Гибридный метод анализа устойчивости линейных дифференциально-разностных систем с линейно возрастающим запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929.4

ГИБРИДНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ С ЛИНЕЙНО ВОЗРАСТАЮЩИМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

© А.П. Жабко, О.Н. Чижова

Ключевые слова: линейная система дифференциально-разностных уравнений, линейное запаздывание, асимптотическая устойчивость, неустойчивость.

Рассматривается простейшая линейная стационарная система уравнений с линейно возрастающим запаздыванием. Предлагается двухступенчатый метод, позволяющий свести задачу анализа устойчивости по Ляпунову к последовательному применению подхода Разумихина к системе дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа и к системе разностных уравнений. Данный подход позволяет выделить в пространстве коэффициентов области асимптотической устойчивости и неустойчивости.

1. ВВЕДЕНИЕ

Класс дифференциальных уравнений с временным запаздыванием, пропорциональным времени, изучен значительно менее, чем класс уравнений с постоянным запаздыванием. Однако считать запаздывание постоянным можно не во всех случаях. Например, в математической модели, описывающей работу информационного сервера, учитывается технологическое запаздывание -время, необходимое для обработки поступающей информации, и это время зависит от объема обрабатываемой информации. Уравнения, описывающие взаимодействие объектов, расходящихся друг от друга, содержат транспортное запаздывание - время, необходимое для передачи информации от одного объекта к другому. Это время также линейно возрастает при увеличении расстояния между объектами.

Уравнения с линейно возрастающим запаздыванием времени выделяются из класса уравнений с ограниченным переменным запаздыванием тем, что предыстория их решения неограниченно возрастает с ростом времени. Из-за этого оказывается невозможно применять некоторые методы исследования к уравнениям с возрастающим, в т. ч. с линейно возрастающим, запаздыванием.

Линейные уравнения и системы таких уравнений являются наиболее изученными среди систем с линейным запаздыванием. Так, в работах К.Г. Валеева [1-2] показано, что при нулевом начальном значении аргумента решения уравнений такого вида могут быть построены как степенные ряды по степеням аргумента. В этих работах получены также достаточные условия устойчивости линейных уравнений порядка п с линейно возрастающим запаздыванием. Некоторые виды линейных уравнений и систем с линейно возрастающим запаздыванием исследованы в работах Б.Г. Гребенщикова [3-5], где получены оценки на решения и выведены достаточные условия устойчивости и неустойчивости. Асимптотическое поведение решений и робастная устойчивость линейных систем с линейно возрастающим запаздыванием и постоянными матри-

цами рассматривались в работах А.П. Жабко и А.А. Лактионова [6-7]. Кроме того, в работах [1-2; 67] проводился анализ устойчивости таких систем в пространстве коэффициентов, однако предложенное в данной статье предварительное преобразование позволило, во-первых, уточнить ранее полученные результаты, а во-вторых, построить оценки асимптотического поведения решений.

Для дифференциально-разностных систем запаздывающего типа с ограниченным и распределенным запаздыванием остаются верными теоремы об устойчивости по линейному приближению [8-10], там же приводится техника анализа устойчивости линейных стационарных дифференциально-разностных систем, основанная на преобразовании Лапласа. Следует отметить, что рассматриваемые в этой работе системы не являются стационарными, и преобразование Лапласа оказывается неприменимым для анализа их устойчивости и неустойчивости.

Целью данной работы является применение нового подхода к исследованию устойчивости линейных систем уравнений с постоянными коэффициентами и линейно возрастающим запаздыванием. Предложенный метод позволяет свести задачу анализа устойчивости по Ляпунову к последовательному применению подхода Разумихина [11] для вспомогательной системы дифференциально-разностных уравнений и анализу устойчивости разностной системы. Кроме того, предложенный подход может оказаться эффективным при применении к анализу устойчивости рассматриваемых линейных систем прямого метода Ляпунова [12-13], и распространению модификации метода функционалов Ляпунова-Красовского [14] на линейные системы с неопределенными коэффициентами и линейно возрастающим запаздыванием, а также метода Разумихина [15-16] на однородные системы с линейно возрастающим запаздыванием. Было бы интересно изучить влияние длительной ветровой нагрузки и одностороннего нагрева на многосвязную систему [17], описываемую уравнениями математической физики.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАБОТЫ СМЕСИТЕЛЬНОГО БАКА

