CC BY
536
УДК 372.8
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ В КОНТЕКСТЕ КОМПРЕССИВНОГО ОБУЧЕНИЯ
© 2015 Л.В. Детушева
аспирант каф. алгебры, геометрии и теории обучения математике e-mail: [email protected]
Курский государственный университет
В статье рассматривается возможность применения методики компрессивного обучения при доказательстве геометрических теорем. Раскрываются основные этапы работы с доказательством теорем в контексте компрессивного обучения.
Ключевые слова: компрессивное обучение, методика компрессивного обучения математике, методика обучения математике, теорема, доказательство.
Среди специальных математических дисциплин геометрия занимает важное место в развитии абстрактного мышления и пространственного воображения школьников, столь необходимых им при сдаче выпускных экзаменов (ЕГЭ) и при их дальнейшем обучении в вузе. Важность изучения доказательства геометрических теорем во многом определяется современным пониманием предмета геометрии, строгостью его изложения, глубиной и широтой геометрического материала. Наличие теорем и задач на доказательство в современных действующих учебниках геометрии для средней и старшей школы, соответствующих современным стандартам, свидетельствует о теоретической и практической значимости этого материала не только для изучения математики и смежных дисциплин в школе, но и для продолжения образования в высшем учебном заведении.
Любая геометрическая теорема состоит из трех частей:
1) разъяснительная часть;
2) условие теоремы;
3) заключение теоремы.
Напомним типы теорем: теоремы-импликации и теоремы-эквиваленции. Теорема-импликация - это теорема, которую можно сформулировать в виде «если условие теоремы, то заключение теоремы». Примером теоремы-импликации является теорема: «в равностороннем треугольнике все углы равны между собой». Перепишем данную теорему в виде: «если треугольник равносторонний, то все его углы равны между собой». «Треугольник - равносторонний»- это условие или посылка теоремы, «все его углы равны между собой» - это заключение теоремы. Схематично записывается A ^ B .
Теорема-эквиваленция - это теорема, которую можно сформулировать в виде «утверждение A справедливо тогда и только тогда, когда истинно утверждение B» или «A если и только если B», «A эквивалентно B», «для A необходимо и достаточно B ». Схематично обозначается A ^ B . Заметим, что теоремы-эквиваленции обычно называют критериями. Утверждение P ^ Q, то есть «P если и только если Q », эквивалентно утверждению об одновременной истинности высказываний P ^ Q и Q ^ P, то есть утверждений «если P, то Q» и «если Q, то P». Поэтому доказательство теоремы-эквиваленции сводится к доказательству двух теорем-
импликаций. Примером теоремы-эквиваленции является утверждение: «в равносторонних треугольниках, и только в них, все углы равны между собой».
Если А ^ В - теорема-импликация, то теорема В ^ А называется обратной к ней теоремой, при этом исходную теорему называют еще прямой теоремой.
Как мы уже заметили выше, теорема-эквиваленция А ^ В справедлива тогда и только тогда, когда справедливы и теорема-импликация А ^ В, и обратная к ней теорема В ^ А .
Общими методами доказательства теорем в курсе математики средней и старшей школы являются синтетический, аналитический методы, доказательство методом от противного, доказательство методом перебора, доказательство методом исключения, метод бесконечных исключений, метод математической индукции, метод конструирования.
При доказательстве геометрических теорем уместно применить технологию компрессивного обучения, разработанную доктором физико-математических наук, профессором В.П. Добрицей, согласно которой усвоение учебного материала должно происходить в определенном порядке по следующему алгоритму [Добрица 2008]:
1) быстрое прочитывание нового материала;
2) выделение в нем смысловых единиц, понятий и отношений;
3) анализ текста на «энтропийность», то есть разбиение встречающихся понятий на уже «известные» и «новые» для обучающихся;
4) установление взаимосвязей между новыми и известными понятиями;
5) повторение ранее усвоенных понятий, необходимых для осознания новых понятий;
6) определение отношений между новыми понятиями, построение иерархии новых понятий;
7) оценка возможной значимости новых понятий;
8) формулировка целей запоминания.
В контексте компрессивного обучения изучение теорем и их доказательств начинается с логико-лингвистического анализа текста теоремы, который состоит:
1) из выявления арифметических конструкций текста и соответствующих им математических символов;
2) определения того, что дано, и того, что требуется определить;
3) поиска кванторных смыслов;
4) отбрасывания ненужных модальных смыслов.
Изучать теорему следует поэтапно, придерживаясь следующей структуры.
Мотивация изучения теоремы. На этом этапе необходимо донести до учащихся важность изучения конкретной теоремы, описывая возможные области ее применения.
Ознакомление с фактом, отраженным в теореме. На данном этапе учащимся необходимо наглядно проиллюстрировать содержание теоремы (с помощью геометрических моделей или чертежей на классной доске).
Формулировка теоремы. Здесь необходимо четко сформировать теорему, применяя при этом одну из видов формулировок теорем (прямая теорема, обратная теорема).
Выяснение понимания смысла каждого слова в формулировке теоремы. На данном этапе текст теоремы необходимо разбить на «новые» и «известные» факты, выделяя при этом разъяснительную часть теоремы, условие теоремы, заключение теоремы.
Усвоение содержания теоремы. На данном этапе необходимо убедиться в правильном понимании школьниками текста теоремы. Этого можно достичь с
помощью решения простейших задач на изучаемую теорему по готовым чертежам, которые необходимо подготовить заранее.
Запоминание формулировки теоремы. Учащимся нужно помочь запомнить основное содержание теоремы.
Доказательство теоремы. На данном этапе строится доказательство теоремы вместе со школьниками.
Применение теоремы. Подбираются стандартные задания, требующие опоры на данную теорему.
