CC BY
15
УДК 37.022
С. И. Калинин
РЕАЛИЗАЦИЯ ПОЛОЖЕНИЙ ФУНДАМЕНТАЛИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ В ПРАКТИКЕ ОБУЧЕНИЯ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ
В работе обсуждается тенденция фундамента-лизации образования, преломляемая на подготовку будущих учителей математики. Автор останавливается на характеризации деятельностной составляющей содержания обучения студентов, рассматривая такие вопросы, как работа с определениями понятия, работа с теоремой на этапе обобщения, работа с задачей на этапе поиска различных способов решения.
We discuss the trend of fundamentalization of education, refracted to preparing of fu-ture math teachers. The author dwells upon the characteristic of the activity content of student learning, considering such questions as working with the definition, the work with the theorem on the stage of generalization, the work of the task for finding the various solutions.
Ключевые слова: фундаментализация образования, содержание обучения, теорема, определение понятия, способ решения задачи.
Keywords: fundamentalization of education, learning content, Theorem, Definition, the way of the problem solution.
0. О фундаментализации образования. Для
сегодняшнего положения дел в высшей и средней школе характерно состояние поиска путей модернизации образования. Наблюдается процесс осмысления возможностей по их переходу к новой образовательной парадигме. Если прежняя, как известно, была в основном парадигмой обучения с ведущими лозунгами «знания, умения, навыки и воспитание» [1], то новая, предполагается, должна ориентироваться на становление «компетентности, эрудиции, творческих начал и культуры личности» [2]. Новая парадигма как парадигма образования прежнюю не отменяет, она вбирает в себя ставшие привычными приоритеты и нацеливает на более высокое качество образования.
Многие исследователи успех реформирования и модернизации вузовского образования связывают с его фундаментализацией. В частности, ректор МГУ В. А. Садовничий неоднократно озвучивал свою позицию по этому вопросу (см., напр., [3]) - так называемым «эталонным» может являться лишь «фундаментальное научное образование», главной целью которого служит распространение научного знания как части мировой культуры.
© Калинин С. И., 2012
Образовательная парадигма, ориентированная на фундаментализацию (фундаментальность) образования, в последние годы была объектом внимания и таких известных авторов, как Г. И. Саранцев, В. А. Тестов, И. В. Егорченко. Упоминаемые ученые в своих исследованиях так или иначе касаются вопросов фундаментализации вузовского математического образования, в том числе вопроса математической подготовки будущих учителей. Последней проблемой занимается и автор настоящей статьи.
Отметим следующее. Сам термин «фундаментализация» исследователями трактуется по-разному. Обращение к анализу представленных в литературе трактовок данного понятия позволяет определиться в следующем понимании фундаментализации вузовского образования. Фундаментализация высшего образования есть сложный феномен, основывающийся на сближении и соединении (интеграции) образовательного процесса по конкретному направлению подготовки специалистов с научными знаниями (в том числе с новыми научными сведениями, фактами, открытиями, методами исследований) соответствующей области специализации и научными достижениями тех методических наук, которые обеспечивают эту подготовку.
Под фундаментализацией математического образования в высшей школе условимся понимать систему мер, направленных на развитие таких компонентов содержания обучения студентов математическим дисциплинам, как предметные математические знания, адекватные этим знаниям и требованиям современного информационного общества к результатам образования учебные действия, эвристические и исследовательские способы математической деятельности, место математических разделов в системе знаний (естественнонаучных, технических, гуманитарных), их роль в изучении человеком явлений окружающего мира, этапы становления и развития отдельных областей математики. Данные меры предполагают:
- изменение учебных планов и программ математических дисциплин, по которым обучаются студенты; программы должны отражать «фундаментальное ядро» предметных знаний (базисные знания), определяемых государственным образовательным стандартом, и их вариативную составляющую;
- насыщение содержания обучения студентов математике новыми научными сведениями, фактами, открытиями в соответствующих направлениях математической науки, что обеспечивает сближение и интеграцию образовательного процесса с фундаментальными научными исследованиями в области математики;
- включение в программу математическом подготовки будущих специалистов научно-исследовательской деятельности студентов с первых курсов их обучения в вузе;
- обеспечение условий для формирования у студентов средствами математики гибкого научного мышления, общей культуры и профессиональных компетенций специалиста;
- создание условий для освоения обучаемыми научно-информационной базы с целью эффективного изучения математики;
- применение в организации математической подготовки студентов достижений методики обучения математике как научной области.
В частности, фундаментализация высшего педагогического образования в отношении подготовки будущих учителей математики необходимо предполагает снижение доли репродуктивных подходов в обучении студентов, их знакомство с современными математическими исследованиями, освоение студентами научно-информационной базы и вовлечение их в реальную научно-исследовательскую работу, осмысление положений и фактов школьной математики с точки зрения высшей, использование преподавателем математической дисциплины в обучении студентов его собственных фундаментальных исследований. Воплощение данной тенденции в образовательной практике необходимо ориентируется на реализацию в обучении математике деятельностного подхода как научной методологии.
