Алгебраический подход к анализу устойчивости дифференциально-разностных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2011. Вып. 1

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 517.929.4

А. П. Жабко, И. В. Медведева

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ УСТОЙЧИВОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ

1. Введение. В настоящей работе предлагается новый подход к анализу экспоненциальной устойчивости линейных дифференциально-разностных систем вида

m

x(t) = Yl Ajx(t - hj )> (1)

j=o

где x € Rn; Aj € Rnxn, j = 0,1,m; 0 = ho < hi < ... < hm = h.

Первые результаты по применению второго метода Ляпунова для исследования устойчивости систем с запаздывающим аргументом приведены в статье [1]. В ней предложена структура квадратичного функционала, используемого для исследования устойчивости, но при этом остаются открытыми вопросы существования функционала такой структуры и проверки его положительной определенности. В статье [2] сформулированы достаточные условия экспоненциальной устойчивости линейных дифференциально-разностных систем, применение которых, однако, подразумевает построение функционала, допускающего квадратичную оценку снизу. Проверка же этой оценки для квадратичных функционалов Ляпунова остается нерешенной проблемой. Более того, в работе [3] в случае экспоненциальной устойчивости линейных систем показано существование функционалов с производной, заданной в виде отрицательноопределенной квадратичной формы состояния системы, допускающих, однако, лишь кубическую оценку снизу на классе непрерывных начальных функций. В статье [4] в случае экспоненциальной устойчивости для линейных систем вида (1) приведены необходимые и достаточные условия существования квадратичных функционалов, производная которых совпадает с наперед заданным квадратичным функционалом. Такие функционалы называются функционалами полного типа и допускают квадратичную оценку снизу. Но даже для функционалов полного типа построение конечного алгоритма проверки их положительной определенности по-прежнему остается нерешенной проблемой.

Предлагаемый нами подход позволяет построить конечный алгоритм проверки положительной определенности функционала, используемого для исследования

Жабко Алексей Петрович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории управления факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 70. Научные направления: теория управления, робастная устойчивость, дифференциально-разностные уравнения. E-mail: [email protected].

Медведева Ирина Васильевна — студентка 5-го курса факультета прикладной математики— процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 1. Научные направления: устойчивость, дифференциально-разностные уравнения. E-mail: [email protected].

© А. П. Жабко, И. В. Медведева, 2011

экспоненциальной устойчивости системы (1). Идеология этого подхода заимствована из работы [5]. Данная статья является развитием и продолжением исследований, начатых в [6].

Рассмотрим линейную стационарную систему с запаздывающим аргументом вида (1). Будем считать, что іо = 0 - начальный момент времени, ф(в) Є С ([-к, 0]) -начальная функция. Введем множество

Бы = {хг : \\х(Ь + а)\| < (1 + М)||х(і)\| V а Є [—Н, 0]}.

В соответствии с [4] зададим квадратичную форму ім(х(і)) = х*(Ь)Шх(Ь) и построим квадратичный функционал

110 Л

у0(хг) = х*(Ь)и (0)х(і)+2х* (і)^^ / и (—в — )Л^ х(Ь + в)3,в +

о о

т т „ /с \

х* (і + в1)Л*к^ и(в\ + Нк — в2 — к )Л^х(і + в2)ІЇ,в2^ лв\

(2)

к=1з=1-нк

такой, что его производная в силу системы (1) совпадает с -,ш(х(г)). Здесь и(т) -матрица Ляпунова, ассоциированная с матрицей Ш, которая, согласно [4], может быть построена как решение системы

т

и(т) = ^2 и(т - кз)Щ, т ^0;

3=0

и(-т) = и*(т), т > 0;

т

У^}и (-^з )Аз + Щ и * (-^з)] = -^.

3=0

В п. 2 будет показано, что для проверки положительной определенности квадратичного функционала УоХ) достаточно проверить его положительную определенность на множестве Бм.

2. Основные результаты. Были получены следующие основные результаты.

