Научная статья на тему 'О приближении решений экспоненциально устойчивых систем дифференциально-разностных уравнений'

О приближении решений экспоненциально устойчивых систем дифференциально-разностных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
93
48
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ / ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ СИСТЕМЫ / РАЗНОСТНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ / ОБЛАСТЬ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ / EXPONENTIALLY STABLE / DIFFERENCE-DIFFERENTIAL SYSTEM / DIFFERENCE APPROXIMATION / THE DOMAIN OF ASYMPTOTIC STABILITY

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Жабко Алексей Петрович, Зараник У. П.

Предложен алгоритм приближения области асимптотической устойчивости стационарных систем дифференциально-разностных уравнений на основе построения области асимптотической устойчивости соответствующих разностных систем. Разработанный методосн ован на приближении схемой Адамса решений дифференциально-разностной системы запаздывающего типа, имеющей экспоненциально устойчивое линейное приближение, разностной системой уравнений. Приведен пример, иллюстрирующий конструктивность предложенного подхода.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Жабко Алексей Петрович, Зараник У. П.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Approximation of the solutions of exponentially stable differencedifferential equations

The algorithm of approximation of the domain of asymptotic stability of stationary system of differencedifferential equations is developed. This approximation is based on the construction of the domain of asymptotic stability of corresponding difference schemes. The method is based on Adams scheme approximation of the solutions of difference-differential system with a delay. This system allows for exponentially stable linear approximation represented by the system of difference equations. The example illustrating feasibility of this approach is presented.

Текст научной работы на тему «О приближении решений экспоненциально устойчивых систем дифференциально-разностных уравнений»

Сер. 10. 2011. Вып. 3

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 517.962

A. П. Жабко, У. П. Зараник

О ПРИБЛИЖЕНИИ РЕШЕНИЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО УСТОЙЧИВЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Введение. Метод функционалов Ляпунова является одним из основных способов исследования устойчивости систем с запаздыванием [1]. В работе [2] были описаны конструктивные методы построения функционалов полного типа для стационарных систем с несколькими запаздываниями и приведены квадратичные оценки для полученных функционалов. Для линейных дифференциально-разностных систем с периодическими коэффициентами вопросы существования матрицы Ляпунова и ее свойства, робастная устойчивость таких систем и методы вычисления матрицы Ляпунова были рассмотрены в [3]. Приближение решения дифференциально-разностной системы решением разностной системы с помощью метода Адамса было предложено и обосновано в [4].

В данной статье изучаются нелинейные системы с одним сосредоточенным запаздыванием, линейное приближение которых экспоненциально устойчиво. Излагается обоснование возможности приближения области асимптотической устойчивости системы дифференциально-разностных уравнений, имеющей экспоненциально устойчивое линейное приближение, на основе построения области асимптотической устойчивости соответствующей разностной системы.

Приведен иллюстративный пример применения метода Адамса для построения области асимптотической устойчивости и описаны различные способы представления этой области в функциональном пространстве.

Вспомогательные утверждения. Рассмотрим стационарную дифференциальноразностную систему вида

x(t) = f (x(t),x(t — H)), (1)

где x e Rn; f - векторная дважды непрерывно-дифференцируемая функция, определенная в пространстве R2n; H - постоянное положительное запаздывание. Предположим, что f (0, 0) = 0, т. е. система (1) имеет нулевое решение, и линейное приближение этой системы

x = Ax(t) + B x(t — H)

Жабко Алексей Петрович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории управления факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 90. Научные направления: дифференциально-разностные системы, робастная устойчивость, анализ и синтез систем управления плазмой. E-mail: zhabko@apmath.spbu.ru.

Зараник Ульяна Петровна — аспирант кафедры теории управления факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. А. П. Жабко. Количество опубликованных работ: 9. Научное направление: дифференциально-разностные системы. E-mail: zaranik_u@list.ru.