В контексте сказанного обратимся к деятель-ностной составляющей содержания обучения будущих учителей математики, рассмотрев такие ее направления, как работа с определением понятия, работа с теоремой и работа с задачей, при этом в характеризации первого направления акцент сделаем на анализе связей определений понятия в контексте логических характеристик понятий в математике, характеризации второго -на этапе обобщения в работе с теоремой, а ха-рактеризации третьего - на этапе поиска различных способов решения задачи.
1. Понятие производной функции в точке. Сравнение определений производной. Обычно при изложении основ дифференциального исчисления функций одной вещественной переменной используют следующее хорошо известное определение производной функции в точке, введенное Огюстеном Луи Коши в 1823 году.
О п р е д е л е н и е 1. Пусть функция у = /(х)
определена в некоторой окрестности и(х0) точки
/(*)-/(*„)
x0. Составим разностное отношение
X хп
последний называют п р о и з в о д н о й функции / в точке х0, обозначая ее символом / '(х0). Таким образом, по определению Коши
/'(*„) = lim
X Хп
(1)
Определение производной (1) можно формулировать и в терминах приращений. Если в (1) х - х0 обозначить через Дх (приращение аргумента ^ а /(х) - /(хо) = /(хо + Дх) - /(хо) -
через Д/(х0) (п р и р а щ е н и е функции / в точке х0), то (1) можно переписать в виде
7 v Дх
(2)
Подчеркнем, именно соотношение (2) определяет производную в школьном курсе математики при знакомстве учащихся с началами анализа.
Заметим, что предел (1) можно формулировать в терминах последовательностей, следовательно, понятие производной функции можно вводить и в терминах последовательностей. Это будет выглядеть так.
Если для любой последовательности {х },
xя 0 u(xо),
" п-хс v
выполняется условие
где х е и(х0), х * х0. Если при х ^ х0 это разностное отношение имеет конечный предел, то
->А, где A - некоторое число, то
это число и есть производная f '(x0).
Следует отметить, что так производную в курсах анализа вводят редко, хотя в вопросах построения контрпримеров при доказательстве несуществования конечной производной конкретной функции данный подход может быть эффективным.
Рассмотрим определение производной функции через условие ее дифференцируемости. Для этого напомним, что условие существования производной f '(x0) функции f в точке x0 равносильно условию дифференцируемости этой функции в данной точке. Дифференцируемость функции f по Коши в точке x0 означает, что в окрестности u(x0) этой точки имеет место представление
f(x) - fX) = A(x - Х0) + "(x)(x - X0), (3)
где A = const, a(x)—>0. У дифференцируемой
функции производная f '(x0) как раз совпадает с константой A, характеризующей представление приращения f(x) - f(x0) в (3). Таким образом, понятие производной функции в точке можно вводить так:
О п р е д е л е н и е 2. Пусть функция f дифференцируема по Коши в точке x0, т. е. для ее приращения f(x) - f(x0) в некоторой окрестности u(x0) данной точки имеет место представление (3). Тогда константу A в (3) назовем производной функции f в точке x0.
Рассмотрим теперь подход к введению понятия производной, схожий с предыдущим, но реализуемый в несколько иных терминах. Такой подход рассматривается, например, в учебнике [4]. Наряду с данной функцией f(x) будем рассматривать линейные функции, которые в точке x0 принимают значение f(x0). Такие функции можно описать формулой
У = A(x - xo) + f(xo), (4)
где A = const. Введем следующее
О п р е д е л е н и е 3. Если константа A такова, что линейная функция (4) с такой константой при x ^ x0 имеет отклонение от функции f(x), бесконечно малое более высокого порядка малости, нежели x - x0, то эту константу назовем производной функции f в точке x0.
Данное определение понятия производной корректно, и так определяемая производная функции совпадает с производной Коши. Действительно, если функция (4) отклоняется от f(x) в окрестности x0 на величину o(x - x0) при x ^ x0, то это условие можно записать так:
f(x) - (A(x - x0) + f(x0)) = o(x - x0),
или
f(x) - f(x0) = A(x - x0) + o(x - x0). Но последнее представление означает диффе-ренцируемость функции f в точке x0. Значит, константа A в этом представлении совпадает с fN(x0).
Перейдем к рассмотрению понятия производной функции по Каратеодори. Функцию f, определенную в окрестности u(x0) точки x0, назовем дифференцируемой по Каратеодори в этой точке, если существует такая определенная на рассматриваемой окрестности и непрерывная в точке x0 функция Ф^), что на u(x0) будет иметь место представление
f(x) - f(x0) = Ф(x)(x - x0). (5)
Функцию Ф^) в (5) называют производной Каратеодори функции f в точке x0. В работе [5]
мы договорились обозначать ее символом f x (x), или, более кратко, f (x).
В цитируемой работе показано, что диффе-ренцируемость функции в точке по Коши и диф-ференцируемость в ней по Каратеодори - эквивалентные понятия, причем / (x0) = f '(x0). Следовательно, можно иметь в виду следующий подход к введению понятия производной:
О п р е д е л е н и е 4. Пусть функция f(x) дифференцируема по Каратеодори в точке x0,
f (x) - ее производная Каратеодори в данной точке. Число /(x0) назовем производной функции f в точке x0.
