CC BY
65
ные и совсем неспособные. В действительности между двумя группами не было никакой разницы и уровень способностей у всех учащихся был примерно одинаковым. Однако ожидания учителей, связанные с учениками, оказались разными. В результате группа якобы более способных учащихся при анонимном тестировании получила более высокие оценки, чем группа «менее» способных учащихся. Ожидания учителей каким-то непостижимым образом передались ученикам и повлияли на их реальные академические успехи. В практике кадровой работы эффект Пигмалиона проявляется в том, что ожидания руководителей относительно результатов труда подчиненных способны влиять на сами эти результаты. Так, существует тенденция, в соответствии с которой руководители, высоко оценивающие своих подчиненных и ожидающие от них хороших результатов, получают более высокие результаты. А руководители, считающие своих подчиненных сборищем лентяев и тугодумов, т. е. изначально настроенные на плохие результаты, получают именно их. То, что ожидания, связанные с действиями персонала, имеют обыкновения сбываться, доказано многими исследователями.
80% отвечавших считают, что «на преподавателя» высшей школы надо желающих специально готовить.
Безусловно, что материал, представленный в статье, не претендует на максимальную глубину исследования данных особенностей. Однако уже по полученным данным можно определить «слабые места», а значит, тенденции совершенствования своего индивидуального стиля педагогической деятельности, чтобы в будущем выполнять профессиональные функции лучше, чем мы это делаем сегодня.
С. И. Калинин
ЭВРИСТИКИ В СОДЕРЖАНИИ ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ И ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
Работа рассматривает вопрос об использовании эвристик в обучении студентов-математиков основам математического анализа.
Традиционные курсы математического анализа для будущих учителей математики, математиков-прикладников, студентов с углубленной ма-
КАЛИНИН Сергей Иванович - кандидат физико-математических наук, доцент по кафедре прикладной математики ВятГГУ © Калинин С. И., 2008
тематической подготовкой, представленные хорошо известными и постоянно используемыми вузовскими учебниками и учебными пособиями, характеризуются последовательным изложением формулировок и доказательств теорем, рассмотрением различных методов решения задач, логическим обоснованием этапов доказательств утверждений и решений задач. В упоминаемых курсах редко обсуждаются (чаще - почти не обсуждаются совсем) вопросы процесса поиска способа доказательства теоремы или метода решения задачи, мало внимания уделяется описанию процессов, приводящих к открытиям новых фактов. Отмеченное без каких-либо натяжек можно перенести и на школьный курс начал анализа. И студенту, изучающему дифференциальное и интегральное исчисление функций, и школьнику, овладевающему началами математического анализа, часто бывает не ясно, из каких же соображений удалось сформулировать очередную теорему, как удалось догадаться о способе ее доказательства, как удалось найти нужный метод решения задачи. В пособиях, которыми пользуются студенты и их преподаватели, учащиеся старших классов и учителя, ответов на обозначенные вопросы найти не удается. Эти пособия, как уже отмечалось, последовательно излагают теоретические сведения со строгими (или достаточно строгими) обоснованиями утверждений, а задачники (задачные материалы) снабжены ответами к задачам и указаниями к решениям некоторых из них.
В условиях фундаментализации математического образования, на наш взгляд, при обучении студентов-математиков дифференциальному и интегральному исчислению функций важно должное внимание уделять их эвристической подготовке. Преподаватель математического анализа, работающий с такими студентами, должен не только знакомить обучаемых с важными для математика фактами, но и заботиться о развитии математической интуиции подопечных, о привитии им навыков самостоятельного поиска решения трудной задачи, доказательства новой теоремы, открытия неизвестного математического факта или какой-то закономерности.
Общие приемы, облегчающие поиск решения задачи, есть эвристики. Принимая во внимание работы [1], под эвристикой условимся понимать совет, как искать решение задачи, доказательство утверждения или опровержение математического факта. При этом, следуя взглядам автора статьи [2], в отношении эвристик будем предполагать выполненными следующие положения:
1) посредством эвристики возможно отыскание решения весьма большого набора задач или обнаружение доказательства некой совокупности утверждений;
2) эвристики обеспечивают выбор различных решений, методов, способов, приемов, алгоритмов;
3) эвристика несет в себе субъективное начало - если для учащегося совет тривиален или же, наоборот, он не может им воспользоваться, то такой совет не может восприниматься как эвристика;
4) эвристика способствует реализации обучения на высоком уровне познавательных возможностей обучаемых.
