Устойчивость одного линейного автономного дифференциального уравнения с сосредоточенным и распределённым запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

Molchanov Vladimir Fedorovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, the Head of the Mathematical Analysis Department, e-mail: v.molchanov@bk.ru

Евсеева Елена Витальевна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант кафедры математического анализа, e-mail: evseeva.elena@gmail.com

Evseeva Elena Vitalievna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Mathematical Analysis Department, e-mail: evseeva.elena@gmail.com

УДК 517.929

УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОГО ЛИНЕЙНОГО АВТОНОМНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМ И РАСПРЕДЕЛЁННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Ключевые слова: уравнения с запаздыванием; асимптотическая устойчивость; равномерная устойчивость; эффективные признаки.

Для одного линейного автономного дифференциального уравнения с сосредоточенным и распределённым запаздыванием получен критерий асимптотической и равномерной устойчивости. Критерий представлен в виде области в пространстве коэффициентов уравнения.

Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение

где а,Ь,с € М, Н> 0 . При отрицательных значениях аргумента полагаем решение доопределённым произвольной локально суммируемой функцией.

Уравнения, содержащие распределённое и сосредоточенное запаздывание, возникают в результате линеаризации нелинейных моделей, описывающих, как правило, динамику популяции. В работах [1-7] изучались уравнения, близкие к (1).

Уравнение (1) представляет интерес как самостоятельный объект исследования, так и в связи с изучением системы двух линейных автономных дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием вида

где А, В — вещественные 2 х 2 -матрицы, удовлетворяющие условиям ёе1 А + ёе1 В = = ёе1(А + В) = 0. Вопрос устойчивости системы (2) с теми или иными условиями рассматривался в работах [8-14].

Асимптотическая устойчивость, эквивалентная экспоненциальной в силу автономности, для уравнения (1) и системы (2) означает, что все корни соответствующей характеристической функции лежат слева от мнимой оси. Устойчивость по Ляпунову, эквивалентная

© М.В. Мулюков

(1)

y(t) + Ay(t) + By(t - h) = 0, t ^ 0,

(2)

равномерной устойчивости, имеет место в том и только том случае, когда все корни характеристической функции имеют неотрицательную вещественную часть, а корни, лежащие на мнимой оси, просты [15, с. 209, 210].

Нетрудно убедиться в том, что характеристическая функция для уравнения (1) имеет

вид

1 - e~2z

F (z) = z + ß + ve-z + С—г-,

где ß = ha, v = hb, С = 2h2 c, а характеристическая функция системы (2) есть

1- e-2z

zF (z) = z2 + ßz + vze-z + С-г-, (3)

где ß = hSpA, v = hSpB, С = 2h2 det A .

Таким образом, задача устойчивости различных объектов свелась к исследованию расположения корней одной и той же функции в комплексной плоскости. Очевидно, функция (3) имеет нулевой корень, следовательно, система (2) не является асимптотически устойчивой, однако, критерии равномерной и экспоненциальной устойчивости уравнения (1) могут дать важную информацию об асимптотическом поведении решения системы (2).

Расположение нулей функций F и

f (z) = ez F (z) = zez + v + ßez + С ^

совпадают, и в дальнейшем мы будем изучать функцию f.

Поскольку в нуле функция f имеет устранимую особенность, доопределим её по непрерывности, положив f (0) = ß + v + С .

Применим метод D-разбиения [16, с. 124-130] и найдём условия разрешимости уравнения f (i^>) = 0. Очевидно, что условие f (0) = 0 задаёт плоскость ß + v + С = 0. При ш = 0 разделение вещественной и мнимой части этого уравнения приводит к системе

Asin ш

С--+ v + ß cos ш = Ш sin ш,

Ш (4)

ß sin ш + Ш cos ш = 0.

В силу того, что первое выражение чётное, а второе нечётное относительно ш, достаточно рассмотреть только положительные значения ш .

При ß > —1 обозначим через множество целых неотрицательных чисел; при ß ^ —1 символом обозначим множество натуральных чисел.

Разрешая при каждом фиксированном ß второе уравнение относительно ш , получим счётный набор значений шп , каждое из которых принадлежит интервалу (пп, пп + п) , п € . Подставив эти значения в первое уравнение системы (4), получаем счётное семейство прямых {Ln} в плоскости ß = const. Подставив в первое уравнение выражение ß = —ctg шп , получим уравнение прямой Ln : v = si„^n — С•

Вместе с прямой С + ß + v = 0 эти прямые разбивают плоскость ß = const на счётный набор многоугольников, внутри которых функция f имеет одинаковое количество корней с положительной вещественной частью. Точка пересечения прямых Lm и Ln имеет координату С'п,т = — sin ^, vn,m = s^ + ife . На рисунках 1,2 изображены линии D-разбиения плоскостей ß = —2 и ß = 0 . Отметим несколько свойств этих прямых.