Воспроизведем теперь определения из [6] понятий двусторонней производной и полной производной функции в точке.
Пусть функция f(x) определена в проколотой окрестности u0(x0) точки x0.
О п р е д е л е н и е 5. Двусторонней производной f (х0) функции f в точке х0 назовем предел
/'(*„)= Iirn/(V)"/(M)
«->•4,-0
v-u
(6)
в котором предполагается, что u * v. Соотношение (6) означает следующее:
Ve>0 35(e)>0 Vm6«°(x0))Vv6m°(x0) л:0 -б <и< х0 <v<x0+8, иФм
<8
Заметим, что двусторонняя производная f (х0) функции f в точке х0 может быть определена, в частности, для функции, не заданной в самой точке х0.
В [7] доказана следующая Теорема 1.1. Если функция ( дифференцируема в точке х0, то она в этой точке имеет и двустороннюю производную ( (х0), при этом
Г '(х0) = Г (Х0).
Из (6) следует, что если функция f в точке х0 определена и в этой точке она обладает двусторонней производной f (х0), то она имеет и обычную производную f '(х0), совпадающую с f (х0). Таким образом, можно сформулировать
О п р е д е л е н и е 6. Пусть функция ^х) определена в окрестности и(х0) точки х0. Ее производной f '(х0) в точке х0 назовем предел
/'(*„)= lim^MziM
«-»q-O v-^-K)
v—u
(7)
если последний существует и конечен.
Двустороннюю производную f (х0) возможно выразить не через двойной предел (6), а в терминах предела последовательностей: если число А таково, что для любых последовательностей {ап},
{Ьп}, обладающих свойством а <х ,а —>хп
Ъ > х.,Ь
и 0" и
»' » n-U °'
b , соответствующая после-
/•/1 \ /•/ \
довательность ---— стремится к А при
Ъп -ап
п 6 4, то А = f (х0). В терминах последовательностей можно определить и производную (7).
Очевидно, все приведенные шесть определений производной функции в точке, рассмотренные выше, являются равносильными (равнозначными) определениями.
Приведем понятие полной, или, по-другому, П-производной функции ^х) в точке х0. Пусть снова функция ^х) определена в проколотой окрестности и0(х0) точки х0.
О п р е д е л е н и е 7. Будем говорить, что функция ^х) в точке х0 имеет П-производную, если существует предел
a
п
1тг
«-«О "-«о
т-т
у—и
(8)
Данный предел автор книги [8] предложил обозначать / *(х0).
Предел (8) следует понимать так:
\/Е > 0 Э5(е) >0 Уием0Ос„)Л/уем0(*„)
т-г(и)
и- х <5, V- х <6, и
<8
Очевидно, что если в условиях определения 7 функция /(х) в точке х0 определена и существует предел (8), то она в точке х0 будет дифференцируемой и для нее справедливы соотношения
/ 'К) = / 'К) = / *{х),
т. е. (8) будет определять тогда производную / (х0).
Справедлива следующая теорема ([9]) о достаточных условиях существования П-производ-ной функции в точке.
Теорема 1.2. Если функция /(х) является дифференцируемой в некоторой окрестности точки х0 и ее производная / '(х) непрерывна в самой точке х0, то существует также и П-производ-ная /*(х0), при этом /*(х0) = /'(х0).
Кроме того, верна [10].
Теорема 1.3. Если функция /(х) является дифференцируемой в некоторой окрестности точки х0 и существует П-производная / *(х0), то производная / (х) непрерывна в точке х0.
Охарактеризуем методические требования к усвоению представленных выше определений понятия производной функции.
Важной составляющей в совокупности таких требований является мотивация введения (рассмотрения) того или иного определения при построении соответствующей теории дифференцируемых функций. Мотивация связана с осмыслением значимости конкретного определения, проявлением интереса к нему в контексте изложения основных вопросов дифференциального исчисления и его приложений.
Скажем, введение производной Коши обусловлено необходимостью получения метода решения таких задач, как задачи о касательной к плоской кривой, задачи о вычислении мгновенной скорости при неравномерном движении, задачи о нахождении линейной плотности неоднородного стержня и др.
Введение в рассмотрение понятия производной Каратеодори можно мотивировать также возможностями более простого описания условия дифференцируемости функции и компактностью изложения соответствующих вопросов дифференциального исчисления (например, обоснование основных правил дифференциального исчисления функций).
При определении мгновенной скорости ^(¿0) использование понятия двусторонней производ-
ной предполагает учет значений средней скорости не только на временных промежутках [¿0; t0 + Д^] или [¿0 - Д^ ta\, но и на промежутках [^ '; ?'], где t' < t0 < t", а при определении положения касательной - учет секущих, определяемых точками М' (х '; /(х')) и М"(х"; /(х")), где х ' # х0 # х", х ' * х".
Введение понятия П-производной /*(х0) объясняется потребностью развития теории дифференцируемых функций.