Рассмотрим смесительный бак, наполняющийся с помощью двух труб, через которые втекает жидкость с массовыми скоростями Е1(1) и Е2((). В обоих потоках содержится некоторое растворимое вещество с постоянными концентрациями Сг и С2 . Из нижней части бака вытекает жидкость с массовой скоростью Е(1) и концентрацией С(1) . Обозначим через ¥([) объем жидкости в баке, через £ - площадь поперечного сечения бака и через к(1) - высоту столба жидкости в баке. Концентрация вещества в нижней части бака равна концентрации выходного потока. Тогда уравнения баланса масс для бака запишутся в виде

С¥ (1)

сИ

- ) + Г2(1) -Е(1)

Л

{С(1)¥(1)) - ОД (1) + С^ (1) - С(1 )Е(1) (1)

Е (1) - к^ЫР) - к^Пф

В установившемся состоянии расходы Е10, Е20, Е0, объем жидкости в баке ¥0 и концентрация растворенного вещества С0 постоянны и удовлетворяют соотношениям

Кю + Е20 - Е0 - 0

[ОДю + С^ - СоЕо - 0Ео - к^У^'

(2)

Из соотношений (2) при известных величинах Е_0,Е20 можно определить величины Е0, С0 и ¥0. Напишем уравнение в отклонениях от установившегося режима. Пусть х1(1) = ¥(1) — ¥0 , х2(1) = С(1) — С0 ,

У1(1) = ^(1) — Е0 , у2(1) = Г2(1) — Г20. Тогда

поскольку, чем больше объем жидкости в баке, тем больше времени требуется для ее перемешивания.

Кроме того, поскольку основная задача заключается в поддержании концентрации выходного потока на заданном уровне, то функции Е1(1),Е2(1),Е(1) следует выбирать в виде управлений, стабилизирующих значение выходной концентрации. Так как необходимо учитывать технологическое запаздывание, то управления будут функционалами от состояния х1 = {х(1 + е [—т(1);0]}, а именно, у1(1) = и1(х1),

У2(1) = и2(х1),Е(1) = и(Х1) .

Предположение 1. Считаем, что система линейного приближения в окрестности положения равновесия (2) имеет вид

Х(г) = Лх(г) + Вх (г — т(1, х1)),

(4)

где Л, Л - постоянные матрицы.

Предположение 2. Считаем, что технологическое запаздывание задается равенством т(1, х() = (1 —а)1,

где 0 < а < 1, причем начальный момент времени 10 положителен.

Основная задача заключается в анализе устойчивости нулевого решения системы (4) , в т. ч. по отношению к возможной неопределенности матриц Л, Л и параметра а.

3. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Рассмотрим систему уравнений х(1) = Лх(!) + Вх (а1) ,

(5)

где х - и-мерный вектор фазовых состояний; Л, В -вещественные постоянные матрицы размерностей п X п , параметр а удовлетворяет условию 0 < а < 1. Введем также непрерывную начальную функцию

Ф :[а?0; 10] ^Щф^) = х0^0 > 0.

(6)

х (1) - —к (,/(П+хЩЁ — ^¥0^) + У! (/) + у 2 (1)

— к.УД • х2(/) + (С1 — С0) У1(1) + (3)

+ (С2 — С0) У2 (1) — х2 (/)(у1 (1) + У2 (1))

х2(() —

¥0 + х1(1)

Будем считать У1(() и У2(() входными переменными, а х1(1) и х2(1) - переменными состояния. В уравнениях (3) предполагается, что изменение входных потоков Е^) и Е2(() мгновенно сказывается на изменении концентрации в баке и равной ей концентрации выходного потока С(1) . Однако в более точной модели необходимо учесть то, что перемешивание жидкости в баке для выравнивания концентрации требует некоторого времени, которое назовем технологическим запаздыванием. В данной ситуации технологическое запаздывание х(1) будет зависеть от времени,

Очевидно, что начальной функции вида ф(1) = 0 соответствует тривиальное решение системы (5) х(() = 0 . Для системы (5) выполнены условия существования, единственности и продолжения решений начальной задачи (5)-(6) на все значения времени 1 ^ 10 > 0 .

Введем векторные функции

Ук+1(1) = ЛУк (1) + акВУк (а) :

(7)

где У0(1) = х([), к = 0,1, ^ Очевидно, что функции Ук (1) определены и непрерывны при значениях

1 ^ а1 и непрерывно дифференцируемы при

^ _ 1т т- ^ _1т

1 ¿а Ц. Кроме того, при 1 ¿а 10 справедливы равенства

с

У и (Т) = АУк (Т) + акВук (аТ) .

