CC BY
56
2015 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10 Вып. 3
ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 517.929.4
А. П. Жабко, О. Н. Чижова
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ С ЛИНЕЙНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ*)
Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9
Рассматривается однородное дифференциально-разностное уравнение с линейно возрастающим запаздыванием. На этот класс уравнений распространены коэффициентные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения, известные для линейных уравнений с линейным запаздыванием. Оценена скорость стремления к нулю нетривиальных решений в случае асимптотической устойчивости. Библиогр. 20 назв.
Ключевые слова: однородное дифференциально-разностное уравнение, линейное запаздывание, асимптотическая устойчивость и неустойчивость.
A. P. Zhabko, O. N. Chizhovа
STABILITY ANALYSIS OF HOMOGENEOUS
DIFFERENTIAL-DIFFERENCE EQUATION WITH LINEAR DELAY
St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation
A homogeneous differential-difference equation with linearly increasing time delay is considered. Some sufficient conditions for asymptotic stability and instability of zero solution well-known for the linear equation with linearly increasing time delay are summarized in homogeneous equations. The speed of solution decreasing is estimated. Refs 20.
Keywords: homogeneous differential-difference equation, linearly increasing time delay, asymptotic stability, instability.
1. Введение. Класс дифференциальных уравнений с временным запаздыванием, пропорциональным времени, изучен значительно меньше, чем класс уравнений с постоянным запаздыванием. Однако считать запаздывание постоянным можно
Жабко Алексей Петрович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой; e-mail: [email protected]
Чижова Ольга Николаевна — кандидат физико-математических наук, доцент; e-mail: [email protected]
Zhabko Alexei Petrovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the chair; e-mail: [email protected]
Chizhova Ol'ga Nikolaevna — candidate of physical and mathematical sciences, associated professor; e-mail: [email protected]
*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 15-58-53017) и Санкт-Петербургского государственного университета (НИР № 9.37.157.2014).
не во всех случаях. Так, в уравнениях, описывающих работу смесительного бака, учитывается технологическое запаздывание — время, необходимое для равномерного перемешивания жидкостей, поступающих в бак, и это время увеличивается по мере наполнения бака. Уравнения, описывающие взаимодействие объектов, расходящихся друг от друга, содержат транспортное запаздывание — время, необходимое для передачи информации от одного объекта к другому. Это время также линейно возрастает при увеличении расстояния между объектами.
Уравнения с линейным запаздыванием времени выделяются из класса уравнений с ограниченным переменным запаздыванием тем, что предыстория их решения неограниченно увеличивается с ростом времени. Из-за этого оказывается невозможным применять некоторые методы исследования к уравнениям с возрастающим, в том числе с линейным, запаздыванием.
Наиболее изученными среди уравнений с линейным запаздыванием являются линейные уравнения. Так, в работах К. Г. Валеева [1, 2] показано, что при нулевом начальном значении аргумента решения уравнений такого вида могут быть построены как степенные ряды по степеням аргумента. В этих работах получены также достаточные условия устойчивости линейных уравнений порядка п с линейным запаздыванием времени. Некоторые виды линейных уравнений и систем с линейным запаздыванием исследованы в работах Б. Г. Гребенщикова [3-5], где получены оценки на решения и выведены достаточные условия устойчивости и неустойчивости. Асимптотическое поведение решений и робастная устойчивость линейных систем с линейным запаздыванием и постоянными матрицами рассматривались в работах А. П. Жабко и А. А. Лактионова [6, 7].
В ряде случаев возникает необходимость описывать системы уравнений, у которых разложение правых частей по степеням искомых функций не имеет линейных членов относительно них или же матрица при линейных слагаемых не позволяет использовать теоремы об устойчивости и неустойчивости по линейному приближению [8, 9]. В этих случаях первым, в широком смысле, приближением оказываются системы уравнений с однородными правыми частями. Теоремы об устойчивости таких систем без запаздывания были доказаны в работах В. И. Зубова, И. Г. Малкина, Н. Н. Красовского [9-11]. Уточнение известных критериев устойчивости по первому, в широком смысле, приближению систем без запаздывания приводится в работе А. Ю. Александрова [12]. Однако нелинейные уравнения и системы таких уравнений, содержащие линейное запаздывание времени, до последнего времени остаются практически не изученными. При этом следует отметить, что метод преобразований Лапласа, используемый для исследования линейных уравнений с линейным запаздыванием, оказывается неприменимым к таким уравнениям с однородными правыми частями.