У Д. Пойа в книге [3] отмечается, что прежде эвристикой («агБ туешеп&») называлась не совсем четко очерченная область исследования, относимая то к логике, то к философии, то к психологии. «Она часто охарактеризовывалась в общих чертах, редко излагалась детально и по существу предана забвению в настоящее время. Цель эвристики - исследовать методы и правила, как делать открытия и изобретения». Д. Пойа отмечает также, что прилагательное «эвристический» означает «служащий для открытия».
На этой же странице он пишет: «Эвристическое рассуждение не рассматривается как окончательное и строгое, но лишь как предварительное и правдоподобное рассуждение, цель которого - найти решение для данной проблемы». Эвристики - это общие приемы, облегчающие поиск решения задач.
Для получения окончательного решения интересующей нас проблемы мы часто довольствуемся «более или менее правдоподобной догадкой» [4]. Такое состояние нередко приходится испытывать занимающимся научными исследованиями. Но, возможно, нам пригодится предварительное рассуждение на пути получения окончательного решения. При построении строгого доказательства эвристические рассуждения помогают часто. При выстраивании доказательства теоремы, при оформлении решения задачи благодаря эвристикам выполняемые операции становятся мотивированными и логически оправданными. Апеллирование к эвристикам облегчает обоснование выбора способа решения задачи или метода доказательства утверждения. Именно эвристики помогают догадаться о том, к какому определению или алгоритму, к какой теореме, лемме или аксиоме, к каким известным решениям рассмотренных задач следует обратиться в той или иной ситуации при решении возникшей проблемы. Эвристики, в частности, советуют, как можно переформулировать теорему, утверждение, определение, условие с тем, чтобы ими можно было с большим успехом пользоваться при решении конкретной задачи. Они наводят на правильный путь решения проблемы. Эвристический довод может подготовить точное доказательство, отдельные элементы которого он содержит в себе [5].
В определенных ситуациях в деятельности по приобретению знаний теоремы, аксиомы, определения, алгоритмы, известные важные приемы решения задач сами выполняют роль эвристик. Перечисленные элементы автор статьи [6] относит к так называемому верхнему, азбучному набору эвристик [7], хотя сами по себе эти элементы эвристиками называть нельзя. Настоящие эвристики составляют другой, более глубокий слой. Это есть эвристики более высокого уровня. Мы разделяем подход автора цитируемой работы к толкованию эвристик и их соотношения с определениями, теоремами, аксиомами, алгоритмами, приемами решавшихся задач: совокупность перечисленных пяти компонентов (основных понятий) и различных эвристик образует «единое, целостное эвристическое образование элементов, взаимодополняющих друг друга в математическом познании».
Знание эвристик, умение пользоваться ими расширяет зону ближайшего развития обучаемого. Эвристики помогают переносу знаний в новые ситуации. Обращение к ним обеспечивает лучшее осмысление структуры поиска верного решения математической проблемы. Поэтому вопрос введения эвристик в математическую деятельность студентов актуален. Использование эвристик позволит сделать преподавание более успешным, создающим условия пронесения образования специалистом через всю жизнь. Эвристическое преподавание по сравнению с репродуктивным - это преподавание более высокого уровня, к такому преподаванию обязательно должны стремиться будущие учителя математики.
Д. Пойа проводит мысль [8]: «...обучение инженеров и физиков дифференциальному и интегральному исчислению можно было бы значительно улучшить, если бы природа эвристических рассуждений была лучше понята, их преимущество и ограничения открыто признаны и учебники открыто излагали бы эвристические доводы. Эвристический довод, сформулированный умело и прямо, может быть полезен, он может подготовить точное доказательство, отдельные элементы которого он содержит в себе». Думается, это надо иметь в виду и преподавателям математического анализа педвузов и университетов, обучающим будущих учителей математики, будущих специалистов прикладной математики и инженеров, школьным учителям при подаче своим подопечным начал математического анализа.
Воспитание эвристического мышления студентов возможно в рамках аудиторных занятий, в частности практических, когда проходится программный материал. Но особенно для этого подходят занятия научно-исследовательского семинара для студентов, когда обсуждаются рефераты каких-либо опубликованных работ или новые результаты, полученные в рамках исследований
участниками семинара. На таких занятиях удается полнее обсуждать процесс поиска доказательства или решения, а также открытия нового утверждения (факта) силами студентов. Именно при реализации процесса открытия нового факта исследователю всегда приходится отвечать на вопрос: как догадаться?
Перейдем теперь к рассмотрению тех эвристик, которые могут быть полезны и которые следует иметь в виду студентам-математикам при изучении дифференциального и интегрального исчисления функций.
