CC BY
43
Molchanov Vladimir Fedorovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, the Head of the Mathematical Analysis Department, e-mail: [email protected]
Евсеева Елена Витальевна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант кафедры математического анализа, e-mail: [email protected]
Evseeva Elena Vitalievna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Mathematical Analysis Department, e-mail: [email protected]
УДК 517.929
УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОГО ЛИНЕЙНОГО АВТОНОМНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМ И РАСПРЕДЕЛЁННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Ключевые слова: уравнения с запаздыванием; асимптотическая устойчивость; равномерная устойчивость; эффективные признаки.
Для одного линейного автономного дифференциального уравнения с сосредоточенным и распределённым запаздыванием получен критерий асимптотической и равномерной устойчивости. Критерий представлен в виде области в пространстве коэффициентов уравнения.
Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение
где а,Ь,с € М, Н> 0 . При отрицательных значениях аргумента полагаем решение доопределённым произвольной локально суммируемой функцией.
Уравнения, содержащие распределённое и сосредоточенное запаздывание, возникают в результате линеаризации нелинейных моделей, описывающих, как правило, динамику популяции. В работах [1-7] изучались уравнения, близкие к (1).
Уравнение (1) представляет интерес как самостоятельный объект исследования, так и в связи с изучением системы двух линейных автономных дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием вида
где А, В — вещественные 2 х 2 -матрицы, удовлетворяющие условиям ёе1 А + ёе1 В = = ёе1(А + В) = 0. Вопрос устойчивости системы (2) с теми или иными условиями рассматривался в работах [8-14].
Асимптотическая устойчивость, эквивалентная экспоненциальной в силу автономности, для уравнения (1) и системы (2) означает, что все корни соответствующей характеристической функции лежат слева от мнимой оси. Устойчивость по Ляпунову, эквивалентная
© М.В. Мулюков
(1)
y(t) + Ay(t) + By(t - h) = 0, t ^ 0,
(2)
равномерной устойчивости, имеет место в том и только том случае, когда все корни характеристической функции имеют неотрицательную вещественную часть, а корни, лежащие на мнимой оси, просты [15, с. 209, 210].
Нетрудно убедиться в том, что характеристическая функция для уравнения (1) имеет
вид
1 - e~2z
F (z) = z + ß + ve-z + С—г-,
где ß = ha, v = hb, С = 2h2 c, а характеристическая функция системы (2) есть
1- e-2z
zF (z) = z2 + ßz + vze-z + С-г-, (3)
где ß = hSpA, v = hSpB, С = 2h2 det A .
Таким образом, задача устойчивости различных объектов свелась к исследованию расположения корней одной и той же функции в комплексной плоскости. Очевидно, функция (3) имеет нулевой корень, следовательно, система (2) не является асимптотически устойчивой, однако, критерии равномерной и экспоненциальной устойчивости уравнения (1) могут дать важную информацию об асимптотическом поведении решения системы (2).
Расположение нулей функций F и
f (z) = ez F (z) = zez + v + ßez + С ^
совпадают, и в дальнейшем мы будем изучать функцию f.
Поскольку в нуле функция f имеет устранимую особенность, доопределим её по непрерывности, положив f (0) = ß + v + С .
Применим метод D-разбиения [16, с. 124-130] и найдём условия разрешимости уравнения f (i^>) = 0. Очевидно, что условие f (0) = 0 задаёт плоскость ß + v + С = 0. При ш = 0 разделение вещественной и мнимой части этого уравнения приводит к системе
Asin ш
С--+ v + ß cos ш = Ш sin ш,
Ш (4)
ß sin ш + Ш cos ш = 0.
В силу того, что первое выражение чётное, а второе нечётное относительно ш, достаточно рассмотреть только положительные значения ш .
При ß > —1 обозначим через множество целых неотрицательных чисел; при ß ^ —1 символом обозначим множество натуральных чисел.
Разрешая при каждом фиксированном ß второе уравнение относительно ш , получим счётный набор значений шп , каждое из которых принадлежит интервалу (пп, пп + п) , п € . Подставив эти значения в первое уравнение системы (4), получаем счётное семейство прямых {Ln} в плоскости ß = const. Подставив в первое уравнение выражение ß = —ctg шп , получим уравнение прямой Ln : v = si„^n — С•
Вместе с прямой С + ß + v = 0 эти прямые разбивают плоскость ß = const на счётный набор многоугольников, внутри которых функция f имеет одинаковое количество корней с положительной вещественной частью. Точка пересечения прямых Lm и Ln имеет координату С'п,т = — sin ^, vn,m = s^ + ife . На рисунках 1,2 изображены линии D-разбиения плоскостей ß = —2 и ß = 0 . Отметим несколько свойств этих прямых.
