Методы решения проблемы устойчивости квазиполиномов и семейств квазиполиномов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.962

Д. В. Дмитришин

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006, вып. 1

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

ПРОБЛЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ КВАЗИПОЛИНОМОВ И СЕМЕЙСТВ КВАЗИПОЛИНОМОВ

1. Введение и постановка задачи. При проектировании систем управления различного назначения возникает потребность в разработке алгоритмов, решающих проблему устойчивости этих систем. Если система управления в пространстве состояний моделируется линейным дифференциально-разностным уравнением вида

S

x(t) — A0x(t) + ^2 Ajx(t — hj), (1)

j=1

где Aj(j = 0, ... , s) - постоянные квадратные матрицы порядка пхп; hj(j = 1, ... , s) -положительные величины, называемые запаздываниями, то проблема устойчивости сводится к исследованию расположения на комплексной плоскости нулей характеристического квазиполинома

s т

/(Л) =det(A-E-(A, + £JV'A'><)) =ро(А) + 2>ДА)е-А^, (2)

j=1 j-1

в котором полиномы ро(А), ... , Рт{\) определяются элементами матриц Ao,...,As, причем степень полинома ро(А) равна гг, а степени полиномов р\ (А), ...,рт(А) меньше п; величины Tj (j = 1,т) являются линейными формами с целыми неотрицательными коэффициентами от запаздываний hi,..., hs . В дальнейшем можно считать, что Т\ < ... < тт .

Известно [1], что система (1) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда все нули квазиполинома (2) имеют отрицательные вещественные части. Такие квазиполиномы устойчивой системы называются устойчивыми.

Коэффициентные критерии устойчивости квазиполиномов, состоящие из конечного числа шагов, к настоящему времени не известны. Все имеющиеся основные критерии устойчивости квазиполиномов являются распространением аналогичных критериев для полиномов. Впервые результат такого типа сформулирован J1. С. Понтря-гиным [2] и был позже уточнен для квазиполиномов и распространен на класс целых функций Н. Н. Мейманом и Б. Я. Левиным.

Теорема 1 [3]. Квазиполином / (А) устойчив тогда и только тогда, когда все нули функций д(ш) — Re |е^ШГт J{ioS) j , h(uj) — Im ^е%ШТт /(m>) j - простые, вещественные, чередуются, и имеет место неравенство g'(0)h(0) — g(0)h'(0) > 0.

Теорема 1 распространяет результат теоремы Эрмита-Билера [3] на класс квазиполиномов, для которых сумма наименьшего и наибольшего показателей в экспонентах неотрицательна. Этому классу принадлежит квазиполином eA_2L /(А), нули которого совпадают с нулями исходного квазиполинома (2).

Непосредственно к квазиполиному / (А) можно применить принцип аргумента, из которого следует, что для устойчивости квазиполинома / (А) необходимо и достаточно,

© Д. В. Дмитришин, 2006

чтобы приращение аргумента функции / (iui) при изменении параметра и> от 0 до + оо равнялось бы 2у;. На основе анализа расположения нулей вещественных тригонометрических функций Re{/(ioj)}, Im{/('ícj)} в [4] сформулирован конечный алгоритм анализа устойчивости квазиполинома / (Л).

В случае рационально-зависимых запаздываний п,..., тт решение проблемы устойчивости можно проводить методом Штурма, обобщенным Н. Г. Чеботаревым для квазиполиномов [3]. Для этого же случая более простой алгоритм приведен в [5].

Все рассмотренные выше методы решения проблемы устойчивости применимы в тех случаях, когда параметры системы (коэффициенты полиномов ро(Х),...,рт(Х) и запаздывания (tí, ... ,тт)) известны точно. Однако на практике данные параметры всегда известны с некоторой погрешностью, что приводит к необходимости вычисления ограничений на изменение параметров системы, при которых сохраняется устойчивость. Эти ограничения определяются областью устойчивости по изменяемым параметрам, которую можно задать бесконечным числом неравенств, согласно теореме Громмера-Чеботарева.

