. Согласно следствиям 3.1, 3.3 любое звено ломаной пересекает конечное число прямых Ьп и кривых Сп; кроме того, каждую из них ломаная пересекает в конечном числе точек. Рассмотрим некоторую область Б, содержащую ломаную. Согласно лемме 3.1, теореме 3.1 и следствию 3.2 множество проекций нерегулярных точек, принадлежащих Б, конечно. Значит, добавлением конечного числа узлов в Q можно добиться того, что ломаная не проходит через эти точки. Полученная таким образом ломаная — искомая регулярная кривая. □

§ 4. Классификация двупараметрических характеристических уравнений

В § 3 показано, что тип линий Б-разбиения и, следовательно, областей Б-разбиения зависит от того, какие из функций А, и\,и,2 тождественно равны нулю. Сведем все возможные ситуации в таблицу 2.

Таблица 2. Множества и типы линий Б-разбиения

№ Д(р) гл(р) иг(р) Множество кривых Б-разбиения Множество прямых Б-разбиения

1 #0 #0 #0 не более чем счетно не более чем счетно

2 #0 #0 = 0

3 #0 = 0 #0

4 = 0 #0 #0 пусто

5 = 0 = 0 = 0 континуально

6 #0 = 0 = 0 Условия несовместны

7 = 0 #0 = 0 Сводятся к к одномерному случаю

8 = 0 = 0 #0

Мы видим, что ситуация под номером 6 не реализуется. Это объясняется тем, что /о(я) = = + до (-г) ф 0, поэтому из и1 (р) ф 0,и2(р) ф 0 вытекает, что А тоже тождественно равна нулю (доказательство повторяет первый абзац доказательства теоремы 2.1).

Остальные случаи содержательны, поэтому проведем классификацию характеристических уравнений. В случае 5 множество кривых Б-разбиения пусто, а множество прямых Б-разбиения либо континуально (теорема 3.6), либо пусто (в том и только том случае, если /1(р) Ф /2(р) Ф 0).

В случаях 4, 7 и 8 множество кривых Б-разбиения пусто, а множество прямых Б-разбиения не более чем счетно, причем последние два случая сводятся к однопараметрическим характеристическим уравнениям. Действительно, например, из А(р) ф 0 и1(р) ф 0 и и2(р) ф 0 по лемме 2.5 вытекает /2(г) ф 0.

В случаях 1-3 множество кривых Б-разбиения и прямых Б-разбиения не более чем счетно. В этих случаях, однако, целесообразно выделить случай, когда существует главная прямая.

Таким образом, можно выделить всего четыре типа двупараметрических характеристических уравнений:

• будем называть (3.1) двупа,ра,м,ет,рическим, характеристическим уравнением первого ро-А, и1 , и2

да, если А(р) ф 0 и функции А,и1,и2 линейно зависимы;

• будем называть (3.1) двупараметрическим характеристическим уравнением, третьего Д(р) ф 0 и(р) ф 0

и(р) ф 0

Заметим, что невырожденное линейное преобразование координат и перенос начала координат не должны менять тип характеристического уравнения. Перейдем от координат (Г1,Г2) к И,г2*):

Г1 = аиг2 + а12Г2 + аш, Г2 = 021^ + а22Г2 + 020, гДе | «21 «22 I = 0, тогда характеристическое уравнение (3.1) имеет вид

г 2/2 (г) + г2/2(г) + /0 (г) = 0,

где /2(г) = а 1 1/1 (г) + 02 1 Д(г), /2(г) = а 1 2/1 (г) + 022/2^) и /2(г) = /о(г) + а 1 о/1 (г) + а2оЛ(г). Вычислим Д*(р) = 1т/2(—гр)/2(гр) = (а11а22 — а12а21)Д(р),

и1(р) = 1т/2 ( гр)/о(гр) = а22и1(р) — а12и2(р) + (а12а2о — аша22)Д(р),

и2(р) = 1т /0*(—гр)/*(гр) = — а21^(р) + аии2(р) + (аю а21 — а2о аИ)Д(р).

Таким образом, Д(р) ф 0 эквивалентно Д*(р) ф 0, а Д(р) ф и1(р) ф и2(р) ф 0 эквивалентно Д*(р) ф иЦ(р) ф и2(р) ф 0. Функции Д, и1, и2 линейно зависимы в том и только том случае, если Д2,и2,и2 линейно зависимы.

Д, и1 , и2

и1 и2

в тождественный ноль.

Теперь рассмотрим каждый тип характеристических функций более подробно.

§4.1. Характеристическое уравнение первого рода

В этом случае множества кривых Б-разбиения и прямых Б-разбиения не более чем счетны, главной прямой не существует, а области Б-разбиения могут иметь криволинейные границы, поэтому едва ли удастся уточнить геометрию областей Б-разбиения без дополнительных предположений. Тем не менее можно сформулировать один полезный признак.

аЬ

внутренние точки различных областей Б-разбиения, а, отрезок, соединяющий, эти точки, не пересекает, ни, одну проекцию прямой Б-разбиения, и в любой точке пересечения этого отрезка с проекцией кривой, Б разбиения выполняется неравенство

Ди1и'2 — и2и1 — а1(и'2Д — и2Д') + а2(и1 Д — ^Д')) > 0. (4.1)

Тогда, р(Ь) > р(а).

Доказательство. Согласно следствию 3.1 существует конечное число точек Б-разби-

аЬ

любую точку Б-разбиения (Б(р),р) и рассмотрим знак скалярного произведения

5 = (у2^(Б(р)), Б(р) — а).

По теореме 3.1 имеем

5 = Д(р)|Р'(гр, 8(р))|-2(52(р)(^1(р) — а1) — 5!(р)(52(р) — а2)).

Подставив Б(р) = и(р)/Д(р) и раскрыв производные отношения, получим, что в > 0 равносильно неравенству (4.1). Поскольку в > 0 для любой точки Б-разбиения, проекция которой принадлежит отрезку, соединяющему точки а и Ь, то р(Ь) > р(а). □

§4.2. Характеристическое уравнение второго рода

В этом случае множества кривых Б-разбиения и прямых Б-разбиения тоже не более чем счетны. В отличие от предыдущего случая здесь существует главная прямая (то есть проекции всех кривых Б-разбиения принадлежат этой прямой).

Переносом начала координат и линейным преобразованием координат добьемся того, чтобы главная прямая совпала с осью г^; тогда и2(р) ф 0.

Согласно теореме 2.1 абсолютный индекс точек главной прямой отличен от нуля и, как правило, вычислим непосредственно. Применяя теорему 3.1, можно вычислить абсолютный индекс всех областей Б-разбиения, примыкающих к главной оси и пересекающих ее. Далее, если все прямые Б-разбиения нестационарны, применяя теоремы 3.3, 3.4, можно найти абсолютные индексы всех остальных областей.

Разберем предложенную схему в случае, когда характеристическое уравнение имеет вид

■г2 + Г1 + Г2/2(г) = 0, (4.2)

где /2 € Ем а(/2) ^ 1.

Имеем /1(г) ф 1, А(р) = 1т /2(гр), и1(р) = р21т /2(гр) и и2(р) ф 0 В силу и({п) = 0 множества {£п} и {6п} совпадают. Если множество {£п} бесконечно, то обозначим М = N0, а если множество {£п} конечно, то обозначим через М наибольший индекс этого множества и обозначим М = {0,1,... М}.

Заметим, что А'(р) = Ие /2(¿р).

При каждом п € М прямая Ьп описывается уравнением п + Г2/2(я6п) = 6^ Очевидно, ни одна из этих прямых не параллельна оси п. Пусть ап = {^, 0} Если /2(¿^п) = 0, то прямая Ьп пересекает ось п в единственной точке ап. Если Ие /2(¿6п) = 0, то ап — центральная точка прямой Ьп.

Нетрудно видеть, что Б(р) = {р2, 0} следовательно, кривой Сп является либо интервал, соединяющий точки ап и ап+1, либо открытый луч с вершин ой в точке ам (есл и М — наибольший индекс конечного множества {6п}).

При каждом п € М рассмотрим область Qn в плоскости М2, содержащую такие точки г,

Уш € [0, п]: Г1 > в1 - Г2/2(г0т), (4.3)

Уш € М П [п, : Г1 < - Г2/2(г^т), (4.4)

Г2А(0п + 0) < 0. (4.5)

Заметим, что если кривая Сп положительна, то Qn примыкает к ней снизу, а если отрицательна — то сверху.

Если Ие /2(¿6п) = 0, то неравенство (4.5) может быть заменено следующим:

Г2 Ие /2(¿6п) < 0, (4.6)

а если Ие /2(¿6п+1) = 0 — то следующим:

Г2 Ие /2(¿6п+1) > 0. (4.7)

Л е м м а 4.2. Пусть существует 5 € М такое, что для любого п € М имеем |/2(г6п)| ^ |5|; и если /2(г6п) = 5, то Ие /2(¿6п)/2(¿6п) < 0. Тогда ипеМ Qn — область устойчивости уравнения (4.2).

Доказательство. Согласно лемме 2.3 левее прямой Ро нет точек с нулевым индексом. Правее Ро области Б-разбиения делятся па две категории:

• области, отделенные от оси п.

Абсолютный индекс точек кривых равен двум, поскольку Р(г, г) = г2 + Г1 (г1 > 0). Положительное направление обхода кривых Б-разбиения совпадает с положительным направлением оси п, поэтому если Д(р) > 0 т0 вектор У^ сонаправлен оси г2, а если Д(р) < 0, то У^ направлен противоположно оси Г2- Иным словами, —У^ направлен внутрь Qn, поэтому р(Яи) = 0.

Кроме Qn к кривой Сп примыкает еще одна область. Ее абсолютный индекс равен двум, поскольку внутрь нее направлен У^.

Докажем, что абсолютный индекс областей, отделенных от оси п, положителен. Пусть а — произвольная точка одной из таких областей. Проведем через эту точку прямую Г1 = а1 + + ^(г2 — а2) и обозначим ч ерез Ь = {61,0} точку пересечения этой прям ой с осью гь Отре-аЬ

d = {^1, ^2} — точка пересечения этого отрезка с одной из таких прямых Ьк- Имеем = 61+^2, следовательно, d — Ь = 1}.

Из (3.4) получаем У И,е^(d) = (г9к,d)|-2Д'(0к){—— следовательно,

(г^к, d)|2

р(а) > 0 □

Граница Qn состоит из не более чем счетного множества прямолинейных сегментов. Более точное описание областей Qn можно дать при дополнительных предположениях относительно последовательности {/^г^)}.