Теорема 1. Пусть система (1) экспоненциально устойчива по Ляпунову. Тогда для любой положительно-определенной матрицы Wnxn существует функционал у(хг) такой, что ё,у(х1) сМ

\ч

2) для любого М ^ 0 существует с1 > 0 такое, что у(хг) ^ С1||х(г)||2 при хг € Бм.

Замечание. Предполагается, что начальная функция ф(в) € Бм.

Доказательство. Выберем в качестве функционала у(х^) функционал у0(хг), определяемый формулой (2). Тогда, согласно [4], первое утверждение теоремы верно по построению функционала. Пусть а = ||ф||л,. Получим, что для любого г* > 0 справедлива оценка

||х(г)|| < N (г) < N (г*), г < г*.

1)

= —х* (Ь)Шх(і)\

(1)

о

Здесь N (і) = а.К1вкг, К = ^ ||А3- У, К1 = ІАз\\h-j, при этом N (і) > а для любого

3=0 j=l

і ^ 0. Значит,

||х(і)|| < KN(і) < KN(і*), і < і*.

Выберем Ь* из условия і

КК1ЄКІ* = —,

2Ь

тт ____ п?лтттчтттіи Г") І I / . г/ і \ і ^ ^ Ф^\__)11 ^ -іф

а общее значение величин К К іе и — обозначим _0. Положим (5 = -— < і*.

2і* 2аВ

Поскольку ||ж(£)—ж(0)|| ^ аВЬ при £ ^ Ь*, то \\х(Ь)\\^ \\ф(<д)\\—аВ5 =—-—при £ ^ 6. Тогда, в силу экспоненциальной устойчивости системы (1), получим, что

СЮ б

НФ) = /г/*•миад* >

0 0

б

>Хш-1пт I ||х(5)||2ЙО Ат1п(№)Н^ЬЛт.(№)11.

0

1 а

Поскольку ||</>(0)|| > пж\\Ф(а)\\ Усг 6 °], то \\ф(0)\\ >

1)

1 + М"гк 1 ’ ” 1 " 1 + М

Таким образом, у(ф) > ^^+М) а значит’

ъ(хг) > сі \\х(Ь)\\2,

Ашіп(^) _ п ^

где с і = ^ ^ ^ > 0. Теорема доказана.

Теорема 2 является утверждением, обратным к теореме 1.

Теорема 2. Пусть существует функционал у(хг) такой, что с1^(х^)

= —где матрица Ш положительно определена; ш (і)

2) у(хг) ^ сі||х(і)||2 при хг Є Бм при некоторых М ^ 0, с1 > 0.

Тогда система (1) экспоненциально устойчива по Ляпунову.

Доказательство. Предположим противное. Пусть существует последовательность {Ьк}^°=1,Ьк — Ьк-1 ^ Н,ік -> такая, что \\х(Ьи)|| ^ в > 0. Рассмотрим

к—

два случая.

1. Пусть решение х(Ь) равномерно ограничено по і, т. е.

3 С> 0: ||х(і)|| < О У і > 0.

т

Очевидно, что ||:і:(і) | < КО, где К = ^ ||А3- ||.

3=0

Пусть і Є [ ік ,ік + т ], т > 0. Проинтегрируем систему (1) на отрезке [ік,і]:

р т

х(і) — х(ік) = / Азх(в — Нз)3.

^ А___П

3 х(в — Нз )3в,

гк 3=0

а значит, ||x(t) — x(tk)|| ^ KG(t — tk) ^ KGt. Поэтому

||x(t)|| > ||x(tfc)|| - KGt > ^ при r = f e [tk,tk + r\.

