CC BY
64
фиков функций, у которых степень числителя больше степени знаменателя к итоговой контрольной работе, в которой нужно было строить эскизы графиков функций различных видов функций.
Применение данной методики оказалось эффективным и получило свое подтверждение, как среди студентов, так и среди школьников. Данную методику можно применять как в средней образовательной школе, так и в высших учебных заведениях, с целью обучения построению эскизов графиков функций различного уровня сложности.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Атурин, В.В. Высшая математика. - М.: Академия, 2010. - 304 с.
2. Баврин, И.И. Высшая математика. - М.: Академия, 2010. - 401 с.
3. Поспелов, А.С. и др.: Сборник задач по высшей математике. - М.: Юрайт, 2011. - 248 с.
4. Макарченко, М.Г. Методическая составляющая контекстного обучения будущих учителей математики (монография) Таганрог: ИП Кравцов В.А., Танаис, 2009. - 296 с.
5. Макарченко, М.Г., Подходова, Н.С. Идея доказательства теоремы как составляющая профессионального контекста будущего учителя математики // Вестник Поморского университета. - 2009 - № 4.
УДК 514 ББК 22.151я72-4
А.А. Бузнякова
СМЫСЛ «ОБЪЯСНЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ» С ПОЗИЦИЙ СТРУКТУРЫ ИНФОРМАЦИИ В ТЕКСТЕ ШКОЛЬНОГО УЧЕБНИКА ГЕОМЕТРИИ
Аннотация. В данной статье представлен смысл термина «объяснение доказательства теоремы», приведены некоторые основные принципы построения объяснения с учетом структуры информации в тексте учебника. Приведены приме
Ключевые слова: Теорема, доказательство теоремы, объяснение доказательства теоремы, идея доказательства теоремы, основные принципы построения доказательства теоремы.
A. А. Buznyakova
SEMANTIC OF «EXPLAINING OF THEOREM PROVING» WITH POSITION OF STRUCTURE OF INFORMATION IN TEXT OF SCHOOL TEXTBOOK OF GEOMETRY
Abstract. The basic aspects of semantic of «explaining of theorem proving» with position of structure of information in text of school textbook of geometry is presented in the article. Examples are given.
Keywords: theorem, theorem proving, explaining of theorem proving, idea of theorem proving, basic aspects of construction of theorem proving.
Одной из основных задач обучения геометрии можно считать формирование у учащихся умения самостоятельно решать задачи на доказательство. Но прежде чем впервые приступить к обучению доказательствам, школьникам должны регулярно представлять образцы правильно построенных рассуждений. Часть из этих образцов рассуждений учащимся может и должен предъявить их учитель математики на примерах доказательств теорем. При этом доказательство отдельно взятой теоремы должно представлять действительно правильно построенное поисковое рассуждение.
Что же можно часто увидеть на уроках геометрии на самом деле? Это, как правило, пересказ или рассказ текста учебника.
В качестве примера приведем описание доказательства следующего утверждения.
ПРИМЕР 1. Сумма углов выпуклого n- угольника равна 180 (n-1).
А1 А3
Рассмотрим выпуклый п- угольник, изображенный на рисунке 1 и его углы АПА1А2, А1А2А3,..., Ап-1АпА1. Найдем их сумму. Для этого соединим диагоналями вершину А1 с другими вершинами. В результате получим (п-2) треугольника, сумма углов, которых равна сумме углов п-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180. Поэтому сумма углов п-угольника 180(п-2).
Приведенный текст доказательства соответствует доказательству в известном школьном учебнике. Проанализируем это доказательство, приведенное в учебнике «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др. [1], с точки зрения естественности рассуждений и направления хода доказательства.
После разъяснительной части, включающей в себя «дано» «доказать» («зачем-то») предлагается провести диагонали, соединяющие одну из вершин п-угольника с другими. Возникают вопросы:
Зачем это делается?
Зачем (каким-то образом) определили число получившихся треугольников?
Почему надо получить именно треугольники?
Как догадаться до указанного дополнительного построения?
Ответы на эти вопросы в школьном учебнике геометрии не предусмотрены. Естественность рассуждения, построенного от данных к искомым, требует процедуры отбора данных, а, следовательно, и анализа их расширения в направлении искомого. С этой позиции приведенное рассуждение следует считать «неестественным».
Итак, как видим, в ходе доказательства предложенного в учебнике возникает много вопросов о природе поиска этого доказательства. Значит, в дидактических целях надо перестроить текст учебника таким образом, чтобы этих вопросов не возникало, и в ходе доказательства был понятен (естественен) путь поиска решений. Перестроенный с учетом сказанного текст уже можно будет считать объяснением доказательства теорем.
В связи с этим возникают следующие вопросы:
Каким должно быть объяснение доказательства теорем, чтобы оно было дидактически целесообразным, т.е. каким основным принципам должно удовлетворять объяснение?