Укажем сейчас на существенные свойства некоторых введенных понятий производных, которые ложатся в основу формулировок их определений. Например, производная Коши /'(х0), определяемая через соотношение (2), характеризуется заданностью функции / в точке х0 и некоторой ее окрестности, конечным пределом отношения приращения Д/(х0) функции в точке х0 к вызвавшему его приращению аргумента Дх при стремлении последнего к нулю. Двусторонняя производная / '(х0) предполагает задание функции / в проколотой окрестности точки х0, и при ее определении важным является существование
т-т
конечного предела отношения - при
V —и
и 6 х0 - 0, V 6 х0 + 0, и * V. Аналогично, П-производная / *(х0) обладает свойством иметь конечный предел такому же разностному отношению, только в более слабых предположениях относительно переменных и, V.
Все рассматриваемые определения понятия производной функции в точке имеют общий универсум. В качестве последнего может выступать, например, множество функций, определенных в проколотой окрестности данной точки. Следовательно, представленные понятия производной сравнимы. Необходимо уметь исследовать их на предмет совместимости.
В силу критерия Коши - Каратеодори диф-ференцируемости функции в точке (см., напр., [11]) можем заключить, что понятия производной функции в точке по Коши, ее дифференци-руемости в точке по Коши или Каратеодори, производной Каратеодори, а также понятия производной, вводимые определением 3, являются равнозначными, или, по-другому, эквивалентными понятиями, поскольку их объемы совпадают.
Сравним объемы понятий производной функции по Коши и двусторонней производной. Поскольку (см. теорему 1) дифференцируемая в точке х0 функция / обладает в этой точке и двусторонней производной /' (х0), причем /'(х0) = /' (х0), то объем второго понятия превосходит объем первого. Заметим, превосходит строго, поскольку можно указать функции, обладающие в точке двусторонней производной, но не имеющие в этой точке обычной производной
Коши. Например [12], функция /(■*)=- в точке х = 0 имеет двустороннюю производную /'(0) = 0, тогда как в точке х = 0 она даже не определена. Таким образом, понятие двусторонней производной является родовым по отношению к понятиям производной функции по Коши, по Каратеодори, дифференцируемой функции по Коши или по Каратеодори. Оно обобщает перечисленные понятия, его содержание меньше, чем у последних.
Рассмотрим теперь главные логические характеристики понятия П-производной. Его объем меньше объема понятия двусторонней производной, причем строго (см. [13], где приводится пример функции, у которой / *(0) не существует, а /'(0) = / '(0) = 0). Следовательно, это понятие есть ограничение или сужение понятия двусторонней производной. Содержание понятия П-про-изводной превосходит содержание понятия двусторонней производной.
Сопоставление понятия П-производной с понятием обычной производной Коши позволяет заключить, что эти понятия пересекаются. Такой вывод следует из теоремы 2 и примеров функций, у которых /*(х0) не существует, а / '(х0) имеет место, и наоборот.
Заметим, что понятия производной функции в точке, вводимые через определения 2 и 3, друг по отношению к другу могут быть рассмотрены как аналогии.
При усвоении определений рассматриваемых нами понятий производной важным является изучение всех их существенных свойств, поскольку эти свойства кладутся в основу определений понятий и составляют их содержание. Это в значительной степени достигается с помощью задач и упражнений на распознавание объектов, принадлежащих конкретному понятию. Приведем пример. Нетрудно показать, что функция у = х3 в точке х0 дифференцируема по Коши, ибо ее приращение Ду(х0) = (х0 + Дх)3 - х0 представляется в виде Ду(х0) = 3х02 Дх + 3х0(Дх)2 + (Дх)3. Здесь константа А из (3) есть 3х°0, т. е. у' (х0) = 3х0, а о(Дх) = 3х0(Дх)2 + (Дх)3. Отсюда имеем
х3 - х3 = 3х0(х - х0) + 3х0(х - х0)2 + (х - х0^
значит, линейная функция у = 3х0 (х - х0) + х^ при х 6 х0 от функции у = х3 отклоняется на величину о(х - х0). Следовательно, угловой коэффициент 3х0 такой линейной функции есть производная функции у = х3 в точке х0 в смысле определения 3.
Далее, поскольку х3 - х* = (х2 + хх0 + х0)(х - х0), то функция / = х2 + хх0 + х°2 есть производная Каратеодори функции у = х3 в точке х0, т. е. эта
функция дифференцируема по Каратеодори в рассматриваемой точке. Значит, ее производную Коши можно определить как
у ' (х0) = У(х0) = хо2 + х0х0 + хо2 = 3х°,
т. е. по определению 4.
Кроме того, по теореме 1 функция у = х3 в точке х0 имеет и двустороннюю производную у'(х0), она совпадает с у ' (х0) = 3х^.
Существует ли у рассматриваемой функции П-производная у*(х0)? Для ответа на этот вопрос можно привлечь теорему 2. Функция у = х3 дифференцируема всюду на числовой прямой, и ее производная у' = 3х2 непрерывна в точке х0, значит, у*(х0) существует и равняется 3х^.
Важным моментом усвоения понятия является и выведение различных следствий из принадлежности объекта понятию. Например, существование в точке х0 у функции у = х3 любой производной - у*(х0), у'(х0), у' (х0) или /(х0) - влечет ее непрерывность в этой точке.
