Обучение студентов использованию идеи доказательства теоремы в качестве методического средства Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

3) в осознании студентами практической и теоретической необходимости создания ДОМО, а также в понимании важности корректировки извне и изнутри собственного СО, т.е. начинают проявляться качественные изменения в самопознании;

4) в понимании студентами, что ДОМО еще не так качественно выражен в их деятельности, как представления о нем в сознании.

Дальнейшими ближайшими учебными задачами следует считать: 1) осмысление МО в логике собственных методических действий через логику конструирования МО, понимание возможности по разному интерпретировать бумажный МО, и, при этом, получая разные ДОМО; 2) дальнейшее осмысление теории МО через раскрытие взаимосвязей этой теории с выполнением практических действий; 3) активизировать самопонимание через качественное осмысление результатов самопознания себя и своих возможностей в сведении данным МО.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Методика и технология обучения математике / под научн. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подхо-довой. М.: Дрофа, 2005. С. 128-144.

2. Методика и технология обучения математике. Лабораторный практикум: учеб. пособие для студентов матем. факультетов пед. ун-тов / под ред. В.В. Орлова. М.: Дрофа, 2007. С. 62-74.

М.Г. Макарченко, Н.Е. Ляхова

ОБУЧЕНИЕ СТУДЕНТОВ ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ИДЕИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ В КАЧЕСТВЕ МЕТОДИЧЕСКОГО СРЕДСТВА

Идея доказательства теоремы является составляющей профессионального контекста будущего учителя математики. Под «идеей» понимается результат некоторого мыслительного процесса, который, с одной стороны, отражает его сущностную, предметную, содержательную характеристику, а, с другой - отражает его деятельностную характеристику. К составляющим понятия «идея» относят «инсайт», «сущность», «форму» и «способ действия» [3]. Рассматривая «идею» в качестве учебного средства, целесообразно понимать ее как единство трех составляющих: сущности, формы и способа действия.

Под идеей доказательства теоремы понимаем основу обобщенного способа действия или сам способ, который: опирается на теоретический факт (определенный учебником, либо выводимый, либо априорно допущенный, но явно не сформулированный в учебнике); характеризуется глобальным и (или) локальным направлением хода (или изучения по тексту) доказательства данной теоремы от ее заключения к условию.

Идеи можно условно разделить по следующим основаниям: по принадлежности идеи к школьной математической дисциплине или разделу; по принадлежности идеи к методам научного познания; по принадлежности к математическим методам; по отражению в идее особенностей структуры ее источника; по составленности из других идей.

Основой обучения студентов использованию идей в качестве методических средств целесообразно рассматривать систему учебно-методических заданий и задач. Ниже приведены группы этих заданий, сформулированные в обобщенном виде, среди которых имеются и конкретизированные задания.

Задания, направленные на формирование понятия «идея доказательства», умение ее формулировать по соответствующему теоретическому факту, умение определять вид идеи.

1. По сформулированному способу действия (идее) установить теоретический факт, лежащий в основе данного способа (например, чтобы доказать, что один отрезок больше другого достаточно доказать, что им равные отрезки, являясь сторонами треугольника, лежат против соответственно неравных углов этого треугольника).

1. а) Дан теоретический факт, выделить в нем условия (А) и заключение (В).

б) Вставить выделенное в форму: «для того чтобы доказать В достаточно выполнить (доказать и т.п.) А).

в) Скорректировать слова в полученном предложении в виде удобном для применения и не только в данной ситуации.

1. Сформулировать идеи в разных формах, в основе которых лежит данный теоретический факт (например, если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую). Сформулировать идеи, соответствующие трем формам.

Как только прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то делаем вывод: она пересекает и другую. Для того, чтобы доказать, что две прямые пересекаются достаточно доказать, что одна из этих прямых пересекает третью прямую параллельную второй прямой. Если известно, что прямая не пересекает одну из параллельных прямых, то она не может пересекать и другую. 1. Определить вид данной идеи (данных идей). 1. Соотнести вид идеи с ее формулировкой.

1. Составить «банк» идей, направленных на установление данного отношения.

