О стабилизации класса систем с пропорциональным запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

2018 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Т. 14. Вып. 2 _ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА. ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ_

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.929 МБС 34К20

О стабилизации класса систем с пропорциональным запаздыванием

А. П. Жабко, О. Г. Тихомиров, О. Н. Чижова

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Жабко А. П., Тихомиров О. Г., Чижова О. Н. О стабилизации класса систем с пропорциональным запаздыванием // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2018. Т. 14. Вып. 2. С. 165-172. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2018.209

В настоящей работе исследована возможность стабилизации линейной разностно-дифференциальной системы с пропорциональным запаздыванием и линейным наблюдением. При использовании достаточных условий асимптотической устойчивости для линейных систем с линейно возрастающим запаздыванием получены некоторые условия существования системы асимптотической оценки для исходной системы. Затем применена система асимптотической оценки для построения стабилизирующего управления и установлены достаточные условия существования такого управления.

Ключевые слова: система дифференциально-разностных уравнений, линейное запаздывание, асимптотическая устойчивость, стабилизирующее управление, система асимптотической оценки.

1. Введение. Системы дифференциально-разностных уравнений с запаздыванием, пропорциональным времени, появляются, например, в моделях процесса радиоактивного распада [1] или информационного сервера [2]. К таким же системам приводит описание обмена информацией между объектами, удаляющимися друг от друга [3]. Отметим, что хотя указанные модели нелинейные, но при определенных условиях они допускают исследование по линейному приближению. Важной проблемой, возникающей при изучении систем с запаздыванием, пропорциональным времени, является проблема устойчивости. В работах [4, 5] получены некоторые достаточные условия асимптотической устойчивости систем с одним или несколькими запаздываниями, линейно зависящими от времени. Наличие в системах неограниченного временного запаздывания часто приводит к потере устойчивости, вследствие чего появляется необходимость построения стабилизирующего управления. Некоторые методы стабилизации линейных управляемых систем с постоянными матрицами и линейными

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2018

временными запаздываниями предложены в [6]. Для построения стабилизирующего управления нужна информация о векторе состояний системы. Такая информация может быть получена с помощью наблюдений, которые в линейном случае представляют собой линейные комбинации компонент вектора состояний системы, взятые в различные моменты времени. Одним из методов, позволяющих построить стабилизирующее управление в этом случае, является метод использования системы асимптотической оценки (асимптотического наблюдателя Луинбергера). Достаточные условия существования такой системы для случая с одним линейным запаздыванием приведены в [7]. В данной статье исследуется возможность стабилизации линейной системы с несколькими линейными временными запаздываниями для случая полной информации, а также по линейным наблюдениям. Выведены достаточные условия существования системы асимптотической оценки, с помощью которой получена структура стабилизирующего управления для случая неполной информации.

Рассмотрим следующую линейную систему:

N

х(г) = лох(г) + А х(а°г) + Ви, (!)

8=1

у(г) = Кх(г). (2)

Здесь х — п-мерный вектор состояния; и — г-мерный вектор управления; у — скалярное наблюдение; Ао, Л8, В и К — заданные вещественные матрицы размерностей п х п, п х г и 1 х п соответственно; в = 1,...,Ы; а8 = у8, где 0 < ^ < 1. Необходимо построить управление вида и = и(х(Ь),х8(аЬ)) с помощью наблюдения (2).

К основным методам решения этой задачи относится построение системы асимптотической оценки. Цель настоящей работы — определение условий для матриц, при которых стабилизирующее управление может быть построено по наблюдению (2). Основными результатами статьи будут построение системы асимптотической оценки с использованием наблюдения (2) и получение стабилизирующего управления для системы (1).

В п. 2 статьи решается задача построения стабилизирующего управления для случая полной информации, т. е. при условии, что вектор состояний системы известен как в текущий, так и во все предшествующие моменты времени. Случай неполной информации рассмотрен в п. 3. Здесь предложена структура системы асимптотической оценки и получены достаточные условия ее существования. В п. 4 система асимптотической оценки использована для построения стабилизирующего управления при условии неполной информации.