Целью данной работы является исследование на устойчивость нулевого решения уравнений и систем уравнений с линейным временным запаздыванием и однородными правыми частями с показателем однородности, большим единицы. Для скалярного уравнения применен метод Разумихина [13] и получены достаточные условия асимптотической устойчивости тривиального решения, а также оценки на нетривиальные решения и указаны соотношения на параметры уравнения, при которых использование метода Разумихина является корректным. Приводятся также достаточные условия неустойчивости тривиального решения скалярного уравнения.
Перспективным методом исследования рассматриваемых уравнений является прямой метод Ляпунова [14, 15], который показал достаточную универсальность при
изучении дифференциально-разностных систем с неопределенными коэффициентами [16] и нелинейных дифференциально-разностных систем с ограниченным запаздыванием [17]. Системы однородных дифференциально-разностных уравнений с ограниченным запаздыванием изучались и в работах [18, 19].
Второй метод Ляпунова также может быть хорошим инструментом при анализе уравнений математической физики на графах [20].
2. Математическая модель информационного преобразующепередаю-щего сервера. Одним из элементов сети Internet является сервер, задача которого заключается в приеме входящей информации u(t), ее оценке и компоновке в пакеты для дальнейшей передачи по сети с учетом приоритетов, присвоенных полученной информации. Будем обозначать отправляемую информацию через v(t).
Хотя в существующих системах используется цифровая техника, будем считать, что величина t — вещественная непрерывная переменная, а величины u(t) и v(t) принимают значения из Rn и Rm соответственно. При больших объемах обрабатываемой информации и высокой тактовой частоте используемой вычислительной техники такое приближение является достаточно хорошим. Здесь n — число входных каналов, а m — количество выходных линий.
Будем считать, что основная задача сервера — минимизация времени обработки поступающей информации. Обозначим через I(t) объем данных, стоящих в очереди для обработки на сервере в момент t, тогда
djM = Cu{t)-Dv{t), (1)
где C и D — постоянные матрицы. Если обозначить через F(I) производительность сервера, то систему уравнений (1) необходимо дополнить системой
^) = Г (I). (2)
На самом деле оператор Г есть не функция переменной I(£), а функционал Г(Ъ), в котором I = {I(т)|т € [го,г]}, поскольку информация обрабатывается не мгновенно. Кроме того, функционал Г(I) является нелинейным, так как при превышении некоторого номинального порога снижается удельная производительность сервера.
В данной работе изучается динамика отклонения функции I(I) от некоторого штатного значения ^от, которое будем считать постоянной величиной. Пусть у = I — In0m, тогда система (1), (2) примет вид
Щ^ = Си(г)-вг(У( + 1пот). (3)
Предположение 1. Считаем, что функционал Гопределен на функциях
ь = {I(т)|т € [аг,1]},
где параметр а, удовлетворяющий условиям 0 < а < 1, назовем коэффициентом последействия.
Предположение 2. Считаем входящий поток случайным, стационарным и таким, что математическое ожидание величины Сп(Ь) равно нулевому вектору.
Предположение 3. Считаем, что система первого, в широком смысле, приближения в окрестности номинального решения I(I) = Inom имеет вид
^ = Х(}(х(г))+Х?(х(а*)), (4)
здесь х — вектор фазовых переменных размерности п, а X» и X» — однородные функции порядка / > 1.
Основная задача заключается в анализе устойчивости нулевого решения системы (4), в том числе по отношению к возможной неопределенности функций X» и X» и параметра а.
