О верхней оценке сложности задания квазиполиномами функций над конечными полями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика» 2014. Т. 10. С. 3—12

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского государственного университета

УДК 519.715

О верхней оценке сложности задания квазиполиномами функций над конечными полями *

А. С. Балюк

Иркутский государственный университет

Аннотация. Представления функций над конечными полями, в том числе полиномиальные, в настоящее время активно исследуются. Одним из основных направлений этих исследований является сложность таких представлений.

В данной работе исследуется сложность задания функций квазиполиномами над конечными полями. Квазиполином можно рассматривать как полином многих переменных, в котором вхождения х0,...,хк-1 одной из переменных заменены на функции из некоторого множества [до{х1), ...,дк-1{х1)} линейно независимых одноместных функций.

Под сложностью полинома над конечным полем обычно понимают количество слагаемых в нем, число вхождений переменных или степень. В случае квазиполиномов напрямую можно оценивать количество слагаемых, число вхождений переменных и степень требуют обобщения. В статье в качестве сложности квазиполинома исследуется количество слагаемых в нем. Для случая квазиполиномов по модулю простого к ранее была известна верхняя оценка такой сложности, а именно, сложность задания квазиполиномами те-местной функции над конечным полем простого порядка к не превосходит величины -щ^к™.

В работе получена верхняя оценка сложности представления квазиполиномами функций над произвольным конечным полем порядка д, которая при д ^ 3 усиливает ранее известную верхнюю оценку, полученную для случая квазиполиномов по модулю простого числа. А именно, если д = к", где к — простое, а те ^ 1, для любой те-местной функции над конечным полем порядка д сложность её задания квазиполиномами ограничена сверху величиной ч" ■

Ключевые слова: конечное поле, полином, квазиполином, сложность.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 13-01-00621.

Введение

В настоящей работе используются следующие обозначения:

— |A| или #A — число элементов конечного множества A;

— N = {0,1, 2,... } — множество натуральных чисел;

— Fq — конечное поле порядка q, ноль и единицу поля Fq будем обозначать 0 и 1 соответственно;

— FN — N-мерное векторное пространство над Fq;

— элемент (вектор) пространтва v Е F^ будем отождествлять с упорядоченным набором (v0,vi,..., vN_i);

тензорное произведение w = u ® v векторов u Е FNl и v Е FN2 — это вектор w Е FNl+N2, такой что wiNl+j = uivj, где 0 ^ i < N1, 0 < j < N2;

М =#{i I vi = 0, 0 < i<N} — вес v Е FN; если V С Fn, то \\V\\ = min IIvll;

- ql " " vev

Мд [тхп] — множество всех матриц размера т х п над полем Fq; если А Е М[тхп], то А> — 3-й столбец, а А^ — г]-й элемент матрицы А, 0 ^ г < т, 0 ^ 3 <п;

Мд [п] — множество всех невырожденных матриц размера п х п над полем Fq;

— А ® В — тензорное (кронекерово) произведение матриц А и В;

_ _ , ^, ^А — тензорная степень матрицы А, А®0 = (1);

п раз

— М®п = [Ых ® М2 Мп | Мг Е Mq [д], 1 < г < п};

— если V Е , N = дп, то [у] = [Му | М Е М®п}.

Определение 1. Отображение : Fn — Fq будем называть п-местной функцией над конечным полем Fq.

Пусть ао, ах, ..., суть все элементы поля Fq, упорядоченные

некоторым образом, при этом а0 = 0, а ах = 1. На основе этого порядка образуем лексикографический порядок упорядоченных наборов из Fq, на который в дальнейшем будем ссылаться как на лексикографическое упорядочение.

Пусть V0,ух,... -1 — лексикографическое упорядочение всех наборов длины п с элементами из Fq, здесь уг Е Fn, 0 ^ г < N, N = дп. Тогда функцию f : Fn — Fq можно однозначно задать вектором и Е FN, так что иг = f (V).

Пусть р(хх,..., хп) Е F[жl,..., хп] — полином от многих переменных над полем ^, такой, что его степень по каждой переменной не превосходит д — 1. Этот полином определяет п-местную функцию над ^, которая может быть задана некоторым вектором и> Е FN, где N = дп.