2. Случай полной информации. Рассмотрим систему (1) и управление в виде

N

и = Сох(Ь) + £ Сх(181). (3)

8=1

Хорошо известно [4], что замкнутая система (1)—(4) асимптотически устойчива, если все корни уравнений

ае! (ХЕ - Ао - ВСо) = 0, ае! + ВСо) + ^ (Лs + ВСв)^ = 0

лежат в открытой левой полуплоскости комплексной плоскости. Когда га^(В, А0В,..., А"-1 В) = п, тогда существует такая матрица С0, что матрица Р0 = А0+ВС0 является матрицей Гурвица. Кроме того, если матрицы С8 выбраны так, что управление в виде (4) стабилизирует разностную систему

N

Ро у(г) + ^ Аьу(13г) + Ви = 0,

8=1

то управление стабилизирует и исходную систему. Введем вспомогательную разностную систему

N

г(г) = ^ Р-1Л8г(181)+Р-1Ви

(4)

8 = 1

и две матрицы

(Р-1А1 Р-1Л2 Е 0

А

0

Е

0

Теорема 1. Если

P0-1AN-1 Po-1AN\

0 0

Е

0 0

0

В

/р-1Б\

0

га^ [В ,АВ,. . . , АпМ^-1В) = пЫ,

(5)

то существует стабилизирующее управление для системы (5) в виде

N

и = Сьг(181). 8=1

Доказательство. Пусть Д = —Ы7. Сделаем замену переменных нь(т ) = г(18ет), в = 1,...,м. Тогда систему (5) запишем следующим образом:

/ ъ,1 \ / ьл'

(Т + Д) = А

(т )+ Ви.

(6)

N )

N /

Очевидно, что выражение (6) является условием полной управляемости Калмана для системы (9).

Пусть detAо = 0. Рассмотрим две матрицы

А1 =

(А-1АХ А-1А2 Е0 0Е

V 0 0

A-1AN-l A-1AN\

0 0

Е

0

0 0

В1 =

/А-1В\

0

Теорема 2. Если

rang (B,A0B,...,An-1B) = n

и

rang (Bi, A1B1,..., AnN-1B^ = nN, то существует стабилизирующее управление для системы (1) в виде

N

$4

= Cox(t) + J2 x(Yst).

Доказательство. Условия теоремы 1 выполняются, поэтому существует стабилизирующее управление для разностной системы

N

s

Aoy(t) + J2 Asy(jst) + BU = 0

в форме

N

и = £ С у(7 8г). (7)

8=1

Так как гагщ {В, Ао В,..., ЛП-1 В) = п, то матрица Со может быть выбрана так, что Ро = Ло + ВСо является матрицей Гурвица. Пусть С8 = СоЛ-1 Л8 + (1 + СоЛ-1 В)С8, тогда

N N

у (г) + £ л-1Л8 у(1 ■Ч) + Л-1В52 С&у(гч) = 8 = 1 8 = 1 N 1 1 N

= у(г) + £ (Ло + ВСо)-1 у(п8г) + (Ло + ВСо)-1 В £ 8у(18г), 8=1 8=1

поэтому управление (7) стабилизирует систему (1).

3. Случай неполной информации. Построение системы асимптотической оценки. Исследуем систему (1), (2). Рассмотрим систему с запаздыванием вида [7]

N

х(г) = Лох(г) + £ Л-8х(^8г) + Ви +

8=1 (8)

N

£

s=1

+ Lo (y(t) - KX(t)) + £ Ls (y(Yst) - KX(yst)).

Здесь Ьо, Ь8 — неизвестные постоянные вещественные матрицы. Пусть х{Ь) = х{Ь) — х(г), где х(Ь) — решение системы (1) и х(Ь) — решение системы (8). Тогда

N

sx

x(t) = x(t) - x(t) = A0x(t) + £ А8х(уЧ) +Bu + L0 (y{t) - Kx(t)) +

s=1

NN

+ £ Ls (y(Yst) - KX(yst)) - Aox(t) - £ Asx(yst) - Bu =

s = 1 s=1

N

= Ao (X(t) - x(t)) + £ As (X(yst) - x(yst)) + LoK (x(t) - X(t)) +

s=1

NN

+ £ LSK (x(Yt) - 5(7St)) = (Ao - LoK) x(t) + £ {Aa - LsK)x(n4).

s = 1 s=1

u

Введем следующую управляемую систему:

N

z(t) = ATz(t) + J2 ATz(Yst) - KTv.

Теорема 3. Пусть система (9) удовлетворяет условиям теорем 1 и 2. Тогда существует система асимптотической оценки для системы (1).

Доказательство. В соответствии с теоремой 2 можно построить стабилизирующее управление в виде

N

Coz(t) + J2 Csz(Yst).

N

Пусть vi = Coz(t) и V2 Csz(yst). Так как

rang(K T,-AT KT,...,(-AT )n-1K T ) = n,

то матрица Со может быть выбрана так, что Р = АТ — КТСо является матрицей Гурвица. Рассмотрим систему

N

z(t) = Pz(t) + J2 ATz(Yst) - KTV2.