Тогда

^ +т „

Г в2

x*(s)Wx(s)ds ^ Am;n(T/F)—г для любого к,

tk

следовательно,

t n(t) tk+т в2

x* (s)Wx(s)ds ^ x* (s)Wx(s)ds ^ Am;n(T¥)—тп(і) ---------> +oo,

*/\TX7’/\,J \ / * /

' ‘ ґі •- » ■ ™ ' .s j уі/ :/;i .s u/,.s ^ і уі/ j ^

о

где n(t) - количество промежутков [tk, tk +т], вошедших в промежуток [0, t]; n(t)

+го. Известно, что для функционала справедлива оценка \v(xt)| ^ nl|xt||^ ^ П&2, где П = const, т. е. v(xt) ^ —nG2. Отсюда, в силу первого условия теоремы,

t

у(ф) = v(xt ) + j X* (s)Wx(s)ds > -Г] ■ G2 +Атіп(И^) ^-rn(t) j-—> +00.

const

Полученное противоречие доказывает экспоненциальную устойчивость системы (1) в первом случае. Заметим, что второе условие теоремы не было использовано при доказательстве первого случая.

2. Предположим теперь, что x(t) не является равномерно ограниченным по t. Это

значит, что существует последовательность {tk}™=0,tk —tk-\ ^ h,tk -------------------> +го, такая,

к—

что

\\x(tk)\| = max ||x(t)\| ---------> +ю.

t^tk k—+x

Но тогда при M > 0 имеем \\x(tk + а)\| < \\x(tk)|| < (1 + M)||x(fk)||, а е [—h, 0]. Поэтому

ttk

/о

v^) = v(xtk) + I x* (s)Wx(s)ds > cilx(tk )||2 ————> +ro.

Полученное противоречие доказывает теорему.

Приведенные утверждения открывают возможность конструктивного исследования экспоненциальной устойчивости системы (1), что будет проиллюстрировано на примерах в п. 3.

Рассмотрим теперь функционал

о

110 110л

j(xt) = x* (t)Wox(t) + Ex'і* — hj)Wxi* — hj) + E / x* (t + e)Wm+jx(t + e)de. (3)

jj

j=1 j=1-hj

Теоремы 3, 4 являются аналогами теорем 1, 2 в том случае, когда производная функционала у(хг) задана в виде (3).

Теорема 3. Пусть система (1) экспоненциально устойчива по Ляпунову. Тогда для любых положительно-определенных матриц W0,W1,...,W2m существует функционал у(хг) такой, что

сЦж4) / ^

1) —г— = -и>(хг);

аъ (!)

2) для любого М ^ 0 существует с1 > 0 такое, что у(хг) ^ С1||х(Ъ)||2 при хг € Бм. Согласно [4], функционал у(х^), о котором идет речь в теореме 3, имеет вид

т о

у(хг) = Уо(хг) + Е/, х*(Ъ + в)( Wj + (Нз + 9^т+э) х(Ъ + з=1 -к^

где и(т) - матрица Ляпунова, ассоциированная с матрицей W = W0 + 5^т=1(^з +

Нз Wm+j^J, и называется функционалом полного типа.

Теорема 4. Пусть существует функционал у(хг) такой, что

= -т(х^, где матрицы W0, ^Ш1,.., W2m положительно определены;

сЦж4)

1)

аъ (1)

2) у(хг) ^ С1||х(Ъ)||2 при хг € Бм при некоторых М ^ 0, с1 > 0.

Тогда система (1) экспоненциально устойчива по Ляпунову.

Теоремы 3 и 4 справедливы, поскольку при положительно-определенных матрицах Wо,Wl,...,W2m имеет место неравенство

,ш(х^ ^ х* (Ъ)Шох(Ъ),

и их доказательства ничем не отличаются от доказательств теорем 1 и 2 при подстановке в последние Wо вместо W.

Сформулируем теперь две теоремы о неустойчивости.

Теорема 5. Пусть система (1) не имеет таких собственных чисел X и /, что X + х = 0, и имеет собственное число X такое, что ИвА > 0. Тогда для любой положительно-определенной матрицы Wnxn существует функционал у(хг) такой, что

а,у(х^) сМ

2) для любого М ^ 0 существует с1 > 0 такое, что для любого а ^ 0

шт ^ —с1а2.

