Метод декомпозиции в элементарной мамематике Текст научной статьи по специальности «Математика»

Такое представление многочлена возможно тогда и только тогда, когда уравнение (6) будет иметь .0 = 0, если рассматривать его как квадратное относительно / = х2. Так как

£) = 172 -4.16—= 172 -п, то из уравнения \Т - п = {) находим искомое значение параметра 64

р = \Т.

Ответ: 289.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дорофеев Г.М. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики // Математика в школе. 1980. № 5. С. 12-21.

2. Дорофеев Г.М. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики // Математика в школе. 1980. № 6. С. 24-30.

3. Ляхова Н.Е. Об одном подходе к изложению темы «Производная»: сб. 12-й межд. науч.-тех. конф. «Математические модели физических процессов». Таганрог 14-15 сент. 2007.

4. Ляхова Н.Е. Касание плоских кривых // Вестник ТГПИ. № 1. Физико-математические и естественные науки. Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та. 2008.

А.Ф. Ольховой, И.Н. Боровков МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАМЕМАТИКЕ

Будем рассматривать уравнения вида / g X = f Н X и неравенства вида

§ X — f Н X V 0 . Знак V означает сравнение с нулём. При определенных условиях,

наложенных на функции/, g, к, решения этих уравнений и неравенств могут быть получены достаточно просто.

1. Метод декомпозиции для уравнений Теорема 1. Пусть / И 3 \/и £ Г) и строго монотонна в области МсО, где Г) -область

определения функции, а М — область её монотонности. Тогда уравнение (1)

м

f g X = f И ^ <^g X =И X (2).

Доказательство. Необходимость. Пусть для определенности f и монотонно возрастает \/и Е. М и пусть g Х0 = И х0 . Тогда / g Х0 =/ Й !„ .

Достаточность. Пусть f g Х0 = / /? Х() , но g Х() Ф И Х() . Тогда, если g Х0 > И Х0 , то и / g Х0 > / Н Х0 , а если g Х0 <И Х0 , то и

/ g х0 </ к Х0 , что противоречит условию / g Х0 — / /? Х() . Очевидны следствия этой теоремы:

Следствие 1. Пусть / И Е I). Тогда все корни уравнения (2) являются корнями

уравнения (1) на Б.

Обратное, вообще говоря, неверно. То есть, если / и не является монотонной, то может произойти потеря корней.

Следствие 2. Если / И , g И , И И — полиномы, то полином § X — f Н X

делится на полином g X — И X .

Рассмотрим несколько примеров.

2 2 2 2 Пример!, х -3 +Зх-3-Зх-2-х-2 =0.

Перепишем уравнение:

.2 , „ „ „2

х2-3 + Зх2-3 = х-22 + 3 х-2

т.е.

/и = и" + Зи, g X = X" — 3, И X =Х — 2, / II немонотонна. Разделим

2 2 х2 -3 +3 х2-3 -3 х-2 - 1-2 =х4 -4х2 + х + 2 на

g X -И X -х2 -Х — \. Получим х2 +Х-2. Теперь

можно записать:

м

х -3 +3 х -3 -3 х-2 - х-2 =0о

х2 +х-2 = 0

х2 - л:-1 = 0

х = <

-2,1.

1 —л/5 1 + 75

2 ? ^ Ю 22

Пример 2. X +Ах~3 + X +Ах~3 = Х + \ + Х+\

Здесь функция f Ы = 2./'" + и немонотонна, но деление, очевидно, не поможет. По-

2 о

ложим g X = X + 4х — 3 , /г I = 1 + 1 , тогда / II = т/ + II , т.е. функция / монотонна и исходное уравнение равносильно \ZxeR уравнению:

х2 + 4х-3" = Х + 12О Х2+4Х-3 - х + 1 х2+4х-3 + х + 1 =0, -5-733 -5 + л/зЗ

х =

-4,1,

2 2 Пример 3. эт6 х - 3 эт2 X = СОБ3 2х - 3 СОБ 2л:.