Подчеркнем, во-первых, что изучающему математический анализ следует помнить про отмечаемый выше так называемый азбучный набор эвристик - нужно знать пройденный ранее материал: определения, теоремы, аксиомы, алгоритмы, методы, важные способы и приемы решения задач. Перечисленные элементы составляют основу для дальнейшего продвижения в изучении программного материала.
К числу самых распространенных в математике эвристик относится испытание на правдоподобие [9], которое, в частности, включает в себя: а) проверку на соответствие свойствам математического объекта; б) построение контрпримеров; в) проверку на симметрию; г) проверку по размерности и пр. Владение таким приемом позволяет отвергать ошибочные гипотезы, возникающие при решении трудной задачи или при проведении исследования, обнаруживать ошибочные и некорректные формулировки утверждений, неверные ответы к решенным задачам. Приведем некоторые примеры.
1. Требуется вычислить интеграл (см. журнал «Математика в школе» за 1994 г., № 1)
III А
\
л/х2+1+х-1
сЬс
-Ь2 л/х2 +1 +Х+1 "
Заметим, что предлагаемый для вычисления определенный интеграл есть интеграл от «неприятной»
Ух+1+Х-1
иррациональной функции , но
Ых +1+Х+1
по отрезку, симметричному относительно начала. Последнее обстоятельство побуждает решающего задачу «рискнуть» - проверить функцию /(х) на четность-нечетность. Так как
Лх)+А-х) =
V*2 +1 + х-\ л/*2 +1 - х-\ + -
л/х2 +1 + Х + 1 л/х2 +1 - х + 1 = (/х2-и)2-(х-1) 2+6х2-и)2-(х + 1)2 _ Цх2+1+1)2-х2
-2+1+112 "2 х2 +1-х2 +2х-1 + х2 +1-х2 -2х-1
= 0,
то заключаем, что функция /(х) нечетная. Следовательно, рассматриваемый интеграл равен нулю.
Таким образом, вычислить исходный интеграл нам помогло обращение к свойствам определенных интегралов от четных и нечетных функций.
Рассмотренный интеграл, конечно, можно было попытаться вычислять по формуле Ньютона - Лейбница, для чего потребовалось бы нахождение первообразной функции /(х). Такую, очевидно, пришлось бы находить либо с помощью подходящей подстановки Эйлера, либо с помощью тригонометрической подстановки. Любая из упоминаемых подстановок привела бы к громоздким выкладкам.
2. П. Г. Лежён Дирихле придумал пример функции, ограниченной на отрезке, но не интегрируемой на нем [10]:
од=
с,х-
т
п
, т а,х* —, п
где т - целое число, а п - натуральное, с и С -действительные числа, с * сС. Эта функция получила название функции Дирихле. Обычно считают, что в ее описании константы таковы: с = 1, С = 0. В курсе интегрального исчисления функций -О(х) рассматривают в качестве контрпримера к вопросу: является ли ограниченность функции на отрезке достаточным условием ее интегрируемости по Риману на этом отрезке?
3. При вычислении предела [11]
/ - ™ „Л
Кш
Л->00
и2+12
п2 +22
+ ...+
2 2 п +п ;
мы задумываемся о возможности сведения выражения
п п п
4 =
и2+12
и2 + 22
+ ...+
2 2 п +п
к значению интегральной суммы соответствующей функции:
я
1
1+
_1 п
Так что Ап соответствует виду интегральной сум-1
мы функции , составляемой на от-
резке [0; 1], когда произведено разбиение этого
Г*1
отрезка точками
к = \,...,п , на п равных
по длине частичных сегментов, при этом вычисляются значения / на правых концах частичных
сегментов. Вычисление предела сводится к вы-
-сЬс .
числению интеграла
и
¿1 + л
.
Рассмотрим эвристику, связанную с использованием индукции. «Индукция есть процесс познания общих законов путем наблюдения сопоставления частных случаев» [12]. В переводе с латыни «индукция» есть «наведение» [13]. Часто бывает так, что рассмотрение частных случаев задачи наводит на получение решения в общем случае. Сначала решающий задачу может рассмотреть самые простые частные случаи, затем -частные ситуации посложнее и так далее, пока не обнаружится решение задачи в изначальной постановке.
Для иллюстрации применения индукции в вопросах доказательства неравенств воспроизведем неравенство (9.1) из [14]:
т
А'
где
жительных чисел а
взвешенное среднее степенное поло
н
а из промежутка
порой обнаружить решение исходной проблемы. Приведем примеры.
1. Для доказательства формулы Лагранжа конечных приращений
т - /(а) = / '(№ - а) достаточно установить формулу Коши конечных приращений
или формулу Тейлора функции / п-го порядка Дх) = Да) + Па)(х-а) + ...+
.