Так как detP = 0, то выполняются условия теоремы 2. Рассмотрим матрицы

fP-1AT P-1AT

A =

E 0

V 0

0

E

0

P lAN-1 p 1AN\

0 0

E

0

0 0

в =

(P-1K T\ 0

V 0 )

В соответствии с теоремой 1 rang ^ В, A В,..., AnN 1В J = nN, тогда вспомогательная разностная система

N

Py(t)+Y] ATy(Yst) - KTU = 0

s = 1

может быть стабилизирована посредством управления

N

ECs y(Y st)-

Рассмотрим управление

s=1

N

V2 = Е Cz(Yst),

s=1

тогда стабилизирующее управление для системы (1) имеет вид

v

s

N

V = У1 + V2 = Сог(г) + ^2 Саг(ч8г).

8=1

Замкнутая система (9), (10)

N

¿(г) = (АТ — КТ Со)г(г) — КТ Сь)г(! "*)

асимптотически устойчива. Тогда система

N

Щ = (Ао - С%К)х{±) + - СТЮх^Ч)

(11)

также асимптотически устойчива. Следовательно, система (8), где Ьо = СТ и Ь8 = С8Т, — система асимптотической оценки для системы (1).

4. Построение стабилизирующего управления. Пусть выполнены условия теорем 1 и 2. Тогда можно построить матрицы Мо и М8, в = 1,...,п, такие, что управление

N

= Мох(г) + Е М8?Ь8 г)

8=1

стабилизирует систему (1). Рассмотрим управление

N

= Мох(г) + ^ М8х(ч8г),

(12)

8=1

где х(г) является решением системы (8).

Теорема 4. Управление (12) стабилизирует систему (1) c наблюдением (2). Доказательство. Рассмотрим систему

N

х = Аох(г) + Е А8х(^8г) + Ви, 8=1 N

х = Аох(г) + Е Аьх(18г) + Ви + СТ (у(г) — кх(г)) + 8=1

N

+ £ СТ (у(ч8г) — к~х(18г))

(13)

8=1

с управлением (12). Пусть матрицы С0 и С8Т выбираются так же, как в теореме 3. Замкнутая система имеет вид

N N

х = Аох(г) + Е А8х(ч8 г) + ВМох(г) + в ^ М8х(ч8 г),

8=1

8=1

N

х = (Ао + ВМо) х (г) + + ВМ8) х 8 г) +

8=1 N

+ СТ (у(г) — кх(г)) + £ СТ (у(18г) — кх(ГЧ)).

(14)

8=1

и

Пусть снова x(t) = x(t) — x(t). Здесь x(t) — решение системы (1) и x(t) — решение системы (8). Тогда систему (14) преобразуем следующим образом:

N

x = (Ao + BMo) x(t) + Y, (As + BMS) x(Yst) +

s=1

N

< +(Ao + BMo)x(t)+Y,(As + BMs)x(rst), (15)

s=l

N

±=(A0- C%K) x(t) + Y, (as - CjK^j x(7st).

s=l

Заметим, что условие x(t) —> 0 при t —> +оо выполняется в соответствии с теоремой 3. Матрицы Co и CJ выбираются таким образом, чтобы система (11) была асимптотически устойчивой. Следовательно, система (15) также асимптотически устойчива. Таким образом, управление (12) является стабилизирующим для системы (13). Однако система (1) есть часть системы (13), поэтому управление (12) стабилизирующее и для системы (1).

5. Заключение. В работе изучена система дифференциально-разностных уравнений с несколькими пропорциональными запаздываниями. Исследованы случаи полной и неполной информации. Получены достаточные условия существования для соответствующей системы асимптотической оценки и построены стабилизирующие управления.

Литература

1. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения / пер. с англ. А. М. Звер-кина, Г. А. Каменского; под ред. Л. Э. Эльсгольца. М.: Мир, 1967. 548 с. (Bellman R., Cooke K. L. Differential-difference equations.)

2. Жабко А. П., Чижова О. Н. Анализ устойчивости однородного дифференциально-разностного уравнения с линейным запаздыванием // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2015. Вып. 3. С. 105—115.

3. Жабко А. П., Чижова О. Н. Гибридный метод анализа устойчивости линейных дифференциально-разностных систем с линейно возрастающим запаздыванием // Вестн. Тамбов. ун-та. Сер. Естественные и технические науки. 2015. Т. 20, № 4. С. 843—850.