(¿) Рассмотрим случай, когда /2^^) = 0 для любо го п € М. Все прям ые Ьп параллельны оси Г2, поэтому еели 9п+1 существует, то

Qn = {г : С < Г1 < ^П+1, Г2Д(^п + 0) < 0},

а если 9п+1 не существует, то

Qn = {г : Г1 >9П,Г2Д(9п + 0) < 0}.

Рассмотрим случай, когда | /2(г9п) 11 — стационарная ненулевая последовательность. Если вае прямые Б-разбиения нестационарны, то условия леммы 4.2 эквивалентны тому, что {/^г^)} — знакочередующаяся последовательность. Таким образом, если 9п+1 существует, то Qn — внутренность равнобедренного треугольника, образованного отрезками прямых Ьп, Ьп+1 и интервал ом Сп. В случае ко гда М конечн о, Qм — неограниченный угол.

(ш) Рассмотрим случай, когда | /2(г9п) 11 — убывающая последовательность. В этом случае п

М

нестационарны, а знаки их угловых коэффициентов чередуются и Ке /2(0)/2 (0) < 0. М

быть может, последней, нестационарны, знаки их угловых коэффициентов чередуются и И,е/2(0)/2(0) < 0. Прямая с наибольшим номером имеет наибольший модуль углового коэффициента, и ее тип не важен (в том числе эта прямая может быть проекцией нерегулярной прямой). Таким образом, если 9п+1 существует, то Qn — внутренность многоугольника и описывается неравенствами (4.3), (4.6) и

Г1 <9П+1 — Г2/2(г^+1). (4.8)

Если М конечно, то Qм — неограниченный угол, описываемый неравенствами (4.3) и (4.5).

(¿у) Наконец, рассмотрим случай, когда ||/2(г6п)|| — возрастающая последовательность. В этом случае условия леммы 4.2 эквивалентны тому, что все прямые, кроме, быть может, прямой Ро, нестационарны, а знаки их угловых коэффициентов чередуются, начиная с п = 1, и хотя бы для одного п ^ 1 имеем Ие /2(г6п)/2(г6п) < 0. С ростом п абсолютная величина углового коэффициента уменьшается, поэтому если 6п+1 существует, то Qn — внутренность многоугольника и описывается неравенствами (4.4), (4.7) и

Г1 >бп - Г2/2(г6п). (4.9)

Если М конечно, то Qм — неограниченный угол, описываемый неравенствами (4.7) и (4.9).

Особенно интересен случай, когда ||/2(г6п)|| ^возрастающая бесконечная последовательность. Если не вводить дополнительные ограничения, то описание областей Qn тельзя упростить. Будем предполагать, что, начиная с п = 1, последовательность |бп |/2(¿6п) | 1| не убывает. Это означает, что расстояние от начала координат до точки пересечения прямой Рп с осью Г2 не убывает с ростом п, следовательно, неравенства (4.4) вытекают из (4.8). Таким образом, в этом случае Qn — внутренность треугольника, образованного отрезками прямых Рп, £п+1 и интервал ом Сп.

§4.3. Характеристическое уравнение третьего рода

В этом случае кривых Б-разбиения не существует, множество прямых Б-разбиения не более чем счетно, поэтому любая область Б-разбиения является выпуклым множеством, граница которого состоит из не более чем счетного множества прямолинейных сегментов.

Обозначим через Нп множество то чек г € М2, удовлетворяющих неравенству

Р(¿6п, г)(/2Н6пК(6п) - /1(-г6п)и2(6п)) > 0. (4.10)

Каждая прямая Рп разбивает М2 на две полуплоскости. Докажем, что если Рп — проекция нестационарной прямой Б-разбиения и а € £п, то вектор -V Ие (а) отличен от нуля и направлен внутрь Нп.

Обозначим в = |Р'(¿6п, а)|2(а - г, VИе (а)).

Далее, г € Нп равносильно в > 0. Используя (2.2), получим

в = - Ие((а1 - Г1)Р'(¿р, а)/1 (-¿р) + (а2 - Г2)Р'(¿р, а)/2(-¿р)),

следовательно,

в = Ие(Р(-¿6п, а)Р(¿6п, г)). (4.11)

Предположим, что ^(¿6п) = 0. Домножим неравенство в > 0 на положительное число /2(«6п)/2(—¿6п). В силу /^(г6п)/2(—¿6п) € М для любого к € {0,1, 2} из (4.11) получаем sgn в = = sgn Р (¿6п, г)/2(-г6п)Ие( Р' (-¿6п, а)/2^)).

Учитывая (2.4) и то, что и1 = -^о, и2 = ^ю, получаем

Ие(Р' (-¿6п, а)/2(г6п)) = и1(6п),

следовательно, sgn в = sgn Р(¿6п, г)/2(-¿6п)и1(6п).

Аналогично, если /1 (¿6п) = 0, то sgn в = - sgnР(¿6п, г)/1(-¿6п)и'2(6п).

По определению прямой Б-разбиения по крайней мере одно из чисел /1 (¿6п) /г(г6п) отлично от нуля, следовательно, неравенство (4.11) равносильно тому, что справедливо по крайней мере одно из неравенств:

-Р(¿6п, г)/1(-г6п)и2(6п) > 0, (4.12)

Р(¿6п, г)/2(-г6п)и!(6п) > 0. (4.13)

Сложив (4.12) и (4.13), получим (4.10).

Заметим, что если выражения, стоящие слева в неравенствах в (4.12), (4.13), не обращаются в ноль, то любое из этих неравенств можно использовать в качестве определения Нп вместо (4.10).

Проекции всех нерегулярных и стационарных прямых разбивают плоскость на не более чем счетное множество выпуклых областей М1, М2,... Мп ....

Л е м м а 4.3. Если для, каждой области Мк существует непустая область Ок, равная пересечению Мк со всем и Нп такими, что нестационарна я прямая Ьп пересека ет Мк, то область устойчивости есть объединение некоторых из областей Ок.

Доказательство. Рассмотрим область Мк. Выберем а € Ок и Ь € Мк \ Ок; тогда отрезок, проведенный из а в Ь, пересекает конечное число прямых из множества Ьп, но а € Нп, а Ь € Нп, поэтому р(Ь) > р(а). □

Поясним смысл леммы 4.3. Множество целесообразно составлять либо из регулярных, либо из стационарных прямых. Тогда внутри области Мп нет особых точек, что позволяет соединить любые две точки регулярной прямой (теорема 3.7) и найти области с нулевым абсолютным индексом. В частности, если внутри каждой области Мп можно указать область Оп с наименьшим абсолютным индексом, то остается тем или иным способом найти абсолютные индексы всех Оп. Приведем несколько признаков, основанных на применении этой идеи.

М

множество индексов элементов множества 9п, нумеруемых с нуля.

Следствие 4.1. Пусть (3.1) — двупараметрическое хара,кт,ерист,ическое уравнение третьего рода, и ПП€М НП = 0- Тогда, область устойчивости либо пуста, л,ибо совпадает С ПП€М

Следствие 4.2 (из лемм 2.3, 4.3). Пусть (3.1) — двупараметрическое характеристическое уравнение третьего рода, |/1(0)1 + !/2(0)! = 0 и область О, являющаяся пересечением полуплоскости г1/1(0) + г2/2(0) + /о(0) > 0 и Г^еМ^о} не пуста. Тогда, область устойчивости л,ибо пуста, л,ибо совпадает с О.

Очевидно, следствие 4.1 вытекает из следствия 4.2 в том случае, если прямая, соответствующая нулевой частоте, нестационарна.

Следствие 4.3. Пусть (3.1) — двупараметрическое характеристическое уравнение третьего рода, а точка а принадлежит прямой Ьт и полуплоскости Нп при любом, п = ш. Область устойчивости пуста, если, выполняется хотя бы одно из условий:

(1) W(9т, а) > 0;

(2) существует прямая в М2, проходящая через точку а, но не совпадающая, с Ьт, такая, что абсолютный индекс любой точки этой прямой положителен;

(3) /1(0)и2(0) > /2(0К(0).

Доказательство. Пусть выполняется (1) или (2). Применим лемму 4.3: множество

состоит из прямой Ьт, а множество ^2 из всех остальных прямых. Тогда М1 и М2 — полуплоскости, на которые прямая Ьт разбила плоскость. Обозначим через О пересечение всех полуплоскостей Нп таких, что п = ш. Области О = О П М1 и О = О П М2 не пусты, и вне этих областей нет точек с нулевым абсолютным индексом. Поскольку а не принадлежит Ьп п = ш

из проекций прямых Б-разбиения, кроме Ьт, следовательно, абсолютный индекс любой точки этого круга положителен. Области О,О пересекаются с данным кругом, поэтому р(О) > 0 и р(О2) > 0.

Если выполняется пункт (3), то прямая Ьо нестационарна. Полуплоскость Но задается неравенством Г1/х(0) + Г2/2(0) + /о(0) < 0, а согласно лемме 2.3 условие Г 1/1(0) + Г2/2(0) + /о(0) > 0

необходимо для того, чтобы все корни уравнения (3.1) лежали слева от мнимой оси. Таким

□

§ 4.4. Характеристическое уравнение четвертого рода

В данном случае имеем и1(р) ф и2(р) ф А(р) ф 0. Анализ такого характеристического

уравнения мог бы создать значительные трудности, поскольку множество прямых Б-разбиения

континуально, однако область устойчивости для характеристического уравнения четвертого

М2

/1 , /2

/1(р) = /2(р) ф 0, тогда, если /о устойчива, область устойчивости совпадает с М2, а если /о не является устойчивой, то область устойчивости пуста.

В примере 3.1 приведено характеристическое уравнение четвертого рода.

* * *

Исключая из рассмотрения характеристическое уравнение четвертого рода, делаем следующие выводы. Границы областей Б-разбиения могут иметь криволинейные и прямолинейные участки. Первая ситуация реализуется только для характеристического уравнения первого рода. Прямолинейные участки могут возникнуть по двум причинам: либо это участки проекций кривых Б-разбиения, принадлежащие главной прямой (это может быть только для характеристического уравнения второго рода), либо это участки проекций прямых Б-разбиения. Правило штриховки эквивалентно теореме 3.1, то есть оно позволяет определить направление возрастания вещественной части корня только на проекциях кривых Б-разбиения.