Далее будет рассматриваться вопрос устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения скалярного уравнения
¿(г) = аг »(г) + Ъг»(аЬ), (5)
где г ^ го > 0, / > 1, 0 < а < 1, и разбиения пространства параметров (а,Ъ) на области устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости.
Известно [6, 7], что если / = 1, то множество {а < 0; а ^ Ъ < —а} есть множество параметров асимптотически устойчивого уравнения, множество {а ^ 0; Ъ = —а} есть множество параметров устойчивого уравнения, а при остальных значениях параметров уравнение (5) неустойчиво по Ляпунову.
3. Анализ устойчивости тривиального решения однородного уравнения. Рассмотрим следующее скалярное уравнение с линейным запаздыванием:
х(г) = —вх» (г) + 1х»(аь), (6)
в котором / = р/д — рациональное число с нечетным числителем и знаменателем. Будем считать, что выполнены условия: / > 1,в > 0, 0 < а < 1. Введем также начальную функцию € РО([а.го; го]) ^ Д; фо) = хо; го > 0. Очевидно, что начальной функции вида р(г) = 0 соответствует тривиальное решение уравнения (6) х(г) = 0.
Определение 1. Тривиальное решение уравнения (6) устойчиво по Ляпунову, если для всякого числа е > 0 и всякого начального момента времени го > 0 можно указать такое число 5(е, го) > 0, что для всякой начальной функции у>(г), для которой выполняется условие \ф(г)\ < 5 при г € [а^о,го], решение уравнения (6) х = х(г,го,<£>) удовлетворяет условию \х(г,го,^)\ < е при всех значениях г ^ го. Если при этом число 5 зависит только от числа е, но не зависит от начального момента времени го, то тривиальное решение уравнения (6) будет равномерно устойчиво.
Определение 2. Тривиальное решение уравнения (6) асимптотически устойчиво по Ляпунову, если оно устойчиво по Ляпунову в смысле определения 1 и для любого го > 0 можно указать такое число 51 > 0, что для всякой начальной функции у(г), для которой выполняется условие \ф(г)\ < 5х при г € [а^о,го], решение уравнения
(6) х = х(г,го,р) удовлетворяет условию \х(г,го,^)\ —> 0.
ь—
Определение 3. Тривиальное решение уравнения (6) неустойчиво по Ляпунову, если можно указать число е > 0 и начальный момент времени го > 0 такие, что для произвольно малого числа 5 > 0 найдется начальная функция у>(г), для которой выполняется условие \ф(г)\ < 5 при г € [аЬо,го], но при этом хотя бы в один момент времени I ^ го будет выполнено неравенство \х(~[,го,¥')\ ^ е.
Прежде всего заметим, что уравнение х(г) = —вх»(г), получающееся из уравнения (6) при 7 = 0, имеет при начальном условии х(го) = хо решение вида
х(г,го,хо) = хо ^1 + х» 1(/ — 1)в(г — го))
1
м-1
Отсюда следует, что тривиальное решение уравнения (6) при 7 = 0 равномерно асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда ( > 0. Однако оно не является экспоненциально устойчивым, поскольку нетривиальное решение такого уравнения не может быть оценено сверху экспоненциальной функцией с некоторым отрицательным показателем.
Замечание 1. Если число 7 = 0, то тривиальное решение уравнения (6) не может быть равномерно асимптотически устойчивым.
Действительно, равномерная асимптотическая устойчивость предполагает [9] существование величины ¿i и функции ф(т) ^ 0 при т ^ таких, что для любого to > 0 и любой начальной функции р : \p(t)\ < ¿1, t G [ato; to], при t ^ to справедливо неравенство \x(t,to,p)\ < ф(t — t0).
Выберем такое t > 0, что при ti ^ t, t2 ^ t, ts ^ t выполняется неравенство
(^(ti) + ^(t2) + e^M(t3))/\Y\ <¿i/2.
Рассмотрим решение уравнения (6) с начальным условием p(t) = ¿i/2, t G [ato; to], где to = a(t + 1)/(1 — a).