Какова технология построения объяснения?
Для того чтобы ответить на эти вопросы была проанализирована научно-педагогическая литература, в которой выдвигается ряд психологических и дидактических требований к объяснению. И уже на их основе были сформулированы некоторые принципы построения грамотного объяснения.
1. Объяснение доказательства должно строиться от его идеи и вскрывать метод поиска.
2. Идея определяет план доказательства и его структуру (линейную или разветвленную) [3; 4].
3. Объяснение на основе поиска ведется до момента сведения доказательства к элементарной задаче.
Это основные, но далеко не все принципы построения грамотного объяснения. Продемонстрируем сказанное на примере.
Вернемся к примеру 1.
«Итак, нам необходимо сформировать идею доказательства». Для данного утверждения, она будет заключаться в следующем: для того чтобы найти сумму углов выпуклого п-угольника, достаточно выразить сумму через суммы известных фигур, например, через сумму углов треугольника.
Таким образом, для доказательства теоремы, следует:
1) разбить п-угольник на треугольник;
2) определить сколько получилось треугольников;
3) выразить сумму углов п-угольника через суммы углов полученных треугольников.
Приступим к реализации первого пункта плана.
Для того, чтобы разбить п-угольник на треугольники, проведем диагональ, соединяющую, например, вершину А1 с другими вершинами. Эти диагонали разбивают п-угольникна треугольники?
Итак, первый пункт плана выполнили.
Приступаем к решению второго пункту плана, а именно определим количество получившихся треугольников.
Для этого выразим число треугольников через число сторон данного п-угольника,
Обратим внимание на то обстоятельство, что на треугольник 1 и 2 (рис. 1) приходится по две стороны п-угольника, а на все остальные треугольники по одной стороне п-угольника. Таким образом, получаем, что треугольников на два меньше, чем сторон п-угольника.
Итак, если дан п -угольник, то его диагонали, выходящие из одной вершины, разбивают на п-угольник на (п-2) треугольника.
Таким образом, второй пункт плана выполнен.
Теперь перейдем к третьему пункту, а именно выразим сумму углов п-угольника через сумму углов полученных треугольников.
Сумма углов п-угольника целиком состоит из вех полученных треугольников. Поэтому сумма градусных мер углов выпуклого п - угольника совпадает с суммой градусных мер углов всех треугольников. Всех треугольников у нас (п-2). Если сумма углов каждого 180, то сумма углов всех треугольников 180 (п-2). Это значит, что сумма углов выпуклого п-угольника равна180(п-2).
Это же утверждение можно доказать в соответствии с указанной идеей, пользуясь следующим рисунком 2.
Рис. 2 п - угольник
Таким образом, на уроке можно говорить о доказательстве этого утверждения двумя способами, имеющими одну и ту же идею. Тем самым это позволяет лучше понять саму идею доказательства, а, следовательно, и сам ход доказательства.
Построенное таким образом объяснение способствует обучению учеников решать задачи и доказывать теоремы самостоятельно.
Основными задачами исследовательской работы по данному направлению являются следующие действия.
1. Проанализировать психологическую, дидактическую и методическую литературу, связанную с объяснением.
2. На ее основе сформулировать основные принципы построения объяснения.
3. Проанализировать тексты доказательств теорем учебника с целью выделения идей доказательства и составления планов доказательства.
4. Описать объяснения текстов доказательств теорем учебника «Геометрия 7-9 класс» Л.С. Атанасян и др.(8 класса) [1].
В данной статье раскроем некоторые важные принципы объяснения, позволяющие раскрыть его сущность.
Математика древняя и сложная наука. Она, прежде всего, обращается к мышлению человека. Поэтому одной из основных целей математики является развитие умственных способностей учащихся. Достигнуть этого можно при хорошем объяснении материала. «Любое хорошее объяснение развивает учащихся, и умственное развитее расширяется благодаря овладению мыслительными (познавательными) операциями, главное же - благодаря осознанию их необходимости в условиях конкретного объяснения, их результативности и системности» [4, 17].
Объяснение учебного материала отличается от рассказа, сообщения и пересказа и в большинстве случаев излагается «близко к тексту» учебника. Для того чтобы вскрыть основные характеристики сообщения или рассказа (не объяснения), достаточно более детально рассмотреть какой-либо текст доказательства.
В качестве примера приведем текст доказательства теоремы о сумме углов треугольника, изложенной в учебнике «Геометрия 7-9» под редакцией Л.С. Атанасян и др. [1, 66].
Пример. «Сумма углов треугольника равна 1800».
В
Рис.3. Произвольный треугольник
Рассмотрим произвольный треугольник АВС (Рис. 3).
Докажем, что сумма углов / д + /б + АС = 1800
Проведем через вершину В прямую а параллельную стороне АС (рис.3). Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 - накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых АС и а секущей ВС.
