О возможности стабилизации линейной стационарной системы уравнений по единственному наблюдению с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 519.71

Е. В. Гураш, О. Н. Чижова

О ВОЗМОЖНОСТИ СТАБИЛИЗАЦИИ

ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПО ЕДИНСТВЕННОМУ НАБЛЮДЕНИЮ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Рассмотрим управляемую и наблюдаемую систему уравнений

х = Рх + (^11. (1)

у= Кх(£ —/г), (2)

где х - п-мерный вектор фазовых состояний; и - г-мерный вектор управлений; у - скалярная наблюдаемая величина; РДиИ - постоянные вещественные матрицы соответствующих размерностей; к - положительная постоянная. Выясним, при каких условиях по наблюдению (2) можно построить управление, стабилизирующее систему (1).

Известно [1], что для построения стабилизирующего управления по данным наблюдений используется система асимптотической оценки. В работе [2] получены достаточные условия существования системы асимптотической оценки для случая, когда количество наблюдений равняется размерности вектора фазовых состояний. В рассматриваемом случае имеется всего одно наблюдение.

Будем строить систему асимптотической оценки в виде

х = Рх I (^и I Ну Нх(/ //)). (3)

Здесь Ь - неизвестный постоянный вектор-столбец размерности п. Будем строить его так, чтобы для решений х(£) и х(£) систем (1) и (3) соответственно при любых начальных условиях х(0) и х(0) выполнялось х(£) — х(£) —> 0 при I —> оо. Введем замену

переменных х(£) = х(/) — хС/). Вычитая почленно из системы (3) систему (1), получим для переменной х(£) систему уравнений

х = х — х = Рх + С^и + Ь(у—Кх(£ — К)) — Рх — С^и =

= Р(х — х) + ЬШ.х(/ — К) — 11х(/ — К)) = Рх — 1Жх(/ — К).

Задача выбора вектора Ь, при котором х(£) —>• 0 при I —> оо, эквивалентна задаче стабилизации вспомогательной системы уравнений

ъ = р-г I 1гу (5)

© Е. В. Гураш, О. Н. Чижова, 2008

с управлением, линейным относительно Z(i — К). Знак * в (5) обозначает транспонирование.

Пусть выполнено условие

rang (1Г:Р’1Г:...; (Р')" '1Г) = п.

Тогда неособым линейным преобразованием систему (5) можно привести к виду

£ = А£ + bv,

(6)

где матрица А и вектор b

/О

О

0\

о

\ап ап-і ап-2

а і

/

(0\

О

vrj

При этом характеристический полином матрицы А записан так:

сІе/ (АЕ - А) = А” - оіАп_1 - ... - ап.

Будем искать для системы (6) стабилизирующее управление

V = ІМ£(/ — /і),

где N - вектор-строчка вида (цп\цп-і\...; цг). Подставим управление (7) в систему (6). Характеристическое управление полученной замкнутой системы можно записать следующим образом:

(7)

АпеЛЛ - «1 Ап_1елл - ... - о„елл - щУ1-1 - ц2Хп-2 - ... - цп. = 0. (8)

Теперь нужно выбрать величины ^ = ц^ау,К), = 1 ,п, так, чтобы все корни уравнения (8) имели отрицательные вещественные части.

Рассмотрим далее произведение квазиполинома первого порядка и полинома п — 1-го порядка

„А h

L n—l

п-2

(9)

Раскрывая в этом произведении скобки, получим в левой части квазиполином той же структуры, что и левая часть выражения (8). При этом коэффициенты квазиполиномов (8) и (9) будут связаны следующими двумя системами соотношений:

аі=о,- 72, а2 = 072 — 7з, а3 = а7з - 74,

(10)

аг

ajn,

Mi = /З,

М2 = /?72, № = Д7з,

(И)

Цп = Д7„.

Выясним, в каком случае можно выбрать величины а, /?, 72, •••,7» так, чтобы левые части равенств (8) и (9) совпали. Из системы (10) находим

Но так как 72 = а — аі, то а — а± = ^ + ^ + ... + с^1п_ї, откуда получаем

ап — а і а" 1 — ... — а„ = 0.

Таким образом, а - собственное число матрицы А, а значит, и матрицы Р*. Предположим, что матрица Р* имеет вещественное собственное число а, удовлетворяющее условию а < 1/h. Тогда известно [3], что найдется вещественное число /?, такое, что все корни уравнения Aexh — аехн — /? = 0 будут иметь отрицательные вещественные части. Итак, величины а и /? можно считать построенными. Далее, зная величины a, hi. »/•_>.и„. из системы (10) определим значения 72, 73,... ,jn.

Теперь рассмотрим полином А"-1+72 Ап-2 + .. .+7„ и выясним, где расположены его корни. Если все они лежат в левой открытой полуплоскости, то по набору 72, 73,..., jn ИЗ системы (11) построим величины ^1, Ц2, ■ ■ ■ , Цп.

Заметим, что проведенное построение не является однозначным. Во-первых, матрица Р* может иметь несколько вещественных собственных чисел, меньших чем 1/h. Во-вторых, для каждого такого а найдется целый интервал подходящих величин /? [3].