(a) Все прямые с чётными номерами имеют отрицательные коэффициенты наклона, а все прямые с нечётными номерами — положительные. Все коэффициента наклона по абсолютной величине меньше единицы.
(b) Точки пересечения прямых семейства {Ln} одинаковой чётности находятся левее оси v и упорядочены по возрастанию номеров (точки пересечения линий с большими номерами расположены левее); точки пересечения прямых различной чётности расположены правее оси v и тоже упорядочены по возрастанию номеров (точки пересечения линий с большими номерами расположены правее).
(c) Точки пересечения прямых семейства {Ln} одинаковой чётности находятся левее прямой Z + i + V = 0 ,а точки пересечения прямых различной чётности расположены правее прямой Z + i + v = 0 (напомним, что ¡ = const).
Заметим, что в силу свойств (a), (b), которые проверяются непосредственно, достаточно установить свойство (с) только для следующих случаев: при ¡ > —1 для точек {Zo,i, vo,i } , {Zo,2,Vo,2} и {Zi,3,Vi,3} , а при ¡ ^ —1 для точек {Zi,2,Vi,2} , {Zi,3,Vi,3} и {Z2,4,V2,4} .
Очевидно, расположение точки {Zn,m,vn,m} относительно прямой Z + i + v = 0 определяется знаком выражения Znm + vnm + ¡. Покажем, что знак этого выражения для интересующих нас случаев противоположен знаку выражения sin юп sin , что равносильно тому, что
ЮП^m — ЮП Sin ^m — ^m sin ЮП — ¡ sin ЮП sin ^m > 0.
Удобно пользоваться эквивалентной перезаписью этого неравенства в двух формах:
(^n — sin ЮП)(^m — sin ^m) > (i + 1) sin ^m sin ЮП, (5)
ЮП — sin ЮП ^ sin ^m
> —-• (6)
Юп(1 — COs ЮП) ^m
В левой части неравенств (5), (6) стоят положительные величины. Величина, стоящая справа в выражении (5) отрицательна в трёх случаях: ¡ > —1, n = 0 , m =1, или ¡ ^ —1, n =1, m = 3 , или i ^ —1, n = 2 , m = 4 .В случаях ¡> —1, n =1, m = 3 и ¡ ^ —1, n = 2 , m = 1 величина, стоящая справа, отрицательна в выражении (6). Наконец, остаётся показать, что неравенство (6) выполняется в случае ¡ > —1, n = 0, m = 2. Это следует из оценки
ю — sin ю 1 sin ю 1
inf ч ~Тл-А = q > suP -= •
Таким образом, свойство (с) доказано.
Слева от прямой м + V + ( = 0 функция / имеет положительный вещественный корень, поскольку /(г) = при г € М , а /(0) = м+v. Поэтому достаточно рассмот-
реть только многоугольники, расположенные справа от этой прямой. Вследствие указанных выше свойств все интересующие нас многоугольники делятся на четыре категории.
1. Треугольник, ограниченный прямыми £о , £1 , м + V + ( = 0. Этот треугольник существует только при м > —1.
2. Треугольник, ограниченный прямыми £1 , £2 , М + V + С = 0 существует при м ^ 1.
3. Четырёхугольники, ограниченные прямыми м + V + ( = 0 , , £п+2 , £о при нечётных п и прямыми м + V + С = 0 , , £п+2 , £1 при чётных п (п € N ).
4. Четырёхугольники , ограниченные , £п+2 , £т , £т+2 (п, т € ).
Изящными цифрами на рисунках 1,2 указаны категории многоугольников.
Далее, найдём производную вещественной части корня на прямой вдоль оси ( :
= -Ле (д? Гд?уЧ = сДед?У1 = , (51П ^)2_г > 0.
<9( \d(\dz/l V дг/ <n(<n - sin <га cos <„)
Каждый четырёхугольник, указанный в пункте 4, не может принадлежать области устойчивости, поскольку он ограничен слева прямыми и Lm , а при движении через любую из прямых семейства {Ln} слева направо вещественная часть корня только увеличивается. По этой же причине четырёхугольники, указанные в пункте 3, не входят в область устойчивости как ограниченные слева прямыми .
Треугольник пункта 2 содержит некоторый участок оси v . При Z = 0 изучаемая функция вырождается в квазиполином z + ^ + ve-z , критерий устойчивости которого известен [17]. В частности, данный квазпиполином неустойчив при ^ < —1. Поэтому рассматриваемый треугольник также не принадлежит области устойчивости уравнения (1).