1. Составить «банк» идей, направленных на установление данного отношения с учетом заданного учебного промежутка условно пройденного учениками материала.

Последняя группа заданий, при условии успешного их выполнения, позволяет лишь познакомить студентов с использованием идеи как учебного средства. "Идея" как "способ действия" станет методическим средством, если студент будет уметь выделять идеи из готовых доказательств теорем и решенных задач, а также применять их для организации поисковой деятельности учащихся.

Рассмотрим методику обучения студентов умению выделять идею из текста доказательств теорем.

Студентам сообщается, где в тексте доказательства находится аналог "идеи", то есть то предложение, обобщив содержание которого, получим формулировку идеи. Это сделать можно, например, следующим образом: «Поскольку доказательства теорем в учебниках изложены синтетическим стилем, значит «кульминация рассуждений» приходится на его конец, то есть идея доказательства должна быть предъявлена в конце текста».

Прежде чем привести содержание приема выделения идеи из текста доказательства теоремы, обратимся к результатам исследований психологов, посвященных оптимизации алгоритмов умственных действий распознавания. К.М. Шоломий в своих исследованиях пришел к выводу: исходя из загруженности оперативной памяти учащихся необходимо строить приемы по принципу «от трудных к легким операциям» [5]. К аналогичным выводам пришли Г.А. Вайзер [4, 140-141] и Г.Г. Граник [2]. Эти данные говорят о необходимости обучать студентов выделению идей доказательств теорем, начиная с трудных, редко встречающихся в текстах, математических идеях, постепенно переходя к выделению идей несложных доказательств.

Далее преподаватель знакомит студентов с приемом выделения идеи (простой, предметной) из текста доказательства теоремы. Он сводится к выполнению следующих операций.

Представить доказательство теоремы в виде логических шагов (тезис, аргумент, демонстрация). Определить логический шаг, тезис которого не является аргументом никакого другого логического шага (это один из последних шагов, его тезис - аналог требования теоремы). Определить, какой математический факт соответствует этому логическому шагу. Обобщить этот шаг в способ действия, например, в виде: чтобы доказать А достаточно доказать В (А - тезис, В - аргументы). При необходимости внести коррективы (обеспечить соответствие факту и ситуации доказательства) и принять обобщение в качестве идеи.

Данный прием студенты сначала применяют к сложным доказательствам, особенности которых побуждают студентов его использовать. Сам прием они легко усваивают, если умеют выделять логические шаги доказательства. Прием легко сворачивается и сводится к рекомендации: обобщить один из последних логических шагов синтетического доказательства, тезис которого является аналогом требования доказываемой теоремы.

Заметим, что в школьном курсе математики, особенно в геометрических теоремах, имеют место теоремы, доказательства которых построены на использовании не одной идеи, а нескольких, т.е. эти доказательства имеют составные идеи. Их можно разделить на: а) независимые друг от друга и б) зависимые одна от другой. Независимые идеи встречаются в теоремах, имеющих несколько требований. Например: 1) в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой; 2) около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Зависимые идеи в одном доказательстве заслуживают особого внимания, они основаны не столько на математическом факте, сколько на интуиции и элементах эвристики. Например, в доказательстве теоремы "Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны" [1, 53] используются идеи: 1) полной индукции, причем второй случай доказательства сводится к первому; 2) чтобы доказать, что два луча, имеющие общую точку, являются секущей, достаточно доказать: а) каждый из лучей имеет одну общую точку с одной из прямых; б) две точки, взятые на лучах, и их общее начало, лежат на одной прямой; 3) чтобы доказать, что три точки лежат на одной прямой надо доказать, что лучи с общим началом в одной из точек и содержащие остальные две точки, являются продолжением друг друга. Как доказать "продолжение друг друга", можно только догадываться! Понятно, что данные идеи зависимы в условиях доказательства рассматриваемой теоремы, но в тоже время они могут применяться и как независимые идеи. Вторая и третья из указанных идей не являются знакомыми учащимся, да и студенты без специальной подготовки не в состоянии их выделить и сформулировать. В учебнике нет подготовительных задач, направленных на применение этих идей. С такими "уникальными" идеями студента необходимо знакомить, объясняя их особенности.