© А. П. Жабко, У. П. Зараник, 2011

экспоненциально устойчиво. Здесь

- = д/(и,у), ~ = д/(и,у),

ди 1«=«=0'

Используем обозначения из [2]: х(Ь] или х(Ь,1о,ф) - решение системы с начальной функцией ф; или ж^о, 92) - отрезок решения системы = {ж(т, ¥>) : 1 — Н ^ г ^ ^};

||ж|| = \]х\ + • • • + ж2, где ж^ - компоненты вектора ж; Цж^я = 8иР(;-я<т<411ж(т)11- Под экспоненциальной устойчивостью будем понимать существование такого числа Ь > 0, что для любых начальных функций |ф||н < Ь при 4 ^ = 0 справедливо условие

\\х(1, 0,ф)|| < ае-в-Мн,

где а и в - некоторые положительные числа. Далее будем считать начальную функцию ф определенной, непрерывной и непрерывно-дифференцируемой на промежутке [-Н; 0]. Под областью асимптотической устойчивости будем понимать множество

А = {ф(а) € С 1([-Н; 0]) : х(Ь, 0, ф) —> 0 при 4 ^ то}.

Известны следующие свойства области асимптотической устойчивости [5]:

1. Положительная инвариантность: для любых допустимых начальных ф € А следует, что решение х(Ь, 0, ф) определено при 4 ^ 0 и хг(0,ф) € А.

2. Множество А - открытое множество.

3. Множество А - связное множество, т. е. для любых начальных функций ф и ф €А существует такая начальная функция ф\(Ь) € С1([-Н; 0]), непрерывная по Л, Л € [0; 1], что ф\(Ь) € А при Л € [0; 1], когда фо(Ь) = ф(Ь) и ф\(Ь) = ф(Ь).

Основные результаты. Введем следующие множества:

Лк = {ф €А: и (Я, ф) сА},

здесь и (К, ф) - -^-окрестность функции ф в пространстве С1, т. е.

и (Я, ф) = { ф(а) е С\[-Н; 0]) : \[ф - ф\\н < ±

дф дф да да

1

н < К

Обозначив

Рк = { х(г,0, ф): \\х(г,0,ф)|| < Я при 4 > -Н, \\х(г',0,ф) - х(г",0,ф)|| < мцг1 - г"\\, М = (ф(0),ф(-Н))| } ,

рассмотрим множество функций Бк = Ркр| Лк, где Рк = {ф : х(Ь, ф) € Рк}. Из способа определения множеств Бк следует

Лемма 1. Множество Бк - компактное множество в пространстве С1. Следствие. Для любого вещественного Я > 0 существует Т(Я) такое, что для всех функций ф € Бк выполняется неравенство

Цх(Ь, 0, ф)\\ < Ь при 4 > Т.

Теорема 1.

А = ^1 Бк.

к=1

Доказательство. С одной стороны, по определению множества SR = PR р| Ar, верно включение A D SR. С другой стороны, если функция ф{-) G A, то решение системы (1) экспоненциально устойчиво, а значит, существует R : \\x{t, 0,ф)\\ ^ R, а также выполнено условие Липшица с константой M(R). Следовательно, по определению множества Ar, функция ф{-) G Ar. Таким образом, верно обратное включение A С SR, что доказывает теорему.

В статье [6] был предложен алгоритм построения области асимптотической устойчивости разностной системы.

Рассмотрим некоторое решение системы (1) X{t) = x{t, 0,ф) с начальной функцией Ф GA. Система уравнений в отклонениях от этого решения при t ^ 0

z{t) = f {z{t) — X{t), z{t — H) — X{t — H)) — f {x{t), X{t — H)).

Линейное приближение относительно z{t) существует и имеет вид

z{t) = A{t)z{t) + B{t)z{t — H), (2)

причем

. df {u, v) i ~

A(t) = — ------1 „ = m —> А при t —> +oo,

du v = x(t - H)

п/ ч df {u, v) i ~

B(t) = —------------1 „ = m —> В при t —> +oo.

av v = x(t - H)

Система (2) экспоненциально устойчива, значит, существует такой квадратичный функционал v0{t, ф), что

dv0(t,z)l

Jt----1(2) = -wo{z(t)), (3)

здесь wo{z{t)) - положительно-определенная функция

wo{z) = zT Woz.

