CC BY
73
5. Маслов В.И. О перестройке системы профессиональной подготовки специалистов в институтах физической культуры (системнодеятельностный подход) // Теория и практика физической культуры. 1988. № 5. С. 18-21.
Поступила в редакцию 29.08.2008 г.
Shankina S.V. Sociocultural processes in development of continuous training of sport ball dance specialists. Like other social institutions, during the entire history of a human
civilization, continuous education and training was in the state of constant changes, which affected its main parts such as the content, methods, system of organization and other. Each of the main spheres of a social space - economy, politics, law, etc. - to a certain degree influences educational processes in the system of continuous training of sport ball dance specialists.
Key words: socio-cultural environment of continuous education system, goal-oriented strategy of the system of continuous training of sport ball dance specialists, socioeconomic policy of Russian education.
МОДЕЛИ ЦЕЛОСТНОГО ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЙ И ИХ СИСТЕМ В СОВРЕМЕННОМ ОБУЧЕНИИ
Л.И. Токарева
В статье раскрыты актуальные проблемы совершенствования школьного математического образования: глобальное и локальное структурирование учебного материала; выделены системы фундаментальных математических понятий и подробно раскрыт процесс формирования одной из систем.
Ключевые слова: структурирование учебного материала, глобальное структурирование, локальное структурирование, система понятий, учебная задача, учебно-познавательная деятельность.
Логику учебного предмета и процесса обучения характеризует система научных понятий и последовательность ее изучения. Связи и отношения понятий определяют структуру учебного материала, возможные переходы от менее общей системы понятий к более общей системе понятий [1-6].
Важными направлениями совершенствования школьного математического образования, предмета математики могут стать:
1) структурирование учебного материала;
2) конструирование моделей содержания математических понятий и их систем.
Под структурированием учебного материала предмета математики мы понимаем процесс выявления понятийного содержания (понятия, системы понятий и их структура, математические утверждения, их структура и методы доказательства), функций, которыми обладают теоретические знания, а также содержательных и процессуальных связей, существующих между ними. Понятийное содержание и связи, имеющие место в этом содержании, образуют определенную структуру учебного материала, которую целесообразно рассматривать как некоторую модель, характеризующую внутреннюю организацию материала, соответствующую поставленным
целям и выделенным средствам: математическим, дидактическим, методическим.
Структурирование учебного материала всего курса математики - это глобальное структурирование, а структурирование систем фундаментальных понятий, пронизывающих весь курс содержания школьного математического образования, является локальным. Их локальный характер обусловлен некоторой замкнутостью в рамках определенных научных теорий [2, 6-9].
Основами локального структурирования служили: 1) теория, логика и методология научного познания; 2) математическая наука. Объектами структурирования служили системы фундаментальных понятий (уравнение, неравенство, тождество, функция, производная функции, интеграл). Средствами структурирования и построения моделей инвариантов данных систем являлись системноструктурный и структурно-функциональный подходы, диалектические и психодидактические принципы, концептуальные схемы математики [2, 7]. В качестве важнейших критериев структурирования и построения дидактических моделей систем понятий были использованы: 1) научность; 2) системность;
3) изоморфизм; 4) проблемность; 5) наглядность.
При выделении инвариантов систем понятий мы исходили из многоуровневого характера содержания инварианта, деления его на теоретическое ядро, сферу и периферию. Теоретическое ядро содержания отражает всеобщие признаки и отношения фундаментального понятия как теоретической системы знаний. Эти отношения являются одновременно и генетически исходными основаниями для развертывания и конкретизации всей системы знаний. Сфера понятия отражает специфические свойства и отношения объектов, дифференциацию знаний. Периферия обеспечивает конкретизацию предыдущих уровней обобщения знаний, их связь с реальной действительностью, раскрывает индивидуальные свойства объектов, обобщаемых понятием, конкретные проявления всеобщих и особенных свойств и отношений объектов.
Последующее моделирование инвариантных знаний изучаемых систем математических понятий ставит задачу создания наглядных моделей содержания, обзорно отражающих структуру данной системы понятий. Модели строятся на основе принципов соответствия и единства структуры и функций знаний с помощью структурно-функционального анализа и методов педагогического моделирования. Они служат эталоном конечных знаний, ориентировочной основой организации процесса изучения понятий.