Теорема 2 [3]. Пусть

где параметры Со, Сх,... связаны известным образом с коэффициентами полиномов Ро(А), ■••,Рт(Л) и запаздываниями т±,... ,тт (со > 0). Если квазиполином /(А) не имеет нулей на мнимой оси, то необходимыми и достаточными условиями его устойчивости будут неравенства £>1 >0, -02 >0,..., где £>1, - последовательные

главные миноры бесконечной матрицы

Если правую часть разложения (3) заменить полиномом степени ./V, то первые [у] неравенств теоремы 2 дадут необходимые условия устойчивости квазиполинома / (А), которые с ростом N приближаются к достаточным. Например, для квазиполинома /(А) = А + ае~х необходимым и достаточным условием устойчивости служит неравенство 0 < о < \. При N — 7 неравенства Иу > 0, £>2 > 0, Б3 > 0, > 0

эквивалентны неравенству а < | + 5, где 0 < £ < 2 ■ 10~6.

Однако наиболее эффективными оказались интенсивно развивающиеся в последнее время методы анализа устойчивости, основанные на робастном подходе [5-7]. В настоящей статье они применяются для получения достаточных условий устойчивости и робастной устойчивости систем с запаздываниями в виде конечного числа неравенств, содержащих параметры системы. При этом сама система может иметь неопределенность как в параметрах, так и в структуре.

2. Основные результаты. Согласно робастному подходу, наряду с квазиполиномом (2) рассматривается вспомогательное семейство квазиполиномов, включающее в себя квазиполином (2). Необходимые и достаточные условия устойчивости этого семейства окажутся достаточными для устойчивости квазиполинома (2). Желательно также, чтобы в данном семействе можно было выделить более простое семейство, из устойчивости которого следовала бы устойчивость всего исходного семейства.

(3)

/ Ci с2 с5

Со С2 С4

D — 0 Ci сз

0 с0 с2

V........................

\

У

В качестве такого вспомогательного семейства можно использовать следующее:

ш ]

Ро(А) + '^J)j{\)e~XTi 0 ^ т>- < т?, ; = 1, ... , ттг > , (4)

где полином ро(А) + ... + Рт(Х) считается устойчивым. Этот полином является элементом семейства (4) (при п = ... = тт = 0 ). В силу непрерывной зависимости нулей квазиполинома запаздывающего типа от запаздываний при достаточно малых значениях величин все квазиполиномы семейства (4) остаются устойчивыми.

С ростом тР, ...,г° в семействе (4) могут появиться квазиполиномы с нулями на мнимой оси. Для оценки таких критических величин следует рассмотреть вспомога-

тельную функцию

771

Л(и;,01,...,0т) = р0(ш) + '}Грг(ги)е-гв1

3=1

в области

{(ш,01,...,0т)|(ш, 01,..., 0т) е [0, +оо) х [0, 2тг) х [0, 2тг)}.

Пусть

д(ш,01,...,От) = Ке(/1(ш, 01,...,0т)), Цш, 01,...,0т) = Ъа(/1(ы,ви...,вт)).

Функции дик зависят от ш полиноминально, поэтому, составляя результант этих функций, переменную ш можно исключить:

Ф(01,..., 0т) =Нез{^(ш, 01,..., От), Л(ш, 01,..., 9т)}.

При 01 = ... = 0т — 0 функция Ф(01, 0т) является обобщенным определителем

Гурвица устойчивого полинома ро(\) + ... + рт(А), поэтому Ф(0,..., 0) > 0.

Лемма 1. Для того чтобы квазиполином (2) был устойчив при любых запаздываниях 71,..., тт необходимо и достаточно, чтобы при всех 0j Е [0, 27г), 3 = 1,..., т, функция Ф(01,..., 0т) сохраняла знак.

Действительно, если бы при некоторых 01,..., 0^ функция Ф(01, ..., 0т) обратилась бы в нуль, то нашлось бы > 0 такое, что ро(гшо) + р^ъшо)е~гш°Т1 — 0 при т® = Верно и обратное. 3=1

Замечание. Задача определения условий независимости устойчивости квазиполинома (2) от запаздываний сводится к алгебраической путем замены 0= 2агс^г^,

1 = 1,..., ш, после которой функция Ф(2агс<Л§И1,..., 2апх^иго) становится дробнорациональной относительно переменных щ,..., ит.

Далее считается, что функция Ф(01,..., 0т) в параллелепипеде

{(01,...,0т)| ^ е [0, 2тг), 1 = 1,..., т}

меняет знак.

Лемма 2. Если при 0 ^ 0^ ^ 0° < 2п, ^ = 1,...,7П, выполнено неравенство Ф(01,...,0т) > 0, то семейство полиномов с комплексными коэффициентами

Ро(А)+ ^рДА)е 19 >

7=1

робастно устойчиво.