Мы рассмотрели работу с определениями понятия производной функции в точке, обращаясь лишь к шести определениям данного понятия. Такая работа существенно расширится, если привлечь к осмыслению другие определения, скажем, определения производной по Шварцу [14], симметрической производной [15], /-производной [16], верхней и нижней производных [17], производной Фреше [18], производной Гато [19].
Подчеркнем, что при изложении материала данного пункта статьи нами использовалась концепция формирования понятий в математике, разработанная Г. И. Саранцевым в учебных пособиях [20].
2. Работа с теоремой на этапе обобщения. Обобщения классической теоремы Ролля. Подчеркнем, во-первых, что в практике обучения будущих учителей математике при работе с теоремой этапу обобщения необходимо уделять должное внимание, поскольку такая работа способствует формированию исследовательских навыков, развивает математическую интуицию, эвристическое и логическое мышление студентов. Данный этап является ключевым в формировании у них навыков ведения научно-исследовательской деятельности.
Для иллюстрации методики работы с теоремой на этапе обобщения обратимся к классической теореме Ролля. Последняя в курсах анализа формулируется обычно следующим образом.
Теорема (Ролля). Пусть / : [а; Ь] 6 R - непрерывная функция, дифференцируемая на интервале (а; Ь), для которой выполняется условие /(а) = /(Ь). Тогда найдется хотя бы одна точка >, > е (а; Ь), такая, что / '(>) = 0.
В работе [21] мы показали, что данная теорема может быть распространена с простых
(обычных вещественнозначных) функций на вектор-функции и линейные комбинации соответствующих функций. Справедливы теоремы
Теорема 2.1 (векторный вариант теоремы Рол-ля). Пусть f : [a; b] ^ Rn - непрерывная вектор-функция, компоненты f1(x), ..., fn(x) которой дифференцируемы на интервале (a; b), при этом f (a) = f (b), i = 1, ..., n. Тогда найдутся точки >1, ..., >п, такие, что вектор (f '(>1), ..., fn ' (>п)) будет 0-вектором.
Теорема 2.2. Пусть f : [a; b] - R (i = 1, ..., n) - непрерывные функции, дифференцируемые на интервале (a; b). Пусть, далее, 81, ..., 8п -такие константы, для которых выполняется
в п
условие ^h.f.(a) = ^X.f.(b). Тогда найдется ¡=1 ;=1
хотя бы одна точка >, > 0 (a; b), такая, что
2ХШ = о.
Г=1
Очевидно, теоремы 2.1 и 2.2 расширяют класс объектов, к которым применима закономерность теоремы Ролля. Попытаемся теперь ослаблять условия данной теоремы.
Отказ от требования равенства значений функции f на концах отрезка приводит к классической теореме Лагранжа.
Теорема 2.3 (Лагранжа). Пусть f : [a; b] ^ R - непрерывная функция, дифференцируемая на интервале (a; b). Тогда найдется хотя бы одна точка >, > 0 (a; b), такая, что f(b) = f(a) = f ' (>)(b - a).
Теорема Лагранжа по сравнению с теоремой Ролля указывает на более общую закономерность для функций, непрерывных на отрезке и дифференцируемых внутри него. Она расширяет также класс объектов, к которым применяется теорема Ролля.
Ослабление условия дифференцируемости функции в точках интервала (a; b) позволяет сформулировать в терминах односторонних производных следующую теорему.
Теорема 2.4 (B. Finta [22]). Если непрерывная функция f : [a; b] ^ R в каждой точке x интервала (a; b) обладает конечными односторонними производными f ' (x), f+ ' (x) и f(a) = f(b), то найдется хотя бы одна точка >, >0 (a; b), такая, что отрезок с концами в точках f_ '(>), f+ ' (>) будет содержать в себе значение y = 0.
Условие дифференцируемости функции f в точках интервала (a; b) в формулировке теоремы Ролля, оказывается, можно ослабить еще более. Возможно формулирование обобщения теоремы Ролля в терминах только одной из односторонних производных. Справедлива
Теорема 2.5 [23]. Если непрерывная функция f : [a; b] ^ R в каждой точке x интервала (a; b) обладает конечной правосторонней производной
f+' (x) и f(a) = f(b), то найдутся точки >, 0, >, 0 е (a; b), такие, что будут выполняться неравенства f+' (>) $ 0, f+' (0) < 0.
Теорема 2.5 снова расширяет круг объектов, к которым применимо утверждение классической теоремы Ролля, и обобщает закономерность утверждения этой теоремы: в ней условия существования производной функции f на интервале (a; b) заменяется более слабым условием - требуется существование на этом интервале лишь правосторонней производной f+' (x), а вывод о существовании точки > со свойством f'(>) = 0 заменяется более общей закономерностью о наличии точек > и 0, удовлетворяющих соотношениям f+' (>) $ 0, f+' (0) < 0.
Рассмотрим еще одно обобщение теоремы Ролля, в котором допускается рассмотрение функции не на замкнутом отрезке, а на открытом интервале (возможно, даже бесконечной длины), при этом не исключается существование у функции бесконечной производной.