(8)

Замечание 1. Если вектор-функция х(Т;Т0; ф) является решением начальной задачи (5)-(6), то при

. 1-и

Т ¿а Т0 выполняются равенства

Т

, (Т) = / У*+1(^ +

и при т > Т„ являются решениями системы уравнений

Уи (Т) =

ё х(Т; Т0; ф) 0й

Рассмотрим систему уравнений

у и (Т) = Ауи (Т) + а Ву и (аТ)

(9)

(10)

у, (Т) = Аух (Т) + а 'Ву^ (аТ)

с начальными условиями

ф.

Т

(Т) = |фх+1(т)ёт

(11)

+ , аТ0 £ Т £ Т0 .

при Т ^ Т0 .

Лемма 1. Пусть уи (Т) - непрерывное при Т ^ Т0 решение системы (10) с непрерывной на отрезке [аТ0;Т0] начальной функцией фи (Т) и матрицы

А + а'В невырожденные при 5 = 0,1,...и — 1. Тогда существует непрерывная на отрезке [аТ0;Т0] начальная

функция ф(Т) такая, что при Т ^ а1_иТ0 выполняется равенство (9).

Доказательство. Введем функцию

Т

^Т) = | ук (т)Л.

Функция 2и (Т) будет непрерывно дифференцируемой при Т ^ аТ0 , и, если и ^ 1, то при Т ^ Т0 систему (10) можно записать в виде

ё 2к (Т) ^иО и—1п ¿¿и (аТ) ■ = А--+ а В-

Л 2

ёТ

Ж

Следовательно,

¿и (Т) = А2и (Т) + аи 1В2и (аТ) + С .

Поэтому функция уи—1(т) = 2и (т) + Би , где

Б = (А + аи—1В)_1С , является при Т ^ Т0 решением системы

уи— 1 (Т) = Ауи—1 (Т) + аи 1Вуи—1 (аТ)

с начальным условием

г

фи—1(Т) = |фи

+ Би , аТ0 £ Т £ Т0 .

Повторяя данные рассуждения для 5 = и — 1, и — 2,... 1,0, получаем непрерывные функции у5 (Т), которые определяются рекуррентными соотно-

Завершая доказательство, заметим, что векторная функция х(Т;Т0;ф) = у0(Т) при Т ^ Т0 есть решение

системы (5), удовлетворяющее при Т ^ а1_иТ0 равенству (9). 0

4. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ

В этом пункте изучим вопрос устойчивости и неустойчивости по Ляпунову системы линейных уравнений

х(Т) = Ах(Т) + Вх(аТ) г

(12)

где х - и-мерный вектор фазовых состояний; А, В -вещественные постоянные матрицы размерностей п х п ; 0 <а< 1; начальная функция

ф: [аТ0; Т0] ^ Я; ф(Т0) = х0;Т0 > 0 предполагается непрерывной на начальном множестве.

Определение 1. Нулевое решение системы (12) устойчиво по Ляпунову, если для всякого числа е > 0 и всякого начального момента времени Т0 > 0 можно указать такое число 8(е,Т0) > 0 , что для всякой начальной функции ф(Т) , для которой выполняется условие ||ф(Т)|| <8 при Т е[аТ0;Т0], решение системы (12) х = х(Т;Т0; ф) удовлетворяет условию ||х(Т; Т0; ф)|| < е при всех значениях Т ^ Т0 . Если при этом число 8 зависит только от числа е , но не зависит от начального момента времени Т0 , то система (12) будет равномерно устойчива.

Определение 2. Нулевое решение системы (12) асимптотически устойчиво по Ляпунову, если оно устойчиво по Ляпунову в смысле определения 1 , и для любого Т0 > 0 можно указать такое число 81 > 0, что для всякой начальной функции ф(Т) , для которой выполняется условие ||ф(Т)|| <8 при Т е[аТ0; Т0], решение системы (12) х = х(Т;Т0;ф) удовлетворяет условию

||х(Т; Т0; ф)|| -

-»0.