Действительно, если при некоторых Шо,#1, выполняется

т

Ро(гш0) + ]Г^(г'ш0)е~г^ = О,

¿=1

то Ф(9х, ...,9т) =0, что невозможно в области {(&1, ...,9тn)\вj < 9= 1,...,т}.

Чтобы применить лемму 2 для оценки области устойчивости в пространстве запаздываний квазиполинома (2), следует ввести величину ш* как максимальный поло' ТП

жительный корень уравнения \ро(ш) \ — ^ ^¿('¿^) |, который всегда существует, если

з=1

функция Ф(01, ...,9тп) меняет знак в параллелепипеде:

{(вх,...,вт)\в] € [0, 2тг), 1 = 1,ш},

а также функцию

, Кев{Яе{/2{ш,и1,..., ит)), 1т(/2(ш,и1,...,ит))}

..., ит) — т ,

П («? +1)

;=1

где

тп т

/2(Ы,ии...,ит) =Р0(м) ■ П («? + 1) + ’ К “О2 П («* + !)•

3=1 3=1 кфз

Функция /2(01, «1, ...,ит) получается из функции щ, ...,г4т) после замены щ =

в- т

и домножения на число П К2 + !)•

^=1

Замечание. Построенная функция Ф(щ, ...,ит) является вещественным полиномом по переменным и1,...,ит и представляется в виде Ф(и1,...,ит) =

А0(и1п ■... ■и‘%)+Х2тп-2+Х2тпп-4 + -+Хо, где Хо,...,Х2тп-2 - однородные формы соответствующих порядков, а коэффициент А0 равен произведению определителей Гур-

вица п- и (п — 1)-го порядков полинома ро(Х) + ... + рт(А) (старший коэффициент

считается равным единице).

Теорема 3. Пусть величины М\,..., Мт таковы, что в конусе

{{щ,...,ит)\щ > Му, j = 1 ,...,га} (5)

полином Ф(«1,...,ит) положителен. Тогда при тл- ¿^агс^М,-, 3 = 1 ,...,т, семейство квазиполиномов (4) робастно устойчиво.

Согласно этой теореме, необходимо уметь вмещать конус вида (5) в множество

{(«1,...,«т)|Ф(гц,...,ит) ^ 0}.

Эту проблему можно свести к задаче на условный экстремум (максимум) для функции

Г(«1, ...,ит) = гтп{цщ + ^}, (6)

3

где числа ц\, ...,цт, 1/1,ит наперед заданы, причем > 0, — 1,...,га, при огра-

ничении Ф(иь..., ит) — 0 . Если М - решение этой задачи, то при ¡х^щ + ц > М обязательно будет Ф(и1,...,ит) > 0, следовательно, по теореме 3 при

2 М-щ

7з < —arcctg-----------, э = 1

ш ^з

семейство (4) робастно устойчиво.

Оценить величину М можно, не решая экстремальную задачу. Действительно, из формулы Тейлора для функции Ф(«1,..., ит) в точке (их,..., ит) — ( м~|/1,..., м~1,г” ) следует, что при выполнении (2к + 1) неравенств

ди1у ■... • ди\

£0, ¿1 0,..., 2п,..., zm — 0,..., 2п,

функция Ф(щ, ■■■,ит) положительна в конусе

(«1 ^ш)

M-Vj . л \

ßj J

(здесь под записью дио^ Ф.дио понимается сама функция Ф). Если ж* - максимальный корень среди всех корней алгебраических уравнений

Qil +...-Ит „

-Ф (ии...,ит)

dul1 ■... • ди\

= 0, *1 = 0,2п; —; tm = 0,...,2n, (7)

>ч

ТО Mj ^ —г1, 3 = 1, т.

Полагая в (6) fii — ... — цт = 1, i/i = ... = vm = 0, можно получить более простую, хотя и более грубую оценку величин Mi,..., Мт. Если обозначить через ^2(mn-fc) абсолютное значение суммы отрицательных коэффициентов формы %2к, к — 0, ..., тп — 1, а через А - максимум среди этих величин, то, согласно методу Коши оценки максимального корня полинома одной переменной, нетрудно получить

оценку М3 < v/TTt, j — 1, ...,т.

Результаты теоремы 3 распространяются и на более сложные семейства, в том числе с непараметрической неопределенностью.

Теорема 4. Пусть величины Mi,..., Мт определены и выполнены условия

2

т0 + Tj < —arcctgMj, j = 1,..., га, ш*

d, 1

— arg (pj(iu)) < -(r0 + Tj - max{Tfc}), j = 1,..., ra.