и!
(и + 1)!
(1)
Очевидно, что формула Лагранжа получается из формулы Коши, если в последней положить g(x) = х, она же получается из формулы Тейлора, если в этой формуле взять п = 0.
2. Требуется выяснить, что больше: 1п1,2 или 0,2?
Ответ помогает обнаружить обсуждаемый эвристический прием - переход к функциям 1п(1 + х) и х, где х >-1. В терминах введенных функций исходная задача сводится к сравнению значений функций при х = 0,2. Покажем, что 1п(1 + х) < х при х > 0.
Действительно, функция /(х) = х - 1п(1 + х)
имеет производную
которая поло-
с весами р1, ..., рп, - аналогичное
среднее степенное чисел 1 - а1, ..., 1 - ап,
Ап =Р(1), А'я =Р( 1), * е [0; 1), г е (1; 2]. В цитируемой работе мы приводим два способа доказательства этого неравенства средствами дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной, однако подчеркнем то, что появились они не сразу. Прежде мы осуществили много проверок выполнения рассматриваемого неравенства для конкретных наборов чисел (аг| и весов (рг|, беря самое разное количество чисел в таких наборах и самые разные значения * и г, пока не возникла гипотеза: в указанных условиях неравенство (1) выполняется. Только потом появились упомянутые доказательства. Отметим, при проверке справедливости неравенства (1) в частных случаях мы нередко прибегали к использованию ЭВМ. Компьютер в современных условиях действительно является средством исследования математических задач.
Остановимся теперь на эвристике, восходящей к переходу от данной задачи (данного утверждения) к более общей задаче (более общему утверждению). Упоминаемый переход позволяет
1 + я: '
жительна при х > 0. Следовательно, / - возрастающая на положительном луче функция и /(х) > /(0) = 0 при х > 0, в частности 0,2 - 1п1,2 > 0. Таким образом, 0,2 > 1п1,2.
В содержание обучения дифференциальному и интегральному исчислению функций необходимо включать и такую эвристику, как аналогия. Аналогия есть род сходства [15]. В цитируемом источнике мы находим следующие слова: «Аналогией проникнуто все наше мышление; наша повседневная речь и тривиальные умозаключения, язык художественных произведений и высшие научные достижения. Степень аналогии может быть различной. Люди часто применяют туманные, двусмысленные, неполные или не вполне выясненные аналогии, но аналогия может достигнуть уровня математической точности. Нам не следует пренебрегать никаким видом аналогии, каждый из них может сыграть определенную роль в поисках решения». Далее [16] автор пишет: «Мы можем считать, что нам повезло, если, пытаясь решать данную задачу, мы находим более простую аналогичную задачу». Приведем примеры использования аналогии.
1. При обосновании формулы Коши конечных приращений можно использовать подход,
аналогичный доказательству формулы Лагран-жа, - вместо вспомогательной функции П(х) = /(х)- 8х следует взять функцию П(х) = /(х) - Лg(x), и далее рассуждения построить так же, как в доказательстве теоремы Лаг-ранжа, т. е. применить теорему Ролля.
2. Вывод формулы вычисления тройного интеграла функции трех переменных сведением к повторному интегралу осуществляется по аналогии с тем, как обосновывается формула вычисления двойного интеграла. В случае тройного интеграла в области интегрирования мы выделяем элементарный л-цилиндроид и вычисляем его «массу», в то время как при получении формулы вычисления двойного интеграла мы выделяем элементарную полоску с целью вычисления ее «массы».
В отношении аналогии стоит обратить внимание на следующее обстоятельство. Часто сходство условий приводит к сходству заключений. Например, дифференцируемость функции /(х) в точке х0 влечет ее непрерывность в этой точке. Аналогично, дифференцируемость функции ^(х, у) двух переменных в точке М0(х0; у0) обеспечивает непрерывность ^ в рассматриваемой точке. Но такое совпадение выводов бывает далеко не всегда. Заключение по аналогии может привести к ошибочному утверждению, т. е. аналогию ни в коем случае нельзя рассматривать как строгое доказательство математического факта. Это подтверждает, скажем, следующий пример. Существование у функции /(х) в точке х0 производной / (х0) влечет ее дифференцируемость в этой точке. Однако для функции ^(х, у) двух переменных
др а^
существование частных производных и ^
в точке М0(х0; у0) уже не может гарантировать дифференцируемость ^ в точке М0(х0; у0).