Определение 3. Нулевое решение системы (12) неустойчиво по Ляпунову, если можно указать число е > 0 и начальный момент времени Т0 > 0 такие, что

шениями

0

2

0

для произвольно малого числа 8 > 0 найдется начальная функция ф(1) , для которой выполняется условие ||ф(1)|| <8 при 1 е[а10;10], но при этом хотя бы в один момент времени 1 > 10 будет выполнено неравенство ||х(1; 10;ф)|| >е .

Замечание 2. Поскольку система (12) линейная, то все решения этой системы либо устойчивы, либо асимптотически устойчивы, либо неустойчивы. Поэтому далее будем говорить об устойчивости, асимптотической устойчивости или неустойчивости системы (12).

Известно [9], что если в системе (12) матрица В = 0 , то система (12) асимптотически устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы Л имеют отрицательные вещественные части, устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы Л имеют неположительные вещественные части, причем собственным числам с нулевой вещественной частью соответствуют простые элементарные делители, и неустойчива во всех остальных случаях.

Замечание 3. Асимптотическая устойчивость системы (12), вообще говоря, не является равномерной. Для обоснования этого рассмотрим скалярное уравнение

х(1) = —ах(1) + Ъх(а1),

где а > 0 . Такое уравнение асимптотически устойчиво, если 0 < |Ъ| < а . Равномерная асимптотическая устойчивость предполагает [9] существование величины 81 > 0 и функции у(г) ^ 0 при г ^ +<» , таких, что

для любого 10 > 0 и любой начальной функции ф(1) , для которой выполняется условие |ф(1)| < 8 при 1 е[а10;10], справедливо неравенство \х(1; 10;ф)| < < у(1 —10 ) для всех 1 > 10 . Выберем такое 1 > 0, что при ^ > 1, 12 > 1, 13 > 1 выполняется неравенство

(у^) + у^) + ау^))/ \Ъ\ <81/2 .

Рассмотрим теперь решение указанного скалярного уравнения с начальным условием ф(1) = 8-^/2 при

1 е[а10;10], где 10 =а(1 +1)/(1 — а) .

Тогда, с одной стороны,

Щ

1„+1+1

) + ах(1 ))с

10 +1+1 0

1

=щ 1 х(а1)т

|Ъ| 10 + 1

81 2

т. к. а1 < 10. Противоречие.

Теорема 1. Система (12) является асимптотически устойчивой, если матрица Л гурвицева, а все собственные числа матрицы Л 1В по модулю меньше единицы.

Доказательство. Построим положительно определенную симметрическую матрицу ¥ , которая является решением алгебраического уравнения Ляпунова

¥Л + Лт¥ = —Е .

Найдем целое число к > 0 такое, что на множестве

£

= { | z*¥z < 2у*¥У}

выполняется неравенство

II2 + 2аку¥Вг < — р- у¥у

(13)

при некотором р > 0 . Обозначим через у(ук) функцию у*¥ук . Тогда при ук (а1) = 7 е £ справедливо неравенство

М. у к (1))

с

<—Р- Л у к (1)).

(8)

Поэтому, согласно [11], система (8) является асимптотически устойчивой по Ляпунову, следовательно, Ук(1) ^ 0 при 1 ^ . Предположим, что х(1;10;ф) -решение системы (12). В соответствии с равенством (9)

^х^'^ф)

ик

Л'

Покажем, что

= Ук (1) ^ 0 при 1 ^ +да .

Ск 1х(1;10; ф)

к—1

= ук—1(1) ^ 0 при 1 ^ +<» .

(14)

Используя равенство (7), получаем при 1 ¿а1 систему

1„+1+1

^(х(1) + ах(1 ))С

х(10 +1 +1) —

1„+1+1

х(10 +1) + а ^х(1 )С1

у (1 +1) + у (1) + а ^^

1+1 Л

С другой стороны,

Ук_¿1) = —ак—1Л~1Вук_ 1(а1) + Л"хук(1) . (15)

Пусть 1 е[а: т10;а т10) и т > к . Тогда функцию Ук_ 1(1) можно представить в виде

|—ак—1ВЛ —\ук (а '{) +

Ук—1

1(1) = л- 1 ^

т—к |— „к—1 ил—1 I

=0 + [—ак—1Л—'В]......Ук—1(ат—к)

(16)

10+1

<

0

1

<

Так как собственные числа матрицы аи— 1А~ 1В по модулю меньше единицы и ук (Т) ^ 0 при Т ^ +о> , то справедливо предельное соотношение (14).