Тогда семейство квазиполиномов

poW + X>W / I,

в котором д\ (<т),дт(а) - произвольные функции распределения, для которых существуют соответствующие интегралы Лебега-Стилтьеса, робастно устойчиво.

Доказательство следует из теоремы 6.5 [7, с. 534] и теоремы 3. Теорема 4, во-первых, позволяет получить достаточные условия устойчивости квазиполинома вида (2), во-вторых, сократить число уравнений, аналогичных совокупности (7), до числа (2п + I)4, т. е. не зависящего от т. Чтобы это показать, необходим следующий промежуточный результат, для чего вводятся вспомогательные полиномы

91 (^), 92(А), <?з(А), 94 (А) : (А) + 92 (А) + 93 (А) +<24(А) — У^р^(А),

j=1

причем полиномы ?1 (А), 92 (А) содержат только четные степени, полиномы 9з(А), 94 (А) нечетные, 91 (гш) ^ 0, 9г(*^) ^ 0, ¿9з(гш) ^ 0, ^94(гш) ^ 0, ш > 0.

Лемма 3. Множества на комплексной плоскости

т 1 11

РоМ + ¿р,М J е~ШТ<г(1дАа) ^ (1д1(а) = J \йд3(а)\ = 1, = 1,...,

тп

3=1

4

Ро(гш) + ¿9^(^) [ е [ <*&(о) = / |с%(ст)| = 1, 3 = 1, 2, 3, 4

>=1 ООО .

совпадают.

Доказательство. Достаточно показать, что для положительных чисел а1,...,ат множества

= {?>/ е 10 = 10 \а9з(а)\ = 1, 3 =

совпадают. Включение /гг С /¿1 следует из равенства 1 1

(сц + ... + ат) I е~1ытЧд(а) = ох | е~^йд(а) + ... + ат |

о

Обратное включение -1

а1 J е гштс<1д1(а) + ... + ат ^ е ШТСТйдт{а) = (ах + ... + ат) J е 1ШТ,7с1д(а),

где функция д(<у) = а,тпринадлежит множеству функций распределения как

.7=1 £

¿=1

выпуклая комбинация функций этого множества.

Теперь возможно сформулировать общий результат о достаточных условиях устойчивости квазиполинома (2).

Теорема 5. Пусть по полиномам р\(Х),...,рт(Х) построены полиномы ^(А), д2(А), 9з(А), <?4(А), по которым, в свою очередь, определены величины М±, М2, Мз, М4 и М* -максимум среди них. Тогда квазиполином (2) устойчив при

2

тах{т,} < —агс^М*. j ш*

Доказательство. Справедливы включения

-\Т] £

Ро(А) +'%2рз( А)е'

г=1

Ро(А) + ¿РДА) J е~Хг^ёд^а) J дд^а) = J |^(а)| = 1,;/ = 1,...,т| С =

I ■7=1 ООО J

= ■! Р0(А) + ^2рз(>) ! е~Хт<т йд^а) I <1ду(а) = J |^(сг)| = 1, ^ = 1,...,т 1 ,

I •г=1 ООО ^

где г = тах{т^ } . По лемме 3 множества значений на комплексной плоскости семейств

з

{4 1 1 1 ^ Ро(А) + ¿ф(А) Jе~Хт17дд^(а) Jdgj (а) = J | = 1, ¿' = 1, 2, 3, 4 I

-?-1 ооо J

совпадают, следовательно, по принципу исключения нуля [8] совпадают и условия устойчивости этих семейств. Так как (д^(гш)) =0, ^ = 1, 2, 3, 4, и 71 = Т2 = гз =

Т4 = т, то для семейства выполнены условия теоремы 4 при то = 0, откуда следует заключение теоремы.

3. Пример. Применим теоремы 3, 4 для получения достаточных условий робастной устойчивости семейства квазиполиномов

{1 111

А2 +01А J е~Хт1,т (1д1(а) + а2 ^ е~Хт2<т <1д2(о) ^ (1дэ(а) = J \ёд,{а)\ = 1, = 1,2

о ООО

(8)

или достаточных условий устойчивости квазиполинома

N1 N2

/(А) = А2 + А ]Г аие-Лт1' + ^ , (9)

7=1 7=1

в котором ац > 0, ...,а1лг! > 0, а21 > 0, ...,02лг2 > 0. Для этого рассматривается вспомогательное семейство квазиполиномов

где

{А2 + 01 Ае Лт1 + 02в Лт2 |п < Т°,Т2 < 72 }

а1 = ^а^, а2 = ^а2;, п = тах{г1^}, Т2=тах{г2^}.

