CC BY
12
Жабко А.П.,
Санкт-Петербургский госуниверситет, профессор,
zhabko@apmath.spbu.ru
Медведева И.В.
Санкт-Петербургский госуниверситет, аспирантка
medv.irina@gmail.com
Оценка области асимптотической устойчивости решений дифференициально-разностных систем запаздывающего типа
Аннотация
В данной работе предлагается метод оценки области асимптотической устойчивости решения стационарной системы, имеющей экспоненциально устойчивое линейное приближение. В основу положен конструктивный метод построения квадратичного функционала Ляпунова-Красовского для системы линейного приближения.
Введение
Рассмотрим систему стационарных дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа
У(г)=I(у(г),у(г—кЛ,...,У(г—кт)),
где у, 0 =к0<к1<... <кт=к - постоянные запаздывания, векторная функция I ( 2о, •••, 2т) определена, непрерывна и непрерывно дифференцируема в . Предположим, что эта система имеет нулевое
решение, и линейное приближение в окрестности нулевого решения есть экспоненциально устойчивая система
т
х(г) = Х^х(г).
]=о
Далее в этом сообщении мы будем, опираясь на квадратичные функционалы Ляпунова-Красовского, построенные для системы линейного приближения, оценивать область асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы.
Во втором пункте приводятся предварительные сведения, необходимые при построении квадратичных функционалов для линейных систем. В третьем пункте излагается теоретическое обоснование метода и конструктивный алгоритм проверки положительной определенности построенных функционалов. Четвертый пункт посвящен основному результату доклада, а именно, алгоритму приближения области асимптотической устойчивости. В пятом пункте иллюстрируются возможности предложенного алгоритма на примере оценки критических значений запаздывания для случая системы с одним сосредоточенным запаздыванием.
Обзор результатов для линейных систем
Рассмотрим проблему анализа устойчивости линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом вида
m
x(t) = £ AjX(t-hj), (1)
j=0
где xGRnAjGRnXn,j=0,... ,m - постоянные матрицы; 0 =h0<h<...<hm=h -постоянные запаздывания. Применение второго метода Ляпунова к исследованию этой проблемы предполагает, как известно, построение квадратичного функционала Ляпунова - Красовского, структура которого впервые предложена Н.Н. Красовским и Ю.М. Репиным в работах [1, 2]. Однако вопрос существования и единственности таких функционалов оставался открытым. В статье [3] было введено понятие матрицы Ляпунова и доказано, что, если система (1) экспоненциально устойчива, то существует единственный квадратичный функционал, который имеет вид
1700 = **<t)i/<0)jr(t) + 2x*(t) I^ U( —6 - hj)Ajx{t + в) de +
+fcx S™^ Л:4 Ct + (jr_°h/ U (в+hk-92- hj)AjX(t +
+e2-)de2)de1, (2)
и производная которого в силу системы (1) совпадает с заданной квадратичной формой
w (x(t)) = -x*(t) Wx(t). Здесь через xt обозначен сегмент {x(§)|^G[t-h,t]}, а U(т) - матрица Ляпунова, ассоциированная с симметрической матрицей W определение матрицы и способ ее вычисления приведены в статье [4]. Отметим, что необходимым и достаточным условием существования матрицы Ляпунова, а значит, и функционала (2), является так называемое условие Ляпунова — условие отсутствия у системы (1) двух собственных чисел, сумма которых равна нулю [5]. Это означает, в частности, существование функционала структуры (2) в случае экспоненциальной устойчивости системы (1).
Достаточные условия экспоненциальной устойчивости линейных стационарных систем, предполагающие анализ положительной определенности функционалов Ляпунова - Красовского, предложены в работе [6], однако именно анализ положительной определенности функционала (2) является одной из главных проблем при таком подходе. Более того, в работе [5] показано, что функционал (2) в случае экспоненциальной устойчивости системы (1) допускает лишь кубическую оценку снизу на множестве непрерывных функций. В статье [4] вводятся так называемые функционалы полного типа, производная которых в силу системы зависит, в том числе и от состояния системы в момент с запаздыванием, и такие функционалы допускают квадратичную оценку снизу, однако важной остается проблема конструктивного исследования их положительной определенности.
Предложенный нами в работе [7] конструктивный подход к исследованию экспоненциальной устойчивости системы (1) восходит к
исследованиям Б.С. Разумихина [8]. Идея этого подхода заключается в том, чтобы исследовать положительную определенность функционала (2) не на произвольных непрерывных функциях, а на более узком классе функций, задаваемом множеством
5 = : |[*<Г+фЦ < о(Е[-к,0]Ъ
что позволяет предложить конструктивный конечный алгоритм исследования экспоненциальной устойчивости исходной системы. Как показано в настоящей работе, этот подход может быть адаптирован и к исследованию неустойчивости, а также применен для нахождения критических значений запаздывания систем рассматриваемого класса.
Теоремы об устойчивости и описание метода
Предлагаемый метод исследования экспоненциальной устойчивости системы (1) основан на следующих необходимом и достаточном условиях экспоненциальной устойчивости, доказанных в работе [7].