Исходя из анализа содержания школьного математического образования (алгебра и алгебра и начала анализа), выполненных теоретико-экспериментальных исследований
нами были выделены следующие системы фундаментальных математических понятий:
1. Уравнения и неравенства.
2. Уравнения, тождества и неравенства.
3. Функции и их исследование с помощью аппарата уравнений и неравенств.
4. Функции, уравнения и неравенства.
5. Функции, производная, интеграл.
Являясь теоретическими целостностями,
представленные системы соответствуют основным областям научных знаний и имеют большое мировоззренческое и оптимизационно-прикладное значение. Структуру этих систем понятий сложно отнести полностью к линейным или концентрическим в дидактическом понимании таковых применительно к
учебному материалу [5-7, 9, 10]. Структуры таких систем понятий ближе к блочно-иерархическим, т. к. в них одно понятие выражается через другое, генетически связанное с ним.
Обратимся к рассмотрению системы понятий «Функции, уравнения и неравенства».
1. Общая характеристика системы
Понятие функции - фундаментальное математическое понятие, точнее - естественнонаучное. В его формировании, развитии и интеграции принимают участие физика, химия, но лидирующая роль принадлежит математике.
В математике в становлении и развитии понятия функции можно выделить три периода [8, 11].
Первый период. Здесь можно выделить два научных направления:
1) до XVII в. рассматривались различные зависимости одной величины от другой; исследование зависимостей осуществлялось графически;
2) в ХVII в. Г.В. Лейбниц впервые ввел термин «функция». Понятие функции трактовалось на геометрическом уровне [11, с. 18]. Ведущей идеей в такой трактовке была идея соответствия. Исследование функции осуществлялось только графическим методом. Ведущей идеей данного метода исследования также является идея соответствия.
Второй период (конец XVII - начало XVIII в.) Здесь можно выделить три принципиально важных направления: 1) трактовка понятия функции как аналитического выражения; 2) трактовка понятия функции как зависимости; 3) трактовка понятия функции как правила (закона).
Три представленных направления можно назвать генетическим подходом. Генетическое развертывание понятия функции обладает рядом достоинств: 1) подчеркивается динамический характер понятия функциональной зависимости; 2) выделяется модульный аспект понятия функции. Однако такой подход имеет и ограничения: 1) переменная явно (или неявно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений; 2) в значительной степени понятие функции связано только с числовыми функциями одного числового аргумента. Исследование свойств функций осуществлялось:
1) графическим методом; 2) аналитическим
методом: с помощью аппарата уравнений и неравенств.
В данном периоде исторического развития связь между трактовками понятий функции, уравнениями, неравенствами, тождествами, методами их исследования, решения и доказательства в большей степени была содержательной. Имели место все три аспекта: алгебраический, функциональный, логический, при большей актуализации - функционального.
Третий период в развитии понятия функции (с XX в. по настоящее время) - современная или теоретико-множественная трактовка. В данном периоде развития понятия функции нами выделено два основных направления: 1) трактовка понятия функции как специального вида отношения; 2) трактовка понятия функции как соответствия между элементами множеств произвольной природы [11, с. 24-28].
Логико-математический анализ трактовок понятия функции, методов ее исследования для данного исторического периода позволил установить: 1) функциональность
представлена на самом абстрактном уровне;
2) отсутствует важнейшая черта понятия функции - динамичность.
Периоды исторического развития понятия функции примерно также отражены и в школьном курсе математики.
Первый период:
- 1-5-е классы: изучаются различного рода зависимости между величинами.
Второй период:
- 7-9-е классы: введение понятия функции на аналитическом и графическом уровнях. Изучение различных видов функций: линейной, квадратичной (у = ах2, у = ах2 + Ьх + с ), кубической параболы у = ах3. При изучении конкретных видов функций в действующих учебниках математики четко не выделяются существенные признаки понятий, не устанавливается характер связи между признаками. Главным недостатком учебников при изучении функций является отсутствие методов исследования свойств (графического и аналитического). Имеет место только графическая иллюстрация отдельных свойств.
Анализ графического метода решения уравнений (неравенств) и графического метода исследования свойств функций показы-
вает, что общими в этих методах будут, прежде всего, выполняемые схемы рассуждений.