И в то же время необходимо помнить, что во многих и многих ситуациях выводы, делаемые по аналогии, оказываются верными, справедливыми, т. е. аналогия способна помочь решить проблему.
При решении задач, исследовании открытых вопросов может быть полезным такой эвристический прием, как переход к рассмотрению предельных значений (предельных случаев, крайних ситуаций). Его суть состоит в следующем. При получении ответа на интересующий нас вопрос можно попытаться перейти к другому вопросу, другой задаче, которая получается, если в исходной ситуации соответствующие переменные величины заменить их предельными значениями, рассматриваемые фигуры - их предельными положениями, возможные исходы - предельными случаями. Может статься, что вывод, справедливый для предельного случая, будет переноситься
и на случаи, близкие к предельному, что позволит получить верный ответ к исходной проблеме.
В качестве иллюстрации обсуждаемого эвристического приема воспроизведем идеи обнаружения нашего подхода [17] к доказательству неравенства (1). Найти доказательство этого неравенства нам помогли рассуждения, проводимые в [18] при установлении неравенства Ки Фана
А о: к
(2)
где , Сп = Р(0), которое представляет
собой «крайний» случай неравенства (1). При доказательстве неравенства (2) в работе [19] двумя методами мы использовали: а) применение неравенства Иенсена к выпуклой на промежутке
0;
1 1~х
функции [20], б) свойства оп-
ределенного интеграла Римана [21]. Это позволило «догадаться» применить при доказательстве неравенства (1) неравенство Иенсена к функции
ха (1-х)а
г
е (-4; -2) и (-1; 0),
°;2
и также интегральный метод.
Одним из самых эффективных эвристических приемов в математическом анализе является метод введения вспомогательных переменных (вспомогательных неизвестных), вспомогательных функций, вспомогательных числовых последовательностей или вспомогательных последовательностей функций. Так, например, вспомогательной переменной часто приходится пользоваться при вычислении неопределенных и определенных интегралов. При выводе же формулы Шлеммиль-ха - Роша, описывающей форму остаточного члена в формуле Тейлора функции /(х), мы вводим вспомогательную функцию [22]
(х-2)2
1!
2! и!
Отметим также, что при доказательстве аддитивного аналога неравенства Ки Фана [23]
А'-А<в'-в„
п п п п
(величины А'п,Ап,Сп,Сп введены выше) мы предварительно устанавливаем соотношение
,
где Ък е [0; 1), к = 1, ..., п, Ъ1 # Ъ2 # Ъп, для чего вводим в рассмотрение вспомогательную последовательность функций {/к(х)},
Мх ) = (1+б1г-...-
■(1 + Ьк)Рк(1 + Ьк + х)Ры+ +р" -
-(1 -Ь,г ■..,{\-ъкТ{\-ък -х)—" -
- 2(рД +... + рА + +... + + *)),
х е [0; Ък+1 - Ък], к = 1, ..., п-1.
Обсудим теперь эвристический прием, нацеливающий решающего математическую проблему на осмысление доказательства эквивалентного утверждения или решение эквивалентной задачи. Например, вместо прямого утверждения можно доказать обратное противоположному утверждению, поскольку прямое утверждение и утверждение, обратное противоположному, -равносильные утверждения [24]. Таким образом, если доказывающий прямое утверждение испытывает затруднения (не удается доказать это утверждение), то можно перейти к доказательству утверждения, обратного противоположному. Скажем, предлагается установить факт: «Если функция /(х), определенная на отрезке [а; Ъ] числовой прямой, не является интегрируемой по Риману на этом отрезке, то она на этом отрезке не будет непрерывной». Вместо приведенного утверждения можно доказать такое: «Непрерывная на отрезке [а; Ъ] числовой прямой функция /(х) интегрируема по Риману на этом отрезке». Последнее утверждение устанавливается при рассмотрении классов интегрируемых функций и использует теорему Кантора о равномерной непрерывности непрерывной на отрезке функции.
Приведем еще следующий известный пример эквивалентных утверждений. Теорема существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
у' = Дх у^
разрешенного относительно производной, с начальными условиями у\х=ха = У0 , (х0; у0) е О (О -область, в которой функция /(х, у) непрерывна
¥
вместе со своей частной производном
ду
), рав-
носильна факту существования единственного решения y(x) интегрального уравнения
л
y{x) = y0 + \f{t,y(t))dt
при этом используется принципиальная теорема теории метрических пространств - принцип Банаха о сжимающем отображении полного метрического пространства в себя.
При решении задач дифференциального и интегрального исчисления функций эвристический прием замены исходной задачи эквивалентной приходится применять весьма и весьма часто. Особенно это характерно для задач интегрального исчисления. Для иллюстрации рассмотрим задачу № 3758 из журнала «Математика в школе» (№ 2 за 1993 г.).