7=1 7=1 3 3

Для определения критических запаздываний строятся функции

/2(ш,щ,и2) = —ш2{и\ + У)(и\ + 1) + 2а1и(и1 + 1)^1 + а2(и\ + 1)(и\ - 1) +

+ г(а!ш{и1 + 1)(«? - 1) - 2а2(и\ + 1)и2),

Ф(и,1,и2) = ^ (и1и2 ~ ^ки\и\ + 4г^«2 — 2и\и\ + 4и1и2 — &ки\и\ — аха2

— 4гАхгг2 + и2 + 2г^ — 4и1и2 — Аки^ — 1),

где к = Р .

а1 _________________________________________________________________________

Нетрудно проверить равенство Ф (М,М) — 0, где М = \/2к + у/А к2 + 1, а также неравенства

^¿1+12 _

ди[2ди\^^и1,и^

Ч = 0, 4; г2 = 0, 4(гх 4- г2 ф 0).

Уравнение для определения величины и* следующее: ш2 — а\ш — а2 = 0, откуда ш* ~ ^(1 + \/4^ + 1) • Тогда

>0,

и,=М

Тл = То = т - -

<11(1 + \/4/с + 1)

arcctg у 2 А: + \/ 4/с2 + 1,

т. е. при Т1 < т°,Г2 < т° все квазиполиномы семейства (8), а также квазиполином (9) устойчивы. Для случая, когда в квазиполиноме (9) не все коэффициенты положительны, следует, согласно теореме 5, рассматривать семейство

1 1

(а) - ой J е~Хт12<т<1д12) + (а21 J е~Хг*1(Т (1д2Х -

о о

1 1 1 J¿д^а) = J \йд^(а)\ = 1, ¿, ; = 1, 2 > ,

в котором йц > 0, г, 3 = 1, 2.

4. Заключение. Таким образом, в настоящей статье предложен алгоритм получения условий устойчивости линейных стационарных систем функционально-дифференциальных уравнений, основанный на принципе загрубления, т. е. на замене исходного характеристического квазиполинома семейством квазиполиномов. Задача устойчивости квазиполиномов полученного семейства сводится к построению прямого конуса, целиком расположенного в множестве, граница которого - известная алгебраическая поверхность. Параметры этого конуса можно получить как решение задачи условной оптимизации. Их можно оценить через максимальные корни (или их оценку) (2п+ 1)т вспомогательных алгебраических уравнений относительно одной переменной. Для получения более грубых оценок можно ограничиться (2п + I)4 вспомогательных уравнений, т. е. число уравнений не будет зависеть от количества запаздываний. Алгоритм позволяет установить также достаточные условия робастной устойчивости семейств квазиполиномов как с параметрической, так и с непараметрической неопределенностью. Эти условия доводят до аналитической формы, например, в случае системы второго порядка.

Dmitrishin D. V. The problem of stability of quasypolynomials and quasypolynomial sets decision methods.

The effective practical methods for determining conditions of stability of time delay systems and robust stability of the systems with non-parametric uncertainty are suggested.

Литература

1. Зубов В. И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Сер. мат. 1958. Т. 6. С. 86-95.

2. Понтрягин Л. С. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1942. Т. 6. С. 115-134.

3. Мейман H. Н., Чеботарев Н. Г. Проблема Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций // Труды Матем. ин-та АН СССР. 1949. Т. 26. 332 с.

4. Stepan F. Stability charts for linear functional differential equations // Diff. Equations. Szeged. 1984. Vol. 47. P. 1049-1057.

5. Харитонов В. Л. Об определении максимально допустимого запаздывания в задачах стабилизации // Дифф. уравнения. 1982. Т. 17. С. 723-724.

6. Жабко А. П., Харитонов В. Л. Методы линейной алгебры в задачах управления. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1993. 320 с.

7. Усов А. В., Дубров А. Н., Дмитришин Д. В. Моделирование систем с распределенными параметрами. Одесса: Астропринт, 2002. 664 с.

8. Поляк Б. Т., Цыпкин Я. 3. Робастная устойчивость линейных систем (обзор) // Итоги науки и техники. Техническая кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 32. С. 3-31.

Статья поступила в редакцию 24 ноября 2005 г.