хь^Бм || х(Ь) || = а

Доказательство. Известно [3], что условие отсутствия собственных чисел, сумма которых равна нулю, для системы (1) является необходимым и достаточным условием существования матрицы Ляпунова при любом выборе симметрической матрицы W. Потому для функционала у(хг), определяемого формулой (2), первое условие теоремы выполняется по построению. Покажем выполнение второго условия для этого функционала.

Пусть А = а > 0 - вещественный корень характеристического уравнения системы (1)

т

<\еЬ(ХЕ -^2 Азв-^) =0.

з=о

= —x*(Ъ)Wx(Ъ);

(1)

Ясно, что в данном случае система (1) имеет решение X(t) = eatc, где с - ненулевой постоянный вектор. Рассмотрим равенство из первого условия теоремы на решении X(t) и проинтегрируем его по отрезку [0, T], где T = const > 0:

т

v(XT) — v(x)=—!x mxm- (4)

о

С одной стороны, функционал (2) является квадратичным по своему аргументу. Поэтому, учитывая вид решения X(t), получим, что v(Xt) = e2aTv(Xo). С другой стороны,

т т

J х* (t)Wx(t)dt = J e2atdt c*Wс = — (е2аТ — 1) c*Wс.

оо

Таким образом, из равенства (4) следует, что

v&o) = ~^*Wc < -^|Ш||с||2 = С!||5(0)||2,

где с\ = mi|^—- = const > 0. А значит, поскольку xt G Sm для любого М ^ 0 как 2а

строго возрастающая функция, при ||X(t)|| = a ^ 0 получим

min v(Xt) ^ —cia2, xt^Su || x(t) || =a

что доказывает второе условие теоремы.

Пусть теперь A = а + ift, в = 0 - комплексный корень характеристического уравнения, а > 0. В этом случае система (1) имеет решение X(t) = eat cos(@t)c = eat cos(|e|t)c,

2n

где с - ненулевой постоянный вектор. Выберем Т = — и проинтегрируем равенство

1в1

из первого условия, как и в случае вещественного А. По выбору числа T по-прежнему будем иметь v(Xt) = e2aTv(Xo), поэтому

т

„2at пп„2г

(e2aT — l)v(X0) = — j e2at cos2 detdtc* Wc,

а значит, v(X0) ^ — ciHX^H2, т. е. поскольку X0 Є SM,

min v(xt) ^ v(Xt) ^ —c1a2 xt^Su

У x(t) У = a

для любого a ^ О, где

Amin(W) fT e2at ^de^dt Ci =---------(e2aT _ 1}--------=const > °-

Теорема доказана.

Теорема 6. Пусть существует непрерывный на функциях хг Є С(|і — Н,і\) функционал у(хг) такой, что

dv(xt)

dt

= —x*(t)Wx(t), где матрица W положительно определена;

(і)

2) для любого а ^ О имеет место неравенство min v(xt) ^ —c1a2 при некоторых

xt^Su

У x(t) У =a

м > О, c1 > О.

Тогда система (1) неустойчива по Ляпунову.

Доказательство.В силу непрерывности функционала v(xt) и выполнения

для любого c > О свойства v(cxt) = c2v(xt), справедлива оценка v(xt) ^ A||xt||h, где

А = max \v(xt)\ > О.

У xt У h = 1

Выберем начальную функцию Ф(0), удовлетворяющую второму условию теоремы,

ci

т. е. такую, что у(ф) ^ —сі||^>(0)||2 ^ ~ м Тогда для функционала v(xt), рас-

смотренного на решении, соответствующем выбранной начальной функции, получим, что

t

v(xt(4>)) = v(4>) - J x*(s, Ф) Wx(s, ф)ds < ^м\\ф\\1- (5)

0

Поэтому

Cl ^\v(xt)\ ^ \\\хг(ф)\\1,

1 + M

а значит,

\\хМ)\\н > ух(Г+м)^^ = /3' ^

Покажем неустойчивость решения системы (1) с выбранной начальной функцией, т. е. существование последовательности {и}°=1, и -► +ж такой, что \\х(1г)\| ->

г—г—

+ж. Предположим противное: пусть существует такое О > 0, что ||х(£)\| ^ О при и ^ 0.