Отсутствие в учебниках аналитического метода исследования свойств функций с помощью аппарата уравнений и неравенств в 9-летней школе, во-первых, снижает общеобразовательный уровень самого понятия функции и связанных с ним понятий: область определения, область значений, область положительных (отрицательных) значений,
промежутки монотонности (возрастания, убывания), во-вторых, не позволяет устанавливать содержательные и процессуальные связи между понятиями «функция», «уравнение», «неравенство» и тем самым объединять понятия в системы.
Третий период:
- 10-11-е классы: современная (теоре-
тико-множественная) трактовка понятия функции. Происходит изучение следующих видов функций: степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических. Исследование свойств осуществляется с помощью аппарата производной. В 10-11-х классах при изучении функций, выявлении их свойств имеют место три аспекта, но ведущими являются два: логический и алгебраический.
При образовании системы понятий «Функции, уравнения и неравенства» и последующем ее развитии и совершенствовании все три аспекта должны активно функционировать.
Структуру теоретического ядра данной системы понятий составляют: 1) методы решения уравнений и неравенств; 2) методы доказательства неравенств; 3) исследование значений аналитических выражений на всей области определения или ее части. Сфера данной системы понятий представлена теми свойствами функций, математическую основу которых составляют процессы решения или доказательства неравенств. Периферию системы представляют конкретные виды функций, изучаемые с 7 по 11 классы и являющиеся математическими моделями процессов реальной действительности.
В оформленном виде система понятий «Функции, уравнения и неравенства» представляет собой генетическое и гноселогиче-ское единство всеобщего, особенного и единичного.
2. Теоретические блоки (подсистемы) системы «Функции, уравнения и неравенства»
Содержание данной системы понятий составляют два взаимосвязанных блока (теоретические подсистемы).
В первый блок (подсистему) входят понятия уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, их свойства, методы решения уравнений и неравенств, методы и приемы доказательства неравенств. Методы решения уравнений и неравенств, методы и приемы доказательства неравенств составляют содержательную основу процесса исследования свойств функций.
В экспериментальном обучении исследованию свойств функций с помощью аппарата уравнений и неравенств уделялось большое внимание; подробно отрабатывалась каждая выполняемая операция. Это отражено в наших работах [8, 9, 12].
Во второй теоретический блок входят математические факты: понятие производной, признаки монотонности, признаки максимума (минимума), наибольшие (наименьшие) значения функции.
Такие ведущие понятия, как: предел функции, непрерывность функции в точке и на отрезке формируются у учащихся на эмпирическом уровне. Но изучение понятий только на данном уровне не позволяет устанавливать между ними содержательные и процессуальные связи, а следовательно, и объединять понятия в теоретические блоки.
Наши многолетние теоретико-экспериментальные исследования показали, что если довести до уровня теоретического обобщения понятия предела, непрерывности функции в точке и на множестве, то это позволит:
1) выразить точный смысл понятия производной функции,
2) показать, что метод дифференциального исчисления выступает как основной метод математического анализа, т. к. с его помощью исследуются различные классы функций;
3) показать, что производная - это язык, на котором описываются многие процессы естествознания.
3. Структура системы понятий «Функции, уравнения и неравенства»
Структуру данной системы понятий мы рассматриваем как важную и необходимую часть ее содержания. Внутреннюю организацию системы понятий «Функции, уравнения и неравенства» мы рассматриваем как инвариант системы, что позволило нам сконструировать модели содержания соответствующих систем понятий (рис. 1, 2).
Для того чтобы предложенные схемы представляли абстрактно-общий инвариант рассматриваемой системы, успешно функционировали, чтобы формирование математических понятий осуществлялось по типу теоретического обобщения, нами на основе методологического анализа содержательнометодической линии «Функция» была выделена и представлена учебная задача, способствующая овладению теоретически обобщенными структурами понятий, системами понятий, способами решения определенных типов математических задач: «Раскрытие
структуры и содержания понятия функции, различных видов функций: линейной, квадратичной, кубической, парабол, квадратичной функции у = ах2 + Ьх + с , трансцендентных, их свойств на таком уровне теоретического обобщения, чтобы используемые и формируемые общие и специфические учебные действия могли быть применены к решению большего числа задач теоретического и прикладного характера».