Теорема 2.6. Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на интервале (a; b) (-4< a < b < +4) числовой прямой и в каждой точке этого интервала обладает либо конечной, либо бесконечной (равной +4 или -4) производной. Пусть, далее,
существуют пределы lim f{x) и lim f(x), равные одному и тому же значению С, C е R и {-4; +4}. Тогда найдется хотя бы одна точка >,
> е (a; b), такая, что f '(>) = 0.
Сформулированная теорема нами установлена в недавней работе [24]. Следует заметить, что ее с учетом теорем 2.4-2.5 можно формулировать и в более слабых предположениях относительно функции y = f(x). Предоставим читателю возможность сделать это самостоятельно.
В заключение характеризации работы с теоремой на этапе обобщения приведем еще два варианта обобщенной теоремы Ролля.
Теорема 2.7 [25]. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], l-дифференцируема в интервале (a; b) и на концах этого интервала принимает равные значения. Тогда существует точка >, > е (a; b), такая, что f '(>) = 0.
Теорема 2.8 [26]. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b] числовой прямой и удовлетворяет условиям: 1) она непрерывна на [a; b]; 2) f(a) = f(b). Тогда существует точка >,
> е (a; b), такая, что
Теорема 2.7 формулируется в терминах l-про-изводной функции f, а теорема 2.8 - в терминах верхней и нижней производных [27] рассматриваемой функции. Данные теоремы существенно расширяют класс объектов, к которым применимо утверждение классической теоремы Ролля.
Следует заметить, что организация со студентами глубокой работы по обобщению клас-
сических утверждений математики имеет далеко идущие перспективы в плане приобщения будущих специалистов к реальной исследовательской деятельности. С целью иллюстрации данного положения скажем, что представленные в настоящем пункте обобщения теоремы Ролля открывают путь к построению новых теорий дифференциального исчисления функций. В рамках таких построений многие принципиальные вопросы посильны студентам для самостоятельных исследований.
3. Работа с задачей. Этап поиска различных решений. Обратимся сейчас к иллюстрации этапа поиска различных способов решения задачи при работе с последней. С этой целью условимся рассмотреть иррациональное уравнение
Ф -л/\-х2 + Ф + =2, (9)
представляя различные способы его решения. Данное уравнение неоднократно обсуждалось на страницах журнала «Математика в школе» (см., напр., работы [28]). О нем в работе [29] подмечено, что такого типа уравнения «достаточно часто встречаются среди конкурсных и олимпиад-ных заданий».
В статье [30] уравнение (9) решается посредством подстановок
лА +л/1-х2 =и, 5-\Д-л/1-х2 = V ,
которые сводят уравнение к системе
и+у = 2, и5+у5 =2
относительно и и V. Данная система имеет единственное решение и = 1, V = 1, откуда находятся корни х = ±1 уравнения (9). Представленный способ условимся называть первым способом решения уравнения (9).
Обсудим второй способ, обращаясь к функционально-графическому методу решения уравнений. То, что значения х = ±1 - корни уравнения, можно догадаться. Отсутствие других корней позволяет установить факт убывания 1 1
функции /(?) = (1-*)5+(1+*)5, t е [0; 1], которую несложно исследовать в терминах производной.
Третий способ. Заметим, что х = 0 не является корнем уравнения. На множестве [-1; 1]\{0} возможна оценка сверху слагаемых левой части уравнения по обобщенному неравенству Бернул-ли [31]:
л/1 — х2 +^1+л/1-х2 <
< 1--л/1-х2 +1 + -л/1-х2 =2. 5 5
Поскольку равенство в полученной оценке достигается только при условии = 0 , то
отсюда находим искомые корни х = ±1.
Представленный способ решения уравнения (9) реализуется в статьях [32] и [33].
Четвертый способ. Рассмотрим решение обсуждаемого уравнения, основывающееся на применении неравенства Иенсена [34] для вогнутой
на промежутке [0; +4) функции /('х) = \[х . Так как
-5лА + л/Г--7 + <
2 2
то исходное уравнение равносильно уравнению
\ + _ х2 = I _ - л:2 , из которого находим корни х = ± 1.
Заметим, что последние два способа реализуют применение при решении уравнений метода неравенств. В отношении уравнения (9) данный метод оказывается весьма экономичным.
Пятый способ. Рассмотрим способ решения, основанный на применении неравенства Иенсена для логарифмически вогнутой [35] функции у = х5, х е (0; +4). Имеем:
^1 + л/1-х2 + ^-л/Г^У = = 25(д5л/1 + + - л/ГТ" у >
5 5
> 25 [^-л/Г^У = 25 л/7,
или
^1 + л/Г^Г +5л/1-л/Г7 >2|х|, х е [-1; 0)и(0; 1].
Равенство в произведенной оценке будет достигаться только при условии ^/ьъл/Ь-х^ = л/1--л/Г--х2=, то есть при х = ±1. Отсюда следует, что х = ±1 -корни рассматриваемого уравнения.
То, что других корней у рассматриваемого уравнения нет, можно показать так, как это сделано в решении вторым способом.