Теорема 1. Пусть система (1) экспоненциально устойчива по Ляпунову. Тогда для любой положительно-определенной матрицы существует функционал такой, что
1.
(1)
2. Cуществует сх>0 такое, что V(хг)>с 1|х(г)||2 при х*е£. Теорема 2. Пусть существует функционал такой, что
1 ^(хг)
dt
=—х* (г) Wx(г), где матрица W положительно определена;
(1)
2. V(хг)>с 1|х(г)||2 при х*е£ при некотором с 1>0 . Тогда система (1) экспоненциально устойчива по Ляпунову. Опуская подробности, приведем здесь идею предлагаемого метода применительно к системе с одним запаздыванием вида
х(г )=Ах (г)+Вх (г— к) ,г >г 0, (3)
где А,ВеЯпХп - постоянные матрицы, к>0 . Построить конструктивный метод исследования устойчивости системы (3) позволяет замена множества £ в теоремах 1, 2 множеством
= {хс = ^ц <(или + жилист
оге [-/г,0], к = ОД,...}, при которой сформулированные теоремы остаются справедливыми.
Разобьем отрезок [г — к,г] на N частей одинаковой длины Д = к/N точками г=г — ] Д,]=о,Ы и приблизим вектор-функцию х{ е £
0 на каждом
из отрезков [г}-+1 ,г}-] вектором Ч](г, 0) состоящим из полиномов третьей степени переменной 0е[—Д, 0], коэффициенты которых определяются из
условий
Условия (4) гарантируют гладкость сплайна, состоящего из функций (¡, 0) а их количество определяет кубический порядок функций, используемых для приближения х(е£0. Подставляя такое приближение как функцию величин, стоящих в правых частях соотношений (4), в функционал (2) вместо х (г + 0) и оценивая его погрешность с помощью формулы Тейлора и неравенств, определяющих множество £ о, получим оценку снизу для функционала (2) в виде
> = ЩС*ЛЛГ,р) - ¡5(/1,Л/)||р||2,
5(!г,Ю> 0. (5)
Здесь вектор х размерности п (2N+1) представляет собой конкатенацию векторов х^ при увеличении г от 1 до N а каждый из векторов Х^ размерности 2N+1 может быть записан в виде
_ -(О
х^ = %1 а - ¡Л),} = 17лг, = ъ (С - ММ = оГлг, I = 1," В оценке (5) также принято обозначение р = х^), а V0(х,к^,р) представляет собой квадратичную форму относительно компонент векторов х и р. Формулы, определяющие квадратичную форму ^ (х,к^,р) в скалярном случае, приведены в работе [7]. Введем также обозначение
= }-ШТТ.
Исследование положительной определенности функционала (2), согласно теореме 2, может быть сведено к поиску такого значения N, при котором положителен минимум квадратичной формы ^(х,к^,р), найденный на множестве
$„ = и
сИт{х) = п(2ЛГ+1),||*)|| < \\p\lj = 1,ЛП
й (.ми + надш = мг ]■
Отметим, что компоненты вектора х (/) были выделены в оценке (5) в отдельный вектор р для того, чтобы добиться линейности ограничений множества £N. Не умаляя общности, в указанной задаче минимизации можно положить || р|| = 1 поэтому, окончательно, достаточным условием экспоненциальной устойчивости системы (3) является существование такого значения при котором функция
г(/1,Л/) — щт г3 (х, ¡г, Л/, р) = шт (х,:к,ЛГ, р) Ю
НрН-1 |1?11-1
положительна при фиксированных параметрах А,В и h системы.
В работе [9] показана сходимость описанного метода в следующем смысле. Фиксируем матрицы А и В системы (3) и предположим, что (к1,к2)
— некоторый интервал ее экспоненциальной устойчивости, причем h ^
— критические значения запаздывания. Пусть 0<^<к2<+да. Выберем некоторое значение ке(и фиксируем N такое, что г(к^)>0 для любого N>N . При N>N определим числа
/1.;/= вир к, Л^'яй т|; к.
В силу непрерывности функции г (к^) в случае экспоненциальной устойчивости системы (3) при заданном N мы получаем интервал (к^, к^) на котором описанный метод гарантирует экспоненциальную устойчивость системы (3): г(к^) при ке(к1). Ясно, что (к^,к|2))с(к1,к2). Показано [8], что последовательности {к^^и {к^^=N сходятся к критическим значениям запаздывания:
Нш й.^ = к1г 11ш к'^'=к2.
IV—» + ™ Л'-»+со
Доказательство сходимости метода опирается на тот факт, что
%<'*ЛЛГ(р)-»^М
Л/ -»+00
на функциях хге£0п{ху|х(г)=р,|| р|| = 1} откуда следует, что функция б(кN) , содержащая члены, отвечающие за оценку погрешности рассмотренного приближения, стремится к нулю при N^ + . Этот факт объясняет, в частности, существование значения N . Сходимость метода играет важную роль в его применении, поскольку она означает, что с увеличением N гарантируемый методом интервал экспоненциальной устойчивости системы (3) «изнутри» стремится к точному интервалу ее экспоненциальной устойчивости.