(a) Все прямые с чётными номерами имеют отрицательные коэффициенты наклона, а все прямые с нечётными номерами — положительные. Все коэффициента наклона по абсолютной величине меньше единицы.

(b) Точки пересечения прямых семейства {Ln} одинаковой чётности находятся левее оси v и упорядочены по возрастанию номеров (точки пересечения линий с большими номерами расположены левее); точки пересечения прямых различной чётности расположены правее оси v и тоже упорядочены по возрастанию номеров (точки пересечения линий с большими номерами расположены правее).

(c) Точки пересечения прямых семейства {Ln} одинаковой чётности находятся левее прямой Z + i + V = 0 ,а точки пересечения прямых различной чётности расположены правее прямой Z + i + v = 0 (напомним, что ¡ = const).

Заметим, что в силу свойств (a), (b), которые проверяются непосредственно, достаточно установить свойство (с) только для следующих случаев: при ¡ > —1 для точек {Zo,i, vo,i } , {Zo,2,Vo,2} и {Zi,3,Vi,3} , а при ¡ ^ —1 для точек {Zi,2,Vi,2} , {Zi,3,Vi,3} и {Z2,4,V2,4} .

Очевидно, расположение точки {Zn,m,vn,m} относительно прямой Z + i + v = 0 определяется знаком выражения Znm + vnm + ¡. Покажем, что знак этого выражения для интересующих нас случаев противоположен знаку выражения sin юп sin , что равносильно тому, что

ЮП^m — ЮП Sin ^m — ^m sin ЮП — ¡ sin ЮП sin ^m > 0.

Удобно пользоваться эквивалентной перезаписью этого неравенства в двух формах:

(^n — sin ЮП)(^m — sin ^m) > (i + 1) sin ^m sin ЮП, (5)

ЮП — sin ЮП ^ sin ^m

> —-• (6)

Юп(1 — COs ЮП) ^m

В левой части неравенств (5), (6) стоят положительные величины. Величина, стоящая справа в выражении (5) отрицательна в трёх случаях: ¡ > —1, n = 0 , m =1, или ¡ ^ —1, n =1, m = 3 , или i ^ —1, n = 2 , m = 4 .В случаях ¡> —1, n =1, m = 3 и ¡ ^ —1, n = 2 , m = 1 величина, стоящая справа, отрицательна в выражении (6). Наконец, остаётся показать, что неравенство (6) выполняется в случае ¡ > —1, n = 0, m = 2. Это следует из оценки

ю — sin ю 1 sin ю 1

inf ч ~Тл-А = q > suP -= •

Таким образом, свойство (с) доказано.

Слева от прямой м + V + ( = 0 функция / имеет положительный вещественный корень, поскольку /(г) = при г € М , а /(0) = м+v. Поэтому достаточно рассмот-

реть только многоугольники, расположенные справа от этой прямой. Вследствие указанных выше свойств все интересующие нас многоугольники делятся на четыре категории.

1. Треугольник, ограниченный прямыми £о , £1 , м + V + ( = 0. Этот треугольник существует только при м > —1.

2. Треугольник, ограниченный прямыми £1 , £2 , М + V + С = 0 существует при м ^ 1.

3. Четырёхугольники, ограниченные прямыми м + V + ( = 0 , , £п+2 , £о при нечётных п и прямыми м + V + С = 0 , , £п+2 , £1 при чётных п (п € N ).

4. Четырёхугольники , ограниченные , £п+2 , £т , £т+2 (п, т € ).

Изящными цифрами на рисунках 1,2 указаны категории многоугольников.

Далее, найдём производную вещественной части корня на прямой вдоль оси ( :

= -Ле (д? Гд?уЧ = сДед?У1 = , (51П ^)2_г > 0.

<9( \d(\dz/l V дг/ <n(<n - sin <га cos <„)

Каждый четырёхугольник, указанный в пункте 4, не может принадлежать области устойчивости, поскольку он ограничен слева прямыми и Lm , а при движении через любую из прямых семейства {Ln} слева направо вещественная часть корня только увеличивается. По этой же причине четырёхугольники, указанные в пункте 3, не входят в область устойчивости как ограниченные слева прямыми .

Треугольник пункта 2 содержит некоторый участок оси v . При Z = 0 изучаемая функция вырождается в квазиполином z + ^ + ve-z , критерий устойчивости которого известен [17]. В частности, данный квазпиполином неустойчив при ^ < —1. Поэтому рассматриваемый треугольник также не принадлежит области устойчивости уравнения (1).