В решении данной учебной задачи нами выделено несколько этапов: 1) раскрытие структуры и содержания понятия функции, формирование понятий: линейная функция, квадратичная, кубическая параболы, установление их свойств графическим методом;
2) раскрытие структуры и содержания поня-
тия квадратичной функции у = ах2 + Ьх + с , а также методов исследования свойств;
3) формирование понятий: степенной, показательной, логарифмической, тригонометрической функций, раскрытие их свойств как с помощью аппарата уравнений и неравенств, так и с помощью аппарата производной.
Учебная задача решается на основе формирования математических и учебно-познавательных действий: подведение под понятие, выведение следствий из факта принадлежности объекта понятию, сравнение, обобщение, абстрагирование, конкретизация и др.
Тригонометрические
Рис. 1. Модель содержания системы понятий «Уравнения и неравенства»
Рис. 2. Модель содержания системы понятий «Функции, уравнения и неравенства»
Выполненный анализ позволил установить, что система понятий о функциях содержательно и процессуально связана с системами понятий об уравнениях, неравенствах и тождественных преобразованиях: 1) каждое из понятий «уравнение (неравенство)», «тождество», «функция» образует многоуровневую теоретическую систему обобщенных знаний; 2) интегративным понятием каждой из этих теоретических систем знаний является, вообще говоря, понятие аналитического выражения; 3) каждое из представленных понятий выступает как самостоятельный объект изучения; 4) представленные понятия
выступают в качестве одного из эффективных средств исследования процессов и явлений действительности и современного производства.
Системно-структурный анализ системы понятий о функциях показал, что это сложная теоретическая система обобщенных знаний и учебных умений, которая также еще обладает свойствами незавершенности, целостности, функциональности.
Систему понятий «Функции, уравнения и неравенства» можно считать сформированной у учащихся, если они могут с подробным обоснованием: 1) выполнять исследование
свойств функции с помощью различных теоретических аппаратов; 2) осуществлять исследование процессов действительности и современного производства с помощью различных научных теорий; 3) осуществлять доказательство неравенств (алгебраических и трансцендентных) с помощью различных научных теорий.
Обратимся к рассмотрению системы понятий «Функция, производная, интеграл», которая содержательно и процессуально связана с предыдущей системой понятий.
1. Общая характеристика системы.
Научно-теоретическими основаниями системы понятий служат теория функций, теория уравнений, неравенств, тождественных преобразований. Ведущей идеей преемственного формирования и генерализации знаний является раскрытие сущности понятий: «производная», «первообразная», «интеграл» на основе концептуального и системно-деятельностного подходов. Основанием для развертывания всей совокупности знаний этой системы служит генетически исходное отношение, существующее между понятиями функции, производной функции и интегралом.
Теоретическое ядро рассматриваемой системы понятий представляют блоки знаний: 1) теория функций, уравнений, неравенств; 2) теория дифференциального исчисления; 3) теория интегрального исчисления.
Сфера данной системы понятий представляет собой различные приложения производной и интеграла:
1. Изучение приближенных вычислений.
2. Исследование свойств функций.
3. Вычисление площадей и объемов фигур.
4. Решение оптимизационно'-прикладных задач.
Периферию системы составляют знания о единичном: исследование конкретных функций с помощью аппарата производной; вычисление конкретных интегралов; решение простейших дифференциальных уравнений.
Уровневая структура рассматриваемой системы понятий представляет диалектическое единство всеобщего, особенного и единичного.
В зависимости от выбранных методических подходов раскрытие содержания рассматриваемой системы понятий может идти от ядра к периферии и наоборот.
2. Теоретические блоки системы понятий об изучении элементов дифференциального и интегрального исчислений
Первый блок представляют теория функций, уравнений и неравенств, а также связанные с ними понятия. Данный блок был подробно раскрыт выше (рис. 1). Этот блок является основополагающим для выполнения исследования свойств функций с помощью аппарата производной.
Второй блок представляет теория дифференциального исчисления.
Внедрение элементов математического анализа в школьный курс математики поставило перед учеными: математиками, педагогами, психологами сложные и разнообразные задачи: определить четкое назначение метода дифференциального исчисления в плане образования, воспитания, развития учащихся, в формировании их функциональной и методологической грамотности, научного мировоззрения [1-3, 5-8, 10, 12, 13].