Для прямых Б-разбиения правило штриховки непосредственно не применимо, поэтому Ю. И. Неймарк предложил два приема: либо деформировать прямые в кривые введением фиктивных параметров, либо нанести штриховку на проекции прямых так, чтобы она соответствовала штриховке на кривых. Первый прием приводит к усложнению задачи. Второй прием эквивалентен применению теоремы 3.4 (то есть применим только для нестационарных прямых с центральной точкой). Таким образом, область устойчивости характеристического уравнения третьего рода невозможно найти, используя правило штриховки, хотя области Б-разбиения для уравнения этого типа наиболее просто исследовать.

Если характеристическое уравнение зависит от более чем двух параметров, то фиксирование некоторых параметров приводит к исследованию семейства двупараметрических характеристических уравнений. Если это возможно, то целесообразно выбирать такую параметризацию, которая приводит к исследованию характеристических уравнений второго или третьего рода.

В заключение параграфа сформулируем критерий прямолинейности границ областей Б-раз-биения.

/о /1 /2

А и1 и2

ница любой области Б-разбиения состояла только из прямолинейных участков, необходимо

А, и1 , и2

§ 5. Наборы Б-разбиения

Если существует область Б-разбиения такая, что при переходе из нее в любую другую область Б-разбиения абсолютный индекс точек увеличивается, то либо она является областью устойчивости, либо область устойчивости пуста. В других частных случаях могут быть использованы леммы 4.1, 4.2, 4.3, однако универсального способа расстановки абсолютных индексов для областей Б-разбиения не существует.

Для получения необходимых и достаточных условий устойчивости, как правило, требуется указать алгоритм, позволяющий найти или оценить абсолютный индекс любой области Б-разбиения. Построение такого алгоритма может быть достаточно трудной задачей. В настоящем параграфе рассматривается новый прием анализа областей Б-разбиения.

и(р) ф 0

исключено из рассмотрения.

Определение 5.1. Выберем некоторое множество линий Б-разбиения и поставим каждой из них в соответствие натуральное число. Множество этих линий назовем набором Б-разби-ения, а числа — вехам,и линий в наборе.

Будем говорить, что наборы ш1 и ш2 равны, если они содержат одни и те же линии Б-разбиения, и вес каждой линии в ш1 равен весу этой линии в ш2-

В дальнейшем для краткости вместо термина набор Б-разбиения будем использовать термин набор. Кроме того, удобно оперировать не самими линиями Б-разбиения, а их проекциями, поэтому выражение «кривая Сп (прямая £п) принадлежит набору ш и имеет вес V в этом наборе» следует понимать так: «кривая Б-разбиения (прямая Б-разбиения), проекция которой — это кривая Сп (прямая Рп), принадлежит набору ш и имеет вес V в этом наборе».

§5.1. Индексируемые наборы

Определение 5.2.

Точкой, Б-разбиения набора, назовем точку Б-разбиения, принадлежащую какой-либо линии данного набора.

Областью набора назовем линейно связное открытое множество V € М2 такое, что:

— V не содержит проекции ни одной точки Б-разбиения данного набора,

— любое линейно связное открытое множество, собственным подмножеством которого является V, содержит проекцию хотя бы одной точки Б-разбиения данного набора.

Назовем набор регулярным,, если он не содержит нерегулярные прямые Б-разбиения.

М2

М2

точкой набора.

• Назовем ломаную Q С М2 регулярной ломаной относительно набора, если она не проходит через особую точку набора, и ни одно звено ломаной не лежит ни на проекции прямой Б-разбиения, ни на главной прямой.

Для того чтобы две неособые точки набора можно было соединить ломаной, регулярной относительно набора, необходимо и достаточно, чтобы эти точки лежали по одну сторону от любой нерегулярной прямой, принадлежащей данному набору. Следовательно, в регулярном наборе любые две неособые точки набора можно соединить ломаной, регулярной относительно набора.

Согласно следствиям 3.1, 3.3 регулярная ломаная набора содержит лишь конечное число проекций точек Б-разбиения набора.

Пусть Q — регулярная ломаная набора ш. Параметризуем эту ломаную с помощью непрерывной вектор-функции к: [0,1] ^ М2, так что к(£) € ^ ^^^ любом £ € [0,1].

Напомним, что ломаная ^ ^^^^^^^^^^^ ^^^^^ой, если для любых £1, £2 € (0,1) из к(£1) = к(£2) вытекает = ¿2; ломаная называется замкнутой, если к(0) = к(1).

Обозначим через {к(¿га),рга} (п = 1 ,М, Ьп € [0,1]) множество точек Б-разбиения набора, проекции которых принадлежат ^^ ^^^^там, что Ие (к(£п ± 0)) = 0 (в противном случае Q содержала бы отрезок, принадлежащий прямой Б-разбиения или главной прямой).

Определение 5.3. Пусть ш— регулярный набор, а Q — ломаная, регулярная относительно набора ш. Будем называть индексом, ломаной Q от носит, ельно набора ш число

Р- (Q) = Е

M

vrasraj n=1

где — вес в набope ш той линии набора, которой принадлежит точка набора (k(tra),pn), a sn вычислено по следующему правилу:

• если ¿п € (0,1) и Ие (^ — 0)) < 0 и Ие (+ 0)) > 0, то ¿п = +1;

• если ¿п € (0,1) и Ие (^ — 0)) > 0 и Ие (^ + 0)) < 0, то ¿п = —1;

• есл и ¿п € (0,1) и Ие (к(^ — 0)) Ие ( к(^ + 0)) > 0, то ¿п = 0;

• есл и ¿п = 0 и Ие ( + 0)) > 0, то ¿п = 0;

• если ¿п = 0 и Ие (+ 0)) < 0, то ¿п = —1;

• есл и ¿п = 1 к Ие (— 0)) < 0, то ¿п = +1;

• если ¿п = 1 и Ие (— 0)) > 0, то ¿п = 0.

Заметим, что если ^¿т)— внутренняя точка звена [а, Ь] ломаной Q ж вектор Ь — а не перпендикулярен вектору У Ие (Ц^)), то«т = sgn ^Ь — а, У Ие (Ц^)) ^.

В силу аналитичности функции Ие ^ в окрестности любой точки ^^ ^^аная Q допускает малую деформацию с сохранением индекса относительно набора. Следовательно, если Q не проходит через проекции стационарных прямых набора, то малым перемещением узлов ^ ^^^^^ ^^^^ся того, чтобы Q проходила только через проекции нестационарных точек Б-разбиения набора.

Определение 5.4. Будем называть регулярный набор индексируемым, если относительно этого набора индекс любой простой регулярной замкнутой ломаной равен нулю.

Теорема 5.1. Относительно индексируемого набора вес любой регулярной замкнутой ломаной равен нулю.

Доказательство. Добавим к узлам регулярной замкнутой ломаной новые узлы на звенья так, что если любые два звена новой ломаной имеют хотя бы две общие точки, то эти звенья совпадают. Таким образом, мы получим ломаную регулярную относительно ш, геометрически совпадающую с исходной ломаной, имеющую тот же индекс относительно ш.

Разобьем Q на конечное множество замкнутых простых ломаных и замкнутых ломаных, не являющихся многоугольниками. Индекс относительно набора любой простой замкнутой ломаной равен нулю по предположению. Обход каждого звена замкнутой ломаной, не являющейся многоугольником, осуществляется в прямом и обратном направлении одинаковое число раз, поэтому индекс такой ломаной относительно набора равен нулю. Следовательно, индекс ломаной ^ ^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^ ^^^^^ ^^^^ □

Теорема 5.2. Набор, состоящий только из нестационарной прямой (с ненулевым весом), индексируем, в том и только том случае, если, эта прямая не имеет центральной, точки.

Доказательство. Пусть прямая Ьп имеет центральную точку. Построим выпуклый замкнутый многоугольник, содержащий эту точку. Пусть Q — граница этого многоугольника, обходимая по часовой стрелки, а вес прямой в наборе равен V. Тогда согласно теореме 3.4 индекс кривой ^ набора равен 2^, если Д'(9п) < 0, и равен — 2^, если Д'(9п) > 0.

Пусть у прямой Ьп нет центральной точки, тогда эта прямая разделяет М2 на две полуплоскости, причем У^п в каждой точке прямой направлен из одной полуплоскости в другую. Если

Ь пробегает значения от нуля до единицы, то точка пересекает Ьп в обе стороны одинаковое

□

Определение 5.5. Если |8(£п)| < оо, то назовем точку Б({п) концевой точкой кривых Сп-1 и Сп.

Теорема 5.3. Набор, состоящий только из кривой, Б-ра,з биения, индексируем, в том и только том случае, если, л,ибо у проекции этой кривой, нет концевых точек, л,ибо концевые точки существуют и совпадают.

Доказательство. Рассмотрим простую регулярную замкнутую ломаную Q. Эта ломаная разбивает М2 на два связных множества: многоугольник А и неограниченную область В. Для того чтобы набор был индексируем, необходимо и достаточно, чтобы при положительном обходе кривой Сга точк а В(р), переходила изАвВиизВвА равное количество раз.

Если у кривой нет концевых точек или обе концевые точки существуют и совпадают между

А В В А

набор индексируем.

Если у кривой существует ровно одна концевая точка или существуют две концевые точки,

А

цевую точку, но не содержащий другую концевую точку (если таковая существует). Двигаясь из этой концевой точки вдоль кривой Сга, мы, очевидно, пересечем границу извне А на один раз больше, чем внутрь А. □

В индексируемом наборе любые две регулярные ломаные, имеющие общий конец и общее начало, имеют одинаковые относительные индексы.

Определение 5.6. Пусть а — неособая точка индексируемого набора ш; присвоим ей некоторое целое число рш (а). Тогда любой другой неособ ой точки Ь присвоим чи ело рш (Ь) по формуле рш (Ь) = рш (а) + рш где ^ ^ ^^^^^^^^^ ^^^^^^^тая ломаная с началом в а и концом в Ь. Числа рш(а) и рш(Ь) будем называть индексом, точек а и Ь относитсяьно ш.

М2

стям можно присвоить относительный индекс по правилу, аналогичному тому, как расставляется абсолютный индекс областей, учитывая, однако, что вес линий задается исследователем.

Определение 5.7. Объединением наборов Ш1 и ш2 назовем набор ш0, состоящий из линий, входящих хотя бы в один из наборов. Вес линии в наборе шо равен сумме ее весов в наборах ш1 и ш2. Будем обозначать ш0 = ш1 и ш2.