Отметим, что аналогичным образом может быть обоснован конструктивный метод исследования неустойчивости системы (1), опирающийся на теоремы о неустойчивости, сформулированные в работе [7]. Как следует из этих теорем, достаточным условием неустойчивости системы (1) является существование такого значения N , что 2{к,Ю шш + д(Н, А/) < 0.
ЛГЕ5 у
11рН=1
Аналогами
чисел И^ и при анализе неуйсточивости системы (3) будут, таким образом, числа
= эир к, К^' = к,
г (Ь, АО а О _
где к - произвольная точка промежутка неустойчивости. Значения к(у' и к(2 определены при N>N, причем число NN таково, что г(кN)<0 для любого N>N.
Оценка области асимптотической устойчивости
Снова рассмотрим систему
У (г )=I (У (г) ,у (г—к 1),... ,у (г—кт)), (6) линейное приближение которой в окрестности нулевого решения описывается экспоненциально устойчивой системой (1). Производную функционала V(у(), определенного равенством (2), в силу системы (6) представим в виде
" гге о
+ Г/( Г? I 0)110 I Г/(0>у(О
; VI и,
■ и{уаху(с- - *,-)]■
Введем функцию ¿{с)=тах3ч>{у1) > где
= [у£ : Ну а + ¿7) II < Ну (ОН = с, е [ -л, о ]}.
Функция d(с) определена и непрерывна при е>0, d(0)=0 и отрицательна в некоторой окрестности нуля. Поэтому существует положительное число е<да такое, что при 0 <е<е справедливо неравенство d(е )<0.
Определение. Областью асимптотической устойчивости нулевого решения системы (6) будем называть множество Ас{ феС ([-к ,0 ])} таких векторных функций, для которых выполнено предельное соотношение у (г, ф)^ 0 при г .
Теорема 3. Множество £а ПС ([-к, 0 ]) содержится в области асимптотической устойчивости А , если для некоторого положительного числа с<с выполняется неравенство
пшх,)1Ла I< тт^^Ор) .
Замечание. Теорема 3 остается справедливой, если множество
заменить множеством
4 = Ы ■■ Ну(£ + ОН < II у (О II = с,\\у(г + а) II < к, а Е [-Я,0]}, в котором
5. Поиск критических значений запаздывания.
Рассмотрим одно важное применение изложенного метода, которое во многом опирается на его сходимость. Фиксируем матрицы и системы (3), и предположим, что (к ^) - интервал ее экспоненциальной устойчивости, а (к 2, к3) - интервал ее неустойчивости (или наоборот), критические значения неизвестны. Описанный выше метод исследования экспоненциальной устойчивости и неустойчивости системы (3) позволяет предложить способ численного поиска критического значения к2.
Пусть известны значения ке(к^к2), ке(к2к3) и найдены соответствующие им значения N и N такие, что
г(й,Л/)>0, Щ < 0. (7)
Величины к могут быть найдены перебором значений N удовлетворяющих соответственно одному из условий (7), или каким-то другим способом. Зададим некоторую точность е>0 и, последовательно
I" (2)]
увеличивая N будем строить члены последовательностей {к/^^ и {ку^^ с точностью е (до сотых, тысячных и т.д.) так, чтобы выполнялись условия
z(h, N)> 0, z (ji, Щ < 0. (7)
Ha -M шаге будем проверять условие
~ ™axi=£- щ
Если при некотором k это условие выполняется, то критическое значение h2 найдено с точностью £ между максимумом и минимумом в нем. Поскольку метод сходится, такое k обязательно существует, если только рассматриваемые интервалы экспоненциальной устойчивости и неустойчивости действительно являются соседними. Значит, если при достаточно большом количестве шагов найти значение k при котором выполняется (8), не удалось, можно попробовать применить описанную выше процедуру для других начальных значений h и h. Численные эксперименты подтверждают работоспособность такого метода поиска критических значений запаздывания.
Литература
1. Красовский Н.Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени // Прикл. математика и механика, 1962. Т. 26, вып. 1. С. 39-51.
2. Репин Ю.М. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с запаздыванием // Прикл. математика и механика, 1965. Т. 29. С. 564-566.
3. Kharitonov V.L., Zhabko A.P. Lyapunov-Krasovskii approach to the robust stability analysis of time-delay system. / / IEEE Trans., Automatica, vol 39, 2003, 15—20.
4. Харитонов В.Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2005. Вып. 1-2. С. 110-117, 199-207.
5. Huang W. Generalization of Liapunov's theorem in a linear delay systems // J. of Mathematical Analysis and Applications. 1989. Vol. 142. P. 83-94.
6. Красовский Н.Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикл. математика и механика, 1956. Т. 20. С. 315-327.
7. Жабко А.П., Медведева И.В. Алгебраический подход к анализу устойчивости дифференциально-разностных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2011. Вып. 1. С. 9-20.
8. Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием // Прикл. математика и механика, 1956. Т. 20, вып. 4. С. 500-512.
9. Медведева И.В. О сходимости одного метода анализа устойчивости систем с запаздыванием // Процессы управления и устойчивость: Труды 43-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. ун-та, 2012. С. 26-31.