Задания, направленные на формирование умения выделять идею из текста доказательства теоремы или решения задачи и на составление плана реализации идеи.

1. Найти прообраз идеи в тексте рассуждения, сформулировать соответствующую идею доказательства теоремы, указать ее теоретический факт, указать форму в которой она задана.

2. Выделить из данной идеи план ее реализации.

3. Заполнить следующую таблицу, опираясь на образец.

Теорема

Текст рассуждения

Прообраз идеи

Формулировка доказательства

План

доказательства от идеи

Сумма углов треугольника равна 180о

0

Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС. Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 - накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому Z4 = Z7, ¿5 = ^3 ,{\) Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т.е. А4 + А2 + А5 = 18СР. Отсюда, учитывая равенства (1), получаем: А4 + А2 + А3 = 180°,

или ZA + ZB + ZC = 180'

о

Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т.е. А4 + А2 + А5 = 180°. Отсюда, учитывая равенства (1), получаем:

А4 + А2 + А3=180°, или

ZЛ + ZB + ZC = iS00

Чтобы доказать, что сумма углов треугольника равна 1800, достаточно указать некоторый объект, градусная мера которого 1800, и разделить его на углы, равные данным углам

1) построить объект, который заранее будет являться, например, развернутым углом

2) доказать правомерность п. 1 (объект явл развернутым углом, т.к. его обе стороны лежат на одной прямой)

3) указать способ разделения объекты на углы, равные данным

4) выполнить разделение

5) доказать пра-

вомерность п.4:

а) Z4 = Z7 (как

накрест лежа-

щие углы при

пересечении

параллельных

прямых секу-

щей)

б) Z5 = АЗ (как

накрест лежа-

щие углы при

пересечении

параллельных

прямых секу-

щей)

В) А4 + А2 + А5 = 18(?

(как градусная

мера разверну-

того угла);

г) из п.а), п.б),

п.в) следует,

что

¿4 + А2 + АЗ = 18(Р

д) из.п.г следу-

ет, что сумма

углов данного

треугольника

равна 1800

Если две Так как АА = , то тре- ... вершина А со- Чтобы доказать, 1) указать объ-

стороны и угольник АВС можно нало- вместиться с вер- что два тре- екты для нало-

угол ме- жить на треугольник Л1Б1С1 шиной Л1 , а сто- угольника рав- жения (тре-

жду ними одного так, что вершина А совмес- роны АВ и АС на- ны, достаточно угольники АВС

титься с вершиной Л1, а сто- ложатся соответст- совместить их и Л1Б1С1)

треуголь- венно на лучи Л1Б1 и Л1С1 . По-

ника со- роны АВ и АС наложатся наложением 2) указать спо-

ответст- соответственно на лучи Л1Б1 соб наложения

венно скольку АВ= Л1Б1, 3) выполнить

равны и Л1С1. Поскольку АС= Л1С1, то сто-

наложение

двум сто- АВ= Л1Б1, АС= Л1С1, то рона АВ сов- 4) доказать пра-

ронам и сторона АВ совместиться со меститься со сторо- вомерность п. 3

углу между ними стороной ЛВ1, а сторона ной Л1Б1, а сторо-

другого АС - со стороной Л1С1, в на АС - со сторо-

треуголь- частности, совместятся точки ной Л1С1, в част-

ника, то В и Б1, С и С1. Следова- ности, совместятся

такие точки В и Б1 , С и

тельно, совместятся стороны

треуголь-

ники рав- ВС и Б1С1. Итак, треуголь- С1

ны ники АВС и Л1БС1 полностью совместятся, значит, они равны

Если три стороны одного треугольника со-ответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Приложим треугольник АВС к треугольнику AjBjCj так, чтобы вершина А совместилась с вершиной Aj, вершина В - с Bj, а вершины С и Cj оказались по разные стороны от прямой AjBj. Возможны три случая: луч ccj проходит внутри угла AjCjBj; луч ccj проходит вне угла AjCjBj. Рассмотрим первый случай. Так как по условию теоремы АС = AjCj , ВС=В1С1, то треугольник AjCjC и BjCjC - равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника Z7 = Z2, Z3 = Z4 , поэтому

ZAjCBj = ZAfjBj. Итак, АС = AjCJ , ВС=В,С,, Z.C = Z.Cl. Следовательно, ААВС = AAjBjCj по первому признаку равенства треугольников

Общий прообраз Приложим треугольник АВС к треугольнику Л1Б1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной Л1 , вершина В - с Б1 , а вершины С и С1 оказались по разные стороны от прямой Л1Б1. Прообраз к 1 случаю. Следовательно, ААВС = М1В1С1 по первому признаку равенства треугольников

Основная идея........