С другой стороны, каждый такой полином можно однозначно задать вектором V € ^, где N — дп следующим образом:

м-1

р(х-, х^ х ) — \ х-г2 х-гп Д.. —

р(х1, ■ ■ ■, хп) — / J vгxl х2 ' ' ' хп , Дг3 —

г=0

дЗ-1

шоё д, (0.1)

где 1 ^ з ^ п.

Положим 00 — 1, где 0 — это ноль, а 1 — единица поля Fq. Тогда выражение х-*3 из (0.1) можно рассматривать как функцию х-*3 : ^ ^ Гд, заданную вектором (а-3, а--г3 ,■■■, а1), где а0,а1,■■■, ад-1 — лексикографическое упорядочение элементов из Fq. Выражение х-г1 х22г2 ■ ■ ■х'п из (0.1) можно рассматривать как п-местную функцию над Fq, заданную некоторым вектором и. Если u1,■■■,un — векторы, задающие од-

г>-г1 х-г1

1п

■ ® ип задает п-местную функцию х-г1 ■ ■ ■ х' Пусть и € М[дхд] такая, что

номестные функции х-г1 ,■■■, хПгп соответственно, то вектор и — и1 ®

- гп .

п

икз — 3, 0 < к < д, 0 < з <д, (0.2)

ад € FN — вектор, задающий полином p(x1,■■■,xn), рассматриваемый в виде п-местной функции. Тогда (0.1) можно записать в матричном виде:

ад — и ®nv. (0.3)

В дальнейшем будем отождествлять полином р(х1, ■ ■ ■ ,хп) с вектором V, а функцию, задаваемую этим полиномом, с вектором и> из (0.3). Определитель матрицы и — это определитель Вандермонда, поэтому

ёе! и — Л (аг - аЗ) — 0,

поскольку аг — аз — 0, а поле, как известно, не содержит делителей нуля.

Из этого следует в частности, что и®п — невырожденная матрица, и каждая п-местная функция и> единственным образом задается полиномом. При этом функция (0,---, 0) задается полиномом (0,--- , 0).

Аналогично работе [3] введем понятие квазиполинома. Пусть V0, V1, ■ ■■, V4-1 € Fq — линейно независимые векторы. Следуя [3], множество 5 — {V0ч-1} будем называть поляризующим. Множеству 5 поставим в соответствие невырожденную матрицу О € Мд [д], с элементами — V3. Эту матрицу будем называть поляризацией. Таким образом, поляризация — это матрица О € Мч[д].

Определение 2. Квазиполиномом с поляризацией О € Мч [д] по выделенной переменной хг для функции f : Fn ^ Гд, заданной вектором

■ € , где N = дп, будем называть вектор V € FN, такой что выполняется

■ = (и® Б ® и®{п-)

Поскольку и и Б — невырожденные, для каждой функции существует единственный квазиполином с заданной поляризацией Б по выделенной переменной Xi.

Сложность полиномиальных представлений к-значных функций исследовалась, например, в работах [1; 4]. В качестве меры сложности использовалась длина (количество слагаемых) и обобщение понятия степени полинома.

Следуя [3], длиной квазиполинома V будем называть его вес |^||.

Определение 3. Минимальной длиной функции : Fn ^ Fq, заданной вектором ■ € FN, в классе квазиполиномов назовем величину

¡(■ш) = шт{|М| | ■ = (и® Б ® иБ € Мд[д]}.

В работе [3] приводится верхняя оценка величины ¡(■), а именно, для любой функции f : Fn ^ Fq, заданной вектором ■ € FN, где N = дп, д — простое,

/(») <

В данной работе эта оценка усилена с помощью обобщения метода получения верхних оценок сложности из работы [2].

1. Основной результат

Для доказательства основного результата нам потребуется вспомогательная лемма.

Лемма. Пусть

к к

к — 1

г^^т, Тг > сДо - = Т' 1

г=1 i=t+l

Тогда

Доказательство. Будем доказывать неравенство индуктивно следующей цепочкой: 2 ^ ^ ••• ^ 2к ^ 2+1, где будем искать в форме

2 = ЬрТо + Тк=р аР,Ти где 1 < р < к + 1.

При р = 1, положив а^ = Ь, Ь1 = 0 имеем требуемое.