Если z{t,to, ф) - решение задачи Коши системы (2), то интегрируя (3)

У0(Ьо,ф)=! юо^^^о^))^. (4)

Ьо

Следуя идеологии работы [2], подставим общее решение [7] системы (2)

о

%('^о,ф) = К(4, ^ф^о) + J К(1^0 + 0 + Н)В^о + 0 + Н)ф(Ьо + 0)д0,

-H

где фундаментальная матрица K{t,T) удовлетворяет уравнению dK{t, s)

dt

и начальному условию

= A(t)K(t, s) + B(t — H)K(t — H, s) при t ^ s

K(t, s) = 0 при t < s

K (s,s) = E

ЗІ

в равенство (4). Собирая подобные члены, получаем

о

^о(Ь, ф) = фТ(Ьо)и(Ьо, Ьо)ф(Ьо) + 2фТ(Ьо) ^ и(Ьо, Ьо + 0 + Н)В(Ьо + 0 + Н)ф(Ьо + 0)д0 +

о о

+ J ^ фТ(Ьо + 01)ВТ(Ьо + 0 + Н)и(Ьо + О1 + Н, Ьо + О2 + Н)В(Ьо + 0 + Н)ф(Ьо + 02)д01д02, -н -н

где матрица Ляпунова для системы (2) определяется равенством

сю

и (Т1,Т2)= J Кт (Ь,п)Шо К (Ь,Т2)дЬ. (5)

шах{т1 ,Т2}

Выберем функционал полного типа

о

ю(г4) = гт(Ь)^ог(Ь) + гт(Ь - Н)Ш1г(Ь - Н)^ гт(Ь + 0)Ш2г(Ь + 0)д0

и построим функционал у(Ь, гг), удовлетворяющий равенству

ди(Ь, гг)

дЬ

= -ю(гг).

(2)

Лемма 2. Если система (2) является экспоненциально устойчивой, то производная функционала

о

у(Ь, гг) = гт(Ь)и(Ьо, Ьо)г(Ь) + 2гт(Ь) ! и(Ь,Ь + 0 + Н)В(Ь + 0 + Н) х

о о

х г(Ь + 0)д0 + ! гт(Ь + 01 )Вт(Ь + 01 + Н) ^ и(Ь + 01 + Н,Ь + 02 + Н) х -н -н

о

х В(Ь + 02 + Н)г(Ь + 02)д02 д01 гт(Ь + 0)[Ш1 + (Н + 0)Ш2]г(Ь + 0)д0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

вдоль решений системы (2) равна -т(гг).

Здесь и(т1,т2) определяется формулой (5). Справедливость леммы проверяется непосредственным дифференцированием. Так как система (2) экспоненциально устойчива, то фундаментальная матрица \\К(Ь,Ь)\\ ограничена экспонентой с отрицательным

ОО

показателем, поэтому интеграл в правой части равенства у(Ь,г(Ь)) = / ю(г(Ь,Ьо,ф))дЬ

го

абсолютно сходится.

Положим шаг h = jf, где N - натуральное число, и рассмотрим разностные схемы y{t + h) = y{t) + hA{t)y{t) + hB{t)y{t — H) с непрерывным временем t ^ 0 и

yk+1 = yk + hA{kh)yk + hB{kh)yk-N (6)

с дискретным временем k = 0,1,.... Введем непрерывную, кусочно-линейную функцию l{t, ф), значения которой в узловых точках t = mh {m = —N, 0) совпадают со значениями непрерывно-дифференцируемой векторной функции <^{t), а при к = 1, 2,... являются решением системы (6). Пусть Y = со1оп{ф{0), ф{ — К),..., ф{—H)). Определим функцию V{к, Y) = v{kh, l0{0, ф)).