Вспомогательная идея........

1) указать способ наложения

2) выполнить наложение

3) рассмотреть возможные случаи

4) доказать правомерность п.2 с учетом рассмотрения каждого случая

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

Если углы 1 и 2 прямые, то прямые а и Ь перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны. Рассмотрим случай когда углы 1 и 2 не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой а. На прямой Ь от точки В отложим отрезок БН1, равный отрезку АН, и проведем отрезок ОН 1. Треугольники ОНА и ОН1В равны по двум сторонам и углу между ними (АО=ОВ,

АН=ВН1, z; = Z2 ), поэтому Z3 = Z4 и Z5 = А6 . Из равенства Z3 = Z4 следует, что точка Н1 лежит на продолжении ОН, т.е. точки Н, О и Н1 лежат на одной прямой, а из равенства Z5 = Z<5 следует, что угол 6 - прямой. Значит, прямые а и Ь перпен-

1 случай Если углы 1 и 2 прямые, то прямые а и Ь перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны.

2 случай

Значит, прямые а и Ь перпендикулярны к прямой НН1, поэтому они параллельны

1 случай

1) пусть углы 1 и 2 прямые

2) из п. 1 следует, что а и Ь перпендикулярны к третей прямой

3) а и Ь параллельны, т.к. нашлась третья прямая, к которой они перпендикулярны

2 случай

1) пусть углы 1 и 2 не прямые

2) указать способ построения прямой, к которой были бы перпендикулярны данные пря-

дикулярны к прямой HHj , поэтому они параллельны мые а и Ь 3) выполнить 4) доказать правомерность п.3 а и Ь параллельны, т.к. нашлась третья прямая, к которой они перпендикулярны

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Z7 = Z2 . Так как углы 2 и 3 - вертикальные, то /-2 = A3 . Из этих двух равенств следует, что Z7 = A3 . Но углы 1 и 3 накрест лежащие, поэтому прямые а и b параллельны

В тре-угольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона 1) докажем, что АС > АВ . Отложим на отрезке АВ отрезок AD, равный стороне АС. Так как AD<AB, то точка В лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, AC > А1 . Угол 2 - внешний угол треугольника BDC, и поэтому Z2 > АВ . Углы 1 и 2 равны, как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ZC > А1 , Z2 > АВ , А1 = Z2 . Отсюда следует, что угол AC > AB 2) докажем, что АВ > АС . Предположим, что это не так. Тогда либо АВ=АС, либо АВ < АС . В первом случае треугольник АВС - равнобедренный и, значит, АВ = АС . Во втором случае АВ > АС (против большей стороны лежит больший угол). И то и другое противоречит условию: AC > АВ . Поэтому наше предположение неверно, и, следовательно, АВ > АС

Каждая сторона треуголь- Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Отложим на продолжении стороны АС

ника отрезок CD, равный стороне

меньше СВ. В равнобедренном тре-

суммы угольнике BCD Z7 = Z2 , а в

двух дру- треугольнике ABD

гих сто- ZABD > Z1, и значит

рон ZABD >Z 2 . Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то AВ<AD. Но AD=AC+CD=AC+CB, поэтому AВ<AC+CB

Все точки Рассмотрим параллельные Итак, любая точка ? ?