Наконец, треугольник пункта 1 содержит точки ^ > —1, Z = 0, v = 1, которые соответствую устойчивым квазиполиномам. Следовательно, этот треугольник является единственным многоугольником в плоскости ц = const, принадлежащим области устойчивости. Обозначим его вершины через A, B, C, как это изображено на рисунке 3. Символом O обозначим множество всех точек {Z, v, таких, что ^ > —1 и точка {Z, v} , лежащая в плоскости ^ = const, принадлежит внутренности треугольника ABC. Таким образом, доказана
Т е о р е м а 1. Для того чтобы уравнение (1) было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы точка {2ch2, bh, ah} принадлежала области O .
Опишем треугольник ABC подробнее. Любая точка внутри этого треугольника по определению удовлетворяет системе неравенств:
^ > —1, ^ + v + Z > 0,
<1 sin <1 <0 sin
Ч < v < • ---n—Z •
81П 81П ^>0 ^>0
Напомним, что зависимость ^>0,^1 от м определены выше. Вершины АВС имеют координаты
М + М + М + М +
> г" -ш шо г" що -1П Шо л ^ -1П Ш1 г" ш -1п ш
СА =--:-, ^ = -:-, Си =--:-, VR = -:-,
1 -тщо ' А 1 -1П шо 1 -1П Щ1 ' и 1 -1П Ш1 '
ШО ШО Ш1 Ш1
л (0 (1 (0 , (1 СC =--:-:-5 VC = ---+
sin (0 sin (1 sin (0 sin (1
Обозначим р* = p1 « 4.49341. При ^ = —1 треугольник ABC вырождает-
ся в отрезок Z + V =1, Z £ [—3, Д* ] , который естественно обозначить через ABM=-1 .
На рисунке 4 изображена часть границы O при ^ < 2 . Эта область связна и не ограничена. Обратим внимание читателя на то, что эта область „собрана" из треугольников ABC при различных ^ > —1. Это свойство значительно упрощает исследование функций типа f, поскольку в общем случае изучение взаимного пересечения счётного набора кривых на плоскости довольно трудоёмкая задача. В работе [18] представлен квазиполином, у области устойчивости которого тоже существуют сечения с прямолинейными границами.
Изучим кратность корней на границе области устойчивости. Этот вопрос важен для исследования бифуркации рождения цикла в системах, линеаризация которых имеет вид (1).
Исследуем кратность нулевого корня на прямой Z + v + ^ = 0 . Элементарными вычислениями получаем, что f (0) = ^ + 1, f"(0) = ^ + Z/3 + 2 и f"'(0) = ^ + 3 . Следовательно, при ^ > —1 на границе AB нулевой корень простой. В точке Z = —3, ^ = —1, v = 4 нулевой корень обладает кратностью, равной трём, а в остальных точках отрезка AB ¡Ji=-1 нулевой корень обладает кратностью, равной двум.
Теперь изучим кратность корней р0 и р1 на сторонах AC и BC треугольника соответственно. Заметим, что оба этих корня отличны от нуля. Рассмотрим мнимую часть уравнения f (ipn) = 0, выразив ^ из второго уравнения системы (4):
cos (n sin (n — Pn , n
^ cos Pn + cos (n — Pn sin Pn = -:-= 0.
sin (Pn
Следовательно, на границе треугольника ABC корни, лежащие на мнимой оси, просты и имеет место
Теорема2. Для того чтобы уравнение (1) было равномерно устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство ah > —1 и точка {2ch2 ,bh,ah} принадлежала замыканию области O .
В заключение применим признак устойчивости уравнения (1) для системы (2). Асимптотические свойства любого решения определяются свойствами фундаментальной матрицы [19], [20, c. 84]. Не вдаваясь в подробности, которые читатель может найти в работе [1], сразу отметим, что если характеристическая функция F имеет простой нулевой корень, а все остальные корни лежат слева от мнимой оси, то фундаментальная матрица X = X(t) системы (2) допускает представление X(t) = resz=0eztY-1 (z) + O(e-vt), где Y(z) = Iz + + hA + hBe-z , а положительная величина v такова, что Rez0 < —v для любого корня z0
функции f . Поскольку det Y(z) = F(z) , то
-U л i • Y *(z)ezt A* + B*
resz=0e Y 1 (z) = lim -
^о ?' (г) £рА + £рВ + 2^ det А'
где символом * обозначена присоединённая матрица.
Теорема 3. Система (2) равномерно устойчива, а для её фундаментальной матрицы имеет место представление
А* + В* ^
Х= 5РА + 5РВ+2Ме^А + °(е " )
в том и только том случае, если выполняются неравенства 5*рА + £рВ + 2Л, det А > 0, Л,£рА > —1, а точка {2Л2 det А, Л,£рВ, Л,£рА} принадлежит замыканию области О .
ЛИТЕРАТУРА
1. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Некоторые признаки устойчивости линейного автономного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2007. № 6. С. 55-63.