Предположим, что при некотором р, 1 ^ р ^ к, выполняется

к

% ^ ^ ■■■ ^ Zp, гр — ЬРТ0 + ^

г=Р

Тогда

k

Zp = bpTo + ap,pTp + ^^ ap,tTt i=p+i

Если ap,p ^ 0, то

kk

^p ^ bpT 1

Zp ^ bpTo + ^ ap)tTt + ap,p I CpTo - ^ CpTt t=p+i \ t=p+i k

= (bp + ap,pCp) To + (apt — ap,pCp) Tt t=p+i

Если ap,p ^ 0, то положив ap+1tt = ap,t — ap,pcp и bp+1 = bp + ap,pcp, получим Zp ^ Zp+i, где Zp+i = bp+iTo + ^^^ ap+^T Рассмотрим рекуррентное соотношение ap+1;t = ap,t — ap,pcp, где p ^ 1, t ^ 1, с начальными условиями ai,t = t.

ap+i,t+i — ap+i,t = (ap,t+i — ap,pcp) — (ap,t — ap,pcp) = ap,t+i — ap,t = ••• = ai,t+i — ai,t = (t + 1) — t = 1, apt = ap,t-i + 1 = ap,t-2 + 2 = ••• = ap,i + (t — 1),

Положим dp = ap,i, di = 1. Тогда ap,t = dp + (t — 1). Получается, что ap,p ^ 0 тогда и только тогда, когда dp ^ 1 — p.

dp+i — dp ap,pcp — dp (dp + p 1)cp = (1 — cp )dp — (p — 1)cp

=(1 - -{v-= kJ^rdp --

Пусть gp = (kp-1 — 1)dp, тогда gi = 0 и

gp+i = kgp — (p — 1)(k — 1) = k(kgp-i — (p — 2)(k — 1)) — (p — 1)(k — 1) = k2gp-i — k(p — 2)(k — 1) — (p — 1)(k — 1) = ...

p- i p- i = kp-1gi — (k — 1) ^ ikp-1-i = —(k — 1) ^ ikp-1-i.

i=1 i=1

p-1

ikp

1_ i kp — 1 — pk+p

=1 (k—1)2

так как при р = 1 выражение обращается ноль и

кр -1-рк+р _ кр+1 -1-(р + 1)к + (р + 1) (к-1)2 (к -1)2 ' Таким образом,

(р - 1)(к - 1) - (кр-1 - 1)

9р

к - 1 р - 1 1

г] —___

Имеем, (¿1 = 1, (¿2 = 0, с1р ^ — ¿ггу > —1 при р ^ 3. Таким образом йр ^ 1 - р, а следовательно ар,р ^ 0 и ^ при 1 ^ р ^ к.

Рассмотрим рекуррентное соотношение Ър+1 = Ьр + аррср. Поскольку ар,рср = йр - йр+1, имеем

Ър+1 = Ър + Лр - Лр+1 = Ър-1 + йр-1 - + йр - Лр+1

= Ър-1 + йр-1 - йр+1 = ■ ■■ = Ъ1 + й1 - йр+1 = 1 - йр+1, к

^к+1 = ак+1,ЬТЬ + Ък+1Т0 = Ък+1Т0,

¿=к+1

к 1 \ к к

ък+1 - 1 - 4+1 -1 - ¥~I'

что завершает доказательство леммы. □

Теорема. Пусть Fq — конечное поле порядка д, N = дп, где п € N. Тогда для любого ад €

1{из) < дп.

к J д - д1-<1

Доказательство. Пусть и € Мд[дхд] удовлетворяет (0.2). Пусть V € FN такой, что ад = и®nv.

Рассмотрим матрицу В е такую что В^ = ь^/д^, 0 ^ г <

Пусть В3 — это 3-й столбец матрицы В. Пусть/ = {0,...,|-1},

Индуктивно определим непересекающиеся множества ^ Q I и векторы иь € Fq, 0 ^ £ ^ д, следующим образом.

В качестве и0 возьмем вектор, все элементы которого равны нулю, 1о = {3 € I | В3 = и0}.