каждой из прямые а и b. Отметим на Х прямой а нахо-

двух па- прямой а точку А и проведем дится на расстоя-

раллель- из этой точки перпендикуляр нии АВ от прямой

ных пря- АВ к прямой b. Проведем из Ь. Очевидно, все

мых рав- точки Х перпендикуляр XY к точки прямой Ь

ноудале- прямой Ь. Так как XY _L b , находятся на таком

ны от то XY _L a . Прямоугольные же

другой треугольники ABY и YXA

прямой равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, XY=AВ. Итак, любая точка Х прямой а находится на расстоянии АВ от прямой b. Очевидно, все точки прямой b находятся на таком же

4. Решить данную задачу, представить ее решение в виде логических шагов, выделить основную

идею ее решения и представить план ее реализации, выделить вспомогательные идеи, скорректировать их с основной идеей и составить окончательный план доказательства теоремы.

Задания, направленные на формирование умения выявлять логическую структуру текста доказательства теоремы.

1. Представить данное утверждение в виде силлогизма. Записать соответствующий логический шаг в виде: тезис - аргументы.

2. Прочитать текст доказательства данной теоремы. Представить его в виде силлогизмов.

3. Представить текст доказательства данной теоремы в виде логических шагов.

4. Определить особенность структуры доказательства линейная или разветвленная.

Задания, направленные на формирование умения дополнять логическую структуру текста

доказательства теоремы до той, которая возможна на уроке.

1. Подобрать условие, из которого следует данный вывод. Объяснить свой выбор. Сформулировать вопрос, направленный на подбор этого утверждения.

2. Вывести следствие из данных задачи. Объяснить свой выбор. Сформулировать вопросы, направленные на вывод этих следствий.

3. Подобрать наборы условий, из которых следует данный вывод. Объяснить свой выбор. Сформулировать вопросы, направленные на подбор этих утверждений. Эти наборы условий называются расширенным кругом «искомого».

4. Вывести наборы следствий из данных задачи. Сформулировать вопросы, направленные на вывод этих следствий. Объяснить свой выбор. Эти наборы следствий называются расширенным кругом «данных».

5. Представить текст доказательства данной теоремы в виде логических шагов. Указать основные и вспомогательные идеи доказательства. Составить расширенные круги искомых и данных. Проследить разные цепочки доказательств, указать, каким образом и в каком месте рассуждения замкнется цепочка рассуждений. Определить, какая часть рассуждения

требует тщательной, скрупулезной поисковой работы, а какая часть этого рассуждения представляется в виде элементарных задач.

Задания, направленные на формирование умения выражать элементы логической структуры текста доказательства теоремы в письменной речи.

1. Представить данное утверждение в виде силлогизма. Опустить в нем малую посылку. Сформулировать соответствующее утверждению предложение с пропущенной малой посылкой. Такая конструкция называется энтимемой с пропущенной малой посылкой.

2. Представить данное утверждение в виде силлогизма. Опустить в нем большую посылку. Сформулировать соответствующее утверждению предложение с пропущенной большой посылкой. Такая конструкция называется энтимемой с пропущенной большой посылкой.

3. Представить два взаимосвязанных утверждения в виде силлогизмов. Составить энтимему с пропущенными: а) малыми посылками; б) большими посылками; в) большими и малыми посылками. Такие конструкции называются полиэнтимемами.

4. Прочитать текст доказательства данной теоремы. Представить его в виде силлогизмов. Представить текст доказательства этой теоремы в виде логических шагов. Выделить идею ее доказательства. Сформулировать общий план реализации идеи. Определить особенность структуры доказательства: линейная или разветвленная. Составить связки для комментирования поисковых намерений в местах разветвления.

Задания, направленные на формирование умения составлять текст объяснения.

1. Составить текст объяснения данной теоремы, пользуясь следующим приемом его построения.

1) выделить логические шаги доказательства или решения задачи; сформулировать идею доказательства или решения;

2) сформулировать план реализации идеи;

3) структурировать рассуждения и действия, составляющие план доказательства или решения;

4) условно разделить структуру на две части: поисковую и заключительную - элементарную;

5) подготовить текст объяснения поисковой части, для этого:

- определить вид структуры рассуждения поисковой части - линейная или разветвленная; использовать энтимемы с пропущенной малой посылкой на линейных участках рассуждения в форме рассуждений при восходящем анализе;

- в местах разветвления рассуждений подготовить планы «навигации» рассуждений;

- определить все ключевые моменты поисковой части;