т

Тогда ||;х(и)\ < КО, где К = ^ \\А^||. Из условия (6) следует существование после-

3 = 0

довательности {Ьк}!1°=1, ик — ^-1 ^ Ь, -> +ж такой, что \х(Ьк)\| > в > 0.

к—

Тогда, аналогично тому, как это делалось в доказательстве теоремы 2, выбирая т =

■ Г (3

тш| ; /г|, получим, что

tk + Т 0

[ в2

х*(s)Wx(s)ds ^ Ат;п(И/)—т для любого к,

tk

а значит,

t

t в2

[ х*(з)Шх(з)г1з ^ Ат1П(Т¥)^—тп(1) -------> +ос,

] 4 г—+ж

0

где п(и) - количество промежутков [и к, и к +т ], вошедших в промежуток [0, 1\; п() ->

ь—

+ж. Поэтому, согласно формуле (5), у(хь) -----------> —ж, что противоречит предположе-

ь—

нию о равномерной ограниченности решения х(Ь), поскольку в этом случае \у(хь) ^ М\хьПн ^ АО2. Полученное противоречие доказывает теорему.

3. Примеры. Для иллюстрации применения предложенных результатов рассмотрим уравнение

x(t) = ax(t)+bx(t — h), a,b = const, h> 0. (7)

Будем исследовать экспоненциальную устойчивость этого уравнения, используя результаты теорем 2 и 4, т. е. с помощью оценки различных функционалов на множестве кривых xt G Sm . Ясно, что для решений на множестве Sm справедливы оценки

\x(t + a)\ < (\a\ + |b|)(1 + M)|x(t)|, \X(t + a)\ < (\a\ + |b|)2(1 + M)|x(t)|, a G [—h, 0],

а потому будем оценивать соответствующие функционалы на множестве кривых, удовлетворяющих также этим условиям.

Применение результата теоремы 2. Выберем

w(x(t)) = wx2(t), w > 0.

Тогда функционал, удовлетворяющий первому условию теоремы 2 для рассматриваемого уравнения, имеет вид

0

vo(xt) = u(0)x2 (t)+2bx(t) J u(h + 0)x(t + 0)dB +

— h

0 0

+ b2 j j x(t + 61)u(62 — 01)x(t + d2)dd1dd2, (8)

—h—h

где и(т) - матрица Ляпунова, ассоциированная с w. Согласно результату теоремы 2, для исследования экспоненциальной устойчивости уравнения (7) необходимо получить оценку снизу для функционала vo(xt) на множестве кривых xt G Sm , где положим

h

М = 0. Для этого разобьем отрезок [t — h,t] на N частей одинаковой длины Д = — точками

t — h = tN < tN—1 < ... < to = t,

где tj = t — jA, и приблизим решение на данном отрезке кусочно-линейной функцией следующего вида:

/ \ О

= x(tj) + [x(tj] — x(tj+i)jв G [—A,0], j = 0,N—l.

Тогда

ж(^- + в) = в) + в), в £ [—Д, 0], j = 0,N—^,

здесь Пз (и, в) - погрешность такого приближения, оценка которой имеет вид

\г)э(г, 0)| < й\х{€)\{в -6А), j = 0,N-^, (I = ~(\а\ + \Ъ\) . (9)

Подставляя х(Ь + в) в функционал (8) и используя (9), получим следующую оценку для функционала (8):