Покажем, что если Ш1 и Ш2 — индексируемые наборы, то Ш1 иш2 — индексируемый набор. Для этого построим регулярную замкнутую простую ломаную ^^ ^^^шльку Q пересекает конечное число проекций точек Б-разбиепия, то индекс ^ ^^^^сттельно Ш1 и Ш2, очевидно, равен сумме

ш1 ш2

Определение 5.8. Будем называть набор полным, если

• он содержит все линии Б-разбиения;

равен единице;

Теорема 5.4. Пусть полный набор может быть представлен в виде объединения не более чем счетного множества индексируемых наборов ш1, ш2,... шп ... Тогда,

• если существуют неособая точка а и ном ер т такие, что для любого п > т имеем, ршп (а) = 0, то существует целое число Ш такое, что для любой неособой точки Ь

те

имеем р(Ь) = Ш + ^ р^п (Ь)-

П=1

Доказательство. По определению

те те т

р(Ь) - р(а) = Е (р^п (Ь) - р^п (а)) = Е р^п (Ь) - Е р^п (а)'

П= 1 П= 1 П= 1

т

следовательно, достаточно положить Ш = р(а) — ^ рШп(а). □

п=1

§ 5.2. Элементарные наборы

Определение 5.9. Индексируемый набор ш назовем элементарным, если он не может быть представлен в виде объединения двух различных непустых индексируемых наборов.

Рассмотрим типичные наборы.

• Набор, состоящий из нестационарной прямой без центральной точки, будем называть I-набором.

• Набор, состоящий из кривой без концевых точек с весом 2, будем называть S-набором.

• Будем называть Т-набором набор, состоящий из кривой Cn с весом 2 и нестационарной прямой Lm с весом 1 таких, что Д'(0т) = 0 и либо = и u(£n+i) = 0, либо = £n+i и u(£„) = 0.

• Набор, состоящий из кривой Cn с весом 2 и прямых Lm, Lm+i с весом 1 таких, что = или 0m+i = {n+ъ будем называть Н-набором.

Согласно теоремам 5.2, 5.3 I-наборы и S-наборы индексируемы и, следовательно, элементарны.

Теорема 5.5. Т-набор элементарен.

Доказательство. Для определенности пусть Cn — положительная кр ивая и u(£n+i) = = 0. Тогда = S(£n) конечно и Д'(0т) > 0, точка S(£n) является центральной точкой прямой Lm и единственной концевой точкой Cn.

Рассмотрим Q — простую замкнутую регулярную ломаную набора. Пусть обход Q осуществляется против часовой стрелки. Ломаная Q ограничивает многоугольник A.

Если центральная точка прямой Ln не принадлежит A, то вклад как прямой Lm, так и кривой Cn в индекс ломаной Q относительно набора равен нулю (доказательство этих фактов повторяет рассуждения, приведенные в доказательствах теорем 5.2, 5.3).

Пусть центральная точка прямой Lm принадлежит A. Пусть Ki — количество пересечений Q и Lm, таких, что щи увеличении t переход точки k(t) через Lm осуществляется по часовой стрелке, a — количество таких пересечений против часовой стрелки. Очевидно, Ki — K2 = 2, поэтому вклад прямой Lm в вес ломаной Q относительно набора равен двум.

Далее, если р пробегает значения от (^,£«+0) то точка S(p) выходит из A на один раз

больше, чем входит внутрь этого многоугольника, поэтому вклад кривой Cn в вес ломаной Q

Q

□

Доказательство следующей теоремы аналогично доказательству предыдущей.

Теорема 5.6. Н-набор элементарен.

Вообще говоря, элементарные наборы могут быть весьма разнообразными. Однако для характеристического уравнения третьего рода не существует кривых D-разбиения, а у прямых D-разбиения нет центральных точек, поэтому если все прямые нестационарны, то полный набор, очевидно, представляет собой объединение не более чем счетного множества 1-наборов.

Для характеристического уравнения первого и второго рода имеет место следующее утверждение.

Теорема 5.7. Пусть Д(р) ф 0 и у функций Д, Д', ui, ui, u2, U2 нет общего корня. Тогда, полный набор может быть представлен как объединение не более чем счетного множества S-, Т- и Н-наборов.

Доказательство. В силу предположения теоремы из Д'(£п) = 0 вытекает lim Д(р)/и^р) = 0 или lim Д(р)/и2(р) = 0.

n n

Иными словами, если существует конечный предел lim S(p), то Д'(£п) = 0, и тогда согласно (2.4) по крайней мере одно из чисел /i(£n),/2(£n) отлично от нуля. Следовательно, каждая концевая точка проекции кривой D-разбиения является проекцией центральной точки нестационарной прямой D-разбиения, и наоборот: каждая проекция центральной точки прямой D-разбиения является концевой точкой некоторой проекции кривой D-разбиения.

Кроме того, прямая D-разбиения, соответствующая частоте существует тогда и только тогда, когда u(£n) = 0, причем все прямые D-разбиения нестационарные и имеют центральную точку.

Сформируем набор следующим образом:

во-первых, включим в пего кривую Cn с весом 2, во-вторых, если u(£n) = 0, то включим в набор прямую, соответствующую частоте с весом 1, в-третьих, если u(£n+i) = 0, то включим в набор прямую, соответствующую частоте 1

Таким образом, если оба вектора u(£n), u(£n+i) отличны от нулевого, то является S-набором. Если ровно один из векторов отличен от нулевого, то — это Т-набор, а если оба вектора нулевые, то является Н-набором.

Прямая Lo входит только в набор Wo; при n ^ 1 прямая Ln входит в два набора, поэтому ее вес в полном наборе равен двум. Поскольку каждая линия входит хотя бы в один набор, то объединение всех дает полный набор. □

Определеннее.10. Будем называть индексируемый набор простым, если проекция ни одной из входящих в него линий не имеет точек самопересечения, проекции любых двух линий не имеют общих точек, относительный индекс любой области неотрицателен и существует хотя бы одна область набора с нулевым относительным индексом.

Простой S-набор содержит простую кривую Cn, разбивающую R2 на две области с отно-02

имеет та область, которая расположена слева относительно положительного обхода кривой, а если кривая отрицательна — та область, которая расположена справа. Относительный индекс регулярных точек кривой Cn равен двум.

Удобно иметь формальный признак, позволяющий определить, какой их двух областей принадлежит заданная точка а. Для этого выб ерем р € £n+i) такую, что луч с вер шиной a и проходящий через S(p), не пересекает кривую Cn ни в какой другой точке. Выражение (S(p) — а, VZ^) мы уже вычисляли, его знак совпадает со знаком выражения (4.1). Если оно

a

то относительный индекс а равен двум.

Простой Т-набор содержит три области. Прямая Lm разбивает R2 на две полуплоскости: присвоим той из них, которая не содержит кривую Cn, единичный относительный индекс, тогда

02

стрелке относительно центральной точки прямой Lm: если Д'(0т) > 0, то области расположены в порядке возрастания их относительных индексов, а если Д'(0т) < 0 — то в порядке убывания (схематично области и их относительные индексы изображены на рис. 1, 2). Относительный индекс неособой точки линий набора равен наибольшему относительному индексу области, границе которой принадлежит данная точка.

Простой Н-набор содержит четыре области, относительные индексы которых равны 0,1,1, 2. Существуют два варианта расположения этих областей, которые схематично изображены на рис. 3, 4.

Рассмотрим типичную ситуацию.

Теорема 5.8. Пусть выполнены следующие условия:

(1) полный набор прост;

(2) Д(р) ф 0, и у функций Д, Д', u1, u'i, u2, U2 нет, общего корня;

(3) центральная точка прямой L0 имеет нулевой индекс относительно любого элементарного набора, не содержащего L0;

Г 2 Г 2

Г2 Г 2

1 0 1 1 2 1

2 П 0

Рис. 3. Простой Н-набор при А'(£п) > 0 Рис. 4. Простой Н-набор при

(4) существует точка р € Ь0 такая, что р(р) = 1.

Тогда нулевой абсолютный индекс имеют те и только те точки, которые имеют нулевой индекс относительно Т-набора, содержащего Ь0.

Доказательство. Согласно теореме 5.7 в силу пункта (2) полный набор О является объединением не более чем счетного множества простых элементарных наборов шо, .. шп,..., причем через ш0 обозначен элементарный Т-набор, состоящий из Ь0 и С0. Обозначим через Бп область с нулевым индексом относительно шп. Множество М = Р|с^=\Оп не пусто по условию пункта (3) и открыто согласно следствиям 3.1, 3.3.

Центральная точка прямой .¿о принадлежит гр анице Бо и облас ти М, поэтому Бо П М = 0. Покажем, что если выполняется условие пункта (4), то БоПМ является областью устойчивости.

Согласно лемме 5.4 существует целое число Ш такое, что для любой неособ ой точки Ь имеем р(Ь) = Ш + рШп (Ь). Для Ь € Б0 П М имеем р(Ь) = Ш, поэтому Ш ^ 0. Для точки р имеем

п

1 = р(р) ^ Ш + рШ0 (р) ^ Ш + 1,

откуда Ш ^ 0 следовательно, Ш = 0.

Остается отметить, что в силу условия пункта (1) проекции линий Б-разбиения не пересекают Бо, поэтому Б0 = Б0 П М. □

§ 6. Примеры

В качестве примеров рассматриваются двупараметрические характеристические уравнения ряда уравнений с сосредоточенным и распределенным запаздыванием. Уравнения со слагаемым г возникают при исследовании ФДУ первого порядка. Уравнения со слагаемым г2 можно интерпретировать как частные случаи характеристического уравнения ФДУ второго порядка

или системы

í ¿(í) + A¿(í) + B¿(í - h) = 0, í € R+, | ¿(í) = ^(í), í € [—h, 0),

где A, B € М2х2.

Далее pi = ap2 = b.

§ 6.1. Примеры двупараметрических характеристических уравнений первого рода

1 + e-2z

z2 + a---+ bz = 0, (6.1)

1- е-2г

z + ae~z + b---=0, (6.2)

z + a + be-z = 0, (6.3)

z2 + ae-z + bz = 0, (6.4) 1 — e-z

z + a—--+ b = 0, (6.5)

2z

z2 + ae-z + bze-z = 0, (6.6) 1 - e-2z

z2 + a---+6e"^ = 0, (6.7)

1 + e-2z

z2 + a---+6ze"^ = 0, (6.8)

z2 + ae-2z + bze-z = 0, (6.9)

z2 + ae-2z + be-z = 0. (6.10)

Теорема 6.1. Для того чтобы все корпи уравнения (6.1) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

b> 0, 0 < a < n2/ cos2 n, где n — корень уравнения b = n tg n из интервала (0, п/2).