Выполненные нами теоретические и экспериментальные исследования по изучению элементов дифференциального исчисления в школьном курсе (10 кл.) показали, что формирование понятий осуществляется не на должном научно-теоретическом уровне: 1) формирование понятия непрерывной функции представлено только на эмпирическом уровне, а это понятие является основополагающим в данном разделе; 2) определение производной функции не дает учащимся грамотного научно-теоретического представления о производной функции в точке и на отрезке; 3) не устанавливается содержательная связь между дифференцируемостью и непрерывностью функций.
Чтобы довести изучение понятий данного блока до уровня теоретического обобщения, необходимо было вскрыть: 1) логикопознавательную природу, функции, закономерности формирования и применения понятий дифференциального исчисления; 2) закономерности образования, дальнейшего формирования и интеграции. Это возможно будет осуществить в том случае, если блок будет иметь структуру (рис. 3). К тому же все понятия данного блока имеют в основе своего образования генетико-содержательную структуру, а следовательно, и должны формироваться по типу теоретического обобщения. Только в этом случае данная
1. Понятие предела функции.
2. Понятие производной функции.
3. Формулы дифференцирования.
4. Правила и приемы нахождения производных.
5. Основные теоремы дифференциального исчисления.
6. Ведущие понятия раздела:
- экстремумы функции;
- наибольшие и наименьшие значения.
7. Теоретическая схема исследования
свойств функции
Теория функций, уравнений, неравенств, тождественных преобразований
1. Понятие функции.
2. Понятие непрерывных и разрывных функций (теоретический уровень).
3. Область определения функции.
4. Область значения функции.
5. Понятие тождества и тождественного преобразования.
6. Методы и приемы решения уравнений и неравенств.
7. Методы доказательства неравенств
Теория интегрального исчисления
1. Понятия: первообразной функции и дифференциала.
2. Понятие неопределенного интеграла.
3. Понятие определенного интеграла и его свойства.
4. Таблица основных интегралов.
5. Методы и приемы вычисления интегралов.
6. Установление связи между
дифференцируемостью, непрерывностью, интегрируемостью
1. Приближенные Вычисление Решение классов
вычисления. площадей оптимизационно-
2. Исследование и объемов тел прикладных задач
свойств функций
Рис. 3. Модель содержания системы понятий об изучении элементов дифференциального и интегрального исчислений
подсистема понятий будет выполнять функции: обобщающую, развивающую, прогностическую и другие, что будет способствовать формированию творческого мышления учащихся. Этот подход подробно представлен в наших работах [8, 12].
Третий блок составляет теория интегрального исчисления (11 кл.).
Выполненные нами исследования по изучению элементов интегрального исчисления в школьном курсе математики (11 кл.) показали, что понятие интеграла представлено на эмпирическом уровне, причем представленный подход обладает рядом существенных недостатков: а) определение интеграла не дает учащимся правильного научнотеоретического представления о смысле понятия «интеграл» (в определенной степени оно даже искажает математическую сущность понятия); б) определение не является строгим теоретически, т. к. существуют интегральные функции, для которых неприменима формула Ньютона - Лейбница; в) определение плохо приспособлено на практике, т. к. каждый раз приходится проводить рассуждения, близкие к выводу формулы Ньютона - Лейбница; г) к тому же не разделены понятия неопределенного и определенного интеграла. Четко не выделены условия существования интеграла, не представлен прикладной аспект данного понятия. В своих методических комплексах [8] мы представляем следующую структуру данного блока: формирование понятий: первообразной
функции, неопределенного и определенного интегралов и их свойств, методы и приемы вычисления интегралов. Все указанные понятия, свойства этих понятий формируются по типу теоретического обобщения, широко используется метод восхождения от абстрактного к конкретному. Также большое внимание уделяется применению аппарата интегрального исчисления к решению классов прикладных задач.
Построенный таким образом блок будет способствовать: 1) раскрытию теоретической значимости метода интегрального исчисления; 2) формированию научного мировоззрения учащихся о происхождении научных понятий, их роли и значимости в исследовании процессов реальной действительности.