Применяя вышеприведенные рассуждения и раз, получаем необходимое соотношение

х(Т;Т0;ф) = у0(Т) ^0 при Т ^ +ю ,

что завершает доказательство.

Оценим поведение решений системы (12) в случае выполнения условий теоремы 1. Пусть р15.. .рп - соб-

ственные числа матрицы

Л~ B

в котором mk (t) = max \yk (t) .

te[at ;t ]

Не умаляя общности, можно считать, что t0 > 1.

Тогда выберем такое число k , что выполняется неравенство

>=d\e

-X(1-a)a

+ ak

IBII/Ф m

i=1,

< max bj

j=1,..,я'

Используя неравенство (21) при Т ¿а и 1Т0, равенство (20) при Т е [а"иТ0;а"и—1Т0] и оценку (19), — и

можно получить при Т 2 а Т0 неравенство

max ln р j

V j=

/ln a.

Теорема 2. Если матрица А гурвицева и все собственные числа матрицы А 1В по модулю меньше единицы, то при Т 2 Т0 > 0 выполняется неравенство

||x(t;to; ф)|| < M (ст)|

где 0 < ст < ц и

(toJ

11(1-a)to

(17)

= max ||ф(?)||.

11(1— а)Т0 Те[аТ0;Т0]" Доказательство. Оценим при Т 2 а—иТ0 решение уравнения (8) с начальным условием

Фк (t) =

d x(t;to;ф) _ ,_r„.1-К .„,-kt

dtk

при t e[a t0;a t0].

(18)

||Ук (t)\\ < D(1 + ak||B||/^Mk

11(1-a)t0 '

(22)

Рассмотрим систему уравнений (7) для оценки функций уи 1(Т) в форме (15)

yk- 1(t) = -ak 1Л 1Byk- 1(at) + Л xyk (t) .

Собственные числа матрицы аи 1А 1В суть аи—1р(/' = 1,...,п) , функция уи(Т) подчинена оценке (22), а решение системы (15) представимо при Т ¿а1" иТ0 равенством (16). Кроме того, начальную функцию фи—1(Т) решения уи—1(Т) также можно оценить неравенством

k JK- 1(t)||< Mk-1

max ф(?

Так как функция х(Т; Т0; ф) является решением системы (12), то существует постоянная величина мк > 0 , такая что

fok (t)|| < Mk max ||ф(?)||

te[at0;t0]

(19)

Поскольку матрица А гурвицева, то существуют положительные числа Б и X, такие что при Т 2 0 выполняется неравенство

И < De-Xt

Если k > 1, то

г I _ Л /

max lnak 1р /ln a = k-1 + ц>ц .

Vi=^n I ji)/

Поэтому, оценивая при t > a1 kt0 решение yk- 1(t) , получаем оценку

||yk- 1(t)| < M^ {t0Jm(1_a)t0

Поэтому, если t >a k 1t0, то при t e [at ;t ] из уравнения (8) следует равенство

t

yk (t) = eA(t-at)yk (at) + ak J eA(t-x)Byk (ax)dx

at

(20)

и неравенство

mk (?) < D

-X(1-a)i , „.k"~i11- e

+ a

l|b|| ■

,-X(1-a)t

mk(at), (21)

Повторяя указанную процедуру, получим последовательность оценок

(t)|| < ms [ t-f J||

11(1- a)t0

(23)

при 5 = к — 1, к — 2,... 1 и Т 2 а 5Т0 .

Теперь можно оценить искомое решение х(Т; Т0; ф) = у0 (Т), используя систему

и

ц

Ц

t

s

х(1) = —Л 1Вх (а1) + Л 1у1 (1) , 1 > 10 ,

(24)

в которой функция у1(1) подчинена неравенству (23)

при 5 = 1. Учитывая, что характеристические показатели системы уравнений (24) удовлетворяют условию

тах 1п р . /1п а = ц ,

]=\---,п 1 •

а неоднородности оцениваются неравенством (23), получаем справедливость неравенства (17).

Сформулируем некоторые условия неустойчивости системы (12).

Теорема 3. Если среди собственных чисел матрицы Л существуют числа с положительной вещественной частью и det(Л + В) Ф 0, то система (12) неустойчива по Ляпунову.

Доказательство. Так как система (12) линейная, то достаточно показать существование при выполнении условий теоремы неограниченного решения. Рассмотрим два случая: матрицы Л + а5В невырожденные для любого 5 = 0,1,2..., или существует натуральное

число к , для которого det(л + ак в)= 0.