г вгпх , 1—^^^
Вычислите интеграл
cos-
2х-\
Р е ш е н и е. Подинтегральная функция sin X
2х-\
в рассматриваемом интеграле имеет
2
нестандартный (для интегрирования) вид, поэто-
_ 1
му сделаем замену переменной, полагая У ~х~~ . Тогда исходный интеграл сведется к интегралу
1= f V 2) dv
. Мы получили эквивалентную
~2
задачу, которая успешно решается:
2 1 2 1 1 J= Jcos—-tgydy+ Jsin —í/y = sin— ,
так как
i j
Jcos--tgydy = 0
в силу нечетности функции
tg x и симметричности отрезка
2' 2
относи-
Как известно, в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений доказательство первого утверждения сводится к установлению второго,
тельно начала.
Математический эксперимент также можно рассматривать как одну из эвристик в содержании обучения студентов дифференциальному и интегральному исчислению функций. Хороший эксперимент нередко служит основой для формулирования нового математического факта. Поясним сказанное.
Появлению нового результата может предшествовать наблюдение исследователем ряда конкретных случаев, примеров, при этом в современных условиях большую помощь в таком наблюдении, безусловно, оказывает компьютер, ЭВМ. В результате подмечается некоторая закономерность, формулируется определенная гипотеза. Гипотеза, естественно, должна быть подвергну-
та испытанию на правдоподобие. Это снова подвигает исследователя на осуществление эксперимента: проверяется выполнение гипотезы при некоторых конкретных значениях входящих в нее параметров, переменных, данных и т. д. Если при такой проверке гипотеза будет выполняться не всегда, то это означает: она ошибочна. Ну, а если же гипотеза такую проверку выдерживает, то далее исследователь должен подумать над тем, как сформулированную гипотезу доказать строго.
В работе [25] мы описали математический эксперимент, реализованный посредством ЭВМ, который был связан с формулировкой следующей гипотезы в отношении обобщения неравенства Ки Фана: неравенство (1) справедливо для ^ е [-4; 1), t е (1; 2]. Численное «осмысление» неравенства (1) показало, что при 5 е (-10; -4) и t е (2; 10) неравенство (1) выполняется не всегда. Отметим: приведенная гипотеза до сих пор представляет собой открытый вопрос. Ее строгого обоснования или опровержения до сих пор обнаружить не удается.
Многие задачи дифференциального и интегрального исчисления могут быть успешно решены посредством геометрических или графичес-
ких соображений. Геометрический и графический подходы в задачах математического анализа - это также эвристические приемы. Владеть ими будущим учителям математики так же полезно, как и приемами, которые мы описали выше. Известно, что многие задачи с параметром, предлагаемые в заданиях уровня С на ЕГЭ, могут быть успешно решены с использованием именно графического или геометрического подхода. С целью иллюстрации рассмотрим задачу С 2 варианта 106 ЕГЭ по математике 2003 г.: найдите множество значений р, при которых уравнение 4sin3x = p - 3cos2x не имеет корней.
Р е ш е н и е. Уравнение перепишем в виде 4sin3x - 6sin2x + 3 = p, в котором положим t = sin x. Теперь исходная задача сводится к задаче: нужно найти такие р, при которых уравнение 4t3 - 6t2 + 3 = p не имеет корней на отрезке [-1; 1].
Построим график левой части последнего уравнения, используя ее производную 12t2 - 12t. Из вида производной следует, что точки t1 = 0 и t2 =1 - стационарные точки, при этом точка t1 есть точка максимума, а точка t2 - точка минимума. Максимум, очевидно, равен 3, а минимум -1. График функции 4t3 - 6t2 + 3 имеет вид:
Нетрудно видеть, что его сужение на отрезок [-1; 1] не будет иметь общих точек с горизонтальной прямой у = р в случаях, когда р < -7 и р > 3. Значит, именно при таких р рассматриваемое уравнение не будет иметь корней.
Геометрический подход можно исповедовать и при нестрогом обосновании некоторых теорем дифференциального исчисления функций, скажем, теоремы Ролля. Напомним: в условиях теоремы Ролля рассматривается функция /(х), непрерывная на отрезке [а; Ь], дифференцируемая внутри этого отрезка и принимающая на его концах равные значения. Существование точки >е (а; Ь), в которой / (>) = 0, можно показать следующим образом.