Доказательство. Запишем характеристическое уравнение в виде

z2ez + a ch z + bzez = 0, тогда Д(р) = Im f1(—ip)/2(ip) = p cos2 p,

ui(p) = Im /2(-ip)/o (ip) = p3,

U2(p) = Im /o( ip)/i (ip) = p2 sin p cos p.

Очевидно, функции A,ui,u2 линейно независимы, следовательно, (6.1) — двупараметриче-ское характеристическое уравнение первого рода. Имеем S1(p) = p2/cos2 p и S2(p) = —p tg p.

Далее, £0 = 0 и — n(n — 1/2) при n € N. Равенство u(^n) — 0 выполняется только при n = 0, а функции A,ui, Д' не имеют общих корней, следовательно, полный набор представим в виде объединения одного простого Т-набора Wo, состоящего из Lo и Co, и счетного множества простых S-наборов wn, каждый из которых включает только кривую Cn (теорема 5.7). Простота наборов вытекает из монотонности функции S2-

Прямая Lo описывается уравнением ri = 0, ее центральная точка расположена в начале координат. Неограниченный криволинейный угол Do, изображенный на рис. 5 — область набора Wo с нулевым относительным индексом.

Теперь докажем, что полный набор прост. Очевидно, для любого вещественного р выполняется тождество р2 = 51(р) — ^(р). Следовательно, если р— решение уравнений г = Б(р) при фиксированном г, то оно является решением у равнения р2 = Г1 — г2, то есть через каждую точку плоскости проходит не более одной проекции кривой Б-разбиения. Так как ^(р) > 0 при любом р = £п, прямая ¿о не пересекает кривую Сп ни при каком п € N0.

Теперь докажем, что центральная точка прямой ¿о имеет нулевой индекс относительно любого набора шп при п ^ 1. При п ^ 1 уравнение 52(р) = 0 имеет единственное решение р = пп на интервале (£п, £п+1), то есть кривая Сп пересекает ось п в единственной точке Б(пп) = {п2п2, 0}. Пусть а — начало координат; подставив значения р = пп, а1 = а2 = 0 в неравенство (4.1), получим Д(р)и1 (р)«2(р) = п6п6 > 0 следовательно, рШп(а) = 0 (лемма 4.1).

Таким образом, выполняются условия теоремы 5.8, следовательно, область устойчивости характеристического уравнения (6.1) — это область ^о на рис. 5. □

_ „ „ Рис. 6. Элементарный Т-набор wo и S-наборы

Рис. 5. 1-набор wo и Ь-набop wi уравне- „

„ , „ " wi, w2 уравнения (6.2); Do ^ область устоичи-

ния (6.1); Do — область устойчивости

вости

Теорема 6.2. Для, того чтобы все корпи уравнения (6.2) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно выполнения, неравенств b > — 1 и 0 < a < n sin ц, где п — корень уравнения b = —n ctg п из интерв ала (0, п).

Доказательство. Запишем характеристическое уравнение в виде

zez + a + b sh z = 0;

тогда Д(р) = sin p, u1(p) = p sin2 p и u2(p) = —pcos p; следовательно, (6.2) — двупараметри-ческое характеристическое уравнение первого рода.

Далее, £n = пп при n € No- Полный набор представим в виде объединения одного простого Т-набора wo, состоящего из Lo и Co, и счетного множества простых S-наборов wn, каждый из которых включает только кривую Cn. Простота наборов вытекает из монотонности функции $2-

Далее доказательство сводится к проверке требований теоремы 5.8. Все требования, за исключением первого, проверяются полностью аналогично тому, как это было проделано при доказательстве теоремы 6.1, поэтому не будем на них останавливаться.

Убедимся лишь только в том, что полный набор прост. Имеем $i(p) = p sin p и $2(p) = = —p ctg p. Очевидно, что $i(p) = 0 при p = £n; следовательно, ни одна из кривых D-разбиения не пересекает прямую Lo - Предположим, что проекции двух кривых D-разбиения пересекаются, тогда существуют частоты p < ф такие, что $i(p) = $i(^) и $2(p) = $2(Ф)- Из второго равенства вытекает, что | ctg p| > | ctg ф|, следовательно, | sin p| < | sin ф|, откуда получаем, что

I$i(Ф)I > |$i(p)|.

Итак, по теореме 5.8 область устойчивости — это область Do на рис. 6. □

r2 r2

Рис. 7. Элементарный Т-набор и)о уравне- Рис. 8. Элементарный Т-набор и)о уравнения (6.3); £>о — область устойчивости ния (6.4); £>о— область устойчивости

г2 Гх

Рис. 9. Элементарный Т-набор ш® уравне- Рис. 10. Области Б-разбиения уравнения (6.5); Б® область устойчивости ния (6.6); £)0 ^ область устойчивости

Теорема 6.3 (см. [17]). Все корпи уравнения (6.3) имеют отрицательные вещественные части, если и только если выполняются неравенства а > —1 и —а < Ъ < r¡/ sin r¡, где r¡ — единственный корень уравнения а = —rjctgr] из интервала (0,7г/2).

Теорема 6.4 (см. [5, с. 130]). Для того чтобы все корни уравнения (6.4) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно выполнения, неравенств

0 < а < г]2/cos r¡, где г] — корень уравнения b = r/tgr] из интервала (0, тт/2).

Теорема 6.5 (см. [29]). Для того чтобы все корни уравнения (6.5) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства Ъ > — 1 и —Ъ < а < г]2/sin2 г], где г] корень уравнения Ъ = —r¡ctgr¡ из интервала (0,7г).

Доказательства теорем 6.3, 6.4, 6.5 повторяют доказательство теоремы 6.1 и сводятся к применению теоремы 5.8, все условия которой проверяются аналогично. На рис. 7, 8, 9 изображены Т-наборы: область Do является областью с нулевым относительным индексом этого набора и, следовательно, областью устойчивости.

Теорема 6.6 (см. [5, с. 129]). Для того чтобы все корни уравнения (6.6) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно выполнения, неравенств 0 < b < 7г/2 и, 0 < а < г]2 cost], где г] — корень уравнения Ъ = г? sin г? из интервала (0,7г/2).

Доказательство. Имеем Л(<р) = íp, щ(<р) = (р3 eos íp, м2(р) = <р2 sin <р, поэтому (в отличие от рассмотренных выше случаев) для этого уравнения имеется всего две линии D-разби-ения: нестационарная прямая, соответствующая нулевой частоте, и кривая, которой соответствует полуинтервал (0,+оо). Прямая Lo задается уравнением г\ = 0 и имеет центральную точку, совпадающую с началом координат. Далее, S(р) = {p2cosp,psinp}.

Имеем р4 — S|(p)p2 — £2(р) = 0. Если р удовлетворяет уравнению r = S(p) при фиксированном r, то оно удовлетворяет биквадратному уравнению р4 — r|p2 — r2 = 0. Данное уравнение

имеет единственное положительное решение р = \J(г| + у/f^ + 4rf)/2, поэтому кривая Сга не имеет точек самопересечения.

В любой точке кривой Cn выполняется неравенство

Si(p)S2(p) — Si(p)S2(p) = р2(р — sinрcos р) > 0;

следовательно, данная кривая представляет собой гладкую спираль, раскручивающуюся против часовой стрелки.

Обозначим через Do область, ограниченную с одной стороны отрезком прямой L°, а с другой — участком кривой C°°'n/2) (см. рис. 10). Легко видеть, что любая другая область имеет непустое пересечение с осью ri, в силу теоремы 6.4 ее абсолютный индекс положителен. Выберем точку a = {0,1} ей соответствует характеристическое уравнение z(zez + 1) =0. Это уравнение не имеет корней с положительной вещественной частью, но имеет ровно один корень с нулевой вещественной частью (теорема 6.3). Поскольку Д'(0) = 1, то V Re Z° направлен против часовой стрелки относительно начала координат (теорема 3.3), поэтому VRe Z°(a) направлен против оси ri, следователь но, p(D°) = 0 □

Теорема 6.7. Для того чтобы все корпи уравнения (6.7) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

0 < а < 7г2/4, 0 <b < a cos у/а. (6.11)

Доказательство. Запишем характеристическое уравнение в виде

z2ez + a sh z + b = 0;

тогда имеем Д(р) = — sin р, и1(р) = —р2 sin р, u2(p) = —р2 sin р cos р; следовательно, $n = £n = п^и п € N°.

Проекции кривых D-разбиения задаются изображением S(p) = {р2,р2 cos р}. Очевидно, проекции кривых D-разбиения просты и не пересекаются друг с другом. Поскольку Д'(0П) = (—1)n+i, то все прямые D-разбиения нестационарны. Прямая Ln задается уравнением r2 = п2п2(—1)n, а {п2п2,пп(—1)n} — ее центральная точка.

Согласно теореме 5.7 полный набор Q может быть представлен в виде счетного объединения Н-наборов Wn, СОСТОЯЩИХ ИЗ Cn, Ln и Ln+1-

Изучим пересечение кривой Cn и прямой Lm. Точка пересечения удовлетворяет уравнению S2(p) = (—1)mn2m2, где р € (пп,п(п + 1)). Легко видеть, что |S2(p)| < п2(п + 1)2, поэтому если m > п, то Cn П Lm = 0.

Имеем 52(пп) = п2п2 и S2(п(п + 1)) = —п2(п + 1)2, поэтому при m ^ п уравнение S2(p) = (—1)mn2m2 разрешимо. Перепишем его в виде n2m2/p2 = (—1)m cos р и сравним графики функций yi(p) = п2m2/p2 и y2(p) = (—1)m cos р. Обе функции монотонны на интервале (пп,п(п + 1)), то если y2(p) > 0, то y2'(p) < 0 в т0 время как yi и yi' положительны; следовательно, существует единственная точка пересечения графиков функция yi и y2 на интервале (пп, п(п + 1)). Таким образом, если m ^ п Cn

Lm

Из вышеизложенного анализа взаимного расположения линий набора вытекает, что для набора шп существует пять областей: Dn, Dn, Dn, Dn и D™. Обозначим их так, как показано на рис. 12, 13. Расставим относительные индексы следующим образом:

(Do ) = —1, (Dn) = 0, рШп (Dn) = рШп (Dn ) = 1, рШп (Dn ) = 2.