Установление связей данной теоремы с другими. Далее необходимо решить ряд задач, сопряженных с применением нескольких теорем, одной из которых является рассматриваемая теорема.
Рассмотрим применение описанного подхода компрессивных технологий обучения на доказательствах конкретных утверждений.
Теорема 1 (теорема-импликация)
«Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник - параллелограмм».
Для доказательства данного утверждения будем отталкиваться от заключения доказываемого предложения.
1. Быстрое прочитывание текста теоремы.
2. Выделение в тексте теоремы смысловых единиц. АБСВ - четырехугольник, АВ = ВС и АВ = ВС.
3. Анализ текста на энтропийность. «Новое» понятие - АБСВ -параллелограмм, «известное» понятие АБСВ - четырехугольник. На данном этапе работы с текстом сделаем рисунок (рисунок 1) и краткую запись условия теоремы.
Рис. 1. Параллелограмм ЛБСБ
Дано: АБСВ - четырехугольник, АВ = ВС и АВ = ВС
Доказать: АБСВ - параллелограмм.
4. Установление взаимосвязей между «новыми» и «известными» понятиями. Если в четырехугольнике АВ = ВС и АВ = ВС, то АБСВ - параллелограмм.
5. Повторение ранее усвоенных понятий, необходимых для осознания «новых» понятий. Учащимся известен тот факт, что если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Равные треугольники имеют равные соответствующие элементы.
6. Определение отношений между «новыми» понятиями, построение иерархии новых понятий.
Проведем диагональ ВВ, разделяющую параллелограмм АБСВ на 2 треугольника: УАВВ и УВСВ .
АВ = ВС по условию, АВ = ВС по условию, ВВ - общая сторона, следовательно, ЧАВВ =ЧВСВ по трем сторонам.
Из равенства VАВВ ^ВСВ следует ААВВ = АВВС.
Так как LABD = LBDC и DB - секущая, то AB PDC.
7. Оценка возможной значимости новых понятий.
Так как AB = DC и AB PDC, то ABCD - параллелограмм (из ранее известного свойства: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).
8. Формулировка целей запоминания. Учащимися запоминается то факт, что в параллелограмме противоположные стороны попарно равны, который применяется в дальнейшем при решении задач.
Теорема 2 (теорема-эквиваленция)
«В равносторонних треугольниках, и только в них, все углы равны между собой».
1. Быстрое прочитывание текста теоремы.
2. Выделение в тексте теоремы смысловых единиц. ABC - треугольник.
3. Анализ текста на энтропийность. «Новое» понятие - равные углы в треугольнике, «известное» понятие - равносторонний треугольник. На данном этапе работы с текстом сделаем рисунок (рис. 2) и краткую запись условия теоремы.
А
в
Рис. 2. Треугольник ABC
Дано: ABC - треугольник, AB = BC, AC = AB, BC = AC.
Доказать: LA = LB = LC.
4. Установление взаимосвязей между «новыми» и «известными» понятиями. Если в треугольнике AB = BC, AC = AB , BC = AC, то треугольник ABC -равносторонний.
5. Повторение ранее усвоенных понятий, необходимых для осознания новых понятий. Учащимся известен тот факт, что треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним. Из этого следует, что равносторонний треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
6. Определение отношений между «новыми» понятиями, построение иерархии «новых» понятий.
Треугольник ABC - равнобедренный, потому что AB = BC, тогда = LC.
Треугольник ABC - равнобедренный, потому что AC = AB, тогда
LB = LC.
Из вышесказанного следует, что LA = LB = LC.
7. Оценка возможной значимости нового понятия.
Только в равносторонних треугольниках все углы равны между собой.
8. Формулировка целей запоминания. Учащиеся должны запомнить, что все углы равностороннего треугольника равны между собой, и уметь это утверждение применить при решении задач.
Заметим, что именно методика компрессивного обучения с ее богатым арсеналом различных средств и возможностей, в числе которых быстрое прочитывание нового материала, анализ текста на энтропийность, установление взаимосвязей между понятиями, повторение ранее усвоенного материала, объединяющая в себе все известные методики и методы обучения, позволяет наиболее эффективно овладевать приемами и методами доказательства теорем.
Библиографический список
Детушева Л.В. Применение методики компрессивного обучения при решении текстовых задач на проценты [Электронный ресурс] // Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного университета. Курск, 2014. № 4(32). URL: http://scientific-notes.ru/pdf/037-027.pdf (дата обращения: 26.12.2014).
Детушева Л.В. Использование методики компрессивного обучения при изучении математики школьниками среднего и старшего звена // Проблемы математической и естественно-научной подготовки в инженерном образовании: сб. трудов III Междунар. науч.-методической конференции. СПб.: Изд-во ФГБОУ ВПО ПГУПС, 2014. С. 97-100.
Детушева Л.В, Детушев И.В. Применение компрессивного обучения при изучении математики старшеклассниками // Становление современной науки: сб. тр. X Междунар. науч.-практической конф. Прага: Образование и наука, 2014. Ч. 8. С. 48-50.
Добрица В.П., Захарова Е.С., Матвеева И.С. Информационные технологии как условие реализации компрессивного обучения // Информационные технологии в образовании: материалы II Междунар. науч.-практической конф. «Информационные технологии в образовании (ИТО-Черноземье - 2008)» Курск, 8-11 декабря 2008. Ч. 2. Курск: Изд-во КГУ, 2008. С. 145-149.
Добрица В.П., Добрица И.С., Левкова Е.С. Компрессивное обучение и подготовка к нему младших школьников // Вестник Казахского национального педагогического университета. Серия «Физико-математические науки». 2014. № 2 (46). С. 73-78.