2. Сабатулина Т.Л. Об устойчивости линейного автономного дифференциального уравнения с последействием // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2012. № 1. С. 117-118.
3. Сабатулина Т.Л. Об автономном дифференциальном уравнении с сосредоточенным и распределенным запаздываниями // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды шестой Всеросс. науч. конф. с международным участием. Ч.3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Самара: СамГТУ, 2009. С. 192-194.
4. Wu S., Gan S. Analytical and numerical stability of neutral delay integro-differential equations and neutral delay partial differential equations // Computers and Mathematics with Applications. 2008. № 56. P. 2426-2443.
5. Huang C., Vandewalle S. Stability of Runge-Kutta-Pouzet methods for Volterra integro-differential equations with delays // Front. Math. China. 2009. № 4 (1). P. 63-87.
6. Перцев Н.В., Тарасов И.А. Анализ решений интегродифференциального уравнения, возникающего в динамике популяций // Вестник Омского университета. 2003. № 2. С. 13-15.
7. Малыгина В.В., Мулюков М.В., Перцев Н.В. О локальной устойчивости одной модели динамики популяции с последействием // Сибирские электронные математические известия. 2014. № 11. С. 951-957.
8. Zhao H., Lin Y., Dai Y. Stability and Global Hopf Bifurcation Analysis on a Ratio-Dependent Predator-Prey Model with Two Time Delays // Abstract and Applied Analysis. 2013. Article ID 321930, 15 pages, 2013. doi:10.1155/2013/321930.
9. Matsunaga H. Exact stability criteria for delay differential and difference equations // Applied Mathematics Letters. 2007. № 20. P. 183-188.
10. Matsunaga H. Stability Regions for Linear Delay Differential Equations with Four Parameters // International Journal of Qualitative Theory of Differential Equations and Applications. 2009. V. 3. № 1-2. P. 99-107.
11. Быкова А.Н. Исследование устойчивости систем двух нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом по первому приближению: автореф. дисс.... канд. физ.-мат. наук. Чебоксары, 2002.
12. Мулюков М.В. О факторизации характеристического квазиполинома системы линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2013. № 9. С. 38-44.
13. Мулюков М.В. Об асимптотической устойчивости двупараметрических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2014. № 6. С. 48-55.
14. Мулюков М.В. Асимптотическая устойчивость одной системы автономных дифференциальных уравнений запаздывающего типа с вырожденными матрицами // Сборник трудов 7 Международной научной конференции, Воронеж, 14-21 сентября, 2014. С. 268-270.
15. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.
16. Эльсгольц Л.Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.
17. Андронов А.А., Майер А. Т. Простейшие линейные системы с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1946. Т. 7. № 2, 3. С. 95-106.
18. Мулюков М.В. Устойчивость одной линейной модели осциллятора с запаздывающей обратной связью // Вестник пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2014. № 27. С. 62-67.
19. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. Вузов. Математика. 1997. № 6. С. 3-15.
20. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект № 13-01-96050 р_урал_а).
Поступила в редакцию 1 июня 2015 г.
Mulyukov M.V. THE STABILITY OF THE LINEAR AUTONOMOUS DIFFERENTIAL EQUATION WITH DISTRIBUTED AND CONCENTRATED DELAY
A linear autonomous differential equation with distributed and concentrated delay is considered. Effective sharp criteria of the asymptotic and uniform stability are obtained. The criteria are represented graphically.
Key words: delay differential equations; asymptotic stability; uniform stability; effective criteria.
Мулюков Михаил Вадимович, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Российская Федерация, аспирант кафедры вычислительной математики и механики, e-mail: [email protected]
Mulyukov Mikhail Vadimovich, Perm State National Research University, Perm, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Computational Mathematics and Mechanics Department, e-mail: [email protected]
УДК 517.958
ОБ УБЫВАНИИ ПРИ БОЛЬШИХ ВРЕМЕНАХ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА ПОЛУОСИ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КАВАХАРЫ
© М.А. Опритова, А.В. Фаминский
Ключевые слова: уравнение Кавахары; начально-краевая задача; убывание решений при больших временах.
Рассматривается начально-краевая задача на полуоси для обобщенного уравнения Кавахары, содержащего абсорбирующее слагаемое, которое может вырождаться на конечном отрезке. Устанавливается результат об убывании при больших временах слабых решений.
В настоящей работе рассматривается начально-краевая задача для обобщенного уравнения Кавахары
иЬ иххххх + Ьиххх + аих + иих + д(х)и = 0 (1)
(а и Ь - вещественные константы) при £ ^ 0, х ^ 0 с граничными условиями
и1=0 = и°(х)' и1х=0 = их 1х=0 = °" (2)
Уравнение Кавахары
и иххххх I Ьиххх I аих I иих — 0 (3)