Очевидно, f и = И — 3Ы, / ' И = Зм*~ — 3, то есть. / ?/ немонотонна на области определения, но убывает на сегменте М ё —1,1 , а значит и на множестве значений

функций g X = БШ" X и И X = СО5 2Л". Таким образом это уравнение равносильно урав-

2

нению БШ X = С05 2х. Отсюда находят х = —7 огссш - + тгк. ке2. где 2 - множество целых

чисел.

Пример 4. Решить систему уравнений

гЧх/ = /0 + /

X6 + X2 = 8/ + 2 у

X, у = 0, 0 - решение. Пусть X Ф 0, у Ф 0;

Первое уравнение системы разделим на y :

f \5 X

чУу

+

f \ X

чУу

= у5 + у. второе представим как X2 + X2 = 2.у + 2у\

тогда

г 5

для первого уравнения функция J и =11 + 11 возрастающая и для второго уравнения функ-

г з

ция ] и ~ II + и тоже возрастающая и исходная система равносильна системе X

.У ; х,у = 0,0 , 2^4,^2 . х2 = 2 у

Следствие 3. Пусть / II четная функция, строго монотонная при И > 0. Тогда оче-

в

видно, что f g X = f h X

g x =h x g x =-h x

Если монотонности нет, то решения совокупности уравнений содержатся во множестве решений исходного уравнения.

пример 5. sin2x-2|sinx| = cos22x-2|cos2x|.

Функция f U = ЬГ — 2\ы\ четная, строго убывающая, Уие ОД , а значит и на множестве значений функции g X = SÍ 11 Л" и И X = COS 2х, поэтому исходное уравнение

sinx = cos2x 71 2 , Ж , , , „

. х = ±—h — ж1,х =—I-жк, l,keZ. sinx = -cos2x 6 3 2

равносильно совокупности

Следствие 4. Если функция f и нечетная и строго монотонная при и >0, то уравне-

D D

ниевида f g X + f h X = 0<íí> f g X = f -h X g X = -h X

Пример 6. Sin -

X

+ sm

1

1 + x2

f и =sin M, g x =

x2 + x+ 2

X

= 0.

1 + x2

h X =

1

x +X + 2

таким образом:

x3+2x2+2x + l = 0, x = -\.

' 1 4

g X

<-, h x G 0,1 2

функция f U строго монотонно возрастающая

Vu

ж ж

и нечетная.

Следствие 5. Если функция f X периодическая с периодом Т и строго монотонна на

D

сегменте i

длины Т, то f g X =/ X g X = h X + kT, k&Z.

а

Доказательство. Пусть Х() - решение уравнения / ^ I = / к X , и / X строго монотонна на сегменте О, О + Т .

В силу периодичности / X всегда можно подобрать целые т, п, такие, что § Х0 + ¡11/ и И Х() + пТ будут принадлежать этому сегменту. Тогда в силу монотонности / X :

/ g х0 + тТ = / к х0 +пТ 10 + тТ = к х0 + пТ, т.е. g х0 =к х0 +кТ.

Обратно: в силу периодичности функции / X решения бесконечной совокупности уравнений g X = И X + кТ являются решениями уравнения f g X = f Н X Пример 7. 2х2 +Зх-\ = X2 +Х + 3 .

f х = х , g х = 2х2 + Зх -1, к х = х2 + х + 3;

/ X периодическая с периодом 7 = 1 и строго возрастает \/х 6 0,1 , тогда

2х2 +3х-1 = х2 + х + к, к е т. е. х2 + 2х - 4 - к = 0.

Положив 4 + к = й, получим х2+2х-и = 0. X7 = 1 ±л/Г + П, — произвольное целое число не меньше - 1.

Наконец, к рассматриваемому классу можно отнести и инволютивные уравнения, то есть

уравнения вида f f X = X. Здесь имеют место следующие утверждения.

Теорема 2. Пусть / X строго монотонно возрастающая функция, тогда

/ f х =х<^/х=х.