Тогда, с одной стороны,
1
ы
Í0 + Í+1
(X(t) + (x^(t))dt
to +t
1
Ы
to+t+1
x(to + t+1) — x(to + t)+( j X^(t)dt
to + t
<
< (ф(г + 1) + Ф(^+в J Ф"(t)d-t\ /\y\ < ¿1/2.
С другой стороны, 1
ы
to + t+1
(x(t) + (ix^ (t))dt
to+t
to+t+1
x^(at)dt
to + t
¿1/2,
так как аЬ ^ ¿о. Приходим к противоречию.
Получим некоторые достаточные условия асимптотической устойчивости тривиального решения уравнения (6), а также оценку на нетривиальное решение такого уравнения. Воспользуемся методом функций Ляпунова [9] и методом Разумихина [13].
Лемма 1. Тривиальное решение уравнения (6) асимптотически устойчиво, если выполнено условие
\Y\ <в.
(7)
Доказательство. Предположим, что для параметров в и 7 справедливо соотношение (7). Пусть число В удовлетворяет неравенству 1 < В < {[3/ |7|) ^ . В качестве функции Ляпунова выберем определенно-положительную функцию у(х) = . Из [13] следует, что тривиальное решение уравнения (6) будет асимптотически устойчиво, если производная от этой функции в силу уравнения (6) будет определенно-отрицательной на решениях этого уравнения, подчиняющихся условию Разумихина, которое в нашем случае имеет вид
x^+1(at) < Bx^+1 (t).
(8)
Продифференцируем функцию v(x) = xß+1 в силу уравнения (6) и получим
= -ß(p + 1)x2^ + +l)x^x^. (9)
dv ~ät
(6)
Здесь и далее будем обозначать xa = x(at). Тогда из условия (8) следует, что \xa\ ^ В |x(i)|. Теперь можно оценить правую часть неравенства (9). Очевидно, будем иметь
+ !)(-/?+|7| ВТ&)х2». (10)
dt (6)
Следовательно, правая часть неравенства (10) определенно-отрицательна, что завершает доказательство леммы.
Далее оценим поведение решений уравнения (6) в случае асимптотической устойчивости нулевого решения.
Пусть функция y(t) удовлетворяет уравнению
y(t) = -(в - \Y\ B?)yT(t), где B 1 = const > 0, и начальному условию y(to) = yo > 0, т. е.
1
y{t)=y0(l + y%-\^-l){ß-b\B»){t-t0)) ^ . (И)
Установим справедливость следующих утверждений. Лемма 2. Если выполнены следующие условия:
B 1 y(t) > \^(at)\; t е [to;to/a],
Bi y(t) > y(at); t > to/a,
то для всех значений t ^ t0 выполнено неравенство \x(t,to, ^>)\ < y(t).
Доказательство. Пусть в условиях леммы 2 найдется момент времени t ^ to, для которого будет выполнено \x(t)\ ^ y(t) при to ^ t ^ t и \x(t)\ = y(t). Не умаляя общности, можно считать, что x(t) = y(t). Тогда, с одной стороны, будет
x(t - Д) - x(t) y(t - Д) - y(t) x(t)= lim --lim ^-—y-~^=y{i).
v ' д^+o -Д д^+o -Д yy '
Но, с другой стороны,
x(t) = -ßxß(t) + Yx^(at) < -ßy^(t) + \y\yß(at) < -(ß - \y\B^)y^(t) = y(t). Противоречие.
Лемма 3. Второе условие леммы 2 будет выполнено, если
Bi^oTl^, (12)
toy%- 1 (v - 1)(ß - \Y\ B?) < l.
Доказательство. Из равенства (11) следует, что
УМ = ( i+y%-\»-m-\i\Bï)(t-t0) \^ y(t) {l+y^^-lW-WB^at-to))
Обозначим c = —|7| Bf ). Очевидно, c > 0, если тривиальное решение
уравнения (6) асимптотически устойчиво. Пусть d = 1 — cto. Тогда можно заметить, что
1 1 y(at) { ct + d\^-1 i f d(l — а)\ i^-1 i
yv 7 - ' * - 1--i-f <oT~.
y(t) \act + dj у act + d
Выполнение неравенства (12) означает, что Bi > y(at)/y(t), т. е. второе условие леммы 2 будет выполнено. Лемма доказана.