уо

N 0

(хь) ^ х0^м(0) — 2\Ь\/ \м(в + уД)\(в2 — sA)ds —

о=1-л

N N

0 0

— 2Ь2d ЕЕ / / (1 + ^-)(«2 “ «2Д)Кв2 - «1 + и ~ k)A)\ds2ds1 + к=1 з^-л-л

N N

0 0

+ 2Ь^ ЕЕ / / ^(52 - 52А)|^(52 - 51 + - /?)А) 1^52^51 -

к=1 3=^Л-Л

N N

0 0

— ь^2ЕЕ/ / (®2 — в1Д)(в2 — ®2Д)\м(в2 — ®1 + ( — k)Д)\ds2ds^ +

к=1 з=1-л-л

N 0 в N 0 £

+ хохн-у2Ъ и(в + jA)(^ + — жо£лг-,;+12 Ь u(s + jA) — ds +

3= -л з=1 -л

NN 00

+ЕЕ ждт-йЖдг-^'Ь2 (1 + ^-)(1 + ^-)и(в2 - в! + (? - k)A)ds2ds1 -

I /(1 + |)(1 + |)м1

к=13=1 -л-л

NN 00

— хК^к+1хК^^2Ь2 I I —(1 + -д-)м(в2 - «1 + и ~ k)A)ds2ds1 +

к = 1 3=1

у у д^ 1 д

-л-л

0 0

2 [ [ «1«2

N N

+ ЕЕ xN - к+1 xN—3+1Ь

к=13=1 -л-л

где последнее выражение обозначим У1(х),

2

■и

/х0\ ( х(Ьо )\ ( х(и) N

х1 = х(Ь1) = х(и — Д)

\XN/ \x(tN)/ ух(и — N Д))

Таким образом, оценкой снизу для функционала (8) является квадратичная форма относительно вектора X размерности N +1), коэффициенты которой полностью определяются параметрами а,Ь,Н уравнения (7). Положительная определенность полученной квадратичной формы, согласно теореме 2, гарантирует экспоненциальную устойчивость исходного уравнения.

Применение результата теоремы 4. Положим теперь

о

т(хь) = w0x2(t) + w1x2(t — h) + w2J х2(Ь + в)dв, > 0, > 0, > 0.

Тогда функционал, удовлетворяющий первому условию теоремы 4 для рассматриваемого уравнения, имеет вид

у(хг) = Уо(хг] + ^ х2 (г + в)('1 + (к + в)'2^в, (10)

-к

где и(т) ассоциирована уже с w = wo + '1 + к'2. Оценим добавленное слагаемое, приближая, как и ранее, х(г + в) кусочно-линейной функцией:

о

J х2(г + в)('! + (н + в)'2)dв >

-к

N 0 в

(1+ д)2(\¥1 + (6>+,?'Д)\¥2)с^ +

3=1 -Д

Н 0 в2

+ ^2£2ы-з+1 -^(w1 + (в + jA)w2)dв-

^ -Д

^ Г в в

— 2хм-]Хы-]+\. (1 + д) д (№1 + (0 + jA)^W2)dв —

з=1 -Д

N 0

^^2 J (в2 — вД)2('1 + (в + ]A)w2)dв —

— хо

222 1=1 -Д

N 0 в

/в

(1 + д ){02 — 0Д)(\¥1 + (в + ^Д)\¥2 )dв +

^ = 1 -Д

N 0

^ Г в

+ ж2^2й —(в2-вA)(w1 + (в + jA)w2)dв,

з=1 -Д

где последнее выражение обозначим «2(х).

Таким образом, в рассмотренном случае оценкой снизу для функционала у(х^) также является квадратичная форма относительно вектора х:

ъ(хг) > У1('Х) + У2(х) = Уз(х),

положительная определенность которой также гарантирует экспоненциальную устойчивость исходного уравнения.

Численные эксперименты. Сравнение результатов. Итак, будем исследовать экспоненциальную устойчивость уравнений вида (7) предложенным методом: фиксируем параметры а и Ь и, изменяя N, будем находить такие значения запаздывания к, для которых квадратичная форма «1 (х) или «з(х) соответственно положительно определена. В табл. 1 для некоторых конкретных примеров заведомо устойчивых уравнений приведены такие значения запаздывания ко в зависимости от N, для которых