Набор w° изображен на рис. 11 с соблюдением пропорций. При нечетных п набор wn схематично изображен (то есть без учета пропорций) на рис. 12, а при четных п ^ 2 — на рис. 13.

Di L 3+1

D3 ^п Gn/ У D4 / ^п

D0 / Ln

3 D2 ^п

ri

Рис. 11. Элементарный набор ^о уравне- Рис. 12. Элементарный набор шп уравнения (6.7); ^0 — область устойчивости ния (6.7) при нечетных п

Согласно теореме 5.4 существует целое число W такое, что для любой неособ ой точки a имеем p(a) = W + Y1 Рш„ (a). Найдем W. Рассмотрим точку b = {1, 0}, изображенную на рис. 11. Из теоремы 6.5 вытекает, что v уравнения sh z/z + zez = 0 нет корней с положительной вещественной частью; следовательно, уравнение sh z + z2ez = 0 имеет единственный корень с неотрицательной вещественной частью, то есть p(b) = 1. Легко видеть, что рШ0 (b) = 0 и b € D3 при любом n; следовательно, W = p(b) = 1.

Итак, для любой неособой точки a имеем p(a) = 1 + ^^=1 рШп(а); следовательно, точки с нулевым абсолютным индексом принадлежат множеству Um=o D™-

Найдем абсолютный индекс областей при n > m. Прямая Lm расположена между прямыми набора шп, а область D™ расположена левее любой точки кривой Cn] следовательно, ДОГ" С D3. Прямая Ln не может быть расположена между прямыми набора шт, поэтому D3 является подмножеством либо D™, либо D2 • Таким образом,

если m < n,

если m = n, (6.12)

если m > n;

0,

W) 4 -1,

следовательно, р(ДТ) = 1 + ТТТ=0 (^ТТ) = т т0 есть область (и только она) имеет пулевой абсолютный индекс. □

Теорема 6.8. Для того чтобы все корпи уравнения (6.8) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись либо два неравенства

0 < а < 7г2/4, л/а$т у/а < Ь < тт/2,

либо два неравенства

7Г2/4 < а < г]2, 7Г/2 < b < л/asin л/а,

где п — корень уравнения n sin п = п/2 из интервала (п/2,п).

Доказательство. Запишем характеристическое уравнение в следующем виде:

Имеем Д(р) = рcos р, ui(p) = р3 cos р, u2(p) = р2 sin рcos р; следовательно, 0° = = 0 и 0n = £n = п(п — 1/2) щи п € N, поэтому существует счетное множество кривых и прямых D-разбиения.

Далее, Д'(0) = 1 и Д'(£п) = £n(—1)n для п ^ 1, поэтому все прямые D-разбиения неста-L° ri = 0

координат, а при п € N прямая Ln задается уравнением Г2 = п(п — 1/2)(—1)n+i, ее центральная точка имеет координаты {п2(п — 1/2)2,п(п — 1/2)(—1)n+i}.

Имеем S(p) = {р2,р sin р}, следовательно, все проекции кривых D-разбиения просты и не пересекаются друг с другом.

Cn Lm m = 0

m > 0, то точка пйресечения удовлетворяет уравнению S2(р) = (—1)m+in(m — 1/2) и принадлежит интервалу (п(п — 1/2), п(п + 1/2)). Легко видеть, что |S2(р) | < п(п + 1/2), поэтому если m > п, то Cn П Lm = 0.

Далее, S2(п(п + 1/2)) = п(п + 1/2)(—1)n, поэтому уравнение S2(p) = (—1)m+in(m — 1/2) разрешимо при п ^ m > 0. Перепишем его в виде n(m — 1/2)/р = (—1)m+i sin р. Графики функций, стоящих по обе стороны от знака равенства, имеют различную выпуклость, поэтому уравнение имеет единственное решение на рассматриваемом интервале. Следовательно, при п ^ m > 0 крива я Cn имеет единственную точку пересечен ия с прямой Lm.

Согласно теореме 5.7 полный набор может быть представлен в виде счетного объединения Н-наборов wn, каждый из которых состоит из прямых Ln, Ln+i и кривой Cn.

При п ^ 1 обозначим области набора так, как изображено на рис. 12, 13, и проиндексируем их следующим образом:

При нечетных п набор схематично совпадает с тем, что изображен на рис. 13, а при четных п ^ 2 — с набором на рис. 12.

Набор ^о отличается от остальных наборов тем, что кривая Со не пересекает прямые набора, но последние пересекаются под прямым углом. Обозначим пять областей набора так, как это сделано на рис. 14, и проведем относительную индексацию областей:

Согласно теореме 5.4 существует целое число Ш такое, что для любой неособой точки а имеем р(а) = Ш + £~=о рШп (а).

Рассмотрим точку Ь = {0, —1}, абсолютный индекс которой равен единице согласно теореме 6.3. Очевидно, рШп (Ь) = 0 при любом п € следователь но, Ш = 1. Очевидно, точки с нулевым абсолютным индексом принадлежат множеству Ут=о Д(О-

Найдем абсолютный индекс областей ДО- Если т < п, то область ДО расположена между прямыми набора шп и левее любой точки кривой Сп, то есть ДО С ДЦ*. Если т > п > 1, то либо ДО С Дп либо ДО С ДЩ- Наконец, если ДО С Д° при нечетных т и ДО С Д° при т

z2 ez + a ch z + bz = 0.

(Dq ) = —1, (Dn) = 0, pWn (dq) = Рш„ (do) = 1, Рш„ (do) = 2.

Pwq (D°) = —1, рШ0 (D°)= рШ0 (D°) = 0, рШо (D°)= рШ0 (D°°) = —1.

1, m ,

2, m ,

а при п > 0 справедлива формула (6.12). Следовательно,

РОТ) = 1 + Е Р-п(ДТ) = тах{0, т - 1},

п=0

поэтому нулевой абсолютный индекс имеют ровно две области: Д и Д (см. рис. 15).

□

Г2

5 6

Г1

Рис. 15. Область устойчивости уравне- Рис. 16. Элементарный набор ^о уравнения (6.8) состоит из двух областей: Д и ния (6-9); До ^область устойчивости

Рис. 17. Элементарный набор ^о уравнения (6.10); До — область устойчивости

Рис. 18. Область устойчивости уравнения (6.14) — это и~=о Яп

Теорема 6.9 (см. [30]). Для того чтобы все корпи уравнения (6.9) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства 0 < а < 7г2/4 и 2^8т у/а <Ъ < 7г/2 + 2а/ж.

Теорема 6.10 (см. [30]). Для того чтобы все корпи уравнения (6.10) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства —7г2/9 < а < 0 и —а < Ь < —2а сов у/^а.

Доказательства теорем 6.9, 6.10 могут быть проведены по аналогии с доказательством теоремы 6.7: полный набор разбивается на счетное множество элементарных наборов, а нулевой абсолютный индекс имеет область первого набора с минимальным относительным индексом, и только она (см. рис. 16, 17).

§ 6.2. Примеры двупараметрических характеристических уравнений второго рода

г2 + а + Ье-2 = 0, г2 + а + Ьге-2 = 0,

(6.13)

z2 + a + b

1 - e-

0.

(6.15)

Теорема 6.11 (см. [17]). Для того чтобы все корпи уравнения (6.13) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы точка {a, b} принадлежала внутренности одного из равнобедренных треугольников

Qn = {r : (-1)nr2 < 0,n2n2 - (—1)nГ2 < ri < n2(n + 1)2 + (—1)nГ2}, где n € No (см,, рис. 18).

Доказательство. Имеем Д(р) = — sin р и u2 = 0, поэтому (6.13) ^характеристическое уравнение второго рода. Далее, 9n = nn; следовательно, /2(nn) = (—1)n и Re /2(nn) = = (—1)n+1. При любом n прямая Ln описывается уравнением ri + (—1)nГ2 = n2n2.

Таким образом, если выбрать § = 0, то выполняются условия леммы 4.2. Причем в силу того, что последовательность ||/2(^п)|| стационарна, реализуется случай (И). Следовательно, Qn — внутренность равнобедренного треугольника, образованного отрезками прямых Ln, Ln+ \ и интервалом (n2n2,n2(n + 1)2) оси Гь П

Г2 п-

-п

Di

16п2

Qi

D2

36п'

Q2

Г1

Рис. 19. Область устойчивости уравне- Рис. 20. Область устойчивости уравнения (6.14) - это 1Х=о Яп ния (6Л5) _ эт0 иГ=о Яп

2

Теорема 6.12 (см. [31,32]). Для того чтобы все корпи уравнения (6.14) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы точка {а, Ь} принадлежала внутренности одного из треугольников

1

Qn= г : (-1)гаг2 >0,тг2 п-- +

где n € N0 (см,, рис. 19).

Г 2 -7Г

но*

1

n

< ri < п2 n +

Г 2 -7Г

Fix

n +

1

Доказательство. Имеем Д(р) = рcosр, 0о = 0 а при n € N имеем 6n = n(n — 1/2); следовательно, /2(0n) = n(n — 1/2)(—1)n+1 и Re/2(0n) = n(n — 1/2)(—1)n. Таким образом, если выбрать 5 = 0, то выполняются условия леммы 4.2.

Прямая Lo совпадает с о сью r^, а пр и n > 1 пряма я Ln описывается уравнением

ri = n2(n — 1/2)2 + Г2(—1)n n(n — 1/2).

Последовательность | |/2(г0п) 11 возрастает, а последовательность ||/2(я0п)/#П || убывает, начиная с п = 1, поэтому реализуется случай (¿у), то есть Яп — впутрепность треугольника, образованного отрезками прямых Ьп, Ьп+1 и интервалом (п2(п — 1/2)2, п2(п + 1/2)2) оси гь П

Теорема 6.13 (см. [33]). Для того чтобы все корпи уравнения (6.15) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно выполнения, неравенств —а < Ь < 0 и а = 4п2п2 при любом, п € N.

2

Доказательство. Имеем Д(р) = — 1~c°s<f, поэтому вп = 2ттп. Однако /2(0) = 1, и прямая, соответствующая нулевой частоте, нерегулярна, а при п ^ 1 имеем /2(2пп) = 0, поэтому условия леммы 4.2 не выполняются. Тем не менее применим общий подход, изложенный в § 4.2.

L° ri + r2 = 0

прямой, не содержит точек с нулевым абсолютным индексом (лемма 2.3).