Итак, пусть величины //1. //•_».ft,, построены, как указано выше. По построению,

при таких nj, j = 1, n, квазиполином (8) разлагается в произведение устойчивого квазиполинома первого порядка и устойчивого полинома п — 1-го порядка. Значит, при указанном выборе jij все корни квазиполином (8) будут иметь отрицательные вещественные части.

Таким образом, при указанных условиях существует управление (7), стабилизирующее систему (6). Переходя от переменных £ обратно к переменным Z, заключаем, что тогда система (5) может быть стабилизирована управлением вида

В (12) величина С - вектор-строчка (сі, сг, • • •, сп), причем величины Cj зависят от l^j и компонент матрицы перехода.

Положим теперь в системе (3) Ь = —С*. Тогда система (4) будет иметь вид

Теперь система (13) асимптотически устойчива. Это следует из асимптотической устойчивости системы

по построению вектора С.

Итак, при указанных выше условиях система асимптотической оценки (3) для исходной системы (1) существует и имеет вид

Пусть далее собственные числа неуправляемой части матрицы Р лежат в левой открытой полуплоскости комплексной плоскости. Тогда построим матрицу М такую,

v = CZ (t-h).

(12)

х = Рх + С* Rx(t — h).

(13)

Z = P*Z + R*CZ (t-h)

ic = Рх + Qu — С *(y — 1Ш/ — h)).

(14)

что все собственные числа матрицы Р I д М имеют отрицательные собственные части [4]. Покажем, что управление

и = Мх|/| (15)

стабилизирует систему (1). Для этого объединим системы (1) и (14). Получим систему 2п уравнений

X = Р X | (} 11.

А = Рх|С}и С'(у 11 х(/ - К)). 1 '

Подставим в систему (16) управление (15). Замкнутая система будет иметь вид

х = Р х I (} М х.

і = Рх + дМіс — С* {у — Кх(і — К)). 1 >

Введем снова переменную х(і) = х(і) — х(і). С ее помощью исключим переменную х(/) из системы (17). Новая система будет иметь вид

х = (Р і д міх і д мх.

х = Ріс + С* Кх(і — К). 1 ^

Если выполнены все сделанные ранее предположения, то система (18) асимптотически устойчива. Таким образом, вектор

^ —>• 0 при і —> оо,

следовательно, задача стабилизации системы (1) по наблюдению (2) решена и доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть выполняются условия:

1) система (1) стабилизируема, как система с полной информацией;

2) гапд(К*; Р* 1Г:...: (Р\)" ' 1Г ) = п;

3) система І = Р'/ I /Г Г стабилизируема управлением, линейным относительно — К), причем квазиполином замкнутой системы представляется в виде произведения устойчивого квазиполинома первого порядка и устойчивого полинома п — 1-го порядка.

Тогда задача стабилизации системы (1) по наблюдениям (2) имеет решение. Пример. Пусть в результате преобразования вспомогательной системы (5) получилась система (6) с матрицей

Характеристический полином матрицы А имеет вид А3 + А2 — А — 1. Матрица А имеет положительное вещественное собственное число, равное 1. Выберем это число в качестве а. Положим к = 1/2, и будем искать управление (7) в виде V = (^з, Ц2, М1.)£(£ — 1/2). Характеристическое уравнение (8) представим следующим образом:

АЗеЛ/2 + А2еЛ/2 _ АеЛ/2 _ еА/2 _ ^2 _ ^ = 0.

Так как условие а < 1/h выполнено, то, согласно методу, изложенному в [3], выберем, например, /? = —2. Квазиполином АеА/2 — еА/2 + 2 будет иметь только корни с отрицательными вещественными частями. Определим теперь из системы (10) величины /ь./(:■,. Получим /ь = 2./(:: = 1. Очевидно, полином А2 + 2А + 1 устойчив. Тогда характеристическое уравнение (8) можно записать так:

(AeV2_eA/2 + 2)(A2 + 2A+1).

Теперь находим из системы (11) //1 = 2: //•„. = 1: //:> = —2. Окончательно получим

AV/2 + А2еЛ/2 _ АеЛ/2 _ еА/2 , 2Д2 , .1А , 2 = (АеА/2 _ еА/2 + 2)(А2 + 2д + ^

Управление v = (—2, —4, —2)£(£ — 1/2) будет стабилизировать систему (6) с указанной матрицей А.

Summary

Gurash Е. V., Chizova О. N. Possibility of stabilization a linear system of equations by the single observation with time-delay.

In this paper system of differential equations with single constant time-delay is investigated. Sufficient existence conditions for corresponding asymptotic estimation system are obtained. Stabilizing control is designed.

Литература

1. Андреев Ю. H. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.

2. Чижова О. Н. Построение системы асимптотической оценки по наблюдениям с запаздыванием // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2002. Вып. 4 (№ 25). С. 44-46.

3. Прасолов А. В. Достаточные условия управляемости при управлении специального вида с запаздыванием // Дифф. уравнения. 1982. Т. 18, № 4. С. 716-718.

4. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Машиностроение, Ленингр. отд., 1974. 335 с.

Статья рекомендована к печати проф. С. В. Чистяковым.

Статья принята к печати 21 февраля 2008 г.