0

при 0 ^ к ^ Но можно гарантировать положительную определенность соответствующей квадратичной формы - оценки для функционала, а значит, гарантировать и экспоненциальную устойчивость самих уравнений. Отметим, что при небольших значениях N предложенный метод эффективен лишь при малых запаздываниях. Однако в обоих случаях с ростом N увеличиваются и соответствующие значения Но: при более точном приближении решения растет эффективность предложенного алгоритма. Так, для уравнения с параметрами а = 0, Ь = — 1 было отмечено стремление получаемых значений запаздывания с ростом N к точной границе устойчивости Но = п/2 « 1.5708: при ■о = 0.01, wl = 10, ■2 = 0.01 уже для N = 100 значение запаздывания, при котором используемый метод гарантирует устойчивость рассматриваемого уравнения, приблизилось к 1.570.

Таблица 1. Значения Н0 для различных N

Пример Значения а, Ь,М «го = 1, = 0, «го = 1, = 1, Точная граница

У/2 = 0 УІ2 = 1 устойчивости

а = Ь = N = 1 0.423 0.430

1 -1 N = 2 0.478 0.710 +оо

N = 3 0.588 0.957

а = Ь = N = 1 0.482 0.521

2 -1 N = 2 0.514 0.857 Примерно 2.417

N = 3 0.623 1.112

1, -2 N = 1 0.148 0.228

3 а = Ь = N = 2 0.161 0.327 Примерно 0.604

N = 3 0.192 0.404

-1.5, 1 N - 1 0.185 0.468

4 а = Ь = N = 2 0.271 0.641 +оо

N = 3 0.317 0.782

Кроме того, видно, что квадратичная форма, полученная в результате оценки функционала у(хг), более отделена от нуля, чем квадратичная форма, определенная при оценке функционала Уо(х^). Значит, при использовании теоремы 4 алгоритм дает положительный результат при больших, чем при применении теоремы 2, значениях запаздывания, что подтверждается численными экспериментами.

Рассмотрим теперь обратную задачу. Фиксируем параметры а,Ь,Н и будем определять для них наименьшее значение N, при котором можно гарантировать экспоненциальную устойчивость рассматриваемого уравнения. В табл. 2 приведены найденные таким образом значения N для различных к при фиксированных а и Ь. При этом значение N = N1 соответствует случаю оценки функционала Уо(х^), а N = N2 - случаю оценки функционала у(х^).

Таблица 2. Значения N1 и N для различных Н

Параметр а = — 1, Ь = — 1 а = -0.5, Ь = -1

Н 0.9 1 1.5 3 0.9 1 1.2 2.3

9 12 38 - 9 13 23 -

N2 3 4 7 29 3 3 4 42

Таким образом, численные эксперименты показывают, что при использовании функционалов полного типа вывод об экспоненциальной устойчивости рассматриваемых уравнений может быть сделан при меньших N и при больших значениях запаздываний,

чем при использовании функционалов vo(xt), что объясняется большей отделенностью функционалов полного типа от нуля.

4. Заключение. В работе приведены необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости и неустойчивости линейных дифференциально-разностных систем с постоянными коэффициентами, основанные на применении квадратичных функционалов Ляпунова. Примеры подтверждают возможность построения конструктивного конечномерного алгоритма исследования экспоненциальной устойчивости таких систем на основе доказанных результатов.

Литература

1. Красовский Н. Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени // Прикл. математика и механика. 1962. Т. 26, вып. 1. С. 39—51.

2. Красовский Н. Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикл. математика и механика. 1956. Т. 20. С. 315—327.

3. Huang W. Generalization of Liapunov’s theorem in a linear delay systems // J. of Mathematical Analysis and Applications. 1989. Vol. 142. P. 83—94.

4. Харитонов В. Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 1—2. С. 110—117, 199-207.

5. Разумихин Б. С. Об устойчивости систем с запаздыванием // Прикл. математика и механика. 1956. Т. 20, вып. 4. С. 500-512.

6. Медведева И. В. Обращение прямого метода Ляпунова при анализе устойчивости систем с запаздыванием // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й Междунар. науч. конференции аспирантов и студентов / под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2010. С. 33-38.

Статья принята к печати 14 октября 2010 г.