Пусть уже определены множества II и векторы иг, 1 ^ г < í. Для каждого и € Fqq определим множество

ь-1

1ь(и) = {з € I \ (1о и ■■■и 1-1) | В3 = сь и + сгиг, с € Fq+1}.

i=0

О ВЕРХНЕЙ оценке сложности функции

Это множество будет пусто, если и — линейно зависит от и1,...,и' Кроме того, если с — ненулевой элемент поля Fg, то /¿(и) = /¿(си). Поэтому среди всех множеств вида /¿(и) существует не более Я<1 различных непустых множеств. Возьмем и¿ € Fg такое, что для любого и € Fq выполняется (и4)| ^ \/г(и)|. Положим /1 = Ь(и4). Тогда

\Ы >^¿1(1/1-|/о|-...-|/4-1|). (1.1)

Пусть Е € Мд [д] — единичная матрица, а Ег — её г-й столбец. По построению, векторы и1,...,ид линейно независимы. Поэтому существует матрица Н € Мд [д], такая что иг = НЕг. Пусть С = Н-1В.

По построению, если 3 € /¿+1, то Сц — ненулевой элемент поля Fg, а если г > Ь, то С^ равен нулю.

Рассмотрим верхнюю треугольную матрицу О € Мд [д] с единицами на главной диагонали. Элементы матрицы Оц и множества Jг¿(с), 0 ^ г < Ь < д, с € Fg, определим индуктивно следующим образом.

Положим ^1 (с) = € /2 \ С<0] + сС^ = 0}. В качестве О01 возьмем такой элемент поля Fg, чтобы для любого с € Fg выполнялось ^01(Ос1)\ ^ \Jol(c)\.

Пусть для всех с € Fg, уже определены множества .1гк (с) и элементы матрицы Огк, 0 ^ г < к < Ь. Для каждого с € Fg и каждого г, 0 ^ г < Ь, определим множество

¿- 1

Jг¿(c) = {з € /¿+1 \ ^ ОгкСкз + С = 0}.

к=0

В качестве Оц возьмем такой элемент поля Fg, чтобы для любого с € Fg выполнялось \Jг¿(Ог¿)\ ^ \Jг¿(с)\. Поскольку количество различных множеств вида <7й(с) равняется д, то ^ \ 1|-

Пусть А = ОС. Подсчитаем количество 2а нулевых элементов в матрице А. Если г > Ь и 3 € /¿+1, то

д-1

Аг] ^ ^ Огк Ск] = °

к=0

поскольку Огк = 0 при к < г, а С^ = 0 при к > Ь. Если г < Ь и 3 € Jг¿(Ог¿), то

д-1 4 д-1

Аг] ^ ^ Огк Ск] ^ ^ Огк Ск] + У ] Огк Ск] = °

к=0 к=0 к=4+0

поскольку ^¿к=0 ОгкСкз = 0 из-за 3 € Jг¿ (Огг), а Скз = 0 при к > Ь из-за 3 € /¿+1.

Таким образом,

q q—1 Ь—1 q q—1

г А > £(<? - + ££ > 1> - + £ Е -а 1^+11-

ь=0 ь=1 г=0 ь=0 ь=1 г=0 д

Упростим выражение.

q q-1 Ь-1 1 q q

Еь ~ + Е Е = £(« - + Е -¿-ш

ь=0 ь=1 г=0 д ь=0 ь=2 д

q { 1 — л \ — л q

= <?|/о| + Е (ч-* + -г ) = д\ы + +

ь=1 ^ д ' д ь=1

— 1 q — 1 q

= д\10\ + ^-= 9|/о| + --Е^

д ь=1 д ь=1

где Т =

Перепишем (1.1) в виде

q д- 1

Ъ > (НТ0 - V ст, где с* = Т0 = \1\ - |/0|

г=+1 д - 1

Используя лемму и равенство II| = дп-1, получим

V дq -1/ дq -1

Положим Б = иИС-1. Матрица Б невырожденная в силу невырожденности матриц и, И и С. Зададим вектор и € FN следующим образом:

и

N/q+з = Агз. Тогда

(Б ® и®(п-1))и = и®п {[ИС-1) ® Е®(п-1)^ и.

Для всех неотрицательных целых з и 1, меньших N, введем обозначение

{1, если 3 =

.