По первой теореме Вейерштрасса функция /(х) ограниченная, значит, ее график Г^. будет лежать в некоторой полосе П. Проведем две горизонтальные прямые 11 и I со свойствами: I будет лежать над П, а 12 - под П. Мысленно попытаемся эти прямые перемещать навстречу друг другу. При таком перемещении хотя бы одна из прямых коснется графика Г^. функции в некоторой его внутренней точке, ибо Г^- гладкая линия. Абсцисса такой точки и будет искомой точкой >.
Аналогичные рассуждения можно провести и в случае доказательства теоремы Лагранжа о среднем значении. Только вместо горизонтальной полосы П надо взять содержащую график функции полосу, образуемую прямыми, параллельными стягивающей концы графика хорде.
В контексте преемственности между обучением началам математического анализа в школе и изучением дифференциального и интегрального исчисления функций студентами в вузе, на наш взгляд, полезно владеть таким эвристическим приемом, как метод варьирования параметров (величин, условий). Иллюстрацию применения упоминаемого приема проведем на решении следующей задачи, навеянной задачей С 5 варианта 454 тренировочного тестирования 2007 г.
А хг -{Ар + \Ъ)х + А 2
Даны два уравнения:
х-1
4вт
х + 6
\х2-{5р+П)х+{р + А) = 0 х*\,
(3)
которая, очевидно, может иметь только одно или только два различных решения.
Рассмотрим теперь второе уравнение. Оно не определено при х = -6. Заметим: в области определения его левая часть ограничена снизу числом -4, а сверху числом 4, правая же часть уравнения есть линейная функция с отрицательным
/ \
угловым коэффициентом
к = —
3 + -
1
(Р +1Г
начальной ординатой Ь = 23. Варьирование параметра р (р * -1) позволяет заключить, что коэффициент к может принимать значения из интервала (-4; -3). Следовательно, прямая у = 23 -- (3 + 4(р + 1)-2)х не будет пересекать полуполосу П_ = {(х, у) : х # 0, |у| # 4}, а это значит, что второе уравнение не может иметь неположительных корней.
Введем в рассмотрение функцию
71 6
/« = -
Так как
>0
2 х + 6 ' ............ 2 (х + 6)2
(х > 0), то /(х) - возрастающая на промежутке [0; +4) функция. Нетрудно видеть, что на этом промежутке она принимает значения из проме-
жутка
0;-
значит, левая часть второго урав-
нения - возрастающая на промежутке [0; +4) функция, которая принимает значения из промежутка [0; 4).
Отсюда можем сделать вывод: второе уравнение обладает единственным положительным корнем.
Пусть п - число различных корней /-го уравнения. В соответствии с условиями задачи имеем соотношение п1 ■ пг = р + 3, в котором, как нам теперь известно, п1 принимает значения 1 или 2, а п2 - только 1. Пусть п1 = 1, тогда р = -2. При таком значении параметра система (3) перепишется так:
= 23-^ + 4(р + 1)"2> . Значение
параметра р выбирается так, что р * -1, и при умножении числа различных корней первого уравнения на число различных корней второго уравнения получается число р + 3. Решите второе уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом.
Р е ш е н и е. Первое уравнение не определено при х = 1 и в своей области определения
х2-{5р + \Ъ)х + {р + А)
приводится к виду .
Последнее же уравнение равносильно системе
4вт
= 23-7*
(4)
(5)
\х —Зх + 2 = 0 1 хф\,
а второе уравнение будет следующим:
/ N
71 X
х + 6,
Система (4), очевидно, имеет единственное решение, что соответствует условию п1 = 1. Подбором найдем решение уравнения (5) - это есть х = 3.
Пусть теперь п1 = 2, но тогда р = -1, что не должно иметь места по условию задачи.
Таким образом, х = 3 - единственный искомый корень второго уравнения, соответствующий значению параметра р = -2.
и
и
При решении задач дифференциального и интегрального исчисления, при установлении справедливости какого-либо факта этого раздела анализа приходится пользоваться не только геометрическими или графическими соображениями, но и физическими, механическими, экономическими и т. д. Последние также следует относить к соответствующим эвристикам в обучении анализу.
Выше, характеризуя аналогию, мы упоминали о подходе в обосновании формулы вычисления тройного интеграла, основывающемся как раз на механических соображениях. В таком случае по-динтегральную функцию мы рассматриваем как величину, выражающую плотность. Но особенно часто затронутыми эвристиками мы пользуемся при решении задач в курсе математического анализа. Сказанное касается многих задач с физическим, механическим, экономическим и т. д. содержанием.