Теорема 2. Верны следующие утверждения:

1) V{k,Y) - положительно-определенная функция;

2) на множестве определенных на отрезке [—H; 0] непрерывных и непрерывнодифференцируемых функций ф{а), удовлетворяющих условию

\\ф\\н < ( suP \\A{t )|| + sup \\B{t )||)||ф||н,

t'^0 t'^0

функция W{k, Y) является отрицательно-определенной при k ^ 0 и при достаточно малом h > 0. Здесь

W {k, Y) = V {k + 1,Y) — V {k, Y),

где Y = colon (A{kh^{0) + B{kh^{—H), ф{0), ф—H + h)).

Доказательство. Так как w{zt) - положительно-определенный функционал = —w(zt), найдем такое /3, чтобы было выполнено неравенство +

(2)

2f3v(t, zt) ^ 0. Оценив w(zt) ^ ц\\z(t)\|2 + ц\\z(t — Н)||2 + ц j°_H \\z(t + в)\\2с1в, получим для v(t, zt)

0 0 0

|2

dt

v{zt) < q\\z{t)\\ +2 J \\z{t)\\\\z{t + 0)d0 + qB J \\z{t + 01)\\d01 J \\z{t + 92)\\d^2 +

-H -H -H

o o

+ p,{1 + H) j \\z{t + #)\\2d# ^ q\\z{t)\ \ + qHB\\z{t)\ \ + qB J \\z{t + @)\\d0 +

-H -H

0 0

+ qB2 H j \\z{t + @)\\d0 + p,{1 + H) J \\z{t + 0)\\2 d0 = q{1 + BH)\\z{t)\\2 +

-н -н

о

+ [В + сВВН + р,(1 + Н)\ '^ \\г(Ь + 0)\\д0.

о

Сравнив коэффициенты при \\%(Ь)\\2, \\г(Ь + 0)\\2 и J \\г(Ь + 0)\\2д0, будем иметь сле-

дующую систему неравенств:

—/х + 2/3</(1 + ВН) ^ О,

—ц ^ О,

—/л + 2/3(дБ + (/В2 + д(1 + Н)) ^ 0.

Система совместна, следовательно, существует такое

во = т\п{^[2д(1 + ВН)]-1, ц[2дВ + 2дВ2Н + 2ти(1 + Н)]-1}, для которого верно неравенство 2/?г>(£, гг) <0.

+ у(г, ^ 0. Для этого используем

Покажем выполнение неравенства

подход, описанный в статье [2]. Рассмотрим %{Ь,г1) = у(г,г^ — уи>(г1). Производная вдоль системы (2) есть

Зю(Ь,гг) 3ли(гг)

- -ю^) = -ю^) - 7-

(2) 3Ь

где Ли>^ = 2гТ\Уо\А(1,)г(1) + B(t)z(t — Н)] + гт (1,)\У\г(1) — zт(t — Н)Ш2г1(Ь — Н). Сле-

довательно

о

гЬ(хг) = [гт(г), гт(г — Н)]М(у)[гт(г), гт(г — Н)]т + ^ гт(г + 6)Ш2г(г + 6)36,

Здесь МЫ = (Щ 0 ^ . (ШоА(г) + Ат(г)Шо + Ш1 Ш1В(гА

здесь м (у) ^0 щ] + ^ Вт(г)Ш1 —Ш2) .

Матрица М(0) > 0, так как Шо, - положительно-определенные матрицы. Пусть

у* - наименьший положительный корень уравнения 6.е1(М(7)) = 0. Тогда матрица М(’у) > 0 для любого 7 € (0; 7*), значит, хи^) ^ 0, таким образом, у(г, ^ уи>(г1).

Неравенства х^) + 2@ю(г,г^ ^ 0 и у(г,г^ ^ уи>(г1) доказывают, что матрица

у(г,гг) положительно определена для г > —Н. Система (2) экспоненциально устойчи-

ва и у(г,г^ - положительно-определенный функционал, следовательно, на множестве функций 1(0,ф) функционал у(кН,1(0,ф)) = V(к, У) положительно определен, а в точках г = кН значения функционала V(к, У) и ь(г,г^ совпадают с точностью о(Н2). Отсюда следует справедливость утверждения 1) теоремы.