Необходимость: Пусть Х0 - корень уравнения / X — X, т. е. _/ Хф — Хф.

Подставив это в уравнение f f X = X, получим, что Х() есть также корень и этого уравнения.

Достаточность: Предположим противное, пусть f f Х0 = Х(), но / Х() ф Х0. Пусть для определенности У Х0 > Х(). Но тогда в силу монотонного возрастания функции f X f / Х(] > У Х0 > Х(], что противоречит условию.

Следствие 1. Все корни уравнения / X = X являются корнями уравнения / / X =Х.

Если / X не является возрастающей, то утверждение теоремы, вообще говоря, неверно.

Более точно: монотонное возрастание / X есть достаточное, но не необходимое условие равносильности.

Например: / X =—, тогда / / X = X, т.е. не убывает или f f X =—X, X

f f X = X, т. е. не убывает.

Следствие 2. В условиях Теоремы 2 / /.../ X = X <=> /

Следствие 3. Если У X полипом, то полипом f f X — X делится па полипом X X.

Следствие 4. Пусть / X непрерывна

Ухе А В - промежуток. Тогда, если уравнение / X = X не имеет корней, то и уравнение f f X = X тоже не имеет корней.

Доказательство. Так как / X ~ X не имеет корней, то функция / X — X на I) не

меняет знака.

Пусть, для определенности \/х £ Г), X < / X , т.е. / X X , т.е.

X < / X < / / X , т.е. уравнение / / X = X не имеет корней.

^¡24~+у=х

Пример 8. — X (или система

1/24 + х=у

Это уравнение равносильно уравнению у/х + 24 = X, т.е. X3 — X — 24 = 0, X = 3. Пример 9. х2-2|х| + 3 -2

+ 3 = х.

X2

х -2|х| + 3

f X = X2 — 2|х| + 3, / X немонотонна и непрерывна, но уравнение — 2|х| + 3 = X не имеет корней. Т.е. и исходное уравнение корней не имеет.

Пример ю. х2 - Зх - 2 - 3 х2 - Зх - 2 - 2 - х = 0.

f X немонотонна, но уравнение / X = X, т.е. уравнение X2 — Зх — 2-Х имеет

корни X1 2 = 2 ± л/б. Разделив исходное выражение на X — 4х — 2, получим оставшиеся корни.

I _ ^ г~!

Пример 11. ^— 1 + з + — = X. Т. к. X > 1, то исходное уравнение представим в

Г г-г ^ 1 7

•ч/Г — 1-1--—1-1--

V

виде

' I-- 3^ 7 ,-- 7 13

•\/х — 1 н— -1+ —= х <=>>/■*-1+ — = х, х =—. V 4] 4 4 4

Замечание. В примере 8 уравнение вида / / X — X рассмотрено как система

/ х =У

Такого типа уравнение можно рассматривать и как уравнение вида

/ У =х

f X = / X . (Взять функцию обеих частей, / ' Л" - обратная функция. Она существу/ X =у

ет в силу монотонности функции/) Таким образом, / / X = X

/ У =х

Пример 12. Решить уравнение 6 +

6+ ... 6 + Х

^ 2010 раз

Цх-6.

Это уравнение имеет вид f

/ ,, №

= X

(или

с

/

/ ф / *

^ 2009 раз )

у 2010 раз

■ /_1 X , т.е. если у = 6 + X3, то X = ^у ~ 6, / X = 6 + X3.

Так как f X возрастающая функция, то исходное уравнение равносильно уравнению X3 + 6 = X. Его решение X = —2.

2. Метод декомпозиции для неравенств

Определение 1. Функция f и называется монотонно возрастающей (убывающей) в

точке 110, если \/щ, Щ Е II \Щ>Щ=> / Щ > / Щ / Щ < / Ы2

Здесь

и - е- окрестность точки х, т. е. II' У£>0.