Следствие 1. Пусть выполнено условие (12) и при t G [to; t0/a\ начальная функция ф(£) удовлетворяет неравенству
\cp(at)| < Bi|^(ío)| (1 + ^Шц - 1)(/3 - |7| B?)(t - . (13)
Тогда при t ^ t0 справедлива оценка
\x(t,t0,<p)\ < |^(to)|(l + ^-1(ío)(M-l)(/3-|7|Br)(í-ío))"^T. (14)
Доказательство. Условие (13) гарантирует выполнение условия 1 леммы 2, причем y(to) = |^>(to)|, а условие 2 леммы 2 эквивалентно неравенству (12). Поэтому оценка (14) вытекает из леммы 2.
Таким образом, предложенный в лемме 2 подход к получению оценки на нетривиальные решения уравнения (6) может быть применен в том случае, когда параметры уравнения удовлетворяют неравенству I7I ^ \f3\ a^-i.
Получим теперь некоторые достаточные условия неустойчивости тривиального решения уравнения
i(t) = px^(t) + jx^(at), (15)
где ¡ = p/q — рациональное число с нечетным числителем и знаменателем, ¡ > 1, в > 0, 0 < а < 1. Решение соответствующего уравнения без запаздывания
X(t) = px^(t) (16)
с начальным условием x(to) = xo имеет вид
x(t,to,xo) = х0 (l - - í)/3(t - í0)) 1 • (17)
Формула (17) показывает неустойчивость тривиального решения уравнения (16).
Лемма 4. Тривиальное решение уравнения (15) неустойчиво при любом значении y > 0.
Доказательство. Выберем начальную функцию p(t), удовлетворяющую условию 0 < p(t) < S при t € [ato; to] и сколь угодно малом значении S. Тогда для уравнения (15) будет выполняться неравенство x(t) = f3x^(t) + Yx^(at) > f3x^(t), т. е. нетривиальное решение уравнения (15) будет возрастать быстрее функции (17). Таким образом, при y > 0 нулевое решение уравнения (15) неустойчиво. Лемма доказана.
Лемма 5. Тривиальное решение уравнения (15) неустойчиво, если коэффициенты в и 7 удовлетворяют неравенствам
ß> 0, Y < 0, \ <ß.
(18)
Доказательство. Зафиксируем величины е = 1, Ьо = 1. Рассмотрим сколь угодно малое значение 5 > 0 и выберем начальную функцию ^(Ь) = 5\Ь, где Ь € [а; 1] и 0 < <5. Нетрудно увидеть, что решение х^ (Ь) уравнения (15), соответствующее выбранной функции <^(Ь), при выполнении условий (18) является строго монотонно возрастающей функцией при Ь ^ 1. Кроме того, при Ь ^ 1 выполняется неравенство
Из (19) вытекает, что Х(Ь) ^ (в — |7\)х^(Ь), если Ь ^ 1. Следовательно, решение х^(Ь) строго монотонно возрастает до бесконечности. Лемма доказана.
Покажем теперь, что без ограничения общности можно рассматривать только значения коэффициентов в и 7, удовлетворяющие условию в2 + 72 = С2, где С — произвольная константа. В самом деле, замена аргумента вида
в котором у(т) = х(пт) при каждом значении т. Используя этот факт, рассмотрим уравнение
Здесь коэффициент в выбран равным 1 и 7 = —в.
Лемма 6. Тривиальное решение уравнения (20) неустойчиво.
Доказательство. Как и при доказательстве леммы 5, возьмем величины е = 1, Ьо = 1. Рассмотрим сколь угодно малое значение 5 > 0 и выберем начальную функцию ^(Ь) = 5\Ь, где Ь € [а;1] и 0 < #1 <5. Аналогично можно заметить, что решение х^ (Ь) уравнения (20), соответствующее выбранной функции <^(Ь), является строго монотонно возрастающей функцией при Ь ^ 1. Покажем, что эта функция возрастает до бесконечности. Предположим противное. Тогда указанное решение х^(Ь) определено при всех значениях Ь ^ 1 и ограничено. В этом случае будет справедливо неравенство
х(Ь) > ц(а51 )^-1 (х(Ь) — х(аЬ)) .