Наконец, треугольник пункта 1 содержит точки ^ > —1, Z = 0, v = 1, которые соответствую устойчивым квазиполиномам. Следовательно, этот треугольник является единственным многоугольником в плоскости ц = const, принадлежащим области устойчивости. Обозначим его вершины через A, B, C, как это изображено на рисунке 3. Символом O обозначим множество всех точек {Z, v, таких, что ^ > —1 и точка {Z, v} , лежащая в плоскости ^ = const, принадлежит внутренности треугольника ABC. Таким образом, доказана

Т е о р е м а 1. Для того чтобы уравнение (1) было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы точка {2ch2, bh, ah} принадлежала области O .

Опишем треугольник ABC подробнее. Любая точка внутри этого треугольника по определению удовлетворяет системе неравенств:

^ > —1, ^ + v + Z > 0,

<1 sin <1 <0 sin

Ч < v < • ---n—Z •

81П 81П ^>0 ^>0

Напомним, что зависимость ^>0,^1 от м определены выше. Вершины АВС имеют координаты

М + М + М + М +

> г" -ш шо г" що -1П Шо л ^ -1П Ш1 г" ш -1п ш

СА =--:-, ^ = -:-, Си =--:-, VR = -:-,

1 -тщо ' А 1 -1П шо 1 -1П Щ1 ' и 1 -1П Ш1 '

ШО ШО Ш1 Ш1

л (0 (1 (0 , (1 СC =--:-:-5 VC = ---+

sin (0 sin (1 sin (0 sin (1

Обозначим р* = p1 « 4.49341. При ^ = —1 треугольник ABC вырождает-

ся в отрезок Z + V =1, Z £ [—3, Д* ] , который естественно обозначить через ABM=-1 .

На рисунке 4 изображена часть границы O при ^ < 2 . Эта область связна и не ограничена. Обратим внимание читателя на то, что эта область „собрана" из треугольников ABC при различных ^ > —1. Это свойство значительно упрощает исследование функций типа f, поскольку в общем случае изучение взаимного пересечения счётного набора кривых на плоскости довольно трудоёмкая задача. В работе [18] представлен квазиполином, у области устойчивости которого тоже существуют сечения с прямолинейными границами.

Изучим кратность корней на границе области устойчивости. Этот вопрос важен для исследования бифуркации рождения цикла в системах, линеаризация которых имеет вид (1).

Исследуем кратность нулевого корня на прямой Z + v + ^ = 0 . Элементарными вычислениями получаем, что f (0) = ^ + 1, f"(0) = ^ + Z/3 + 2 и f"'(0) = ^ + 3 . Следовательно, при ^ > —1 на границе AB нулевой корень простой. В точке Z = —3, ^ = —1, v = 4 нулевой корень обладает кратностью, равной трём, а в остальных точках отрезка AB ¡Ji=-1 нулевой корень обладает кратностью, равной двум.

Теперь изучим кратность корней р0 и р1 на сторонах AC и BC треугольника соответственно. Заметим, что оба этих корня отличны от нуля. Рассмотрим мнимую часть уравнения f (ipn) = 0, выразив ^ из второго уравнения системы (4):

cos (n sin (n — Pn , n

^ cos Pn + cos (n — Pn sin Pn = -:-= 0.

sin (Pn

Следовательно, на границе треугольника ABC корни, лежащие на мнимой оси, просты и имеет место

Теорема2. Для того чтобы уравнение (1) было равномерно устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство ah > —1 и точка {2ch2 ,bh,ah} принадлежала замыканию области O .

В заключение применим признак устойчивости уравнения (1) для системы (2). Асимптотические свойства любого решения определяются свойствами фундаментальной матрицы [19], [20, c. 84]. Не вдаваясь в подробности, которые читатель может найти в работе [1], сразу отметим, что если характеристическая функция F имеет простой нулевой корень, а все остальные корни лежат слева от мнимой оси, то фундаментальная матрица X = X(t) системы (2) допускает представление X(t) = resz=0eztY-1 (z) + O(e-vt), где Y(z) = Iz + + hA + hBe-z , а положительная величина v такова, что Rez0 < —v для любого корня z0

функции f . Поскольку det Y(z) = F(z) , то

-U л i • Y *(z)ezt A* + B*

resz=0e Y 1 (z) = lim -

^о ?' (г) £рА + £рВ + 2^ det А'

где символом * обозначена присоединённая матрица.

Теорема 3. Система (2) равномерно устойчива, а для её фундаментальной матрицы имеет место представление

А* + В* ^

Х= 5РА + 5РВ+2Ме^А + °(е " )

в том и только том случае, если выполняются неравенства 5*рА + £рВ + 2Л, det А > 0, Л,£рА > —1, а точка {2Л2 det А, Л,£рВ, Л,£рА} принадлежит замыканию области О .

ЛИТЕРАТУРА

1. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Некоторые признаки устойчивости линейного автономного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2007. № 6. С. 55-63.