Рассмотрим утверждение 2) теоремы. Определим числа

а = эир ||А(г)||, Ь = эир ||В(г)||, и = тах \\и(г1,г2)\\

Г^о Г^о Т1 > о

Т2 ^ о

и представим функцию Ш(к, У) в виде

Ш(к, У) = у((к + 1)Н, 1н(0, ф)) — у((к + 1)Н, г(к+цк(кН, 1о(0, ф))) +

+ ь((к + 1)Н, г(к+1)н(кН, 1о(0, ф))) — у(кН, 1о(0, ф)).

При г + кН € [—Н; 0] справедливо тождество г(г, кН, 1о(0, ф)) = 1(г — кН, ф), а при г € [кН; (к + 1)к] векторная функция г - дважды непрерывно дифференцируемое решение системы (2). Поэтому при г € [кН; (к + 1)к] имеем

г(Ь) = г(кк) + (£ — к1г)(А(к1г)г(к1г) + В(кН)г((к — М)1г))) + — (£ — кН)2 г" (£)

= l{t — kh, ф) + -(t — kh)2z"i£),

причем |||(t - kh)2z"(£)\\ < \h2ia + b)2\\Lp\\H.

Оценим первую разность в представлении функции W(k, Y) с учетом вида функционала v((k + 1)h, lh(0, ф)):

v ((к + \)h, lh(0, ф)) = yT ((к + l)h, lh(0, ф)) U(to, to)y((k + l)h, lh(0, ф)) +

0 (i+l)h — H

+ 2y (t,lh(0,ф)) X )] f U(t,t + в + H)B(t + в + H)y (t + в,ф(0,ф)) ddh +

i=k-1 ih-H

0 (i+l)h-H o (j+1)h-H

+ У ' J yT ((k + i)h,lh(0, ф)) BT(t + в + H) £ J U(t + в1 + H,t + в2 + H)x

i=-k ih-H j=-k jh-H

X B(t + в + H)y((k + j)h, lh(0, ф)) +

0

+ y ((k + i)h, lh(0, ф)) [Wi + (H + ih)W2] y (kh + ih, lh(0, ф)) h,

i= - k

тогда

\v((k + фЬ.фф0^^ — v((k + l)h, Z(k+l)h(kh, lo(0, ф))) | < KiWh^^^Hh2,

где Кг = \u{H + H2) (4(а + Ъ)2 + ft2 (а + Ь)4) \\ф\\2н.

Оценим вторую разность в представлении функции W(k,Y):

v((k + фф z(k+1)h(kh lo(0, ф))) — v(kh lo(0, ф)) = —w(z^(kh, lo(0, ф)))Ф

при £ £ [kh;(k + 1)Ь]. С учетом условия \\Z(r,kh,lo(0^))\\ < (a + b)||y>||H при т £ [kh — H; (k +1)h] можно получить

шффкф1о{0,ф))) > J^+Ъ)^

при 0 < h(a + b) < 1, £ £ (kh; (k + 1)h). Здесь ц - наименьшее собственное число матриц Wo, W1, W2.

Следовательно,

W(k,Y) < C max

j=o,1,...,N

где

!л(1 — h(a + b))3

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

C=h

— hK1

> 0

3(а + Ь)

при к < пип1 24кЦа+ь)} • ТеоРема доказана.

Приблизив решение системы (2) с помощью явного метода Адамса [8], получим формулу для нахождения значения функции у((к + 1)Н) на следующем шаге Н. Величина шага 1г вычисляется по формуле 1г = -Ц, в которой N - количество точек разбиения отрезка [—Н ;0]:

у ((к + 1)К) = у (0) + К

к-1

+

[л(кК)у(0) + В(кК)у(кК - Н) + А(0)у(0) + В(0)у(-Н) "^2(л(іК)у(0) + В(іК)у(ІК - Н)) + о(К2).