Характеризуя вышерассмотренные основные эвристики по отдельности, мы должны помнить о том, что в некоторых конкретных ситуациях приходится порой пользоваться сразу несколькими. Часто случается так, что при решении задачи происходит привлечение нескольких эвристических приемов. Собственно говоря, отмечаемое можно даже проследить и в ряде иллюстрационных примеров, рассмотренных нами выше. Так, в задаче с параметром о двух уравнениях помимо варьирования параметра мы, конечно же, привлекали и геометрические (графические) соображения, и свойства соответствующих классов функций (ограниченных, монотонных), и общие методы решения задач с параметрами.
Подведем итог. Мы рассмотрели ряд эвристик, которые могут быть полезными и эффективными в вопросах решения задач и установления теоретических фактов в рамках курса дифференциального и интегрального исчисления функций для студентов математических специальностей. Естественно, мы не исчерпали полного перечня возможных эвристических приемов, но представленные, нам думается, являются основными. Еще раз подчеркнем, что эвристики в обучении студентов вуза дифференциальному и интегральному исчислению функций необходимо включать в содержание обучения, поскольку навыки пользования эвристиками будущим специалистам пригодятся в их профессиональной деятельности.
Примечания
1. Пойа, Д. Как решать задачу? [Текст] / Д. Пойа. М.: Учпедгиз, 1961. 205 с.; Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения [Текст] / Д. Пойа; пер. с англ. 2-е изд., перераб. М.: Наука, 1975. 315 с.; Балк, М. Б. О привитии школьникам навыков эвристического мышления [Текст] / М. Б. Балк, Г. Д. Балк // Математика
в школе. 1985. № 2. С. 55-60; Балк, Г. Д. О применении эвристических приемов в школьном преподавании математики [Текст] / Г. Д. Балк // Математика в школе. 1969. № 5. С. 21-28; Семенов, Е. Е. О дифференцированной подготовке учителя математики в педвузе [Текст] / Е. Е. Семенов // Математика в школе. 1995. № 6. С. 40-44; Семенов, Е. Е. Размышления об эвристиках [Текст] / Е. Е. Семенов // Математика в школе. 1995. № 5. С. 39-43.
2. Семенов, Е. Е. О дифференцированной подготовке учителя математики в педвузе...
3. Пойа, Д. Как решать задачу?.. С. 200.
4. Там же. С. 200-201.
5. Там же.
6. Семенов, Е. Е. О дифференцированной подготовке учителя математики в педвузе...
7. Там же. С. 42.
8. Пойа, Д. Как решать задачу?.. С. 201.
9. Болтянский, В. Г. Как устроена теорема? [Текст] / В. Г. Болтянский // Математика в школе. 1973. № 1. С. 41-49.
10. Щетников, А. И. Роль контрпримеров в развитии основных понятий математического анализа [Текст] / А. И. Щетников, А. В. Щетникова. Изд. 4. Новосибирск: Артель «Напрасный труд», 2005. С. 1415.
11. Калинин, С. И. Задачи и упражнения по началам математического анализа [Текст] : пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики и для внекл. занятий математикой / С. И. Калинин, Е. С. Канин, Г. М. Маянская, Л. В. Ончукова, И. И. Подгорная, С. А. Фалелеева. М.: Московский Лицей, 2001. С. 84, задача № 57.
12. Пойа, Д. Как решать задачу?.. С. 92.
13. Балк, М. Б. О привитии школьникам навыков эвристического мышления...; Балк, Г. Д. О применении эвристических приемов в школьном преподавании математики...
14. Калинин, С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана [Текст] : учебное пособие по спецкурсу / С. И. Калинин. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2002. С. 248.
15. Пойа, Д. Как решать задачу?.. С. 44.
16. Там же. С. 45.
17. Калинин, С. И. Неравенство Ки Фана и его обобщения [Текст] / С. И. Калинин // Математическое образование. 2003. № 3. С. 59-76.
18. Калинин, С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана... С. 229-231; 238-239.
19. Там же.
20. Там же. С. 229-231.
21. Там же. С. 238-239.
22. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст] / Г. М. Фих-тенгольц. Т. 1. М.: Наука, 1966. С. 255.
23. Калинин, С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана...
24. Болтянский, В. Г. Как устроена теорема? С. 46.
25. Калинин, С. И. О гипотезе, связанной с обобщением неравенства Ки Фана [Текст] / С. И. Калинин, Р. В. Шарыгин // Вопросы технологии в обучении математике: м-лы регион. науч.-практ. конф. «Преподавание математики в вузах и школах: проблемы содержания, технологии и методики». Глазов: Изд-во Глазов. гос. пед. ин-та, 2003. С. 63-65.