0, если 3 = 1. Пусть Р = ИС-1. Рассмотрим элемент вектора

(р 0 Е®(п-1))и

с индексом гН/д + 3. Его значение можно вычислить следующим образом

д-1 N/д-1 ц-1 ц-1

У У Ргк ej¿ukN/ц+1 = ^2 ^гкukN/q+j = ^2 ^гк Акз = Вгз. к=0 ¿=0 к=0 к=0

Значит, (^ 0 Е®(п-1))и = V, а (Б 0 и®(п-1))и = и®пу = Таким образом, и — квазиполином для и> и

дд-1 - 1 ад - дд-1 а- 1

1{ь>) < |И =дп-гА^дп- — дп = \ \ дп =

дд — 1 дд — 1 д — д1 д

Теорема доказана. □

Список литературы

1. Пантелеев В. И. Полиномиальные разложения &-значных функций по операторам дифференцирования и нормализации / В. И. Пантелеев // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. - 1998. - № 1. - С. 17-21.

2. Перязев Н. А. Сложность булевых функций в классе полиномиальных поляризованных форм / Н. А. Перязев // Алгебра и логика. - 1995. - Т. 34. -№. 3. - С. 323-326.

3. Селезнева С. Н. О сложности к-значных функций в одном классе полиномов / С. Н. Селезнева // Проблемы теоретической кибернетики : материалы XVI Междунар. конф. (Нижний Новгород, 20-25 июня 2011 г.). - Н. Новгород : Изд-во Нижегор. ун-та, 2011. - С. 430-434.

4. Селезнева С. Н. О сложности представления функций многозначных логик поляризованными полиномами / С. Н. Селезнева // Дискрет. математика. -2002. - Т. 14, № 2. - С. 48-53.

Балюк Александр Сергеевич, кандидат физико-математических наук, доцент, Иркутский государственный университет, 664003, Иркутск, ул. К. Маркса, 1, тел.: (3952)240435 (e-mail: [email protected])

A. S. Baliuk

On Upper Bound of the Complexity of Quasi Polynomial Representations of Functions over Finite Fields

Abstract. Representations of functions over finite fields, including polynomial representations, are being actively investigated. The complexity of such representations is one of main directions of research.

This paper is about quasi polynomial complexity of functions over finite fields. Quasi polynomial can be considered as a regular polynomial with the following transformation: every occurence x0,...,xk-1 of selected variable Xi is replaced by a function from a set {go(xi),..., gk-1(xi)} of linearly independent unary functions.

The number of terms, the number of occurences of variables, or the degree of a polynomial are usually used as a measure of complexity. In the case of quasi polynomials one can use the number of terms as a natural measure of complexity, while further generalization are required for the number of occurences of variables and the degree of a polynomial. In this paper the number of terms is used as a measure of complexity. Previously, the upper bound of such a complexity was known for polynomials over finite fields of prime order. Namely, the quasi polynomial complexity of n-ary function over finite field of prime order k is at most ■^-¡■fc".

In this paper an upper bound for the quasi polynomial complexity of functions over finite fields of arbitrary order q has been obtained, which significantly improves previously known upper bound for modulo prime quasi polynomials, if q ^ 3. Namely, the quasi polynomial complexity of any n-ary function over finite field of order q is at most I'* aqn.

q-q1 q ^

Keywords: finite field, polynomial, quasi polynomial, complexity.

References

1. Panteleev V. I. Polynomial representations of fc-valued functions by derivative and normalization operators (in Russian). Russian Mathematics (Iz. VUZ). Izvestiya VUZ. Matematika., 1998, no. 1, pp. 17-21.

2. Peryazev N. A. The complexity of Boolean functions in the class of polarized polynomial forms (in Russian). Algebra and Logic, 1995, vol. 34, no. 3, pp. 323-326.

3. Selezneva S. N. On the complexity of k-valued functions in one class of polynomials (in Russian). Problemy Theoreticheskoi Kibernetiki, Nizhny Novgorod, University of Nizhny Novgorod, 2011, pp. 430-434.

4. Selezneva S. N. On the complexity of representations of functions over multivalued logics by polarized polynomials (in Russian). Discrete Mathematics and Applications, 2002, vol. 14, no. 2. pp. 48-53.

Baliuk Aleksandr Sergeevich, Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Associate Professor, Irkutsk State University, 1, K. Marx st., Irkutsk, 664003, tel.: (3952)240435 (e-mail: [email protected])