+

і=1

Пример. Рассмотрим дифференциально-разностное уравнение вида х(Ь) = —2х(Ь) + х(Ь — Н) + х3 (Ь — Н).

С помощью метода Адамса четвертого порядка

1

5

1

251

%і+1 — + Ь ( /і + -Д/г_1 + —А 2 + -А /і-3 + зтггА /г_

12

6

720

где / - нелинейная функция, стоящая в правой части данного уравнения, приблизили решение уравнения решением разностного уравнения. В среде МЛТЬЛВ была построена область асимптотической устойчивости дифференциально-разностного уравнения. Так как полученная область является областью в функциональном пространстве, приведем графики проекций области в трехмерном пространстве. На рис. 1 изображена проекция области асимптотической устойчивости на координатные оси вектора X (х^, хN-1, хN-2). Таким образом, можно заметить, что область представляет собой куб.

Рис. 1. Проекция области асимптотической устойчивости

На рис. 2 приведена зависимость конфигурации области от параметров величины запаздывания Н и ограничения на норму решения Я.

В статье [4] были представлены и другие методы описания области асимптотической устойчивости в функциональном пространстве. Так как область асимптотической устойчивости содержится в некотором функциональном пространстве, то возникает проблема ее описания.

Методы описания области асимптотической устойчивости:

1. Сечение области асимптотической устойчивости при Ь = 0.

2. Сечение области асимптотической устойчивости при Ь = —Н.

4

Рис. 2. Проекция области асимптотической устойчивости в координатах H, R, X

3. Огибающая области асимптотической устойчивости

Dn) I ys = max ||^s(t)||,s = 1 ,N}.

tE [—H;0]

4. Пространство среднеквадратичных значений

0

{(W, W, ■■■, Ш) I Ws = J

—H

5. Эмиттанс

p(t,x 1,... ,xn) = J d/i, где D = tp e A, ips(t) = xs, s = 1, N.

D

Заключение. Предложенный в работе математический аппарат позволяет обосновать алгоритм приближения области асимптотической устойчивости дифференциальноразностной системы уравнений последовательностью областей асимптотической устойчивости, построенных для специального семейства разностных систем. Действительно, для любого R > 0 существует такая величина h(R) > 0, что для любого 0 < h < h(R) область асимптотической устойчивости нулевого решения системы

y(t + h) = y(t) + hf (y(t), y(t - H))

содержит множество Sr, введенное выше.

Аналогичным образом можно ввести множества SR,h, содержащиеся в связной части области асимптотической устойчивости соответствующей разностной системы, которая содержится в множестве A, что и доказывает сформулированное выше утверждение.

Рассмотренный пример иллюстрирует предложенный подход построения области асимптотической устойчивости разностной системы уравнений для соответствующей дифференциально-разностной системы на основе метода Адамса [4].

1. Красовский Н. Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздыванием времени // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. C. 315—327.

2. Харитонов В. Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной. I. Функционалы полного типа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 1. С. 110-117.

3. Letyagina O. N., Zhabko A. P. Robust stability analysis of linear periodic system with time delay // Intern. journal of modern physics A. 2009. Vol. 24, N 5. P. 893-907.

4. Жабко А. П., Зараник У. П. Об одном способе приближения области асимптотической устойчивости дифференциально-разностных систем // Вестн. Мордов. ун-та. Сер. Физико-математические науки. 2011. Вып. 1. С. 43-48.

5. Бузлукова Ю. А. Область асимптотической устойчивости решений систем дифференциальноразностных уравнений // Труды Средневолжск. матем. об-ва. 2004. Т. 6, № 1. С. 204-215.

6. Зараник У. П. Построение области асимптотической устойчивости разностных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 2. С. 11-15.

7. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения / пер. с англ. А. М. Зверкина, Г. А. Каменского; под ред. Л. Э. Эльцгольца. М.: Мир, 1967. 548 с.

8. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.

Статья принята к печати 10 марта 2011 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.