Шестой способ. Отмечая, что х = 0 не является корнем исследуемого уравнения, левую часть последнего на множестве [-1; 0)и(0; 1] оценим снизу по неравенству Коши. Будем иметь:
5л/1-л/Т^Г + + ^1 + л/1-х2 >2-ф-(1-х2) = 2-ф\,
при этом равенство в произведенной оценке достигается только при условии \]\ - = ^Д + л/Г-!^,
то есть при х = ±1. Следовательно, значения х = ±1 есть корни рассматриваемого уравнения. Остается показать, что других корней уравнение не имеет.
Седьмой способ. Решим уравнение (9), используя свойство монотонности среднего степенного [36]. Значение х = 0 не является корнем уравнения. Для х е [-1; 0)и(0; 1] введем в рассмотрение среднее степенное Е(^) положительных величин 1 + л/1 -х2 и 1 - 4\ -х1 , полагая
т--
( + л/1-х2)+(-л/1-х2)
Поскольку
ГМо,
то имеем
1+ л/1-Х2 +1-л/1-Х2)
=1,
что при всех х из области определения D неизвестного уравнения (12) их значения содержатся в X и выполняется условие
ри + qv = ри1 + qv1, то уравнение (12) на множестве D1 = D п {х : и(х) # v(x); и1(х) # v1(x)} равносильно уравнению
и(х) = и1(х).
При равенстве весов р и q, т. е. при условии
р = д =
установленная теорема уточняет упо-
или
+ (-л/1-х2)<2. (10)
Исходное уравнение есть реализуемое со знаком равенства последнее неравенство. Так как в (10) равенство достигается только при условии
1+ л/1-д:2 = 1-л/1-х2,
то отсюда находим искомые корни уравнения -
х = ±1.
Восьмой способ. Рассмотрим решение уравнения (9), представленное в статье [37]. Так как данное уравнение записывается в виде
/(и) + /(V) = /К) + ¡(о) (11)
где Дх) = ^, м = 1+л/1-х2, у = 1-л/1-х2,
и1 = 1, о1 = 1, то в силу теоремы 2 цитируемой работы оно будет равносильно совокупности уравнений и = и1, и = о 1, т. е. уравнению
1 + л/1-х2 =1 . Корни последнего, как было показано выше, есть х = ±1.
З а м е ч а н и е. В статье [38] нами рассматривалось уравнение
р/(и) + q/(v) = р/(и1) + q/(Vl), (12) где р, q > 0, р + q = 1; и, о, и1, о1 - функции относительно искомого неизвестного х; / - некоторая функция. Очевидно, при р = Ч = уравнение (12) переходит в уравнение (11). В отношении уравнения (12) доказана [39] следующая
Теорема А. Если в уравнении (12) функция /(х) является строго выпуклой вверх или строго выпуклой вниз на промежутке X, функции и = и(х), о = о(х), и1 = и1(х), о1 = о1(х) такие,
минаемую выше теорему 2 из [40], касающуюся уравнения (11). В этом случае на множестве D2 = D п ({х : и(х) # о(х); и1(х) # о1(х)} и {х : и(х) > о(х); и1(х) > о1(х)} уравнение (12) равносильно уравнению и(х) = и1(х), а на множестве
D3 = D п ({х : и(х) # о(х); и1(х) > о1(х)} и {х : и(х) > о(х); и1(х) # о1(х)} -уравнению и(х) = о1(х). Объединение же множеств D2 и D3 совпадает с областью задания D уравнения (12).
Ясно, что восьмой способ решения уравнения (9) может быть реализован и с опорой на приводимую теорему А.
Подведем итог. В настоящем пункте рассмотрено восемь подходов к решению одного иррационального уравнения. Они имеют различную степень трудности реализации, основываются на различных теоретических фактах, но в своей совокупности демонстрируют эффективное применение стандартных и специальных методов решения уравнений, формируя эстетическое восприятие математики.
Подчеркнем, что при обучении студентов педвуза математике организации работы с задачей важно уделять особое внимание, поскольку через такую работу реализуется активность усвоения учебного материала, а значит, и его глубина. В рамках данной работы особое значение имеет этап решения задачи разными способами. Его методическая целесообразность может быть объяснена, в частности, тем, что в процессе поиска различных способов решения задачи развивается особая гибкость мышления, формируется творческое мышление.
Примечания
1. Суханов А. Д. Концепция фундаментализации высшего образования и ее отражение в ГОСах // Высшее образование в России. 1996. № 3. С. 17-24.
2. Там же.
3. Садовничий В. А. Традиции и современность // Высшее образование в России. 2003. № 1. С. 11-18.
4. Шилов Г. Е. Математический анализ (функции одного переменного). Ч. 1-2. М.: Наука, 1969. 528 с.
5. Калинин С. И. К вопросу об изучении темы «Производная» // Математика в школе. 1994. № 4. С. 59-62.
6. Попов В. А. Элементарная математика и начала анализа: методические статьи и задачи. Сыктывкар: Коми гос. пед. ин-т, 2002. 300 с.; Попов В. А. Новые основы дифференциального исчисления: учеб. пособие для спецкурсов. Сыктывкар: «ПОЛИГРАФ-СЕРВИС», 2002. 64 с.