Обозначим с1 = ¡л(а5-1)^-1 и выберем число Н такое, что вш — 1 = К > 1. Выберем момент I = тах | |. Тогда при £ € [£ + пН\1+ (п + 1 )Н], где п = 1,2,..., будет
справедливо неравенство
(19)
т = t/n
при n > 0 приводит уравнение (15) к выражению
у'(т ) = n(ßyH(T )+<уу"(ат)),
x(t) = xß (t) - xß(at).
(20)
X(t) > d (x(t) - x(t + (n - 1)H)) ,
поскольку at = t - (1 — a)t, а
(1 - a)t > (1 - a)(t + nH) > (1 - a)nH + 2H > 2H.
Следовательно,
at = t - (1 - a)t < t+ (n + 1)H - 2H = t+(n - 1)H.
Тогда окажется, что
x(t + (n + 1)H) - x(t + nH) > K (x(t + nH) - x(t+ (n - 1)H)) >
> Kn+1 (x(t) - x(t - H)) .
Но правая часть последнего неравенства стремится к бесконечности при n ^ ж, что противоречит ограниченности решения xv(t). Лемма доказана.
Замечание 2. Леммы 4-6 остаются справедливыми и в том случае, если ц = p/q — рациональное число с нечетным знаменателем и любым натуральным p > q.
Суммируя полученные результаты, сформулируем теорему для уравнения
x(t) = px^(t) + jx^(at), 0 < a < 1. (21)
Теорема. При ¡л = > 1 тривиальное решение уравнения (21) асимптоти-
чески устойчиво по Ляпунову при Y| < -в и неустойчиво при в > 0, y ^ -в-
При ¡л = > 1 тривиальное решение уравнения (21) неустойчиво по Ляпу-
нову при в > 0, Y ^ -в или при в < 0, Y ^ -в-
Заключение. В данной работе получены достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости тривиального решения однородного дифференциально-разностного уравнения с порядком однородности выше единицы и линейно возрастающим запаздыванием аргумента.
Литература
1. Валеев К. Г. Линейные дифференциальные уравнения с запаздыванием, линейно зависящим от аргумента // Сиб. матем. журн. 1964. Т. 5, № 2. С. 75—83.
2. Валеев К. Г. Применение преобразований Лапласа к решению и исследованию устойчивости линейных уравнений с переменными коэффициентами и запаздываниями аргумента // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклонением аргумента. 1967. № 4. С. 51—78.
3. Гребенщиков Б. Г. Устойчивость систем с переменным запаздыванием, линейно зависящим от времени // Устойчивость и нелинейные колебания / под ред. С. Н. Шиманова. Свердловск: Изд-во Урал. гос. ун-та, 1983. С. 25-34.
4. Гребенщиков Б. Г. Об ограниченности решений неоднородной системы с запаздыванием, линейно зависящим от времени // Устойчивость и нелинейные колебания / под ред. С. Н. Шиманова. Свердловск: Изд-во Урал. гос. ун-та, 1986. С. 7-12.
5. Гребенщиков Б. Г., Новиков С. И. О неустойчивости системы с линейным запаздыванием, приводимой к сингулярно возмущенной системе // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. 2010. № 2. С. 3-13.
6. Laktionov A. A., Zhabko A. P. Method of Difference Transformations for Differential Systems with Linear Time-Delay // Proc. of the First IFAC Conference LTDS-98. Grenoble, France, 1998. P. 201-205.
7. Zhabko A. P., Laktionov A. A. Robust Stability of Differential-Difference Systems with Linear Time-Delay // Proc. of the Second Symposium Robust Control Design. Budapest, Hungary, 1997. P. 101105.
8. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения / пер. с англ. А. М. Звер-кина, Г. А. Каменского; под ред. Л. Э. Эльсгольца. М.: Мир, 1967. 548 с. (Bellman R., Cooce K. L. Differencial-Difference Equations.)
9. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.
10. Красовский Н. Н. Об устойчивости по первому приближению // Прикладная математика и механика. 1955. Т. 19. № 5. С. 516-530.
11. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1952. 432 с.
12. Александров А. Ю. Устойчивость движений неавтономных динамических систем. СПб.: Изд-во C.-Петерб. ун-та, 2004. 184 с.
13. Разумихин Б. С. Устойчивость систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. № 4. С. 500-512.
14. Харитонов В. Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной. I. Функционалы полного типа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2005. Вып. 1. С. 110-117.
15. Харитонов В. Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной. II. Матрицы Ляпунова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2005. Вып. 2. С. 200-209.
16. Жабко А. П., Медведева И. В. Алгебраический подход к анализу устойчивости дифференциально-разностных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2011. Вып. 1. С. 9-20.
17. Жабко А. П., Зараник У. П. О приближении решений экспоненциально устойчивых систем дифференциально-разностных уравнений // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2011. Вып. 3. C. 29-38.
18. Александров А. Ю., Жабко А. П. Об асимптотической устойчивости решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. 2012. № 5. С. 3-12.
19. Александров А. Ю., Жабко А. П. Об асимптотической устойчивости решений многосвязных дифференциально-разностных систем запаздывающего типа // Системы управления и информационные технологии. 2013. Т. 54, № 4. С. 4-7.
20. Провоторов В. В. Оптимальное управление параболической системой с распределенными параметрами на графе // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2014. Вып. 3. С. 154-163.
References
1. Valeev K. G. Lineinye differentsial'nye uravneniia s zapazdyvaniem, lineino zavisiashchim ot argumenta [Linear differential equations with linear Time-Delay]. Sibirskii matematicheskii zhurnal [Siberian Math. Journal], 1964, vol. 5, no. 2, pp. 75-83. (In Russian)
2. Valeev K. G. Primenenie preobrazovanii Laplasa k resheniiu i issledovaniiu ustoichivosti lineinykh uravnenii s peremennymi koeffitsientami i zapazdyvaniiami argumenta [An application of Laplace transforms to the solution and the stability of linear equations with variable coefficients and delays of the argument]. Trudy seminara po teorii differentsial'nykh uravnenii s otkloneniem argumenta [Proc. of the seminar on the theory of differential equations with deviation argument], 1967, no. 4, pp. 51-78. (In Russian)
3. Grebenshchikov B. G. Ustoichivost' sistem s peremennym zapazdyvaniem, lineino zavisiashchim ot vremeni [On stability of systems with variable linearly time delay]. Ustoichivost' i nelineinye kolebaniia [Stability and nonlinear oscillations]. Sverdlovsk, Ural. State University Press, 1983, pp. 25-34. (In Russian)
4. Grebenshchikov B. G. Ob ogranichennosti reshenii neodnorodnoi sistemy s zapazdyvaniem, lineino zavisiashchim ot vremeni [On boundedness of solutions of an inhomogeneous system with linear time delay]. Ustoichivost' i nelineinye kolebaniia [Stability and nonlinear oscillations]. Sverdlovsk, Ural. State University Press, 1986, pp. 7-12. (In Russian)
5. Grebenshchikov B. G., Novikov S. I. O neustoichivosti sistemy s lineinym zapazdyvaniem, privodimoi k singuliarno vozmushchennoi sisteme [On instability of the system with linear delay, bring to a singularly perturbed system]. Izvestiia visshikh uchebnih zavedenii. Matematika [Proc. of Higher Educational Institutions. Mathematics], 2010, no. 2, pp. 3-13. (In Russian)
6. Laktionov A. A., Zhabko A. P. Method of Difference Transformations for Differential Systems with Linear Time-Delay. Proc. of the First IFAC Conference LTDS-98, France, 1998, pp. 201-205.