3. Структура системы понятий об изучении элементов дифференциального и интегрального исчислений
Логико-математический и системноструктурный анализы научных понятий раздела «Дифференциальное и интегральное исчисление» показал, что они также являются сложными теоретическими системами обобщенных знаний и обладают свойствами гетерогенности, неэлементарности, незавершенности, но в то же время целостности.
Внутреннюю организацию системы понятий об изучении элементов дифференциального и интегрального исчислений мы рассматриваем как инвариант целостной системы. Но чтобы в инварианте были установлены содержательные и процессуальные связи между теоретическим ядром, сферой и периферией, необходимо было:
1. Ввести учащихся в такую учебную задачу, в ситуации которой будут доведены до уровня теоретического обобщения математические факты представленных подсистем знаний.
2. Сформировать математические и учебно-познавательные действия, благодаря которым будет решена учебная задача, а следовательно, сформирован исследовательский аппарат метода дифференциального и интегрального исчислений.
3. Сконструировать модель, которая представляет собой абстрактно-общий инвариант рассматриваемой системы знаний (рис. 3).
Данная модель в «готовом виде» не представлялась вниманию учащихся. Получение этой модели осуществлялось самими учащимися по мере решения учебной задачи в их продуктивной учебно-познавательной деятельности.
Все представленные нами системы математических понятий взаимосвязаны структурно, содержательно, процессуально. Формирование этих систем - сложный и длительный процесс последовательного логикоматематического оформления в мышлении обучаемых результатов обобщения сущностных знаний об уравнениях, неравенствах, тождествах, функциях, производной, интеграле, их структурной организации и нахождения материализованных и адекватных им символико-графических и других знаковых форм выражения.
Формирование систем понятий начинается с их образования. Рассмотренные нами системы образуются способами:
1. Обобщение сформированных ранее понятий, относящихся к одной области знаний и объясняемых едиными научными теориями.
2. Логический вывод из генетически исходного всеобщего отношения.
При образовании систем понятий внимание учащихся направляется на отношение понятий, входящих в состав системы, на выделение их существенных признаков и установление связей между ними.
В основе образования понятий и их систем лежат обобщение, абстрагирование, систематизация и моделирование.
1. Барболин М.П. Методологические основы развивающего обучения. М., 1991.
2. Вертгеймер М. Продуктивное мышление / пер. с англ.; под общ. ред. С.Ф. Горбова,
В.П. Зинченко. М., 1987.
3. Ганеев Х.Ж. Теоретические основы развивающего обучения математике: монография. Екатеринбург, 1997.
4. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М., 1996.
5. Сохор А.М. Логическая структура учебного материала. М., 1974.
6. Талызина Н.Ф. Формирование приемов математического мышления. М., 1995.
7. Вечтомов Е.М. Философия математики: монография. Киров, 2004.
8. Токарева Л.И. Обобщение и систематизация знаний учащихся по изучению уравнений, неравенств, функций в курсе математики средней школы // Математика. 2003. № 29, 31, 32.
9. Токарева Л.И. Формирование системы математических понятий в концепции системно -деятельностного подхода // Вестн. Челябин. гос. пед. ун-та. Сер. 2: Педагогика. Психология. Методика преподавания. 2005. № 9.
С. 185-192.
10. Усова А.В. Совершенствование системы естественнонаучного образования в школе: монография. Челябинск, 2002.
11. Токарева Л.И. Методика изучения неравенств как средства исследования свойств функций в курсе математики восьмилетней школы: дис. ... канд. пед. наук. Л., 1984.
12. Токарева Л.И. Методология формирования фундаментальных понятий и их систем в обучении математике // Вестн. Помор. ун-та. Сер. Физиологические и психолого-педагоги-ческие науки. 2006. № 1 (9). С. 132-137.
13. Уёмов А.И. Системный подход и общая теория систем. М., 1978.
Поступила в редакцию 23.06.2008 г.
Tokareva L.I. The models of integrated process of forming conceptions and their systems in modern teaching. The article reveals actual problems of school mathematical education improvement: global and local structuring of training material; the systems of fundamental mathematical conceptions are marked out and the process of their formation is presented in detail.
Key words: structuring of training material, global and local structuring, system of conceptions, training tasks, cognitive activities training.