Предположим, что det(л + акв)= 0 , а det(л + а5в)ф0 при 5 = 0,1,2.,к — 1. Тогда пусть С0 такой вектор, что (л + акв)(С0 = 0 . Будем искать решение системы (12) в виде

х(1) = 1кС0 + 1к—1С1 + ••• + Ск

(25)

Подставляя функцию (25) в систему (12), получаем представления коэффициентов С5 , а именно

С,

= (л + ак~* В)1 С^1(к — 8 +1), 5 = 1,2.,к.

а вектор у = (ут,ут)т . Заметим, что квадратичные

формы уТ¥у и ут¥у являются положительно определенными.

Рассмотрим вспомогательную систему

Сук (1 )= | Л+ О л I О Л"

ук (1) + а Вук (а1) .

(27)

Продифференцируем функционал

1

-(Ук ) = (Ук (()) — -2 (Ук (1)) — | Ук (г)Сг

вдоль решений системы (27), тогда получим

С-( у к)

с

= (ук (1 ))2 + 2а кут (1)

(27)

¥+ о л о —¥л~

х Ук (а1) — ду2к (1) + адук (а1)

Обозначим через г = |¥4+ +|¥4 . Тогда нетруд-к—1

но проверить, что если д = а г и

С = 1 — ак—\1 + а)г,

С-( У к )

Л

•С (Ук (1 ))2

(28)

(29)

(27)

Интегрируя неравенство (29) на промежутке [10;1] получаем

Предположим теперь, что матрицы Л + а6'В невырожденные при 5 = 0,12..., и у матрицы Л нет собственных чисел с нулевой вещественной частью. Тогда существует преобразование подобия матрицы Л к квазидиагональному виду £"*Л£ = diag(л+ , Л~), где

матрица Л+ имеет только собственные числа с положительными вещественными частями, а матрица Л имеет только собственные числа с отрицательными вещественными частями. Замена переменных х = £у преобразует систему (12) к виду

Су(1); Ж

Л4

О

О Л"

Iу(1) + Ву(а1).

(26)

Пусть ¥ и ¥ - решения алгебраических уравнений Ляпунова

¥Л++ (Л+ )т¥ = Е , ¥Л~ + (Л~)т¥ = — Е ,

V (у к (1)) > -2 (¥к (1)) + | У2к (г)Сг +

а1

+ С|ук (г)Сг + у(фк) > -(ф) + С|ук (г)Сг

Если выбрать к так, что С > 0, то из последнего неравенства по лемме Гронуолла при 1 > 10 получаем неравенство

- , ч -(ф«-) С (1—10)

Ук(1) > еа ,

а

(30)

в котором а - наибольшее собственное число матрицы ¥ .

Таким образом, решение системы (27) с начальной функцией фк такой, что —ф) > 0, неограниченно возрастает. Тогда, согласно лемме 1, соответствующее решение системы (12) также неограниченно возрастает.

X

то

0

0

Если матрица А имеет собственные числа с нулевой вещественной частью, то замена х = ее 2 при достаточно малом положительном е сведет этот случай к только что рассмотренному.

Пример. Рассмотрим уравнение

лучена также оценка скорости убывания нетривиальных решений асимптотически устойчивой системы.

ЛИТЕРАТУРА

X(t) = -2x(t) + x\ -1

Г1)

x\ — t \ 2 )

(31)

Для этого уравнения выполнены условия теоремы 1 и теорема Разумихина [11] об устойчивости нулевого решения. Поэтому при Т ^ Т0 > 0 справедливо нера-

|x(t; t0; ф) <ф 1

(32)

Напомним, что ф 1 = max ф(?) . По теореме 2

1 '2 ?0 ?„/2<? <?0 '

ц = 1, поэтому 0 < ст < 1. Поскольку для уравнения (31) D = 1, X = 2, то неравенство (21) при k = 0 и ? > 2?0 принимает вид

m0(? ) <-(1 + e

2(+e"? )я0 V1

(33)

Для того чтобы из неравенства (33) получить оценку (17) для заданного 0 < ст < 1, необходимо выполнение условия

1] ст> 2 (+' )•

Поэтому, если 2?0 > - ln(2 ст -1) , то при t > ?0 имеет место оценка

x(t; ?0; ф) <

|ф| 1 ? ?0 < ? < 2?(

0

с ^

2?п

М1?„, ? > 2?0

Если 2t0 < T = -ln(2 ст -1) , то при t > ?0 верна

оценка

x(t;t0;ф) < •

ф 1 ?„> < ? < T ф 1 ?„, ? > T

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе выведены достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости линейной системы дифференциальных уравнений с линейно возрастающим временным запаздыванием. По-

1. Валеев К.Г. Линейные дифференциальные уравнения с запаздыванием, линейно зависящим от аргумента // Сибирский математический журнал. 1964. Т. 5. № 2. С. 75-83.