7. Zhabko A. P., Laktionov A. A. Robust Stability of Differential-Difference Systems with Linear Time-Delay. Proc. of the Second Symposium Robust Control Design, 1997, pp. 101-105.
8. Bellman R., Kuk K. L. Differentsial'no-raznostnye uravneniia [Differencial-Difference Equations]. Moscow, Mir Publ., 1967, 548 p. (In Russian)
9. Zubov V. I. Ustoichivost' dvizheniia [Stability of Motions]. Moscow, Vysshaia shkola Publ., 1973, 272 p. (In Russian)
10. Krasovskii N. N. Ob ustoichivosti po pervomu priblizheniiu [On stability by the first approximation]. Prikladnaia Matematika i makhanika [Applied mathematics and mechanics], 1955, vol. 19, no. 5, pp. 516-530. (In Russian)
11. Malkin I. G. Teoriia ustoichivosti dvizheniia [The theory of motion stability]. Moscow, Leningrad, Gostekhizdat Publ., 1952, 432 p. (In Russian)
12. Aleksandrov A. Iu. Ustoichivost' dvizhenii neavtonomnykh dinamicheskikh sistem [The stability
of motion of nonautonomous dynamical systems]. St. Petersburg, St. Petersburg University Press, 2004, 184 p. (In Russian)
13. Razumikhin B. S. Ustoichivost' sistem s zapazdyvaniem [Stability of systems with delay]. Prikladnaia mathematika i makhanika [Applied mathematics and mechanics], 1956, vol. 20, no. 4, pp. 500— 512. (In Russian)
14. Kharitonov V. L. Funktsionaly Liapunova s zadannoi proizvodnoi. I. Funktsionaly polnogo tipa [The Lyapunov functionals with a given derivative. I. Functionals of complete type]. Vestnik of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2005, issue 1, pp. 110—117. (In Russian)
15. Kharitonov V. L. Funktsionaly Liapunova s zadannoi proizvodnoi. II. Matritsy Liapunova [The Lyapunov functionals with a given derivative. II. Lyapunov matrixes]. Vestnik of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2005, issue 2, pp. 200—209. (In Russian)
16. Zhabko A. P., Medvedeva I. V. Algebraicheskii podkhod k analizu ustoichivosti differentsial'no-raznostnykh sistem [Algebric approach to the stability analysis of differential-difference systems]. Vestnik of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2011, issue 1, pp. 9—20. (In Russian)
17. Zhabko A. P., Zaranik U. P. O priblizhenii reshenii eksponentsial'no ustoichivykh sistem differentsial'no-raznostnykh uravnenii [On approximation of solutions of exponentially stable systems of differential-difference equations]. Vestnik of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2011, issue 3, pp. 29—38. (In Russian)
18. Aleksandrov A. Iu., Zhabko A. P. Ob asimptoticheskoi ustoichivosti reshenii odnogo klassa sistem nelineinykh differentsial'nykh uravnenii s zapazdyvaniem [On asymptotic stability of solutions of a class of systems of nonlinear differential equations with delay]. Izvestiia visshikh uchebnih zavedenii. Matematika [Proc. of Higher Educational Institutions. Mathematics], 2012, no. 5, pp. 3—12. (In Russian)
19. Aleksandrov A. Iu., Zhabko A. P. Ob asimptoticheskoi ustoichivosti reshenii mnogosviaznykh differentsial'no-raznostnykh sistem zapazdyvaiushchego tipa [On asymptotic stability of solutions to multivariable differential-difference systems of retarded type]. Sistemy upravleniia i informatsionnye tekhnologii [Control systems and information technology], 2013, vol. 54, no. 4, pp. 4—7. (In Russian)
20. Provotorov V. V. Optimal'noe upravlenie parabolicheskoi sistemoi s raspredelennymi pa-rametrami na grafe [Optimal control of a parabolic distributed parameter system on a graph]. Vestnik of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2014, issue 3, pp. 154—163. (In Russian)
Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья поступила в редакцию 30 апреля 2015 г.