2. Сабатулина Т.Л. Об устойчивости линейного автономного дифференциального уравнения с последействием // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2012. № 1. С. 117-118.

3. Сабатулина Т.Л. Об автономном дифференциальном уравнении с сосредоточенным и распределенным запаздываниями // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды шестой Всеросс. науч. конф. с международным участием. Ч.3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Самара: СамГТУ, 2009. С. 192-194.

4. Wu S., Gan S. Analytical and numerical stability of neutral delay integro-differential equations and neutral delay partial differential equations // Computers and Mathematics with Applications. 2008. № 56. P. 2426-2443.

5. Huang C., Vandewalle S. Stability of Runge-Kutta-Pouzet methods for Volterra integro-differential equations with delays // Front. Math. China. 2009. № 4 (1). P. 63-87.

6. Перцев Н.В., Тарасов И.А. Анализ решений интегродифференциального уравнения, возникающего в динамике популяций // Вестник Омского университета. 2003. № 2. С. 13-15.

7. Малыгина В.В., Мулюков М.В., Перцев Н.В. О локальной устойчивости одной модели динамики популяции с последействием // Сибирские электронные математические известия. 2014. № 11. С. 951-957.

8. Zhao H., Lin Y., Dai Y. Stability and Global Hopf Bifurcation Analysis on a Ratio-Dependent Predator-Prey Model with Two Time Delays // Abstract and Applied Analysis. 2013. Article ID 321930, 15 pages, 2013. doi:10.1155/2013/321930.

9. Matsunaga H. Exact stability criteria for delay differential and difference equations // Applied Mathematics Letters. 2007. № 20. P. 183-188.

10. Matsunaga H. Stability Regions for Linear Delay Differential Equations with Four Parameters // International Journal of Qualitative Theory of Differential Equations and Applications. 2009. V. 3. № 1-2. P. 99-107.

11. Быкова А.Н. Исследование устойчивости систем двух нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом по первому приближению: автореф. дисс.... канд. физ.-мат. наук. Чебоксары, 2002.

12. Мулюков М.В. О факторизации характеристического квазиполинома системы линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2013. № 9. С. 38-44.

13. Мулюков М.В. Об асимптотической устойчивости двупараметрических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2014. № 6. С. 48-55.

14. Мулюков М.В. Асимптотическая устойчивость одной системы автономных дифференциальных уравнений запаздывающего типа с вырожденными матрицами // Сборник трудов 7 Международной научной конференции, Воронеж, 14-21 сентября, 2014. С. 268-270.

15. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

16. Эльсгольц Л.Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

17. Андронов А.А., Майер А. Т. Простейшие линейные системы с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1946. Т. 7. № 2, 3. С. 95-106.

18. Мулюков М.В. Устойчивость одной линейной модели осциллятора с запаздывающей обратной связью // Вестник пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2014. № 27. С. 62-67.

19. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. Вузов. Математика. 1997. № 6. С. 3-15.

20. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект № 13-01-96050 р_урал_а).

Поступила в редакцию 1 июня 2015 г.

Mulyukov M.V. THE STABILITY OF THE LINEAR AUTONOMOUS DIFFERENTIAL EQUATION WITH DISTRIBUTED AND CONCENTRATED DELAY

A linear autonomous differential equation with distributed and concentrated delay is considered. Effective sharp criteria of the asymptotic and uniform stability are obtained. The criteria are represented graphically.

Key words: delay differential equations; asymptotic stability; uniform stability; effective criteria.

Мулюков Михаил Вадимович, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Российская Федерация, аспирант кафедры вычислительной математики и механики, e-mail: Mulykoff@gmail.com

Mulyukov Mikhail Vadimovich, Perm State National Research University, Perm, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Computational Mathematics and Mechanics Department, e-mail: Mulykoff@gmail.com

УДК 517.958

ОБ УБЫВАНИИ ПРИ БОЛЬШИХ ВРЕМЕНАХ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА ПОЛУОСИ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КАВАХАРЫ

© М.А. Опритова, А.В. Фаминский

Ключевые слова: уравнение Кавахары; начально-краевая задача; убывание решений при больших временах.

Рассматривается начально-краевая задача на полуоси для обобщенного уравнения Кавахары, содержащего абсорбирующее слагаемое, которое может вырождаться на конечном отрезке. Устанавливается результат об убывании при больших временах слабых решений.

В настоящей работе рассматривается начально-краевая задача для обобщенного уравнения Кавахары

иЬ иххххх + Ьиххх + аих + иих + д(х)и = 0 (1)

(а и Ь - вещественные константы) при £ ^ 0, х ^ 0 с граничными условиями

и1=0 = и°(х)' и1х=0 = их 1х=0 = °" (2)

Уравнение Кавахары

и иххххх I Ьиххх I аих I иих — 0 (3)