- составить вопросы ко всем ключевым моментам, выделяя, по возможности, предположительные альтернативные ответы учащихся на эти вопросы;

- предпринять попытку выявления других идей доказательства или решения («банк» идей);

- определить возможность и целесообразность использования этих идей (возможность использования этих альтернативных идей должна привести к поиску аргументов выбора идеи или принятия нескольких идей);

- переструктурировать поисковую часть, если в этом есть необходимость;

- составить текст объяснения в соответствии с принятой структурой рассуждения (см. рекомендации к составлению текста объяснения);

6) подготовить текст заключительной части рассуждения:

- подготовить к использованию на линейных участках рассуждения энтимем с пропущенной большой посылкой или полиэнтимем;

- связать результат заключительной части рассуждения с требованием теоремы или задачи;

7) продумать возможные проблемы в реализации других идей рассуждения;

8) определить средства по преодолению возможных проблем;

9) окончательно структурировать и скорректировать текст предъявления образца поисковых действий.

2. Составить текст объяснения данной теоремы.

3. Отобрать теорему или задачу (из набора заданных) для предъявления в качестве образца поисковых действий с учетом собственных возможностей, особенностей содержания и субъектного опыта учащихся.

Обратимся теперь к вопросу применения идей для организации поисковой деятельности учащихся. Этот процесс требует от студента наличия важных знаний и умений. Перечислим их.

Общая методика изучения теорем и доказательств должна быть знакома студентам не только на уровне теоретического знания, но и на уровне действий в условиях квазипрофессиональной деятельности. Студент должен уметь выделять составы и структуры теорем и доказательств, а также логические шаги из текста доказательства и формулировать идеи доказательства. Студент должен понимать и целостно представлять процесс изучения теоремы и ее доказательства от мотивации изучения теоремы до этапа ее применения. Студент должен иметь опыт целевого отбора задач или их составления и организации решения задач в условиях квазипрофессиональной деятельности.

При условии наличия в субъектном опыте студента указанных представлений, знаний и умений целесообразно переходить к обучению его организовать и проводить специальную работу, направленность которой - осмысление учащимися идеи доказательства теоремы. Следует отметить, что результативность такого обучения зависит и от сформированности вышеуказанных знаний и умений, и, главное, - от качества их развития в условиях квазипрофессиональной и реальной образовательной деятельности.

Все вышеуказанное позволяет выделить этапы обучения студентов "идеям доказательств теорем" как методическому средству: этап изучения и актуализации идейной составляющей субъектного опыта студентов; этап пропедевтического изучения знаний и овладения умениями, необходимыми для изучения понятия "идея доказательства теоремы"; этап изучения понятия "идея" на уровне теоретических знаний; этап квазипрофессионального использования "идеи" как методического средства и дальнейшего продолжения изучения понятия "идея"; этап профессионального применения методик использования математических идей (в условиях педагогической практики).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. 8-е изд. М.: Просвещение, 1998.

2. Граник Г.Г. Психологический анализ пунктационных умений и их формирование // Вопросы психологии. 1977. №4. С. 95-105.

3. Макарченко М.Г. Задачи, определения и теоремы как понятия методики обучения математике: учеб. пос. Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. инт-та, 2004. С. 181.

4. Развитие субъекта образования: проблемы, подходы, методы исследования / под ред. Е.Д. Божович. М.: ПЕР СЭ, 2005.

5. Шоломий К.М. Оптимизация алгоритмов умственных действий распознавания: автореф. дисс. ... канд. тех. наук. М., 1971.

С.Л. Налесная

ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧИТЕЛЯ ПО ФОРМИРОВАНИЮ ПОНЯТИЙ ДОЛИ И ДРОБИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ

В соответствии с обязательным минимумом требований к уровню подготовки выпускников начальной школы содержательный объём изучения понятий доли и дроби в учебниках «Математика» программы «Школа России» значительно сократился. Тем не менее, изучение понятий доли и дроби в существующих альтернативных учебниках начальной школы значительно расширено (дидактическая система обучения Л.В. Занкова, система обучения В.В. Давыдова, программа «Школа 2100...» Л.Г. Петерсон).