4. Laktionov A. A., Zhabko A. P. Method of difference transformations for differential systems with linear time-delay // Proc. of the First IFAC Conference LTDS-98. France. 1998. P. 201-205.

5. Гребенщиков Б. Г. Методы исследования устойчивости систем с линейным запаздыванием // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42, № 1. C. 41-51.

6. Гребенщиков Б. Г., Ложников А. Б. О стабилизации одной системы с последействием // Автоматика. и телемеханика. 2011. № 1. С. 13-26.

7. Zhabko A. P., Chizhova O. N. On stabilization of systems of linear equations with linear increasing time delay by observation // Proceedings of RuPAC2016. Saint Petersburg, Russia, 2016. P. 261-263. http://accelconf.web.cern.ch/AccelConf/rupac2016/papers/tupsa024.pdf (дата обращения: 15.01.2018 г.).

Статья поступила в редакцию 2 февраля 2018 г.; принята к печати 15 марта 2018 г.

Контактная информация:

Жабко Алексей Петрович - докт. физ.-мат. наук, профессор; [email protected]

Тихомиров Олег Геннадьевич — канд. физ.-мат. наук, доцент; [email protected]

Чижова Ольга Николаевна — канд. физ.-мат. наук, доцент; [email protected]

On stabilization of a class of systems with time proportional delay

A. P. Zhabko, O. G. Tikhomirov, O. N. Ohizhova

St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Zhabko A. P., Tikhomirov O. G., Chizhova O. N. On stabilization of a class of systems with time proportional delay. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2018, vol. 14, iss. 2, pp. 165-172. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2018.209

In this paper, we investigate a possibility of the linear difference-differential system stabilization with time proportional delay by the linear observation. Using the sufficient conditions of asymptotic stability for the linear systems with linearly increasing delay, we obtain some conditions of the asymptotic evaluation system existence for the original system. Then we use the asymptotic evaluation system for the construction of the stabilizing control and derive the sufficient conditions for the existence of such control.

Keywords: system of linear differential-difference equations, linearly increasing time delay, asymptotic stability, stabilizing control, asymptotic evaluation system.

References

1. Bellman R., Cooke K. L. Differential-difference equations. London, United Kingdom, 1963, 461 p. (Russ. ed.: Bellman R., Cooke K. L. Differencial'no-raznostnye uravnenija. Moscow, Mir Publ., 1967, 548 p.)

2. Zhabko A. P., Chizhova O. N. Analiz ustojchivosti odnorodnogo differencial'no-raznostnogo uravnenija s linejnym zapazdyvaniem [Stability analysis of homogeneous differential-difference equation with linear delay]. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 10. Applied Mathematics. Computer Sciences. Control Processes, 2015, iss. 3, pp. 105—115. (In Russian)

3. Zhabko A. P., Chizhova O. N. Gibridnyj metod analiza ustojchivosti linejnyh differencial'no-raznostnyh sistem s linejno vozrastajushhim zapazdyvaniem [Hybrid method for analyzing the stability of linear differential-difference systems with linearly increasing delay]. Vestnik of Tambov University. Series Natural and technical sciences, 2015, vol. 20, no. 4, pp. 843—850. (In Russian)

4. Laktionov A. A., Zhabko A. P. Method of difference transformations for differential systems with linear time-delay. Proceeding of the First IFAC Conference LTDS-98. France, 1998, pp. 201-205.

5. Grebenshhikov B. G. Metody issledovanija ustojchivosti sistem s linejnym zapazdyvaniem [Methods for investigating the stability of systems with linear delay]. Siberian Mathematical Journal, 2001, vol. 42, no. 1, pp. 41-51. (In Russian)

6. Grebenshhikov B. G., Lozhnikov A. B. O stabilizacii odnoj sistemy s posledejstviem [On stabilization of one system with aftereffect]. Automation and Remote Control, 2011, no. 1, pp. 13-26. (In Russian)

7. Zhabko A. P., Chizhova O. N. On stabilization of systems of linear equations with linear increasing time delay by observation. Proceedings of RuPAC2016. Saint Petersburg, Russia, 2016, pp. 261263. (Available at: http://accelconf.web.cern.ch/AccelConf/rupac2016/papers/tupsa024.pdf (accessed: 15.01.2018).)

Author's Information:

Zhabko Aleksei P. — Dr. Sci. in physics and mathematics, professor; [email protected] Tikhomirov Oleg G. — PhD Sci. in physics and mathematics, associate professor; [email protected]

Chizhova Ol'ga N. — PhD Sci. in physics and mathematics, associate professor; [email protected]