Определение 2. Функция f и возрастает (убывает) на промежутке, если она возрастает (убывает) в любой точке этого промежутка. Пусть f и строго монотонная функция

УиеМ с=£> (Б - область определения функции / и ), тогда / ?/, — / Ы2 >0 Ы1 > И2, если / Ы возрастающая функция, или ?/| < Ы. 2, если / и убывающая функция.

Таким образом, если / § X -/ А I > 0 и / и монотонно возрастает (убывает) \/меМсД то

( м \

/&/ -/ Ь х >0о/ х >g х fgx -/Их >0о/х<£х

V

Определение возрастающей (убывающей) функции можно переформулировать следующим образом:

Определение 3. Функция f и возрастает (убывает)

если и только если

Ущ,и2 еМ:

/ щ)-/ и2 ) = 8§П щ-и2

(^п / Щ -/ и2 =-8§П Щ-и2 ).

В этой замене разности / — / II. 2 на Щ — М2 и есть суть метода декомпозиции.

з

3

Наибольшую трудность представляют собой логарифмическая и показательная функции. Поэтому рассмотрим конкретные логические схемы для этих функций.

1. / X = 10§а X. Тогда

М

0<аф\

М ^.\g X >0, а = а X, Р , g = g х,р , Н = Н X, Р , р - параметр. к х >0

В частности:

м

а) БВП \ogag X =8§П g х -1 а-1 ,

м

б) 8§П 1о§а g х -1 = 8§П <2-1 g X -а , 0 <аф\

^ I >0

в

в) 8§п \ogag х -с =8§п g х -ас а-1 ,

в

г) 8Ъё^ g - 1оёа2 g =8§П g-1 а2-1 а2-ах , 0 < ах Ф1

М:

Б:

0 < а2 ф 1.

.£>0

Докажем это.

1

1 Ъё а2 - кш ах

ах а2 ах ■ а2

-2-2— =

2. / X =ах. Тогда

а) 8§П а

ё х

б) а

ё х

1 = 8§П а-1 ^ X ; - С = 8§П ¿7-1 g X - \0%а С

ё1 х ёт х 1

в) 8§п а - а = 8§п а-1 gx х - g2 х

г) а

ё х ё х

8§п ах-а2 ^ х ;

V2-х + 4х-3 ° л/2-х +2х-3

Пример!3. -> 2■О-

>0о

42-х- 3-2х

>0.

х

х

X

£>:хе -оо,0 и 0,2 .

3

При ХЕ 3/2,2 неравенство выполняется. При X < — заменим

3-2х = л 3-2х

2

, тогда

у/2-х 3-2х

X

>0 /5

X <

2

2-х- 3-2х

х

х < ■

2

Решая методом интервалов и объединяя ответы, получаем

хе -оо,0 и

и

I'

Пример 14. Пусть / X - строго монотонно возрастающая функция, такая что

/ х < 0 Ухе Я.

1 1

Решить неравенство---

/ х3 + 2х2 - Зх + 7 / х3 + х2 + 5 / х3 + х2 + 5 - / х3 + 2х2 - Зх + 7

>0.

>0ох +х +5-х -2х +Зх-7>0, / х + 2х - Зх + 7 • / х + х + 5

х2 + Зх - 2 < 0, хе 1,2 .

Неравенства, содержащие различные функции, очень трудно решать обычными способами. Покажем применение метода декомпозиции к решению неравенств на следующем примере.

Пример 15.

агсЩ 2х5-5х-1 +агсЩ х2-2х+5 2х2-7х + 3

\о%5 \х -1|

аг-и = -arctgu,

sgn arctgg х +аг^к х =sgn arctgg х -аг^к х =sgn g х +к х ;

sgnlog|x-l| = sgn =sgn

х-1-1

= sgn х х-2

о

Зх2 -7х + 4 2х2 - 7х + 3

х-

1|-1

х — 1 х-

<0^

о ■

X

г о

— х-3 х- —

Зу V 2)

х-2 -х

<0,

С

о,1

2

и

'4

и 2,3 .

2

2

3

3