Поэтому /1 = /4 и /3 = /5 (1)
Очевидно сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е.
/4 + /2 + /5 = 1800.
Отсюда, учитывая равенства (1), получаем:
/1 + /2 + /3 = 1800 или /д + /б + /С = 180°.
Возникает вопрос, чем же будет отличаться текст объяснения доказательства теоремы от текста доказательства, приведенного в учебнике? Прежде всего, дидактической целью - предназначением: или только сообщение информации, или еще и обучение рассуждению.
Почему именно целью? Потому что, «прежде чем действовать, надо осознать цель, для достижения которой действие предпринимается» [2]
Основная цель учебника - это сообщение о том, что существует такая-то теорема, она верна и доказывается следующим образом. После этого в учебнике сообщается один из способов доказательства теоремы.
Согласно ФГОС по математике основной целью учителя при объяснении доказательства теорем и утверждений является научить учащихся в дальнейшем самостоятельно доказывать и решать различные геометрические задачи.
Чтобы достичь этого, надо научить детей мыслить. Для этого необходимо вскрывать мыслительный процесс, а именно учитель должен образцово показать, как он, человек умеющий рассуждать, сам мыслит. Поэтому для того, чтобы реализовать цель, которая поставлена перед учителем лучше всего начинать объяснение теоремы или утверждения с поиска доказательства. При этом поиск доказательства любой теоремы учебника начинается с идеи, которая отражает мысль (пусть даже чужую), заложенную в тексте доказательства. Искать идею доказательства надо в последних предложениях текста и формулировать в следующем виде: «Для того, чтобы доказать . . . , достаточно. . .» Затем после того, как сформулирована идея учитель должен предложить план ее реализации. И уже на основе этого плана строить объяснение доказательства.
Что же касается текста учебника, то он полностью выполняет поставленную перед ними цель - сообщение информации.
Поэтому как способ реализации этой цели является «констатация» факта доказательства данного утверждения. И делается это с помощью синтетического метода доказательства. При этом само доказательство выглядит как результат рассуждения некоторого идеализированного решающего, а не процесс поиска доказательства им. Поэтому если считать текст учебника в качестве образца объяснения, необходимо учитывать то, что школьник будет опираться, лишь на результат чьей-то «мысли». И, как правило, не будет вовлечен в «процесс» мышления, участие в котором ему необходимо для дальнейшего успешного решения более сложных задач и, конечно же, для продолжения своего образования.
Таким образом, получается, что развитие мышления ребенка происходит не целенаправленно, а спонтанно, как бы опосредованно. И лишь некоторые из учащихся путем кропотливого и целенаправленного рутинного труда могут прийти неосознанным образом к построению правильных рассуждений. Но это далеко не всем учащимся под силу. Поэтому объяснение следует строить отличным от рассказа так, чтобы оно передавало способ нахождения пути к новым знаниям, а не только сами знания. Тем самым объяснение должно отвечать основным задачам обучения математике:
• развитие различных видов и качества мышления (гибкость, критичность), в том числе и математическое;
• формирование у учащихся способности изучения сложных дисциплин и продолжения образования, а не только предоставления лишь возможность продолжать обучение в вузе [4; 5].
Итак, подводя итоги по данной статье, можно сказать, что главная цель объяснения - это помощь учащимся в осознании основ математического рассуждения и начало их обучения самостоятельно рассуждать и доказывать теоремы или утверждения, а так же решать задачи, которые могут стоять перед ними, Тем самым сущность объяснения состоит в том, что оно должно вскрывать мыслительный процесс и передавать способ нахождения пути к новым знаниям, а значит и сами знания.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 1995. - 335 с.
2. Зимняя, И.А. Педагогическая психология: учеб. пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 1997. - 480 с.
3. Макарченко, М.Г. Методическая составляющая контекстного обучения будущих учителей математики (монография) Таганрог: ИП Кравцов В.А., Танаис, 2009. - 296 с.
4. Макарченко, М.Г., Подходова, Н.С. Идея доказательства теоремы как составляющая профессионального контекста будущего учителя математики // Вестник Поморского университета: научный журнал. - 2009. -№ 4. С. 158-166.
5. Сопер, П. Основы искусства речи. - М.: Пресс; Прогресс- Академия,1992. - 416 с.
6. Сохор, А.М. Объяснения в процессе обучения: Элементы дидактической концепции. - М.: Педагогика, 1988.- 192 с
Н.В. Гусарова
ОБУЧЕНИЕ АБИТУРИЕНТОВ РЕШЕНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ В РАМКАХ ОГЭ И ЕГЭ
Аннотация. Важным видом учебной деятельности, в процессе которой усваиваются математические знания, умения и навыки, является решение задач. Одними из наиболее востребован-