7. Попов В. А. Элементарная математика ... С. 155.
8. Там же.
9. Там же. С. 168.
10. Там же. С. 169-170.
11. Калинин С. И. Об изложении основ дифференциального исчисления вещественнозначных функций одной и нескольких переменных в терминах понятия дифференцируемости функций по Каратеодо-ри // Математика в образовании: сб. ст. Вып. 2 / под ред. И. С. Емельяновой. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2006. С. 1.
12. Попов В. А. Новые основы ... С. 14.
13. Там же. С. 25.
14. Калинин С. И., Канин Е. С., Маянская Г. М., Ончукова Л. В., Подгорная И. И., Фалелеева С. А. Задачи и упражнения по началам математического анализа: пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики и для внекл. занятий математикой. М.: Московский Лицей, 2001. 208 с.; 2-е изд. М.: Московский Лицей, 2002. С. 49.
15. Математическая энциклопедия / гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок - Сло. М.: Сов. энцикл., 1984. 1216 стб.
16. Брайчев Г. Г, Меньшикова А. Л. Об одном обобщении понятия производной и его применения в математическом анализе // Научные труды математического факультета Моск. пед. гос. ун-та: юбилейный сб. 100 лет. М.: Прометей, 2000. С. 27-30.
17. Брайчев Г. Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций. М.: Прометей, 2005. С. 50.
18. Колмогоров А. Н, Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. С. 451.
19. Там же. С. 453.
20. Саранцев Г. И. Общая методика преподавания математики. Саранск, 1999. 208 с.; Саранцев Г. И. Методика обучения математике в школе. М., 2002. 224 с.
21. Калинин С. И. Теорема Ролля в контексте этапа обобщения работы с теоремой // Математика в школе. 2009. № 3. С. 53-58.
22. Finta B. A generalization of the Lagrange mean value theorem // Octogon. 1996. 4, № 2. С. 38-40.
23. Калинин С. И. Теорема Ролля ...
24. Калинин С. И. Обобщение теоремы Ролля в редакции Франклина // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Вып. 14: период. межвуз. сб. науч.-метод. работ. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2012. С. 97-104.
25. Брайчев Г. Г., Меньшикова А. Л. Указ. соч. С. 28-29.
26. Брайчев Г. Г. Введение в теорию роста ... С. 5758.
27. Там же. С. 50.
28. Смоляков А. Н. Нестандартные способы решения иррациональных уравнений // Математика в школе. 2002. № 7. С. 35-36; Фирстова Н. И. Решение некоторых видов уравнений при помощи нера-
венств // Математика в школе. 2002. № 1; Чуча-евИ.И., Денисова Т. В. Выпуклые функции и уравнения // Математика в школе. 2005. № 5; Калинин С. И. Логарифмически выпуклые функции, их свойства и применения // Математика в школе. 2007. № 7. С. 41-50, 76; Сорокин Г. А. Экстремум и неравенства // Математика в школе. 1997. № 1. С. 76-81.
29. Чучаев И. И, Денисова Т. В. Указ. соч. С. 41.
30. Смоляков А. Н. Указ. соч.
31. Сорокин Г. А. Указ. соч. С. 77.
32. Фирстова Н. И. Указ. соч.
33. Сорокин Г. А. Указ. соч.
34. Калинин С. И. Логарифмически выпуклые функции ... С. 41-42.
35. Там же. С. 42-43.
36. Калинин С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана: учеб. пособие по спецкурсу. Киров: Изд-во ВГГУ, 2002. 368 с.
37. Чучаев И. И, Денисова Т. В. Указ. соч.
38. Калинин С. И. Об одном применении выпуклых функций при решении уравнений // Математика в школе. 2009. № 4. С. 30-35.
39. Там же. С. 31-32.
40. Чучаев И. И., Денисова Т. В. Указ. соч.
УДК 159.9.07
Е. В. Бакшутоба
СКРЫТАЯ СЕМАНТИКА СОЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ В АУТОДИСКУРСЕ ИНТЕЛЛИГЕНЦИИ
Работа посвящена анализу скрытых семантических ролей и функциональной грамматики дискурса. В текстах выявлялся падеж субъекта действия, темпоральные характеристики, модальность, функции потенциальности и реализованности. В работе показано, как через формальные средства выражения передается смысловое отношение интеллигенции к собственным ролевым позициям.
Is devoted to the analysis of latent semantic roles and functional grammar of discourse. The texts detected case the actor, temporal characteristics, modality, potentiality and realizovannosti function. The paper shows how a formal means of expression to the semantic relationshi p of intellectuals to their own role positions.
Ключевые слова: интеллигенция, групповое сознание, дискурс, субъект познания и деятельности, семантические роли, функциональная грамматика, смыслотворчество.
Keywords: the intelligentsia, the group consciousness, discourse, the subject of knowledge and activity, semantic roles, functional grammar, creation of meaning.
Психология больших групп является важнейшей в социальной психологии и рассматривается в ряде работ ([1]). Вместе с тем в настоящее время сами группы перестали быть жестко определенными, по-настоящему устойчивыми; очевиден
© Бакшутова Е. В., 2012