2. Валеев К.Г. Применение преобразований Лапласа к решению и исследованию устойчивости линейных уравнений с переменными коэффициентами и запаздываниями аргумента // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклонением аргумента. 1967. № 4. С. 51-78.

3. Гребенщиков Б.Г. Устойчивость систем с переменным запаздыванием, линейно зависящим от времени // Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск: УрГУ, 1983. С. 25-34.

4. Гребенщиков Б.Г. Об ограниченности решений неоднородной системы с запаздыванием, линейно зависящим от времени // Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск: УрГУ, 1986. С. 7-12.

5. Гребенщиков Б.Г., Новиков С.И. О неустойчивости системы с линейным запаздыванием, приводимой к сингулярно возмущенной системе // Известия вузов. Математика. 2010. № 2. С. 3-13.

6. Laktionov A.A., Zhabko A.P. Method of Difference Transformations for Differential Systems with Linear Time-Delay // Proc. of the First IFAC Conference LTDS-98, France. Р. 201-205.

7. Zhabko A.P., Laktionov A.A. Robust Stability of Differential-Difference Systems with Linear Time-Delay // Proc. of the Second Symposium Robust Control Design. P. 101-105.

8. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

9. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высш. шк., 1973. 272 с.

10. Красовский Н.Н. Об устойчивости по первому приближению // ПММ. Т. 19. № 5. С. 516-530.

11. Разумихин Б.С. Устойчивость систем с запаздыванием // ПММ. 1956. Т. 20. № 4. С. 500-512.

12. Харитонов В.Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной.

I. Функционалы полного типа // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2005. Вып. 1. С. 110-117.

13. Харитонов В.Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной.

II. Матрицы Ляпунова // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2005. Вып. 2. С. 200-209.

14. Жабко А.П., Медведева И.В. Алгебраический подход к анализу устойчивости дифференциально-разностных систем // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2011. № 1. С. 9-20.

15. Александров А.Ю., Жабко А.П. Об асимптотической устойчивости решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Известия высших учебных заведений. Математика. 2012. № 5. С. 3-12.

16. Александров А.Ю., Жабко А.П. Об асимптотической устойчивости решений многосвязных дифференциально-разностных систем запаздывающего типа // Системы управления и информационные технологии. 2013. Т. 54. № 4. С. 4-7.

17. Провоторов В.В. Оптимальное управление параболической системой с распределенными параметрами на графе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2014. Вып. 3. С. 154-163.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 15-58-53017) и Санкт-Петербургского государственного университета (НИР № 9.37.157.2014).

Поступила в редакцию 15 мая 2015 г.

Zhabko A.P., Chizhova O.N. HYBRID METHOD OF STABILITY ANALYSIS OF LINEAR DIFFERENCE-DIFFERENTIAL SYSTEMS WITH LINEAR INCREASING DECELERATING

The simplest linear stationary system of equations with a linear increasing decelerating is considered. A two-stage meth-

2

V t >

2

V * )

od, allowing to reduce the problem of stability analysis by Lya-punov to the serial Razumihin's approach to the system of differential-difference equations of decelerated type, and to the system of difference equations. This approach allows to specify in

the space of coefficients of the region of asymptotic stability and instability.

Key words: systems of linear differential-difference equations; linear decelerating; asymptotic stability; instability.

Жабко Алексей Петрович, Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой теории управления, e-mail: zhab-ko@apmath. spbu.ru

Zhabko Aleksey Petrovich, Saint-Petersburg State University, Saint-Petersburg, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of Theory of Management Department, e-mail: [email protected]

Чижова Ольга Николаевна, Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории управления, e-mail: chizhovolg@yandeх.ru

Chizhova Olga Nikolaevna, Saint-Petersburg State University, Saint-Petersburg, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Theory of Management Department, e-mail: chizhovolg@yandeх.ru