При п ^ 1 прямая Ln задается уравнением ri = 4п2п2, причем эта прямая нестационарная.

ri + r2 > 0 D° Di D2 . . .

расположены выше оси ri, а области Q°, Qi, Q2 ... — ниже (см. рис. 20). Пусть a = {ai, 0}, где ai > 0 тогда р(а) = 2.

Так как Д(р) < 0 при р = 0n, то по теореме 3.1 вектор V Re Z^(a) направлен вверх, следовательно, p(Dn) = 2 и p(Qn) = 0 при люб ом п € N° □

§ 6.3. Примеры двуиараметрических характеристических уравнений третьего рода

1 + e-2z

z + a---+ be~z = 0, (6.16)

1 + e-2z

z2 + a-+ be~z = 0, (6.17)

1- e-22

z + a—--+ be~z = 0. (6.18)

2z

Теорема 6.14 (см. [34]). Для того чтобы все корпи уравнения (6.16) имели отрица-

a+b>0

—3п/2 < b < п/2.

Доказательство. Запишем характеристическое уравнение в виде

zez + a ch z + b = 0.

Имеем Д(р) = 0 ui(p) = p cos p и u2(p) = —p cos2 p, следовательно, (6.16) — двупараметри-ческое характеристическое уравнение третьего рода. Далее, 0° = 0 следовательно, прямая L° задается уравнением ri + r2 = 0, а при п € N имеем 0n = п(п — 1/2), поэтому прямая Ln задается уравнением r2 = п(п — 1/2)(—1)n+i. Далее,

u' = {cos р — р sin р, — cos2 р + 2р cos р sin р}. Так как u'(0) = {1, 0} го (4.ЙЗ) вытекаер H° = {r : ri + r2 > 0}.

Далее, при п ^ 1 имеем и'(п(п — 1/2)) = {п(п — 1/2)(—1)n}; следовательно, Hn = {r: r2 < п(п — 1/2)} при нечетных п и Hn = {r: r2 > —п(п — 1/2)} при четных п.

Итак, область D° = Hn не пуста (см. рис. 21). Согласно следствию 4.1 область устой-

D°

нице, а вектор V Re Z° направлен говне области D° (по определению H°), следовательно, p(D°) =0 □

Теорема 6.15. Уравнение (6.17) имеет хот,я, бы один корень с неотрицательной велце-

ab

Доказательство. Положим pi = х, p2 = в Имеем Д(р) = 0 ui(p) = —р2 sin р, U2(р) = р sin р cos р, 0n = п^и п € N°; медоватедьно, множество прямых Ln счетно. Прямая Ln задается уравнением ri + (—1)nr2 = п2п^. Нетрудно установить, что F'(0, r) = 0, то есть нулевой частоте соответствует нерегулярная прямая. Заметим, что и'(пп) = {п2п2(—1)n+i, пп}, поэтому остальные прямые нестационарны.

Неравенство (4.12) принимает вид F(гпп, 0, 0)/i(—гпп)и'2(пп) = —п3п3 < 0, поэтому начало координат принадлежит полуплоскости Hn при п ^ 1. Ось r2 не содержит точек с нулевым

абсолютным индексом (теорема 6.4), следовательно, согласно пункту (2) следствия 4.3 область

□

Г2

37Г i" L3

2п п Li

-п ^^ Do L2

-2п -3п

"---s.

Рис. 21. Линии D-разбиения уравнения (6.16); Do — область устойчивости

Г2

Рис. 22. Линии D-разбиения уравнения (6.18); Do — область устойчивости

Теорема 6.16 (см. [35]). Для того чтобы все корпи уравнения (6.18) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

3п 2a , п 2a

а + Ъ> 0 и —-—Ь ~— b К —--.

2 3п 2 п

Доказательство. Запишем характеристическое уравнение в виде

z sh z

ze + a--1-6 = 0,

z

тогда Д(р) = 0 = p cos p и u2(p) = — sin p cos p, следовательно, 0o = 0 а при n ^ 1

имеем 0n = n(n — 1/2), Д(г0п) = (—1)n+1/0n и /o(i0n) = (—1)n0n, поэтому прямая Lo задается уравнением ri + Г2 = 0, а пр и n ^ 1 пряма я Ln задается уравнением

(-1)гаг2 = -7Г (п - 0 + П (тг (и - ^

Рассмотрим точку а = {1, 0}. Для n = 0 неравенство (4.13) имеет вид

F(0,1, 0)/2 (0)u1(0) = 1 > 0. Если n ^ 1, то неравенство (4.13) принимает вид

F(i0n, 1,0)/2(—¿0nK(¿0„) = (0n — 1/0n)0n > 0,

следовательно, а € Hn при люб ом n € N0.

Из теоремы 6.5 вытекает, что р(а) = 0. Согласно следствию 4.1 область устойчивости — выпуклый связный многоугольник Do, удовлетворяющий счетному набору неравенств ri + Г2 > 0 и ri < 0П + 0n(—1)nr2, где n € N Покажем, что для описания Do достаточно взять толь-

Do

образованный пересечением прямых Lo, Li и L2).

Для любых различных n, m € No обо значим через pn'm точку пересечения п рямых Ln и Lm. При n ^ 1 имеем = —p2'n = (- 1)n0П/(0n + (—1)n)•

Если среди чисел n и m нет нуля, то рП'™ = n2(n — 1/2)(m — 1/2)(—1)n+m-i,

n m |п(—1)n+1(n + m — 1), n = m (mod 2), P2' = \

1п(—1)n(m — n), n = m (mod2).

Требуется доказать, что для любого k ^ 3 прямая Lfc не пересекает треугольник poipo'2р1'2. Это эквивалентно тому, что все вершины треугольника расположены по одну сторону от прямой Lfc. Последнее вытекает из того, что справедливы неравенства

02 + 0fc (—1)k р2д >Р?Д,

02 + 0fc(—1)kp2'2 >po'2, (6-19)

02 + 0k (—1)k P2'2 >P1'2.

Докажем (6.19). Очевидно, величины Ip!'11, |p2'2|' |р2'2| меньше, чем 3п/2. В силу ^ 5п/2

выражения, стоящие слева в неравенствах (6.19), больше, чем 5п2/2. Величины Ip0'1^ |Pi'2|)

|p1'2| меньше, чем 3п2/4. Неравенства (6.19) доказаны. □

Список литературы

1. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 351 с.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Н.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

3. Азбелев Н.В., Симонов U.M. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, 2001. 230 с.

4. Колмановский В.В., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 с.

5. Эльсгольц Л.Э., Норкин C.B. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

6. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 424 с.

7. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Матем. 1997. №6. С. 3-16.

8. Зубов В.И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Матем. 1958. №6. С. 86-95.

9. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М.: Едиториал УРСС, 2004. 176 с.

10. Понтрягин Л.С. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1942. Т. 6. Вып. 3. С. 115-134.

11. Чеботарёв Н.Г., Мейман H.H. Проблема Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций // Тр. МИЛИ СССР. 1949. Т. 26. С. 3-331.

12. Михайлов A.B. Метод гармонического анализа в теории регулирования // Автомат, и телемех. 1938. Вып. 3. С. 27-81.

13. Неймарк К).II. Об определении значений параметров, при которых система автоматического регулирования устойчива // Автомат, и телемех. 1948. Т. 9. №3. С. 190-203.

14. Неймарк К).II. Устойчивость линеаризованных систем (дискретных и распределенных). Л.: ЛКВВИА, 1949. 140 с.

15. Неймарк К).II. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978. 336 с.

16. Максвелл Д.К., Вышнеградский И.А., Стодола А. Теория автоматического регулирования (Линеаризованные задачи) / ред. и коммент. A.A. Андронова и И.П. Вознесенского. М.: Изд-во АН СССР, 1949. 430 с.

17. Андронов A.A., Майер А.Г. Простейшие линейные системы с запаздыванием // Автомат, и телемех. 1946. Т. 7. Вып. 2-3. С. 95-106.

18. Левицкая И.С. Область устойчивости линейного дифференциального уравнения с двумя запаздываниями // Изв. Челябинского научного центра, 2004. Т. 23. №2. С. 7-12.

19. Kipnis М.М., Levitskaya I.S. Stability of delay difference and differential equations: similarities and distinctions // Proc. Internat. Conf. Difference Equations, Special Functions and Orthogonal Polinomials, Munich, Germany, 2005. New Jersey: World Scientific, 2007. P. 315-324.

20. Mahaffy J.M., Busken Т.С. Regions of stability for a linear differential equation with two rationally dependent delays // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2015. Vol. 35. Issue 10. P. 4955-4986. DOI: 10.3934/dcds.2015.35.4955

21. Мулюков M.B. Классификация двупараметрических автономных линейных систем с запаздыванием // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2017. Т. 132. С. 74-76.

22. Мулюков М.В. Структура областей D-разбиения для двупараметрических характеристических уравнений систем с запаздыванием // Функционально-дифференциальные уравнения: теория и приложения: материалы конференции, посвященной 95-летию со дня рождения профессора II.В. Азбелева. IIIIIIIIV. Пермь, 2018. С. 180-200.

23. Мулюков М.В. Области D-разбиения с прямолинейными границами // Математика в современном мире: тезисы докладов международной конференции. ИМ СО РАН, Новосибирск, 2017. С. 233.

24. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.

25. Маркушевич А.И. Целые функции. Элементарный очерк. М.: Наука, 1975. 120 с.

26. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1. Функция одного переменного: учебник для университетов. 3-е изд. М.: Наука, 1985. 336 с.

27. Stepan G. Retarded dynamical systems: stability and characteristic functions. Longman Scientific & Technical, 1989. 151 p.

28. Треногин В. А. Функциональный анализ. M.: Физматлит, 2007. 488 с.

29. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Некоторые признаки устойчивости линейных автономных дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием // Изв. вузов. Матем. 2007. №6. С. 55-63.

30. Мулюков М.В. Об асимптотической устойчивости двупараметрических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием // Изв. вузов. Матем. 2014. №6. С. 48-55.

31. Hsu C.S., Bhatt S.J. Stability criteria for second-order dynamical systems with time lag //J. Appl. Mech. 1966. Vol. 33. Issue 1. P. 113-118. DOI: 10.1115/1.3624967

32. Hsu C.S., Bhatt S.J. Stability charts for second-order dynamical systems with time lag //J. Appl. Mech. 1966. Vol. 33. Issue 1. P. 119-124. DOI: 10.1115/1.3624968

33. Баландин А.С., Сабатулина Т.Л. Локальная устойчивость одной модели динамики популяции в условиях воздействия вредных веществ // Сиб. электрон, матем. изв. 2015. Т. 12. С. 610-624. http ://mi.mathnet.ru/rus/semr/vl2/p610

34. Мулюков М.В. Устойчивость линейного дифференциального уравнения с двукратным запаздыванием // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сборник трудов VIII международной конференции. Издательство «Научная книга», Воронеж, 2015. С. 258-260.

35. Мулюков М.В. Устойчивость одного линейного автономного дифференциального уравнения с сосредоточенным и распределенным запаздыванием // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2015. Т. 20. Вып. 5. С. 1325-1331.

Поступила в редакцию 15.05.2018

Мулюков Михаил Вадимович, к. ф.-м.н., инженер-исследователь научно-исследовательского центра «Функционально-дифференциальные уравнения», Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 614990, Россия, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29. E-mail: Mulykoff@gmail.com

М. V. Mulyukov

Stability of two-parameter systems of linear autonomous differential equations with bounded delay

Citation: Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ., 2018, vol. 51, pp. 79-122 (in Russian).

Keywords: delay differential equations, systems of differential equations, autonomous equations, asymptotic stability, D-subdivision method, stability domain.

MSC2010: 34D20, 34K06, 34K20, 93D20 DOI: 10.20537/2226-3594-2018-51-04

We consider a system of linear autonomous differential equations with bounded delay in the case where its characteristic function depends linearly on two scalar parameters. The development of the D-subdivision method is carried out in connection with the problem of constructing the stability domain of this system. Firstly, a complete classification of the points and lines of D-subdivision is carried out. Secondly, a complete classification of two-parameter characteristic equations by the type and structure of D-subdivision domains is carried out. All equations are divided into four types: D-subdivision domains of equations of the first type have curvilinear boundaries, D-subdivision domains of equations of the second and the third type have only rectilinear boundaries, equations of the fourth type are stable or unstable regardless of parameter values. Thirdly, for each type of equations, new methods of selecting the stability domain among regions of D-subdivision are developed. On the basis of the results obtained, stability domains are constructed for certain differential equations and systems of equations with concentrated and distributed delay.

REFERENCES

1. Myshkis A.D. Lineinye differentsial'nye uravneniya s zapazdyvayushchim argumentom (Linear differential equations with delayed argument), Moscow: Nauka, 1972, 351 p.

2. Azbelev N.V., Maksimov V.P., Rakhmatullina N.F. Vvedenie v teoriyu funktsional'no-dijferentsial'nykh uravnenii (Introduction to the theory of functional-differential equations), Moscow: Nauka, 1991, 280 p.

3. Azbelev N.V., Simonov P.M. Ustoichivost' reshenii uravnenii s obyknovennymi proizvodnymi (Stability of solutions of the equations with ordinary derivatives), Perm: Perm University, 2001, 230 p.

4. Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Ustoichivost' i periodicheskie rezhimy reguliruemykh sistem s posledeistvi-em (Stability and periodic regimes of controlled systems with aftereffect), Moscow: Nauka, 1981, 448 p.

5. El'sgol'ts L.E., Norkin S.B. Vvedenie v teoriyu differentsial'nxjkh uravnenii s otklonyayushchimsya argumentom (Introduction to the theory of differential equations with deviating argument), Moscow: Nauka, 1971, 296 p.

6. Hale J.K. Theory of functional-differential equations, New York: Springer-Verlag, 1977, 365 p. Translated under the title Teoriya funktsional'no-differentsial'nykh uravnenii, Moscow: Mir, 1984, 424 p.

7. Azbelev N.V., Simonov P.M. Stability of equations with delay, Russ. Math., 1997, vol. 41, no. 6, pp. 3-16.

8. Zubov V.I. On the theory of linear stationary systems with lagging arguments, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 1958, no. 6, pp. 86-95 (in Russian).

9. Postnikov M.M. Ustoichivye mnogochleny (Stable Polynomials), Moscow: Editorial URSS, 2004, 176 p.

10. Pontryagin L.S. On zeros of some transcendental functions, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 1942, vol. 6, issue 3, pp. 115-134 (in Russian).

11. Chebotarev N.G., Meiman N.N. The Routh-Hurwitz problem for polynomials and entire functions, Trudy Mat. Inst. Steklov., 1949, vol. 26, pp. 3-331 (in Russian).

12. Mikhailov A.V. The methods of harmonie analysis in the theory of control, Avtomat. i Telemekh., 1938, issue 3, pp. 27-81 (in Russian).

13. Neimark Yu.I. On the determination of the values of the parameters for which a system of automatic regulation is stable, Avtomat. i Telemekh., 1948, vol. 9, issue 3, pp. 190-203 (in Russian).

14. Neimark Yu.I. Ustoichivost' linearizovannykh sistem (diskretnykh i raspredelennykh) (Stability of linearized dystems (discrete and distributed)), Leningrad: Leningrad Red Banner Air Force Engineering Academy, 1949, 140 p.

15. Neimark Yu.I. Dinamicheskie sistemy i upravlyaemye protsessy (Dynamical systems and controlled processes), Moscow: Nauka, 1978, 336 p.

16. Maxwell J.C., Vyshnegradskii I.A., Stodola A. Teoriya avtomaticheskogo regulirovaniya (Linearizovannye zadachi) (Theory of automatic control (Linearized problems)), Moscow: The Academy of Sciences of the USSR, 1949, 430 p.

17. Andronov A. A., Maier A.G. Simplest linear systems with retardation, Avtomat. i Telemekh., 1946, vol. 7, issue 2-3, pp. 95-106 (in Russian).

18. Levitskaya I.S. The stability region of a linear differential equation with two delays, Izvestiya Chelyabin-skogo Nauchnogo Tsentra, 2004, vol. 23, no. 2, pp. 7-12 (in Russian).

19. Kipnis M.M., Levitskaya I.S. Stability of delay difference and differential equations: similarities and distinctions // Proc. Internat. Conf. Difference Equations, Special Functions and Orthogonal Polinomials, Munich, Germany, 2005. New Jersey: World Scientific, 2007. P. 315-324.

20. Mahaffy J.M., Busken T.C. Regions of stability for a linear differential equation with two rationally dependent delays, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 2015, vol. 35, no. 10, pp. 4955-4986. DOI: 10.3934/dcds.2015.35.4955

21. Mulyukov M.V. Classification of two-parameter autonomous linear systems with delay, Journal of Mathematical Sciences, 2018, vol. 230, issue 5, pp. 724-727. DOI: 10.1007/sl0958-018-3777-l

22. Mulyukov M.V. Structure of the D-subdivision domains for the two-parameter characteristic equations of systems with delay, Funktsional'no-differentsial'nye uravneniya: teoriya i prilozheniya: materialy konferentsii, posvyashchennoi 95-letiyu so dnya rozhdeniya professora N. V. Azbeleva (Functional-differential equiations: theory and applications: proc. of the conference dedicated to the 95th anniversary of the professor N.V. Azbelev), Perm National Research Polytechnic University, Perm, 2018, pp. 180-200 (in Russian).

23. Mulyukov M.V. D-subdivision domains with straight bounds, Matematika v sovremennom mire: tezisy dokladov mezhdunarodnoi konferentsii (Mathematics in the modern world: abstracts of the all-Russian conference), Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, 2017, p. 233 (in Russian).

24. Lankaster P. The theory of matrices, New York: Academic Press, 1969, 316 p. Translated under the title Teoriya matrits, Moscow: Naura, 1978, 280 p.

25. Markushevich A.I. Tselye funktsii. Elementamyi ocherk (Entire functions. Elementary essay), Moscow: Nauka, 1975, 120 p.

26. Shabat B.V. Vvedenie v kompleksnyi analiz. Chast' 1. Funktsiya odnogo peremennogo: Uchebnik dlya universitetov (Introduction to complex analysis. Part 1. Function of one variable: Textbook for universities), Moscow: Nauka, 1985, 336 p.

27. Stepan G. Retarded dynamical systems: stability and characteristic functions, Longman Scientific & Technical, 1989, 151 p.

28. Trenogin V.A. Funktsional'nyi analiz (Functional analysis), Moscow: Fizmatlit, 2007, 488 p.

29. Sabatullina T.L., Malygina V.V. Several stability tests for linear autonomous differential equations with distributed delay, Russian Mathematics, 2007, vol. 51, no. 6, pp. 52-60. DOI: 10.3103/S1066369X07060072

30. Mulyukov M.V. Asymptotic stability of two-parameter systems of delay differential equations, Russian Mathematics, 2014, vol. 58, no. 6, pp. 44-50. DOI: 10.3103/S1066369X1406005X

31. Hsu C.S., Bhatt S.J. Stability criteria for second-order dynamical systems with time lag, J. Appl. Mech., 1966, vol. 33, issue 1, pp. 113-118. DOI: 10.1115/1.3624967

32. Hsu C.S., Bhatt S.J. Stability charts for second-order dynamical systems with time lag, J. Appl. Mech., 1966, vol. 33, issue 1, pp. 119-124. DOI: 10.1115/1.3624968

33. Balandin A.S., Sabatulina T.L. The local stability of a population dynamics model in conditions of deleterious effects, Siberian Electronic Mathematical Reports, 2015, vol. 12, pp. 610-624 (in Russian), http: / / mi.mathnet.ru / eng/semr /vl2/p610

34. Mulyukov M.V. Stability of a linear differential equation with a double delay, Sovremennye metody prikladnoi matematiki, teorii upravleniya i komp 'yuternykh tekhnologii: sbornik trudov VIII mezhdunarod-noi konferentsii (Modern methods of applied mathematics, control theory and computer technologies: proc. of the VIII international conference), Izdatel'stvo "Nauchnaya kniga", Voronezh, 2015, pp. 258-260 (in Russian).

35. Mulyukov M.V. The stability of the linear autonomous differential equation with distributed and concentrated delay, Vestn. Tambov. Univ. Ser. Estestv. Tekh. Nauki, 2015, vol. 20, issue 5, pp. 13251331 (in Russian).

Received 15.05.2018

Mulyukov Mikhail Vadimovich, Candidate of Physics and Mathematics, Engineer Researcher of the Research

Center «Functional-Differential Equations», Perm National Research Polytechnic University, Komsomol'skii

pr., 29, Perm, 614990,

E-mail: Mulykoff@gmail.com